Fiche de mathématiques
> >

Le présent cours est repris du travail de Bourbaki.
Il s'agit d'un résumé adapté et facilement lisible du monumental ouvrage : ELEMENTS DE MATHEMATIQUE, Théorie des ensembles.
Il est présenté ici :


Chapitre I : Description de la mathématique formelle.


§3 : Théories logiques.

Introduction

Nous savons désormais ce que sont les termes, relations, axiomes, théorèmes, démonstrations et la règle du modus ponens. Il nous faut voir maintenant quels sont les branchements logiques qui vont exister entre les relations. Ce qui va nous permettre d'obtenir de nouveaux axiomes, de nouveaux théorèmes à partir des axiomes de base d'une théorie.

§1 - Les axiomes d'une théorie logique

AXIOMES d'une THEORIE LOGIQUE
On appelle \blue \textrm { théorie logique, } toute théorie \blue \mathfrak {T} dans laquelle les schémas S1 à S4 ci-dessous fournissent des axiomes explicites:
S1 : Si \blue \mathbf A est une relation de \blue \mathfrak {T}, la relation \blue (\mathbf A \textrm { ou } \mathbf A) \Rightarrow \mathbf A est un axiome de \blue \mathfrak {T}
S2 : Si \blue \mathbf A et \blue \mathbf B sont des relations de \blue \mathfrak {T}, la relation \blue \mathbf A \Rightarrow (\mathbf A \textrm { ou } \mathbf B) est un axiome de \blue \mathfrak {T}
S3 : Si \blue \mathbf A et \blue \mathbf B sont des relations de \blue \mathfrak {T}, la relation \blue (\mathbf A \textrm { ou } \mathbf B)\Rightarrow (\mathbf B \textrm { ou } \mathbf A) est un axiome de \blue \mathfrak {T}
S4 : Si \blue \mathbf A, \blue \mathbf B et \blue \mathbf C sont des relations de \blue \mathfrak {T}, la relation \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B)\Rightarrow ((\mathbf C \textrm { ou } \mathbf A) \Rightarrow (\mathbf C \textrm { ou } \mathbf B)) est un axiome de \blue \mathfrak {T}

Ces règles sont bien des schémas au sens où nous l'avons défini précédemment.
Elles ne font que correspondre au sens que nous donnons usuellement au connecteur "ou" et à la "négation", donc, à l'implication.
En effet, si j'ai non A ou B qui est vrai, alors si A est vrai, alors B est vrai.
Donc A implique B est bien la définition non A ou B.

Vérifions, par exemple, que S1 est bien un schéma :
Soit \blue \mathbf R une relation obtenue par application de S1.
Il y a donc une relation \blue \mathbf A telle que \blue \mathbf R soit \blue (\mathbf A \textrm { ou } \mathbf A) \Rightarrow \mathbf A.
Soit \blue \mathbf T un terme de \blue \mathfrak {T} et \blue \mathbf x une lettre.
Soit \blue \mathbf A' la relation \blue (\mathbf T|\mathbf x)\mathbf A.
Alors la relation \blue (\mathbf T|\mathbf x)\mathbf R, que l'on va noter  \blue \mathbf R' est identique à \blue (\mathbf A' \textrm { ou } \mathbf A') \Rightarrow \mathbf A'.
Par suite,  \blue \mathbf R' s'obtient bien par application de S1.
Propriété
Soit \blue \mathfrak {T} une théorie logique.
Si \blue \mathfrak {T} est contradictoire, toute relation de \blue \mathfrak {T} est un théorème.

Preuve : Soit \blue \mathbf A une relation de \blue \mathfrak {T} telle que \blue \mathbf A et \blue \textrm { non }\mathbf A soient des théorèmes de \blue \mathfrak {T} et soit \blue \mathbf B une relation de \blue \mathfrak {T}.
D'après S2, \blue \textrm { non }\mathbf A \Rightarrow (\textrm { non }\mathbf A \textrm { ou } \mathbf B) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.
D'après C1, \blue \textrm { non }\mathbf A \textrm { ou } \mathbf B, c'est-à-dire \blue \mathbf A \Rightarrow \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}.
D'après C1, \blue \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

Désormais, \blue \mathfrak {T} désignera toujours une théorie logique.

§2 - Premières conséquences

C6
Soient \blue \mathbf A, \blue \mathbf B et \blue \mathbf C des relations de \blue \mathfrak {T}.
Si \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) et \blue (\mathbf B\Rightarrow \mathbf C) sont des théorèmes de \blue \mathfrak {T}, alors \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf C) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

\red \text{Preuve}
Le scéma S4 s'écrit également \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) \Rightarrow (non~\mathbf C \Rightarrow \mathbf A) \Rightarrow (non~\mathbf C \Rightarrow \mathbf B))
Il suffit alors de remplacer simultanément \mathbf A par  \mathbf B, \mathbf B par  \mathbf C et non~\mathbf C par  \mathbf A pour obtenir :
\blue (\mathbf B \Rightarrow \mathbf C) \Rightarrow ((\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) \Rightarrow (\mathbf A \Rightarrow \mathbf C)).
On conclut alors par une double application de la règle du modus ponens.
C7
Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des relations de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\mathbf B \Rightarrow (\mathbf A \textrm { ou }\mathbf B)) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

C8
Soient \blue \mathbf A une relation de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf A) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

\red \text{Preuve}
Il suffit de remplacer \mathbf B par \mathbf A dans S2
De considérer S1
De combiner le tout via C6

Le critère suivant est une conséquence du C7 (en remplaçant \blue \mathbf A par \blue \textrm{non }\mathbf A) et est souvent générateur d'incompréhension. Il n'est que l'illustration du principe ex falso quodlibet (du faux, on déduit ce qu'on veut) :
C9
Soient \blue \mathbf A une relation de \blue \mathfrak {T} et \blue \mathbf B un théorème de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

\red \text{Preuve}
En remplaçant \mathbf  A par non~\mathbf A dans le C7, on obtient que \blue (\mathbf B \Rightarrow ((non~\mathbf A) \textrm { ou }\mathbf B))
Comme \mathbf B est un théorème, on déduit par la règle du modus ponens que (non~\mathbf A \textrm { ou }\mathbf B) c'est-à-dire \blue \mathbf A \Rightarrow \mathbf B est un théorème.
C10
Soient \blue \mathbf A une relation de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\mathbf A \textrm { ou non } \mathbf A) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

\red \text{Preuve}
Ce n'est que la traduction du C8 suivi de S3 puis une application du modus ponens.
C11
Soient \blue \mathbf A une relation de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\mathbf A \Rightarrow \textrm { non non} \mathbf A) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

Celui-ci est d'utilisation courante :
C12
Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des relations de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) \Rightarrow ((\textrm { non }\mathbf B)\Rightarrow (\textrm { non }\mathbf A)) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

C13
Soient \blue \mathbf A, \blue \mathbf B et \blue \mathbf C des relations de \blue \mathfrak {T}.
Si \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) est un théorème de \blue \mathfrak {T}, alors \blue (\mathbf B \Rightarrow \mathbf C)\Rightarrow(\mathbf A \Rightarrow \mathbf C) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

§3 - Méthodes de démonstrations

I. Méthode de l'hypothèse auxiliaire.
C14 critère de la déduction
Soient \blue \mathbf A, une relation de \blue \mathfrak {T}, et \blue \mathfrak {T}' la théorie obtenue en adjoignant \blue \mathbf A aux axiomes de \blue \mathfrak {T}.
Si \blue \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}', \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

En pratique, on utilise la phrase clé "Supposons que \blue \mathbf A soit vraie". Cette phrase signifie qu'on va raisonner dans la théorie \blue \mathfrak {T}' jusqu'à ce qu'on ait démontré la relation \blue \mathbf B. Ceci fait, il est établi que \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) est un théorème de \blue \mathfrak {T} et on continue à raisonner dans \blue \mathfrak {T} sans préciser qu'on a abandonné \blue \mathfrak {T}'.

Par exemple : Quand on dit "Soit f une fonction continue sur \blue \R à valeur dans \blue \C", on construit une théorie dans laquelle la relation "f est une fonction continue sur \blue \R à valeur dans \blue \C" est l'hypothèse auxiliaire.

II. Méthode de réduction à l'absurde.
C15
Soient \blue \mathbf A, une relation de \blue \mathfrak {T}, et \blue \mathfrak {T}' la théorie obtenue en adjoignant \blue \textrm {non }\mathbf A aux axiomes de \blue \mathfrak {T}.
Si \blue \mathfrak {T}' est contradictoire, alors \blue \mathbf A est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

En pratique, on utilise la phrase clé "Supposons que \blue \mathbf A soit fausse". Cette phrase signifie qu'on va raisonner dans la théorie \blue \mathfrak {T}' jusqu'à ce qu'on ait établi deux théorèmes de la forme \blue \mathbf B et \blue \textrm { non } \mathbf B. Ceci fait, il est établi que \blue \mathbf A est un théorème de \blue \mathfrak {T} ce qu'on indique par une phrase du type "Or ceci (savoir la coexistence de \blue \mathbf B et \blue \textrm { non } \mathbf B) est absurde; donc \blue \mathbf A est vraie". Et on revient à la théorie dont on s'occupait précédemment.

Application de ces deux méthodes :
C16
Soient \blue \mathbf A une relation de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\textrm { non non} \mathbf A \Rightarrow \mathbf A  ) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

C17
Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des relations de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue ((\textrm { non }\mathbf B)\Rightarrow (\textrm { non }\mathbf A)) \Rightarrow (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.


III. Méthode de disjonction des cas.
C18
Soient \blue \mathbf A, \blue \mathbf B et \blue \mathbf C des relations de \blue \mathfrak {T}.
Si \blue (\mathbf A \textrm { ou } \mathbf B) est un théorème de \blue \mathfrak {T}
Si \blue (\mathbf A\Rightarrow \mathbf C) est un théorème de \blue \mathfrak {T}
Si \blue (\mathbf B\Rightarrow \mathbf C) est un théorème de \blue \mathfrak {T}
Alors \blue \mathbf C est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

L'intérêt est de pouvoir démontrer \blue \mathbf C si on sait seulement que \blue (\mathbf A \textrm { ou } \mathbf B) est vraie, sans savoir laquelle des relations \blue \mathbf A ou \blue \mathbf B est vraie.

IV. Méthode de la constante auxiliaire.
C19
Soit \blue \mathbf x une lettre, \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des relations de \blue \mathfrak {T} telles que :
1/ La lettre \blue \mathbf x n'est pas une constante de \blue \mathfrak {T} et ne figure pas dans \blue \mathbf B.
2/ On connait un terme \blue \mathbf T de \blue \mathfrak {T} tel que \blue (\mathbf T|\mathbf x)\mathbf A soit un théorème de \blue \mathfrak {T} (appelé théorème de légitimation).
Soit \blue \mathfrak {T}' la théorie obtenue en adjoignant \blue \mathbf A aux axiomes de \blue \mathfrak {T}. Alors:
si \blue \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}' alors \blue \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}

Par exemple : On souhaite démontrer qu'une fonction réelle est dérivable sur \blue \R. On peut alors "prendre" un x réel, un h réel > 0 et former le quotient de dérivabilité. La relation \blue \mathbf A est alors \blue x \in \R \textrm { et } h \in \R^*_+.
Bien entendu, pour qu'on puisse se servir d'objets supposés doués de certaines propriétés, il faut bien entendu que ces objets existent. C'est le théorème de légitimation qui le garantit.
En pratique, on dit "Soit \blue \mathbf x un objet tel que \blue \mathbf A"
Contrairement à se qui se passe dans la méthode de l'hypothèse auxiliaire, le résultat ne concerne pas \blue \mathbf x.

§4 - La conjonction

Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des assemblages.
L'assemblage \blue \textrm {non }((\textrm {non }\mathbf A) \textrm {ou }(\textrm {non }\mathbf B)) se désigne par \blue \mathbf A \textrm { et }\mathbf B
CS6
Soient \blue \mathbf A, \blue \mathbf B et \blue \mathbf T des assemblages, \blue \mathbf x une lettre.
L'assemblage \blue (\mathbf T|\mathbf x)(\mathbf A \textrm { et }\mathbf B) est identique à \blue ((\mathbf T|\mathbf x)\mathbf A \textrm { et } (\mathbf T|\mathbf x)\mathbf B)

CF9
Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des relations de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\mathbf A \textrm { et }\mathbf B) est une relation de \blue \mathfrak {T}, appelée conjonction de \blue \mathbf A et de \blue \mathbf B

C20
Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des théorèmes de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue (\mathbf A \textrm { et }\mathbf B) est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

C21
Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des relations de \blue \mathfrak {T}. Alors :
\blue (\mathbf A \textrm { et }\mathbf B) \Rightarrow \mathbf A est un théorème de \blue \mathfrak {T}
\blue (\mathbf A \textrm { et }\mathbf B) \Rightarrow \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}

§4 - L'équivalence

Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des assemblages.
L'assemblage \blue (\mathbf A \Rightarrow \mathbf B)\textrm {et }(\mathbf B \Rightarrow \mathbf A) se désigne par \blue \mathbf A \Leftrightarrow \mathbf B
CS7
Soient \blue \mathbf A, \blue \mathbf B et \blue \mathbf T des assemblages, \blue \mathbf x une lettre.
L'assemblage \blue (\mathbf T|\mathbf x)(\mathbf A \Leftrightarrow \mathbf B) est identique à \blue ((\mathbf T|\mathbf x)\mathbf A \Leftrightarrow (\mathbf T|\mathbf x)\mathbf B)

CF10
Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des relations de \blue \mathfrak {T}.
Alors \blue \mathbf A \Leftrightarrow \mathbf B est une relation de \blue \mathfrak {T}.


Soient \blue \mathbf A et \blue \mathbf B des théorèmes de \blue \mathfrak {T}. Alors :
\blue \mathbf A \Leftrightarrow \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}.
Le théorème de Thalès analytique est donc équivalent au théorème des valeurs intermédiaires.
C22
Soient \blue \mathbf A, \blue \mathbf B et \blue \mathbf C des relations de \blue \mathfrak {T}.
Si \blue \mathbf A \Leftrightarrow \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}, alors \blue \mathbf B \Leftrightarrow \mathbf A est un théorème de \blue \mathfrak {T}
Si \blue \mathbf A \Leftrightarrow \mathbf B est un théorème de \blue \mathfrak {T}, si \blue \mathbf B \Leftrightarrow \mathbf C est un théorème de \blue \mathfrak {T}, alors \blue \mathbf A \Leftrightarrow \mathbf C est un théorème de \blue \mathfrak {T}.

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
jsvdb
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1237 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !