Fiche de mathématiques

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Lois de composition interne

Définition d'une loi de composition interne

Une loi de composition interne (abrégé en : lci) ou par abus "loi" sur un ensemble $E$ est une application de $E \times E$ dans $E$ .
On la note souvent : $\begin{array}{cccc} \ast : & E \times E & \to & E \\ & (x,y) & \to & x \ast y \\ \end{array}$
(On utilisera aussi les notations $\perp$ , $\cdot$ , $+$ , $\diamond$ , etc ...)

Exemples :
La multiplication et la soustraction sont des lci dans $\mathbb{R}$
La division n'est pas une lci dans $\mathbb{N}$
Pour tout ensemble $E$ , la réunion est une lci dans $P(E)$

Magma

On appelle magma tout couple $(E ~,~ \ast)$ où $E$ est un ensemble et $\ast$ une lci dans $E.$

Associativité

Une lci $\ast$ dans un ensemble $E$ est dite associative (ou encore le magma $(E ~,~\ast)$ est associatif) si et seulement si :
$\forall(x,y,z) \in E^{3} , (x \ast y) \ast z = x\ast(y\ast z)$

Exemples :
L'addition et la multiplication sont associatives dans $\mathbb{C}$ .
La composition sur $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ est associative.
La soustraction n'est pas associative sur $\mathbb{R}$ .

Notations :
Soient $E$ un ensemble, $\ast$ , $\cdot$ ou $+$ une lci associative dans $E$ , $n \in \mathbb{N}^*$ , $x_{1},...., x_{n} \in E \, , \, x \in E$ . On notera :
$\displaystyle \ast_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1}\ast x_{2}\ast....\ast x_{n}$
$\displaystyle \prod_{i=1}^{n} x_{i}=x_{1}x_{2}...x_{n}$ ( $\cdot$ est notée par juxtaposition)
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}=x_{1}+x_{2}+....+x_{n}$
$x^{n}=x\ast x\ast .... \ast x \, , \, x^{n} = x x ... x \, , \, nx = x + x + .... + x$

Commutativité

Une lci $\ast$ dans un ensemble $E$ est dite commutative (ou encore le magma $(E~,~\ast)$ est commutatif) si et seulement si :
$\forall(x,y) \in E^{2} \, , \, x \ast y = y \ast x$

Exemples :
1. La multplication dans $\mathbb{C}$ est commutative.
2. L'intersection dans $P(E)$ est commutative.
3. La soustraction dans $\mathbb{C}$ n'est pas commutative.

Soient $(E,\ast)$ un magma, $a\in E$ .

Régularité

On dit que a est régulier à gauche (resp. à droite) pour $\ast$ si et ssi :
$\forall (x,y)\in E^{2} , a\ast x = a\ast y \Longrightarrow x=y$ (resp. $x\ast a=y\ast a\Longrightarrow x=y$ ).

On dit que a est régulier sur $\ast$ si a est régulier à droite et à gauche.

Remarque :
On utilisera aussi le mot simplifiable à la place de régulier.

Exemples :
1. Tout élément de $\mathbb{C}$ est simplifiable pour l'addition.
2. 0 n'est pas simplifiable pour $\times$ dans $\mathbb{C}$
Tout élément de C est simplifiable pour l'addition.

Elément neutre

Soient $(E~,~\ast)$ un magma, $e \in E$ .
On dit que $e$ est neutre à gauche (resp. à droite) pour $\ast$ si et ssi : $\forall x \in E \, e \ast x = x$ (resp. $x \ast e = x$ ).
On dira que $e$ est neutre pour $\ast$ si et seulement si celui-ci est neutre à gauche et à droite pour $\ast$ .

Exemples :
1. 0 est neutre pour l'addition dans $\mathbb{C}$ .
2. L'application identitée sur $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ est neutre pour $\circ$ .

Si $(E,\ast)$ est un magma admettant un neutre noté $e$ , alors pour tout $x$ de $E$ : $x^{0}=e$

Monoïde

On appelle monoïde tout magma $(E~,~\ast)$ tel que :
$\left \lbrace \begin{array}{l} \ast \text{ est associative }\\ \text{ E admet un neutre pour } \ast \\ \end{array} \right.$

Symétrique

Soient $(E~,~\ast)$ un magma admettant un neutre $e$ .
Un élément $x$ de $E$ est dit symétrisable pour $\ast$ si et seulement si il existe au moins un élément $y$ de $E$ tel que $x \ast y = y \ast x = e$ . Si $y$ existe , il est appelé symétrique de $x$ pour $\ast$ .

Soient $(E~,~\ast)$ un monoïde, $x$ un élément de E symétrisable pour $\ast$ . Le symétrique de $x$ est noté $\text{sym}(x)$ ou $x^{-1}$ , et appelé aussi inverse de $x$ . Lorsque la loi est notée $+$ , le symétrique de $x$ , s'il existe, est noté $-x$ appelé opposé de $x$ .

Soient $(E~,~\ast)$ un monoïde, $x , y \in E$ . Si $x$ et $y$ sont symétrisables pour $\ast$ , alors $x \ast y$ est symétrisable pour $\ast$ et : $(x \ast y)^{-1} = y^{-1} \ast x^{-1}$

Distributivité

Soient E un ensemble, $\ast$ et $\diamond$ deux lci dans $E$ .

1. On dit que $\diamond$ est distributive à gauche (resp. à droite) sur $\ast$ si et seulement si :
$\forall (x,y,z)\in E^{3} , x \diamond (y\ast z) = (x\diamond y) \ast (x \diamond z)$ (resp. $(y \ast z)\diamond x=(y\diamond x)\ast(z\diamond x)$ )
2. On dira alors que $\diamond$ est distributive sur $\ast$ si et seulement si celle-ci est distributive à gauche et à droite sur $\ast$

Morphisme

Etant donné deux magmas $(E,\ast) \, , \, (F,\diamond)$ .
On appelle morphisme de magmas (ou : morphisme) de $(E,\ast)$ dans $(F,\diamond)$ toute application $f : E \to F$ telle que : $\forall (x,y)\in E \, , \, f(x\ast y)=f(x)\diamond f(y)$ .

Un endomorphisme d'un magma $(E,\ast)$ est un morphisme de magmas de $(E,\ast)$ sur lui même.
Un isomorphisme de magma est un morphisme bijectif de magmas.
Un automorphisme de magma est un endomorphisme bijectif du même magma.

Exemple :
L'application $\begin{array}{lrl} ln : & \left(\mathbb{R}_{+}*,\times) & \to \left(\mathbb{R},+\right)\\ & x &\to ln(x) \\ \end{array}$ est un isomorphisme.

Extension

Soit $(E,\ast)$ un magma. On peut munir $P(E)$ d'une lci, encore notée $\ast$ définie par :
$\forall A,B\in P(E) \, , \, A \ast B = \lbrace a \ast b ; (a,b) \in A \times B \rbrace$ , appelée extension à $P(E)$ de la loi $\ast$ de $E$ .

Stabilité

Soit $(E,\ast)$ un magma.
Une partie $A$ de $E$ est dite stable pour $\ast$ si et seulement si $A\ast A\subset A$ .

Loi induite

Si $A$ est une partie stable de $E$ pour $\ast$ , la lci dans $A$ définie par $\begin{array}{ll} A\times A & \to A \\ (x,y) & \to x\ast y \\ \end{array}$ est appelée lci induite sur $A$ par $\ast$ de $E$ , et encore notée $\ast$ .

Publié par Nightmare le 20-11-2019

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