Fiche de mathématiques
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Lois de composition interne

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Définition d'une loi de composition interne

Une loi de composition interne (abrégé en : lci) ou par abus "loi" sur un ensemble E est une application de E \times E dans E.
On la note souvent : \begin{array}{cccc} \ast : & E \times  E  & \to & E \\        & (x,y) & \to & x \ast y \\ \end{array}
(On utilisera aussi les notations \perp, \cdot, +, \diamond, etc ...)

Exemples :
La multiplication et la soustraction sont des lci dans \mathbb{R}
La division n'est pas une lci dans \mathbb{N}
Pour tout ensemble E, la réunion est une lci dans P(E)


Magma

On appelle magma tout couple (E ~,~ \ast)E est un ensemble et \ast une lci dans E.


Associativité

Une lci \ast dans un ensemble E est dite associative (ou encore le magma (E ~,~\ast) est associatif) si et seulement si :
\forall(x,y,z) \in E^{3} , (x \ast y) \ast z = x\ast(y\ast z)

Exemples :
L'addition et la multiplication sont associatives dans \mathbb{C}.
La composition sur \mathbb{R}^{\mathbb{R}} est associative.
La soustraction n'est pas associative sur \mathbb{R}.

Notations :
Soient E un ensemble, \ast, \cdot ou + une lci associative dans E, n \in \mathbb{N}^*, x_{1},...., x_{n} \in E \, , \, x \in E. On notera :
\displaystyle \ast_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1}\ast x_{2}\ast....\ast x_{n}
\displaystyle \prod_{i=1}^{n} x_{i}=x_{1}x_{2}...x_{n} (\cdot est notée par juxtaposition)
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}=x_{1}+x_{2}+....+x_{n}
x^{n}=x\ast x\ast .... \ast x \, , \, x^{n} = x x ... x \, , \, nx = x + x + .... + x


Commutativité

Une lci \ast dans un ensemble E est dite commutative (ou encore le magma (E~,~\ast) est commutatif) si et seulement si :
\forall(x,y) \in E^{2} \, , \, x \ast y = y \ast x

Exemples :
1. La multplication dans \mathbb{C} est commutative.
2. L'intersection dans P(E) est commutative.
3. La soustraction dans \mathbb{C} n'est pas commutative.

Soient (E,\ast) un magma, a\in E.


Régularité

On dit que a est régulier à gauche (resp. à droite) pour \ast si et ssi :
\forall (x,y)\in E^{2} , a\ast x = a\ast y \Longrightarrow x=y (resp. x\ast a=y\ast a\Longrightarrow x=y).

On dit que a est régulier sur \ast si a est régulier à droite et à gauche.

Remarque :
On utilisera aussi le mot simplifiable à la place de régulier.

Exemples :
1. Tout élément de \mathbb{C} est simplifiable pour l'addition.
2. 0 n'est pas simplifiable pour \times dans \mathbb{C}
Tout élément de C est simplifiable pour l'addition.


Elément neutre

Soient (E~,~\ast) un magma, e \in E.
On dit que e est neutre à gauche (resp. à droite) pour \ast si et ssi : \forall x \in E \, e \ast x = x (resp. x \ast e = x).
On dira que e est neutre pour \ast si et seulement si celui-ci est neutre à gauche et à droite pour \ast.

Exemples :
1. 0 est neutre pour l'addition dans \mathbb{C}.
2. L'application identitée sur \mathbb{R}^{\mathbb{R}} est neutre pour \circ.

Si (E,\ast) est un magma admettant un neutre noté e, alors pour tout x de E : x^{0}=e


Monoïde

On appelle monoïde tout magma (E~,~\ast) tel que :
\left \lbrace \begin{array}{l} \ast \text{ est associative }\\ \text{ E admet un neutre pour } \ast \\ \end{array} \right.


Symétrique

Soient (E~,~\ast) un magma admettant un neutre e.
Un élément x de E est dit symétrisable pour \ast si et seulement si il existe au moins un élément y de E tel que x \ast y = y \ast x = e. Si y existe , il est appelé symétrique dex pour \ast.

Soient (E~,~\ast) un monoïde, x un élément de E symétrisable pour \ast. Le symétrique de x est noté \text{sym}(x) ou x^{-1}, et appelé aussi inverse de x. Lorsque la loi est notée +, le symétrique de x, s'il existe, est noté -x appelé opposé de x.

Soient (E~,~\ast) un monoïde, x , y \in E. Si x et y sont symétrisables pour \ast, alors x \ast y est symétrisable pour \ast et : (x \ast y)^{-1} = y^{-1} \ast x^{-1}


Distributivité

Soient E un ensemble, \ast et \diamond deux lci dans E.

1. On dit que \diamond est distributive à gauche (resp. à droite) sur \ast si et seulement si :
\forall (x,y,z)\in E^{3} , x \diamond (y\ast z) = (x\diamond y) \ast (x \diamond z) (resp. (y \ast z)\diamond x=(y\diamond x)\ast(z\diamond x))
2. On dira alors que \diamond est distributive sur \ast si et seulement si celle-ci est distributive à gauche et à droite sur \ast


Morphisme

Etant donné deux magmas (E,\ast) \, , \, (F,\diamond).
On appelle morphisme de magmas (ou : morphisme) de (E,\ast) dans (F,\diamond) toute application f : E \to F telle que : \forall (x,y)\in E \, , \, f(x\ast y)=f(x)\diamond f(y).

Un endomorphisme d'un magma (E,\ast) est un morphisme de magmas de (E,\ast) sur lui même.
Un isomorphisme de magma est un morphisme bijectif de magmas.
Un automorphisme de magma est un endomorphisme bijectif du même magma.

Exemple :
L'application \begin{array}{lrl} ln : & \left(\mathbb{R}_{+}*,\times) & \to   \left(\mathbb{R},+\right)\\     & x                               &\to  ln(x) \\ \end{array} est un isomorphisme.


Extension

Soit (E,\ast) un magma. On peut munir P(E) d'une lci, encore notée \ast définie par :
\forall A,B\in P(E) \, , \, A \ast B = \lbrace a \ast b ; (a,b) \in A \times B \rbrace , appelée extension à P(E) de la loi \ast de E.


Stabilité

Soit (E,\ast) un magma.
Une partie A de E est dite stable pour \ast si et seulement si A\ast A\subset A.


Loi induite

Si A est une partie stable de E pour \ast, la lci dans A définie par \begin{array}{ll}  A\times A & \to A \\  (x,y) & \to x\ast y \\ \end{array} est appelée lci induite sur A par \ast de E, et encore notée \ast.
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