Lois de composition interne
Définition d'une loi de composition interne
Une loi de composition interne (abrégé en : lci) ou par abus "loi" sur un ensemble

est une application de

dans

.
On la note souvent :
(On utilisera aussi les notations

,

,

,

, etc ...)
Exemples :
La multiplication et la soustraction sont des lci dans
La division n'est pas une lci dans
Pour tout ensemble

, la réunion est une lci dans
Magma
On appelle magma tout couple
)
où

est un ensemble et

une lci dans
Associativité
Une lci

dans un ensemble

est dite
associative (ou encore le magma
)
est
associatif) si et seulement si :
Exemples :
L'addition et la multiplication sont associatives dans

.
La composition sur

est associative.
La soustraction n'est pas associative sur

.
Notations :
Soient

un ensemble,

,

ou

une lci associative dans

,

,

. On notera :

(

est notée par juxtaposition)
Commutativité
Une lci

dans un ensemble

est dite
commutative (ou encore le magma
)
est
commutatif) si et seulement si :
Exemples :
1. La multplication dans

est commutative.
2. L'intersection dans
)
est commutative.
3. La soustraction dans

n'est pas commutative.
Soient
)
un magma,

.
Régularité
On dit que a est
régulier à gauche (resp.
à droite) pour

si et ssi :
\in E^{2} , a\ast x = a\ast y \Longrightarrow x=y)
(resp.

).
On dit que a est régulier sur

si a est
régulier à droite et à gauche.
Remarque :
On utilisera aussi le mot
simplifiable à la place de
régulier.
Exemples :
1. Tout élément de

est simplifiable pour l'addition.
2. 0 n'est pas simplifiable pour

dans
Tout élément de C est simplifiable pour l'addition.
Elément neutre
Soient
)
un magma,

.
On dit que

est
neutre à gauche (resp.
à droite) pour

si et ssi :

(resp.

).
On dira que

est neutre pour

si et seulement si celui-ci est
neutre à gauche et à droite pour

.
Exemples :
1. 0 est neutre pour l'addition dans

.
2. L'application identitée sur

est neutre pour

.
Si
)
est un magma admettant un neutre noté

, alors pour tout

de

:
Monoïde
On appelle
monoïde tout magma
)
tel que :
Symétrique
Soient
)
un magma admettant un neutre

.
Un élément

de

est dit
symétrisable pour

si et seulement si il existe au moins un élément

de

tel que

. Si

existe , il est appelé
symétrique de
pour

.
Soient
)
un monoïde,

un élément de E symétrisable pour

. Le symétrique de

est noté
)
ou

, et appelé aussi inverse de

. Lorsque la loi est notée

, le symétrique de

, s'il existe, est noté

appelé opposé de

.
Soient
)
un monoïde,

. Si

et

sont symétrisables pour

, alors

est symétrisable pour

et :
Distributivité
Soient E un ensemble,

et

deux lci dans

.
1. On dit que

est
distributive à gauche (resp.
à droite) sur

si et seulement si :
\in E^{3} , x \diamond (y\ast z) = (x\diamond y) \ast (x \diamond z))
(resp.
\diamond x=(y\diamond x)\ast(z\diamond x))
)
2. On dira alors que

est distributive sur

si et seulement si celle-ci est
distributive à gauche et à droite sur
Morphisme
Etant donné deux magmas
 \, , \, (F,\diamond))
.
On appelle
morphisme de magmas (ou : morphisme) de
)
dans
)
toute application

telle que :
\in E \, , \, f(x\ast y)=f(x)\diamond f(y))
.
Un
endomorphisme d'un magma )
est un morphisme de magmas de
)
sur lui même.
Un
isomorphisme de magma est un morphisme bijectif de magmas.
Un
automorphisme de magma est un endomorphisme bijectif du même magma.
Exemple :
L'application
 & \to \left(\mathbb{R},+\right)\\ & x &\to ln(x) \\ \end{array})
est un isomorphisme.
Extension
Soit
)
un magma. On peut munir
)
d'une lci, encore notée

définie par :
 \, , \, A \ast B = \lbrace a \ast b ; (a,b) \in A \times B \rbrace )
, appelée
extension à )
de la loi

de

.
Stabilité
Soit
)
un magma.
Une partie

de

est dite
stable pour

si et seulement si

.
Loi induite
Si

est une partie stable de

pour

, la lci dans

définie par
 & \to x\ast y \\ \end{array})
est appelée
lci induite sur

par

de

, et encore notée

.