Calcul matriciel : Exercices
Dans l'ensemble de cette fiche,
est un entier naturel non nul sauf mention contraire.
exercice 1
Dire si les matrices suivantes sont inversibles et donner leurs inverses.
1.
2.
exercice 2
Résoudre dans
l'équation matricielle suivante :
exercice 3
Soit
1. Calculer
. Montrer que A est inversible et calculer son inverse
2. Soit
Déterminer le reste de la division euclidienne de
par
et en déduire
.
exercice 4
Déterminer une CNS pour que le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique.
exercice 5
Montrer que
, avec
le sous espace des matrices symétriques et
celui des matrices antisymétriques.
exercice 6
Soit
. Pour
On pose
, avec
appelé symbole de Kronecker.
1. Dans le cas particulier de
, calculer
pour
puis pour
.
2. Pour tout
, comparer
et
.
3. Calculer
puis montrer que
est un sous-groupe de
.
4. E et
sont-ils isomorphes?
5.Montrer que:
exercice 7
Soit
telle que
avec
tels que
et soit:
Montrer que Im(f) est l'ensemble des matrices à diagonale nulle.
exercice 8
Soit
une matrice de
où
pour tout
de
et soit
exprimé par la matrice
dans la base canonique de
1.Exprimer
pour tout polynôme
de degré inférieur ou égal à
2. Calculer
puis
exercice 9
Calculer le rang en fonction des réels a,b,c et d des matrices suivantes:
1.
2.
3.
exercice 10
Soit
. Quel est le rang de M ?
exercice 11
Soient
,
de rang
.
Montrer qu'il existe
et
telles que
.
exercice 12
Montrer que toute matrice triangulaire supérieure de
est semblable à une matrice triangulaire inférieure.
exercice 1
1. La matrice est inversible car son déterminant est
non nul.
Calcul de l'inverse:
Resultat:
2. La matrice est inversible car son déterminant est 1 non nul.
Calcul de l'inverse:
Resultat:
exercice 2
On pose
, donc :
D'autre part:
Donc, l'ensemble des solutions est:
exercice 3
1.
Donc:
Ainsi:
D'où:
2. En notant
le polynome quotient, il existe a, b réels tels que:
Les deux racines de
sont 1 et 2, donc en évaluant successivement ces deux racines, on obtient:
La résolution de ce système donne alors
Or, on sait que
d'où:
exercice 4
Soit
On a:
CNS:
exercice 5
Soit
Alors:
Ainsi
et donc
On en déduit que:
Soit
La matrice
peut s'écrire:
Notons:
On a:
Donc:
On en déduit que:
De
et
:
.
exercice 6
1.
Pour
On écrit matriciellement:
On a donc:
Ceci nous permet de calculer:
On en déduit:
Pour
De la même manière, on écrit matriciellement:
On a donc:
On trouve:
2. Notons
la base canonique de
et notons
l'endomorphisme canoniquement associé à
.
On a donc:
Soient
, on a:
On conclut alors que:
3. On a:
Donc:
L'ensemble
est non vide puisqu'il contient la matrice identité.
On a montré dans la question
2. que
est stable par composition.
De plus:
Ce qui veut dire que:
Ainsi:
4. On considère l'application:
Cette application étant clairement un morphisme de groupe surjective, montrons qu'elle est injective:
est donc un isomorphisme, et:
5. Soit
, on a donc:
Conclusion:
exercice 7
Soit
On a:
Posons
, on a donc:
Donc:
Ainsi:
Soit
On a:
Donc:
Donc, d'après le théorème du rang:
Il s'ensuit que:
De
et
:
exercice 8
1. Pour
appartenant à
, on a:
Donc par linéarité:
2. Soit
un entier naturel, on a:
Donc:
De même on montre que:
exercice 9
1.
Si
, alors
Si
, alors
2.
Deux cas se présentent:
Ce qui donne:
Si
Si
Si
ou
:
Si
et
:
3.
On distingue trois cas :
Cas 1 :
et
sont deux à deux distincts
Cas 2 : si
( ou
ou encore
)
Cas 3 : si
Il est clair que dans ce cas:
exercice 10
Soit
.
Alors
donc
(si la caractéristique de
n'est pas 2 bien sur)
En considérant une base orthonormée de
adaptée à
, on peut écrire:
Avec
et
une matrice antisymétrique de la forme
telle que
une matrice antisymétrique inversible.
Puisque
, alors:
D'autre part,
étant d'ordre
, donc:
On en déduit que:
exercice 11
Notons:
On a ainsi:
Soit
la base de
, et soient
et
, on a alors:
exercice 12
Soit
une matrice triangulaire supérieure et
l'endomorphisme de
de matrice
dans la base canonique
de
.
Soit
, alors:
Soient alors
la matrice de passage de
à
puis
la matrice de
dans la base
, il est clair que
est triangulaire inférieure.
Les formules de changement de bases permettent d'affirmer que:
Donc: