Fiche de mathématiques

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Les Séries Entières : Étude complète

Prérequis : Suites et séries de fonctions.

I. Définitions

$\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$ .
Étant donné une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de nombres complexes, on lui associe la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n$ où : $\begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{K} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & a_n z^n \end{array}$
$\displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n$ est dite la série entière associée à $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dont elle est appelée la suite des coefficients.
$\displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n$ est dite série entière de la variable réelle si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , et de la variable complexe si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ .

Une série entière de coefficients $(a_n)$ se note généralement : $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ ou $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ .

II. Convergence d'une série entière

1. Rayon de convergence

Lemme d'Abel :

Soit $\displaystyle \sum a_nz ^n$ une série entière et $r > 0$ tq $(a_n r^n)_n$ est bornée.
Alors, pour tout $z \in \mathbb{K}$ on a : $|z| < r$ entraîne $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ converge absolument.

Théorème - Définition :

Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière. Alors il existe un unique nombre noté $R$ avec $R \in [0 , +\infty[ \cup \lbrace +\infty \rbrace$ tq :
$\forall z \in \mathbb{K} \, : \, \left \lbrace \begin{array}{llll} |z| < R & \Longrightarrow & \displaystyle \sum a_n z^n & \text{ converge absolument } \\ |z| > R & \Longrightarrow & \displaystyle \sum a_n z^n & \text{ diverge} \\ \end{array} \right.$
$R$ s'appelle le rayon de convergence de $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ .

Exemple :
$\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n}{n^2+1} z^n$ :
Pour $|z| < 1 \, : \, \left|\displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n \right| = \displaystyle \frac{n}{n^2+1} |z|^n =o \left(\frac{1}{n^2}\right)$ ; $\sum \displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n$ converge absolument.
Pour $|z| > 1 \, : \, \left|\displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n \right| = \displaystyle \frac{n}{n^2+1} |z|^n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$ ; $\sum \displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n$ diverge.
Donc $\boxed{R = 1}.$

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ . Alors :
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace r \in \mathbb{R}_+ / (a_n r^n) \text{ bornée } \rbrace$ .
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } \sum a_n z^n \text{ converge absolument } \rbrace$ .
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } \sum a_nz^n \text{ converge } \rbrace$ .
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } a_nz^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \rbrace$ .
$R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } (a_n z^n) \text{ converge } \rbrace$ .

Notation et vocabulaire :
Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ . Alors $D(0 , R) = \lbrace z \in \mathbb{K} / |z| < R \rbrace$ est appelé le disque de convergence de $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ .
En particulier, si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , $D(0,R) = ]-R , R[$ ; on l'appelle l'intervalle de convergence.

Remarques :
1) Si $f$ est la somme de la série entière $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ , alors : $D(0 , R) \subset D_f \subset \overline{D(0 , R)}$ .
2) Si $\forall z \in \mathbb{K}$ :
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ converge $\Longleftrightarrow$ $\displaystyle \sum_{n \geq 0 } b_n z^n$ converge.
Ou :
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ convergence absolument $\Longleftrightarrow$ $\displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n$ converge absolument.
Alors : $R_{cv} \left(\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n \right) = R_{cv} \left( \displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n \right)$

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ et $\displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n$ deux séries entières de rayon de convergence $R_a \text{ et } R_b$ respectivement.
Si $a_n \sim b_n$ , alors : $R_a = R_b$ .

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ et $\displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n$ deux séries entières de rayon de convergence $R_a \text{ et } R_b$ respectivement.
S'il existe $n_o \in \mathbb{N}$ tq : $\forall n \geq n_o \, : \, |a_n| \leq |b_n|$ , alors : $R_b \leq R_a$ .

Proposition :

Soit $f$ une fonction rationnelle n'ayant pas de pôles entiers. Alors le rayon de convergence de $\displaystyle \sum_{n\geq 0} f(n)z^n$ est égal à 1.

Remarque :
L'utilisation de la règle de D'Alembert est pratique surtout pour les séries entières dites lacunaires :
C'est-à-dire les séries de la forme $\displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^{\psi (n)}$ tq $\psi$ une extractrice et : $\displaystyle \sum_{n\geq 0} b_n z^{\psi (n)} = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ avec $\left \lbrace \begin{array}{l} a_{\psi(n)} = b \\ a_k = 0 \text{ si } k \not \in \psi(\mathbb{N})} \end{array} \right .$

Exemple :
$\displaystyle \sum n \frac{a^n}{2^n} z^{3n}$ avec $a \in \mathbb{K}^*$ :
Pour $z \neq 0$ , on pose : $b_n(z) = \displaystyle \frac{na^n}{2^n} z^{3n}$ .
$\forall n \geq 1 \, : \, \left| \displaystyle \frac{b_{n+1}(z)}{b_n(z)} \right| = \left| \displaystyle \frac{n+1}{n} \frac{a}{2} z^3 \right| = \displaystyle \frac{n+1}{n} \frac{|a|}{2} |z|^3 \xrightarrow[n\to+\infty]{} \displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3$ .

Si $\displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3 < 1$ (ie $|z| < \left(\displaystyle \frac{2}{|a|} \right)^{\frac{1}{3}}$ ) : donc $\displaystyle \sum n \displaystyle \frac{a^n}{2^n} z^{3n}$ converge absolument.
Si $\displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3 > 1$ (ie $|z| > \left(\displaystyle \frac{2}{|a|}\right)^{\frac{1}{3}}$ ) : alors $\displaystyle \sum n\frac{a^n}{2^n} z^{3n}$ diverge.
On déduit que $R = \left(\displaystyle \frac{2}{|a|}\right)^{\frac{1}{3}}$

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ une série entière, soit $R$ (resp. $R_1$ resp. $R_2$ ) le rayon de convergence de $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ (resp. $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{2n} z^{2n}$ et $\displasystyle \sum_{n \geq 0} a_{2n+1} z^{2n+1}$ ). Alors $R = \min(R_1 ,R_2)$ .
De plus : $\forall z \in \mathbb{K} \, , \, |z| < R \, : \, \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{n} z^{n} = \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{2n} z^{2n} + \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{2n+1} z^{2n+1}$ .

Exemple : $\displaystyle \sum_{n\geq 1} a_n z^n$ avec : $a_n = n^{(-1)^n}$ :
$\displaystyle \sum a_{2n}z^{2n} = \displaystyle \sum 2n z^{2n}$ , donc $R_1 = 1$ .
$\displaystyle \sum a_{2n+1}z^{2n+1} = \displaystyle \sum \frac{1}{2n+1}z^{2n}$ , donc $R_2 = 1$ .
On en déduit que $\boxed{R = 1}$ .

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ , soit $f$ une fonction rationnelle n'ayant pas de pôles dans $\mathbb{N}$ .
Alors le rayon de convergence de $\displaystyle \sum f(n) a_n z^n$ est égal à $R$ .

2. Convergence ponctuelle

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ .
Alors $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ converge normalement sur tout compact inclus dans $D(0 , R)$

Remarque :
Il se peut qu'une série entière de rayon de convergence positif ne converge pas normalement sur le disque $D(0 , R)$ .

Corollaire :

La somme d'une série entière de rayon de convergence positif est continue sur le disque $D(0 , R)$ .

III. Opérations sur les séries entières

Soit $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ , $\displaystyle \sum_{n \geq 0 } b_n z^n$ deux séries entières de rayons de convergence $R_a$ et $R_b$ respectivement.
Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ .
On pose : $S_n = a_n + b_n$ , $t_n = \lambda a_n$ et $c_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ .
On note $R_S \, , \, R_t$ et $R_c$ les rayons de convergence respectivement des séries entières : $\displaystyle \sum S_n z^n$ , $\displaystyle \sum t_n z^n$ et $\displaystyle \sum c_n z^n$ .

i)
$R_S \geq \min(R_a,R_b)$ .
$\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| \leq \min(R_a , R_b) \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(a_n + b_n)z^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n$ .

ii)
$R_t = \left \lbrace \begin{array}{l} +\infty \text{ si } \lambda = 0 \\ R_a \text{ si } \lambda \neq 0 \\ \end{array} \right .$
$\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| < R_a \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda a_n z^n = \lambda \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ .

iii)
$R_c \geq \min(R_a,R_b)$ .
$\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| \leq \min(R_a,R_b) \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)z^n = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n \right)$ .

IV. Propriétés de la somme d'une série entière de la variable réelle

Ici, $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n$ est une série entière de la variable réelle dont le rayon de convergence $R$ est supposé positif et dont la somme est noté $f$ .
$f$ est définie sur au moins $]-R , R[$ , on rappelle que $f$ est continue sur cet intervalle.

Théorème :

La série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$ est de rayon de convergence $R$

De plus, on a : $\forall x \in ]-R,R[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \int_0^{x} f(t) \text{d}t$ .

Remarque :
Soit $p , q \in ]-R , R[ \, : \, \displaystyle \int_{p}^q f(t) \text{d}t = \displaystyle \int_{0}^q f(t) \text{d}t - \displaystyle \int_{0}^p f(t) \text{d}t$ .
$\displaystyle \int_{p}^q f(t) \text{d}t = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{q^{n+1}}{n+1} - \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{p^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{q^{n+1}-p^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \int_{p}^q a_n t^n \text{d}t$ .
Autrement dit : $\displaystyle \int_p^q \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n \right) \text{d}t = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \int_p^q a_n t^n \text{d}t\right)$ .
On dit qu'une série entière s'intègre terme à terme entre deux points quelconques de son intervalle de convergence .

Théorème :

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , la série entière $\displaystyle \sum_{n \geq k} a_n \displaystyle \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}$ a pour rayon de convergence $R$ .
$f$ est de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ sur $]-R , R[$ et on a : $\forall k \in \mathbb{N} \, , \, \forall x \in ]-R , R[$ : $f^{(k)} (x) = \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}$ .

Exemple :
Soit $f(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)}$ .
On a : $R = 1$ ; $f$ est donc définie et continue sur $]-1 , 1[$ .
$f(1)$ et $f(-1)$ existent, donc : $D_f = [-1 , 1]$ .
$\forall n \geq 2 \, , \, \forall x \in [-1,1] \, : \, \left| \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} \right| \leq \displaystyle \frac{1}{n(n-1)} = \alpha_n$ .
$\displaystyle \sum \alpha_n$ converge, donc $f$ est somme uniforme sur $[-1 , 1]$ d'une série de fonctions continue sur $[-1 , 1]$ , alors $f$ est continue sur $[-1,1]$ .
$f$ est de classe $\mathfrak{C}^\infty$ sur $]-1,1[$ :
$f'(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-1}}{n-1}$ et $f''(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} x^{n-2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle \frac{1}{1-x}$ .
$f'(x) = \displaystyle \int_{0}^x f''(t) \text{d}t$ (car $f'(0) = 0$ ).
Donc : $f'(x) = \displaystyle \int_{0}^x f''(t) \text{d}t = \displaystyle \int_{0}^x \displaystyle \frac{\text{d}t}{1-t} = -\ln(1-x)$ .
et puisque $f(0) = 0$ ,
$f(x) = \displaystyle \int_{0}^x f'(t) \text{d}t = (1 - x) \ln(1 - x) + x \hspace{20pt} \forall x \in ]-1 , 1[$ .
Donc : $\boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} = (1 - x)\ln(1 - x) + x \hspace{20pt} \forall x \in ]-1 , 1[}$ .

Remarque :
On avait obtenu : $\forall x \in ]-1 , 1[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} = (1-x)\ln(1-x) + x$ .
Donc : $f(-1) = \displaystyle \lim_{n\to-1^+} f(x) = 2\ln 2 -1$ , on en déduit : $\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n(n-1)} = 2\ln2-1$ .
Essayons de démontrer ce résultat directement en étudiant la somme partielle de la série :
Soit $N > 1 \, :$
$\displaystyle \sum_{n=2}^{2N+1} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n(n-1)} \\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k(2k-1)} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{2k(2k+1)} \\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \left(\displaystyle \frac{1}{2k-1} - \displaystyle \frac{1}{2k}\right) - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \left(\displaystyle \frac{1}{2k} - \displaystyle \frac{1}{2k+1}\right)\\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k-1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}$
$= \displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}\\ = 2\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}\\ = 2 \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k} \right) + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}$
$= 2 \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{2N} \displaystyle \frac{1}{k}\right) - 2 \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k} - 2 + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N + 1} \\ = 2 \left(\gamma_{2N} +\ln (2N)\right) - 2 \left(\gamma_N + \ln N\right) - 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} \\ = 2 \gamma_{2N} - 2\gamma_{N} + 2\ln 2 - 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 2\ln2-1$
On conclut que la méthode des séries entières est plus performante que la méthode directe.

Rappel : La constante d'Euler
On pose : $\gamma_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n - \ln(n)$
Etudions la convergence de la suite $(\gamma_n)$ en introduisant la série téléscopique $\displaystyle \sum U_n$ tq :
$U_n = \gamma_n-\gamma_{n+1} \\ = - \displaystyle \frac{1}{1+n} + \ln(n+1)-\ln(n) \\ = - \displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \\ = - \displaystyle \frac{1}{n} \left(1 - \displaystyle \frac{1}{n} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n} \right) \right) + \left(\displaystyle \frac{1}{n} - \displaystyle \frac{1}{2n^2} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n^2}\right)\right) \\ = \displaystyle \frac{1}{2n^2} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n^2}\right)$
Donc : $\displaystyle U_n \mathop{\sim}\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$ .
La suite étant réelle, $U_n \geq 0$ à partir d'un certain rang $n_o$ ( $\displaystyle \sum U_n$ est à terme positif à partir du rang $n_o$ ) .
Donc : $\displaystyle \sum_{n\geq n_o} U_n$ converge, alors : $\displaystyle \sum_{n\geq 1 } U_n$ converge.
On en déduit que : $(\gamma_n)$ converge.

Définition :

La limite de la suite $\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{k} - \ln(n) \right)_{n\geq 1}$ est appelée la constante d'Euler, on la note $\gamma$ .

Remarque :
On a : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{k} - \ln(n) - \gamma = o(1)$ , d'où : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln(n) +\gamma + o(1)$

V. Développement en série entière (DSE)

1. Généralités

$I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ tq $0 \in I^o$ .

Définition :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ et $r > 0$ tq : $]-r , r[ \subset I$ .
On dit que $f$ est développable en série entière (DSE) sur $]-r , r[$ ssi il existe une série entière $\displaystyle \sum a_n x^n$ de rayon de convergence $R \geq r$ tq : $\forall x \in ]-r , r[$ : $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ .
De manière plus générale si $x_0 \in I$ et si on dit que f est développable en série entière au voisinage de $x_0$ s'il existe $r > 0$ tel que $]x_0 - r , x_0 + r[ \subset I$ et une série entière $\displaystyle \sum a_n x^n$ de rayon de convergence $R \geq r$ tels que $\left(\forall x \in]x_0-r,x_0+r[ \right) \quad f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n$

Définition :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ , on dit que $f$ DSE au voisinage de $0$ ssi il existe $r > 0$ tq : $\left \lbrace \begin{array}{l} ]-r , r[ \subset I \\ f \text{ est DSE sur } ]-r,r[ \\ \end{array}$
On note : $f \in DSE(0)$ .

Exemples :
$a \in \mathbb{C} \, , \, f : x \longrightarrow e^x$
La fonction $f$ est DSE sur $\mathbb{R}$ avec : $\boxed{e^{ax} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a^n}{n!} x^n }$ .
$\begin{array}{rccl} f : & ]-\infty , 1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{1-x} \\ \end{array}$
La fonction $f$ est DSE sur $]-1 , 1[$ avec : $\boxed{\displaystyle \frac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n}$ .
Soit $a \in \mathbb{K} \backslash \lbrace 0 \rbrace$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac{1}{a-x}$ :
$f$ est définie sur $]-|a| , |a|[$ .
Sur cet intervalle, $f$ est DSE.
En effet, $f(x) = \displaystyle \frac{1}{a} \left( \displaystyle \frac{1}{1 - \displaystyle \frac{x}{a}} \right)$
Or : $\left| \displaystyle \frac{x}{a} \right| = \displaystyle \frac{|x|}{|a|} < 1$
D'où : $f(x) = \displaystyle \frac{1}{a} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{x}{a} \right)^n$ , donc : $\boxed{\displaystyle \frac{1}{a-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{a^{n+1}}}$ .
Soit $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}$ polynômiale de degré $p$ :
Alors : $f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_px^p$ avec $a_i \in\mathbb{C} \, \forall i \in \lbrace 1,\cdots, p \rbrace$ et $a_p \neq 0$ .
En posant $a_n = 0 \, \forall n > p$ .
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n$ converge pour tout $x \in \mathbb{R}$ de somme $f(x)$ .
Toute fonction polynômiale est DSE sur $\mathbb{R}$ et elle est son propre développement.

Théorème :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ DSE sur $]-r , r[ \subset I$ avec $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ . Alors :
$f$ est de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ sur $]-r , r[$ .
$\forall n \in \mathbb{N} \, : \, a_n = \displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ .

Exemple :
$\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \left \lbrace \begin{array}{l} \displaystyle \frac{e^x-1}{x} \text{ si } x \neq 0 \\ 1 \text{ si } x = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Soit $x \in \mathbb{R}$ ; on a : $e^x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!}$
D'où : $e^x - 1 = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!}$ .
Si $x \neq 0 \, : \, \displaystyle \frac{e^x-1}{x} = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{n-1}}{n!} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{n}}{(n+1)!}$
C'est-à-dire : $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{(n+1)^!}$ .
Et cela reste vrai pour $x = 0$ ; donc $\forall x \in \mathbb{R} \, : \, f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{(n+1)^!}$ .
On conclut que $f$ est DSE sur $\mathbb{R}$ donc $\mathfrak{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ .

Corollaire :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ et $r > 0$ tq : $]-r , r[ \subset I$ .
Si $f$ est DSE sur $]-r , r[$ avec $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ . Alors $(a_n)_n$ est unique.

Exemple :
Soit $\begin{array}{rccl} f: & ]-1,1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{(1-x^2)(1+x)} \\ \end{array}$
Méthode 1 :
Pour $|x| < 1 \, : \, \displaystyle \frac{1}{1-x^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n}$ et $\displaystyle \frac{1}{1+x} =\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n$ .
D'où, pour $|x| < 1 \, : \, f(x) = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n}\right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right)$ $= \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^{n}\right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right)$ avec : $\left \lbrace \begin{array}{l} a_{2n} = 1 \\ a_{2n+1} = 0 \\ \end{array} \right.$
D'où : $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k (-1)^{n-k} \right) x^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{E(\frac{n}{2})} a_{2k} (-1)^{n-2k} \right) x^n$ , pour $|x| < 1$
Donc la méthode 1) nous fournit : $\boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \left(E \left(\displaystyle \frac{n}{2} \right) + 1 \right) x^n}$ pour $|x| < 1$ .

Méthode 2 :
On a : $f(x) = \displaystyle \frac{1}{(1-x)(1+x)^2}$ et pour $|x| < 1$ : $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n$ .
Or, $\displaystyle \frac{1}{(1+x)^2} = \left(\frac{-1}{x+1}\right)' = -\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right)' = -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} n x^{n-1} =\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} n x^{n-1}$ .
On obtient : $\displaystyle \frac{1}{(1+x)^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (n+1) x^{n}$ .
$f(x) = \left( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}x^n \right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (n+1) x^{n} \right)$
Donc la méthode 2) nous fournit : $\boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{n} (-1)^{k} (k+1) \right) x^{n}}$ .

Méthode 3 :
Décomposons $f$ en fractions rationnelles : $f(x) = \displaystyle \frac{a}{1-x} + \displaystyle \frac{b}{1+x} + \displaystyle \frac{c}{(1+x)^2}$
On obtient par calcul : $a = \displaystyle \frac{1}{4} \, , \, c = \displaystyle \frac{1}{2} \text{ et } b = \displaystyle \frac{1}{4}$ $\left(f(0) = 1 = a + b + c \right)$
$f(x) = \displaystyle \frac{1}{4(1-x)} + \displaystyle \frac{1}{4(1+x)} + \displaystyle \frac{1}{2(1+x)^2} \\ = \frac{1}{4} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n + \displaystyle \frac{1}{4} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n + \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n (n+1)x^n \\ = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n+2(-1)^n(n+1)}{4} x^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4} x^n$ .
La méthode nous fournit : $\boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4} x^n}$
Par unicité du DSE sur $]-1 , 1[$ , on a : $\boxed{(-1)^n \left(E \left(\displaystyle \frac{n}{2} \right) + 1\right) = \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1) = \displaystyle \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4}}$

Définiton :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ .
La série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} \displaystyle \frac{f^{(n)} (0) }{n!} x^n$ est appelée la série de Taylor de $f$ .

2. Techniques de calcul de DSE au voisinage de 0

Il existe plusieurs méthodes de calcul d'un DSE d'une fonction, nous citerons ici les plus utilisées, mais cela ne veut pas dire qu'elles sont les seules, on peut très bien avoir affaire à d'autres méthodes.

Notations et vocabulaire :
Si $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ (avec $|x| < r$ ) est un DSE sur $]-r , r[$ alors le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n$ est appelé le rayon de convergence du DSE de $f$ .
Le plus grand intervalle ouvert $]-r , r[$ sur lequel ce développement est valable s'appelle le domaine de validité du DSE de $f$ , on le note $D_v$ .

Remarque :
$D_v \neq D_f$ en général. (Avec $D_v$ est le domaine de validité d'un DSE de $f$ ).

Contre exemple :
$\begin{array}{rccl} f: & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \\ \end{array}$ on a : $D_v = ]-1 , 1[$ et $D_f = \mathbb{R}$ .

Technique 1 : Utilisation des opérations sur les séries entières

Supposons : $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ , $|x| < r_1$ et $g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n$ , $|x| \leq r_2$
En posant $r = \min(r_1,r_2)$ , on a :
$\forall \lambda, \eta \in \mathbb{C}$ : $\lambda f(x) + \eta g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\lambda a_n + \eta b_n \right) x^n$ ; $R \geq r$ pour $|x| < r$ .
$f \times g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} \right) x^n$ ; $R \geq r$ pour $|x| < r$ .
Donc toute combinaison linéaire (resp. produit) de deux fonctions DSE(0) est une fonction DSE(0).

Exemples :
$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, x \longrightarrow ch(x) \text{ et } x \longrightarrow sh(x)$ :
On a : $\forall x \in \mathbb{R} \, : \, ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$
De plus : $e^x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!}$ donc : $e^{-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n!} x^n$
Alors : $ch x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n}{2} \frac{x^n}{n!} \, \, \forall x \in \mathbb{R}$
Donc : $\boxed{ch x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}$
De même : $\boxed{sh x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}$
$\forall x \in \mathbb{R} \, , \, x \longrightarrow \cos x \text{ et } x \longrightarrow \sin x$ :
On a : $\forall x \in \mathbb{R} \, \, \cos(x) = \displaystyle \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ :
On a : $e^{ix} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{i^n x^n}{n!}$ et $e^{-ix} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-i)^n x^n}{n!}$
Alors : $\cos(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{i^n +(-i)^n}{2} \displaystyle \frac{x^n}{n!} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}i^{2n} \displaystyle \frac{x^{2n}}{2n!}$ .
On conclut : $\boxed{\cos(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}$
De même : $\boxed{ \sin(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}$

Technique 2 : Méthode de la dérivation et intégration

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ dérivable tq $f'$ admet un DSE sur $]-r , r[ \subset I$ donné par : $f'(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ .
Alors : $\displaystyle \int_{0}^x f'(t)dt = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} \, , \, \forall x \in ]-r , r[$ .
D'où, $\forall x \in ]-r , r[ \, : \, f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ .

Exemples :
$\begin{array}{rccl} f : & ]-1 , +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \ln(1+x) \\ \end{array}$
$f$ est dérivable et $f'(x) = \displaystyle \frac{1}{1+x} \, \forall x \in ]-1 , +\infty[$ .
Or $\displaystyle \frac{1}{1+x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n$ pour tout $x$ tq : $|x| < 1$ .
D'où : $f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}$ avec $|x| < 1$ .
C'est-à-dire : $\boxed{\ln(1+x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \, , \, |x| < 1}$ .
$\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \arctan(x)\\ \end{array}$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = \displaystyle \frac{1}{1+x^2}$ .
On a : $\displaystyle \frac{1}{1+x^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}$ avec $|x| < 1$ .
D'où : $f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$
Donc : $\boxed{\arctan(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \, , \, |x| < 1}$ .

Technique 3 : Utilisation d'une équation differentielle linéaire

On considère l'équation différentielle linéaire d'ordre $n$ :
$(E) : y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} +\cdots + a_0(x) y = b(x)$ où : $a_0,\cdots , a_n , b \in\mathfrak{C}^o(I,\mathbb{C})$ .
Etant donné $n_0 \in I$ et $c_0 , \cdots , c_{n-1} \in \mathbb{C}$ , on admet qu'il existe une unique solution $\psi$ de $(E)$ sur $I$ tq :
$\left. \begin{array}{rcl} \psi(x_0) & = & c_0 \\ \psi '(x_0) & = & c_1\\ \vdots & & \\ \psi^{(n-1)}(x_0) & = & c_{n-1} \\ \end{array} \right \rbrace$

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{C}$ de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ .
Si on détermine toutes les solutions de $(E)$ , DSE(0) et si l'une d'elle, $\psi$ , vérifie :
$\left. \begin{array}{rcl} \psi(0) & = & f(0) \\ \psi '(0) & = & f'(0) \\ \vdots & & \\ \psi^{(n-1)}(0) & = & f^{(n-1)}(0) \\ \end{array} \right \rbrace$

Alors $f = \psi$ , d'où $f$ est DSE(0).
Dans la pratique, on se contentera du cas où les fonctions $a_0 , \cdots , a_{n-1}, b$ sont rationnelles.

Exemple :
$\begin{array}{rccl} f : & ]-1 , +\infty[ & \longrightarrow& \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & (1+x)^a \\ \end{array} (a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{Z} )$
$f$ est dérivable et $f'(x) = a(1 + x)^{a - 1}$ .
$(1 + x)f'(x) = a(1 + x)^a = af(x)$
$f$ est donc solution sur $]-1 , +\infty[$ de l'équation différentielle $(e) : (1+x)y' - ay = 0 \Longleftrightarrow y' - \displaystyle \frac{a}{x+1} y = 0$ .
Soit $r \in ]0 , 1]$ , soit $\psi : ]-r , r[ \longrightarrow \mathbb{C}$ de classe $\mathfrak{C}^{\infty}$ et DSE sur $]-r , r[$ .
Posons : $\psi(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n}$ avec $|x| < r$ .
$\psi '(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_nx^{n-1}$ .
On a :
$\psi$ est solution de $(e)$ sur $]-r , r[$ $\Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, (1 + x) \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} - a \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0$
$\Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^{n-1} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^n - a \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 \\ \Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)a_{n+1} x^n + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^n - a\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 \\ \Longleftrightarrow \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left[(n + 1) a_{n+1} - (a - n)a_n \right] x^n = 0$ .
Par unicité du DSE sur $]-r , r[$ de la fonction nulle.
$\psi$ est solution de $(e)$ sur $]-r , r[ \, \Longleftrightarrow \, \forall n \in \mathbb{N} \, : \, a_{n+1} = \displaystyle \frac{a-n}{n+1} a_n \, \, (*)$

Remarque :
Formellement : $\left| \displaystyle \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| = \displaystyle \frac{|a-n|}{n+1}|x| \longrightarrow_{n\to \infty} |x|$ . On pouvait donc prendre $r = 1$ .
$(*) \, \Longleftrightarrow \, \forall n \in \mathbb{N}^* \, : \, a_n = \displaystyle \frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!} a_0 = {{a}\choose {n}} a_0$
$\psi$ est solution de $(e)$ sur $]-r , r[ \, \Longleftrightarrow \, \forall x\in]-r , r[ \, : \, \psi(x) = a_0 \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {a\choose n} x^n$
Or, $\psi(0) = f(0) \, \Longleftrightarrow \, a_0 = 1$ .
On a donc trouvé le DSE de $f$ sur $]-r , r[$ et qui est : $\boxed{(1+x)^a = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {a\choose n} x^n}$

Publié par Panter le 02-01-2020

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