Fiche de mathématiques
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Les Séries Entières : Étude complète

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Prérequis : Suites et séries de fonctions.



I. Définitions

\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}.
Étant donné une suite (a_n)_{n \in \mathbb{N}} de nombres complexes, on lui associe la série de fonctions \displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n où : \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{K} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\  & z & \mapsto & a_n z^n \end{array}
\displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n est dite la série entière associée à (a_n)_{n \in \mathbb{N}} dont elle est appelée la suite des coefficients.
\displaystyle \sum_{n \geq 0} f_n est dite série entière de la variable réelle si \mathbb{K} = \mathbb{R}, et de la variable complexe si \mathbb{K} = \mathbb{C}.

Une série entière de coefficients (a_n) se note généralement : \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n ou \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n x^n.


II. Convergence d'une série entière

1. Rayon de convergence

Lemme d'Abel :
Soit \displaystyle \sum a_nz ^n une série entière et r > 0 tq (a_n r^n)_n est bornée.
Alors, pour tout z \in \mathbb{K} on a : |z| < r entraîne \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n converge absolument.

Théorème - Définition :
Soit \displaystyle \sum a_n z^n une série entière. Alors il existe un unique nombre noté R avec R \in [0 , +\infty[ \cup \lbrace +\infty \rbrace tq :
\forall z \in \mathbb{K} \, : \, \left \lbrace \begin{array}{llll} |z| < R & \Longrightarrow & \displaystyle \sum a_n z^n & \text{ converge absolument } \\ |z| > R & \Longrightarrow & \displaystyle \sum a_n z^n & \text{ diverge} \\ \end{array} \right.
R s'appelle le rayon de convergence de \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n.


Exemple :
\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n}{n^2+1} z^n :
Pour |z| < 1 \, : \, \left|\displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n \right| = \displaystyle \frac{n}{n^2+1} |z|^n =o \left(\frac{1}{n^2}\right) ; \sum \displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n converge absolument.
Pour |z| > 1 \, : \, \left|\displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n \right| = \displaystyle \frac{n}{n^2+1} |z|^n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty ; \sum \displaystyle \frac{n}{n^2+1} z^n diverge.
Donc \boxed{R = 1}.

Proposition :
Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n une série entière de rayon de convergence R. Alors :
R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace r \in \mathbb{R}_+ / (a_n r^n) \text{ bornée } \rbrace .
R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace  |z| / z \in \mathbb{K} \text{ et } \sum a_n z^n \text{ converge absolument } \rbrace .
R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace  |z|  / z \in \mathbb{K} \text{ et } \sum a_nz^n \text{ converge } \rbrace.
R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace  |z|  / z \in \mathbb{K} \text{ et } a_nz^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \rbrace.
R = \sup_{\bar{\mathbb{R}}} \lbrace  |z|  / z \in \mathbb{K} \text{ et } (a_n z^n) \text{ converge } \rbrace .


Notation et vocabulaire :
Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n une série entière de rayon de convergence R. Alors D(0 , R) = \lbrace z \in \mathbb{K} / |z| < R \rbrace est appelé le disque de convergence de \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n.
En particulier, si \mathbb{K} = \mathbb{R}, D(0,R) = ]-R , R[ ; on l'appelle l'intervalle de convergence.

Remarques :
1) Si f est la somme de la série entière \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n, alors : D(0 , R) \subset D_f \subset \overline{D(0 , R)}.
2) Si \forall z \in \mathbb{K} :
\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n converge \Longleftrightarrow \displaystyle \sum_{n \geq 0 } b_n z^n converge.
Ou :
\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n convergence absolument \Longleftrightarrow \displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n converge absolument.
Alors : R_{cv} \left(\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n \right) = R_{cv} \left( \displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n \right)

Proposition :
Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n et \displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n deux séries entières de rayon de convergence R_a \text{ et } R_b respectivement.
Si a_n \sim b_n, alors : R_a = R_b.

Proposition :
Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n et \displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^n deux séries entières de rayon de convergence R_a \text{ et } R_b respectivement.
S'il existe n_o \in \mathbb{N} tq : \forall n \geq n_o \, : \, |a_n| \leq |b_n|, alors : R_b \leq R_a.

Proposition :
Soit f une fonction rationnelle n'ayant pas de pôles entiers. Alors le rayon de convergence de \displaystyle \sum_{n\geq 0} f(n)z^n est égal à 1.


Remarque :
L'utilisation de la règle de D'Alembert est pratique surtout pour les séries entières dites lacunaires :
C'est-à-dire les séries de la forme \displaystyle \sum_{n \geq 0} b_n z^{\psi (n)} tq \psi une extractrice et : \displaystyle \sum_{n\geq 0} b_n z^{\psi (n)} = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n avec \left \lbrace \begin{array}{l} a_{\psi(n)} = b \\ a_k = 0 \text{ si } k \not \in \psi(\mathbb{N})} \end{array} \right .

Exemple :
    \displaystyle \sum n \frac{a^n}{2^n} z^{3n} avec a \in \mathbb{K}^* :
Pour z \neq 0, on pose : b_n(z) = \displaystyle \frac{na^n}{2^n} z^{3n}.
\forall n \geq 1 \, : \, \left| \displaystyle \frac{b_{n+1}(z)}{b_n(z)} \right| = \left| \displaystyle \frac{n+1}{n} \frac{a}{2} z^3 \right| = \displaystyle \frac{n+1}{n} \frac{|a|}{2} |z|^3 \xrightarrow[n\to+\infty]{} \displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3.
      Si \displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3 < 1 (ie |z| < \left(\displaystyle \frac{2}{|a|} \right)^{\frac{1}{3}}) : donc \displaystyle \sum n \displaystyle \frac{a^n}{2^n} z^{3n} converge absolument.
      Si \displaystyle \frac{|a|}{2} |z|^3 > 1 (ie |z| > \left(\displaystyle \frac{2}{|a|}\right)^{\frac{1}{3}}) : alors \displaystyle \sum n\frac{a^n}{2^n} z^{3n} diverge.
On déduit que R = \left(\displaystyle \frac{2}{|a|}\right)^{\frac{1}{3}}
Proposition :
Soit \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n une série entière, soit R (resp. R_1 resp. R_2) le rayon de convergence de \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n(resp. \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{2n} z^{2n} et \displasystyle \sum_{n \geq 0} a_{2n+1} z^{2n+1}). Alors R = \min(R_1  ,R_2).
De plus : \forall z \in \mathbb{K} \, , \, |z| < R \, : \, \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{n} z^{n} = \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{2n} z^{2n} + \displaystyle \sum_{n= 0}^{+\infty} a_{2n+1} z^{2n+1}.


Exemple : \displaystyle \sum_{n\geq 1} a_n z^n avec : a_n = n^{(-1)^n} :
\displaystyle \sum a_{2n}z^{2n} = \displaystyle \sum 2n z^{2n}, donc R_1 = 1.
\displaystyle \sum a_{2n+1}z^{2n+1} = \displaystyle \sum \frac{1}{2n+1}z^{2n}, donc R_2 = 1.
On en déduit que \boxed{R = 1} .
Proposition :
Soit \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n une série entière de rayon de convergence R, soit f une fonction rationnelle n'ayant pas de pôles dans \mathbb{N}.
Alors le rayon de convergence de \displaystyle \sum f(n) a_n z^n est égal à R.



2. Convergence ponctuelle

Théorème :
Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n une série entière de rayon de convergence R > 0.
Alors \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n z^n converge normalement sur tout compact inclus dans D(0 , R)


Remarque :
Il se peut qu'une série entière de rayon de convergence positif ne converge pas normalement sur le disque D(0 , R) .
Corollaire :
La somme d'une série entière de rayon de convergence positif est continue sur le disque D(0 , R) .




III. Opérations sur les séries entières

Soit \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n z^n, \displaystyle \sum_{n \geq 0 } b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence R_a et R_b respectivement.
Soit \lambda \in \mathbb{C}.
On pose : S_n = a_n + b_n, t_n = \lambda a_n et c_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.
On note R_S \, , \, R_t et R_c les rayons de convergence respectivement des séries entières : \displaystyle \sum S_n z^n, \displaystyle \sum t_n z^n et \displaystyle \sum c_n z^n.

i)
R_S \geq \min(R_a,R_b).
\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| \leq \min(R_a , R_b) \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(a_n + b_n)z^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n +  \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n.

ii)
R_t = \left \lbrace \begin{array}{l} +\infty  \text{ si } \lambda = 0 \\ R_a \text{ si } \lambda \neq 0 \\ \end{array} \right .
\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| < R_a \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda a_n z^n = \lambda \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}  a_n z^n.

iii)
R_c \geq \min(R_a,R_b).
\forall z \in \mathbb{K} \, : \, |z| \leq \min(R_a,R_b) \, \Longrightarrow \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)z^n = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n \right).


IV. Propriétés de la somme d'une série entière de la variable réelle

Ici, \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n est une série entière de la variable réelle dont le rayon de convergence R est supposé positif et dont la somme est noté f.
f est définie sur au moins ]-R , R[, on rappelle que f est continue sur cet intervalle.
Théorème :
La série entière \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} est de rayon de convergence R


De plus, on a : \forall x \in ]-R,R[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \int_0^{x} f(t) \text{d}t.

Remarque :
Soit p , q \in ]-R , R[ \, : \, \displaystyle \int_{p}^q f(t) \text{d}t = \displaystyle \int_{0}^q f(t) \text{d}t - \displaystyle \int_{0}^p f(t) \text{d}t.
\displaystyle \int_{p}^q f(t) \text{d}t = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{q^{n+1}}{n+1} - \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{p^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{q^{n+1}-p^{n+1}}{n+1} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \int_{p}^q a_n t^n \text{d}t.
Autrement dit : \displaystyle \int_p^q \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n \right) \text{d}t = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \int_p^q a_n t^n \text{d}t\right).
On dit qu'une série entière s'intègre terme à terme entre deux points quelconques de son intervalle de convergence .
Théorème :
Pour tout k \in \mathbb{N}, la série entière \displaystyle \sum_{n \geq k} a_n \displaystyle \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} a pour rayon de convergence R.
f est de classe \mathfrak{C}^{\infty} sur ]-R , R[ et on a : \forall k \in \mathbb{N} \, , \, \forall x \in ]-R , R[ : f^{(k)} (x) = \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} a_n \displaystyle \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}.


Exemple :
Soit f(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)}.
On a : R = 1 ; f est donc définie et continue sur ]-1 , 1[.
f(1) et f(-1) existent, donc : D_f = [-1 , 1].
\forall n \geq 2 \, , \, \forall x \in [-1,1] \, : \, \left| \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} \right| \leq \displaystyle \frac{1}{n(n-1)} = \alpha_n.
\displaystyle \sum \alpha_n converge, donc f est somme uniforme sur [-1 , 1] d'une série de fonctions continue sur [-1 , 1], alors f est continue sur [-1,1].
f est de classe \mathfrak{C}^\infty sur ]-1,1[ :
f'(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-1}}{n-1}   et   f''(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} x^{n-2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle \frac{1}{1-x}.
f'(x) = \displaystyle \int_{0}^x f''(t) \text{d}t (car f'(0) = 0).
Donc : f'(x) = \displaystyle \int_{0}^x f''(t) \text{d}t = \displaystyle \int_{0}^x \displaystyle \frac{\text{d}t}{1-t} = -\ln(1-x).
et puisque f(0) = 0,
f(x) = \displaystyle \int_{0}^x f'(t) \text{d}t = (1 - x) \ln(1 - x) + x \hspace{20pt} \forall x \in ]-1 , 1[.
Donc : \boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} = (1 - x)\ln(1 - x) + x \hspace{20pt} \forall x \in ]-1 , 1[}.

Remarque :
On avait obtenu : \forall x \in ]-1 , 1[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n(n-1)} = (1-x)\ln(1-x) + x.
Donc : f(-1) = \displaystyle \lim_{n\to-1^+} f(x) = 2\ln 2 -1, on en déduit : \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n(n-1)} = 2\ln2-1.
Essayons de démontrer ce résultat directement en étudiant la somme partielle de la série :
Soit N > 1 \, :
\displaystyle \sum_{n=2}^{2N+1} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n(n-1)} \\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k(2k-1)} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{2k(2k+1)} \\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \left(\displaystyle \frac{1}{2k-1} - \displaystyle \frac{1}{2k}\right) - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \left(\displaystyle \frac{1}{2k} - \displaystyle \frac{1}{2k+1}\right)\\ = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k-1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}
= \displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}\\ = 2\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}\\ = 2 \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} \displaystyle \frac{1}{2k+1} + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{2k} \right) + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} - \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k}
= 2 \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{2N} \displaystyle \frac{1}{k}\right) - 2 \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{k} - 2 + 1 + \displaystyle \frac{1}{2N + 1} \\ = 2 \left(\gamma_{2N} +\ln (2N)\right) - 2 \left(\gamma_N + \ln N\right) - 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} \\ = 2 \gamma_{2N} - 2\gamma_{N} + 2\ln 2 - 1 + \displaystyle \frac{1}{2N+1} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 2\ln2-1
On conclut que la méthode des séries entières est plus performante que la méthode directe.

Rappel : La constante d'Euler
On pose : \gamma_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n - \ln(n)
Etudions la convergence de la suite (\gamma_n) en introduisant la série téléscopique \displaystyle \sum U_n tq :
U_n = \gamma_n-\gamma_{n+1} \\ = - \displaystyle \frac{1}{1+n} + \ln(n+1)-\ln(n) \\ = - \displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \\ = - \displaystyle \frac{1}{n} \left(1 - \displaystyle \frac{1}{n} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n} \right) \right) + \left(\displaystyle \frac{1}{n} - \displaystyle \frac{1}{2n^2} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n^2}\right)\right) \\ = \displaystyle \frac{1}{2n^2} + o \left(\displaystyle \frac{1}{n^2}\right)
Donc : \displaystyle U_n \mathop{\sim}\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}.
La suite étant réelle, U_n \geq 0 à partir d'un certain rang n_o (\displaystyle \sum U_n est à terme positif à partir du rang n_o) .
Donc : \displaystyle \sum_{n\geq n_o} U_n converge, alors : \displaystyle \sum_{n\geq 1 } U_n converge.
On en déduit que : (\gamma_n) converge.
Définition :
La limite de la suite \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{k} - \ln(n) \right)_{n\geq 1} est appelée la constante d'Euler, on la note \gamma.



Remarque :
On a :\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{k} - \ln(n) - \gamma = o(1), d'où : \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln(n) +\gamma + o(1)


V. Développement en série entière (DSE)

1. Généralités

I est un intervalle de \mathbb{R} tq 0 \in I^o.
Définition :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C} et r > 0 tq :]-r , r[ \subset I.
On dit que f est développable en série entière (DSE) sur ]-r , r[ ssi il existe une série entière \displaystyle \sum a_n x^n de rayon de convergence R \geq r tq : \forall x \in ]-r , r[ : f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n.
De manière plus générale si x_0 \in I et si on dit que f est développable en série entière au voisinage de x_0 s'il existe r > 0tel que ]x_0 - r , x_0 + r[ \subset I et une série entière \displaystyle \sum a_n x^n de rayon de convergence R \geq r tels que \left(\forall x \in]x_0-r,x_0+r[ \right) \quad f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n


Définition :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C}, on dit que f DSE au voisinage de 0 ssi il existe r > 0 tq : \left \lbrace \begin{array}{l} ]-r , r[ \subset I \\ f \text{ est DSE sur } ]-r,r[ \\ \end{array}
On note : f \in DSE(0).



Exemples :
a \in \mathbb{C} \, , \, f : x \longrightarrow e^x
La fonction f est DSE sur \mathbb{R} avec : \boxed{e^{ax} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a^n}{n!} x^n }.
\begin{array}{rccl} f : & ]-\infty , 1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\  & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{1-x} \\ \end{array}
La fonction f est DSE sur ]-1 , 1[ avec : \boxed{\displaystyle \frac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n}.
Soit  a \in \mathbb{K} \backslash \lbrace 0 \rbrace , f : x \mapsto \displaystyle \frac{1}{a-x} :
f est définie sur ]-|a| , |a|[.
Sur cet intervalle, f est DSE.
En effet, f(x) = \displaystyle \frac{1}{a} \left( \displaystyle  \frac{1}{1 - \displaystyle \frac{x}{a}} \right)
Or : \left| \displaystyle  \frac{x}{a} \right| = \displaystyle \frac{|x|}{|a|} < 1
D'où : f(x) = \displaystyle \frac{1}{a} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{x}{a} \right)^n, donc : \boxed{\displaystyle \frac{1}{a-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{a^{n+1}}}.
Soit f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} polynômiale de degré p :
Alors : f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_px^p avec a_i \in\mathbb{C} \, \forall i \in \lbrace 1,\cdots, p \rbrace et a_p \neq 0.
En posant a_n = 0 \, \forall n > p.
\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n converge pour tout x \in \mathbb{R} de somme f(x).
Toute fonction polynômiale est DSE sur \mathbb{R} et elle est son propre développement.
Théorème :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C} DSE sur ]-r , r[ \subset I avec f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n. Alors :
f est de classe \mathfrak{C}^{\infty} sur ]-r , r[.
\forall n \in \mathbb{N} \, : \, a_n = \displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}.



Exemple :
\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\  & x & \mapsto & \left \lbrace \begin{array}{l} \displaystyle \frac{e^x-1}{x} \text{ si } x \neq 0 \\ 1 \text{ si } x = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}
Soit x \in \mathbb{R} ; on a : e^x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!}
D'où : e^x - 1 = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!}.
Si x \neq 0 \, : \, \displaystyle \frac{e^x-1}{x} = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{n-1}}{n!} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{n}}{(n+1)!}
C'est-à-dire : f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{(n+1)^!}.
Et cela reste vrai pour x = 0; donc \forall x \in \mathbb{R} \, : \, f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{(n+1)^!}.
On conclut que f est DSE sur \mathbb{R} donc \mathfrak{C}^{\infty} sur \mathbb{R}.
Corollaire :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C} et r > 0 tq : ]-r , r[ \subset I.
Si f est DSE sur ]-r , r[ avec f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n. Alors (a_n)_n est unique.



Exemple :
Soit \begin{array}{rccl} f: & ]-1,1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\  & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{(1-x^2)(1+x)} \\ \end{array}
Méthode 1 :
Pour |x| < 1 \, : \, \displaystyle \frac{1}{1-x^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n}   et   \displaystyle \frac{1}{1+x} =\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n.
D'où, pour |x| < 1 \, : \, f(x) = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n}\right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right)  = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^{n}\right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right) avec : \left \lbrace \begin{array}{l} a_{2n} = 1 \\ a_{2n+1} = 0 \\ \end{array} \right.
D'où : f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k (-1)^{n-k} \right) x^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{E(\frac{n}{2})} a_{2k} (-1)^{n-2k} \right) x^n, pour |x| < 1
Donc la méthode 1) nous fournit : \boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \left(E \left(\displaystyle \frac{n}{2} \right) + 1 \right) x^n} pour |x| < 1.

Méthode 2 :
On a : f(x) = \displaystyle \frac{1}{(1-x)(1+x)^2} et pour |x| < 1 : \displaystyle \frac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n.
Or, \displaystyle \frac{1}{(1+x)^2} = \left(\frac{-1}{x+1}\right)' = -\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n \right)' = -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} n x^{n-1} =\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} n x^{n-1}.
On obtient : \displaystyle \frac{1}{(1+x)^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (n+1) x^{n}.
f(x) = \left( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}x^n \right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} (n+1) x^{n} \right)
Donc la méthode 2) nous fournit : \boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{n} (-1)^{k} (k+1) \right) x^{n}}.

Méthode 3 :
Décomposons f en fractions rationnelles : f(x) = \displaystyle \frac{a}{1-x} + \displaystyle \frac{b}{1+x} + \displaystyle \frac{c}{(1+x)^2}
On obtient par calcul : a = \displaystyle \frac{1}{4} \, , \, c = \displaystyle \frac{1}{2} \text{ et } b = \displaystyle \frac{1}{4} \left(f(0)  =  1  = a + b + c \right)
f(x) = \displaystyle \frac{1}{4(1-x)} + \displaystyle \frac{1}{4(1+x)} + \displaystyle \frac{1}{2(1+x)^2} \\ = \frac{1}{4} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^n + \displaystyle  \frac{1}{4} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n + \displaystyle  \frac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n (n+1)x^n \\ = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n+2(-1)^n(n+1)}{4} x^n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle  \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4} x^n.
La méthode nous fournit : \boxed{f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4} x^n}
Par unicité du DSE sur ]-1 , 1[ , on a : \boxed{(-1)^n \left(E \left(\displaystyle \frac{n}{2} \right) + 1\right) = \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1) = \displaystyle \frac{1+(-1)^n(2n+3)}{4}}
Définiton :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C} de classe \mathfrak{C}^{\infty}.
La série entière \displaystyle \sum_{n\geq 0} \displaystyle \frac{f^{(n)} (0) }{n!} x^n est appelée la série de Taylor de f.




2. Techniques de calcul de DSE au voisinage de 0

Il existe plusieurs méthodes de calcul d'un DSE d'une fonction, nous citerons ici les plus utilisées, mais cela ne veut pas dire qu'elles sont les seules, on peut très bien avoir affaire à d'autres méthodes.

Notations et vocabulaire :
Si f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n (avec |x| < r) est un DSE sur ]-r , r[ alors le rayon de convergence de la série entière \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n x^n est appelé le rayon de convergence du DSE de f.
Le plus grand intervalle ouvert ]-r , r[ sur lequel ce développement est valable s'appelle le domaine de validité du DSE de f, on le note D_v.

Remarque :
D_v \neq D_f en général. (Avec D_v est le domaine de validité d'un DSE de f).

Contre exemple :
\begin{array}{rccl} f: & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\   & x & \mapsto & \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \\ \end{array}       on a : D_v = ]-1 , 1[ et D_f = \mathbb{R}.


Technique 1 : Utilisation des opérations sur les séries entières

Supposons : f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n, |x| < r_1   et   g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n, |x| \leq r_2
En posant r = \min(r_1,r_2), on a :
\forall \lambda, \eta \in \mathbb{C} : \lambda f(x) + \eta g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\lambda a_n + \eta b_n \right) x^n ; R \geq r pour |x| < r.
f \times g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} \right) x^n ; R \geq r pour |x| < r.
Donc toute combinaison linéaire (resp. produit) de deux fonctions DSE(0) est une fonction DSE(0).

Exemples :
\forall x \in \mathbb{R} \, : \, x \longrightarrow ch(x) \text{ et } x \longrightarrow sh(x) :
On a : \forall x \in \mathbb{R} \, : \, ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}
De plus : e^x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^n}{n!} donc : e^{-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n!} x^n
Alors : ch x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{1+(-1)^n}{2} \frac{x^n}{n!} \, \, \forall x \in \mathbb{R}
Donc : \boxed{ch x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}
De même : \boxed{sh x = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}
\forall x \in \mathbb{R} \, , \, x \longrightarrow \cos x  \text{ et }  x \longrightarrow \sin x :
On a : \forall x \in \mathbb{R} \, \, \cos(x) = \displaystyle \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} :
On a : e^{ix} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{i^n x^n}{n!} et e^{-ix} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-i)^n x^n}{n!}
Alors : \cos(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{i^n +(-i)^n}{2} \displaystyle \frac{x^n}{n!} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}i^{2n} \displaystyle \frac{x^{2n}}{2n!}.
On conclut : \boxed{\cos(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} \, , \, x \in \mathbb{R}}
De même : \boxed{ \sin(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, , \,  x \in \mathbb{R}}


Technique 2 : Méthode de la dérivation et intégration

Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C} dérivable tq f' admet un DSE sur ]-r , r[ \subset I donné par : f'(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n.
Alors : \displaystyle \int_{0}^x f'(t)dt = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} \, , \, \forall x \in ]-r , r[.
D'où, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}.

Exemples :
\begin{array}{rccl} f : & ]-1 , +\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\   & x & \mapsto & \ln(1+x) \\ \end{array}
f est dérivable et f'(x) = \displaystyle \frac{1}{1+x} \, \forall x \in ]-1 , +\infty[.
Or \displaystyle \frac{1}{1+x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n pour tout x tq : |x| < 1.
D'où : f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} avec |x| < 1.
C'est-à-dire : \boxed{\ln(1+x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \, , \, |x| < 1}.
\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\   & x & \mapsto & \arctan(x)\\ \end{array}
f est dérivable sur \mathbb{R}   et   f'(x) = \displaystyle \frac{1}{1+x^2}.
On a : \displaystyle \frac{1}{1+x^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n} avec |x| < 1.
D'où : f(x) = f(0) + \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1}  x^{2n+1}
Donc : \boxed{\arctan(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \, , \, |x| < 1}.


Technique 3 : Utilisation d'une équation differentielle linéaire

On considère l'équation différentielle linéaire d'ordre n :
(E) : y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} +\cdots + a_0(x) y = b(x) où : a_0,\cdots , a_n , b \in\mathfrak{C}^o(I,\mathbb{C}).
Etant donné n_0 \in I et c_0 , \cdots , c_{n-1} \in \mathbb{C}, on admet qu'il existe une unique solution \psi de (E) sur I tq :
\left. \begin{array}{rcl} \psi(x_0) & = & c_0 \\ \psi '(x_0) & = & c_1\\ \vdots & & \\ \psi^{(n-1)}(x_0) & = & c_{n-1} \\ \end{array} \right \rbrace

Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C} de classe \mathfrak{C}^{\infty}.
Si on détermine toutes les solutions de (E), DSE(0) et si l'une d'elle, \psi, vérifie :
\left. \begin{array}{rcl} \psi(0) & = & f(0) \\ \psi '(0) & = & f'(0) \\ \vdots & & \\ \psi^{(n-1)}(0) & = & f^{(n-1)}(0) \\ \end{array} \right \rbrace

Alors f = \psi, d'où f est DSE(0).
Dans la pratique, on se contentera du cas où les fonctions a_0 , \cdots , a_{n-1}, b sont rationnelles.

Exemple :
 \begin{array}{rccl} f : & ]-1 , +\infty[ & \longrightarrow& \mathbb{C} \\  & x & \mapsto & (1+x)^a \\ \end{array} (a \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{Z} )
f est dérivable et f'(x) = a(1 + x)^{a - 1}.
(1 + x)f'(x) = a(1 + x)^a = af(x)
f est donc solution sur ]-1 , +\infty[ de l'équation différentielle (e) : (1+x)y' - ay = 0 \Longleftrightarrow y' - \displaystyle \frac{a}{x+1} y = 0.
Soit r \in ]0 , 1] , soit \psi : ]-r , r[ \longrightarrow \mathbb{C} de classe \mathfrak{C}^{\infty} et DSE sur ]-r , r[.
Posons : \psi(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n} avec |x| < r.
\psi '(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_nx^{n-1}.
On a :
\psi est solution de (e) sur ]-r , r[ \Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, (1 + x) \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} - a \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0
\Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^{n-1} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^n - a \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 \\ \Longleftrightarrow \, \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)a_{n+1} x^n + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^n - a\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 \\ \Longleftrightarrow \forall x \in ]-r , r[ \, : \, \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left[(n + 1) a_{n+1} - (a - n)a_n \right] x^n = 0.
Par unicité du DSE sur ]-r , r[ de la fonction nulle.
\psi est solution de (e) sur ]-r , r[ \, \Longleftrightarrow \, \forall n \in \mathbb{N} \, : \, a_{n+1} = \displaystyle \frac{a-n}{n+1} a_n \, \, (*)

Remarque :
Formellement : \left| \displaystyle \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| = \displaystyle \frac{|a-n|}{n+1}|x| \longrightarrow_{n\to \infty} |x|. On pouvait donc prendre r = 1.
(*) \, \Longleftrightarrow \, \forall n \in \mathbb{N}^* \, : \, a_n = \displaystyle \frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!} a_0 = {{a}\choose {n}} a_0
\psi est solution de (e) sur ]-r , r[ \, \Longleftrightarrow \, \forall x\in]-r , r[ \, : \, \psi(x) = a_0 \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {a\choose n} x^n
Or, \psi(0) = f(0) \, \Longleftrightarrow \, a_0 = 1.
On a donc trouvé le DSE de f sur ]-r , r[ et qui est : \boxed{(1+x)^a = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {a\choose n} x^n}
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