Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2005

Baccalauréat Général
Série Scientifique
Pondichéry - Session Avril 2005

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ , définie sur $[1; + \infty[$ par $f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}$ .
1. a) Justifier la continuité de $f$ sur $[1; +\infty[$ .
    b) Montrer que $f$ est croissante sur $[1; +\infty[$ .

2. Restitution organisée de connaissances
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout réel $x_0$ de $[1; +\infty[$ , on note $A(x_0)$ l'aire du domaine délimité par la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x = x_0$ .
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur $[1; +\infty[$ est une primitive de $f$ .

    a) Que vaut $A(1)$ ?
    b) Soit $x_0$ un réel queconque de $[1; +\infty[$ et $h$ un réel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :
$f(x_0) \leq \dfrac{A(x_0 + h) - A(x_0)}{h} \leq f(x_0 + h)$ .
    c) Lorsque $x_0 > 1$ , quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que $x_0 + h \geq 1$ ?
    d) En déduire la dérivabilité en $x_0$ de la fonction $A$ ainsi que le nombre dérivé en $x_0$ de la fonction $A$ .
    e) Conclure.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$
On désigne par I le point d'affixe $z_I = 1$ , par A le point d'affixe $z_A = 1 - 2i$ , par B le point d'affixe $z_B = -2 + 2i$ et par $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [AB].
On fera une figure que l'on complètera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

1. Déterminer le centre $\Omega$ du cercle $(\mathcal{C})$ et calculer son rayon.
2. Soit D le point d'affixe $z_D = \dfrac{3 + 9i}{4 + 2i}$ .
Ecrire $z_D$ sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle $(\mathcal{C})$ .
3. Sur le cercle $(\mathcal{C})$ , on considère le point E, d'affixe $z_E$ , tel qu'une mesure en radians de $\left(\overrightarrow{\Omega I},\overrightarrow{\Omega E}\right) \text{ est } \dfrac{\pi}{4}$ .
    a) Préciser le module et un argument de $z_E + \dfrac{1}{2}$ .
    b) En déduire que $z_E = \dfrac{5\sqrt{2} - 2}{4} + \dfrac{5\sqrt{2}}{4}i$ .
4. Soit $r$ l'application du plan P dans lui-même qui à tout point M d'affixe $z$ associe le point M' d'affixe $z'$ tel que : $z' + \dfrac12 = e^{^{i\frac{\pi}{4}}}\left(z + \dfrac12\right)$ .
    a) Déterminer la nature de $r$ et ses éléments caractéristiques.
    b) Soit K le point d'affixe $z_K = 2$ .
Déterminer par le calcul l'image de K par $r$ . Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
On considère l'application $f$ qui au point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que : $z' = \frac{3 + 4i}{5} \bar{z} + \frac{1 - 2i}{5}$

1. On note x et x', y et y' les parties réelles et les paties imaginaires de z et z'.
Démontrer que : $\left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {x' & \dfrac{3x + 4y + 1}{5} \\ y' & \dfrac{4x - 3y - 2}{5}} \\ \end{array} \right.$

2. a) Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$
    b) Quelle est la nature de l'application $f$

3. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que z' soit réel.

4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.
    a) Donner une colution particulière (x₀, y₀) appartenant à $\mathbb{Z}^2$ de l'équation $4x - 3y = 2$ .
    b) Déterminer l'ensemble des solutions appartenant à $\mathbb{Z}^2$ de l'équation $\normalsize 4x - 3y = 2$ .

5. On considère les points M d'affixe $z = x + iy \hspace{5pt} \text{ tels que } x = 1 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} y \in \mathbb{Z}$ . Le point M' = $f$ (M) a pour affixe z'.
Déterminer les entiers y tels que Re(z') et Im(z') soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).

exercice 3 - Commun à tous les candidats (5 poins)

L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $\left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)$ . On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1, 0, 2), (1, 1, 4) et (-1, 1, 1).

1. a) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    b) Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées (3, 4, -2).
Vérifier que le vecteur $\normalsize \overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\normalsize \overrightarrow{\mbox{AB}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \overrightarrow{\mbox{AC}}$ .
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soient P₁ et P₂ les plans d'équations respectives $2x + y + 2z + 1 = 0 \text{ et } x- 2y + 6z = 0$ .
    a) Montrer que les plans P₁ et P₂ sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques.
    b) La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et t.
    a) Justifier l'existence du point G pour tout réel positif t.
Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.
Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\mbox{IG}}$ en fonction du vecteur $\normalsize \overrightarrow{\mbox{IC}}$
    b) Montrer que l'ensemble des points G lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.
Pour quelle valeur de t, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec G ?

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel n, on pose $u_n = \dfrac{n^{10}}{2^n}$ . On définit ainsi une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$

1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l'équivalence suivante : $u_{n+1} \leq 0,95 u_n \hspace{15pt} \text{ si et seulement si } \hspace{15pt} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9$ .

2. On considère la fonction $f$ définie sur $[1; +\infty[$ par $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{10}$ .
    a) Étudier le sens de variation et la limite en $+\infty$ de la fonction $f$ .
    b) Montrer qu'il existe dans l'intervalle $[1; +\infty[$ un unique nombre réel $\alpha$ tel que $f(\alpha ) = 1,9$ .
    c) Déterminer l'entier naturel n₀ tel que : $n_0 - 1 \leq \alpha \leq n_0$ .
    d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a : $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9$ .

3. a) Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ à partir du rang 16.
    b) Que peut-on en déduire pour la suite ?

4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, l'encadrement :
$0 \leq u_n \leq 0,95^{n - 16} u_{16}$ .
En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ .

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) t

e^t est continue sur $[1; + \infty[$ .
$t \mapsto \dfrac{1}{t}$ est continue sur $[1; + \infty[$ .
Donc, par produit de deux fonctions continues, $f$ est continue sur $[1; + \infty[$ .

1. b) $f$ est dérivable sur $[1; + \infty[$ et :
$f'(t) = \dfrac{\text{e}^t \times t - 1 \times \text{e}^t}{t^2} = \dfrac{(t - 1) \text{e}^t}{t^2}$
Pour tout $t \in [1; +\infty[$ , e^t > 0 et t - 1 $\geq$ 0
D'où : $\normalsize \forall t \in [1; +\infty[, f'(t) \geq 0$
$f$ est croissante sur $[1; + \infty[$ .

2. a) A(1) est l'aire du domaine délimité par la courbe représentant $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 1.
Donc A(1) = 0.

2. b) $f$ est croissante sur $[1; +\infty[$ , donc $\forall t \in [x_0; x_0 + h], f(x_0) \leq f(t) \leq f(x_0 + h)$
D'où : $\normalsize \displaystyle \int_{x_0}^{x_0 + h}f(x_0) dt \leq \int_{x_0}^{x_0 + h} f(t) dt \leq \int_{x_0}^{x_0 + h} f(x_0 + h) dt$
Donc : $\normalsize \displaystyle h f(x_0) \leq \int_{x_0}^{x_0 + h} f(t) dt \leq h f(x_0 + h)$
En utilisant la relation de Chasles :
$h f(x_0) \leq \displaystyle \int_{x_0}^1 f(t) dt + \int_1^{x_0 + h} f(t) dt \leq h f(x_0 + h)\\ h f(x_0) \leq A(x_0 + h) - A(x_0) \leq h f(x_0 + h)$
En divsant par h > 0, on obtient :
$f(x_0) \leq \frac{A(x_0 + h) - A(x_0)}{h} \leq f(x_0 + h)$

2. c) $f$ est croissante sur $[1; +\infty[$ , donc $\forall t \in [x_0 + h; x_0], f(x_0 + h) \leq f(t) \leq f(x_0)$
D'où : $\normalsize \displaystyle \int_{x_0 + h}^{x_0} f(x_0 + h) dt \leq \int_{x_0 + h}^{x_0} f(t) dt \leq \int_{x_0 + h}^{x_0} f(x_0) dt$
Donc : $\normalsize \displaystyle -h f(x_0 + h) \leq \int_{x_0 + h}^{x_0} f(t) dt \leq -h f(x_0)$
En utilisant la relation de Chasles :
$-h f(x_0 + h) \leq \displaystyle \int_{x_0 + h}^1 f(t) dt + \int_1^{x_0} f(t) dt \leq -h f(x_0)\\ -h f(x_0 + h) \leq A(x_0) - A(x_0 + h) \leq -h f(x_0)$
En divsant par -h > 0, on obtient :
$f(x_0 + h) \leq \frac{A(x_0 + h) - A(x_0)}{h} \leq f(x_0)$

2. d) $f$ est continue en x₀, donc $\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0)$ .
D'après le théorème des gendarmes appliqué aux encadrements démontrés en b) et c), on peut affirmer que $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{A(x_0 + h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$ .
La fonction A est donc dérivable en x₀ et A'(x₀) = f(x₀).

2. e) Le raisonnement est vrai pour tout réel x₀ de $\smal [1; +\infty[$ .
On peut donc en conclure que $\forall t \in [1; +\infty[$ , A'(t) = f(t).
Ce qui prouve que A est une primitive de f sur $[1; +\infty[$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. $(\mathcal{C})$ est le cercle de diamètre [AB]. Donc $\Omega$ , son centre, a pour affixe :
$z_{\Omega} = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{1 - 2i - 2 + 2i}{2} = -\frac12$

Rayon du cercle $(\mathcal{C})$ :
$\Omega A = |z_A - z_{\Omega}| = \left|1 - 2i + \frac12\right| = \left|\frac32 - 2i\right| = \sqrt{\frac94 + 4} = \frac52$

2. Forme algébrique de z_D :
$z_D = \frac{3 + 9i}{4 + 2i} = \frac{(3 + 9i)(4 - 2i)}{(4 + 2i)(4 - 2i)} = \frac{30 + 30i}{20} = \frac{3}{2} + \frac32 i$

Démontrons que D est un point du cercle $(\mathcal{C})$ :
$\Omega D = |z_D - z_{\Omega}| = \left|\frac32 + \frac32 i + \frac12\right| = \left|2 + \frac32 i\right| = \sqrt{4 + \frac94} = \frac52$
C'est un rayon de $(\mathcal{C})$ , donc D est un point du cercle $(\mathcal{C})$ .

3. a) $|z_E + \frac12| = \left|z_E - z_{\Omega}\right| = \Omega E = \frac52$
$\arg(z_E + \frac12) = \arg(z_E - z_{\Omega}) (2\pi)\\ \hspace{50pt} = (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{\Omega E}) (2\pi)\\ \hspace{50pt} = (\overrightarrow{\Omega I}; \overrightarrow{\Omega E}) (2\pi) \hspace{10pt} \text{ car \overrightarrow{u} et \overrightarrow{\Omega I} sont colineaires et de meme sens}\\ \hspace{50pt} = \frac{\pi}{4} (2\pi)$

3. b) De ce qui précède, on en déduit que :
$z_E + \frac12 = \frac52 e^{i \frac{\pi}{4}}\\ \text{Donc } z_E = \frac52 e^{i \frac{\pi}{4}} - \frac12\\ \hspace{40pt} = \frac52 (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) - \frac12\\ \hspace{40pt} = \frac52 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac12\\ \hspace{40pt} = \frac{5\sqrt{2} - 2}{4} + i\frac{5\sqrt{2}}{4}$

4. a) $z' + \frac12 = e^{i\frac{\pi}{4}} \left(z + \frac12\right)\\ \Longleftrightarrow z' - z_{\Omega} = e^{i \frac{\pi}{4}}(z - z_{\Omega})$
r est la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $-\frac12$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ .

4. b) L'image de K par r est le point d'affixe z' vérifiant :
$z' + \frac12 = e^{i \frac{\pi}{4}}(z_K + \frac12)\\ \text{Donc : } z' = e^{i \frac{\pi}{4}}\left(2 + \frac12\right) - \frac12\\ \hspace{50pt} = \frac52 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac12\\ \hspace{50pt} = \frac{5\sqrt{2} - 2}{4} + i \frac{5\sqrt{2}}{4}\\ \hspace{50pt} = z_E$
L'image du point K par la rotation r est le point E.

Géométriquement :
On sait que : $\Omega K = |z_K - z_{\Omega}| = \left|2 - \frac12\right| = \frac52$
et que $\Omega E = \frac52$ (car E est un point du cercle $(\mathcal{C})$ ).
Donc $\Omega K = \Omega E$
De plus, $(\overrightarrow{\Omega K}; \overrightarrow{\Omega E}) = (\overrightarrow{\Omega I}; \overrightarrow{\Omega E}) (2\pi) \hspace{10pt} \text{ car les vecteurs } \overrightarrow{\Omega I} \text{ et } \hspace{2pt} \overrightarrow{\Omega E} \hspace{2pt} \text{ sont colineaires et de meme sens}$
Donc, l'image de K par la rotation r de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ est le point E.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Soit $z = x + iy$ avec $x \text{ et } y$ réels. On a :
$z' = x' + iy' = \frac{3 + 4i}{5} \bar{z} + \frac{1 - 2i}{5}\\ \hspace{50pt} = \frac{3 + 4i}{5}(x - iy) + \frac{1 - 2i}{5}\\ \hspace{50pt} = \frac{3x + 4ix - 3iy + 4y + 1 - 2i}{5}\\ \hspace{50pt} = \frac{3x + 4y + 1}{5} + i\frac{4x - 3y - 2}{5}$
En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires, on obtient :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x' & \frac{3x + 4y + 1}{5} \\ y' & \frac{4x - 3y - 2}{5} \\ \end{array} \right.$

2. a) L'ensemble des points M invariants par $f$ vérifie $f(M) = M$ . Donc :
$\text{M invariant par } f \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & \frac{3x + 4y + 1}{5} \\ y & \frac{4x - 3y - 2}{5} \\ \end{array} \right.$
$\hspace{100pt} \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 5x - 3x - 4y - 1 & 0 \\ 5y - 4x + 3y + 2 & 0 \\ \end{array} \right.$
$\hspace{100pt} \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x - 4y - 1 & 0 \\ - 4x + 8y + 2 & 0 \\ \end{array} \right.$
$\hspace{100pt} \Longleftrightarrow 2x - 4x - 1 = 0$
L'ensemble des points invariants par $f$ est la droite d'équation $y = \frac12 x - \frac14$

2. b) $z' = \frac{3 + 4i}{5}\bar{z} + \frac{1 - 2i}{5}$ est de la forme $z' = a\bar{z} + b$
avec $a = \left|\frac{3 + 4i}{5}\right| = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = 1$
$f$ est donc une symétrie axiale. Son axe est l'ensemble des points invariants par $f$ , c'est-à-dire la droite d'équation $y = \frac12 x - \frac14$

3. z' est réel si et seulement si y' = 0,
si et seulement si 4x - 3y - 2 = 0.
L'ensemble D est la droite d'équation $y = \frac43 x - \frac23$

4. a) pgcd(4; 3) = 1 et 1 divise 2, donc l'équation 4x - 3y = 2 admet des solutions.
De plus :
4 = 3 × 1 + 1
1 = 4 - 3 × 1
En multipliant par 2 : 2 = 4 × 2 - 3 × 2.
D'où : (2; 2) est une solution particulière dans $\mathbb{Z}$ de l'équation 4x - 3y = 2.

4. b) Soit $(x; y) \in \mathbb{Z}^2$ une solution de 4x - 3y = 2. On a : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 4 \times 2 - 3 \times 2 & 2 \\ 4x - 3y & 2 \\ \end{array} \right.$
Donc : 4(x - 2) - 3(y - 2) = 0
soit : 4(x - 2) = 3(y - 2).
Donc 4 divise 3(y - 2). Or, 4 et 3 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 4 divise y - 2,
c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que y - 2 = 4k, soit y = 4k + 2.

Si y = 4k + 2, alors :
$4(x - 2) = 3(y - 2)\\ \Longleftrightarrow 4(x - 2) = 3 \times 4k\\ \Longleftrightarrow 4x = 12k + 8\\ \Longleftrightarrow x = 3k + 2$
Réciproquement, les couples (3k + 2; 4k + 2) où k $\in \mathbb{Z}$ vérifient l'équation 4x - 3y = 2.
(4x - 3y = 4(3k + 2) - 3(4k + 2) = 2)
D'où : les couples (3k + 2; 4k + 2) où k $\in \mathbb{Z}$ sont les solutions de l'équation 4x - 3y = 2.

5. Si x = 1, alors $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x' & \frac{4y + 4}{5} \\ y' & \frac{-3y + 2}{5} \\ \end{array} \right.$
x' et y' sont entiers si et seulement si $\lbrace 4y + 4 \equiv 0[5]\\-3y + 2 \equiv 0[5]$
$\hspace{200pt} \Longleftrightarrow \lbrace 4y + 4 \equiv 0[5]\\ 3y - 2 \equiv 0 [5]$
$\hspace{200pt} \Longleftrightarrow \lbrace 4y + 4 \equiv 0[5]\\ 3y + 3 \equiv 0 [5]$
Donc 5 divise 4(y + 1) et 5 divise 3(y + 1).
Comme 5 et 4 sont premiers entre-eux et comme 5 et 3 sont premiers entre-eux, alors d'après le théorème de Gauss, 5 divise y + 1.
C'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que y + 1 = 5k, soit y = 5k - 1.
Les entiers y sont de la forme 5k - 1 où k $\in \mathbb{Z}$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) $\normalsize \overrightarrow{AB} \left(0\\1\\2\right) \hspace{25pt} \overrightarrow{AC}\left(-2\\1\\-1\right)$
Comme les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs $\normalsize \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Les points A, B et C ne sont donc pas alignés.

1. b) $\normalsize \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \times 3 + 1 \times 4 + 2 \times (-2) = 0 \hspace{20pt} \text{et} \hspace{20pt} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n} = -2 \times 3 + 1 \times 4 - 1 \times (-2) = - 6 + 4 + 2 = 0$
Le vecteur $\normalsize \overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\normalsize \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC}$ .

Equation cartésienne du plan (ABC) :
De ce qui précéde, on déduit que :
$M(x; y; z) \in (ABC) \Longleftrightarrow \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{n}\\ \hspace{80pt} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0\\ \hspace{80pt} \Longleftrightarrow (x - 1) \times 3 + y \times 4 + (z - 2) \times (-2) = 0\\ \hspace{80pt} \Longleftrightarrow 3x + 4y - 2z + 1 = 0$
Une équation cartésienne du plan (ABC) est 3x + 4y - 2z + 1 = 0.

2. a) $\overrightarrow{n}_1(2; 1; 2) \text{ et } \overrightarrow{n}_2(1; -2; 6)$
Les vecteurs $\overrightarrow{n}_1 \text{ et } \overrightarrow{n}_2$ n'ont pas des coordonnées proportionnelles. Ils ne sont donc pas colinéaires. Les plans P₁ et P₂ ne sont pas parallèles. Ils sont donc sécants. Leur intersection est une droite caractérisée par le système suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + y + 2z + 1 & 0 \\ x - 2y + 6z & 0 \\ \end{array} \right.$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + y + 2z + 1 & 0 \\ 2x - 4y + 12z & 0 \\ \end{array} \right.$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + y + 2z + 1 & 0 \\ 5y - 10z + 1 & 0 \\ \end{array} \right.$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + y + 2z + 1 & 0 \\ y & 2z - \frac15 \\ \end{array} \right.$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + 2z - \frac15 + 2z + 1 & 0 \\ y & 2z - \frac15 \\ \end{array} \right.$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & -2z - \frac25 \\ y & 2z - \frac15 \\ \end{array} \right.$
D'où, en posant z = t :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & -2t - \frac25\\y = 2t - \frac15 \\ z & t \\ \end{array} \right.$

2. b) Un vecteur directeur de la droite D est $\overrightarrow{u}(-2, 2, 1)$ .
Un vecteur normal au plan (ABC) est $\overrightarrow{n}(3, 4, -2)$ .
Calculons le preduit scalaire de ces deux vecteurs :
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = -2 \times 3 + 2 \times 4 + 1 \times (-2) = 0$
Les vecteurs $\overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{n}$ sont orthogoanux. La droite D est donc parallèle au plan (ABC).

3. a) $1 + 2 + t \neq 0$ car t > 0,
ce qui justifie l'existence du point G pour tout réel positif.

Coordonnées du point I :
$x_I = \frac{1 \times x_A + 2 \times x_B}{1 + 2} = \frac{1 \times 1 + 2 \times 1}{3} = 1\\ y_I = \frac{1 \times y_A + 2 \times y_B}{1 + 2} = \frac{1 \times 0 + 2 \times 4}{3} = \frac23\\ z_I = \frac{1 \times z_A + 2 \times z_B}{1 + 2} = \frac{1 \times 2 + 2 \times 4}{3} = \frac{10}{3}\\$
D'où : $I\left(1; \frac23; \frac{10}{3}\right)$

Exprimons le vecteur $\normalsize \overrightarrow{IG}$ en fonction du vecteur $\normalsize \overrightarrow{IC}$ :
G est le barycentre de (A, 1) (B, 2) (C, t)
I est le barycentre de (A, 1) (B, 2).
D'après le théorème d'associativité du barycentre, G est le barycentre de (I, 3) (C, t). Donc :
$3\overrightarrow{GI} + t\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\\ \Longleftrightarrow (3 + t)\overrightarrow{GI} = -t\overrightarrow{IC}\\ \Longleftrightarrow \overrightarrow{IG} = \frac{t}{3 + t}\overrightarrow{IC}$

3. b) Soit f la fonction définie sur $[0; +\infty[$ par $f(t) = \frac{t}{3 + t}$ .
f est dérivable sur $[0; +\infty[$ et $f'(t) = \frac{1 \times (3 + t) - t \times 1}{(3 + t)^2} = \frac{3}{(3 + t)^2}$
$\forall t \in [0; +\infty[$ f'(t) > 0.
f est donc stristement croissante sur $[0; +\infty[$ .

f est continnue et srtictement croisante sur $[0; +\infty[$ .
De plus, f(0) = 0 et $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} f(t) = 1$
L'image de $[0; +\infty[$ par f est donc l'intervalle [0; 1[.
d'où : lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, l'ensemble des points G est le segment [IC] privé du point C.

Les points I et G sont confondus si et seulement si $\frac{t}{3 + t} = \frac12$
$\Longleftrightarrow 2t = 3 + t\\ \Longleftrightarrow t = 3$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Pour tout entier naturel n non nul,
$u_{n+1} \leq 0,95 u_n \hspace{10pt} \Longleftrightarrow \hspace{10pt} \frac{(n + 1)^{10}}{2^{n + 1}} \leq 0,95 \times \displaystyle \frac{n^{^{^{10}}}}{2^n}\\ \hspace{100pt} \Longleftrightarrow \frac{(n + 1)^{10}}{n^{10}} \leq 0,95 \times \frac{2^{n+1}}{2^n}\\ \hspace{100pt} \Longleftrightarrow \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{10} \leq 0,95 \times 2 \\ \hspace{100pt} \Longleftrightarrow \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9$

2. a) Sens de variation :
$f$ est dérivable sur $[1; +\infty[$ .
$\forall x \in [1; +\infty[, \hspace{10pt} f'(x) = 10\left(1 + \frac{1}{x}\right)^9 \times \left(-\frac{1}{x^2}\right)\\ \hspace{100pt} = -\frac{10}{x^2}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^9\\ \text{Et } \forall x \in [1; +\infty[, -\frac{10}{x^2} < 0\\ x > 0, \text{donc } \left(1 + \frac{1}{x}\right)^9 > 0$
D'où : $\normalsize \forall x \in [1; +\infty[, f'(x) < 0$
$f$ est strictement décroissante sur $[1; +\infty[$

Limite en $+\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1$
D'où, par produit : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{10} = 1$
soit : $\normalsize \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$

2. b) $f$ est dérivable, donc continue sur $[1; +\infty[$ et strictement décroissante sur $[1; +\infty[$ .
De plus, $f(1) = 2^{10} > 1,9 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 < 1,9$ .
Donc il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $[1; +\infty[$ tel que $f(\alpha) = 1,9$ .

2. c) A l'aide de la calculatrice : $f(15) \approx 1,906 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} f(16) \approx 1,833$
Donc l'entier $n_0$ tel que $n_0 - 1 \leq \alpha \leq n_0$ est 16.

2. d) On a vu que $f(16) < 1,9$ et que $f$ est décroissante sur $[1; +\infty[$ . Donc, pour tout entier n supérieur ou égal à 16, on a : $f(n) \leq 1,9$
Soit $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9$

3. a) On a montré que pour tout entier n supérieur ou égal à 16, on a : $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9$ .
Ce qui équivaut d'après la question 1 à : $u_{n+1} \leq 0,95 u_n$
soit $u_{n+1} \leq u_n \text{ car } 0,95 < 1$
Donc (u_n) est décroissante pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16.

3. b) (u_n) est décroissante pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16 et (u_n) est minorée par 0.
La suite (u_n) est donc convergente.

4. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a la propriété suivante : $0 \leq u_n \leq 0,95^{n - 16}u_{16}$
$0 \leq u_{16} \leq 0,95^0 u_{16}$
La proporiété est donc vérifiée au rang 16.

Supposons que la proporiété soit vérifiée au rang n et montrons qu'elle est encore vraie au rang n + 1 :
La propriété est vraie au rang n (entier supérieur ou égal à 16), donc : $0 \leq u_n \leq 0,95^{n - 16}u_{16}$
En multipliant par 0,95 : $0 \leq 0,95 u_n \leq 0,95^{n + 1 - 16}u_{16}$
Or, d'après la question 1, $u_{n + 1} \leq 0,95 u_n$
Donc : $\normalsize 0 \leq u_{n + 1} \leq 0,95^{n + 1 - 16}u_{16}$
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
On a donc montré que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, $0 \leq u_n \leq 0,95^{n - 16}u_{16}$ .

Limite de la suite (u_n) :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(0,95^{n - 16}u_{16}\right) = 0$ , donc d'après le théorème des gendarmes, $\normalsize \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

Publié par Tom_Pascal le 19-08-2005

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