Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Liban - Session Juin 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'apprécition des copies.

6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soient $f$ et g les fonctions définies sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = \ln x$ et $g(x) = \left(\ln x\right)^2$ .
On note $\scr{C}$ et $\scr{C}'$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.
Les courbes $\scr{C}$ et $\scr{C}'$ sont données ci-dessous.

bac scientifique, obligatoire et spécialité, énoncé et corrigé Liban Juin 2007 - terminale : image 1

1. a) Etudier le signe de $(\ln x)(1 - \ln x)$ sur ]0 ; + $\infty$ [.
    b) En déduire la position relative des deux courbes $\scr{C}$ et $\scr{C}'$ sur ]0 ; + $\infty$ [.

2. Pour $x$ appartenant à ]0 ; + $\infty$ [, M est le point de $\scr{C}$ d'abscisse $x$ et N est le point de $\scr{C}'$ de même abscisse.
    a) Soit h la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $h(x) = f(x) - g(x)$ .
Etudier les variations de la fonction h sur ]0 ; + $\infty$ [.
    b) En déduire que sur l'intervalle [1 , e], la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour $x = \sqrt{e}$ .
    c) Résoudre dans ]0 ; + $\infty$ [ l'équation $\left(\ln x\right)^2 - \ln x = 1$ .
    d) En déduire que, sur $]0 , 1[ \cup ]e , +\infty[$ , il existe deux réels a et b (a < b) pour lesquels la distance MN est égale à 1.

3. a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle \int_1^e \ln x \: \text{d}x$ .
    b) Vérifier que la fonction G définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $\text{G}(x) = x\left[(\ln x\right)^2 - 2\ln x + 2\right]$ est une primitive de la fonction g sur ]0 ; + $\infty$ [.
    c) On considère la partie du plan délimitée par les courbes $\scr{C}$ , $\scr{C}'$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$ .
Déterminer l'aire $\scr{A}$ en unités d'aire de cette partie du plan.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j} \: , \: \overrightarrow{k})$ .
On considère la droite (d) dont un système d'équations paramétriques est $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 2-\dfrac{t}{2}\\y & 1 \\ z & 5-\dfrac{3t}{2}} \\ \end{array} \right. \: (t \in \mathbb{R})$
On note A le point de coordonnées (2 , -1 , 1), B le point de coordonnées (4 , -2 , 2) et C le point de (d) d'abscisse 1.

1. Proposition 1
" La droite (d) est parallèle à l'axe $(O \: ; \: \overrightarrow{j})$ ".

2. Proposition 2
" Le plan P d'équation $x + 3z - 5 = 0$ est le plan passant par A et orthogonal à (d) ".

3. Proposition 3
"La mesure de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$ est $\dfrac{\pi}{3}$ radians ".

4.Soit G le barycentre des points pondérés (A ; -1), (B ; 1) et (C ; 1).
Proposition 4
" Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu ".

5. Proposition 5
" La sphère de centre C et passant par B coupe le plan P d'équation $x + 3z - 5 = 0$ ".

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v})$ .
On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe z associe le point d'affixe z' définie par : z' = 2iz + 1.
Proposition 1 : " Cette transformation est la similitude directe de centre A d'affixe $\dfrac15 + \dfrac25 i$ , d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et de rapport 2 ".

2. Dans l'espace muni du repère orthonormal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j} \: , \: \overrightarrow{k})$ , on note S la surface d'équation $z = x^2 + 2x + y^2 + 1$ .
Proposition 2 : " La section de S avec le plan d'équation z = 5 est un cercle de centre A de coordonnées (-1 , 0 , 5) et de rayon 5 ".

3. Proposition 3 : " 5⁷⁵⁰ - 1 est un multiple de 7 ".

4. Proposition 4 : " Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n + 4 et de 4n + 3 est égal à 7 ".

5. Soient a et b deux entiers naturels.
Proposition 5 : " S'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 2 alors le PGCD de a et b est égal à 2 ".

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère deux urnes U₁ et U₂.
L'urne U₁ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
L'urne U₂ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.
On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :
Etape 1 : on tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on la remet dans U₁.
Etape n (n $\geq$ 2) :
Si la boule tirée à l'étape (n - 1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on la remet dans U₁.
Si la boule tirée à l'étape (n - 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U₂, on note sa couleur et on la remet dans U₂.

On note A_n l'évènement " le tirage a lieu dans l'urne U₁ à l'étape n " et p_n sa probabilité.
On a donc p₁ = 1.

1. Calculer p₂.

2. Montrer que pour tout n entier naturel non nul, p_n+1 = 0,8p_n + 0,05.
On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

3. Calculer p₃.

4. a) Démontrer par récurrence que pour tout n entier naturel non nul, p_n > 0,25.
    b) Démontrer que la suite (p_n) est décroissante.
    c) En déduire que la suite (p_n) est convergente vers un réel noté $\scr{l}$ .
    d) Justifier que $\ell$ vérifie l'équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$ . En déduire la valeur de $\ell$ .

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v})$ .
On considère l'application $f$ qui à tout point M d'affixe z non nulle associe le point $\text{M'} = f(\text{M})$ d'affixe z' tel que : $z' = \dfrac{z}{|z|} (2 - |z|)$ .
Le cercle $\cr{C}_1$ , de centre O et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée ci-dessous, que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

bac scientifique, obligatoire et spécialité, énoncé et corrigé Liban Juin 2007 - terminale : image 2

Pour $z$ complexe non nul, on note $z = re^{i\alpha}$ , r étant le module de z et $\alpha$ un argument de z.

1. Montrer que $z' = (2 - r)e^{i\alpha}$

2. Déterminer l'affixe a' du point A', image par $f$ du point A d'affixe a = 3.

3. Soit B le point d'affixe b = $-\sqrt{3}$ + i.
    a) Ecrire b sous forme exponentielle.
    b) Déterminer l'affixe b' du point B', image du point B par $f$ .

4. Placer A, B, A' et B' sur la figure.

5. a) Déterminer l'ensemble E des points M du plan privé du point O dont l'image par $f$ est O.
    b) Représenter E sur la figure.

6. Montrer que le cercle $\scr{C}_1$ est l'ensemble des points M du plan distincts de O tels que $f(\text{M}) = \text{M}$ .

7. Pour cette question, M est un point du plan, distinct de O, n'appartenant pas au cercle $\scr{C}_1$ .
On appelle I le milieu du segment [MM'] où M' est l'image de M par $f$ .
    a) Montrer que I appartient $\scr{C}_1$ .
    b) Montrer que I appartient à la demi-droite [OM).
    c) Sur la figure donnée précédemment est placé un point nommé M₁.
Construire le point M'₁, image par $f$ du point M₁.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) Pour $x\in ]0,+\infty[$ :
$\ln x \ge 0 \Longleftrightarrow \ln x \ge \ln 1 \Longleftrightarrow x \ge 1$ car la fonction ln est strictement croissante sur $]0 , +\infty[$ .
$1 - \ln x \ge 0 \Longleftrightarrow 1 \ge \ln x \Longleftrightarrow \ln e \ge \ln x \Longleftrightarrow e \ge x$ d'où le tableau de signe suivant :
$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & 0 & &1 & & e & &+\infty\\ \hline \ln x& || &-&0&+&|&+& \\ \hline 1-\ln x & || & + & | & + & 0 & - & \\ \hline \ln x (1- \ln x) & || & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$

1. b) $\ln x (1 - \ln x) = \ln x - (\ln x)^2 = f(x) - g(x)$
Sur $]0 ; 1] \cup [e ; +\infty[$ , $\ln x (1 - \ln x) \le 0$ donc $f(x) - g(x) \le 0$ donc $f(x) \le g(x)$ donc la courbe $(\mathcal{C})$ est en-dessous de la courbe $(\mathcal{C}')$ .
Sur $[1 ; e]$ , $\ln x(1 - \ln x) \ge 0$ donc $f(x) - g(x) \ge 0$ donc $f(x) \ge g(x)$ donc la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la courbe $(\mathcal{C}')$ .

2. a) $h(x) = f(x) - g(x) = \ln x - (\ln x)^2 = \ln x(1 - \ln x)$
On pose $u(x) = \ln x$ et $v(x) = 1 - \ln x$ alors $h(x) = u(x)v(x)$ , produit de 2 fonctions dérivables sur $I = ]0,+\infty[$ , et alors : $h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
avec $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v'(x) = -\dfrac{1}{x}$ d'où $h'(x) = \dfrac{1}{x}(1 - \ln x) + \ln x \times \left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1 - 2 \ln x}{x}$ du signe de son numérateur sur $I$ .
$1 - 2 \ln x \ge 0 \Longleftrightarrow 1 \ge 2 \ln x \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2} \ge \ln x \Longleftrightarrow e^{\frac{1}{2}} \ge x \Longleftrightarrow \sqrt e \ge x$ (avec $\sqrt e \approx 1,65$ )
D'où les variations de $h$ :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & &\sqrt{e} & &+\infty\\ \hline h'(x)& || &+&0&-& \\ \hline h(x) & || & \nearrow & 0,25 & \searrow & \\ \hline \end{array}$

2. b) Sur l'intervalle [1 ; e], on a $h(x) \ge 0$ donc $h(x) = f(x) - g(x) = \text{MN}$ .
Or $\sqrt{e} \, \in \, [1;e]$ donc d'après les variations de la fonction $h$ , on en déduit que la distance MN est maximale pour $x =\sqrt{e}$ .
Ce maximum est égal à : $h \left(\sqrt{e}\right) = \ln(\sqrt{e})(1-\ln (\sqrt{e})) = \dfrac{1}{2} \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ .

2. c) Résolution de l'équation $(\ln x)^2 - \ln x = 1 \Longleftrightarrow (\ln x)^2 - \ln x -1 = 0$
On effectue le changement de variable : $X = \ln x$ , ce qui donne l'équation du 2nd degré : $X^2-X-1=0$ .
$\Delta = b^2 - 4 ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 5$ donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
$\boxed{X_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \, \, ; \, X_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ d'où, avec $x = e^X$ : $\boxed{x_1 = e^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}} \approx 0,54 \, \, ; \, \, x_2 = e^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \approx 5,04}$

2. d) Les points M et N ont pour coordonnées : $\text{M} \left( x;f(x) \right) \, \, \, \text{N} \left( x;g(x) \right)$ . Donc la distance MN est donnée par : $\text{MN }= \left| f(x) - g(x) \right|$
Donc : $\text{MN} = 1 \Longleftrightarrow \left| f(x) - g(x) \right| = 1$
$\Longleftrightarrow \left| h(x) \right| = 1 \\ \Longleftrightarrow h(x) = 1 \text{ ou } h(x)=-1$
D'après les questions 2. a) et 2. b), on sait que le maximum de la fonction $h$ est égal à $\dfrac{1}{4}$ donc l'équation $h(x) = 1$ n'admet aucune solution.
Il reste donc à résoudre l'équation $h(x) = -1$ :
$h(x) = -1 \Longleftrightarrow f(x) - g(x) = -1 \\ \Longleftrightarrow \ln(x) - (\ln(x))^2 = -1 \\ \Longleftrightarrow (\ln x)^2 - \ln (x) =1$
On retrouve l'équation de la question précédente qui a pour solutions $\boxed{a = e^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}} \, \, ; \, \, b = e^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}$ .

3. a) On pose $u(x) = x$ et $v(x) = \ln x$ , où $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables à dérivées continues, alors $u'(x) = 1$ et $v'(x) = \dfrac{1}{x}$ . On a alors :
$\displaystyle \int_1^e \ln x dx = \displaystyle \int_1^e u'(x)v(x) dx \\ = \left[u(x)v(x) \right]_1^e - \displaystyle \int_1^e u(x)v'(x) dx \\ = \left[x \ln x \right]_1^e - \displaystyle \int_1^e x . \dfrac{1}{x} dx \\ = e \ln e - 1 \ln 1 - \displaystyle \int_1^e 1 dx\\ = e - [x]_1^e = e - e + 1 = 1$

3. b) Soit $G(x) = x[(\ln x)^2 - 2 \ln x + 2]$ , $G$ est dérivable sur $]0,+\infty$ et $G'(x) = (\ln x)^2 - 2 \ln x + 2 + x \left(2 \dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{2}{x} \right) = (\ln x)^2 - 2\ln x + 2 + 2 \ln x - 2 = (\ln x)^2 = g(x)$
Donc $G$ est une primitive de $g$ sur $]0 , +\infty[$ .

3. c) Sur [1 ; e], la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\mathcal{C}')$ , donc l'aire $A$ est donnée par : $\displaystyle \int_1^e f(x) - g(x) dx = \displaystyle \int_1^e f(x) dx - \displaystyle \int_1^e g(x)dx$
Or, d'après la question 3.a), $\displaystyle \int_1^e f(x) dx = \displaystyle \int_1^e \ln x dx = 1$ et, d'après la question 3. b), $G'(x) = g(x)$ donc :
$A = 1 - \left[G(x) \right]_1^e = 1 - G(e) + G(1)$
avec $G(e) = e[(\ln e)^2 - 2 \ln e + 2] = e(1 - 2+ 2) = e$ et $G(1) = 1[(\ln 1)^2 - 2 \ln 1 + 2] = 2$
D'où $A = 1 - e + 2 = 3 - e$
L'aire du domaine délimité par les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = e$ est donc de $3 - e \approx 0,282 \text{unités d'aire}$ .

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. FAUX
Pour $t = 0, \, (x,y,z) = (2,1,5)$ et pour $t = 2 \, , \, (x, y,z) = (2-1,1,5-3)=(1,1,2)$
Donc le vecteur (2,1,5) - (1,1,2) = (1,0,3) est un vecteur directeur de $(d)$ .
Ce vecteur n'est pas colinéaire à $\vec{j} = (0,1,0)$ . Donc la droite $(d)$ n'est pas parallèle à la droite $(O,\vec{j})$ .

2. VRAI
Le plan $P$ d'équation $x+3z-5=0$ admet pour vecteur normal le vecteur $\vec{n}=(1,0,3)$ . Nous avons montrer précédemment que ce vecteur est un vecteur directeur de (d).
Donc $P$ est orthogonal à (d).
D'autre part, $x_A+3z_A-5=2+3-5=0$ donc $\text{A} \in P$ .
Donc $P$ est le plan passant par A et orthogonal à (d).

3. VRAI
$\overrightarrow{\text{BA}} = (2,-1,1) - (4,-2,2) = (-2,1,-1)$
C est le point de (d) tel que $x_{\text{C}}$ = 1 donc $t=2$ et $y_{\text{C}} =1$ et $z_{\text{C}} =2$ : C(1,1,2)
$\overrightarrow{\text{BC}} =(1,1,2)-(4,-2,2)=(-3,3,0)$
$\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = -2\times(-3)+1\times3-1\times0=6+3=9$
$\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = \text{BA} \times \text{BC} \times \cos \left(\overrightarrow{\text{BA}} , \overrightarrow{\text{BC}} \right)$ d'où $\cos \left(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}} \right) = \dfrac{\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}}}{\text{BA} \times \text{BC}}$
avec $\text{BA} = \sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt6$ et $\text{BC} = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt2$
Donc $\cos \left(\overrightarrow{\text{BA}} , \overrightarrow{\text{BC}} \right) = \dfrac{9}{\sqrt6 \times 3\sqrt2}=\dfrac{3}{\sqrt{12}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ donc $\left(\overrightarrow{\text{BA}} , \overrightarrow{\text{BC}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$ donc $\widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\pi}{3}$

4. VRAI
G barycentre de (A,-1)(B,1)(C,1) donc $\left \lbrace \begin{array}{l} x_G = -x_A + x_B + x_C = -2 + 4 + 1 = 3 \\ y_G = -y_A + y_B + y_C = 1 - 2 + 1 = 0 \\ z_G = -z_A + z_B + z_C = -1 + 2 + 2 = 3 \\ \end{array} \right.$
Le milieu I de [AG] a pour coordonnées: $\left \lbrace \begin{array}{l} x_I = \dfrac{x_A+x_G}{2} = \dfrac{2+3}{2} = \dfrac{5}{2} \\ y_I = \dfrac{y_A+y_G}{2} = \dfrac{-1+0}{2} = -\dfrac{1}{2}} \\ z_I = \dfrac{z_A+z_G}{2} = \dfrac{1+3}{2}=2 \\ \end{array} \right.$
Le milieu de J de [BC] a pour coordonnées : $\left \lbrace \begin{array}{l} x_J = \dfrac{x_B+x_C}{2} = \dfrac{4+1}{2} = \dfrac{5}{2} \\ y_J = \dfrac{y_B+y_C}{2} = \dfrac{-2+1}{2} = -\dfrac{1}{2} \\ z_J = \dfrac{z_B+z_C}{2} = \dfrac{2+2}{2} = 2 \\ \end{array} \right.$
Donc I = J. Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu.

5. VRAI
$\text{BC} = 3\sqrt2 \approx 4,24$
La distance de C au plan $P$ est donnée par : $d = \dfrac{ax_C+by_C+cz_C+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \dfrac{1\times1+0\times1+3\times2-5}{\sqrt{1^2+0^2+3^2}} = \dfrac{1+6-5}{\sqrt{1+9}} = \dfrac{2}{\sqrt{10}} \approx 0,63$
Donc BC > d, donc la sphère de centre C et passant par B (et donc de rayon BC) coupe le plan $P$ .

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. $z' = 2iz + 1$ est l'écriture complexe d'une similitude directe, de centre donné par le point invariant, de rapport $|2i| = 2$ et d'angle $\arg(2i) = \dfrac{\pi}{2}$ .
A invariant $\Longleftrightarrow z = 2iz + 1\\ \Longleftrightarrow z(1 - 2i) = 1 \\ \Longleftrightarrow z = \dfrac{1}{1-2i} = \dfrac{1+2i}{1+4} = \dfrac{1+2i}{5}$
Donc il s'agit de la similitude de centre A d'affixe $\dfrac{1+2i}{5}$ , de rapport 2 et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .

2. FAUX
$\text{M}(x , y , z)$ appartient à la section de $S$ avec le plan $z = 5 \Longleftrightarrow z = x^2 + 2x + y^2 + 1$ et $z = 5$
$\Longleftrightarrow z = 5 \text{ et } x^2 + 2x + y^2 + 1 = 5 \\ \Longleftrightarrow z = 5 \text{ et } (x + 1)^2 - 1 + y^2 = 4 \\ \Longleftrightarrow z = 5 \text{ et } (x + 1)^2 + y^2 = 5$
C'est un cercle de centre A(-1,0,5) et de rayon $\sqrt5$ .

3. VRAI
$5\equiv5[7]$ ; $5^2=25\equiv4[7]$ ; $5^3\equiv4\times5\equiv20\equiv6[7]$ ; $5^4\equiv6\times5\equiv30\equiv2[7]$ ; $5^5\equiv2\times5\equiv10\equiv3[7]$ ; $5^6\equiv3\times5\equiv15\equiv1[7]$ ; $5^7\equiv1\times5\equiv5[7]$
et on peut montrer par une récurrence simple que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , on a :
$5^{6n+1}\equiv5[7]$ ; $5^{6n+2}\equiv4[7]$ ; $5^{6n+3}\equiv6[7]$ ; $5^{6n+4}\equiv2[7]$ ; $5^{6n+5}\equiv3[7]$ ; $5^{6n}\equiv1[7]$ .
Or 750 = 6 × 125 donc $5^{750} \equiv 1 [7]$ donc $5^{750}-1\equiv 0 [7]$
Donc $5^{750}-1$ est un multiple de 7.

4. VRAI
Si $n \equiv 1[7]$ alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 7k + 1$ et $3n+4=3(7k+1)+4=21k+3+4=21k+7=7(3k+1)$ et $4n+3=4(7k+1)+3=28k+4+3=28k+7=7(4k+1)$
Or $4(3k+1)-3(4k+1)=12k+4-12k-3=1$ donc d'après le théorème de Bezout : $PGCD(3k+1;4k+1)=1$
D'où : $PGCD(3n+4;4n+3)=PGCD(7(3k+1) \, \, ; \, \, 7(4k+1))=7 PGCD(3k+1;4k+1)=7 \times 1 = 7$
Conclusion : si $n$ est congru à 1 modulo 7, alors le PGCD de $3n+4$ et $4n+3$ est 1.

5. FAUX
Attention, si $d$ est pgcd de $a$ et $b$ , alors il existe $u$ et $v$ relatifs tels que $au + bv = d$ . MAIS LA RECIPROQUE N'EST PAS VRAIE : il ne suffit pas de trouver une telle égalité pour que $d$ soit le pgcd de $a$ et $b$ .
Pour $a = 3$ et $b = 2$ , si on prend $u = 2$ et $v = -2$ alors : $au + bv = 3 \times 2 - 2 \times 2 = 6 - 4 = 2$ . Or PGCD(2 ; 3) = 1 $\neq$ 2.
Ce contre-exemple permet de rejeter la proposition.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. p(₂ = p("on tire la 2e boule dans U₁").
On ne tire la 2e boule dans U₁ que si la 1ère boule tirée était blanche. Donc : p₂ = p("la 1ère boule est blanche") = $\dfrac{17}{20} = \boxed{0,85}$

2. A l'étape $n + 1$ , on tire une boule dans U₁ si et seulement si la boule précédente était blanche.
Soit B_n l'évenement la boule tirée à l'étape $n$ est blanche. Alors $p_{n+1} = p(\text{A}_{n+1}) = p(\text{B}_n)$
Or $p(\text{B}_n) = p(\text{A}_n \cap \text{B}_n) + p(\overline{\text{A}_n}\cap \text{B}_n) = p_{\text{A}_n}(\text{B}_n) \times p(\text{A}_n) + p_{\overline{\text{A}_n}}(\text{B}_n) \times p(\overline{\text{A}_n})$
avec $p(\text{A}_n) = p_n$ ; $p(\overline{\text{A}_n}) = 1 - p(\text{A}_n) = 1 - p_n$ ; $p_{\text{A}_n}(\text{B}_n) = \dfrac{17}{20} = 0,85$ et $p_{\overline{\text{A}_n}}(\text{B}_n) = \dfrac{1}{20} = 0,05$ donc :
$p_{n+1} = 0,85 p_n + 0,05(1 - p_n) = (0,85-0,05)p_n + 0,05 = \boxed{0,8p_n+0,05}$

3. D'après la formule précédente : $p_3 = 0,8 p_2 + 0,05 = 0,8 \times 0,85 + 0,05 = \boxed{0,73}$

4. a) Démonstration par récurrence en 3 étapes :
Pour $n = 1$ , p₁ = 1 > 0,25. La propriété est vraie au rang 1.
On suppose que pour $n$ fixé, p_n > 0,25.
Donc 0,8p_n > 0,8 × 0,25 = 0,2 et 0,8p_n + 0,05 > 0,2 + 0,05 = 0,25 donc p_n+1 > 0,25.
La propriété est donc héréditaire.
La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n$ non nul :
Pour tout $n$ entier naturel non nul, on a : $p_n > 0,25$

4. b) $p_{n+1} - p_n = 0,8p_n + 0,05 - p_n = -0,2p_n + 0,05$
Or p_n > 0,25, donc -p_n < -0,25
-0,2p_n < -0,2 × 0,25 = -0,05
-0,2p_n + 0,05 < 0
On a donc p_n+1 - p_n < 0 donc la suite $(p_n)$ est strictement décroissante.

4. c) La suite $(p_n)$ est donc minorée par 0,25 et strictement décroissante : elle est donc convergente vers un réel noté $\ell$ .

4. d) Par définition, pour une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ , la limite, si elle existe, vérifie $\ell = f(\ell)$ .
Donc ici, $\ell$ vérifie : $\ell = 0,8 \ell + 0,05$ .
Donc $0,2 \ell = 0,05$ donc $\ell = \dfrac{0,05}{0,2} = \boxed{0,25}$ .

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. $z' = \dfrac{z}{|z|} (2 - |z|) = \dfrac{re^{i\alpha}}{r}(2 - r) = (2 - r)e^{i\alpha}$

2. Pour $z = a = 3$ , $a' = \dfrac{a}{|a|}(2 - |a|) = \dfrac{3}{|3|}(2 - |3|) = -1$

3. a) $b = -\sqrt{3} + i = 2 \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = 2 \left(\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right) + i . \sin \left(\dfrac{5\pi}{6} \right) \right) = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$

3. b) $b' = (2 - r)e^{i\alpha} = (2 - 2)e^{i\frac{5\pi}{6}} = 0$

4.

bac scientifique, obligatoire et spécialité, énoncé et corrigé Liban Juin 2007 - terminale : image 3

5. a) $\text{M} \in E \Longleftrightarrow z \neq 0 \text{ et } z' = 0$
$\Longleftrightarrow z \neq 0 \text{ et } (2 - r)e^{i\alpha} = 0 \\ \Longleftrightarrow 2 - r = 0 \\ \Longleftrightarrow r = 2$
E est donc le cercle de centre O et de rayon 2.

5. b) Voir figure ci-dessus.

6. Si $\text{M} \in C_1$ , alors $r = 1$ et $z$ s'écrit : $z = e^{i\alpha}$ et alors $z' = (2 - r)e^{i\alpha} = (2 - 1)e^{i\alpha} = e^{i\alpha} = z$ c'est-à-dire $\text{M} = f(\text{M}).$
Si $\text{M} = f(\text{M})$ , alors $z \neq 0 \text{ et } z' = z$ , donc $z = \dfrac{z}{|z|}(2-|z|)$ donc $1 = \dfrac{1}{|z|}(2-|z|)$ donc $|z| = 2 - |z|$ donc $|z| = 1$ donc $\text{M} \in C_1$ .
Conclusion : $\text{M} \in C_1 \Longleftrightarrow \text{M} = f(\text{M})$ .

7. a) $\text{M}' = f(\text{M})$ donc $z' = \dfrac{z}{|z|}(2 - |z|)$ et I milieu de [MM'] donc :
$z_{\text{I}} = \dfrac{z + z'}{2} = \dfrac{1}{2} \left(z + \dfrac{z}{|z|}(2 - |z|) \right)\\ = \dfrac{z}{2} \left(1 + \dfrac{1}{|z|}(2 - |z|) \right) = \dfrac{z}{2} \left(\dfrac{|z|+2-|z|}{|z|} \right) \\ = \dfrac{z}{2} \left(\dfrac{2}{|z|}\right) = \dfrac{z}{|z|}$
D'où $|z_{\text{I}}| = \left| \dfrac{z}{|z|} \right| = \dfrac{|z|}{|z|} = 1$ donc $\text{I} \in C_1$ .

7. b) On a : $z_{\text{I}} = \dfrac{z}{|z|} = \dfrac{1}{|z|}z$ , ce qui revient à écrire $z_{\overrightarrow{\text{OI}}} = \dfrac{1}{|z|} z_{\overrightarrow{\text{OM}}}$
Donc $\overrightarrow{\text{OI}} = \dfrac{1}{|z|} \overrightarrow{\text{OM}} = k \overrightarow{\text{OM}}$ avec $k > 0$ donc $\text{I} \in [\text{OM})$

7. c) D'après les questions précédents, I₁ (milieu de [M₁M₁']) est donc l'intersection du cercle $C_1$ et [OM₁). Cela nous permet de construire I₁ puis le point M₁', tel que I est milieu de [M₁M₁']. Cf figure complétée à la question 4.

Publié par Cel/Aurélien le 24-03-2009

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