Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Session 2007

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
8 points

exercice

Une enquête a été menée sur le mode de vie de 700 femmes de plus de 40 ans toutes atteintes d'un cancer lié au tabac. On a obtenu les renseignements suivants :
47 % de ces femmes n'ont jamais fumé
6 % de ces femmes consomment beaucoup d'aliments riches en béta-carotène
Parmi les femmes consommant beaucoup de béta-carotène, 7 n'ont jamais fumé.

1. C'est au cours d'une enquête sur le mode de vie et l'état de santé d'une population de 60 000 femmes du plus de 40 ans, que l'on a trouvé que 700 de ces femmes étaient atteintes d'un cancer lié au tabac.
Déterminer pour cette population le pourcentage de femmes ayant développé an cancer lié au tabac.
Arrondir à 0,01 % près.

2. Compléter le tableau suivant.

  Femmes n'ayant jamais fumé Fumeuses ou anciennes fumeuses Total
Femmes consommant beaucoup de béta-carotène      
Femmes consommant peu de béta-carotène      
Total     700


3. On choisit au hasard une femme parmi celles qui ont développé un cancer lié au tabac.
On note A l'événement : "la femme choisie consomme beaucoup d'aliments riches en béta-carotène" et B l'événement : "la femme choisie est une fumeuse ou une ancienne fumeuse".
Si nécessaire arrondir les résultats à 0,001 près.
   a) Calculer la probabilité de chacun des événements A et B.
   b) Définir par une phrase l'événement \text{A} \cap \text{B}, puis calculer la probabilité de cet événement.
   c) Définir par une phrase l'événement \text{A} \cup \bar{\text{B}}, puis calculer la probabilité de cet événement.

4. On choisit au hasard une femme parmi les fumeuses ou les anciennes fumeuses.
Calculer la probabilité que cette femme consomme beaucoup de béta-carotène.
Arrondir le résultat à 0,001 près.


12 points

probleme

Partie A

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 12] par : f(t) = 2 + 15 t e^{-0,8t}.
On note \scr{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :
    2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses
    1 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

On note f' la fonction dérivée de la fonction f.

l. a) Calculer f'(t) et montrer que : f'(t) = 12(1,25 - t)e^{-0,8 t}.
   b) Etudier le signe de f'(t) sur l'intervalle [0 ; 12].
   c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 12].
Indiquer les valeurs exactes des nombres portés dans ce tableau : f(0), \: f(12) et le maximum de f.

2. Soit A le point d'abscisse 0 de la courbe \scr{C} et (T) la tangente en A à la courbe \scr{C}.
Déterminer une équation de la tangente (T).

3. a) Compléter le tableau suivant (arrondir les rèsultats à 0,1 près).

t 0 0,5 1 1,5 2 3 5 7 9 12
f(t)     8,7     6,1 3,4   2,1  


   b) Tracer la tangente (T) et la courbe \scr{C} sur la feuille de papier millimétré fournie.

Partie B

Un sportif a absorbé un produit dopant.
On admet que f(t) représente le taux de produit dopant, en \mu \text{g/l}, présent dans le sang de ce sportif en fonction du temps t, en heures, écoulé depuis l'absorption durant les douze heures qui suivent cette absorption.

1. Déterminer par le calcul le taux de produit dopant présent dans le sang du sportif au bout de 2 heures et 30 minutes.
Arrondir à 0,1 près.

2. Au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang du sportif est-il maximal ?
Exprimer le résultat en heures et minutes.

3. Les règlements sportifs interdisent l'usage de ce produit dopant. Le taux maximum autorisé est de 3 \mu \text{g/l}.
Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang de ce sportif redescend en dessous de 3 \mu \text{g/l}.
Laisser apparents les traits de construction utiles.





exercice

1. Sur 60 000 femmes, 700 sont atteintes d'un cancer lié au tabac :
\frac{700}{60\,000} \times 100 \approx 1,166...
Donc ces 700 femmes correspondent à \boxed{1,17 \%} de la population interrogée.

2.

  Femmes n'ayant jamais fumé Fumeuses ou anciennes fumeuses Total
Femmes consommant beaucoup de béta-carotène 7 35 42
Femmes consommant peu de béta-carotène 322 336 658
Total 329 371 700


3. a) Il y a 42 femmes sur 700 qui consomment beaucoup de béta-carotène, donc :
\boxed{\text{P(A)} = \frac{42}{700} = 0,06}
Il y a 371 fumeuses ou anciennes fumeuses sur les 700 femmes, donc :
\boxed{\text{P(B)} = \frac{371}{700} = 0,53}

3. b) \text{A} \cap \text{B} : "La femme choisie est une fumeuse ou ancienne fumeuse qui consomme beaucoup de béta-carotène".
Il y a 35 femmes sur 700 qui correspondent à ce cas, donc :
\boxed{P(\text{A} \cap \text{B}) = \frac{35}{700} = 0,05}

3. c) \text{A} \cup \bar{\text{B}} : "La femme choisie est une fumeuse ou ancienne fumeuse OU une femme consommant peu de béta-carotène".
On utilise la formule : \text{P}(\text{A} \cup \bar{\text{B}}) = \text{P}(\text{A}) + \text{P}(\bar{\text{B}}) - \text{P}(\text{A} \cap \bar{\text{B}}) , avec :
\text{P}(\bar{\text{B}}) = 1 - \text{P}(\text{B}) \: \text{ et } \text{P}(\text{A} \cap \bar{\text{B}}) = \frac{7}{700} = 0,01
Donc : \text{P}(\text{A} \cup \bar{\text{B}}) =  0,06 + 1 - 0,53 - 0,01
\boxed{\text{P}(\text{A} \cup \bar{\text{B}}) = 0,52}

4. Il y a 35 femmes qui consomment beaucoup de béta-carotène parmi les 371 fumeuses ou anciennes fumeuses, donc :
\boxed{\text{P} = \frac{35}{371} \approx 0,094}




probleme

Partie A

1. a) Calcul de la dérivée de f :
f'(t) = \left( 15 t e^{-0,8t} \right)'
C'est la dérivée d'un produit :
u = 15t \hspace{20pt} \text{ donc } \hspace{20pt} u' = 15 \\ v = e^{-0,8t} \hspace{20pt} \text{ donc } \hspace{20pt} v' = -0,8e^{-0,8t} \\ f'(t) = u'v + uv' \\ f'(t) = 15e^{-0,8t} + 15t \times (-0,8e^{-0,8t})
En factorisant : f'(t) = 15e^{-0,8t} (1-0,8t)
Or : 12(1,25-t) = 15 - 12t \hspace{20pt} \text{ et } \hspace{20pt} 15(1-0,8t) = 15 - 12t
Donc : \boxed{f'(t) = 12(1,25-t)e^{-0,8t}}

1. b) Etude du signe de la dérivée f' :
Pour tout x \in [0 \, ; \, 12], on a : e^{-0,8t} > 0
1,25-t=0 \: \Longleftrightarrow \: t = 1,25
sujet bac SMS, Métropole 2007 - terminale : image 1


1. c) Variations de f :
sujet bac SMS, Métropole 2007 - terminale : image 2

f(0) = 2 + 15 \times 0 \times e^{-0,8 \times 0} \\ \boxed{f(0) = 2}\\ f(1,25) = 2 + 15 \times 1,25 \times e^{-0,8 \times 1,25} \\ \boxed{f(1,25) = 2 + 18,75 e^{-1} \approx 8,898} \\ f(12) = 2 + 15 \times 12 \times e^{-0,8 \times 12} \\ \boxed{f(12) = 2 + 180 e^{-9,6} \approx 2,012}

2. Equation de la droite tangente au point d'abscisse 0 :
On utilise la formule : y = f'(a)(x-a) + f(a) avec a = 0.
f(0) = 2
f'(0) = 12 \times (1,25 - 0) \times e^{-0,8 \times 0} = 12 \times 1,25 = 15
L'équation de la droite (T) est donc : \boxed{y = 15x+2}

3.
t 0 0,5 1 1,5 2 3 5 7 9 12
f(t) 2 7,0 8,7 8,8 8,1 6,1 3,4 2,4 2,1 2,0


4.
sujet bac SMS, Métropole 2007 - terminale : image 3


Partie B

1. 2 heures et 30 minutes correspond à 2,5 heures.
f(2,5) \approx 7,075
Donc le taux de produit est de 7,1 \mu \text{g/l} au bout de 2 heures et 30 minutes.

2. D'après le tableau de variation, le taux est maximal pour t = 1,25, ce qui correspond à 1 heure et 15 minutes.

3. Graphiquement, on trouve que le taux est égal à 3 pour t \approx 5,5, ce qui correspond à 5 heures et 30 minutes.
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