Fiche de mathématiques
> >

Bac Technologique 2007 - Série Sciences et Technologies de la Gestion

Partager :
Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédacion dans l'appréciation des copies.
3 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire a choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est 0.


Vous reporterez sur votre copie la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

1. Le nombre -3 est solution de l'équation :
      \bullet \: \ln x = - \ln 3 \; ; \hspace{50pt} \bullet \: \ln \left(\text{e}^x\right) = -3 \; ; \hspace{50pt} \bullet \: \text{e}^{\ln x} = -3

2. Soit f la fonction dérivable sur \mathbb{R} définie par : f(x) = (2x + 3)\text{e}^{-x}.
Sa fonction dérivée f' est donnée par :
      \bullet \: f'(x)= 2\text{e}^{-x} \; ; \hspace{50pt} \bullet \: f'(x) = (-2x-3)\text{e}^{-x} \; ; \hspace{50pt} \bullet \: f'(x) = (-2x-1)\text{e}^{-x}

3. La population d'une commune est passée de 3 000 à 6 000 habitants en 20 ans. Le taux d'évolution annuel moyen (à 0,01 % près) a été de :
      \bullet \: 5\:\% \; ; \hspace{50pt} \bullet \: 3,72\:\% \; ; \hspace{50pt} \bullet \: 3,53 \:\%


5 points

exercice 2

Dans un club de vacances, deux activités A et B sont proposées aux enfants entre 8 et 10 ans. Les enfants peuvent cumuler les deux activités, choisir une seule de ces deux activités, ou encore ne pratiquer aucune de ces deux activités.
On choisit au hasard le nom d'un enfant de cet âge. Tous les enfants ont la même probabilité d'être choisis.
On notera \mathcal{A} l'évènement : " l'enfant pratique l'activité A " et \bar{\mathcal{A}} l'évènement contraire de \mathcal{A};
\hspace{60pt} \mathcal{B} l'évènement : " l'enfant pratique l'activité B " et \bar{\mathcal{B}} l'évènement contraire de \mathcal{B}.
La situation est représentée à l'aide d'un arbre pondéré donné en annexe 1 ci-dessous.

sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2007 - terminales : image 1

Annexe 1


1. Compléter l'arbre et le tableau fournis en annexe 1.

2. Par lecture de l'arbre, donner les probabilités conditionnelles p_{\mathcal{A}}(\mathcal{B}) et p_{\overline{\mathcal{A}}} (\mathcal{B}).

3. Démontrer que p(\mathcal{B}) =  0,22.

4. On définit les évènements E et F de la façon suivante :
      E : " l'enfant choisi ne pratique aucune des deux activités ";
      F : " l'enfant choisi pratique au moins l'une des activités ".
   a) Exprimer E en fonction de \mathcal{A} et \mathcal{B} puis, en s'appuyant sur les résultats contenus dans le tableau du 1, déterminer p(E).
   b) Calculer p(F).


6 points

exercice 3

On se propose dans cet exercice, d'étudier l'évolution de la consommation d'eau minérale des Français depuis 1970.

Partie A : La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, donne la consommation moyenne d'eau minérale en en litres par Français sur une année :

  A B C
1 Année Consommation (en l)
arrondie au litre près
Taux d'évolution décennal
exprimé en pourcentage à 0,1 l
2 1970 40  
3 1980 55 37,5
4 1990 90 63,6
5 2000 149 65,6

Source : Insee


1. a) Que signifie le nombre 37,5 obtenu dans la case C3 ?
On attend une explication en français et la justification de ce nombre à l'aide d'un calcul.
   b) Quelle formule faut-il écrire dans la case C3 pour compléter la colonne C en recopiant cette formule vers le bas ?

2. a) Calculer le taux d'évolution global de la consommation d'eau minérale entre les années 1970 et 2000.
   b) En déduire que le taux d'évolution décennal moyen entre les années 1970 et 2000 est de 55% (à 1% près).
   c) Si l'on fait l'hypothèse que la consommation d'eau minérale continue à évoluer en suivant le taux décennal de 55% au delà de l'an 2000, quelle consommation, à un litre près, peut-on prévoir pour l'année 2010 puis pour l'année 2040 ?

Partie B : Le tableau suivant donne l'évolution de cette consommation, en litre par personne entre 1995 et 2004. Le nuage de points correspondant est donné en annexe 2.
Le but est de rechercher un ajustement affine de ce nuage de points.

Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang xi de l'année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Consommation yi (en litres) 117 115 122 134 142 149 152 150 168 169


sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2007 - terminales : image 2

Annexe 2


1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer ce point sur le graphique.

2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation la droite (\Delta) d'ajutstement affine de y en x sous la forme y = ax + ba et b seront arrondis à 0,1 près.

3. Tracer la droite (\Delta) sur le graphique de l'annexe 2.

4. a) À l'aide de l'équation précédente, estimer la consommation d'eau minérale par Français en 2010 (arrondie au litre près).
   b) Retrouver graphiquement le résultat précédent.
   c) Le résultat obtenu en 4.a) est différent du résultat obtenu dans la partie A question 2.
Pouvait-on s'y attendre ?


6 points

exercice 4

On considère une fonction f définie sur l'intervalle [-2 ; 2].

Partie A
La figure ci-dessous donne une partie de la courbe \scr{C} représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan, ainsi que la droite D, tangente à la courbe au point d'abscisse 0. On note f' la fonction dérivée de f sur [-2 ; 2].

sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2007 - terminales : image 3


1. Par lecture graphique et sans donner de justification :
   a) Déterminer f(0).
   b) Donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0. Aucune valeur approchée de la (ou des) solution(s) n'est demandée.
   c) Donner le nombre de solutions de l'équation f'(x) = 0. Aucune valeur approchée de la (ou des) solution(s) n'est demandée.

2. Par lecture graphique et en justifiant votre réponse, déterminer f'(0).

3. L'une des trois courbes \scr{C}_1 \: , \; \scr{C}_2 \: ; \; \scr{C}_3 ci-après est la courbe de la fonction f', fonction dérivée dc la fonction f. En justifiant votre réponse, éliminer les deux courbes qui ne peuvent pas représenter f'.

sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2007 - terminales : image 4
   
sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2007 - terminales : image 5
   
sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2007 - terminales : image 6


Partie B
La fonction f étudiée dans la première partie est définie sur [-2 ; 2] par : f(x) = \frac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2x - 1,5

1. Calculer f(0).

2. On note f' la fonction dérivée de f.
   a) Calculer f'(x).
   b) Résoudre dans [-2 ; 2], l'inéquation \text{e}^{2x} - 2 \geq 0.
   c) En déduire l'intervalle sur lequel la fonction f est croissante.





exercice 1

1. Le nombre -3 est solution de l'équation \ln \left(\text{e}^x\right) = -3

2. f est de la forme uv avec u(x) = 2x + 3 \text{ et } v(x) = e^{-x}.
u et v sont deux fonctions dérivables sur \mathbb{R} et pour tout nombre réel x, u'(x) = 2 \text{ et } v'(x) = -e^{-x}
D'où : f'(x) = 2 \times e^{-x} + (2x + 3)(-e^{-x}) = (-2x -1)e^{-x}

3. Le taux d'évolution annuel moyen (à 0,01 % près) a été de 3,53 % car 3000 × 1,035320 \approx 6000




exercice 2

1. Complétons l'arbre et le tableau :
sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2007 - terminales : image 7


2. Par lecture de l'arbre, on obtient : p_{\mathcal{A}}(\mathcal{B}) = 0,3 et p_{\overline{\mathcal{A}}} (\mathcal{B}) = 0,1

3. Démontrons que p(\mathcal{B}) =  0,22 :
On a : \mathcal{B} = (\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cup (\overline{\mathcal{A}} \cap \mathcal{B})
Donc : p(\mathcal{B}) = p(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) + p(\overline{\mathcal{A}} \cap \mathcal{B}) = 0,18 + 0,04 = 0,22

4. a) Exprimons E en fonction de \mathcal{A} et \mathcal{B} :
L'enfant choisi ne pratique aucune activité, c'est-à-dire ni l'activité A et ni l'activité B ; on a alors : E = \overline{\mathcal{A}} \cap \overline{\mathcal{B}}.
Donc : p(E) = p(\overline{\mathcal{A}} \cap \overline{\mathcal{B}}) = 0,36

4. b) " L'enfant choisi pratique au moins l'une des activités " est l'évènement contraire de " L'enfant choisi ne pratique aucune des deux activités ". Donc : F = \overline{E}
D'où : p(F) = p(\overline{E}) = 1 - p(E) = 1 - 0,36 = 0,64




exercice 3

Partie A :
1. a) 37,5 est le taux d'évolution de la consommation d'eau minérale (en L) par Français entre 1970 et 1980 exprimé en pourcentage (arrondi au dixième).
On retrouve ce résultat par le calcul en utilisant les consommations d'eau minérale des années 1970 et 1980 : \frac{55 - 40}{40} \times 100 = 37,5

1. b) La formule à écrire dans la case C3 pour compléter la colonne C en recopiant cette formule vers le bas est : \boxed{= 100 \times (\text{B}3 - \text{B}2)/\text{B}2}

2. a) Le taux d'évolution global de la consommation d'eau minérale entre les années 1970 et 2000 est : \frac{149 - 40}{40} \times 100 \% , c'est-à-dre 272,5 %.

2. b) Entre les années 1970 et 2000, il y a 3 décennies. Le taux d'évolution décennal moyen t entre les années 1970 et 2000 vérifie : (1 + t)3 = 1 + \frac{275,5}{100},
équivaut à (1 + t)3 = 3,755
équivaut à 1 + t = \sqrt[3]{3,755}
équivaut à \text{t} = \sqrt[3]{3,755} - 1
Donc : t \approx 0,554
D'où : le taux d'évolution décennal moyen entre les années 1970 et 2000 est de 55% (à 1% près).

2. c) Si l'on fait l'hypothèse que la consommation d'eau minérale continue à évoluer en suivant le taux décennal de 55% au delà de l'an 2000, on pourra prévoir une consommation de 149 × 1,55, soit environ 231 litres d'eau pour l'année 2010.
Pour l'année 2040, on pourra prévoir une consommation de 149 × 1,554, soit environ 860 litres d'eau.

Partie B :
1. Déterminons les coordonnées du point moyen G de cette série :
x_{\text{G}} = \frac{0+1+2+3+4+5+6+7+8+9}{10} = \frac{45}{10} = 4,5
et y_{\text{G}} = \frac{117+115+122+134+142+149+152+150+168+169}{10} = \frac{1418}{10} = 141,8
D'où : G(4,5 ; 141,8).

2. Une équation la droite (\Delta) est y = 6,3x + 113,4

3. Graphique :
sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry 2007 - terminales : image 8


4. a) L'année 2010 correspond au rang 15.
La consommation d'eau minérale par Français en 2010 sera donc de 6,3 × 15 + 113,4, soit environ 208 litres (arrondi au litre près).

4. b) A l'aide du graphique (pointillés vert), on retrouve bien le résultat précédent : en 2010, la consommation d'eau minérale par Français sera d'environ 208 litres.

4. c) Le résultat obtenu en 4.a) est différent du résultat obtenu dans la partie A question 2. On pouvait s'y attendre puisque dans la partie A, nous avons supposé que la consommation d'eau évoluerait avec un taux décennal fixe de 55% en se basant sur les consommations des années 1970 à 2000, alors que dans la partie B, les chiffres donnés sont annuels et plus récents (à partir de 1995) et donc plus proches de notre consommation actuelle.




exercice 4

Partie A
1. Par lecture graphique :
   a) f(0) = -1.
   b) La courbe \scr{C} coupe deux fois l'axe des abscisses, donc l'équation f(x) = 0 admet deux solutions.
   c) La courbe \scr{C} admet une asymptote horizontale, donc l'équation f'(x) = 0 admet une unique solution.

2. f'(0) est le coefficient directeur de la tangente D à \scr{C} en 0. La droite D passe par les points de coordonnées (-1 ; 0) et (0 ; -1). Son coefficient directeur est donc \frac{0 - (-1)}{-1 - 0} = -1.
D'où : f'(0) = -1

3. La courbe \scr{C}_1 ne passe pas par le point de cordonnées (0 ; -1), donc la courbe \scr{C}_1 ne représente pas f'.
f est décroissante sur [-2 ; 0], donc f'(x) \leq 0 sur [-2 ; 0]. Or, la courbe \scr{C}_3 est au-dessus de l'axe des abcisses sur [-2 ; -1,25], donc \scr{C}_3 ne représente pas f'.

Partie B
1. Calculons f(0) :
f(0) = \frac{1}{2}\text{e}^{2 \times 0} - 2 \times 0 - 1,5 = \frac12 - 1,5 = -1

2. a) Calculons f'(x) :
La fonction xfleche2\frac12 e^{2x} est dérivable sur [-2 ; 2].
La fonction xfleche2-2x - 1,5 est une fonction affine, donc dérivable sur [-2 ; 2].
Par somme, f est dérivable sur [-2 ; 2], et pour tout x de [-2 ; 2], on a :
f'(x) = \frac12 \times 2e^{2x} - 2 = e^{2x} - 2

2. b) Résolvons dans [-2 ; 2], l'inéquation \text{e}^{2x} - 2 \geq 0 :
\text{e}^{2x} - 2 \geq 0 équivaut à  \text{e}^{2x} \geq 2
        équivaut à \ln\left( \text{e}^{2x}\right) \geq \ln 2 car la fonction ln est croissante sur ]0 ; +\infty[
        équivaut à 2x \geq \ln 2
        équivaut à x \geq \frac{\ln 2}{2}
D'où : \scr{S} = \left[\frac{\ln 2}{2} ; 2\right]

2. c) Déduisons-en l'intervalle sur lequel la fonction f est croissante :
On a montré que sur  \left[\frac{\ln 2}{2} ; 2\right], \text{e}^{2x} - 2 \geq 0 c'est-à-dire f'(x) \geq 0
D'où : la fonction f est croissante sur  \left[\frac{\ln 2}{2} ; 2\right].
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1336 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !