Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialité : Communication et Gestion des Ressources Humaines
Polynésie Française - Session Juin 2007

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Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Ce sujet est composé de 3 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes des probabilités.
Luc achète un lot de 20 clés USB de deux marques, Gralinte et Kincoss, toutes les clés ayant la même forme extérieure.
De la première marque il a pu acquérir cinq clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et une de 2 Go.
De la seconde il ramène huit clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et deux de 2 Go.
(1 Go = 1 000 Mo).

Il choisit au hasard l'une de ces clés.

On note dans la suite les événements suivants :
   G : "La clé choisie est de marque Gralinte";
   K : "La clé choisie est de marque Kincoss";
   A : "La capacité de la clé choisie est de 512 Mo";
   B : "La capacité de la clé choisie est de 1 Go";
   C : "La capacité de la clé choisie est de 2 Go".

1. a) Donner la probabilité de l'événement K.
   b) Donner la probabilité de l'événement A sachant K.
   c) Compléter l'arbre de probabilité suivant, en écrivant sur chaque branche la probabilité correspondante :

Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française 2007 - terminale : image 1


2. Quelle est la probabilité que Luc ait choisi une clé de 512 Mo ?


7 points

exercice 2

On considère la série statistique chronologique ci-dessous :
Années x_i19971998199920002001
Emploi total en milliers yi22 22322 47922 67223 26123 759
Source INSEE, enquêtes emplois et comptes nationnaux. Données de mars de chaque année.


1. Modélisation par un ajustement affine
La droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation :
y = 385,4 x - 747535,8.

On suppose que l'évolution se poursuive selon le modèle donné par l'ajustement affine.
A l'aide de cet ajustement affine, déterminer par le calcul le nombre de personnes en emploi total (en milliers) prévisible pour l'année 2003.

2. Modélisation par une suite géométrique
   a) Calculer le taux d'évolution global de l'année 1997 à l'année 2001, puis le taux d'évolution annuel moyen pour la même période (les réponses seront données sous la forme x % où x est arrondi à 10-3).
   b) Le taux annuel moyen est proche de 1,68 %. On suppose que l'évolution suit le modèle donné par la suite géométrique (u_n) dont le premier terme est u_0 = 22 223 et dont la raison est 1, 0168.
Compléter le tableau suivant :
Années1997199819992000200120022003
Rang n0123456
un22 223     24 559


3. Comparaison des deux modélisation à la réalité
En fin de compte, le tableau statistique complet relatant le marché du travail s'avère être le suivant :
Années1997199819992000200120022003
Emploi total en milliers22 22322 47922 67223 26123 75923 94224 347

   a) Comparer la valeur trouvée pour l'année 2003 à l'aide de l'ajustement affine, avec la donnée réelle observée. Quel est le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle ?
   b) Comparer u_6 avec la donnée réelle de 2003. Quel est le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle ?


8 points

exercice 3

Le site (imaginaire) "www.musordi.net" propose aux internautes de télécharger des titres de musique sur leur ordinateur. Son offre commerciale pour un trimestre est la suivante :
    l'option simple : 0,90 € par titre téléchargé ;
    l'option abonnement : un abonnement de 12 €, chaque titre téléchargé facturé à 0,675 € ;
    l'option forfaitaire : un forfait de 40 € pour 50 titres téléchargés, chaque titre supplémentaire étant facturé 1 €.

Partie I : Utilisation d'un tableur

Pour choisir au mieux son option trimestrielle, Cécile crée une feuille de calcul à l'aide d'un tableur.
Son étude porte sur un nombre de titres téléchargés, compris entre 0 et 150. Ci-dessous est reproduit le début de son tableau ; le graphique est obtenu à partir du tableau complet, non présenté.
 ABCD
1Comparaison des offres commerciales
2Nombre de titres chargésOption simpleOption abonnementOption forfaitaire
3001240
410,912,67540
521,813,3540
632,714,02540


1. Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, Cécile doit-elle écrire dans la cellule B3 ?

2. Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, Cécile doit-elle écrire dans la cellule C3 ?

3. Compléter les cellules B54, C54, D54 dans le tableau ci-dessous :
 ABCD
1Comparaison des offres commerciales
2Nombre de titres chargésOption simpleOption abonnementOption forfaitaire
524944,145,07540
53504545,7540
5451   


Partie II : Étude graphique (Figure sur la feuille annexe à rendre avec la copie)

Veiller à laisser sur le graphique les traces écrites des lectures effectuées qui sont la justification des réponses.
Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française 2007 - terminale : image 2

Annexe

Sur le graphique de la feuille annexe, la droite \scr{D}_f représente la fonction f, définie pour x réel dans l'intervalle [0 ; 150] par f(x) = 0,9 x et la droite \scr{D}_g représente g, définie sur l'intervalle [0 ; 150] par g(x) = 0, 675 x + 12.
Pour les valeurs entières de x, f(x) est le coût en euros du téléchargement de x titres avec l'option simple.
Pour les valeurs entières de x, g(x) est le coût en euros du téléchargement de x titres avec l'option abonnement.
Pour les valeurs entières de x, le coût en euros du téléchargement de x titres avec l'option forfaitaire est h(x), où h est une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 150].

1. Justifier que si 0 \le x \le 50 on a h(x) = 40 et si 50 \le x \le 150 on a h(x)=x-10.

2. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection des droites \scr{D}_f et \scr{D}_g (à 10-2 près).

3. Par lecture graphique, déterminer les nombres de titres téléchargés pour lesquels l'option simple est la plus avantageuse.

4. Le budget trimestriel de Cécile et limité à 30 €. Déterminer graphiquement combien de titres Cécile peut télécharger au maximum.



exercice 1

1. a) Luc a acheté de la marque "Kincoss" : 8 clés de 512 Mo, 2 clés de 1 Go et 2 clés de 2 Go, donc 12 clés de cette marque au total.
Donc :
P(K)=\dfrac{12}{20}=\boxed{0,6}


1. b) Luc a acheté 8 clés de 512 Mo de la marque "Kincoss", donc :
P_K(A)=\dfrac{8}{12}=\boxed{\dfrac{2}{3}}


1. c) On complète facilement l'arbre pondéré demandé (calculs analogues à ceux des questions précédentes).
Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française 2007 - terminale : image 3


2. Puisque G et K forment une partition de l'univers, on a d'après le cours : P(A)=P(A\cap G)+P(A\cap K)=P_G(A)P(G)+P_K(A)P(K)=\dfrac{5}{8} \times 0,4 + \dfrac{2}{3} \times 0,6=\boxed{0,65}




exercice 2

1. Modélisation par un ajustement affine
Il s'agit simplement de remplacer x par 2003 dans l'équation de la droite d'ajustement, soit : y=385,4 \times 2003 - 747535,8=\boxed{24420,4}
Conclusion :
Le nombre de personnes en emploi total prévisible pour l'année 2003 est 24420 milliers.


2. Modélisation par une suite géométrique
2. a)
Le taux d'évolution global de l'année 1997 à l'année 2001 est : \dfrac{23759-22223}{22223}\approx 0,06912\text{ soit }\boxed{6,912\%}
Cette augmentation de 6,912 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,06912.
Le taux d'évolution annuel moyen de l'année 1997 à l'année 2001 correspond au coefficient multiplicateur 1,06912^{\frac{1}{4}}\approx 1,01685 soit une augmentation annuelle moyenne de 1,685 %.
Le taux moyen annuel est de 1,685 %.


2. b)
Années1997199819992000200120022003
Rang n0123456
un22 22322 59622 97623 36223 75424 15424 559


3. Comparaison des deux modélisation à la réalité
3. a) L'ajustement affine donne une très bonne approximation de la valeur en 2003 car 24420 est proche de 24347.
Le pourcentage d'erreur de la valeur trouvée par ajustement affine par rapport à la valeur réelle est de : \dfrac{24420-24347}{24347}\approx \boxed{0,30\%}

3. b) u_6 représente une bonne approximation de la valeur en 2003 car u_6=24559 est proche de 24347 mais moins performante que l'ajustement affine.
Le pourcentage d'erreur de u_6 par rapport à la valeur réelle est de : \dfrac{24559-24347}{24347}\approx \boxed{0,87\%}




exercice 3

Partie I

1.Dans B3 peut être écrit "=A3*0,9"

2.Dans C3 peut être écrit "=12+A3*0,675"

3.Dans B54, on aura 45,9 car 51\times0,9=45,9
Dans C54, on aura 46,425 car 12+0,675\times 51=46,425
Dans D54, on aura 41 car 40+1=41

Partie II

1. Rappelons l'option forfaitaire : un forfait de 40 euros pour 50 titres téléchargés, chaque titre supplémentaire étant facturé 1 euro.
Pour x de [0 ; 50], puisque le tarif h(x) ne dépend pas de la quantité x, la fonction h est constante et égale 40. Donc :
\boxed{h(x)=40 \text{ pour tout }x \text{ de } [0;50]}

Pour x de [50 ; 150], h(x)=40+1\times(x-50)\Longleftrightarrow h(x)=40+x-50. D'où :
\boxed{h(x)=x-10 \text{ pour tout }x \text{ de } [50,150]}


2. Il s'agit de résoudre le système \begin{cases}y= 0,9 x \\y = 0, 675 x + 12\end{cases}
\begin{cases}y= 0,9 x \\y = 0, 675 x + 12\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}y= 0,9 x \\0,9x= 0, 675 x + 12\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}y= 0,9 x \\0,225x= 12\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}y= 0,9 x \\0,225x= 12\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}y=0,9\dfrac{12}{0,225}\\x=\dfrac{12}{0,225}\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\begin{cases}y=48\\x= 53,33\end{cases}}
Conclusion :
\boxed{\text{ Le point d'intersection des droites } \scr{D}_f \text{ et } \scr{D}_g \text{ a pour coordonnées } (53,33~;~48)}


3. Voir les traits pointillés de construction sur la figure à la fin de l'exercice.
Par lecture graphique, l'option simple est la plus avantageuse lorsque la droite (bleue) est "sous" les courbes verte d'une part et rouge d'autre part. L'option simple est donc la plus intéressante pour un nombre de titres téléchargés entre 0 et 44.

4. (Voir figure)
Pour 30 euros, Cécile pourra télécharger un maximum de 33 titres.
Figure :
Bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Polynésie Française 2007 - terminale : image 4
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