Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

5 points

exercice 1

1. Déterminer 3 réels a, b et c tels que pour tout nombre complexe $z$ on ait : $z^3 - 8 = (z - 2)(az^2 + bz + c)$ .
En déduire la résolution dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^3 - 8 = 0$ .

2. Dans le plan muni d'un repère orthonormal (0 ; $\overrightarrow{u}$ ; $\overrightarrow{v}$ ) (unité 2 cm), on considère les points $A$ d'affixe $z_A = 2$ , B d'affixe $z_B = -1+i\sqrt{3}$ et C d'affixe $z_C = -1-i\sqrt{3}$ .
    a) Placer les points A, B et C.
    b) Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.

3. On considère la rotation R de centre O et d'angle $\frac{\pi}{6}$ et on appelle A', B' et C' les images respectives de A, B et C par R.
    a) Déterminer les formes exponentielles de $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ puis de $z_{A'}$ , $z_{B'}$ , $z_{C'}$ .
    b) Placer A', B' et C' sur la figure précédente.
    c) Vérifier que $z_{A'}$ , $z_{B'}$ , $z_{C'}$ sont solutions de l'équation $z^3 = 8i$ .

4 points

exercice 2

Partie A

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise A s'élevait à 230 000 euros.
Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 15 000 euros.

1. Calculer le chiffre d'affaires $u_1$ en 1991.

2. Soit $u_n$ le chiffre d'affaires de l'année 1990 + $n$ . Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser le premier terme $u_0$ et la raison $a$ de cette suite.

3. Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise A.

Partie B

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise B s'élevait à 150 000 euros. Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 7,4 %.

1. Calculer le chiffre d'affaires $v_1$ en 1991.

2. Soit $v_n$ le chiffre d'affaires de l'année 1990 + $n$ .
Justifier que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 1,074.

3. Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise B.

Partie C

1. Que constate-t-on en 2006 pour les entreprises A et B ?

2. En 2006, le chef de l'entreprise B affirme qu'à ce rythme son entreprise aura dans 15 ans, un chiffre d'affaires pratiquement double de celui de l'entreprise A. A-t-il raison ? Justifier.

11 points

probleme

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = x^2 + 3x - 4 + 4\ln x$ .

1. Déterminer les limites de $g$ en 0 et + $\infty$ .

2. Soit $g'e$ la dérivée de $g$ . Montrer que $g'(x)=\frac{2x^2+3x+4}{x}$

3. Dresser le tableau de variation de $g$ sur ]0 ; + $\infty$ [ .

4. Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur ]0 ; + $\infty$ [ .

Partie B

Soit la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = x + 3\ln(x) - \frac{4 \ln(x)}{x}$ .
On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormal (0 ; $\overrightarrow{i}$ ; $\overrightarrow{j}$ ) (unité 3 cm).

1. a) Déterminer la limite de $f$ en + $\infty$
   b) Déterminer la limite de $f$ en 0, on remarquera que $f(x)=x+\left(3-\frac{4}{x}\right)\ln x$ .
Que peut-on en déduire ?

2. a) Montrer que pour tout $x$ strictement positif $f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}$ .
   b) En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ .
   c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ .

3. On rappelle que celle tout $x$ de l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f(x)=x+\left(3-\frac{4}{x}\right)\ln x$ .
Donner les solutions dans l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ de l'équation $f(x) = x$ .

4. Tracer $(\mathcal{C})$ et la droite d'équation $y = x$ .

5. Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.

Partie C

1. Montrer que la fonction $F$ définie sur intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 3x\ln x - 2(\ln x)^2$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ .

2. On considère dans le plan le domaine $\mathcal{D}$ délimité l'a la courbe $(\mathcal{C})$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$ .
a) Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ .
b) Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en unités d'aires puis en cm². On donnera la valeur exacte puis la valeur approche arrondie au mm² près.

Voir la correction

exercice 1

1. On développe puis on ordonne selon les puissances de $z$ :
$(z - 2)(az^2 + bz + c) = az^3 + (b - 2a)z^2 + (c - 2b)z - 2c$
Par identification avec les coefficients du polynôme $z^3 - 8 = z^3 + 0z^2 + 0z - 8$ , on obtient le système :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a & 1 \\ b - 2a & 0 \\ c - 2b & 0 \\ - 2c & - 8 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \boxed{\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a & 1 \\ b & 2 \\ c & 4 \end{array} \right.}$
Donc : $\boxed{z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)}$

Résolution de l'équation :
$z^3-8 = 0 \Longleftrightarrow (z-2)(z^2+2z+4) = 0 \\ z^3-8=0 \Longleftrightarrow z-2=0 \: \text{ ou } \: z^2+2z+4=0 \\ z^3-8=0 \Longleftrightarrow \boxed{z = 2} \: \text{ ou } \: z^2+2z+4=0$
Résolution de $z^2+2z+4=0$ :
$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 4 = -12 = (2i\sqrt{3})^2$ donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \frac{-2-2\sqrt{3}i}{2} \: \text{ ou } \: z_2 = \frac{-2+2\sqrt{3}i}{2}$
$\boxed{z_1 = -1-\sqrt{3}i} \: \text{ ou } \: \boxed{z_2 = -1+\sqrt{3}i}$
Donc : $z^3-8=0 \Longleftrightarrow \boxed{z \in \lbrace 2 \, ; \, -1-i\sqrt{3} \, ; \, -1+i\sqrt{3} \rbrace }$

2. a)

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 1

2. b) Calcul des longueurs AB, AC et BC :
$\text{AB} = | z_B - z_A| = |-1 + i\sqrt{3} - 2| = |-3 + i\sqrt{3}|= \sqrt{(-3)^2 +(\sqrt{3})^2} = sqrt{12} = \boxed{2\sqrt{3}} \\ \text{AC} = |z_C - z_A| = |-3-i\sqrt{3}| = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = \boxed{2\sqrt{3}} \\ \text{BC} = |z_C - z_B| = |-1-i\sqrt{3}-(-1+i\sqrt{3})| = |-2i\sqrt{3}| = \boxed{2\sqrt{3}}$
AB = AC = BC donc le triangle ABC est équilatéral.

3. a) Calcul des modules et arguments de $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ :
$|z_A| = |2| = \boxed{2}\\ |z_B| = |-1+i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \boxed{2} \\ |z_C| = |-1-i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{-3})^2} = \sqrt{1+3} = \boxed{2}$
Soit $\theta_A$ , $\theta_B$ et $\theta_C$ un des arguments respectifs des nombres complexes $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ .
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \cos (\theta_A ) & \frac{ Re(z_A)}{|z_A|} = \frac{2}{2} = 1 \\ \sin (\theta_A ) & \frac{ Im(z_A)}{|z_A|} = \frac{0}{2} = 0 \\ \end{array} \right. \: \text{ donc } \: \boxed{\theta_A = 0} \\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \cos (\theta_B ) & \frac{ Re(z_B)}{|z_B|} = -\frac{1}{2} \\ \sin (\theta_B ) & \frac{ Im(z_B)}{|z_B|} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \: \text{ donc } \: \boxed{\theta_B = \frac{2\pi}{3}} \\ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \cos (\theta_C ) & \frac{ Re(z_C)}{|z_C|} = -\frac{1}{2} \\ \sin (\theta_C ) & \frac{ Im(z_C)}{|z_C|} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \: \text{ donc } \: \boxed{\theta_C = -\frac{2\pi}{3}}$

Formes exponentielles (rappel : $z = |z| e^{i\theta}$ ) :
$\boxed{z_A = 2 e^{i0} = 2 e^{i2\pi} = 2}$ $\boxed{z_B = 2 e^{i\frac{2\pi}{3}}}$ $\boxed{z_C = 2 e^{-i\frac{2\pi}{3}}}$

Affixes des points A', B' et C' :
A' est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{6}$ , donc : $z_{A'} = z_A \times e^{i\frac{\pi}{6}} = \boxed{2 e^{i\frac{\pi}{6}}}$
De même pour B' et C' :
$z_{B'} = z_B \times e^{i\frac{\pi}{6}} = 2 e^{i\frac{2\pi}{3}} e^{i\frac{\pi}{6}} = 2 e^{i(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6})} =\boxed{2 e^{i\frac{5\pi}{6}}} \\ z_{C'} = z_C \times e^{i\frac{\pi}{6}} = 2 e^{-i\frac{2\pi}{3}} e^{i\frac{\pi}{6}} = 2 e^{i(-\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6})} =\boxed{2 e^{-i\frac{\pi}{2}}}$

3. b) Voir figure.

3. c)
$(z_{A'})^3 = (2 e^{i\frac{\pi}{6}})^3 = 2^3 e^{i\frac{3\pi}{6}} = 8 e^{i\frac{\pi}{2}} = \boxed{8i} \\ (z_{B'})^3 = (2 e^{i\frac{5\pi}{6}})^3 = 8 e^{i\frac{15\pi}{6}} = 8 e^{i\frac{5\pi}{2}} = \boxed{8i} \\ (z_{C'})^3 = (2 e^{-i\frac{\pi}{2}})^3 = 8 e^{-i\frac{3\pi}{2}} = \boxed{8i}$
Donc $z_{A'}$ , $z_{B'}$ et $z_{C'}$ sont solutions de l'équation $z^3 = 8i$ .

exercice 2

Partie A

1. u₁ = u₀ + 15000 = 230000 + 15000 = 245000
Le chiffre d'affaires en 1991 est de 245 000 Euros.

2. Chaque année, on ajoute 15000 Euros au C.A. de l'année de l'année précédente, donc : $\boxed{u_{n+1}=u_n +15000}$ .
Donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=230000$ et de raison $\boxed{a=15000}$ .

3. On a : $u_n =u_0 +na$ , donc : $u_n =230000+15000n$ .
En 2006, on a $n=16$ , donc : $u_{16}=230000+15000 \times 16 = 470000$
Le chiffre d'affaires en 2006 sera de 470 000 Euros.

Partie B

1. Ajouter 7,4% à un nombre revient à le multiplier par 1,074. En effet : $x+x \times \frac{7,4}{100} = (1+\frac{7,4}{100})x = 1,074x$ .
$v_1 = 1,074v_0 = 1,074 \times 150000 = 161100$
Le chiffre d'affaires en 1991 est de 161 100 Euros.

2. Chaque année, on ajoute 7,4% au C.A. de l'année de l'année précédente, donc : $\boxed{v_{n+1}=1,074v_n}$ .
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = 150000$ et de raison $\boxed{q=1,074}$ .

3. On a : $v_n=v_0 \times q^n$ , donc : $v_n=150000 \times 1,074^n$ .
En 2006, on a $n=16$ , donc : $v_{16} = 150000 \times 1,074^{16} \approx 470067$
Le chiffre d'affaires en 2006 sera d'environ 470 067 Euros.

Partie C

1. En 2006, on constate que les chiffres d'affaires des entreprises A et B sont presques égaux, donc que l'entreprise B a rattrapé l'entreprise A.

2. On calcule les chiffres d'affaires des entreprises en 2021 (2006 + 15), donc pour n = 31 (2021 - 1990 = 31).
$u_{31} = 230000+15000 \times 31 = 695000 \hspace{50pt} v_{31} = 150000 \times 1,074^{31} \approx 1371589$
Or : 695 000 × 2 = 1 390 000 donc le C.A. de B sera effectivement presque le double de celui de A 15 ans après l'année 2006.

probleme

Partie A

1. Limite en 0 :
$\. \displaystyle \lim_{x\to 0} x^2 + 3x - 4 = - 4\\ \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty\\ \rbrace \text{ donc } \boxed{ \displaystyle \lim_{x\to 0} g(x) = -\infty}$

Limite en + $\infty$ :
$\. \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, x^2 + 3x - 4 = +\infty\\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \ln x = +\infty\\ \rbrace \text{ donc } \boxed{ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, f(x) = +\infty}$

2. Calcul de la dérivée de g :
$g'(x) = 2x+3+4 \times \frac{1}{x} \\ g'(x) = \frac{2x^2}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{4}{x} \\ \boxed{g'(x) = \frac{2x^2+3x+4}{x}}$

3. Etude du signe de g :
Signe du numérateur : $2x^2+3x+4=0$
$\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times 4 = -23 < 0$ donc l'équation n'a pas de solutions, donc le numérateur est strictement positif (du signe du coefficient devant $x^2$ ).

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 2

4. g(1) = 1 + 3 - 4 + 4 ln 1 = 0
Donc, d'après les variations de g, on peut conclure que :
Si $x \in ]0 \, ; \, 1 [$ alors $g(x) < 0$
Si $x \in ]1 \, ; \, +\infty[$ alors $g(x) > 0$ .

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 3

Partie B

1. a) Limite en + $\infty$ :
$\. \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, x = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \frac{\ln x}{x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \ln x = +\infty \\ \rbrace \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}$

1. b) Limite en 0 :
En développant, on vérifie que : $x+ \left(3-\frac{4}{x}\right) \ln x = x + 3 \ln x - \frac{4 \ln x}{x} = f(x)$ .
$\. \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, x = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, -\frac{4}{x} = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \ln x = -\infty \\ \rbrace \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, f(x) = +\infty}$
Donc la courbe $(\mathcal{C})$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ .

2. a) Calcul de la dérivée de $f$ :
Détail de la dérivée du quotient $\frac{\ln x}{x}$
On pose : $u= \ln x$ et $v=x$
Donc : $u'=\frac{1}{x} \text{ et } v'=1$
$\large \left(\frac{\ln x }{x}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} = \frac{\frac{1}{x} \times x - 1 \times \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
Donc : $f'(x) = 1+\frac{3}{x}-4\left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right) = \frac{x^2 + 3x - 4 + 4 \ln x}{x^2}$
On a donc bien : $\boxed{f^'(x) = \frac{g(x)}{x^2}}$

2. b) Etude du signe de $f'(x)$ :
Pour tout $x \in ]0 \, ; \, +\infty[$ on a : $x^2 > 0$ .
D'après les résultats de la partie A, on en conclut que $f'(x)$ est du signe de $g(x)$ .
Pour tout $x \in ]0 \, ; \, 1[$ on a $f'(x) < 0$ , donc $f$ est strictement decroissante sur ]0 ; 1[.
Pour tout $x \in ]1 \, ; \, +\infty[$ on a $f'(x) > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur ]1 ; + $\infty[$ [.

2. c)

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 4

3. Résolution de l'équation $f(x)=x$ :
$f(x)=x \Longleftrightarrow x+(3-\frac{4}{x}) \ln x = x \\ \Longleftrightarrow (3-\frac{4}{x}) \ln x = 0\\ \Longleftrightarrow 3-\frac{4}{x} = 0 \text{ ou } \ln x = 0 \\ \Longleftrightarrow \boxed{x=\frac{4}{3}} \text{ ou } \boxed{x=1}$

4.

sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2007 - terminale : image 5

5. Les deux solutions de l'équation de la question 3 correspondent aux abscisses des deux points d'intersection de la courbe et de la droite.

Partie C

1. Vérifions que F est une primitive de $f$ :
Dérivée du produit $x \ln x$ :
On pose : $u=x \text{ et } v=\ln x$
Donc : $u'=1 \text{ et } v' = \frac{1}{x}$
On a donc : $\left(x \ln x\right)' = u'v+uv' = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x +1$
Dérivée de $(\ln x)^2$ (de la forme $u^2$ dont la dérivée est : $(u^2)^'=2u'u$ )
On a donc : $\left((\ln x)^2\right)' = 2 \times \frac{1}{x} \times \ln x = \frac{2 \ln x}{x}$
Donc :
$\text{F}'(x)= \frac{1}{2} \times 2x - 3 + 3 (\ln x + 1) - 2 \times \frac{2 \ln x}{x} \\ \text{F}'(x)= x + 3 \ln x - \frac{4 \ln x}{x} \\ \boxed{\text{F}'(x) = f(x)}$
Donc F est une primitive de $f$ .

2. a) Voir figure.

2. b) Calcul de l'aire :
$\text{I} = \displaystyle \int_1^{e} f(x) \text{d}x = [\text{F}(x)]^e_1 = \text{F}(e)-\text{F}(1)\\ \text{F}(e) = \frac{1}{2} e^2 - 3 e + 3 e \ln e - 2 (\ln e)^2 = \frac{1}{2} e^2 - 3e + 3e - 2 = \frac{1}{2} e^2 - 2\\ \text{F}(1) = \frac{1}{2} - 3 + 3 \ln 1 - 2 (\ln 1)^2 = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$
Donc : $\text{I} = \frac{1}{2} e^2 - 2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{2} = \boxed{\frac{1}{2} \left(e^2 +1\right) \, \, \text{U.A.}}$
1 U.A. = 3 × 3 = 9 cm²
Donc : $\text{Aire} = 9\text{I} = \boxed{\frac{9}{2} (e^2 +1) \, \, \text{cm}^2} \approx \boxed{37,75 \, \, \text{cm}^2}$

Publié par Pascal/jamo le 17-06-2007

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