Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 2 exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les 2 exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et deux feuilles de papier millimétré sont distribués avec le sujet.

4 points

exercice 1

Une entreprise fabrique des plaquettes de métal. Pour cela elle utilise deux machines, une qui les ajuste en longueur et une autre qui les ajuste en largeur.
Les machines sont programmées pour donner des plaquettes de 2,5 cm sur 1,5 cm.
Des erreurs de manipulation peuvent conduire à des dimensions non conformes : une longueur de 2,6 cm au lieu de 2,5 cm ; une largeur de 1,6 cm au lieu de 1,5 cm.

Afin de vérifier la conformité de ces plaquettes, on procède à deux tests : un test sur la longueur et un test sur la largeur. On effectue les deux tests sur 100 plaquettes et on obtient :
20 plaquettes ont une longueur de 2,6 cm ;
18 plaquettes ont une largeur de 1,6 cm ;
5 plaquettes ont une dimension de 2,6 cm sur 1,6 cm.

On prélève au hasard une plaquette parmi les 100. Elles ont donc toutes la même probabilité d'être choisies.

1. Compléter le tableau des effectifs suivant :

	Largeur conforme 1,5	Largeur non conforme 1,6	Total
Longueur conforme 2,5
Longueur non conforme 2,6		5	20
Total			100

2. a) Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard soit conforme à ce que veut l'entreprise ?
    b) Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard ait exactement une de ses dimensions non conforme ?

3. Soit X la variable aléatoire qui à chaque plaquette prélevée au hasard associe le nombre de ses dimensions non conformes.
    a) Donner les valeurs possibles de X.
    b) Donner la loi de probabilité de X.

5 points

exercice 2

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation d'inconnue z : z² - 2z + 4 = 0.
On donnera les solutions sous forme algébrique puis, pour chacune d'elles, le module et un argument.

2. le plan est muni d'un repère orthonormé $(O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 2 cm.
On note A, B et C les points du plan ayant pour affixes respectives
z_A = $1 - \text{i}\sqrt{3}$ , z_B = 2, z_C = $1 + \text{i}\sqrt{3}$
    a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
    b) Montrer que les triangles OAB et OBC sont équilatéraux.
    c) Soient D, E et F les points tels que le polygone ABCDEF soit un hexagone régulier.
Construire les points D, E et F sur la figure commencée dans la question 2. a).
On rappelle qu'un hexagone est un polygone à 6 côtés.
    d) Calculer le produit des affixes des 6 sommets de cet hexagone régulier.

11 points

probleme

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{-x} + 2x - 3$ .
Soit $\scr{(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j})$ d'unités graphiques 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

1. Limites aux bornes
    a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ .
    b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en - $\infty$ .
On pourra établir au préalable que, pour tout nombre réel $x$ , $f(x) = e^{-x}\left(1 + 2xe^x - 3e^x\right)$ .

2. Asymptote oblique
    a) Montrer que la droite $(\scr{D})$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $(\scr{C})$ .
    b) Etudier la position relative de la droite $(\scr{D})$ par rapport à la courbe $(\scr{C})$ .

3. Etude des variations de la fonction f
    a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ , $f'(x) = \frac{2e^x - 1}{e^x}$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$ .
    b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation d'inconnue $x$ : $f'(x) = 0$ .
    c) Etudier le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    d) Etablir le tableau de variation de la fonction $f$ .
    e) Calculer $f(1)$ et déterminer le signe de $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartemant à l'intervalle [0 ; 1].

4. Tracer la droite $(\scr{D})$ et la courbe $(\scr{C})$ dans le repère $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j})$ .

5. Calculer l'aire $\scr{A}$ en cm² de la partie du plan délimitée par la coube $(\scr{C})$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$ . On donnera la valeur exacte de $\scr{A}$ , puis la valeur arrondie à 10^-2.

6. Contrôler l'ordre de grandeur du résultat de la question précédente en calculant l'aire en cm² de la surface d'un ou deux trapèzes que l'on précisera.

Voir la correction

exercice 1

1. Complétons le tableau des effectifs :

	Largeur conforme 1,5	Largeur non conforme 1,6	Total
Longueur conforme 2,5	67	13	80
Longueur non conforme 2,6	15	5	20
Total	82	18	100

2. a) Sur les 100 plaquettes, il y en a 67 qui ont la largeur et la longueur conforme, donc :
$\boxed{\text{P} = \frac{67}{100} = 0,67}$

2. b) Sur les 100 plaquettes, il y en a 13 qui ont la longueur conforme et la largeur non conforme et 15 qui ont la largeur conforme et la longueur non conforme, donc :
$\boxed{\text{P} = \frac{15+13}{100} = 0,28}$

3. a) Une plaquette peut présenter :
0 défaut
1 défaut (la largeur ou la longueur)
2 défauts (la largeur et la longueur)
Donc : $\boxed{ \text{X} \in \lbrace 0 \, ; \, 1 \, ; \, 2\rbrace }$

3. b)

$x_i$	0	1	2
p_i	0,67	0,28	0,05

exercice 2

1. Résolution de $z^2 - 2z + 4 = 0$ :
$\Delta=(-2)^2-4 \times 1 \times 4 = -12 = (2i\sqrt{3})^2$
Donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées : $z_1=\frac{2+2i\sqrt{3}}{2} = \boxed{1+i\sqrt{3}} \hspace{50pt} z_2=\frac{2-2i\sqrt{3}}{2} = \boxed{1-i\sqrt{3}}$

Calcul des modules :
$\begin{array}{lcl} |z_1|= \sqrt{1+(\sqrt{3})^2} & \hspace{50pt} & |z_2|= \sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}\\ |z_1| = \sqrt{4} && |z_2| = \sqrt{4}\\ \boxed{|z_1| = 2}&& \boxed{|z_2| = 2}\\ \end{array}$

Calcul des arguments :
Soit $\theta_1$ et $\theta_2$ un argument des nombres complexes $z_1$ et $z_2$ .
$\. \cos \theta_1 = \frac{Re(z_1)}{|z_1|} = \frac{1}{2} \\ \sin \theta_1 = \frac{Im(z_1)}{|z_1|} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \rbrace \text{ donc } \boxed{\theta_1 = \frac{\pi}{3}}\\ \. \cos \theta_2 = \frac{Re(z_2)}{|z_2|} = \frac{1}{2} \\ \sin \theta_2 = \frac{Im(z_2)}{|z_2|} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \rbrace \text{ donc } \boxed{\theta_2 = -\frac{\pi}{3}}$

2. a)

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2007 - terminale : image 1

2. b) Un triangle isocèle avec un angle de $\frac{\pi}{3}$ est équilatéral.
$\. \text{OA} = |z_{\text{A}}| = 2 \\ \text{OB} = |z_B|=2 \\ \widehat{\text{BOA}} = |Arg(z_{\text{A}})| = \frac{\pi}{3} \\ \rbrace$ donc le triangle OAB est équilatéral.
$\. \text{OB} = |z_{\text{B}}| = 2 \\ \text{OC} = |z_C| = 2 \\ \widehat{\text{BOC}} = |Arg(z_{\text{C}})| = \frac{\pi}{3} \\ \rbrace$ donc le triangle OBC est équilatéral.

2. c) Les points D, E et F sont les symétriques respectifs des points C, B et A par rapport à l'axe des ordonnées.

2. d) On utilise la forme exponentielle des affixes des points A, B, C, D, E et F :
$z_{\text{A}} = 2e^{-i\frac{\pi}{3}} \\ z_{\text{B}} = 2 \\ z_{\text{C}} = 2e^{i\frac{\pi}{3}} \\ z_{\text{D}} = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} \\ z_{\text{E}} = 2e^{i \pi} \\ z_{\text{F}} = 2e^{-i\frac{2\pi}{3}}$

Calcul du produit des affixes :
$\text{P} = z_{\text{A}} \times z_{\text{B}} \times z_{\text{C}} \times z_{\text{D}} \times z_{\text{E}} \times z_{\text{F}} \\ \text{P} = 2e^{-i\frac{\pi}{3}} \times 2 \times 2e^{i\frac{\pi}{3}} \times 2e^{i\frac{2\pi}{3}} \times 2e^{i \pi} \times 2e^{-i\frac{2\pi}{3}} \\ \text{P} = 2^6e^{i(-\frac{\pi}{3} + 0 + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \pi - \frac{2\pi}{3})} \\ \text{P} = 64e^{i \pi} \\ \boxed{\text{P} = -64}$

probleme

1. a) Limite en + $\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, e^{-x} = 0$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, 2x-3 = +\infty$
donc $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}$

1. b) On vérifie, en développant :
$e^{-x}(1+2xe^x-3e^x) = e^{-x}+2xe^xe^{-x} - 3 e^xe^{-x} \\e^{-x}(1+2xe^x-3e^x) = e^{-x}+2xe^0 - 3 e^2x \\ \boxed{e^{-x}(1+2xe^x-3e^x) = f(x)}$
$\. \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, e^{-x} = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, xe^x = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, e^x = 0 \\ \rbrace \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty}$

2. On pose, pour tout $x$ réel :
$h(x) = f(x)-(2x-3) \\ h(x) = e^{-x} +2x-3 -(2x-3) \\ \boxed{h(x) = e^{-x}}$

2. a) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} [f(x)-(2x-3)] = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \,e^{-x} = 0$
Donc la courbe $\scr{C}$ admet la droite $\scr{D}$ d'équation $y=2x-3$ comme asymptote oblique en ++ $\infty$ .

2. b) Position relative de la courbe $\scr{C}$ et de la droite $\scr{D}$ :
Pour tout réel $x$ , on a :
$h(x) = e^{-x} > 0\\ f(x) - (2x-3) > 0\\ \boxed{f(x) > 2x-3}$
Donc, pour tout réel $x$ , la courbe $\scr{C}$ est au dessus de la droite $\scr{D}$ .

3. a) Calcul de la dérivée de la fonction $f$ :
$f'(x) = -e^{-x}+2\\ f'(x) = \frac{-1}{e^x}+2\frac{e^x}{e^x}\\ \boxed{f'(x) = \frac{2e^x - 1}{e^x}}$

3. b) Résolution de $f'(x) = 0$ :
$f'(x) = 0\\ 2e^x-1 = 0\\ e^x = \frac{1}{2}\\ \boxed{x = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = - \ln 2}$

3. c) De la même manière, on montre que :
$2e^x-1 > 0 \Longleftrightarrow x > -\ln 2$

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2007 - terminale : image 2

3. d)

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2007 - terminale : image 3

Valeur du minimum :
$f(- \ln 2) = e^{\ln 2} - 2 \ln 2 - 3 \\ f(- \ln 2) = 2 - 2 \ln 2 - 3 \\ \boxed{f(- \ln 2) = -1 - 2 \ln 2 \approx -2,39}$

3. e) Calcul de $f(1)$ :
$f(1) = e^{-1} + 2 \times 1 - 3 \\ \boxed{f(1) = e^{-1} - 1 \approx -0,63}$
La fonction $f$ est strictement croissante sur [0 ; 1], et comme le minimum de $f$ ainsi que $f(1)$ sont négatifs, alors $f(x)$ est négatif pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1].

4.

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2007 - terminale : image 4

5. Soit F une primitive de $f$ : $\text{F}(x) = -e^{-x} + x^2 - 3x$
$\text{I} = \displaystyle \int_0^1 f(x) dx \\ \text{I} = [\text{F}(x)]_0^1\\ \text{I} = \text{F}(1) - \text{F}(0)\\ \text{I} = -e^{-1} + 1^2 - 3\times 1 - (-e^0+0^2-3\times 0) \\ \text{I} = -e^{-1} + 1 - 3 +1 \\ \boxed{I = -e^{-1} - 1}$
La fonction $f$ étant négative sur [0 ; 1], alors l'aire $\scr{A}$ est donnée par : $\scr{A} = -\text{I}$ .
Unité d'aire associée au repère : $1 \, \text{U.A.} = 2 \times 1 = 2 \, \text{cm}^2$
$\boxed{\scr{A} = 2e^{-1} + 2 \approx 2,74 \, \text{cm}^2}$

6. Zoom sur la zone concernée :

sujet bac STI génie mécanique (options B, C, D, E) génie des matériaux Métropole 2007 - terminale : image 5

On utilise les points A et C de coordonnées : A(0 ; -2) et C(1 ; 0).
Le point B est sur la courbe $\scr{C}$ et a pour coordonnées : B(1 ; $f(1)$ ).
Le point D est sur l'asymptote $\scr{D}$ et a pour coordonnées : D(1 ; -1).
Aire du trapèze OABC : $\scr{A_1} = \frac{2 + f(1)}{2} \times 1 = \frac{3-e^{-1}}{2} \, \, \text{U.A.} = 3-e^{-1} \, \, \text{cm}^2 \approx 2,632 \, \text{cm}^2$
Aire du trapèze OADC : $\scr{A_2} = \frac{2 + 1}{2} \times 1 = \frac{3}{2} \, \, \text{U.A.} = 3 \, \, \text{cm}^2$
Donc, on peut en déduire l'encadrement : $\boxed{2,63 < \scr{A} < 3}$

Publié par Cel/jamo le 02-07-2007

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