Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.

5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0 ; $\overrightarrow{u}$ ; $\overrightarrow{v}$ ). L'unité graphique est 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d argument $\frac{\pi}{2}$ .

1. Pour tout nombre complexe $z$ , on pose : $P(z) = z^3 + (2\sqrt{2}-4)z^2 + (8-8\sqrt{2})z + 16\sqrt{2}$ .
    a) Calculer $P(-2\sqrt{2})$ .
    b) Déterminer une factorisation de $P(z)$ sous la forme : $P(z) = (z + 2\sqrt{2})(z^2 + \alpha z + \beta)$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels que l'on déterminera.
    c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$ .

2. On note A, B et C les points d'affixes respectives : $a = 2 + 2i$ , $b = 2 - 2i$ et $c = -2\sqrt{2}$ .
    a) Placer les points A, B et C dans le repère (0 ; $\overrightarrow{u}$ ; $\overrightarrow{v}$ ).
Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on donnera le rayon.
    b) Déterminer un argument du nombre complexe $a$ puis un argument du nombre complexe $b$ .
En déduire une mesure en radian de l'angle $(\overrightarrow{\text{OB}}\: , \: \overrightarrow{\text{OA}})$ .
    c) Déterminer alors une mesure en radian de l'angle $(\overrightarrow{\text{CB}} \: , \overrightarrow{\text{CA}})$ .
    d) Démontrer qu'une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\text{AC}} \: , \: \overrightarrow{\text{AB}})$ est $\dfrac{3\pi}{8}$ .
    e) En déduire l'égalité : $\tan\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=1+\sqrt{2}$ .

4 points

exercice 2

Pour former une pièce métallique à partir d'un profilé de 2 centimètres d'épaisseur, on utilise un marteau pilon.
Le marteau pilon frappe toutes les 6 secondes, et à chaque coup, l'épaisseur de métal diminue de 2 %.
On note $u_n$ ( $n$ entier naturel) l'épaisseur en millimètres de la pièce après $n$ frappes de marteau pilon.
On a donc $u_0 = 20$ .

1. Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ . On donnera les résultats arrondis au centième de millimètre.

2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est géométrique, et préciser sa raison.

3. Déterminer $u_n$ en fonction de l'entier $n$ .

4. Quelle est l'épaisseur, arrondie au centième de millimètre, de la pièce après 10 frappes ?

5. On considère que la pièce est terminée dès que son épaisseur est inférieure à 14 millimètres.
Quel est le temps minimal pour que la pièce soit terminée ?

11 points

probleme

Le plan est rapporté au repère orthonormal (0 ; $\overrightarrow{i}$ ; $\overrightarrow{j}$ ). (L'unité graphique est 2 cm).
Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle ] 0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = x - 1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{2\ln(x)}{x}$ , puis de calculer une aire.

I. Etude d'une fonction auxiliaire g

On note g la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + $\infty$ [ par : $g(x) = x^2 - 4 + 2\ln(x)$ .

1. Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ .

2. Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ . (On ne demande pas les limites en 0 et en + $\infty$ .)

3. Résolution de l'équation $g(x) = 0$ .
a) Démonter que sur l'intervalle [ 1 ; 2 ] l'équation $g(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ .
b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de ce nombre $\alpha$

4) Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ , dans l'intervalle ] 0 ; + $\infty$ [ .

II. Etude de la fonction f

1. Déterminer la limite de $f$ en 0. Qu'en déduit-on pour la courbe $\scr{C}$ ?

2. Etude en + $\infty$ .
    a) Déterminer la limite de $f$ en $\infty$ .
    b) Démontrer que la droite $\scr{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la courbe $\scr{C}$ .
    c) Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbe $\scr{C}$ et à la droite $\scr{D}$ .
    d) Etudier la position de la courbe $\scr{C}$ par rapport à la droite $\scr{D}$ .

3. Etude des variations de $f$ .
    a) Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ . Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ] 0 ; + $\infty$ [ : $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$ où $g$ est la fonction étudiée dans la partie I.
    b) En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonction $f$ .

4. On note $\scr{T}$ la tangente à la courbe $\scr{C}$ au point d'abscisse e² . Montrer que $\scr{T}$ est parallèle à l'asymptote $\scr{D}$ .

5) Dans le repère (O ; $\overrightarrow{i}$ ; $\overrightarrow{j}$ ), tracer la droite $\scr{D}$ , la tangente $\scr{T}$ et la courbe $\scr{C}$ à l'aide de l'étude précédente. (On prendra $f(\alpha)\approx1,25$ .)

III. Calcul d'une aire

On définit sur l'intervalle ] 0 ; + $\infty$ [ la fonction $H$ par : $H(x) = \dfrac{x^2}{2} - x + 2\ln x - (\ln x)^2$ .

1. Démontrer que $H$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle ] 0 ; + $\infty$ [.

2. Soit $\scr{E}$ la région du plan limitée par la courbe $\scr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ .
    a) Hachurer la région $\scr{E}$ sur votre figure.
    b) On note $S$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la région $\scr{E}$ . Déterminer la valeur exacte de $S$ .
    c) Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm².

Voir la correction

exercice 1

1. a) Calcul de $P(-2\sqrt{2})$ :
$P(-2\sqrt{2}) = (-2\sqrt{2})^3+(2\sqrt{2}-4)(-2\sqrt{2})^2+(8-8\sqrt{2})(-2\sqrt{2})+16\sqrt{2} \\ P(-2\sqrt{2}) = -16\sqrt{2}+(2\sqrt{2}-4) \times 8+(8-8\sqrt{2})(-2\sqrt{2})+16\sqrt{2}\\ P(-2\sqrt{2}) = -16\sqrt{2}+16\sqrt{2}-32+16\sqrt{2}+32+16\sqrt{2} \\ \boxed{P(-2\sqrt{2}) = 0}$
Donc $-2\sqrt{2}$ est une racine de $P$ donc $P(z)$ se factorise par $(z+2\sqrt{2})$ .

1. b) Déterminons une factorisation de $P(z)$ :
En développant, puis en regroupant selon les puissances de $z$ , on obtient :
$(z+2\sqrt{2})(z^2+ \alpha z + \beta) = z^3+(\alpha + 2\sqrt{2})z^2+(\beta+2\sqrt{2} \alpha)z + 2 \sqrt{2} \beta$
Par identification des coefficients avec ceux de $P(z)$ , on obtient le système suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \alpha + 2\sqrt{2} & 2\sqrt{2}-4\\ \beta+2\sqrt{2} \alpha & 8-8\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} \beta & 16\sqrt{2} } \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \boxed{\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \alpha & -4 \\ \beta & 8 \\ \end{array} \right.}$
Donc : $\boxed{P(z) = (z+2\sqrt{2})(z^2-4z+8)}$

1. c) Résolvons dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$ :
$P(z)=0 \Longleftrightarrow z+2\sqrt{2}=0 \text{ ou } z^2-4z+8=0 \\ z+2\sqrt{2}=0 \Longleftrightarrow z=-2\sqrt{2}$
Résolution de $z^2-4z+8=0$ :
$\Delta = (-4)^2-4 \times 1 \times 8 = -16 = (4i)^2$ donc $P$ admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \dfrac{4+4i}{2} = 2+2i$ et $z_2 = \dfrac{4-4i}{2} = 2-2i$
Conclusion : $P(z)=0 \Longleftrightarrow \boxed{z \in \lbrace -2\sqrt{2} \: ; \: 2-2i \: ; \: 2+2i \rbrace }$

2. a) Plaçons les points A, B et C dans le repère (0 ; $\overrightarrow{u}$ ; $\overrightarrow{v}$ ) :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2007 - terminale : image 1

Calcul des distances OA, OB et OC :
$\text{OA} = |a| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \\ \text{OB} =|b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\\ \text{OC} = |c| = 2\sqrt{2}$
On a $\text{OA=OB=OC} = 2\sqrt{2}$ donc A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$ .

2. b) Déterminons un argument du nombre complexe $a$ puis un argument du nombre complexe $b$ :
On pose $\theta_a = Arg(a) \text { et } \theta_b = Arg(b)$
$\cos(\theta_a) = \dfrac{Re(a)}{|a|} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
De même : $\sin(\theta_a) = \dfrac{Im(a)}{|a|} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Donc : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \cos(\theta_a) & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin(\theta_a) & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \boxed{\theta_a = \frac{\pi}{4}}$
De même : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \cos(\theta_b) & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin(\theta_b) & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \boxed{\theta_b = -\frac{\pi}{4}}$

Donnons une mesure en radian de l'angle $(\overrightarrow{\text{OB}}\: , \: \overrightarrow{\text{OA}})$ :
$(\overrightarrow{\text{OB}} \: , \: \overrightarrow{\text{OA}}) = (\overrightarrow{\text{OB}} \: , \: \overrightarrow{u}) + (\overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{\text{OA}}) \\ \overrightarrow{\text{OB}} \: , \: \overrightarrow{\text{OA}}) = (\overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{\text{OA}}) - (\overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{\text{OB}})\\ (\overrightarrow{\text{OB}} \: , \: \overrightarrow{\text{OA}}) = \theta_a - \theta_b = \dfrac{\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \boxed{(\overrightarrow{\text{OB}} \: , \: \overrightarrow{\text{OA}}) = \dfrac{\pi}{2}}$

2. c) D'après le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre, on a : $(\overrightarrow{\text{CB}} \: , \: \overrightarrow{\text{CA}}) = \dfrac{(\overrightarrow{\text{OB}} \: , \: \overrightarrow{\text{OA}})}{2}$
Donc : $\boxed{(\overrightarrow{\text{CB}} \: , \: \overrightarrow{\text{CA}}) = \dfrac{\pi}{4}}$

2. d) Pour des raisons de symétrie, le triangle ABC est isocèle en C, donc les angles de bases en A et B sont égaux. On a donc :
$\dfrac{\pi}{4} + 2(\overrightarrow{\text{AC}} \: , \: \overrightarrow{\text{AB}}) = \pi \Longleftrightarrow (\overrightarrow{\text{AC}} \: , \: \overrightarrow{\text{AB}}) = \dfrac{3\pi}{8}}$

2. e) En appelant H le milieu de [AB], on a, dans le triangle CHA rectangle en H :
$\tan\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = \dfrac{\text{CH}}{\text{AH}} \\ \tan\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = \dfrac{2+2\sqrt{2}}{2}$
Donc : $\boxed{\tan\left(\frac{3\pi}{8}\right) = 1+\sqrt{2}}$

exercice 2

1. Diminuer un nombre de 2% revient à le multiplier par 0,98, car : $x - x \times \dfrac{2}{100} = \left(1- \dfrac{2}{100}\right)x = 0,98x$
u₁ = 0,98 u₀ = 0,98 × 20 = 19,6 mm
u₂ = 0,98 u₁ = 0,98 × 19,6 $\approx$ 19,21 mm
u₃ = 0,98 u₂ = 0,98² u₁ = 0,98³ u₀ = 0,98³ \times 20 $\approx$ 18,82 mm

2. u_n+1 = 0,98 u_n pour tout n entier positif, donc (u_n) est une suite géométrique de raison $\boxed{q=0,98}$ et de premier terme $\boxed{u_0 = 20}$ .

3. Par définition :
u_n = u₀ × qⁿ
$\boxed{u_n = 20 \times 0,98^n}$

4. On utilise la formule trouvée à la question 3 :
u₁₀ = 20 × 0,98¹⁰
$\boxed{u_{10} = 16,34 \, \, mm}$

5. Le but est de résoudre l'inéquation :
$u_n < 14 \\ \Longleftrightarrow 20 \times 0,98^n < 14 \\ \Longleftrightarrow 0,98^n < 0,7\\ \Longleftrightarrow \ln(0,98^n) < \ln(0,7)\\ \Longleftrightarrow n \times \ln(0,98) < \ln(0,7)$
$\Longleftrightarrow n > \dfrac{\ln(0,7)}{\ln(0,98)} \approx 17,7$ (on change de sens car ln(0,98) est négatif)
Il faut donc 18 frappes pour que l'épaisseur soit inférieure à 14 mm.
18 × 6 = 108, donc le temps minimal est de 108 s.

probleme

I. Etude d'une fonction auxiliaire

1. $\boxed{g'(x) = 2x + \frac{2}{x}}$

2. Pour tout $x \in ]0 \, ; \, +\infty[$ , on a : $2x>0$ et $\frac{2}{x}>0$ , donc $\boxed{g'(x)>0}$ .
Donc, pour tout $x \in ]0 \, ; \, +\infty[$ , la fonction g est strictement croissante.

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2007 - terminale : image 2

3. a) On utilise le théorème d'existence et d'unicité de la solution d'une équation :

La fonction g est dérivable sur [1 ; 2] ;
la fonction g est strictement croissante sur [1 ; 2] ;
g(1) = -3, g(2) $\approx$ 1,39 et -3 < 0 < 1,39

Donc l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1 ; 2].

3. b) En utilisant le tableau de données de la calculatrice, par encadrement successifs :
$\left. \begin{array}{l} g(1) = -3\\g(2) \approx 1,39 \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \; 1 < \alpha < 2 \\ \left. \begin{array}{l} g(1,7) \approx -0,05\\g(1,8) \approx 0,42 \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \; 1,7 < \alpha < 1,8 \\ \left. \begin{array}{l} g(1,71) \approx -0,003\\g(1,72) \approx 0,043 \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \; \boxed{1,71 < \alpha < 1,72}$

4. En utilisant les variations de g, on en déduit le signe :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2007 - terminale : image 3

Pour tout $x \in ]0 \, ; \, \alpha[$ on a $g(x)>0$ .
Pour tout $x \in ] \alpha \, ; \, +\infty[$ on a $g(x) > 0$ .

II. Etude de la fonction f

1. Limite en 0 :
$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \: \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to 0^+} (\ln x \times \frac{1}{x}) = -\infty$ (car " $-\infty \times (+\infty) = -\infty$ ")
$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{2}{x} = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to 0^+} x-1 = -1$
En additionnant ces limites, on trouve : $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty}$
Donc la courbe $\scr{C}$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ .

2. a) Limite de f en + $\infty$ :
$\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0\\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x}=0\\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, x-1=+\infty \\ \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \: \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}$

2. b) Asymptote oblique :
Pour tout $x \in ]0 \, ; \, +\infty[$ , on pose : $h(x) = f(x) - (x-1) = \dfrac{2}{x} - \dfrac{2 \ln x}{x}$
En reprenant les résultats de la question précédente, on trouve :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} [f(x)-(x-1)] =\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, h(x) = 0$
Donc la courbe $\scr{C}$ admet la droite $\scr{D}$ d'équation $y=x-1$ pour asymptote oblique en + $\infty$ .

2. c) Intersection de $\scr{C}$ et $\scr{D}$ :
$f(x) = x-1 \\ \Longleftrightarrow h(x)=0 \\ \Longleftrightarrow \dfrac{2-2 \ln x}{x}=0\\ \Longleftrightarrow 2-2 \ln x=0 \\ \Longleftrightarrow \ln x = 1 \\ \Longleftrightarrow x = e$
Pour $x = e$ , on a $y = x - 1 = e - 1$
Donc le point d'intersection de $\scr{C}$ et $\scr{D}$ a pour coordonnées $\boxed{A(e \, ; \, 1-e)}$

2. d) Position relative de $\scr{C}$ et $\scr{D}$ :
On étudie le signe de la fonction h : $h(x) = \dfrac{2-2 \ln x}{x}$ .

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2007 - terminale : image 4

Pour tout $x \in ]0 \, ; \, e[$ on a $h(x)>0$ donc $f(x)>x-1$ donc $\scr{C}$ est au dessus de $\scr{D}$ .
Pour tout $x \in ]e \, ; \, +\infty[$ on a $h(x)<0$ donc $f(x)<x-1$ donc $\scr{C}$ est en dessous de $\scr{D}$ .

3. a) Calcul de la dérivée f' de f :
Dérivée du quotient $\dfrac{\ln x}{x}$ :
$u = \ln x$ donc $u' = \dfrac{1}{x}$
$v=x$ donc $v'=1$
$\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{\frac{1}{x} \times x- 1 \times \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$
De plus : $\left(\dfrac{2}{x}\right)' = -\dfrac{2}{x^2}$ et $(x-1)' = 1$ , donc :
$f'(x) = 1 - \dfrac{2}{x^2} - 2(\dfrac{1 - \ln x}{x^2})\\ f'(x) = \dfrac{x^2 - 2 - 2 + 2 \ln x}{x^2} \\ \boxed{ f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}}$

3. b) Variations de la fonction f :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2007 - terminale : image 5

4. Droite tangente :
Le coefficient directeur de la droite $\scrT$ tangente à $\scr{C}$ au point d'abscisse e² est égal à $f'(e^2)$ .
$f'(e^2) = \dfrac{g(e^2)}{e^4} = \dfrac{e^4 - 4 + 2 \ln e^2}{e^4} = \dfrac{e^4 - 4 + 4}{e^4} = 1$
$\scrT$ et $\scr{D}$ ont le même coefficient directeur, donc les droites $\scrT$ et $\scr{D}$ sont parallèles.

5. Représentation graphique :

sujet bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Polynésie Française 2007 - terminale : image 6

III. Calcul d'une aire

1. Calcul de la dérivée de $H(x)$ :
Dérivée de $(\ln x)^2$ : on utilise $(u^2)' = 2u'u$ avec $u= \ln x$ donc $u' =\dfrac{1}{x}$ , d'où : $\left[(\ln x)^2\right]' = \dfrac{2 \ln x}{x}$
$H'(x) = \dfrac{2x}{2} - 1 + 2 \times \dfrac{1}{x} - \dfrac{2 \ln x}{x}\\ H'(x) = x - 1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{2 \ln x}{x}$
$\boxed{H'(x) = f(x)}$ donc H est une primitive de f sur $] 0\, ; \, +\infty[$ .

2. a) Voir figure.

2. b) On pose $\text{I} = \displaystyle \int_1^{e} f(x) dx$ .
$\text{I} = [H(x)]_1^e = H(e) - H(1)$
$H(e) = \dfrac{e^2}{2} - e + 2 \ln e - (\ln e) ^2 = \dfrac{e^2}{2} - e + 2 - 1 = \dfrac{e^2}{2} - e + 1$
$H(1) = \dfrac{1}{2} - 1 + 2 \ln 1 - (\ln 1) ^2 = \dfrac{1}{2} - 1 + 0 - 0 = -\dfrac{1}{2}$
Donc : $\boxed{I = \frac{e^2}{2} - e + \frac{3}{2}}$
La fonction f étant positive sur l'intervalle [1 ; e], la surface $S$ de la région $\scrE$ est donnée par :
$\boxed{S = \frac{e^2}{2} - e + \frac{3}{2} \, \, U.A.}$ où $U.A.$ est l'unité d'aire associée à ce repère.

2. c) $U.A. = 2 \times 2 = 4 \, \text{cm}^2$ .
Donc : $\boxed{S = 2e^2 - 4e + 6 \, \, cm^2 \, \, \approx \, \, \boxed{9,90 \, \, \text{cm}^2}}$

Publié par Pascal/jamo le 11-06-2007

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