Fiche de mathématiques
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Bac Littéraire
Epreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Amérique du Nord - Session 2008

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Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

Le candidat doit traiter les deux exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
8 points

exercice 1

Partie I

Dans un lycée polyvalent, durant l'année scolaire 2005-2006, l'effectif en seconde était de 450 élèves. Le bilan de l'orientation des élèves de seconde, fin juin 2006, est donné en pourcentage dans le tableau ci-dessous. Il manque le pourcentage des élèves de seconde orientés en première S.
Orientation Redoublement 1reL 1reS 1reES 1reSTI 1reSTG Autres
Pourcentage 10%12% ? 28% 10% 4% 6%


1.Compléter le tableau suivant avec le pourcentages des élèves de seconde orientés en première S et les effectifs pour les différentes orientations.
Orientation Redoublement 1reL 1reS 1reES 1reSTI 1reSTG Autres
Pourcentage10%12% 28%10%4%6%
Effectif       
Bilan de l'orientation des 450 élèves de seconde de l'année scolaire 2005-2005


2.Sachant que 80 % des élèves orientés en première STI sont des garçons, quel est le nombre de garçons orientés en première STI ?

Partie II

Dans ce lycée polyvalent, pour l'année scolaire 2006-2007, le bilan de l'orientation des 420 élèves de seconde est donné dans le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul automatisée.
On a construit cette feuille de calcul de sorte que les résultats s'actualisent automatiquement si on modifie les données de la colonne B,
 ABC
1OrientationEffectifPourcentage
2Redoublement337,86%
31reL59 
41reS13532,14%
51reES11427,14%
61reSTI389,05%
71reSTG215,00%
8Autres204,76%
9TOTAL420 
Bilan de l'orientation des 420 élèves de seconde de l'année scolaire 2006-2007
Les cellules de la colonne C sont au format pourcentage.
Les pourcentages sont arrondis à 0,01%.


1. Quelle formule a-t-on pu écrire dans la cellule B9 pour obtenir l 'effectif total ?

2. a) Quelle formule a-t-on pu écrire dans la cellule C2 puis recopier vers le bas jusqu'en C8 pour calculer les pourcentages d'élèves de seconde dans les différentes voies d'orientation ?
    b) Quelle est la formule obtenue en C8 grâce à la recopie automatique ?

3. Compléter le contenu de la cellule C3 du tableau.


12 points

exercice 2

Dans leur verger, deux frères souhaitent creuser le bassin d'une piscine.

Il leur faut évacuer 290 m³ de terre pour placer une piscine de la forme d'un parrallélépipède rectangle dont les dimensions sont indiquées sur la figure ci-dessous :

sujet de l'épreuve anticipée du bac littéraire Amérique du Nord 2008 - terminale : image 1


1. Les deux frères évacuent 100 brouettes le premier jour, puis décident de travailler de façon régulière et d'évacuer 60 brouettes par jour jusqu'à achèvement du travail.
Ils commencent le premier mars.
On note u_n le volume total, en m³, évacué au bout de n jours après le premier mars.
Ainsi, u_0 est le volume, en m³, évacué le premier mars, u_1 est le volume cumulé, en m³, évacué les 1er et 2 mars.
   a) Sachant qu' une brouette correspond à un volume de 0,05 m³, calculer u_0.
   b) Montrer que u_1=8 et u_2=11.
   c) Préciser la nature de la suite de terme général u_n. En déduire que, pour n entier naturel, u_n=5+3n.
   d) On rappelle que le mois de mars compte 31 jours, le mois d'avril 30 jours et le mois de mai 31 jours.
À partir de quel jour les deux frères auront-ils évacué les 290 m³ de terre nécessaires pour creuser le bassin de leur piscine ?

2. Une fois la piscine en place, les deux frères la remplissent d'eau et versent un produit d'entretien. En leur absence, le temps chaud, le soleil et une concentration trop faible de produit d'entretien donnent lieu à une prolifération d'algues.

Les algues peuvent recouvrir entièrement la surface du fond et des quatre parois de la piscine. L'aire de cette surface est égale à 144 m².

Dans ces conditions, l'espèce d'algues présente dans la piscine a la faculté d'augmenter la surface recouverte de 30 % toutes les heures.
Le 1er août à 12 heures, un voisin scientifique observe que les algues occupent 20 m².
Il construit une feuille de calcul afin de connaître le temps nécessaire pour que le fond et les quatre parois de la piscine soient tapissés d'algues.

Il note v_n la surface, exprimée en m², occupée par les algues au bout de n heures après midi.
Ainsi v_0 = 20.

L'évolution de la population d'algues en fonction du temps est présentée dans le tableau ci-dessous :
 ABC
1heurenv_n
212 h020
313 h126
414 h233,8
515 h343,94
616 h457,12
717 h574,26
818 h696,54
919 h7 
1020 h8 
Evolution de la population d'algues en fonction du temps
Dans la colonne C, les résultats sont arrondis au centième.

   a) Quelle est la nature de la suite de terme général v_n ?
   b) Dans la cellule C2, le voisin a écrit le nombre 20 qui est la valeur de v_0. Quelle formule a-t-il pu écrire dans la cellule C3 puis recopier vers le bas pour calculer les termes de la suite (v_n) ?
   c) Compléter dans le tableau le contenu des cellules C9 et C10.
   d) Par simple lecture du tableau complété :
       donner la surface recouverte à 16 h ;
       encadrer, par deux heures entières consécutives, l'heure à partir de laquelle le fond et les quatre parois de la piscine sont entièrement tapissés d'algues.






exercice 1

Partie I

1. La somme des pourcentages est ègale à 100 %, donc le pourcentage d'élèves orientés en première S est :
100 - 10 - 12 - 28 - 10 - 4 - 6 = 30
Pour calculer les effectifs, on multiplie chaque pourcentage par l'effectif total de 450.
Par exemple, pour les élèves qui redoublent : 450 \times \dfrac{10}{100} = 45.
On obtient donc le tableau suivant :
Orientation Redoublement 1reL 1reS 1reES 1reSTI 1reSTG Autres
Pourcentage 10% 12% 30% 28% 10% 4% 6%
Effectif 45 54 135 126 45 18 27


2. Parmi les 45 élèves de STI, 80% sont des garçons :
45 \times \dfrac{80}{100} = 36 ; il y a donc 36 garçons en STI.

Partie II

1. La cellule B9 contient l'effectif total, égal à la somme de tous les effectifs des cellules B2 à B8.
Donc la formule à saisir dans la cellule B9 est : =SOMME(B2:B8)

2. a) La cellule C2 contient la l'effectif contenu dans la cellule B2 par rapport à l'effectif total de la cellule B9, c'est-à-dire B2/B9.
Mais pour pouvoir recopier cette formule dans les cellules suivantes, il ne faut pas que le référence de la ligne de la cellule B9 change automatiquement.
Donc la formule à saisir dans la cellule C2 est : =B2/B$9

2. b) Ainsi, dans la cellule C8, on aura la formule : =B8/B$9

3. La cellule C3 contient : B3/B$9=59/420environegal0,14048 soit 14,05% en respectant la notation pourcentage et l'arrondi.




exercice 2

1. a) Sachant qu'ils ont évacué 100 brouettes de 0,05 m3 chacune, on a : u_0 = 100 \times 5 = \boxed{5}.

1. b) Les jours suivants, ils évacuent 60 brouettes de 0,05 m3 chacune, c'est à dire 60\times 0,05 = 3 m3 par jour.
Ainsi : u_1 = u_0 + 3 = 5 + 3 = \boxed{8}
et : u_2 = u_1 + 3 = 8 + 3 = \boxed{11}

1. c) Chaque jour, ils évacuent 3 m3 de terre. Le volume total évacué augmente donc chaque jour de 3 m3 : u_{n+1} = u_n + 3
Cela correspond à une suite arithmétique de raison r=3 et de premier terme u_0 = 5.
On a alors : \boxed{u_n = u_0 + n r = 5 + 3 n}

1. d) On cherche la valeur de n telle que u_n \ge 290
u_n \ge 290 \\\, \Longleftrightarrow \, 5 + 3 n \ge 290 \\\, \Longleftrightarrow \, 3 n \ge 290 -5 \\\, \Longleftrightarrow \, 3 n \ge 285 \\\, \Longleftrightarrow \,  n \ge \frac{285}{3} \\\, \Longleftrightarrow \,  \boxed{n \ge 95}
Si le terme de rang 0 correpond au 1er mars, alors le terme de rang 95 correspond au 4 juin.

2. a) Le coefficient multiplicateur qui correspond à une évolution de 30% est égal à 1,3.
Chaque heure, la surface augmente de 30% par rapport à la surface de l'heure précédente : v_{n+1} = 1,3 v_n
Cela correspond à une suite géométrique de raison r=1,3 et de premier terme v_0 = 20.

2. b) Pour calculer la valeur dans une cellule, on multiplie la valeur de la case au-dessus par 1,3.
Donc la formule à saisir dans la cellule C3 est : =1,3*C2

2. c) Dans la cellule C9, on a : 1,3 \times 96,54 \approx \boxed{125,50}.
Et dans la cellule C10, on a : 1,3 \times 125,50 \approx \boxed{163,15}.

2. d) A 16H, la surface recouverte est environ de 57,12 m2.
La surface totale est de 144 m2. A 19H, la surface recouverte est de 125,50 m2 et à 20H, la surface recouverte est de 163,15 m2.
Donc la surface de la piscine est entiérement recouverte entre 19H et 20H.
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