Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Polynésie Française - Session Juin 2008

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

8 points

exercice 1

Les 32 élèves d'une classe de lycée doivent traiter un exercice de probabilités. Pour organiser les données, ils disposent de deux méthodes : un tableau ou un schéma. Trois quarts d'entre eux utilisent un tableau et parmi ceux-ci 12,5 % ont fait une erreur. Tous les autres ont fait un schéma et 1 seul d'entre eux a fait une erreur.

1. Reproduire en le complétant le tableau ci-dessous afin de faire la synthèse de ces données :

choix bilan	tableau	schéma	total
avec erreur		1
sans erreur
total			32

2. On choisit dans cette classe un élève au hasard. On note T l'événement "l'élève a utilisé un tableau" et on note E l'événement "l'élève a fait une erreur" ; $\bar{T}$ et $\bar{E}$ désignent les événements contraires respectifs de T et E.
    a) Exprimer $\bar{T}$ à l'aide d'une phrase affirmative (sans négation).
    b) Exprimer par une phrase les événements suivants :
    $T \cap E$ , $T \cup E$ , $T \cap \bar{E}$ , $\bar{T} \cap \bar{E}$ .
    c) Calculer la probabilité des quatre événements de la question b) (on donnera les résultats sous forme d'une fraction irréductible).

3. Quel est, dans cette classe, le pourcentage d'élèves ayant réussi l'exercice sans erreur ?

12 points

exercice 2

Partie A

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur D = [0 ; $+\infty$ [.
Cette courbe passe par le point A(0 ; -2). On note B le point de coordonnées (3 ; -0,5).

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 1

Les questions 1 à 3 doivent être traitées par lecture graphique.

1. Donner la valeur de $f(0)$ .

2. Donner un encadrement d'une solution de l'équation $f(x)=0$ d'amplitude 0,25 (on ne demande pas de justifier l'encadrement).

3. Résoudre l'inéquation $f(x) \le -1$ . Laisser les traits de construction.

4. Déterminer une équation de la droite (AB).

5. On admet que la droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}$ en A. Que vaut $f'(0)$ ?

Partie B

Dans toute la suite de l'exercice, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle D = [0 ; $+\infty$ [ par : $f(x) = x - 3 + \frac{2}{e^x+1}$

1. Calculer $f(0)$ .

2. a) Calculer $f'(x)$ .
b) En déduire $f'(0)$ .
Donner l'équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal au point A d'abscisse 0.

3. Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle D, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

4. Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans D.

5. Calculer $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)$ .

Correction

exercice 1

choix bilan	tableau	schéma	total
avec erreur	3	1	4
sans erreur	21	7	28
total	24	8	32

2. a) $\bar{\text{T}}$ : "L'élève a utilisé un schéma."

2. b) $\text{T} \cap \text{E}$ : "L'élève a utilisé un tableau et a fait une erreur."
$\text{T} \cup \text{E}$ : "L'élève a utilisé un tableau ou a fait une erreur."
$\text{T} \cap \bar{\text{E}}$ : "L'élève a utilisé un tableau et n'a pas fait d'erreur."
$\bar{\text{T}} \cap \bar{\text{E}}$ : "L'élève a utilisé un schéma et n'a pas fait d'erreur."

2. c) Il y a 3 élèves qui ont utilisé un tableau et qui ont fait une erreur parmi les 32 élèves, donc :
$\boxed{P(\text{T} \cap \text{E}) = \frac{3}{32}}$
Il y a 24 élèves qui ont utilisé un tableau (événement T), 4 élèves qui ont fait une erreur (événement E), donc :
$P(\text{T} \cup \text{E}) = P(\text{T}) + P(\text{E}) - P(\text{T} \cap \text{E}) \\ P(\text{T} \cup \text{E}) = \dfrac{24}{32} + \dfrac{4}{32} - \dfrac{3}{32} \\ \boxed{P(\text{T} \cup \text{E}) = \frac{25}{32}}$
Il y a 21 élèves qui ont utilisé un tableau et qui n'ont pas fait d'erreur parmi les 32 élèves, donc :
$\boxed{P(\text{T} \cap \bar{\text{E}}) = \frac{21}{32}}$
Il y a 7 élèves qui ont utilisé un schéma et qui n'ont fait d'erreur parmi les 32 élèves, donc :
$\boxed{\text{P}(\bar{\text{T}} \cap \bar{\text{E}}) = \frac{7}{32}}$

3. Il y a 28 élèves sur 32 qui ont réussi l'exercice sans faire d'erreur, donc :
$p = \dfrac{28}{32} = 0,875 = \boxed{87,5\%}$

exercice 2

Partie A

1. Le point $A(0 ; -2)$ appartient à la courbe donc $\boxed{f(0)=-2}$ .

2. Pour résoudre l'équation $f(x)=0$ , on lit l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
On trouve : $f(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, \boxed{2,75 \le x \le 3}$

3. Pour résoudre l'inéquation $f(x) \le -1$ , on trace une droite parallèle à l'axe des abscisses passant par l'ordonnée -1, et on considère l'abscisse des points de la partie de la courbe qui est en dessous de cette droite :
$f(x) \le -1 \, \Longleftrightarrow \, \boxed{0 \le x \le 1,7}$

4. La droite (AB) a une équation de la forme $y=mx+p$ .
Calcul du coefficient directeur m : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-0,5 - (-2)}{3-0} = \dfrac{1,5}{3} = 0,5$
La droite passe par le point $A(0;-2)$ qui est sur l'axe des ordonnées, donc l'ordonnée à l'origine p est ègale à -2.
La droite (AB) a pour équation : $\boxed{y = 0,5 x - 2}$

5. Le nombre dérivé de la fonction f en 0, noté $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la droite tangente au point d'abscisse 0.
Donc $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la droite (AB), donc $\boxed{f'(0) = 0,5}$ .

Partie B

1. Calcul de $f(0)$ :
$f(0) = 0 - 3 + \dfrac{2}{e^0+1} \\f(0) = -3 + \dfrac{2}{1+1} \\f(0) = -3 + 1 \\\boxed{f(0) = -2}$

2. a) Dérivation de la fonction f.
On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{u} \right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u = e^x+1$ donc $u' = e^x$
$\boxed{f'(x) = 1 - \frac{2 e^x}{(e^x+1)^2}}$

2. b) Calcul de $f'(0)$ :
$f'(0) = 1 - \dfrac{2 e^0}{(e^0+1)^2} \\ f'(0) = 1 - \dfrac{2}{(1+1)^2} \\ f'(0) = 1 - \dfrac{1}{2} \\ \boxed{f'(0) = 0,5}$
L'équation de la droite tangente au point d'abscisse 0 est donc de la forme :
$y = f'(0) x + p$ où p est un réel à déterminer
Donc : $y = 0,5 x + p$
Le point $A(0;-2)$ appartient à la droite, donc :
$y_A = 0,5 x_A + p \\ \Longleftrightarrow \, -2 = 0,5 \times 0 + p \\ \Longleftrightarrow \, -2 = p$
Donc la droite (AB) a pour équation : $\boxed{y = 0,5 x - 2}$

3. Etude du signe de la dérivée.
Pour étudier le signe, on met tous les termes au même dénominateur, puis on développe et simplifie le numérateur :
$f'(x) = 1 - \dfrac{2 e^x}{(e^x+1)^2} \\ \Longleftrightarrow \, f'(x) = \dfrac{(e^x+1)^2}{(e^x+1)^2} - \dfrac{2 e^x}{(e^x+1)^2} \\ \Longleftrightarrow \, f'(x) = \dfrac{(e^x+1)^2 - 2 e^x}{(e^x+1)^2} \\ \Longleftrightarrow \, f'(x) = \dfrac{(e^x)^2 + 1^2 +2 \times e^x \times 1 - 2 e^x}{(e^x+1)^2} \\ \Longleftrightarrow \, f'(x) = \dfrac{e^{2x} + 1 + 2 e^x - 2 e^x}{(e^x+1)^2} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{f'(x) = \frac{e^{2x} + 1}{(e^x+1)^2}}$
L'exponentielle d'un nombre réel est toujours strictement positif. Donc le numérateur et le dénominateur de la fonction dérivée sont strictement positifs, donc la dérivée est strictement positive.
On en déduit que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle D.

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 2

4. Montrons que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $D=[0;+ \infty [$ .
la fonction f est dérivable sur $[0;+\infty[$ ;
la fonction f est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ ;
0 est compris entre et $f(0) = -2$ et $f(5) \approx 2,01$ ;
Donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur [0 ; 5] et donc sur $[0;+\infty[$ .

5. Limite de f en $+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
Donc : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, e^x + 1 = +\infty$
Donc : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x + 1} = 0$
De plus : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, x-3 = +\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$

sujet bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française 2008 - terminale : image 3

Publié par tom_pascal/jamo le 19-02-2009

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