Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Avril 2013 - Pondichéry
Partager :
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de rechercher même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Partie 1
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : où et sont des constantes réelles positives, est la variable temps exprimée en jours et désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu'initialement, pour , le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
Déterminer les constantes et afin que la fonction corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
Partie 2
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction définie sur [0 ; 250] par .
1. Déterminer en fonction de ( désignant la fonction dérivée de la fonction ).
En déduire les variations de la fonction sur l'intervalle [0 ; 250].
2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.
3. a) Vérifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle [0 ; 250] on a .
Montrer que la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 250] par est une primitive de la fonction .
b) Déterminer la valeur moyenne de sur l'intervalle [50 ; 100].
En donner une valeur approchée à 10-2 près et interpréter ce résultat.
4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction .
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de .
En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci.
Estimer alors la hauteur du plant.
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal. et désignent des paramètres réels.
Le plan (P) a pour équation .
Le plan (S) a pour représentation paramétrique
La droite (D) a pour représentation paramétrique
On donne les points de l'espace M(-1 ; 2 ; 3) et N(1 ; -2 ; 9).
1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :
a)
b)
c)
d)
2. a) La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A(- 8 ; 3 ; 2).
b) La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires.
c) La droite (D) est une droite du plan (P).
d) La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
3. a) La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
b) La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
c) La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
d) La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
4. a) Les plans (P) et (S) sont parallèles.
b) La droite de représentation paramétrique est la droite d'intersection des plans (P) et (S).
c) Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S).
d) Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
5 points
exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct .
On note i le nombre complexe tel que .
On considère le point A d'affixe et le point B d'affixe .
À tout point M d'affixe , avec et deux réels tels que , on associe le point M' d'affixe .
On désigne par le milieu du segment [AM].
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point n'appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM' (propriété 1) et que BM' = 2 OI (propriété 2).
1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend .
a) Déterminer la forme algébrique de .
b) Montrer que . Déterminer le module et un argument de .
c) Placer les points A, B, M, M' et I dans le repère en prenant 2 cm pour unité graphique.
Tracer la droite (O) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
2. On revient au cas général en prenant avec .
a) Déterminer l'affixe du point I en fonction de et .
b) Déterminer l'affixe du point M' en fonction de et .
c) Écrire les coordonnées des points I, B et M'.
d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM'.
e) Montrer que BM' = 2 OI.
5 points
exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel , on note le nombre d'animaux jeunes après années d'observation et le nombre d'animaux adultes après années d'observation. Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi et .
On admet que pour tout entier naturel on a :
On introduit les matrices suivantes :
et, pour tout entier naturel .
1. a) Montrer que pour tout entier naturel , .
b) Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
c) Pour tout entier naturel non nul, exprimer en fonction de et de .
2. On introduit les matrices suivantes et .
a) On admet que la matrice est inversible et que .
Montrer que .
b) Montrer par récurrence sur que pour tout entier naturel non nul : .
c) Pour tout entier naturel non nul, déterminer en fonction de .
3. On admet que pour tout entier naturel non nul,
a) En déduire les expressions de et en fonction de et déterminer les limites de ces deux suites.
b) Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.
Un salarié malade est absent
La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
Si la semaine le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine avec une probabilité égale à 0,04.
Si la semaine le salarié est malade, il reste malade la semaine avec une probabilité égale à 0,24.
On désigne, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, par l'évènement «le salarié est absent pour cause de maladie la -ième semaine». On note la probabilité de l'évènement .
On a ainsi : et, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 : .
1. a) Déterminer la valeur de à l'aide d'un arbre de probabilité.
b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
2. a) Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
b) Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, .
c) Montrer que la suite définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison . En déduire l'expression de puis de en fonction de et .
d) En déduire la limite de la suite .
e) On admet dans cette question que la suite est croissante. On considère l'algorithme suivant :
Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel
Initialisation P prend la valeur 0
J prend la valeur 1
Entrée Saisir la valeur de K
Traitement Tant que P
P prend la valeur
J prend la valeur J+1
Fin tant que
Sortie Afficher J
À quoi correspond l'affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à .
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
On désigne par la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
a) Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire .
b) On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1.
On note une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement pour quelques valeurs du nombre réel .
-1,55
-1,24
-0,93
-0,62
-0,31
0,00
0,31
0,62
0,93
1,24
1,55
0,061
0,108
0,177
0,268
0,379
0,500
0,621
0,732
0,823
0,892
0,939
Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b), une valeur approchée à 10-2 près de la probabilité de l'évènement : «le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15».
On sait que . Or, , donc
On sait que . Or, et , donc :
.
Ainsi,
Partie 2
1. La fonction est dérivable sur [0 ; 250] car le dénominateur ne s'annule pas et l'exponentielle est dérivable sur .
La règle de dérivation de l'inverse donne
Donc,
L'exponentielle étant strictement positive sur , sur [0 ; 250] donc est strictement croissante sur cet intervalle.
2. Résolvons l'inéquation :
Or, , donc le plant de maïs atteindra une hauteur supérieure à 1,5 m le 102ème jour.
3. a) est dérivable sur [0 , 250] d'après le théorème de dérivation des fonctions composées et
Donc est une primitive de sur [0 , 250].
3. b) La valeur moyenne de sur le segment [50 , 100] vaut :
Entre 50 et 100 jours, la hauteur moyenne du plant de maïs est 1,03 m.
4. On cherche la valeur de pour laquelle est maximale ie. la pente à la courbe représentative de est maximale.
Graphiquement, on lit . (En réalité, )
Avec notre valeur approchée, la hauteur du plant serait alors . (En réalité, c'est 1 m)
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Les justifications ne sont pas demandées, on les donne ici à titre informatif.
1. Réponse b) En effet, le plan a pour équation cartésienne donc le vecteur est normal à ce plan.
Donc (par exemple) et en forment une base.
De plus, le point de coordonnées (0 , 1 , -1) appartient au plan donc il a pour équation paramétrique
2.Réponse c) En effet, la droite (D) est dirigée par le vecteur qui, on l'a vu à la question précédente, est un vecteur directeur du plan (P) donc (D) est parallèle à (P).
De plus, la droite passe par le point de coordonnées (-2 , 0 , -1) qui appartient à (P) donc la droite est incluse dans (P).`
A n'appartient pas à (P) donc la proposition a) est fausse.
3.Réponse a) En effet, la droite (MN) est dirigée par le vecteur et .
Ainsi les droites (MN) et (D) sont orthogonales.
De plus, une représentation paramétrique de (MN) est : ( est aussi un vecteur directeur..). Donc :
or il n'est n'existe pas de tel réel, donc les deux droites sont d'intersection vide, ie. non sécantes.
4.Réponse b) La droite a pour vecteur directeur qui dirige (P) et (S). De plus, le point de coordonnées (0,-2,-3) appartient à cette droite et au plan (P).
De même, il appartient à (S). En effet : le système a une solution . Ainsi, la droite appartient à à l'intersection de (P) et (S) donc la proposition b) est vraie.
On a vu que les vecteurs et forment une base de (P). L'équation paramétrique de (S) nous donne accès immédiatement à une base de (S) : . Or
donc n'est pas un vecteur normal à (S) donc (S) et (P) ne sont pas parallèles donc la proposition a) est fausse.
donc donc donc la proposition c) est fausse. Un vecteur normal au plan (S) est . Or donc les deux vecteurs normaux ne sont pas orthogonaux donc (P) et (S) ne sont pas perpendiculaires et la proposition d) est fausse.
exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. a) La forme algébrique de est
1. b) donc
On a de plus et un argument de est tel que
. Par exemple, convient.
1. c)
Pour montrer la propriété 1, il suffit de montrer que car alors (OI) est une droite passant par le sommet O
orthogonale au côté opposé [BM'] donc c'est une hauteur du triangle OBM'. Or a pour coordonnées donc . De plus, a
pour coordonnées . Ainsi, d'où le résultat.
Par aileurs, et donc .
2. a) Notons l'affixe du point .
2. b) donc
2. c) I a pour coordonnées . B a pour coordonnées (0,1). M' a pour coordonnées .
2. d) Comme à la question 1.c), il suffit de montrer que .
Or
d'où le résultat.
2. e) et
donc
exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. a) Soit .
1. b) et
et
(Attention à bien reprendre la valeur exacte de et pour calculer et car sinon, on commet une erreur de 1 sur
par rapport au résultat qu'on obtient avec la question 3.a)
1. c) On reconnaît une relation de type "suite géométrique". Montrons par récurrence sur que .
: OK.
Soit tel que .
D'après la question précédente, donc, par hypothèse de récurrence,
.
On a donc montré que .
2. a)
2. b) Montrons par récurrence sur que .
Le résultat est vrai d'après la question précédente.
Soit tel que .
donc d'après la question précédente et l'hypothèse de récurrence :
(où l'on a noté la matrice identité)
On a donc montré que .
2. c) Montrons par récurrence sur que .
:
Soit tel que .
par hypothèse de récurrence.
Donc
On a donc montré que .
3. a) D'après la question 1. c), donc
Ainsi, et
et (car 0,25 < 1)
3. b) La population d'animaux se stabilise à 270 jeunes et 450 adultes.
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. a) On sait que le salarié n'est pas malade la première semaine donc on ne représente que l'arbre de probabilité à partir de la deuxième semaine :
On sait en effet que comme le salarié n'est pas malade la première semaine,
et donc et on remplit de la même façon le reste de l'arbre.
Ainsi, . On a donc : .
1. b) On cherche la probabilité conditionnelle qui s'écrit
donc
2. a) Comme à la question 1. a), on dresse l'arbre de probabilité :
2. b) Pour , comme à la question 1. a), on lit la probabilité sur l'arbre :
2. c) Pour , donc la suite
est une suite géométrique de raison et de premier terme .
Ainsi,
2. d) Comme -1 < 0,2 < 1, la suite converge et a pour limite 0. Or donc en passant à la limite dans cette égalité,
converge et a pour limite 0,05.
2. e) L'affichage final de correspond au premier entier tel que .
L'algorithme finit si et seulement si P augmente à chaque passage dans la boucle. Or on sait que la suite (représentée par P) est croissante.
De plus, s'il existe un entier tel que alors
et donc ce qui contredit l'hypothèse de croissance de (on rappelle que ). Ainsi, la quantité est
strictement croissante et donc atteint forcément la valeur et l'algorithme s'arrête.
3. a) Considérons l'épreuve de Bernoulli ayant pour succès "Le salarié considéré est malade" (probabilité ) et pour échec "Le salarié n'est
pas malade" (probabilité ). Ici, on répète cette épreuve fois (pour les 220 salariés) et compte le nombre de salariés
malades, c'est-à-dire le nombre de succès. Ainsi, suit une loi binomiale de paramètres .
L'espérance mathématique est alors et l'écart-type est .
3. b) . Pour calculer chacune de ces probabilités, on utilise l'approximation donnée :
. On admettra que choisir induit une erreur de
l'ordre de (ce qui n'est pas vraiment exact car on peut montrer que ). Ainsi, .
De plus, . On admettra de même que choisir
induit une erreur de l'ordre de
(c'est encore une fois inexact car on peut montrer que ).
Ainsi, .
Alors, à près.
Publié par TP/david9333
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à gui_tou / david9333 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !