En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :
2. Un responsable de la ville affirme que parmi ces DVD retirés, plus de la moitié est composée de DVD défectueux.
Nous allons d'abord déterminer
Par conséquent, l'affirmation du responsable de la ville est fausse.
Partie B
Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I150 au seuil de 95 % de la proportion de DVD défectueux.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,
Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I150 au seuil de 95% est :
La fréquence observée est
Nous remarquons que
Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, l'hypothèse ne doit pas être remise en question.
Partie C
1. La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance = 80 et d'écart-type .
Posons
La variable aléatoire Y suit alors la loi normale centrée réduite.
Par la calculatrice, nous obtenons :
Une valeur approchée de à 0,01 près est
2. Nous devons déterminer
D'une part, par la calculatrice, nous obtenons :
D'autre part, nous savons que , soit que
Par conséquent, sachant que l'enfant a déjà vu une heure et demie du film, la probabilité que ce film se termine dans les cinq minutes qui suivent est environ égale à 0,62.
6 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Partie A - Modélisation de la forme de l'ampoule
1. a) Pour tout x de l'intervalle [0 ; 4],
1. b) Les tangentes aux points B et C à la représentation graphique de la fonction f sont parallèles à l'axe des abscisses.
Leurs coefficients directeurs sont donc nuls.
2. En utilisant le résultat de la question 1. b., nous savons que pour tout x de l'intervalle [0 ; 4],
Or les points B(0 ; 1) et C(4 ; 3) appartiennent à la représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].
Par conséquent, pour tout x de l'intervalle [0 ; 4], ou encore
Partie B - Approximation du volume de l'ampoule
1. Calculons le volume du cylindre de section le rectangle ABFG.
Le rayon de ce cylindre est OB = 1 et la hauteur est AB = 1.
D'où le volume de ce cylindre est :
2. Calculons le volume de la demi-sphère de section le demi-disque de diamètre [CE].
Le rayon de la demi-sphère est O'C = 3
D'où le volume de la demi-sphère est :
3. a) Calculons le volume du troisième cylindre grisé dans la figure.
Le segment [OO'] de longueur 4 est partagé en 5 segments de même longueur.
La longueur de chaque segment est alors égale à , qui représente également la hauteur de chaque cylindre grisé.
Les rayons des 5 cylindres sont donnés par
D'où le volume du troisième cylindre grisé est :
3. b) A l'instar du cas particulier traité dans la question 3a), nous savons que le segment [OO'] de longueur 4 est partagé en n segments de même longueur.
La longueur de chaque segment est alors égale à , qui représente également la hauteur de chaque cylindre grisé.
Les rayons des 5 cylindres sont donnés par
D'où l'algorithme complété :
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. Une primitive de lafonction f est la fonction F définie sur l'intervalle [0 ; +[ par
En effet, Montrons que F'(x) = f(x) sur l'intervalle [0 ; +.[
2. Déterminons l'aire du triangle OCB en fonction de k .
Déterminons l'aire du domaine en fonction de k .
se détermine par la différence entre l'aire du polygone curviligne OCBA et l'aire du triangle OCB.
Puisque la fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 1], nous avons :
Soit la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par
Cette fonction g est dérivable sur l'intervalle ]0 ; +[.
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur ]0 ; +[, le signe de g' (x ) sera le signe de (-1 + 3x ).
D'où le tableau de signes de g' (x ) et les variations de la fonction g :
Montrons que l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique sur l'intervalle ]0 ; +[.
Sur l'intervalle , l'équation g (x ) = 0 n'admet pas de solution car g est strictement décroissante sur cet intervalle et pour tout x appartenant à , g (x) < 0 g (x) 0.
Sur l'intervalle , la fonction g est continue et strictement croissante. et g (1) 0,161>0.
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle , l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique appartenant à .
Sur l'intervalle , l'équation g (x ) = 0 n'admet pas de solution car g est strictement croissante sur cet intervalle et pour tout x appartenant à , g (x) > 0,161 g (x) 0.
D'où l'équation g (x ) = 0 admet une solution unique sur l'intervalle ]0 ; +[.
Nous en déduisons qu'il existe une solution unique k dans l'intervalle ]0 ; +[ vérifiant l'équation
Par conséquent, il existe une unique valeur du réel k strictement positive telle que l'aire du domaine vaut le double de celle du triangle OCB.
5 points
exercice 4 - pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité
Partie A
1. Dans la cellule C, nous devons entrer la formule
2. Nous pourrions supposer que la suite (an) converge vers 0,214,
la suite (bn) converge vers 0,571,
la suite (cn) converge vers 0,214.
Selon cette conjecture, à long terme, le lapin aurait la plus grande probabilité de se trouver dans la galerie B.
Partie B
1.
1. a) Montrons que la suite (un ) est géométrique.
Donc la suite (un ) est une suite géométrique de raison et dont le premier terme est
2.
2. a) Les trois événements : "le lapin est dans la galerie A à l'étape n", "le lapin est dans la galerie B à l'étape n"
et "le lapin est dans la galerie C à l'étape n" forment une partition de l'univers.
Par conséquent,
2. b)
La suite (vn ) est une suite géométrique de raison et dont le premier terme est
D'où
3. Puisque , nous déduisons de la question précédente que
Donc
4. Nous savons que et que .
Donc
Par conséquent, après un grand nombre d'étapes, la probabilité que le lapin soit dans la galerie A est égale à
la probabilité que le lapin soit dans la galerie B est égale à
la probabilité que le lapin soit dans la galerie C est égale à
5 points
exercice 4 - pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A- Etude d'un premier milieu
1. Selon l'énoncé, l'atome d'hydrogène est initialement à l'état stable.
De plus à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est 0,005 et a contrario, la probabilité qu'un atome reste à l'état stable est 1 - 0,005 = 0,995.
Par conséquent,
Sachant en outre que la probabilité qu'il passe de l'état excité à l'état stable est 0,6 et contrario que la probabilité qu'il reste à l'état excité est 1 - 0,6 = 0,4, nous obtenons :
2. En généralisant la démarche effectuée dans l'exercice 1, nous obtenons :
3. Par calcul matriciel, nous obtenons :
4. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons donc que
La propriété est donc démontrée pour n = 0.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n fixé la propriété soit vraie au rang n et montrons qu'elle est encore vraie au rang n + 1.
Supposons donc que pour un entier naturel n fixé,
Montrons que nous avons
En effet,
L'hérédité est donc démontrée.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n ,
6. Nous savons que
Par conséquent, à long terme, la probabilité qu'un atome d'hydrogène soit dans un état stable est égale à , soit environ 0,992.
Partie B- Etude d'un second milieu
1. A chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est 0,01 et a contrario, la probabilité qu'un atome reste à l'état stable est 1 - 0,01 = 0,99.
Sachant en outre que la probabilité qu'il passe de l'état excité à l'état stable est et contrario que la probabilité qu'il reste à l'état excité est 1 - , nous obtenons :
Publié par malou
le
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