Fiche de mathématiques

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Bac S Sénégal 2018

Mathématiques

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées.

Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.

4 heures - Coefficient 8

4 points

exercice 1

5 points

exercice 2

11 points

probleme

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Bac S Sénégal 2018

4 points

exercice 1

Remarque : Dans cet exercice, l'énoncé utilise la notation suivante pour la probabilité conditionnelle :
Si A et B sont deux événements, alors la probabilité que l'événement A se réalise sachant que B est réalisé se note : P(A/B).

1. Le téléphone de Babou contient 700 chansons dans la catégorie mbalax parmi les 1500 chansons du répertoire.
Les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable.
D'où $p(M)=\dfrac{700}{1500}\Longrightarrow\overset{.}{\boxed{p(M)=\dfrac{7}{15}}}$

2. a) Nous devons déterminer p (S ), soit déterminer la probabilité que la chanson écoutée soit interprétée en Sérère.
40% des chansons du répertoire sont interprétées en Sérère.
D'où $p(S)=\dfrac{40}{100}\Longrightarrow\overset{.}{\boxed{p(S)=\dfrac{2}{5}}}$

Nous devons déterminer p (S /M ), soit déterminer la probabilité que la chanson écoutée soit interprétée en Sérère sachant qu'elle est de la catégorie mbalax.
28% des chansons de la catégorie mbalax sont interprétées en Sérère.
D'où $p(S/M)=\dfrac{28}{100}\Longrightarrow\overset{.}{\boxed{p(S/M)=\dfrac{7}{25}}}$

2. b) Nous devons calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie mbalax interprétée en Sérère, soit $p(M\cap S).$

$p(M\cap S)=p(M)\times p(S/M)=\dfrac{7}{15}\times\dfrac{7}{25}=\dfrac{49}{375}$
Par conséquent, la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie mbalax interprétée en Sérère est égale à $\overset{.}{\dfrac{49}{375}}.$

2. c) Nous devons déterminer p (M /S ), soit déterminer la probabilité que la chanson écoutée soit de la catégorie mbalax sachant qu'elle est interprétée en Sérère.
$p(M/S)=\dfrac{p(S\cap M)}{p(S)}\\\\\phantom{p(M/S)}=\dfrac{\dfrac{49}{375}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{49}{375}\times\dfrac{5}{2} =\dfrac{49}{75}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{49}{150} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(M/S)=\dfrac{49}{150}}$

3. Babou écoute une chanson de son répertoire à 5 moments de la journée :
lors de son footing le matin
à la prise du petit déjeuner
sur le chemin de l'école
au déjeuner
le soir avant d'aller au lit.
Babou répète 5 fois la même expérience identique.
Ces expériences sont indépendantes les unes des autres.
Chacune d'elle n'a que deux issues possibles :
le succès : "la chanson est interprétée en Sérère" dont la probabilité est $p=\dfrac{2}{5}.$
l'échec : "la chanson n'est pas interprétée en Sérère" dont la probabilité est $1-p=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}.$
Soit la variable aléatoire X égale au nombre de chansons interprétées en Sérère durant une journée.
Cette variable aléatoire X suit une loi binomiale dont les paramètres sont n = 5 et $p=\dfrac{2}{5}.$
Formule générale : $p(X=k)=\begin{pmatrix}n\\\\k\end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$

Nous devons déterminer $p(X\ge3).$
$\overset{^.}{p(X\ge3)=p(X=3)+p(X=4)+p(X=5)} \\\\\phantom{p(X\ge3)}=\begin{pmatrix}5\\\\3\end{pmatrix}\times(\dfrac{2}{5})^3\times(\dfrac{3}{5})^{2}+\begin{pmatrix}5\\\\4\end{pmatrix}\times(\dfrac{2}{5})^4\times(\dfrac{3}{5})^{1} +\begin{pmatrix}5\\\\5\end{pmatrix}\times(\dfrac{2}{5})^5\times(\dfrac{3}{5})^{0} \\\\\phantom{p(X\ge3)}=10\times(0,4)^3\times(0,6)^{2}+5\times(0,4)^4\times(0,6)^{1} +1\times(0,4)^5\times1 \\\\\phantom{p(X\ge3)}=(0,4)^3\times[10\times0,36+5\times0,4\times0,6+(0,4)^2] \\\\\phantom{p(X\ge3)}=(0,4)^3\times[3,6+1,2+0,16] \\\\\phantom{p(X\ge3)}=(0,4)^3\times4,96 =[(0,4)^3\times4,96\times100]\,\% \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X\ge3)=[496\times (0,4)^3]\,\%}$
Par conséquent, Bachir a raison.

5 points

exercice 2

Soit f l'application de $\mathcal{P}$ dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que $z'=\text{e}^{\text{i}|z|}z$ .

1. Notons z_A' l'affixe du point A' image par f du point A d'affixe z_A =

.
$z_{A'}=\text{e}^{\text{i}|z_{A}|}z_{A}=\text{e}^{\text{i}|\pi|}\pi=\text{e}^{\text{i}\pi}\pi=(-1)\times\pi=-\pi\Longrightarrow\boxed{z_{A'}=-\pi=-z_A}.$

Notons z_B' l'affixe du point B' image par f du point B d'affixe z_B = 2

.
$z_{B'}=\text{e}^{\text{i}|z_{B}|}z_{B}=\text{e}^{\text{i}|2\pi|}2\pi=\text{e}^{\text{i}2\pi}2\pi=1\times2\pi=2\pi\Longrightarrow\boxed{z_{B'}=2\pi=z_B}$

2. Notons z l'affixe d'un point M.
Le point M est invariant par f $\Longleftrightarrow f(M)=M$
$\\\overset{}{\Longleftrightarrow \text{e}^{\text{i}|z|}z=z} \\\overset{}{\Longleftrightarrow \text{e}^{\text{i}|z|}z-z=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z\left(\text{e}^{\text{i}|z|}-1\right)=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \text{e}^{\text{i}|z|}-1=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \text{e}^{\text{i}|z|}=1} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \exists k\in\N^* : |z|=2k\pi} \\\overset{}{\Longleftrightarrow \exists k\in\N : |z|=2k\pi} \\\overset{}{\Longleftrightarrow \boxed{\exists k\in\N : OM=2k\pi}}$
Par conséquent, l'ensemble $\mathscr{E}$ des points invariants par f est l'ensemble des cercles de centre O et
de rayons 2k où k est un entier naturel.

3. Soient M un point de deltamaj

d'affixe z et M' =f (M ) d'affixe z' .
Les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe $(0,\overrightarrow{u})$ si et seulement si ${\red{z'=\overline{z}}}$ , c'est-à-dire si et seulement si $\red{\text{e}^{\text{i}|z|}z=\overline{z}}}.$
Déterminons une écriture exponentielle de z et de $\overline{z}.$
$\arg(z)=\arg(z_c)$ car le point M appartient à la demi-droite ]OC).
Or si z_C est l'affixe du point C , alors $z_C=1+\text{i}\sqrt{3}=r\,\text{e}^{\text{i}\theta}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}r=\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2\ \ \ \ \ \ \\\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{r}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{\theta=\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]}\end{matrix}\right.$

D'où $z=|z|\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $\overline{z}=|z|\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}.$

$\text{Dès lors, }\ {\red{\text{e}^{\text{i}|z|}\,z=\overline{z}}}\Longleftrightarrow\text{e}^{\text{i}|z|}\,|z|\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=|z|\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ {\red{\text{e}^{\text{i}|z|}\,z=\overline{z}}}}\Longleftrightarrow\text{e}^{\text{i}\,|z|}\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ {\red{\text{e}^{\text{i}|z|}\,z=\overline{z}}}}\Longleftrightarrow\text{e}^{\text{i}\,|z|}=\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ {\red{\text{e}^{\text{i}|z|}\,z=\overline{z}}}}\Longleftrightarrow\text{e}^{\text{i}\,|z|}=\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ {\red{\text{e}^{\text{i}|z|}\,z=\overline{z}}}}\Longleftrightarrow\exists k\in\N^*: |z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$
Par conséquent, les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe $(0,\overrightarrow{u})$
si et seulement si $\exists k\in\N^*: |z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi.$

4. a) Rappel : l'aire d'un cercle de rayon R est donnée par la formule $\pi R^2.$

$\mathcal{C}_k$ est le cercle de centre O et de rayon 2k

.
L'aire de $\mathcal{C}_k$ est $\mathscr{A}_{\mathcal{C}_k}=\pi\times (2k\pi)^2=\pi\times 4k^2\pi^2\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}_{\mathcal{C}_k}=4k^2\pi^3}$
$\mathcal{C}_{k+1}$ est le cercle de centre O et de rayon 2(k +1)

.
L'aire de $\mathcal{C}_{k+1}$ est $\mathscr{A}_{\mathcal{C}_{k+1}}=\pi\times \left(\overset{}{2(k+1)\pi}\right)^2=\pi\times 4(k+1)^2\pi^2\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}_{\mathcal{C}_{k+1}}=4(k+1)^2\pi^3}$

$a_k=\mathscr{A}_{\mathcal{C}_{k+1}}-\mathscr{A}_{\mathcal{C}_{k}}=4(k+1)^2\pi^3-4k^2\pi^3 \\\overset{}{\phantom{a_k}=4[(k+1)^2-k^2]\pi^3} \\\overset{}{\phantom{a_k}=4(k^2+2k+1-k^2)\pi^3} \\\overset{}{\phantom{a_k}=4(2k+1)\pi^3} \\\\\Longrightarrow\boxed{a_k=4(2k+1)\pi^3}$

4. b) Montrons que la suite $(a_n)_{n\in\N^*}$ est une suite arithmétique.
Pour tout entier naturel non nul k ,
$a_{k+1}-a_k=4\left(\overset{}{2(k+1)+1}\right)\pi^3-4(2k+1)\pi^3 \\\overset{}{\phantom{a_{k+1}-a_k}=4\left(\overset{}{2k+3}\right)\pi^3-4(2k+1)\pi^3} \\\overset{}{\phantom{a_{k+1}-a_k}=4\left(\overset{}{2k+3-2k-1}\right)\pi^3} \\\overset{}{\phantom{a_{k+1}-a_k}=4\times2\pi^3}=8\pi^3 \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{k+1}-a_k=8\pi^3} \\\\\underline{\text{Remarque}}:a_1=4(2\times1+1)\pi^3=4\times3\pi^3\Longrightarrow\boxed{a_1=12\pi^3}$
Nous en déduisons que la suite $(a_n)_{n\in\N^*}$ est une suite arithmétique de raison r = 8³ dont le premier terme
est a ₁ = 12³.

4. c) Le terme général de la suite (a_n ) est $a_n=a_1+(n-1)\times r$ .
Donc, pour tout n > 0, $\overset{.}{a_n=12\pi^3+(n-1)\times8\pi^3}$ , soit $\overset{.}{\boxed{a_n=8\pi^3n+4\pi^3}}$
Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=+\infty}}$

5. a) Soit $k\in\N^*.$

Par définition de $\mathscr{D}_k$ , nous savons que $2k\pi\le|z|\le2(k+1)\pi.$
Nous avons montré dans la question 3 que si M est un point de deltamaj

, alors les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe $(0,\overrightarrow{u})$
si et seulement si $\exists k'\in\N^*: |z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi.$
D'où, si M est un point d'affixe z appartenant à $\Delta\cap\mathscr{D}_k$ , alors les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe $(0,\overrightarrow{u})$ si et seulement si $\exists k\in\N^*: \left\lbrace\begin{matrix}2k\pi\le|z|\le2(k+1)\pi\\\overset{}{|z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\ \ \ \ }\end{matrix}\right.$

$\text{Or } \left\lbrace\begin{matrix}2k\pi\le|z|\le2(k+1)\pi\\\overset{}{|z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\ \ \ \ }\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2k\pi\le-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\le2(k+1)\pi\\\overset{}{|z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\ \ \ \ }\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2k\pi+\dfrac{2\pi}{3}\le2k'\pi\le2(k+1)\pi+\dfrac{2\pi}{3}\\\overset{}{|z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\ \ \ \ }\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2\pi(k+\dfrac{1}{3})\le2k'\pi\le2\pi[(k+1)+\dfrac{1}{3}]\\\overset{}{|z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\ \ \ \ }\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}k+\dfrac{1}{3}\le k'\le(k+1)+\dfrac{1}{3}\\\overset{}{|z|=-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\ \ \ \ }\end{matrix}\right.$

Sachant que k et k' sont des nombres entiers naturels, $k+\dfrac{1}{3}\le k'\le(k+1)+\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow \boxed{k'=k+1}\,.$
Nous en déduisons que si M un point de $\Delta\cap\mathscr{D}_k$ d'affixe z , alors :
$z=|z|\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\left(-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\right)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=2\pi\left(-\dfrac{1}{3}+k'\right)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\\\phantom{z}=2\pi\left(-\dfrac{1}{3}+k+1\right)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z=2\pi\left(\dfrac{2}{3}+k\right)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\ \ \ \ (k\in\N^*)}$
Donc les points de $\Delta\cap\mathscr{D}_k$ qui sont symétriques avec leur image par rapport à l'axe $(0,\overrightarrow{u})$ ont pour affixes $z=2\pi\left(\dfrac{2}{3}+k\right)\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\ \ \ \ (k\in\N^*).$

5. b) Soient M un point de $\mathscr{D}_k$ d'affixe z et M' =f (M ) d'affixe z' .
Par définition, $z'=\text{e}^{\text{i}|z|}z$ .
Nous en déduisons que $|z'|=|z|.$
Donc si M est un point de $\mathscr{D}_k$ , alors $2k\pi\le|z|\le2(k+1)\pi$ , soit $2k\pi\le|z'|\le2(k+1)\pi.$
Dans ce cas, M' est un point de $\mathscr{D}_k$
Par conséquent, tout point de $\mathscr{D}_k$ a son image par f dans $\mathscr{D}_k$ .

11 points

probleme

Partie A

1. Résoudre l'équation différentielle y' + y = 0.
Nous savons que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = alpha

y , où

est un nombre réel fixé, est l'ensemble des fonctions y définies sur

par $y(x)=k\,\text{e}^{\alpha x}$ où k est un réel quelconque.
Or $y'+y=0\Longleftrightarrow y'=-y.$
D'où alpha

= -1.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' + y = 0 est l'ensemble des fonctions y définies sur par $\overset{.}{\boxed{y(x)=k\,\text{e}^{-x}}}$ où k est un réel quelconque.

2. a) La fonction g est définie sur $\R_+^*$ par $g(x)=\varphi(x)\,\text{e}^x.$

La fonction $\varphi$ et la fonction exponentielle sont deux fonctions dérivables sur $\R_+^*$ .
D'où la fonction g est dérivable sur $\R_+^*$ .

Or $g(x)=\varphi(x)\,\text{e}^x\Longleftrightarrow \boxed{\varphi(x)=g(x)\,\text{e}^{-x}}$ .

Soit la relation (1) : $\forall x\in\R_+^*,\ \varphi'(x)+\varphi(x)=-\dfrac{1}{x}-\ln x.$
Dès lors, pour tout x appartenant à $\R_+^*$ ,
$\varphi\text{ vérifie la relation (1)}\Longleftrightarrow \varphi'(x)+\varphi(x)=-\dfrac{1}{x}-\ln x \\\phantom{WWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow {\blue{\left(\overset{}{g(x)\,\text{e}^{-x}}\right)'}}+g(x)\,\text{e}^{-x}=-\dfrac{1}{x}-\ln x \\\phantom{WWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow {\blue{g'(x)\times\text{e}^{-x}+g(x)\times(\text{e}^{-x})'}}+g(x)\,\text{e}^{-x}=-\dfrac{1}{x}-\ln x \\\phantom{WWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow g'(x)\times\text{e}^{-x}+g(x)\times(-\text{e}^{-x})+g(x)\,\text{e}^{-x}=-\dfrac{1}{x}-\ln x \\\phantom{WWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow g'(x)\,\text{e}^{-x}-g(x)\,\text{e}^{-x}+g(x)\,\text{e}^{-x}=-\dfrac{1}{x}-\ln x \\\phantom{WWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow g'(x)\,\text{e}^{-x}=-\dfrac{1}{x}-\ln x \\\phantom{WWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow g'(x)=(-\dfrac{1}{x}-\ln x)\,\text{e}^{x} \\\overset{}{\phantom{\varphi\text{ vérifie la relation (1)}}\Longleftrightarrow \boxed{g'(x)=-\text{e}^{x}\ln x-\dfrac{\text{e}^{x}}{x}}}$

Par conséquent, pour que $\varphi$ vérifie la relation (1), il faut et il suffit que g soit une primitive de l'application $x\mapsto -\text{e}^{x}\ln x-\dfrac{\overset{^.}{\text{e}^{x}}}{x}.$

2. b) Nous observons que la fonction $x\mapsto -\text{e}^{x}\ln x-\dfrac{\text{e}^{x}}{x}$ est la dérivée de la fonction $x\mapsto -\text{e}^{x}\ln x.$
Par conséquent, l'ensemble des primitives de la fonction $x\mapsto -\text{e}^{x}\ln x-\dfrac{\text{e}^{x}}{x}$ est l'ensemble des fonctions de la forme $x\mapsto -\text{e}^{x}\ln x+a$ où a est un nombre réel constant.

3. En utilisant les résultats des questions 2.a) et b), nous déduisons que $\varphi$ vérifie la relation (1) si et seulement si g est défini par $g(x)=-\text{e}^{x}\ln x+a.$
$\varphi(x)=g(x)\,\text{e}^{-x}\Longleftrightarrow\varphi(x)=(-\text{e}^{x}\ln x+a)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{\varphi(x)=g(x)\,\text{e}^{-x}}\Longleftrightarrow\varphi(x)=-\text{e}^{x}\,\text{e}^{-x}\ln x+a\,\text{e}^{-x} \\\phantom{\varphi(x)=g(x)\,\text{e}^{-x}}\Longleftrightarrow\boxed{\varphi(x)=-\ln x+a\,\text{e}^{-x}}$
Par conséquent, l'ensemble des applications dérivables de $\R_+^*$ dans vérifiant (1) est l'ensemble des applications $x\mapsto a\,\text{e}^{-x}-\ln x$ où a désigne une constante réelle.

Partie B

Soit f l'application de $\R_+^*$ dans

définie par : $\forall x\in\R_+^*,\ f(x)=\text{e}^{1-x}-\ln x.$

1. a) L'application f est dérivable sur $\R_+^*.$
$\forall x\in\R_+^*,\ f'(x)=\left(\text{e}^{1-x}-\ln x\right)' \\\phantom{\forall x\in\R_+^*,\ f'(x)}=(1-x)'\times\text{e}^{1-x}-\dfrac{1}{x} \\\phantom{\forall x\in\R_+^*,\ f'(x)}=(-1)\times\text{e}^{1-x}-\dfrac{1}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in\R_+^*,\ f'(x)=-\text{e}^{1-x}-\dfrac{1}{x}} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}x\in\R_+^*\\\overset{}{\text{e}^{1-x}>0}\\\dfrac{1}{x}>0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\in\R_+^*\\\overset{}{-\text{e}^{1-x}<0}\\-\dfrac{1}{x}<0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{{\red{f'(x)<0}}}$

Puisque la dérivée de f est strictement négative sur $\R_+^*$ , la fonction f est strictement décroissante sur $\R_+^*.$

De plus,
$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\text{e}^{1-x}=\text{e}\\\overset{}{\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to0^+}(\text{e}^{1-x}-\ln x)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{1-x}=0\\\overset{}{\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}(\text{e}^{1-x}-\ln x)=-\infty \\\phantom{WWWWWWWW..}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f sur $\R_+^*.$

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&0&&&&&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &+\infty&&&&&&&f(x)&&&\searrow&&&&\\&&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

Courbe représentative de la fonction f .

La fonction f est continue et strictement décroissante sur $\R_+^*.$
De plus $f(\R_+^*)=\R$ .
Dès lors, l'équation f (x ) = 0 admet une solution unique c dans $\R_+^*.$
Or $\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=\text{e}^{1-1}-\ln 1=1-0=1\Longrightarrow {\red{f(1)>0}} \\\overset{}{f(2)=\text{e}^{1-2}-\ln 2=\text{e}^{-1}-\ln2\approx-0,3\Longrightarrow {\red{f(2)<0}}}\end{matrix}\right.$
Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet une solution unique c dans l'intervalle ]1 ; 2[.

1. b) $\forall x\in\R_+^*,\ xf(x)=x\,\text{e}^{1-x}-x\ln x.$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x\,\text{e}^{1-x}=0\times\text{e}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overset{}{\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\ (\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to0^+}(x\,\text{e}^{1-x}-x\ln x)=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}xf(x)=0}$

1. c) Soit x un élément de l'intervalle ]0 ; 1].

$F(x)=\int\limits_x^1f(t)dt=\int\limits_x^1[\text{e}^{1-t}-\ln t]dt=\int\limits_x^1\text{e}^{1-t}\,dt-\int\limits_x^1\ln t\,dt \\\\ {\blue{\bullet \text{ Calcul de }\int\limits_x^1\text{e}^{1-t}\,dt}}: \\\int\limits_x^1\text{e}^{1-t}\,dt=-\int\limits_x^1-\text{e}^{1-t}\,dt=-\int\limits_x^1(1-t)'\text{e}^{1-t}\,dt=-\left[\overset{}{\text{e}^{1-t}}\right]\limits_x^1=-(\text{e}^{1-1}-\text{e}^{1-x})=-(\text{e}^{0}-\text{e}^{1-x})=-1+\text{e}^{1-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{{\blue{\int\limits_x^1\text{e}^{1-t}\,dt=\text{e}^{1-x}-1}}} \\\\ {\blue{\bullet \text{ Calcul de }\int\limits_x^1\ln t\,dt}}:$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_x^1u(t)v'(t)dt=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_x^1-\int\limits_x^1u'(t)v(t)dt}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(t)=\ln t\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(t)=\dfrac{1}{t}\\v'(t)=1\ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ v(t)=t\end{matrix}\right. \\\\\text{Dès lors, }\ \int\limits_x^1\ln t\,dt=\left[\overset{}{t\,\ln t}\right]\limits_x^1-\int\limits_x^1\left(\dfrac{1}{t}\times t\,\right)dt \\\\\phantom{WWWWWWW..}=\left[\overset{}{t\,\ln t}\right]\limits_x^1-\int\limits_x^11\,dt$

$\\\\\phantom{WWWWWWW..}=\left[\overset{}{t\,\ln t}\right]\limits_x^1-\left[\overset{}{t}\right]\limits_x^1 \\\\\phantom{WWWWWWW..}=(1\ln1-x\ln x)-(1-x) \\\\\phantom{WWWWWWW..}=-x\ln x-1+x \\\Longrightarrow\boxed{{\blue{\int\limits_x^1\ln t\,dt=-x\ln x-1+x}}}$
Par conséquent,
$F(x)=\int\limits_x^1\text{e}^{1-t}\,dt-\int\limits_x^1\ln t\,dt \\\phantom{F(x)}=(\text{e}^{1-x}-1)-(-x\ln x-1+x) \\\phantom{F(x)}=\text{e}^{1-x}-1+x\ln x+1-x \\\\\Longrightarrow\boxed{F(x)=\text{e}^{1-x}+x\ln x-x}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\text{e}^{1-x}=\text{e}^1=\text{e}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overset{}{\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\ (\text{croissances comparées})}\\\overset{}{\lim\limits_{x\to0^+}x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to0^+}(\text{e}^{1-x}+x\ln x-x)=\text{e} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}F(x)=\text{e}}$

2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

2. a) Nous avons montré dans la question 1. a) que la fonction f est strictement décroissante sur $\R_+^*.$
D'où pour tout t tel que $\dfrac{k}{n}\le t\le\dfrac{k+1}{n}$ , nous avons : $f(\dfrac{k+1}{n})\le f(t)\le f(\dfrac{k}{n}).$

2. b) Nous déduisons de la question 2. a) que $\forall\,t\text{ tel que }\dfrac{k}{n}\le t\le\dfrac{k+1}{n},$

$\int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}f(\dfrac{k+1}{n})\,dt\le \int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}f(t)\,dt\le \int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}f(\dfrac{k}{n})\,dt \\\phantom{\text{D'où wwwwwww}\ }\Longleftrightarrow f(\dfrac{k+1}{n})\int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}1\,dt\le \int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}f(t)\,dt\le f(\dfrac{k}{n})\int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}1\,dt \\\phantom{\text{D'où wwwwwww}\ }\Longleftrightarrow f(\dfrac{k+1}{n})\left[\overset{\frac{}{}}{t}\right]\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}\le \int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}f(t)\,dt\le f(\dfrac{k}{n})\left[\overset{\frac{}{}}{t}\right]\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}$

                                              $\Longleftrightarrow f(\dfrac{k+1}{n})\left[\overset{\frac{}{}}{\dfrac{k}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{k}{n}}\right]\le \int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}f(t)\,dt\le f(\dfrac{k}{n})\left[\overset{\frac{}{}}{\dfrac{k}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{k}{n}}\right] \\\Longleftrightarrow \dfrac{1}{n}f(\dfrac{k+1}{n})\le \int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}f(t)\,dt\le \dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})$
                                              $\\\Longrightarrow {\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}{\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k+1}{n})}\le {\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}\int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}f(t)\,dt\le {\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n}) \\\Longrightarrow \dfrac{1}{n}\,{\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}{f(\dfrac{k+1}{n})}\le {\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}\int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}f(t)\,dt\le \dfrac{1}{n}\,{\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}f(\dfrac{k}{n}) \\\Longrightarrow \dfrac{1}{n}\,{\blue{\sum\limits_{k={\red{2}}}^{{\red{n}}}}}\,f(\dfrac{{\red{k}}}{n})\le {\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}\int\limits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}f(t)\,dt\le \dfrac{1}{n}\,{\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}f(\dfrac{k}{n}) \\\Longrightarrow \dfrac{1}{n}\,{\blue{\sum\limits_{k=2}^{n}}}\,f(\dfrac{k}{n})\le {\red{\int\limits_{\frac{1}{n}}^{1}f(t)\,dt}}\le \dfrac{1}{n}\,{\blue{\sum\limits_{k=1}^{n-1}}}f(\dfrac{k}{n})\ \ \ \ \ \ ({\red{\text{par la relation de Chasles}}})$

Par conséquent, étant donné que $F(x)=\int\limits_x^1f(t)dt$ , nous en déduisons que $\boxed{\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=2}^{n}\,f(\dfrac{k}{n})\le F(\dfrac{1}{n})\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(\dfrac{k}{n})}$

En outre, d'une part, $\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=2}^{n}\,f(\dfrac{k}{n})\le F(\dfrac{1}{n})\Longleftrightarrow{\blue{\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k={\red{1}}}^{n}\,f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})\le F(\dfrac{1}{n})}}$
D'autre part,
$F(\dfrac{1}{n})\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(\dfrac{k}{n})\Longleftrightarrow{\blue{F(\dfrac{1}{n})\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{{\red{n}}}f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n}f(\dfrac{n}{n})}} \\\phantom{F(\dfrac{1}{n})\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(\dfrac{k}{n})}\Longleftrightarrow{\blue{F(\dfrac{1}{n})\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{{\red{n}}}f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n}}}\ \ \ \ \ \ (\text{car }f(\dfrac{n}{n})=f(1)=1)$

D'où

$\boxed{\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=2}^{n}\,f(\dfrac{k}{n})\le {\red{F(\dfrac{1}{n})}}\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(\dfrac{k}{n})} \Longleftrightarrow\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}\,f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})\le{\red{F(\dfrac{1}{n})}}\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n} \\\\\phantom{WW>>>>>>>>>>>>>>WW}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}\,f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})\le{\red{F(\dfrac{1}{n})}}\\\\ {\red{F(\dfrac{1}{n})}}\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n} \end{matrix}\right.$

                                                                                      $\\\\\phantom{WW>>>>>>>>>>>>>>WW}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}\,f(\dfrac{k}{n})\le F(\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})\\\\ F(\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WW>>>>>>>>>>>>>>WW}\Longleftrightarrow\boxed{F(\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})\le F(\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})}$

3. a) Nous avons démontré dans les questions 1. c) et 1. b) que $\overset{}{\lim\limits_{x\to0^+}F(x)=\text{e}\ \ \ \text{et}\ \ \ \lim\limits_{x\to0^+}xf(x)=0.}$
Si nous remplaçons x par $\dfrac{1}{n}$ et si x tend vers 0⁺, alors n tend vers + infini

.
Nous en déduisons que : $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}F(\dfrac{1}{n})=\text{e}}$ et $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})=0}$ .
$\text{Dès lors, }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}\left(F(\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}\right)=\text{e}\\\overset{}{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(F(\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})\right)=\text{e}}\\\overset{}{F(\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})\le F(\dfrac{1}{n})+\dfrac{1}{n}f(\dfrac{1}{n})}\end{matrix}\right.\underset{\text{Théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow} \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})=\text{e}}$

3. b) Nous devons montrer que $\boxed{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}=(\text{e}-1)\times\dfrac{1}{n(\text{e}^{\frac{1}{n}}-1)}}$

$\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}\times\text{e}^{-\frac{k}{n}}=\text{e}\times\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{-\frac{k}{n}}=\text{e}\times\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{k}{n}}}\right)$

Or $\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{k}{n}}}\right)=\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}}+\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{2}{n}}}++\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{3}{n}}}+\dots+\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{k}{n}}}$ est la somme de n termes d'une progression géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}}$ de premier terme $\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}}$ .
$\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{k}{n}}}\right)=\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}})^n}{1-\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}}}=\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}}\times\dfrac{1-\dfrac{1}{\text{e}}}{\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{n}}-1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}}}=\dfrac{\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}}{\text{e}^{\frac{1}{n}}-1}=\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}\times\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}-1} \\\\\Longrightarrow\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}=\text{e}\times\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{k}{n}}}\right)=(\text{e}-1)\times\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{n}}-1}$

Par conséquent, $\boxed{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}=(\text{e}-1)\times\dfrac{1}{n(\text{e}^{\frac{1}{n}}-1)}}$

Nous devons ensuite montrer que $\boxed{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n\,!}{n^n}\right)}$

$\sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(\dfrac{k}{n}\right)=\ln\left(\dfrac{1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{2}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{3} {n}\right)+\dots+\ln\left(\dfrac{n}{n}\right) \\\overset{}{\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(\dfrac{k}{n}\right)}=\ln\left(\dfrac{1}{n}\times\dfrac{2}{n}\times\dfrac{3}{n}\times\dots\times\dfrac{n}{n}\right)} \\\overset{}{\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(\dfrac{k}{n}\right)}=\ln\left(\dfrac{1\times2\times3\times\dots\times n}{n^n}\right)} \\\overset{}{\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(\dfrac{k}{n}\right)}=\ln\left(\dfrac{n\,!}{n^n}\right)}$

Par conséquent, $\boxed{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n\,!}{n^n}\right)}$

3. c) Soient les suites (u_n ) et (v_n ) définies par : $u_n=\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n\,!}{n^n}\right)$ et $v_n=\dfrac{n}{\sqrt[n]{n\,!}}$
Montrons que ces suites (u_n ) et (v_n ) sont convergentes.
Par définition de f et en utilisant la question 3.b), nous savons que :

$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\text{e}^{1-\frac{k}{n}}-\ln\left(\dfrac{k}{n}\right)\right)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(\dfrac{k}{n}\right) \\\\\Longrightarrow\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}-\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n\,!}{n^n}\right) \\\\\Longrightarrow\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}-u_n \\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})}$
Nous avons montré dans la question 3. b) que : $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}=(\text{e}-1)\times\dfrac{1}{n(\text{e}^{\frac{1}{n}}-1)}$
$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}=(\text{e}-1)\times\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1} {n(\text{e}^{\frac{1}{n}}-1)}=(\text{e}-1)\times\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\frac{1}{n}} {\text{e}^{\frac{1}{n}}-1} \\\overset{}{\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}}=(\text{e}-1)\times\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{t}{\text{e}^{t}-1}\ \ \ \ \text{où }t=\dfrac{1}{n}.}\\ \text{Or }\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{\text{e}^{t}-1}{t}=1\ \ \ (\text{nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0)} \\\phantom{W}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{t}{\text{e}^{t}-1}=1 \\\\\text{D'où }\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}=(\text{e}-1)\times1 \\\overset{}{\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}=\text{e}-1}}$
Nous avons également montré dans la question 3. a) que : $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})=\text{e}}$
La suite (u_n ) est donc une différence de deux suites convergentes.
Par conséquent, la suite (u_n ) est convergente.
$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\text{e}^{1-\frac{k}{n}}-\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\dfrac{k}{n})=(\text{e}-1)-\text{e}=-1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-1}$

En outre,
$u_n=\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n\,!}{n^n}\right)=-\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{n^n}{n\,!}\right)=-\ln\sqrt[n]{\left(\dfrac{n^n}{n\,!}\right)}=-\ln\left(\dfrac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{n\,!}}\right)=-\ln\left(\dfrac{n}{\sqrt[n]{n\,!}}\right) \\\overset{}{\text{D'où }\ln\left(\dfrac{n}{\sqrt[n]{n\,!}}\right)=-u_n}\Longleftrightarrow\dfrac{n}{\sqrt[n]{n\,!}}=\text{e}^{-u_n}\Longleftrightarrow \boxed{v_n=\text{e}^{-u_n}}$
Puisque la suite (u_n ) est convergente, nous en déduisons que la suite (v_n ) est convergente.
Par conséquent, $\overset{^.}{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\text{e}^{-(-1)} \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\text{e}}}$

Partie C

Soit P l'application de $\R_+^*$ dans

définie par : $\forall x\in\R_+^*,\ P(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(1)}.$

1. a) Le sens de variation de f' dans l'intervalle [1 ; 2] se déduit du signe de f'' dans [1 ; 2].
La fonction f' est dérivable sur $\R_+^*.$
$f''(x)=\left(-\text{e}^{1-x}-\dfrac{1}{x}\right)'=\left(-\text{e}^{1-x}\right)'-\left(\dfrac{1}{x}\right)' \\\overset{}{\phantom{f''(x)}=-(1-x)'\,\text{e}^{1-x}-\left(\dfrac{-1}{x^2}\right)=-(-1)\,\text{e}^{1-x}+\dfrac{1}{x^2}} \\\overset{}{\Longrightarrow\boxed{f''(x)=\text{e}^{1-x}+\dfrac{1}{x^2}}} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{1-x}>0\\\dfrac{1}{x^2}>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\text{e}^{1-x}+\dfrac{1}{x^2}>0\Longrightarrow\boxed{f''(x)>0}$
D'où la fonction f' est strictement croissante sur $\R_+^*.$
Par conséquent, la fonction f' est strictement croissante dans l'intervalle [1 ; 2].

1. b) La fonction P est dérivable sur [1 ; 2].
$P'(x)=1-\dfrac{f'(x)}{f'(1)}\Longrightarrow\boxed{P'(x)=\dfrac{f'(1)-f'(x)}{f'(1)}}$
Signe de P' (x )
Puisque la fonction f' est strictement croissante dans l'intervalle [1 ; 2], nous avons :

$\forall x\in[1\,;\,2], 1<x\Longrightarrow f'(1)<f'(x) \\\phantom{\forall x\in[1\,;\,2], 1<x}\Longrightarrow {\blue{f'(1)-f'(x)<0}} \\\text{Or }\ f'(1)=-\text{e}^{1-1}-\dfrac{1}{1}=-1-1=-2\Longrightarrow {\blue{f'(1)<0}}$
Nous en déduisons que pour tout x dans [1 ; 2], $\dfrac{f'(1)-f'(x)}{f'(1)}>0$ , soit P' (x) > 0.
Par conséquent, la fonction P est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; 2].

Montrons que P est bijective.
Nous savons qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image.
La fonction P est continue et strictement croissante sur l'intervalle [1 ; 2] et c appartient

[1 ; 2].
Donc la fonction P est continue est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; c].
De plus,
$\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=\text{e}^{1-1}-\ln1=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\f'(1)=-\text{e}^{1-1}-\dfrac{1}{1}=-1-1=-2\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ P(1)=1-\dfrac{f(1)}{f'(1)}=1-\dfrac{1}{-2}\Longrightarrow\boxed{P(1)=\dfrac{3}{2}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}f(c)=0\ \\f'(1)=-2\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ P(c)=c-\dfrac{f(c)}{f'(1)}=c-\dfrac{0}{-2}\Longrightarrow\boxed{P(c)=c}$
Par conséquent, P constitue une bijection entre l'intervalle [1 ; c ] et son image $[\dfrac{3}{2}\,;\,c]$ contenue dans [1 ; c ].

Soit c ₀ = 1 et pour tout entier n naturel, c _n +1 = P (c_n ).
Montrons par récurrence que nous définissons ainsi une suite (c _n ) d'éléments de l'intervalle [1 ; c ].
Initialisation : c ₀ est bien défini car c ₀ = 1

[1 ; c ].
Hérédité : Si pour un entier naturel n fixé, c_n existe et appartient à l'intervalle [1 ; c ], alors montrons que c_n +1 existe et appartient à l'intervalle [1 ; c ].
Nous savons que $c_{n+1}=P(c_n)$ .
Or P constitue une bijection entre l'intervalle [1 ; c ] et son image $[\dfrac{3}{2}\,;\,c]$ contenue dans [1 ; c ].
D'où P (c_n )

[1 ; c ] et donc c _n +1 [1 ; c ].
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que l'on a bien défini une suite (c _n ) d'éléments de [1 ; c ].

2. a) Montrons que la fonction P' est strictement croissante sur $\R_+^*.$
$P''(x)=\left(1-\dfrac{f'(x)}{f'(1)}\right)'\Longrightarrow\boxed{P''(x)= -\dfrac{f''(x)}{f'(1)}}$

Or f'' (x ) > 0 car f' est strictement croissante sur $\R_+^*$ .
f' (1) = -2 < 0 (voir question 1. b).
D'où P'' (x ) > 0 sur $\R_+^*.$ .
Par conséquent, la fonction P' est strictement croissante sur $\R_+^*.$ et en particulier sur l'intervalle [1 ; 2].
Dès lors, pour tout x appartenant à l'intervalle [1 ; 2],
$1\le x\le2\Longrightarrow P'(1)\le P'(x)\le P'(2) \\\overset{}{\phantom{1\le x\le2}\Longrightarrow 0\le P'(x)\le P'(2)\ \ \ \ \ (\text{car }P'(1)=1-\dfrac{f'(1)}{f'(1)}=1-1=0)} \\\\\text{Or }P'(2)=1-\dfrac{f'(2)}{f'(1)}=1-\dfrac{-\text{e}^{1-2}-\dfrac{1}{2}}{-2}=1-\dfrac{\text{e}^{-1}+\dfrac{1}{2}}{2} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }P'(2)}=1-\dfrac{1}{2\text{e}}-\dfrac{1}{4}} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }P'(2)}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2\text{e}}} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }P'(2)}\le\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}}\ \ \ (\text{car }\text{e}\le3\Longrightarrow2\text{e}\le6\Longrightarrow\dfrac{1}{2\text{e}}\ge\dfrac{1}{6}\Longrightarrow-\dfrac{1}{2\text{e}}\le-\dfrac{1}{6}) \\\overset{}{\phantom{\text{Or }P'(2)}\le\dfrac{9}{12}-\dfrac{2}{12}} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }P'(2)}\le\dfrac{7}{12}}$
Par conséquent, pour tout x appartenant à l'intervalle [1 ; 2], $\boxed{0\le P'(x)\le P'(2)\le \dfrac{7}{12}}.$

2. b) Considérons l'intervalle [c_n ; c ] inclus dans [1 ; 2].
Nous savons que la fonction P est continue sur [c_n ; c ] et dérivable sur ]c_n ; c [.
Par le théorème des accroissements finis, nous en déduisons qu'il existe un réel r dans [c_n ; c ] tel que $P(c)-P(c_n)=P\,'(r)(c-c_n).$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}P(c)=c\\P(c_n)=c_{n+1}\\r\in[c_n;c]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}P(c)=c\\P(c_n)=c_{n+1}\\r\in[1;2]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}P(c)=c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\P(c_n)=c_{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overset{}{P'(r)\le\dfrac{7}{12}\ \ \ (\text{voir question 2.a)}}\end{matrix}\right.$

$P(c)-P(c_n)=P\,'(r)(c-c_n)\Longleftrightarrow c-c_{n+1}=P'(r)(c-c_n) \\\overset{}{\phantom{P(c)-P(c_n)=P\,'(r)(c-c_n)}\Longrightarrow c-c_{n+1}\le\dfrac{7}{12}(c-c_n)} \\\overset{}{\phantom{P(c)-P(c_n)=P\,'(r)(c-c_n)}\Longrightarrow\boxed{ |c_{n+1}-c|\le\dfrac{7}{12}|c_n-c|}}$

Nous déduisons alors que pour tout entier n naturel, $|c_{n}-c|\le\dfrac{7}{12}|c_{n-1}-c|$
Dès lors,
$|c_{n}-c|\le\dfrac{7}{12}|c_{n-1}-c| \\\overset{}{ \phantom{|c_{n}-c|}\le\dfrac{7}{12}\times\dfrac{7}{12}|c_{n-2}-c|} \\\\\overset{}{ \Longrightarrow|c_{n}-c|}\le\left(\dfrac{7}{12}\right)^2|c_{n-2}-c| \\\overset{}{ \phantom{\Longrightarrow|c_{n}-c|}\le\left(\dfrac{7}{12}\right)^2\times\dfrac{7}{12}|c_{n-3}-c|} \\\\\overset{}{ \Longrightarrow|c_{n}-c|}\le\left(\dfrac{7}{12}\right)^3|c_{n-3}-c| \\\overset{}{ \phantom{\Longrightarrow|c_{n}-c|}\le\left(\dfrac{7}{12}\right)^3\times\dfrac{7}{12}|c_{n-4}-c|} \\\\\overset{}{ \Longrightarrow|c_{n}-c|}\le\left(\dfrac{7}{12}\right)^4|c_{n-4}-c| \\\cdots\cdots \\\overset{}{ \Longrightarrow|c_{n}-c|\le\left(\dfrac{7}{12}\right)^n|c_{0}-c|}$
Nous obtenons ainsi l'encadrement suivant pour tout entier n naturel : $\boxed{0\le|c_{n}-c|\le\left(\dfrac{7}{12}\right)^n|c_{0}-c|}$
$\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{7}{12}\right)^n=0\ \ \ \ \text{car }0<\dfrac{7}{12}<1 \\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to +\infty}\left[\left(\dfrac{7}{12}\right)^n|c_n-c|\right]=0$
Appliquons le théorème des gendarmes.
$\left\lbrace\begin{matrix}0\le|c_{n}-c|\le\left(\dfrac{7}{12}\right)^n|c_{0}-c|\\\overset{}{\lim\limits_{n\to +\infty}\left[\left(\dfrac{7}{12}\right)^n|c_n-c|\right]=0}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{n\to +\infty}|c_n-c|\right]=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWW..}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}c_n=c}$

2. c) Déterminer n pour que c_n soit une valeur approchée de c à 10^-2 près revient à déterminer n tel que $\left(\dfrac{7}{12}\right)^n|c_{0}-c|\le10^{-2}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}c\in\,]1\,;\,2[\\c_0=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{|c_0-c|<1}$
Dès lors, nous devons déterminer n tel que $\left(\dfrac{7}{12}\right)^n\le10^{-2}.$

$\left(\dfrac{7}{12}\right)^n\le10^{-2}\Longleftrightarrow\ln\left(\dfrac{7}{12}\right)^n\le\ln\left(10^{-2}\right) \\\overset{}{\phantom{\left(\dfrac{7}{12}\right)^n\le10^{-2}}\Longleftrightarrow n\ln\left(\dfrac{7}{12}\right)\le-2\ln(10)} \\\overset{}{\phantom{\left(\dfrac{7}{12}\right)^n\le10^{-2}}\Longleftrightarrow n[\ln(7)-\ln(12)]\le-2\ln(10)} \\\overset{}{\phantom{\left(\dfrac{7}{12}\right)^n\le10^{-2}}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{-2\ln(10)}{\ln(7)-\ln(12)}}\\\phantom{WWW\left(\dfrac{7}{12}\right)^n\le10^{-2}}(\text{changement de sens de l'inégalité car} \ln(7)-\ln(12)<0) \\\overset{}{\phantom{\left(\dfrac{7}{12}\right)^n\le10^{-2}}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{2\ln(10)}{\ln(12)-\ln(7)}} \\\\\text{Or }\dfrac{2\ln(10)}{\ln(12)-\ln(7)}\approx8,54$

Le plus petit entier n vérifiant l'inéquation est n = 9.
Par conséquent, c ₉ est une valeur approchée de c à 10^-2 près.

Publié par malou le 14-02-2021

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