II. Supposons que le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
Soient les points et d'affixes respectives et soit la rotation de centre O et d'angle
1. a) Soient les points et d'affixes respectives et tel que et
En utilisant l'écriture complexe de la rotation de centre O et d'angle , nous obtenons :
1. b) Montrons que les deux triangles et sont équilatéraux.
Nous en déduisons que le triangle est isocèle en O et possède un angle dont la mesure en degrés vaut 60°.
Par conséquent, le triangle est équilatéral.
Nous en déduisons que le triangle est isocèle en O et possède un angle dont la mesure en degrés vaut 60°.
Par conséquent, le triangle est équilatéral.
2. b) Montrons que les droites et sont orthogonales en montrant que est un imaginaire pur, soit que
D'où les droites et sont orthogonales.
2. c) Nous devons montrer que le quadrilatère est un losange.
Par la question 1. b), nous savons que les deux triangles et sont équilatéraux.
Donc et
Dès lors
Il s'ensuit que est un quadrilatère dont les côtés ont tous la même longueur.
Par conséquent, est un losange.
3. Nous avons montré dans la question 1. b) que
Or l'affixe de est
D'où
Il s'ensuit que les points et appartiennent à un cercle de centre O et de rayon
Soit un point M d'affixe où est un nombre réel.
Par définition du point M, nous en déduisons que les points et appartiennent au cercle
En appliquant le théorème de l'angle inscrit, nous obtenons :
3 points
exercice 2
Une urne contient n boules numérotées de 1 à n (n*, n 3). On retire, sans remise, l'une après l'autre toutes les boules de cette urne.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
Il y a donc équiprobabilité.
Puisque toutes les boules sont tirées, les n boules peuvent se permuter entre elles de n ! manières distinctes.
1. Soit l'événement A : "Les boules 1, 2 et 3 sortent consécutivement et dans cet ordre".
Déterminons le nombre d'éléments de A.
Les boules 1, 2 et 3 sont tirées consécutivement et dans cet ordre.
Parmi les n emplacements, la boule 1 peut occuper les emplacements à compter du 1er jusqu'au (n - 2)ième.
Donc la suite "1-2-3" peut occuper (n - 2) emplacements parmi les n .
Pour chacune de ces positions de la suite "1-2-3", il reste (n - 3) boules pouvant se permuter entre elles de (n - 3)! manières.
D'où, le nombre d'éléments de A est
Par conséquent, la probabilité de l'événement A est
Or
Nous en déduisons que la probabilité que les boules 1, 2 et 3 sortent consécutivement et dans cet ordre est égale à
2. Soit l'événement B : "les boules 1, 2 et 3 sortent dans cet ordre (consécutivement ou pas)".
Déterminons le nombre d'éléments de B.
Les boules 1, 2 et 3 occupent au hasard 3 emplacements parmi les n .
Au total, il y a donc manières différentes de choisir ces 3 emplacements.
Pour chacune de ces manières, il reste (n - 3) boules pouvant se permuter entre elles de (n - 3)! façons.
D'où, le nombre d'éléments de B est
Par conséquent, la probabilité de l'événement B est
Or
Nous en déduisons que la probabilité que les boules 1, 2 et 3 sortent dans cet ordre (consécutivement ou pas) est égale à
3. Soit la variable aléatoire Xn égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir les boules 1, 2 et 3.
Déterminons
La plus petite valeur de k est 3 car nous pouvons obtenir les 3 boules à l'issue des 3 premiers tirages.
La plus grande valeur de k est n car nous pouvons n'obtenir les 3 boules qu'à l'issue du nième tirage.
Donc
Si nous obtenons les trois boules à l'issue de k tirages, la boule tirée au kième tirage peut être la boule 1 ou la boule 2 ou la boule 3.
Nous obtenons ainsi 3 possibilités pour la kième boule.
Cette boule étant placée au kième tirage, les deux autres boules peuvent occuper 2 emplacements parmi les (k - 1) emplacements, leur ordre ayant de l'importance.
Il y a ainsi manières de les placer.
Pour chacune de ces manières, il reste (n - 3) boules pouvant se permuter entre elles de (n - 3)! façons.
Par conséquent,
D'où la loi de probabilité de la variable aléatoire Xn est définie par
3,5 points
exercice 3
On considère l'espace vectoriel de dimension 2 noté
Soit une base de V2. On pose : et
Soit la loi de composition interne définie par :
1. a) Nous devons montrer que est une base de V2.
Puisque V2 est de dimension finie, est une base de V2 si et seulement si les vecteurs et sont linéairement indépendants, soit si
Par conséquent, est une base de V2.
1. c)
2. a) Montrons que la loi est commutative.
Soient les vecteurs et deux vecteurs quelconques de V2 tels que et
Montrons que
Par conséquent, la loi est commutative.
2. b) Montrons que la loi est associative.
Soient les vecteurs , et trois vecteurs quelconques de V2 tels que , et
Montrons que
Par conséquent, la loi est associative.
2. c) Montrons que la loi admet un élément neutre.
Nous devons déterminer un vecteur appartenant à V2 tel que pour tout vecteur de V2, nous avons :
Soit et
Nous devons donc résoudre le système d'inconnues p et q , sachant que x et y sont des nombres réels quelconques.
En remplaçant q par 0 dans l'équation xp + yq = x , nous obtenons :
D'où
Nous en déduisons que
D'autre part, l'égalité est également vérifiée pour puisque nous avons démontré que la loi est commutative.
Par conséquent, la loi admet le vecteur comme élément neutre.
2. d) Montrons que est un anneau commutatif unitaire.
est un groupe commutatif car
+ est une loi de composition interne et partout définie dans V2.
+ est associative dans V2.
+ est commutative dans V2.
+ admet le vecteur comme élément neutre dans V2.
+ est symétrisable dans V2 : tout vecteur de V2 admet un seul symétrique dans V2.
La loi est associative (voir question 2. b)
La loi est distributive par rapport à + dans
Soient les vecteurs , et trois vecteurs quelconques de V2 tels que , et
Montrons que
D'où,
Montrons que
D'où,
Par conséquent, la loi est distributive par rapport à + dans V2.
La loi est commutative (voir question 2. a)
La loi admet un élément neutre (voir question 2. c)
Nous en déduisons que est un anneau commutatif unitaire.
3. Soit et soit
3. a) Montrons que est un sous-groupe du groupe
Un critère rapide permettant de montrer que est un sous-groupe du groupe est de montrer que est un sous-ensemble non vide de V2
Montrons d'abord que est un sous-ensemble non vide de V2.
Soit
Alors (il suffit de prendre ).
Donc est un ensemble non vide.
De plus, si , alors
Puisque est un espace vectoriel, nous savons que
D'où et par suite, est un sous-ensemble de V2.
Par conséquent, est un sous-ensemble non vide de V2.
Montrons ensuite que
.
Par conséquent, nous avons montré que est un sous-groupe du groupe .
3. b) Montrons que est un sous-espace vectoriel de l'espace
Un critère rapide permettant de montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace est de montrer que
En appliquant ce critère, nous avons :
Par conséquent, nous avons montré que est un sous-espace vectoriel de l'espace .
3. c) Montrons que : ( est stable pour ) (la famille est liée).
Montrons d'abord que : ( est stable pour ) (la famille est liée).
est stable pour signifie que
Or
D'où
En outre, nous savons que
Dès lors,
Nous avons donc montré que : ( est stable pour ) (la famille est liée).
Montrons ensuite que : (la famille est liée) ( est stable pour ).
Soit
De plus,
Dès lors,
De plus,
Dès lors, .
Nous en déduisons que est stable pour .
Nous avons donc montré que (la famille est liée) ( est stable pour ).
Par conséquent, ( est stable pour ) (la famille est liée).
4. On suppose que :
On considère l'application
4. a) Montrons que est un isomorphisme de vers
Montrons d'abord que est un homomorphisme de vers
Nous en déduisons que est un homomorphisme de vers
Montrons ensuite que est une bijection de vers
Montrons que est une injection.
D'où est une injection.
Montrons que est une surjection.
Soit un vecteur quelconque de
Nous savons que : . Il suffit de définir x par
En effet, dans ce cas, nous obtenons :
D'où est une surjection.
Nous en déduisons que est une bijection de vers
Par conséquent, est un isomorphisme de vers car est un homomorphisme bijectif.
4. b) Montrons que est un corps commutatif.
est un groupe commutatif car nous avons montré à la question 3. a) que est un sous-groupe du groupe commutatif
est un groupe commutatif
En effet, nous savons que est un groupe commutatif et que est un isomorphisme de vers
De plus,
D'où est un groupe commutatif.
La loi est distributive par rapport à + car nous avons montré à la question 3. a) que la loi est distributive par rapport à + dans
Nous en déduisons que est un corps commutatif.
10 points
exercice 4
Partie I
On considère la fonction g définie sur I = ]-1 ; +[ par :
1. a) Montrons que
1. b) Montrons que
Exprimons d'abord g (x ) sous un autre forme.
2. La fonction est dérivable sur (fonction polynôme).
La fonction est dérivable sur (fonction polynôme).
La fonction est dérivable sur I = ]-1 ; +[ (composée de la fonction polynôme et de la fonction logarithme).
D'où la fonction est dérivable sur I = ]-1 ; +[ (produit de deux fonctions dérivables sur I ).
Donc la fonction g est dérivable sur I = ]-1 ; +[ comme différence de deux fonctions dérivables.
Déterminons l'expression de la dérivée g' (x ).
3. On donne le tableau de variations de g :
3. a)Sur l'intervalle ]-1 ; 0] :
La fonction g est continue sur l'intervalle ]-1 ; 0].
Par le tableau de variations de g , nous observons que pour tout x dans l'intervalle ]-1 ; 0], et par suite,
Dès lors, il n'existe pas de réel x dans l'intervalle ]-1 ; 0] tel que g (x ) = 0.
Sur l'intervalle [0 ; +[ :
La fonction g est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; +[.
En vertu du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (x ) = 0 possède une et une seule solution sur l'intervalle [0 ; +[.
Par conséquent, il existe un réel strictement positif unique tel que :
3. b) Vérifions que :
D'où
3. c) Montrons que
Nous avons montré dans la question 3. a) que
Par conséquent,
Montrons que
Par conséquent,
Partie II
On considère la fonction f définie sur I = ]-1 ; +[ par :
1. a) Calculons :
Conséquence graphique : La courbe (C) admet une asymptote verticale d'équation : x = -1.
1. b) Calculons :
Conséquence graphique : La courbe (C) admet une asymptote horizontale en + d'équation : y = 0 (axe des abscisses).
2. a) La fonction est dérivable sur I = ]-1 ; +[ (composée de la fonction polynôme et de la fonction logarithme).
La fonction est dérivable sur (fonction polynôme).
De plus,
Donc la fonction f est dérivable sur I = ]-1 ; +[ comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur est différent de 0.
Déterminons l'expression de la dérivée f' (x ).
2. b) Etudions le signe de f' (x ) et les variations de f sur l'intervalle ]-1 ; +[.
Le signe de g (x ) a été étudié dans la partie I, question 3.c).
D'où le tableau de signes de f' (x ) et les variations de f sur l'intervalle ]-1 ; +[.
Calculs préliminaires :
2. c) Nous avons montré dans la question 2. b) que
Le tableau de variations de f montre que la fonction f admet un maximum pour
La valeur de ce maximum est égale à
Nous en déduisons alors que
3. a) Déterminons une équation de la tangente (T ) à (C ) au point d'abscisse 0.
Cette équation est de la forme : , soit de la forme .
D'où, une équation de la tangente (T ) à (C ) au point d'abscisse 0 est :
3. b) Montrons que :
Considérons la fonction h définie sur [0 , +[ par :
La fonction h est dérivable sur [0 , +[.
D'où, la fonction h est strictement décroissante sur [0 , +[.
Nous en déduisons que
3. c) Montrons que :
Nous savons par la question précédente que :
Dès lors, pour tout x > 0,
3. d) Représentation graphique de (T ) et de (C ).
Partie III
1. a) Calculons
Changement de variable :
Changement de bornes :
Dérivons x par rapport à t .
Exprimons f (x ) en fonction de t .
D'où,
Dès lors,
1. b) Puisque la tangente (T ) est située au-dessus de la courbe (C ) entre les droites d'équations x = 0 et x = 1, l'aire demandée se calcule en unité d'aire par :
.
Or
Par conséquent, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C ), la tangente (T ), la droite d'équation x = 0 et la droite d'équation x = 1 est égale à , soit
2. A l'aide d'une intégration par parties, calculons
F I N
Publié par malou
le
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