Fiche de mathématiques

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Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021

Durée : 4 heures

Coefficient : 8

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude (Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR. du 12 08 1998).

5 points

exercice 1

3,5 points

exercice 2

11,5 points

probleme

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Bac S Sénégal 2021

5 points

exercice 1

Soit le cube ABCDEFGH.

Partie A

1. a) Nous devons montrer que la droite (BD) est perpendiculaire au plan (ACG).
${\white{www}}$ (voir figure n°1 ci-dessous)

Les diagonales du carré ABCD sont perpendiculaires.
D'où la droite (BD) est perpendiculaire à la droite (AC).

Dans un cube, les arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans de bases.
Dès lors, la droite (CG) est perpendiculaire au plan (ABC).
Or la droite (BD) est incluse dans le plan (ABC).
D'où la droite (CG) est orthogonale à la droite (BD).

Par conséquent, la droite (BD) est orthogonale à deux droites sécantes (AC) et (CG) du plan (ACG).
Nous en déduisons que la droite (BD) est perpendiculaire au plan (ACG).

1. b) Nous devons montrer que la droite (BE) est perpendiculaire au plan (AFG).
${\white{www}}$ (voir figure n°2 ci-dessus)

Les diagonales du carré AEFB sont perpendiculaires.
D'où la droite (BE) est perpendiculaire à la droite (AF).

La droite (FG) est perpendiculaire au plan (ABF).
Or la droite (BE) est incluse dans le plan (ABF).
D'où la droite (FG) est orthogonale à la droite (BE).

Par conséquent, la droite (BE) est orthogonale à deux droites sécantes (AF) et (FG) du plan (AFG).
Nous en déduisons que la droite (BE) est perpendiculaire au plan (AFG).

1. c) Positions relatives de (AG) et (BD).
Nous savons que la droite (BD) est perpendiculaire au plan (ACG).
La droite (BD) est donc orthogonale à toutes les droites du plan (ACG), et en particulier à la droite (AG).
D'où les droites (AG) et (BD) sont orthogonales.

Positions relatives de (AG) et (BE).
Nous savons que la droite (BE) est perpendiculaire au plan (AFG).
La droite (BE) est donc orthogonale à toutes les droites du plan (AFG), et en particulier à la droite (AG).
D'où les droites (AG) et (BE) sont orthogonales.

Positions relatives de (AG) et (BDE).
Nous venons de montrer que la droite (AG) est orthogonale à deux droites sécantes (BD) et (BE) du plan (BDE).
Nous en déduisons que la droite (AG) est perpendiculaire au plan (BDE).

1. d) Les segments [BD], [DE] et [BE] sont les diagonales respectives des faces carrées ABCD, ADHE et EFBA.
Ces carrés étant isométriques, leurs diagonales ont la même longueur.
Dès lors, BD = DE = BE.
Par conséquent, le triangle BDE est équilatéral.

1. e) La droite (EA) est perpendiculaire au plan (ABC) et donc à la droite (AC) incluse dans ce plan.
Donc les points E, A et C forment un angle droit en A.
La droite (CG) est perpendiculaire au plan (ABC) et donc à la droite (AC) incluse dans ce plan.
Donc les points A, C et G forment un angle droit en C.
La droite (CG) est perpendiculaire au plan (EFG) et donc à la droite (EG) incluse dans ce plan.
Donc les points C, G et E forment un angle droit en G.
Les points E, A, C et G appartiennent au même plan (EAC).
Nous en déduisons que le quadrilatère EACG possède trois angles droits.
Par conséquent, le quadrilatère EACG est un rectangle.

2. Soit T le centre de gravité du triangle BDE et I le point d'intersection des droites (ET) et (BD).

2. a) Nous devons montrer que le point I est le milieu du segment [AC].
Puisque T est le centre de gravité du triangle BDE, la droite (ET) coupe le côté [BD] en son milieu.
Donc le point I est le milieu de [BD].
Dans le carré ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leurs milieux.
Par conséquent, le point I, milieu de [BD] est également le milieu de [AC].

Nous devons également montrer que les droites (ET) et (AG) sont coplanaires.
Montrons que ces droites (ET) et (AG) sont incluses dans le plan (ACG).
$\bullet {\white{w}}$ E appartient au plan diagonal (ACG).
I appartient à la diagonale [AC] et donc I appartient au plan (ACG)
D'où la droite (EI) est incluse au plan (ACG).
Or T est un point de (EI) et donc T appartient au plan (ACG).
Les points E et T appartenant au plan (ACG), nous en déduisons que la droite (ET) est incluse dans le plan (ACG).
$\bullet {\white{w}}$ De plus, la droite (AG) est également incluse dans le plan (ACG).
Par conséquent, les droites (ET) et (AG) sont coplanaires - dans le plan (ACG).

2. b) On pose T₁ le point d'intersection de (EI) et (AG).
Nous devons montrer que $AT_1=\dfrac{1}{3}\,AG.$

Les droites (EI) et (AG) sécantes en T₁ sont coupées par deux droites parallèles (AI) et (EG).
En appliquant le théorème de Thalès, nous obtenons : $\dfrac{IT_1}{ET_1}=\dfrac{AT_1}{GT_1}=\dfrac{AI}{EG}.$
$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}EG=AC\\AC=2AI\end{matrix}\right.\Longrightarrow EG=2AI \\\phantom{wwwwwwwww..}\Longrightarrow AI=\dfrac{1}{2}EG \\\phantom{wwwwwwwww..}\Longrightarrow \dfrac{AI}{EG}=\dfrac{1}{2}$

D'où $\dfrac{IT_1}{ET_1}=\dfrac{AT_1}{GT_1}=\dfrac{AI}{EG}=\dfrac{1}{2}.$

Nous en déduisons que $\dfrac{AT_1}{GT_1}=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow GT1=2AT_1.$
Dès lors,

$AG=AT_1+GT_1 \\\phantom{AG}=AT_1+2AT_1 \\\phantom{AG}=3AT_1 \\\\\Longrightarrow\boxed{AT_1=\dfrac{1}{3}AG}$

2. c) T étant le centre de gravité du triangle BDE, nous savons que : $\boxed{IT=\dfrac{1}{3}IE}$

De plus, nous avons montré dans la question 2. b) que $\dfrac{IT_1}{ET_1}=\dfrac{AT_1}{GT_1}=\dfrac{AI}{EG}=\dfrac{1}{2}$
Nous en déduisons que $\dfrac{IT_1}{ET_1}=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow ET1=2IT_1.$
Dès lors,

$IE=IT_1+ET_1 \\\phantom{IE}=IT_1+2IT_1 \\\phantom{IE}=3IT_1 \\\\\Longrightarrow\boxed{IT_1=\dfrac{1}{3}IE}$

Par conséquent, $\left\lbrace\begin{matrix}IT=\dfrac{1}{3}IE\ \text{ où }T\in[IE]\\\\IT_1=\dfrac{1}{3}IE\ \text{ où }T_1\in[IE]\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{T=T_1}$

Partie B

L'espace est muni du repère orthonormé direct $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).$

1. Soit I, J et K les points tels que : $\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD},\phantom{xx}\overrightarrow{EJ}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{EH}\phantom{xx}\text{et}\phantom{xx}\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

1. a) Les coordonnées des points I, J et K sont : $I(0\,;\dfrac{3}{4}\,;0),\phantom{x}J(0\,;\dfrac{3}{4}\,;1)\phantom{x}\text{et}\phantom{x}K(1\,;\dfrac{1}{2}\,;0).$

Montrons que ces points ne sont pas alignés.

$\left\lbrace\begin{matrix}I(0\,;\dfrac{3}{4}\,;0)\\\overset{}{J(0\,;\dfrac{3}{4}\,;1)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{IJ} \, \begin{pmatrix} x_J-x_I\\ y_J-y_I \\ z_J-z_I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0-0\\\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{4}\\1-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IJ} \, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}} \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}I(0\,;\dfrac{3}{4}\,;0)\\\overset{}{K(1\,;\dfrac{1}{2}\,;0)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{IK} \, \begin{pmatrix} x_K-x_I\\ y_K-y_I \\ z_K-z_I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\\0-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IK} \, \begin{pmatrix} 1\\-\dfrac{1}{4}\\0 \end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ ne sont pas colinéaires.
Les points I, J et K ne sont donc pas alignés.
Par conséquent, les points I, J et K définissent un plan.

1. b) Montrons que le vecteur $\overrightarrow {n} \, \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ est normal au plan (IJK).
Montrons que le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}.$

$\overrightarrow {n} \, \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\phantom{x}\text{et}\phantom{x}\overrightarrow{IJ} \, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{n} .\overrightarrow{IJ} =1\times0+4\times0+0\times1 \\\phantom{\overrightarrow{n} .\overrightarrow{IJ}} =0+0+0 \\\phantom{\overrightarrow{n} .\overrightarrow{IJ}} =0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n} \perp\overrightarrow{IJ}}$

$\overrightarrow {n} \, \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\phantom{x}\text{et}\phantom{x}\overrightarrow{IK} \, \begin{pmatrix} 1\\-\dfrac{1}{4}\\0 \end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{n} .\overrightarrow{IK} =1\times1+4\times(-\dfrac{1}{4})+0\times0 \\\phantom{\overrightarrow{n} .\overrightarrow{IK}} =1-1+0 \\\phantom{\overrightarrow{n} .\overrightarrow{IK}} =0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n} \perp\overrightarrow{IK}}$
Donc le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ du plan (IJK).
Par conséquent, le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}}$ est normal au plan (IJK).

1. c) Nous savons que tout plan dont une équation cartésienne est de la forme ax + by + cz + d = 0 admet un vecteur normal $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}.$
Puisque nous avons montré dans la question précédente que $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}}$ est un vecteur orthogonal au plan (IJK), une équation cartésienne de (IJK) est de la forme $\overset{{\white{.}}}{x+4y+d=0.}$
Or le point $I(0\,; \dfrac{3}{4}\,; 0)$ appartient à ce plan.
Ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
D'où $\overset{{\white{.}}}{0+4\times\dfrac{3}{4}+d=0\Longleftrightarrow3+d=0\Longleftrightarrow \boxed{d=-3}\,.}$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (IJK) est $\boxed{x+4y-3=0}\,.$

1. d) Montrons que les points A, I, J et K sont les sommets d'un tétraèdre.

Les coordonnées du point A ne vérifient pas l'équation du plan (IJK) car $0+4\times0-3=-3\neq0.$
Donc le point A n'appartient pas au plan (IJK).
Par conséquent, les points A, I, J et K sont les sommets d'un tétraèdre.

Calculons le volume de ce tétraèdre AIJK.
Nous rappelons que le volume d'un tétraèdre se calcule par : $V=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire de la base}\times\text{hauteur}.$

Choisissons le triangle rectangle AIJ comme base du tétraèdre.
$\text{Aire}_{triangle AIJ}=\dfrac{AI\times IJ}{2} \\\phantom{\text{Aire}_{triangle AIJ}}=\dfrac{\dfrac{3}{4}\times 1}{2} \\\phantom{\text{Aire}_{triangle AIJ}}=\dfrac{3}{8} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{triangle AIJ}=\dfrac{3}{8}}$

La hauteur du tétraèdre est la distance entre le point K et le plan (AIJ).
D'où la hauteur du tétraèdre est égale à 1.
Par conséquent, le volume V du tétraèdre AIJK est : $V=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{8}\times1\phantom{x}\text{ soit }\phantom{x} \boxed{{\blue{V=\dfrac{1}{8}\text{ cm}^3.}}}$

2. Soit M un point de la droite (IJ).

2. a) M étant un point de (IJ), nous en déduisons que les vecteurs $\overrightarrow{IM}$ et $\overrightarrow{IJ}$ sont colinéaires.

Donc il existe un nombre réel alpha

tel que $\overrightarrow{IM}=\alpha\,\overrightarrow{IJ}$

$\left\lbrace\begin{matrix}I(0\,;\dfrac{3}{4}\,;0)\\\overset{}{M(x_M\,;y_M\,;z_M)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{IM} \, \begin{pmatrix} x_M-x_I\\ y_M-y_I \\ z_M-z_I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_M-0\\y_M-\frac{3}{4}\\z_M-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IM} \, \begin{pmatrix} x_M\phantom{xxx} \\y_M-\frac{3}{4}\\z_M\phantom{xxx} \end{pmatrix}} \\\\\boxed{\overrightarrow{IJ} \, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}} \ \text{(voir partie B ex.1. a)}$

Nous obtenons ainsi :

$\overrightarrow{IM}=\alpha\,\overrightarrow{IJ}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix} x_M\phantom{xx}\\ y_M-\frac{3}{4} \\ z_M\phantom{xx} \end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\\\\phantom{\overrightarrow{IM}=\alpha\,\overrightarrow{IJ}}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix} x_M\phantom{xx}\\ y_M-\frac{3}{4} \\ z_M\phantom{xx} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ \alpha \end{pmatrix} \\\\\phantom{\overrightarrow{IM}=\alpha\,\overrightarrow{IJ}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_M=0\phantom{xxx}\\y_M-\frac{3}{4}=0\\z_M=\alpha\phantom{xxx}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\overrightarrow{IM}=\alpha\,\overrightarrow{IJ}}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_M=0\\y_M=\frac{3}{4}\\z_M=\alpha\end{matrix}\right.}$

D'où, les coordonnées du point M sont $(0\,;\dfrac{3}{4}\,;\alpha)$ avec .

2. b) Déterminons l'aire $\mathscr{A}(\alpha)$ du triangle AKM en fonction de alpha

.

Nous savons que : $\mathscr{A}(\alpha)=\dfrac{1}{2}\left|\left|\overrightarrow{AK}\wedge\overrightarrow{AM}\right|\right|$

$\text{Or }\overrightarrow{AK}\wedge\overrightarrow{AM}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}&&\overrightarrow{AD}&&\overrightarrow{AE}\\\\1&&\dfrac{1}{2}&&0\\\\0&&\dfrac{3}{4}&&\alpha\end{vmatrix}=\dfrac{\alpha}{2}\,\overrightarrow{AB}-\alpha\,\overrightarrow{AD} +\dfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AE} \\\\\\\Longrightarrow\left|\left|\overrightarrow{AK}\wedge\overrightarrow{AM}\right|\right|=\sqrt{\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)^2+(-\alpha)^2+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2} \\\\\phantom{\Longrightarrow\left|\left|\overrightarrow{AK}\wedge\overrightarrow{AM}\right|\right|}=\sqrt{\dfrac{\alpha ^2}{4}+\alpha ^2+\dfrac{9}{16}} \\\\\phantom{\Longrightarrow\left|\left|\overrightarrow{AK}\wedge\overrightarrow{AM}\right|\right|}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\alpha ^2+\dfrac{9}{16}}$

Par conséquent, l'aire du triangle AKM est $\boxed{\mathscr{A}(\alpha)=\dfrac{1}{2}\,\sqrt{\dfrac{5}{4}\alpha ^2+\dfrac{9}{16}}}$

2. c) Soit la fonction $\mathscr{A}$ définie sur

par $\mathscr{A}(\alpha)=\dfrac{1}{2}\,\sqrt{\dfrac{5}{4}\alpha ^2+\dfrac{9}{16}}.$
Cette fonction $\mathscr{A}$ est dérivable sur

.

$\mathscr{A}'(\alpha)=\dfrac{1}{2}\times\left(\sqrt{\dfrac{5}{4}\alpha ^2+\dfrac{9}{16}} \right)' \\\\\phantom{ww(\alpha)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(\dfrac{5}{4}\alpha ^2+\dfrac{9}{16}\right)'}{2\times\sqrt{\dfrac{5}{4}\alpha ^2+\dfrac{9}{16}}} \\\\\phantom{ww(\alpha)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\dfrac{5}{2}\alpha }{2\times\sqrt{\dfrac{5}{4}\alpha ^2+\dfrac{9}{16}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}'(\alpha)=\dfrac{5\alpha }{8\,\sqrt{\dfrac{5}{4}\alpha ^2+\dfrac{9}{16}}} }$

Etudions le signe de $\mathscr{A}'(\alpha)$ sur

et déduisons-en les variations de la fonction $\mathscr{A}$ sur

.
Puisque le dénominateur de $\mathscr{A}'(\alpha)$ est strictement positif, le signe de $\mathscr{A}'(\alpha)$ est le signe de 5 alpha

.

D'où le tableau suivant :

$\underline{\text{Calcul préliminaire}}: \mathscr{A}(0)=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{0+\dfrac{9}{16}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}$

${\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\\alpha&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&& \\\hline &&&&&\\5\alpha&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\ \mathscr{A} '(\alpha) &&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\ \mathscr{A} &&\searrow&\dfrac{3}{8}&\nearrow&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

D'où, l'aire $\mathscr{A}(\alpha)$ atteint son minimum si = 0, soit au point $M_0(0\,;\dfrac{3}{4}\,;0)$ c'est-à-dire au point I.

3,5 points

exercice 2

On se propose de déterminer l'ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système : $\left\lbrace\begin{matrix}n\equiv4[12]\\n\equiv3[11]\end{matrix}\right.$

1. Considérons l'équation suivante : $(E):12u+11v=1.$

1. a) Les nombres entiers 12 et 11 sont premiers entre eux.
Selon le théorème de Bézout, il existe un couple d'entiers relatifs (u ; v ) tel que 12u + 11v = 1.

1. b) 12 multiplie

1 + 11

(-1) = 12 - 11 = 1.
Donc, le couple (u ₀ ; v ₀) = (1 ; -1) est solution de (E).

2. Soit le couple (u ; v ) solution de (E).
Sachant que $\overset{{\white{.}}}{12u+11v=1\Longleftrightarrow12u=1-11v}$ , nous obtenons :

$3\times12u+4\times11v=3\times(1-11v)+4\times11v \\\phantom{3\times12u+4\times11v}=3-33v+44v \\\phantom{3\times12u+4\times11v}=3+11v. \\\\\Longrightarrow\boxed{3\times12u+4\times11v\equiv3[11]}$

De même, $\overset{{\white{.}}}{12u+11v=1\Longleftrightarrow11v=1-12u}$ .
Dès lors,

$3\times12u+4\times11v=3\times12u+4\times(1-12u) \\\phantom{3\times12u+4\times11v}=36u+4-48u \\\phantom{3\times12u+4\times11v}=4+12u. \\\\\Longrightarrow\boxed{3\times12u+4\times11v\equiv4[12]}$

Puisque $\left\lbrace\begin{matrix}3\times12u+4\times11v\equiv4[12]\\3\times12u+4\times11v\equiv3[11]\end{matrix}\right$ , nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{3\times12u+4\times11v}$ appartient à S.

3. Soit n un entier relatif appartenant à S.
On pose n ₀ = 3 12u ₀ + 4 11v ₀.

3. a) Par la question 2, nous savons que n ₀ appartient à S.
$\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}n\in S\\n_0\in S\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}n\equiv4[12]\\n_0\equiv4[12]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{n-n_0\equiv0[12]} \\\\ \phantom{\text{D'où }}\left\lbrace\begin{matrix}n\in S\\n_0\in S\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}n\equiv3[11]\\n_0\equiv3[11]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{n-n_0\equiv0[11]}$

Or 11 et 12 sont premiers entre eux et 11 multiplie

12 = 132.
Nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{\boxed{n-n_0\equiv0[132]}\,.}$

3. b) Nous devons montrer qu'un entier relatif n appartient à S si et seulement s'il peut s'écrire sous la forme n = 132k - 8 où k est un entier relatif.

$\bullet {\white{w}}$ Soit n un entier relatif appartenant à S.
Nous savons par la question 3. a) que $\overset{{\white{.}}}{n-n_0\equiv0[132]}$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{n\equiv n_0[132]}.$
Or n ₀ peut être égal à -8 car si, par la question 1, le couple (u ₀ ; v ₀) est égal à (1 ; -1), alors $n_0=3\times12\times1+4\times11\times(-1)=36-44=-8.$
Nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{n\equiv -8[132]}.$
Par conséquent, n peut s'écrire sous la forme n = 132k - 8 où k est un entier relatif.

$\bullet {\white{w}}$ Si n peut s'écrire sous la forme n = 132k - 8 où k est un entier relatif, alors n = 12 multiplie

11k - 8 où k est un entier relatif.
Nous avons alors : $\left\lbrace\begin{matrix}n\equiv-8[12]\\n\equiv-8[11]\end{matrix}\right.$
$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}n\equiv-8[12]\\-8\equiv4[12]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{n\equiv4[12]} \\\\ \phantom{\text{Or }}\left\lbrace\begin{matrix}n\equiv-8[11]\\-8\equiv3[11]\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{n\equiv3[11]}$
Nous en déduisons que l'entier relatif n appartient à S.

Par conséquent, un entier relatif n appartient à S si et seulement s'il peut s'écrire sous la forme n = 132k - 8 où k est un entier relatif.

4. Application

Soit n le nombre de cartes de crédit téléphonique achetées par Farba.

S'il faisait des lots de 12 cartes, alors il lui en resterait 4 et s'il faisait des lots de 11 cartes, alors il lui en resterait 3.
Donc $\left\lbrace\begin{matrix}n\equiv4[12]\\n\equiv3[11]\end{matrix}\right.$

D'après la question 3. b), nous en déduisons qu' il existe un entier relatif k tel que n = 132k - 8.
Or Farda possède entre 800 et 1000 cartes de crédit, soit 800 infegal

1000.

$800\le n\le1000\Longleftrightarrow800\le 132k-8\le1000 \\\\\phantom{800\le n\le1000}\Longleftrightarrow808\le 132k\le1008 \\\\\phantom{800\le n\le1000}\Longleftrightarrow\dfrac{808}{132}\le k\le\dfrac{1008}{132} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{808}{132}\approx6,1\\\\\dfrac{1008}{132}\approx7,6\end{matrix}\right.$

La seule valeur entière vérifiant ces inégalités est k = 7.
D'où $n=132\times7-8\Longrightarrow\boxed{n=916}$
Par conséquent, Farda a acheté 916 cartes de crédit de 1000 F, ce qui représente une dépense de 916 000 F.

11,5 points

probleme

Partie A

Le plan complexe (P ) est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$ d'unité 1 cm.
Soit F l'application du plan complexe dans lui-même qui, à tout point M(z), associe le point M'(z') tel que : $z'=az+b$ avec a appartient

^* et b

.

1. Tableau complété.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&&&&\\\text{Valeurs de }a&a=1&a\in\R^*\setminus\lbrace1\rbrace&a={\red{\text{e}^{i\theta}}}&a\in\C^*\setminus\lbrace1\rbrace\\&&&& \\\hline &&&&\\\text{Nature exacte}&{\red{\text{Translation}}}&{\red{\text{Homothétie}}}&\text{Rotation d'angle }\theta&{\red{\text{Similitude directe}}}\\&{\red{\text{de vecteur }\vec u}}&{\red{\text{de centre }\Omega}}&(\theta \neq0\ (2\pi))&{\red{\text{de centre }\Omega}}\\&{\red{\text{d'affixe }b}}&{\red{\text{d'affixe }\frac{b}{1-a}}}&&{\red{\text{d'affixe }\frac{b}{1-a}}}\\&&{\red{\text{et de rapport }}a}&&{\red{\text{et de rapport }}|a|}\\&&&&{\red{\text{et d'angle }\arg(a)}}\\&&&&\\\hline \end{array}$

2. Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives i, 1 - i, 2 - 3i et 4 - 2i.

Soit $z'=az+b$ avec a appartient

^* et b

l'écriture complexe de la similitude S.

$\left\lbrace\begin{matrix}S(A)=C\\S(B)=D\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}az_A+b=z_C\\az_B+b=z_D\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\phantom{www}\text{i}a+b=2-3\text{i}\\a(1-\text{i})+b=4-2\text{i}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\phantom{www}\text{i}a+b=2-3\text{i}\\a-\text{i}a+b=4-2\text{i}\end{matrix}\right.$

Soustrayons les deux équations membre à membre.

$\text{i}a+b-a+\text{i}a-b=2-3\text{i}-4+2\text{i}\Longleftrightarrow2\text{i}a-a=-2-\text{i} \\\phantom{\text{i}a+b-a+\text{i}a-b=2-3\text{i}-4+2\text{i}}\Longleftrightarrow(2\text{i}-1)a=-2-\text{i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{i}a+b-a+\text{i}a-b=2-3\text{i}-4+2\text{i}}\Longleftrightarrow a=\dfrac{-2-\text{i}}{2\text{i}-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{i}a+b-a+\text{i}a-b=2-3\text{i}-4+2\text{i}}\Longleftrightarrow a=\dfrac{(2\text{i}-1)\text{i}}{2\text{i}-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{i}a+b-a+\text{i}a-b=2-3\text{i}-4+2\text{i}}\Longleftrightarrow \boxed{a=\text{i}}}$

La première équation du système donne :

$\text{i}\times\text{i}+b=2-3\text{i}\Longleftrightarrow-1+b=2-3\text{i} \\\phantom{\text{i}\times\text{i}+b=2-3\text{i}}\Longleftrightarrow\boxed{b=3-3\text{i}}$

Par conséquent, l'écriture complexe de la similitude S est : $\boxed{z'=\text{i}z+3-3\text{i}}$

Notons k le rapport de S, theta

son angle et omegamaj

son centre.

$\bullet{\white{ww}}k=|a|=|\text{i}|=1. \\\bullet{\white{ww}}\theta=\arg(a)=\arg(\text{i})=\dfrac{\pi}{2}. \\\bullet{\white{ww}}\text{L'affixe de }\Omega\text{ est : }\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{3-3\text{i}}{1-\text{i}}=\dfrac{3(1-\text{i})}{1-\text{i}}=3.$

D'où, la similitude plane directe S est une rotation de centre d'affixe 3 et d'angle $\overset{{\white{.}}}{\theta=\dfrac{\pi}{2}.}$

3. Soit ( gammamaj

) l'ensemble des points M(x ; y ) vérifiant : $x=(y-5)(y-3)\,\text{e}^{y-3}+3.$
On désigne par (C_h ) l'image de ( gammamaj

) par S.

3. a) Soit M'(x' ; y' ) le point de (C_h ) tel que M' = S(M).
En général, l'expression analytique d'une rotation de centre omegamaj

de coordonnées (x ; y) et d'angle theta

est de la forme :

$\left\lbrace\begin{matrix}x'-x_{\Omega}=\cos(\theta)(x-x_{\Omega})-\sin(\theta)(y-y_{\Omega})\\\overset{{\white{.}}}{y'-y_{\Omega}=\sin(\theta)(x-x_{\Omega})+\cos(\theta)(y-y_{\Omega})}\end{matrix}\right.$

D'où l'expression analytique de la similitude S, rotation de centre omegamaj

de coordonnées (3 ; 0) et d'angle $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ est :

$\left\lbrace\begin{matrix}x'-3=\cos(\frac{\pi}{2})(x-3)-\sin(\frac{\pi}{2})(y-0)\\\overset{{\white{.}}}{y'-0=\sin(\frac{\pi}{2})(x-3)+\cos(\frac{\pi}{2})(y-0)}\end{matrix}\right.$ , ${\white{ww}}$ soit $\left\lbrace\begin{matrix}x'-3=-y\\\overset{{\white{.}}}{y'=x-3}\end{matrix}\right.$ , ${\white{ww}}$ soit $\left\lbrace\begin{matrix}x'=3-y\\\overset{{\white{.}}}{y'=x-3}\end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que : M'(x' ; y' ) appartient à (C_h ) si et seulement si il existe un couple de réels (x ; y) tel que $\left\lbrace\begin{matrix}x'=3-y\phantom{wwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{y'=x-3}\phantom{wwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{x=(y-5)(y-3)\,\text{e}^{y-3}+3}\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x'=3-y\phantom{wwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{y'=x-3}\phantom{wwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{x=(y-5)(y-3)\,\text{e}^{y-3}+3}\end{matrix}\right. \phantom{...} \Longleftrightarrow \phantom{...}\left\lbrace\begin{matrix}y=3-x'\phantom{wwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{x=y'+3}\phantom{wwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{x=(y-5)(y-3)\,\text{e}^{y-3}+3}\end{matrix}\right.$

$\\\\\phantom{...} \Longleftrightarrow \phantom{...}\left\lbrace\begin{matrix}y=3-x'\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{x=y'+3}\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{y'+3=((3-x')-5)((3-x')-3)\,\text{e}^{(3-x')-3}+3}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{...} \Longleftrightarrow \phantom{...}\left\lbrace\begin{matrix}y=3-x'\phantom{wwwwwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{x=y'+3}\phantom{wwwwwwwwwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{y'+3=(-x'-2)(-x')\,\text{e}^{-x'}+3}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{...} \Longleftrightarrow \phantom{...}\left\lbrace\begin{matrix}y=3-x'\phantom{wwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{x=y'+3}\phantom{wwwwww}\\\overset{{\phantom{.}}}{{\blue{y'=(x'^2+2x')\,\text{e}^{-x'}}}}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, (C_h ) est la courbe de la fonction h définie par : $\boxed{h(x)=(x^2+2x)\,\text{e}^{-x}\,.}$

3. b) Nous devons construire (C_h ).

Etudions le signe de la dérivée h' (x ) et les variations de la fonction h .

$h'(x)=(x^2+2x)'\times\text{e}^{-x}+(x^2+2x)\times(\text{e}^{-x})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=(2x+2)\times\text{e}^{-x}+(x^2+2x)\times(-\text{e}^{-x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=(2x+2-x^2-2x)\times\text{e}^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=(2-x^2)\,\text{e}^{-x}}$
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur

, le signe de h' (x ) est le signe de (2 - x²).

Racines de (2 - x²) :

$2-x^2=0\Longleftrightarrow x^2=2 \\\phantom{2-x^2=0}\Longleftrightarrow x=\sqrt{2}\ \text{ ou }\ x=-\sqrt{2}$

Nous en déduisons le signe du polynôme du second degré (2 - x²), le signe de la dérivée h' (x ) et les variations de la fonction h .

$\underline{\text{Calculs préliminaires}}: \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2+2x)=\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2)=+\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\phantom{wwwwwwwwww}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty \\\\\phantom{wWWWWWWWww}h(-\sqrt{2})=((-\sqrt{2})^2+2(-\sqrt{2}))\,\text{e}^{\sqrt{2}}=(2-2\sqrt{2})\,\text{e}^{\sqrt{2}} \\\\\phantom{wWWWWWWWww}h(\sqrt{2})=((\sqrt{2})^2+2\sqrt{2})\,\text{e}^{-\sqrt{2}}=(2+2\sqrt{2})\,\text{e}^{-\sqrt{2}} \\\\\phantom{wWWWWWWWww}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2+2x)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\phantom{wwwww}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=0\ (\text{croissances comparées})$

$\\\\ {\white{www}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-\sqrt{2}\approx-1,4&&\sqrt{2}\approx1,4&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\-x^2+2&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\h'x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&(2+2\sqrt{2})\,\text{e}^{-\sqrt{2}}\approx1,2&&\\h(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&(2-2\sqrt{2})\,\text{e}^{\sqrt{2}}\approx-3,4&&&&0\\ \hline \end{array}$

Nous pouvons ainsi construire (C_h ).

3. c) Calculons par intégration par parties, $I= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} h(x)\,\text d x\end{aligned}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (x^2+2x)\,\text{e}^{-x}\,\text d x.\end{aligned}$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x^2+2x\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{www}u'(x)=2x+2\phantom{www}\\v'(x)=\text{e}^{-x}\phantom{wwwwwww}\Longrightarrow\phantom{www}v(x)=-\text{e}^{-x}\phantom{wwww}\end{matrix}\right.$

$\text{D'où}\ I=\left[\overset{}{(x^2+2x)\times(-\text{e}^{-x})}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (2x+2)\times(-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{wwww}=\left[\overset{}{-(x^2+2x)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1+\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (2x+2)\times\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}$

Calculons par intégration par parties, $\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (2x+2)\,\text{e}^{-x}\,\text d x.\end{aligned}$

${\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=2x+2\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{www}u'(x)=2\phantom{wwwwww}\\v'(x)=\text{e}^{-x}\phantom{wwwwwww}\Longrightarrow\phantom{www}v(x)=-\text{e}^{-x}\phantom{wwww}\end{matrix}\right.$

$\text{D'où}\ \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (2x+2)\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{(2x+2)\times(-\text{e}^{-x})}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} 2\times(-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwww}=\left[\overset{}{-(2x+2)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1+\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} 2\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}$

${\white{wwwwwwwwwwwwwww}}$ $=\left[\overset{}{-(2x+2)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1+\left[\overset{}{-2\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1$

$\text{Dès lors, }\ I=\left[\overset{}{-(x^2+2x)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1+\left[\overset{}{-(2x+2)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1+\left[\overset{}{-2\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1$

${\white{wwwwwww}}$ $=\left[\overset{}{(-x^2-2x-2x-2-2)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1=\left[\overset{}{(-x^2-4x-4)\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1 \\\\=[(-1-4-4)\,\text{e}^{-1}]-(-4)\text{e}^0 \\\\=-9\,\text{e}^{-1}+4 \\\\=4-\dfrac{9}{\text{e}}$

$\Longrightarrow\boxed{I= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} h(x)\,\text d x\end{aligned}=4-\dfrac{9}{\text{e}}}$

Par conséquent, l'aire de la portion du plan délimité par (C_h ), $(O,\vec u)$ , $(O,\vec v)$ et la droite d'équation x = 1 est égale à $\boxed{\left(4-\dfrac{9}{\text{e}}\right)\,\text{cm}^2.}$

4. On pose, pour tout entier naturel n (n supegal

1), $J_n=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x^n\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}.$

4. a) Calculons par intégration par parties, $J_1= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}.$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{www}u'(x)=1\phantom{wwww}\\v'(x)=\text{e}^{-2x}\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}v(x)=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}\phantom{wwww}\end{matrix}\right.$

$\text{D'où }\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{x\times(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x})}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} 1\times(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x})\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{\text{D'où }\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}}=\left[\overset{}{-\dfrac{1}{2}x\,\text{e}^{-2x}}\right]\limits_0^1+\dfrac{1}{2}\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} \text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}$

${\white{wwwwwwwwwww}}$ $=\left[\overset{}{-\dfrac{1}{2}x\,\text{e}^{-2x}}\right]\limits_0^1+\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-2x}}\right]\limits_0^1$

${\white{wwwwwwwwwww}}$ $=\left[\overset{}{-\dfrac{1}{2}x\,\text{e}^{-2x}}\right]\limits_0^1-\dfrac{1}{4}\left[\overset{}{\text{e}^{-2x}}\right]\limits_0^1$

${\white{wwwwwwwwwww}}$ $\\\\=(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2}-0)-\dfrac{1}{4}(\text{e}^{-2}-\text{e}^0) \\\\=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2}-\dfrac{1}{4}\text{e}^{-2}+\dfrac{1}{4} \\\\=-\dfrac{3}{4}\text{e}^{-2}+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{3}{4\text{e}^{2}}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{-3+\text{e}^{2}}{4\text{e}^{2}}$

$\Longrightarrow \boxed{J_1=\dfrac{\text{e}^{2}-3}{4\text{e}^{2}}}$

4. b) Montrons que : $\forall\ n\ge1,\ J_{n+1}=\dfrac{n+1}{2}\,J_n-\dfrac{1}{2\text{e}^2}.$

Par définition, $J_{n+1}=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x^{n+1}\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}.$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x^{n+1}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=(n+1)x^n\phantom{wwwww}\\v'(x)=\text{e}^{-2x}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}v(x)=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}\phantom{wwwwwww}\end{matrix}\right.$

$\text{D'où }\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x^{n+1}\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{x^{n+1}\times(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x})}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (n+1)x^n\times(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x})\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{\text{D'où }\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}}=\left[\overset{}{-\dfrac{1}{2}x^{n+1}\,\text{e}^{-2x}}\right]\limits_0^1+\dfrac{n+1}{2}\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x^n\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{\text{D'où }\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}}=\left(\overset{}{-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-2}-0}\right)+\dfrac{n+1}{2}\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x^n\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{\text{D'où }\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}}={-\dfrac{1}{2\text{e}^{2}}}+\dfrac{n+1}{2}\,J_n$

$\Longrightarrow\boxed{J_{n+1}=\dfrac{n+1}{2}\,J_n-\dfrac{1}{2\text{e}^2}}$

4. c) En utilisant la relation $J_{n+1}=\dfrac{n+1}{2}\,J_n-\dfrac{1}{2\text{e}^2}}$ , nous obtenons :

$\text{Si }n=1,\ J_{2}=\dfrac{1+1}{2}\,J_1-\dfrac{1}{2\text{e}^2} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=J_1-\dfrac{1}{2\text{e}^2}} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=\dfrac{\text{e}^{2}-3}{4\text{e}^{2}}-\dfrac{1}{2\text{e}^2}} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=\dfrac{\text{e}^{2}-3-2}{4\text{e}^{2}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{J_2=\dfrac{\text{e}^{2}-5}{4\text{e}^{2}}}$ ${\white{wwwwwwwwwww}}$ $\text{Si }n=2,\ J_{3}=\dfrac{2+1}{2}\,J_2-\dfrac{1}{2\text{e}^2} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=\dfrac{3}{2}J_2-\dfrac{1}{2\text{e}^2}} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=\dfrac{3}{2}\dfrac{\text{e}^{2}-5}{4\text{e}^{2}}-\dfrac{1}{2\text{e}^2}} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=\dfrac{3\text{e}^{2}-15-4}{8\text{e}^{2}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{J_3=\dfrac{3\text{e}^{2}-19}{8\text{e}^{2}}}$

$\text{Si }n=3,\ J_{4}=\dfrac{3+1}{2}\,J_3-\dfrac{1}{2\text{e}^2} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=2\,J_3-\dfrac{1}{2\text{e}^2}} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=2\times\dfrac{3\text{e}^{2}-19}{8\text{e}^{2}}-\dfrac{1}{2\text{e}^2}} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=\dfrac{3\text{e}^{2}-19}{4\text{e}^{2}}-\dfrac{1}{2\text{e}^2}} \\\overset{}{\phantom{\text{Si }n=1,\ J_{2}}=\dfrac{3\text{e}^{2}-19-2}{4\text{e}^{2}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{J_4=\dfrac{3\text{e}^{2}-21}{4\text{e}^{2}}}$

4. d) Calculons en cm³ le volume V du solide engendré par la révolution autour de l'axe $(O,\vec u)$ , de la portion de (C_h ) comprise entre les droites d'équations x = 0 et x = 1.

$V=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} \pi \left(\overset{}{h(x)}\right)^2\,\text d x\end{aligned}=\pi\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} \left(\overset{}{(x^2+2x)\,\text{e}^{-x}}\right)^2\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{V}=\pi\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (x^4+4x^3+4x^2)\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{V}=\pi\left(\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x^4\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}+4\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x^3\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}+4\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} x^2\,\text{e}^{-2x}\,\text d x\end{aligned}\right) \\\\\phantom{V}=\pi\left(J_4+4J_3+4J_2\right)$

${\white{w.}}$ $\phantom{V}=\pi\left(\dfrac{3\text{e}^{2}-21}{4\text{e}^{2}}+4\times\dfrac{3\text{e}^{2}-19}{8\text{e}^{2}}+4\times\dfrac{\text{e}^{2}-5}{4\text{e}^{2}}\right) \\\\\phantom{V}=\pi\left(\dfrac{3\text{e}^{2}-21}{4\text{e}^{2}}+\dfrac{2(3\text{e}^{2}-19)}{4\text{e}^{2}}+\dfrac{4(\text{e}^{2}-5)}{4\text{e}^{2}}\right) \\\\\phantom{V}=\pi\left(\dfrac{3\text{e}^{2}-21+6\text{e}^{2}-38+4\text{e}^{2}-20}{4\text{e}^{2}}\right) \\\\\phantom{V}=\pi\left(\dfrac{13\text{e}^{2}-79}{4\text{e}^{2}}\right)$
Par conséquent, le volume du solide est $\boxed{V=\pi\left(\dfrac{13\text{e}^{2}-79}{4\text{e}^{2}}\right)\,\text{cm}^3.}$

Partie B

On considère la fonction g définie sur ]- infini

; 0[ par : $g(x)=1-x+x\ln |x|.$

1. La fonction g est définie sur ]- infini

; 0[.
Or x < 0 implique

|x|=-x.
Donc nous pouvons définir g sur ]- infini

; 0[ par : $g(x)=1-x+x\ln (-x).$

Déterminons l'expression de la dérivée g' (x ).

$g'(x)=(1-x+x\ln(-x))' \\\phantom{g'(x)}=0-1+(x\ln(-x))' \\\phantom{g'(x)}=-1+x'\times\ln(-x)+x\times(\ln(-x))' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=-1+1\times\ln(-x)+x\times\dfrac{(-x)'}{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=-1+\ln(-x)+x\times\dfrac{-1}{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=-1+\ln(-x)+1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=\ln(-x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\ ]-\infty\,;\,0[,\ g'(x)=\ln(-x)}$

Étudions le signe de g' (x ) sur ]- infini

; 0[.

$g'(x)=0\Longleftrightarrow\ln(-x)=0 \\\phantom{g'(x=0)}\Longleftrightarrow -x=1 \\\phantom{g'(x)=0}\Longleftrightarrow x=-1.$ ${\white{ww}}$ $g'(x)>0\Longleftrightarrow\ln(-x)>0 \\\phantom{g'(x=0)}\Longleftrightarrow -x>1 \\\phantom{g'(x)=0}\Longleftrightarrow x<-1.$ ${\white{ww}}$ $g'(x)<0\Longleftrightarrow\ln(-x)<0 \\\phantom{g'(x=0)}\Longleftrightarrow -x<1 \\\phantom{g'(x)=0}\Longleftrightarrow x>-1.$

D'où le tableau de signes de g' (x ) sur ]- infini

; 0[.

$\\\\ {\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&0\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g'(x)=\ln(-x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}$

Nous en déduisons que la fonction g est strictement croissante sur ]- ; -1[ ${\white{wwwwwwwWWWwwWWWWw.}}$ est strictement décroissante sur ]-1 ; 0[.

2. Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[.}$
La fonction g est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[.}$
$\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x\left(\dfrac{1}{x}-1+\ln|x|\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}-1+\ln|x|)\right)=+\infty\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty} \\\\\\g(-1)=1+1-1\times\ln(1)\Longrightarrow\boxed{g(-1)=2>0}$
D'où $0\in g(]-\infty\,;-1])$
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (x ) = 0 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,-1[.}$

Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,0[.}$
La fonction g est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,0[.}$
$g(-1)=1+1-1\times\ln(1)\Longrightarrow\boxed{g(-1)=2>0}$
De plus, $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to0^-} x\ln|x|=0\ (\text{croissances comparées})\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}g(x)=1>0}}$
D'où g (x ) > 0 sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,0[.}$

Par conséquent, l'équation g (x ) = 0 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[.}$

En outre $\left\lbrace\begin{matrix}g(-4)=5-4\ln4\approx-0,545<0\\g(-3)=4-3\ln3\approx0,704>0\end{matrix}\right.$
Puisque g (-4) et g (-3) sont de signes contraires, nous en déduisons que $\boxed{\alpha \in [-4\,;\,-3]\,.}$

3. Par les questions 1. et 2., nous déduisons le tableau suivant :

${\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&\alpha&&-1&&0\\&&&&&&&\\\hline&&&&&2&&\\g(x)&&\nearrow&0&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&&&1\\\hline&&&&&&&\\g(x)&&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Par conséquent, $\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\forall\ x\in\,]-\infty\,;\,\alpha],\ g(x)\le0\\\\\forall\ x\in\,[\alpha\,;\,+\infty[,\ g(x)\ge0\end{matrix}\right.}$

Partie C

Soit f la fonction numérique définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}1+\dfrac{x-1}{\ln|x|}{\white{wwwwwwwwwwwwwww}}\text{si }x<0\\\\ h(x)+\text{e}^{-x}=(x^2+2x+1)\,\text{e}^{-x}{\white{ww}}\text{si }x\ge0\end{matrix}\right.$

1. Déterminons le domaine de définition de f .

$\bullet {\white{w}}$ Si x < 0, alors ln|x | different

|x |

x -1.
$\bullet {\white{w}}$ Si x > 0, f (x ) existe et est réel pour toutes les valeurs de x .

Par conséquent, $\boxed{D_f=\R\setminus\lbrace-1\rbrace}$

2. Étudions la continuité de f en 0.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^-}(x-1)=-1\\\\\lim\limits_{x\to0^-}\ln|x|=-\infty\end{matrix}\right.{\white{w}}\Longrightarrow{\white{w}}\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x-1}{\ln|x|}=0 \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow{\white{w}}\lim\limits_{x\to0^-}\left(1+\dfrac{x-1}{\ln|x|}\right)=1 \\\\ {\phantom{wwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow{\phantom{w}}\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1} \\\\\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x^2+2x+1)\,\text{e}^{-x}=1\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1} \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=1}$

De plus, $\boxed{f(0)=1}$

D'où ${\blue{\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)}}\,.}$
Par conséquent, la fonction f est continue en 0.

Étudions la dérivabilité de f en 0.

$\bullet {\white{w}}$ Étudions la dérivabilité de f à gauche de 0.

$\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{1+\dfrac{x-1}{\ln|x|}-1}{x} \\\\\phantom{wwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\dfrac{x-1}{\ln|x|}}{x} \\\\\phantom{wwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x-1}{x\ln|x|} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^-}(x-1)=-1{\white{wwwwwwwwwwwww.}}\\\lim\limits_{x\to0^-}x\ln|x|=0^+\ (\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=-\infty\notin\R}$
Donc la fonction f n'est pas dérivable à gauche de 0.

$\bullet {\white{w}}$ Étudions la dérivabilité de f à droite de 0.

$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{(x^2+2x+1)\,\text{e}^{-x}-1}{x} \\\\\phantom{wwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^2\,\text{e}^{-x}+2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-1}{x} \\\\\phantom{wwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to0^+}\left(x\,\text{e}^{-x}+2\,\text{e}^{-x}+\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{x}\right) \\\\\phantom{wwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to0^+}x\,\text{e}^{-x}+\lim\limits_{x\to0^+}2\,\text{e}^{-x}+\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{x} \\\\\bullet {\white{w}}\lim\limits_{x\to0^+}x\,\text{e}^{-x}=0 \\\\\bullet {\white{w}}\lim\limits_{x\to0^+}2\,\text{e}^{-x}=2 \\\\\bullet {\phantom{w}}\text{Calculons}\lim\limits_{x\to0^+}}\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{x}$

Soit la fonction h définie sur

par $h'(x)=\text{e}^{-x}.$

Alors $\lim\limits_{x\to0}}\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}}\dfrac{h(x)-h(0)}{x-0}=h'(0)$
Or $h'(x)=-\text{e}^{-x}\Longrightarrow h'(0)=-1.$
Donc $\lim\limits_{x\to0}}\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{x}=-1$ et en particulier, $\lim\limits_{x\to0^+}}\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{x}=-1.$

Nous en déduisons que $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=0+2-1\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=1}$

Par conséquent, la fonction f n'est pas dérivable en 0.
Le nombre dérivé de f à gauche de 0 tend vers -.
Le nombre dérivé de f à droite de 0 est égal à 1.

3. Étudions le signe de la dérivée f'(x) sur $D_f=\R\setminus\lbrace-1\rbrace.$

$\bullet {\white{w}}$ Sur l'intervalle ]- ; -1[ U ]-1 ; 0[

$f'(x)=\left(1+\dfrac{x-1}{\ln|x|}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0+\left(\dfrac{x-1}{\ln|x|}\right)'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(x-1)'\times\ln|x|-(x-1)\times(\ln|x|)'}{(\ln|x|)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{1\times\ln|x|-(x-1)\times\dfrac{1}{x}}{(\ln|x|)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln|x|-\dfrac{x-1}{x}}{(\ln|x|)^2} =\dfrac{\dfrac{x\ln|x|-x+1}{x}}{(\ln|x|)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{x\ln|x|-x+1}{x(\ln|x|)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x)}{x(\ln|x|)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{g(x)}{x(\ln|x|)^2}}$

Puisque (ln|x |)² > 0, le signe de f' (x ) est le signe de $\dfrac{g(x)}{x}.$

En utilisant le résultat de la question "3-Partie B", nous obtenons le tableau suivant :

${\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&\alpha&&-1&&0\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\g(x)&&-&0&+&||&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\x&&-&-&-&||&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&||&-&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

D'où f est croissante sur ]- ; ]
${\white{www.ww}}$ décroissante sur [ ; -1[ U ]-1 ; 0[

$\bullet {\white{w}}$ Sur l'intervalle [0 ; +[

$f'(x)=[(x^2+2x+1)\,\text{e}^{-x}]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=(x^2+2x+1)'\times\text{e}^{-x}+(x^2+2x+1)\times(\text{e}^{-x})'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=(2x+2)\times\text{e}^{-x}+(x^2+2x+1)\times(-\text{e}^{-x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=(2x+2-x^2-2x-1)\times\,\text{e}^{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=(1-x^2)\times\text{e}^{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=(1-x)(1+x)\times\text{e}^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(1-x)(1+x)\,\text{e}^{-x}}$

Puisque x supegal

0, nous en déduisons que $(1+x)\,\text{e}^{-x} > 0.$
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (1 - x ).
Nous obtenons le tableau suivant :

${\white{wwwww}}\begin{matrix}1-x>0\Longleftrightarrow x<1\\\\1-x=0\Longleftrightarrow x=1\\\\1-x<0\Longleftrightarrow x>1 \end{matrix}\begin{matrix}{\white{wwwww}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\1-x&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}$

D'où f est croissante sur [0 ; 1]
${\white{www.ww}}$ décroissante sur [1 ; +[

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f sur $\R\setminus\lbrace-1\rbrace.$
Ce tableau sera complété à l'issue de la question 5.

$\underline{\text{Calculs préliminaires}}:\ f(0)=(0^2+2\times0+1)\,\text{e}^{0}=1 \\\phantom {\underline{\text{Calculs préliminaires}}:}\ f(1)=(1^2+2\times1+1)\,\text{e}^{-1}=\dfrac{4}{\text{e}}\approx4,5 \\\\ {\white{wwwwww}} \begin{array}{|c|cccccccccccc|}\hline &&&&&&&&&&&&\\ x&-\infty&&\alpha&&-1&&0&&1&&+\infty&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&||&&||&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&||&-&||&+&0&-&&\\&&&&&||&&||&&&&&\\\hline&&&&&||&&&&\dfrac{4}{\text{e}}\approx1,5&&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&||&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\\&&&&&||&&1&&&&&\\ \hline \end{array}$

4. Nous devons étudier les branches infinies de (C_f ).

a) Calculons $\overset{{\white{\frac{a}{}}}}{ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac{x-1}{\ln|x|}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac{x}{\ln|x|}-\dfrac{1}{\ln|x|}\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{\ln|x|}=-\infty{\white{w}}(\text{croissances comparées})\\\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\ln|x|}=0{\white{WWWWWWWWWWWw}}\end{matrix}\right. \\\\\text{Donc }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\ln|x|}-\dfrac{1}{x\ln|x|}\right) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}w.=}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}+\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\ln|x|}-\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x\ln|x|} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}w.=}=0+0+0 \\\\\text{Donc }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0}$

Nous en déduisons que la courbe (C_f ) admet une branche parabolique de direction (Ox) en - infini

.

b) Calculons $\lim\limits_{x\to-1}f(x).$

$\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}\left(1+\dfrac{x-1}{\ln|x|}\right)\\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1^-}x-1=-2\\\lim\limits_{x\to-1^-}\ln|x|=0^+\end{matrix}\right. \\\\\text{Donc }\boxed{\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=-\infty}$

$\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\left(1+\dfrac{x-1}{\ln|x|}\right)\\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1^+}x-1=-2\\\lim\limits_{x\to-1^+}\ln|x|=0^-\end{matrix}\right. \\\\\text{Donc }\boxed{\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty}$

Nous en déduisons que la droite d'équation x = -1 est une asymptote verticale à la courbe (C_f ).

c) Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2+2x+1)\,\text{e}^{-x}\right) \\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}+\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{\text{e}^{x}}+\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{x}}\\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}=0\ (\text{croissances comparées})\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{\text{e}^{x}}=0\ (\text{croissances comparées})\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{x}}=0{\white{wwwwwwwwwwwwww}}\ \end{matrix}\right. \\\\\text{Donc }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$

Nous en déduisons que la droite d'équation y = 0 est une asymptote horizontale à la courbe (C_f ) en + infini

.

5. Nous devons vérifier que $f(\alpha)=1+\alpha.$

D'une part, puisque alpha

< 0, nous savons que $f(\alpha)=1+\dfrac{\alpha-1}{\ln|\alpha|}.$

D'autre part nous savons que $g(\alpha)=0.$

$\text{Or }\ g(\alpha)=0\Longleftrightarrow 1-\alpha+\alpha\ln |\alpha|=0 \\\phantom{\text{Or }\ g(\alpha)=0}\Longleftrightarrow \alpha-1=\alpha\ln |\alpha|$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}f(\alpha)=1+\dfrac{\alpha-1}{\ln|\alpha|}\\\\\alpha-1=\alpha\ln |\alpha|\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}f(\alpha)=1+\dfrac{\alpha\ln |\alpha|}{\ln|\alpha|}\\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\boxed{f(\alpha)=1+\alpha}$

En tenant compte des résultats des questions 4 et 5, nous pouvons compléter le tableau de variations de la fonction f .

$\begin{array}{|c|cccccccccccc|}\hline &&&&&&&&&&&&\\ x&-\infty&&\alpha&&-1&&0&&1&&+\infty&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&||&&||&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&||&-&||&+&0&-&&\\&&&&&||&&_{(-\infty)}||_{(1)}\phantom{w.}&&&&&\\\hline&&&1+\alpha&&{\white{ww..}}||^{(+\infty)}&&&&\dfrac{4}{\text{e}}\approx1,5&&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&||&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\\&(-\infty)&&&&_{(-\infty)}||{\white{ww..}}&&1&&&&(0)&\\ \hline \end{array}$

6. Représentation de la courbe (C_f ).

Partie D

Soit (U_n ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par : $U_n=\dfrac{1}{n^3}\sum\limits_{k=1}^n(k+n)^2\,\text{e}^{-\frac{k}{n}}.$

1. Nous devons montrer que pour tout entier naturel n non nul et pour tout entier k tel que 0 infegal

n - 1, nous avons : $\dfrac{1}{n}\,f(\frac{k}{n})\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le\dfrac{1}{n}\,f(\frac{k+1}{n})$

$\text{Or }0\le k\le n-1\le n\Longrightarrow0\le k\le n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }0\le k\le n-1\le n}\Longrightarrow0\le\dfrac{k}{n}\le\dfrac{n}{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }0\le k\le n-1\le n}\Longrightarrow\boxed{0\le \dfrac{k}{n}\le1}} \\\\\\\text{et }0\le k\le n-1\Longrightarrow1\le k+1\le n \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }0\le k\le n-1}\Longrightarrow0\le\dfrac{1}{n}\le \dfrac{k+1}{n}\le\dfrac{n}{n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }0\le k\le n-1}\Longrightarrow\boxed{0\le \dfrac{k+1}{n}\le1}}$

Nous savons que la fonction f est croissante sur [0 ; 1].

D'où,

$\dfrac{k}{n}\le t\le\dfrac{k+1}{n}\Longrightarrow f(\dfrac{k}{n})\le f(t)\le f(\dfrac{k+1}{n}) \\\\\phantom{wwwwwwww.}\Longrightarrow \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(\dfrac{k}{n})\,\text d t\end{aligned}\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(\dfrac{k+1}{n})\,\text d t\end{aligned}$

${\white{wwwwwwwww}}}$ $\phantom{wwwwwwww.}\Longrightarrow f(\dfrac{k}{n})\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}1\,\text d t\end{aligned}\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le f(\dfrac{k+1}{n})\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} 1\,\text d t\end{aligned} \\\\\phantom{wwwwwwww.}\Longrightarrow f(\dfrac{k}{n})\,\left[\overset{{\white{.}}}{t}\right]\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le f(\dfrac{k+1}{n})\,\left[\overset{{\phantom{.}}}{t}\right]\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}$

${\white{wwwwwwwww}}}$ $\Longrightarrow f(\dfrac{k}{n})\,[\dfrac{k+1}{n}-\dfrac{k}{n}]\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le f(\dfrac{k+1}{n})\,[\dfrac{k+1}{n}-\dfrac{k}{n}] \\\\\Longrightarrow f(\dfrac{k}{n})\,[\dfrac{k+1-k}{n}]\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le f(\dfrac{k+1}{n})\,[\dfrac{k+1-k}{n}] \\\\\Longrightarrow \boxed{\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})\,\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le \dfrac{1}{n}f(\dfrac{k+1}{n})}$

2. Nous devons montrer que pour tout entier naturel n non nul, $U_n+\dfrac{\text{e}-4}{n\,\text{e}}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le U_n.$

En utilisant les résultats de la question précédente, nous obtenons :

$\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})\,\le \begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le \dfrac{1}{n}f(\dfrac{k+1}{n}) \\\overset{{\white{.}}}{\Longrightarrow\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})\,\le \sum\limits_{k=0}^{n-1}\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le \sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k+1}{n})}{\phantom{www}{\red{\text{Inégalités (1)}}}}$

Remarque : Nous savons par définition que $U_n=\dfrac{1}{n^3}\sum\limits_{k=1}^n(k+n)^2\,\text{e}^{-\frac{k}{n}}.$
D'autre part, $f(x)=(x^2+2x+1)\,\text{e}^{-x}.$
Dès lors,
$f(x)=(x^2+2x+1)\,\text{e}^{-x}=(x+1)^2\,\text{e}^{-x}\Longrightarrow f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\left(\dfrac{k}{n}+1\right)^2\,\text{e}^{-\frac{k}{n}} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\left(\dfrac{k+n}{n}\right)^2\,\text{e}^{-\frac{k}{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n^2}(k+n)^2\,\text{e}^{-\frac{k}{n}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n^3}(k+n)^2\,\text{e}^{-\frac{k}{n}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n^3}\sum\limits_{k=1}^n(k+n)^2\,\text{e}^{-\frac{k}{n}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow {\blue{\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)=U_n}}}$

$\bullet{\white{..}}$ Exprimons le premier membre de l'inégalité (1) sous une autre écriture.

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})=\dfrac{1}{n}\,f(0)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ WWWWw}=\dfrac{1}{n}\,f(0)+\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n}f(\dfrac{n}{n})\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ WWWWw}=\dfrac{1}{n}\,f(0)+\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})-\dfrac{1}{n}f(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ WWWWw}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})+\dfrac{1}{n}\,(f(0)-f(1))} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{ WWWWw}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})+\dfrac{1}{n}\,(1-\dfrac{4}{\text{e}})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{ WWWWw}={\blue{\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})}}+\dfrac{\text{e}-4}{n\,\text{e}}}$

$\text{D'où }\boxed{ \sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)={\blue{U_n}}+\dfrac{\text{e}-4}{n\,\text{e}}}$

$\bullet{\white{..}}$ Exprimons le deuxième membre de l'inégalité (1) sous une autre écriture.

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\frac{1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}+\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}+\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{2}{n}}^{\frac{3}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}+\dots+\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{n-1}{n}}^{\frac{n}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned} \\\\\phantom{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}}=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\frac{n}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}{\white{ww}}(\text{par l'additivité - Relation de Chasles) } \\\\\text{D'où }\boxed{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\begin{aligned}\int\nolimits_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\,\text d t\end{aligned}=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(t)\,\text d t\end{aligned}}$

$\bullet{\white{..}}$ Exprimons le troisième membre de l'inégalité (1) sous une autre écriture.

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k+1}{n})={\blue{\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k}{n})}} ={\blue{U_n}} \\\\\text{D'où }\boxed{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n}f(\dfrac{k+1}{n})=U_n}$

Par conséquent, l'inégalité (1) peut s'écrire : $\boxed{U_n+\dfrac{\text{e}-4}{n\,\text{e}}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(t)\,\text d t\end{aligned}\le U_n}{\phantom{www}{\red{\text{Inégalités (2)}}}}$

Nous devons également montrer que pour tout entier naturel n non nul, $I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}} \le U_n\le I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}+\dfrac{4-\text{e}}{n\text{e}}$

Par définition, si x supegal

0, $f(x)=h(x)+\text{e}^{-x}$ et donc $h(x)=f(x)-\text{e}^{-x}.$

Dès lors,

$I= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} h(x)\,\text d x\end{aligned}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (f(x)-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}+\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} -\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}}$

${\white{w}}$ $\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{I}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}+\left[ \overset{{\phantom{.}}}{\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^1 }\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{I}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}+\text{e}^{-1}-1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{I}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}+\dfrac{1}{\text{e}}-1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{I}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}+\dfrac{1-\text{e}}{\text{e}}}$

$\text{D'où }\ I=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}+\dfrac{1-\text{e}}{\text{e}}\Longrightarrow \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}=I-\dfrac{1-\text{e}}{\text{e}} \\\\\phantom{\text{D'où }\ I=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}+\dfrac{1-\text{e}}{\text{e}}}\Longrightarrow \boxed{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} f(x)\,\text d x\end{aligned}=I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}}$

Par conséquent, les inégalités (2) peuvent s'écrire :

$U_n+\dfrac{\text{e}-4}{n\,\text{e}}\le I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}\le U_n$

Nous venons donc de montrer que pour tout entier naturel n non nul, ${\red{I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}\le U_n}}$

D'autre part,

$U_n+\dfrac{\text{e}-4}{n\,\text{e}}\le I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}\Longleftrightarrow U_n\le I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}-\dfrac{\text{e}-4}{n\,\text{e}} \\\\\phantom{U_n+\dfrac{\text{e}-4}{n\,\text{e}}\le I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}}\Longleftrightarrow {\red{U_n\le I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}+\dfrac{4-\text{e}}{n\,\text{e}}}}$

En conclusion, pour tout entier naturel n non nul, ${\red{I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}} \le U_n\le I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}+\dfrac{4-\text{e}}{n\text{e}}}}$

3. Nous avons montré que pour tout entier naturel n non nul, $I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}} \le U_n\le I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}+\dfrac{4-\text{e}}{n\text{e}}$

Or $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left( I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}+\dfrac{4-\text{e}}{n\text{e}}\right)=I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}.$

D'après le théorème de l'encadrement, nous en déduisons que la suite (U_n ) converge vers $I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}.$

Nous avons montré dans la question 3. c - Partie A que $I=4-\dfrac{9}{\text{e}}.$ $\text{D'où }\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=I+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}=4-\dfrac{9}{\text{e}}+\dfrac{\text{e}-1}{\text{e}}=4-\dfrac{9}{\text{e}}+\dfrac{\text{e}}{\text{e}}-\dfrac{1}{\text{e}}=4-\dfrac{9}{\text{e}}+1-\dfrac{1}{\text{e}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=5-\dfrac{10}{\text{e}}}$

${\red{\sim \sim \sim\ \mathscr{F}IN\sim \sim \sim }}$

Publié par malou le 01-11-2021

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