Fiche de mathématiques
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Bac Economie Gestion Tunisie 2021

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Durée : 2 heures

Coefficient : 2


5 points

exercice 1

On considère les matrices : {\white{ww}}A=\begin{pmatrix} 32 & 21& 12\\ 20& 7&12 \\ 12& 21& 9 \end{pmatrix}{\white{ww}} et {\white{ww}}B=\begin{pmatrix} 189 & -63&-168 \\ 36&-144 &144 \\ -336& 420 & 196 \end{pmatrix}

1. a) Calculer le déterminant de A, en déduire que A est inversible.
\white{w} b) déterminer la matrice A multiplie B et déduire la matrice A -1 inverse de A.

2. Soit le système (S) : \left\lbrace\begin{matrix} 32x+21y+12z& = & 3500\\ 20x+7y+12z& =&2180 \\ x+21y+9z12& = & 2460 \end{matrix}\right.

\white{w} a) Donner l'écriture matricielle de (S ).
\white{w} b) Résoudre alors dans R3, le système (S ).

3. Le gérant d'un magasin de vêtements décide d'appliquer une réduction de 20% sur le prix d'une chemise, de 30% sur le prix d'un pantalon et de 40% sur le prix d'un pull.
Avec la carte de fidélité du magasin, le client peut avoir une réduction de 10% supplémentaire sur le prix soldé de chaque article.
Le tableau suivant résume les paiements de trois clients C1 , C2 et C3 auprès de ce magasin.

\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline & \text{Nombre de } & |& \text{Nombre de } & | & \text{Nombre de } &| & \text{Somme payée } & \\ & \text{chemises} & | & \text{pantalons}& | & \text{pulls} & | & \text{en dinars} & \\\hline \text{Client }C_1 & 4 & |& 3&|&2 &|& 350& \\\hline \text{Client }C_2 & 5 & |& 2&|& 4&|& 436& \\\hline \text{Client }C_3 & 5 & |&10 &|& 5&|& 738& \\\hline \end{array}


Seulement le client C3 possède une carte de fidélité, déterminer le prix initial de chaque article.

5 points

exercice 2

Dans un manège, il y a cinq grands appareils de jeux reliés entre eux par des allées.
On modélise les appareils par les sommets A, B, C, D et E, et les allées par les arêtes du graphe (G) ci-dessous :
Bac Economie-Gestion Tunisie 2021 : image 2

1. a) Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{array} {|c|cccccccccc|} \hline \text{ Sommet}& \text{A}&| & \text{B}& |& \text{C} & |& \text{D} & | & \text{E}& \\ \hline \text{ Degré} & & | & & | & &| & & | & & \\ \hline \end{array}

\white{w} b) Quelle est la nature du sous graphe de (G) constitué par les sommets B, C et D ? Donner son ordre.
\white{w} c) On désire illuminer les cinq appareils par des ampoules colorées de facçon que deux d'entre eux reliés par une allée soient éclairés la nuit par deux couleurs différentes.
Donner, en justifiant, un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires. Quel est ce nombre ?
2. Justifier la possibilité de parcourir toutes les allées du manège sans passer deux fois par la même allée.
3. La fréquentation du manège devient importante, le propriétaire décide d'instaurer un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d'autres restent à double sens.
Le graphe (G') ci-dessous modélise cette nouvelle situation.
Bac Economie-Gestion Tunisie 2021 : image 1

Donner la matrice M associée au graphe (G'). (On ordonnera les sommets par ordre alphabétique A, B, C, D et E).
4. On donne la matrice :
M^5=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 9& 6&10 \\ 4& 5& 7 & 11&5 \\ 4& 6& 6& 11& 5\\ 1& 5& 10 & 6& 10\\ 6& 5& 5& 14 & 2 \end{pmatrix}

\white{w} a) Combien y-a-t-il de chaines de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B ? Donner un exemple.
\white{w} b) déterminer le nombre de chaînes fermées de longueur 5. Donner un exemple.

4,5 points

exercice 3

Le tableau ci-dessous résume les dépenses d'une entreprise, en milliers de dinars, de l'année 2012 à l'année 2019.

\begin{array} {|c|ccccccccccccccc|} \hline \text{Année}&2012& |& 2013&| &2014& | & 2015& | & 2016&| & 2017 &| & 2018& | &2019 \\ \hline \text{Rang }x_i \text{ de l'année}& 1 & |& 2 & |& 3 & | & 4 & | & 5 &| & 6 &| & 7 & |& 8 \\ \hline \text{Dépense }y_i \text{ en milliers de dinars}& 6& |& 3,5& | & 2,6& |&2,2 & |& 2& |& 1,8& |&1,7 & |&1,6 & \hline \end{array}


I) 1. a) Représenter le nuage de points de la série ( X , Y ) dans un repère orthogonal.
\white{viw} b) Ce nuage permet-il d'envisager un ajustement affine ? Justifier.
\white{viw} c) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
\white{v} 2. Calculer, à 10-3 près, le coefficient de corrélation linéaire r1 de la série (X, Y ).

II) Dans cette partie, tous les résultats seront donnés à 10-3 près. On pose T=\dfrac 5 X
\white{v} 1. Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{array} {|c|cccccccccccccccc|} \hline x_i & 1& |& 2 & | & 3& | & 4& | & 5& | & 6& | &7& | & 8 & \\ \hline t_i & 5 & | & 2,5 & | & & | & & | & & | & & | & & | & & \\ \hline y_i& 6& | &3,5 & | & 2,6& | & 2,2&| & 2&| &1,8 & | & 1,7&| & 1,6& \\ \hline \end{array}


\white{v} 2. a) Calculer le coefficient r2 de corrélation de la série (T, Y ).
\white{viw} b) Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite D de régression de Y en T.
\white{viw} c) Donner alors, en utilisant la droite D, une estimation des dépenses de l'entreprise pour l'année 2022.

5,5 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x-\text e ^{x-2}.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O\,; \vec i\,,\vec j).

1. a) Calculer \lim\limits_{x\to-\infty}\; f(x).
\white{w} b) Vérifier que la droite deltamaj d'équation : y=x est une asymptote à (C) au voisinage de -infini.
\white{w} c) Etudier la position relative de (C) par rapport à deltamaj.

2. a) Montrer que pour tout x appartient R, f(x)=x\left( 1-\dfrac{\text e ^x}{x}\;\text e ^{-2}\right )
\white{w} b) Calculer \lim\limits_{x\to+\infty}\; f(x) et \lim\limits_{x\to-\infty}\; \dfrac{f(x)}{x} et donner une interprétation graphique.

3. a) Dresser le tableau de variation de f .
\white{w} b) Montrer que l'équation f(x)=0 admet dans R exactement deux solutions alpha et beta.
\white{w} c) Construire deltamaj et (C) dans le repère (O\,; \vec i\,,\vec j). (On prendra alpha environegal 0,16 et beta environegal 3,15 )

4. Une entreprise produit chaque jour x centaines de composants électroniques avec x appartient ]0 ; 4]. Le bénéfice algébrique (gain ou perte) en milliers de dinars est égal à f(x).
\white{w} a) Quel est le nombre de composants produits par jour pour que le gain soit maximal ? Calculer ce gain.
\white{w} b) Pour quelles quantités de composants produits par jour, l'entreprise réalise un gain ?
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