Fiche de mathématiques
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Bac G-STG Sénégal 2021

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Durée : 4 heures

Coefficient G : 5

Coefficient STEG : 4
5 points

exercice 1

Bac G-STG Sénégal 2021 : image 4


5 points

exercice 2

Bac G-STG Sénégal 2021 : image 1


10 points

probleme

Bac G-STG Sénégal 2021 : image 2

Bac G-STG Sénégal 2021 : image 3





Bac G-STG Sénégal 2021

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5 points

exercice 1

Le gestionnaire d'un supermarché, durant le premier semestre du démarrage de ses activités commerciales, observe l'évolution par mois x  de son bénéfice y  (en millions de francs CFA).
Les données obtenues sont contenues dans le tableau suivant :

{\white{wwwwwwwww}}\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x&&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&&&6&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\&y&&&1,2&&&1,3&&&1,5&&&1,9&&&2,1&&&2,2&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}

1.  Nuage de points associés à cette série statistique.

Bac G-STG Sénégal 2021 : image 7


2.  Nous devons établir l'équation (D ) de la droite de régression de y  en x  par la méthode des moindres carrés.

La droite de régression de y  en x  est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=ax+b}  où  \overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{V(x)}}  et  \overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\overline{x}.}

Notations utilisées :

\bullet{\white{w}}\text{Moyennes : }\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_i\\\\\overline{y}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^ny_i\end{matrix}\right. \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\overline{x}\,\overline{y} \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\\\\\phantom{WWWWnWWWWW}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-(\overline{x})^2

Tableau statistique complété :

{\white{www}}\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\text{Totaux}&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_i&&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&&&6&&&\sum\limits_{i=1}^nx_i=21&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\&y_i&&&1,2&&&1,3&&&1,5&&&1,9&&&2,1&&&2,2&&&\sum\limits_{i=1}^ny_i=10,2&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_iy_i&&&1,2&&&2,6&&&4,5&&&7,6&&&10,5&&&13,2&&&\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i=39,6&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_i^2&&&1&&&4&&&9&&&16&&&25&&&36&&&\sum\limits_{i=1}^nx_i^2=91&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}

Nous obtenons :

{\white{ww}}\bullet{\white{w}}\text{Moyennes : }\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1}{6}\times21=3,5\\\\\overline{y}=\dfrac{1}{6}\times10,2=1,7\end{matrix}\right. \\\\ {\white{ww}}\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{6}\times39,6-3,5\times1,7=0,65 \\\\ {\phantom{ww}}\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{6}\times91-3,5^2=\dfrac{35}{12}

Dès lors,

a=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{V(x)}=\dfrac{0,65}{\frac{35}{12}}=\dfrac{0,65\times12}{35}=\dfrac{7,8}{35}=\dfrac{5\times7,8}{5\times35}=\dfrac{39}{175}\approx0,22\\\\ b=\overline{y}-a\overline{x}=1,7-\dfrac{39}{175}\times3,5=0,92

Par conséquent, l'équation de la droite de régression de y  en x  est :  \boxed{(D):y=0,22x+0,92}\,.

3.  Représentation graphique de la droite de régression et placement du point moyen G.

Bac G-STG Sénégal 2021 : image 8


4.  Nous devons estimer graphiquement le profit au septième mois.
Nous observons sur le graphique que l'ordonnée du point de la droite (D ) d'abscisse 7 est égale à 2,45.
Donc nous pouvons estimer qu'au septième mois suivant le démarrage des activités, le profit du gestionnaire est égal à 2,45 millions de francs CFA.

5.  Par le calcul, vérifions si l'estimation de la question précédente est correcte.
Dans l'équation (D), remplaçons x  par 7 et calculons la valeur de y .

0,22\times7+0,92=2,46.

Par le calcul, nous trouvons que le profit du gestionnaire est égal à 2,46 millions de francs CFA, ce qui rend plausible l'estimation graphique.

5 points

exercice 2

1.  Nous savons que deux nombres ont une somme S et un produit P si et seulement si ces nombres sont les solutions de l'équation : x2 - Sx  + P = 0.
La somme du deuxième et du quatrième amortissement est 157 537,77 F et leur produit est 6 148 514 623,9.
Ces nombres sont donc les solutions de l'équation :  x^2-157\,537,77x+6\,148\,514\,623,9=0.

Les amortissements vérifient donc bien l'équation :  x^2=157\,537,77x-6\,148\,514\,623,9=0.

Résolvons l'équation :  x^2-157\,537,77x+6\,148\,514\,623,9=0.

Discriminant :  \Delta=157\,537,77^2-4\times1\times6\,148\,514\,623,9=224\,090\,480,9729

\text{Racines : }x_1=\dfrac{157\,537,77-\sqrt{224090480,9729}}{2}\approx71\,284,059 \\\\\phantom{\text{Racines : }}x_2=\dfrac{157\,537,77+\sqrt{224090480,9729}}{2}\approx86\,253,711

Par conséquent, le deuxième amortissement est égal à 71 284,059 F et le quatrième amortissement est égal à 86 253,711 F.

2.  Nous devons déterminer le taux d'intérêt i .

Si u2 représente le montant du deuxième amortissement et u4 représente le montant du quatrième amortissement, nous savons que :  \dfrac{u_4}{u_2}=(1+i)^2.
Il s'ensuit que :

(1+i)^2=\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}\phantom{w}\Longleftrightarrow\phantom{w}1+i=\sqrt{\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}} \\\\\phantom{(1+i)^2=\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}\phantom{w}}\Longleftrightarrow\phantom{w}i=\sqrt{\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}}-1 \\\\\phantom{(1+i)^2=\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}\phantom{w}}\Longrightarrow\phantom{w}i\approx0,1

Nous en déduisons que le taux d'intérêt est i = 10%.

3.  Nous devons déterminer le premier amortissement u1.

Si u2 représente le montant du deuxième amortissement, nous savons que :  u_2=(1+i)\,u_1.
Il s'ensuit que :

71\,284,059=(1+0,1)\times u_1\phantom{w}\Longleftrightarrow\phantom{w}71\,284,059=1,1\, u_1 \\\\\phantom{71\,284,059=(1+0,1)\times u_1\phantom{w}}\Longleftrightarrow\phantom{w} u_1=\dfrac{71\,284,059}{1,1} \\\\\phantom{71\,284,059=(1+0,1)\times u_1\phantom{w}}\Longleftrightarrow\phantom{w} \boxed{u_1=64\,803,69}

Par conséquent, le premier amortissement s'élève à 64 803,69 F.

4.  Nous devons déterminer le nombre n  d'annuités et la dette initiale d  sachant que le montant de l'annuité est 114 803,69 F.

Nous savons que le premier amortissement s'élève à 64 803,69 F et que le taux d'intérêt est i  = 0,1.

Il s'ensuit que :  114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n.

\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n\Longleftrightarrow114\,803,69=64 803,69\times1,1^n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longleftrightarrow1,1^n=\dfrac{114\,803,69}{64\,803,69}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longleftrightarrow\ln(1,1^n)=\ln\left(\dfrac{114\,803,69}{64\,803,69}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,1)=\ln(114\,803,69)-\ln(64\,803,69)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longleftrightarrow n=\dfrac{\ln(114\,803,69)-\ln(64\,803,69)}{\ln(1,1)}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longrightarrow \boxed{n\approx6}}
D'où il faudra 6 annuités pour rembourser la dette initiale d .

Désignons par un  l'amortissement de la nième année.

Dans ce cas,  d=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5+u_6

d  est donc la somme des 6 premiers termes d'une suite géométrique de raison q  = 1,1 dont le premier terme est u1 = 64 803,69.

Or la somme S  de termes d'une suite géométrique est donnée par :  
\overset{{\white{.}}}{S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}.}

Donc  d=64\,803,69\times\dfrac{1-(1,1)^6}{1-1,1}=500\,000.
Nous en déduisons que la dette initiale s'élève à 500 000 F.

10 points

probleme

Partie A :

Soit la fonction g  définie par :  g(x)=(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1.

1. a)  Le domaine de définition de g  est Dg  = R .

1. b) Nous devons calculer les limites de g  aux bornes de son domaine de définition.

\\\\\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(1-2x)=+\infty\phantom{wwwwwwwwwww}\\\\\left\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\\\\\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty \end{matrix}\right\rbrace\Longrightarrow\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\end{matrix}\right\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to-\infty}(1-2x)\,\text{e}^{-x}=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to-\infty}\left[(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1\right]=+\infty  \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty}

\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(1-2x)=-\infty\phantom{wwwwwwwwwww}\\\\\left\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0 \end{matrix}\right\rbrace\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(1-2x)\,\text{e}^{-x}=0\\ (\text{croissances comparées})  \end{matrix}\\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_ {x\to+\infty}\left[(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1\right]=-1 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-1}

2. a)  La fonction g  est dérivable sur R .

g'(x)=[(1-2x)\,\text{e}^{-x}]'-1' \\\phantom{g'(x)}=(1-2x)'\times\,\text{e}^{-x}+(1-2x)\times\,(\text{e}^{-x})' \\\phantom{g'(x)}=(-2)\times\,\text{e}^{-x}+(1-2x)\times\,(-x)'\,\text{e}^{-x} \\\phantom{g'(x)}=-2\,\text{e}^{-x}+(1-2x)\times\,(-1)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{g'(x)}=-2\,\text{e}^{-x}-(1-2x)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{g'(x)}=(-2-1+2x)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{g'(x)}=(-3+2x)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=(2x-3)\,\text{e}^{-x}}

2. b)  Nous devons dresser le tableau de variation de g .

L'exponentielle est strictement positive sur R.
Donc le signe de g' (x ) est le signe de (2x  - 3).

D'où le tableau de variation de g .

\begin{matrix}2x-3<0\Longleftrightarrow 2x<3\\\phantom{2x-1<0}\Longleftrightarrow  x<\dfrac{3}{2}\\\\2x-3=0\Longleftrightarrow  x=\dfrac{3}{2}\\\\2x-3>0\Longleftrightarrow  x>\dfrac{3}{2}\\\\g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(1-2\times\dfrac{3}{2}\right)\text{e}^{-\frac{3}{2}}-1\\=-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}-1\phantom{w.}\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline2x-3&&-&0&+&\\\hline&&&&&\\g\,'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&-1\\g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}-1&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

3. a)  g(0)=(1-2\times0)\,\text{e}^{0}-1=1-1=0\Longrightarrow\boxed{g(0)=0}\,.

3. b)  Tableau de variations de g  complété par le signe de g (x ).

 {\white{wwwwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&&\\ x&-\infty&&&0&&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\&&&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&&&-1\\g(x)&&\searrow&&0&&\searrow&&\nearrow&\\&&&&&&&-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}-1&&\\\hline &&&&&&&&&\\g(x)&&+&&0&&-&-&-&\\&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}

Par conséquent,
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}g(x) > 0 sur l'intervalle ]-infini ; 0[
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}g(x) < 0 sur l'intervalle ]0 ; +infini[.


Partie B :

Soit la fonction f  définie par :  f(x)=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x.

1. a)  L'ensemble de définition de f  est Df  = R .

1. b)  Nous devons calculer les limites de f  aux bornes de son ensemble de définition.

Calculons  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x).}

f(x)=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x \\\phantom{f(x)}=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x\times1 \\\phantom{f(x)}=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x\times\text{e}^{-x}\times\text{e}^{x} \\\phantom{f(x)}=-\text{e}^{-x}(-2x-1+x\,\text{e}^{x}) \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=-\text{e}^{-x}(-2x-1+x\,\text{e}^{x})}

\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\\\\\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty \\\phantom{WWWWWWWiWWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}-\text{e}^{-x}=-\infty }  \\\\\\ \bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x-1)=+\infty\\\\\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text{e}^x=0\\ (\text{croissances comparées)} \end{matrix}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x-1+x\,\text{e}^{x})=+\infty}

Il s'ensuit, par produit, que  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}-\text{e}^{-x}(-2x-1+x\,\text{e}^{x})=-\infty.}

Par conséquent, \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty } }

Calculons  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).}

\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^{x}}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{x}}=0\\\phantom{WWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0 }  \\\\\\ \bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}2x=+\infty\\\\\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}2x\,\text{e}^{-x}=0}\text{ (croissances comparées)}

Il s'ensuit que  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}(2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x)=-\infty.}

Par conséquent, \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty } }

1. c)  La fonction f  est dérivable sur R.

f'(x)={\red{(2x\,\text{e}^{-x})'}}+(\text{e}^{-x})'-x' \\\phantom{f'(x)}={\red{(2x)'\times\,\text{e}^{-x}+2x\times\,(\text{e}^{-x})'}}+(\text{e}^{-x})'-1 \\\phantom{f'(x)}=2\times\,\text{e}^{-x}+2x\times\,(-\text{e}^{-x})-\text{e}^{-x}-1 \\\phantom{f'(x)}=2\,\text{e}^{-x}-2x\,\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}-1 \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-2x\,\text{e}^{-x}-1 \\\phantom{f'(x)}=(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1 \\\phantom{f'(x)}=g(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=g(x)=(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1}

1. d)  Nous devons dresser le tableau de variation de f .

En utilisant le signe de g(x) étudié dans la partie A, question 3b) et en sachant que  f(0)=0+\text{e}^{0}-0=1,  nous pouvons dresser le tableau de variation de f .

{\white{wwwwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|} \hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline g(x)&&+&0&-&\\\hline &&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\ &&&&&\\\hline&&&1&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}

1. e)  Nous devons montrer que l'équation f (x ) = 0 admet deux solutions dans R.

\bullet{\white{w}} Sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;0[.}

La fonction f  est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;0[.}
 \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}  et  \overset{{\white{.}}}{f(0)=1.}
D'où  \overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]-\infty\,;0[\,).}
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée  \overset{{\white{.}}}{\alpha _1}  dans l'intervalle \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;0[.}

\underline{\text{Remarque}}\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}f(-0,7)\approx-0,105<0 \\\\f(-0,6)\approx0,236>0\end{matrix}\right.

D'où  \overset{{\white{.}}}{\boxed{-0,7<\alpha _1<-0,6}\,.}

\bullet{\white{w}} Sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}

La fonction f  est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}
\overset{{\white{.}}}{f(0)=1}  et   \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}.}
D'où  \overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]0\,;\,+\infty[\,).}
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée  \overset{{\white{.}}}{\alpha _2}  dans l'intervalle \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}

\underline{\text{Remarque}}\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}f(1)\approx0,104>0 \\\\f(1,1)\approx-0,035<0\end{matrix}\right.

D'où  \overset{{\white{.}}}{\boxed{1<\alpha _2<1,1}\,.}

Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet deux solutions dans R.

1. f)  Nous devons montrer que la droite (D ) : y = -x  est une asymptote oblique à (Cf ) en +infini.

\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]=\lim\limits_{x\to+\infty}[(2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x)+x] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]}=\lim\limits_{x\to+\infty}(2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]}=\lim\limits_{x\to+\infty}2x\,\text{e}^{-x}+\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]}=0+0=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]=0}
Il s'ensuit que la droite (D ) : y = -x  est une asymptote oblique à (Cf ) en +infini

1. g)  Nous devons étudier la position relative de (Cf ) par rapport à (D ).

Etudions le signe de f (x ) - (-x ).

f(x)-(-x)=(2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x)+x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-(-x)}=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-(-x)}=(2x+1)\,\text{e}^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)-(-x)=(2x+1)\,\text{e}^{-x}}

Étant donné que l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f (x ) - (-x ) est le signe de (2x  + 1).

{\white{wwwwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}2x+1<0\Longleftrightarrow 2x<-1\Longleftrightarrow x<-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{2x+1>0\Longleftrightarrow 2x>-1\Longleftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.

soit  {\white{wwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}f(x)-(-x)<0\Longleftrightarrow  x<-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)-(-x)>0\Longleftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.

Nous en déduisons que :

{\white{ww}}\bullet{\white{w}}(Cf ) est en dessous de (D ) sur l'intervalle  ]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\,[
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}(Cf ) est au-dessus de (D ) sur l'intervalle  ]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\,[.

1. h)  Représentation graphique de (Cf ) et de (D ).

Bac G-STG Sénégal 2021 : image 5


2.  Soit h  la restriction de f  sur ]0 ; +infini[.

2. a)  La fonction h  est continue et strictement décroissante sur ]0 ; +infini[ (voir question 1. d).
Nous savons que h (0) = 1 et  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty.}

Donc la fonction h  est bijective de ]0 ; +infini[ vers ]-infini ; 1[.

2. b)  h(1)=2\,\text{e}^{-1}+\text{e}^{-1}-1\Longrightarrow\boxed{h(1)=3\,\text{e}^{-1}-1}\,.

Nous remarquons que  h(1)=3\,\text{e}^{-1}-1\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww} h^{-1}(3\,\text{e}^{-1}-1)=1

Nous devons en déduire  (h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1).

(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1)=\dfrac{1}{h'(h^{-1}(3\,\text{e}^{-1}-1))}=\dfrac{1}{h'(1)}\Longrightarrow\boxed{(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1)=\dfrac{1}{h'(1)}} \\\\\text{Or }h'(1)=g(1)=(1-2\times1)\,\text{e}^{-1}-1\,(\text{voir question 1. c}) \\\\\Longrightarrow \boxed{h'(1)=-\text{e}^{-1}-1} \\\\\text{D'où }\,(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1)=\dfrac{1}{-\text{e}^{-1}-1}\Longleftrightarrow\boxed{(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1)=-\dfrac{1}{\text{e}^{-1}+1}}

2. c)  Représentation graphique de (Ch-1 ).

Les courbes (Ch-1 ) et (Ch ) sont symétriques par rapport à la droite (deltamaj) : y  = x .

D'où la construction de (Ch-1 ).

Bac G-STG Sénégal 2021 : image 6
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