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Bac G-STG Sénégal 2021

Durée : 4 heures

Coefficient G : 5

Coefficient STEG : 4 5 points

exercice 1

5 points

exercice 2

10 points

probleme

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Bac G-STG Sénégal 2021

5 points

exercice 1

Le gestionnaire d'un supermarché, durant le premier semestre du démarrage de ses activités commerciales, observe l'évolution par mois x de son bénéfice y (en millions de francs CFA).
Les données obtenues sont contenues dans le tableau suivant :

${\white{wwwwwwwww}}\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x&&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&&&6&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\&y&&&1,2&&&1,3&&&1,5&&&1,9&&&2,1&&&2,2&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

1. Nuage de points associés à cette série statistique.

2. Nous devons établir l'équation (D ) de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés.

La droite de régression de y en x est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=ax+b}$ où $\overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{V(x)}}$ et $\overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\overline{x}.}$

Notations utilisées :

$\bullet{\white{w}}\text{Moyennes : }\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_i\\\\\overline{y}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^ny_i\end{matrix}\right. \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\overline{x}\,\overline{y} \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\\\\\phantom{WWWWnWWWWW}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-(\overline{x})^2$

Tableau statistique complété :

${\white{www}}\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\text{Totaux}&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_i&&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&&&6&&&\sum\limits_{i=1}^nx_i=21&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\&y_i&&&1,2&&&1,3&&&1,5&&&1,9&&&2,1&&&2,2&&&\sum\limits_{i=1}^ny_i=10,2&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_iy_i&&&1,2&&&2,6&&&4,5&&&7,6&&&10,5&&&13,2&&&\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i=39,6&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_i^2&&&1&&&4&&&9&&&16&&&25&&&36&&&\sum\limits_{i=1}^nx_i^2=91&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Nous obtenons :

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}\text{Moyennes : }\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1}{6}\times21=3,5\\\\\overline{y}=\dfrac{1}{6}\times10,2=1,7\end{matrix}\right. \\\\ {\white{ww}}\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{6}\times39,6-3,5\times1,7=0,65 \\\\ {\phantom{ww}}\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{6}\times91-3,5^2=\dfrac{35}{12}$

Dès lors,

$a=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{V(x)}=\dfrac{0,65}{\frac{35}{12}}=\dfrac{0,65\times12}{35}=\dfrac{7,8}{35}=\dfrac{5\times7,8}{5\times35}=\dfrac{39}{175}\approx0,22\\\\ b=\overline{y}-a\overline{x}=1,7-\dfrac{39}{175}\times3,5=0,92$

Par conséquent, l'équation de la droite de régression de y en x est : $\boxed{(D):y=0,22x+0,92}\,.$

3. Représentation graphique de la droite de régression et placement du point moyen G.

4. Nous devons estimer graphiquement le profit au septième mois.
Nous observons sur le graphique que l'ordonnée du point de la droite (D ) d'abscisse 7 est égale à 2,45.
Donc nous pouvons estimer qu'au septième mois suivant le démarrage des activités, le profit du gestionnaire est égal à 2,45 millions de francs CFA.

5. Par le calcul, vérifions si l'estimation de la question précédente est correcte.
Dans l'équation (D), remplaçons x par 7 et calculons la valeur de y .

$0,22\times7+0,92=2,46.$

Par le calcul, nous trouvons que le profit du gestionnaire est égal à 2,46 millions de francs CFA, ce qui rend plausible l'estimation graphique.

5 points

exercice 2

1. Nous savons que deux nombres ont une somme S et un produit P si et seulement si ces nombres sont les solutions de l'équation : x² - Sx + P = 0.
La somme du deuxième et du quatrième amortissement est 157 537,77 F et leur produit est 6 148 514 623,9.
Ces nombres sont donc les solutions de l'équation : $x^2-157\,537,77x+6\,148\,514\,623,9=0.$

Les amortissements vérifient donc bien l'équation : $x^2=157\,537,77x-6\,148\,514\,623,9=0.$

Résolvons l'équation : $x^2-157\,537,77x+6\,148\,514\,623,9=0.$

Discriminant : $\Delta=157\,537,77^2-4\times1\times6\,148\,514\,623,9=224\,090\,480,9729$

$\text{Racines : }x_1=\dfrac{157\,537,77-\sqrt{224090480,9729}}{2}\approx71\,284,059 \\\\\phantom{\text{Racines : }}x_2=\dfrac{157\,537,77+\sqrt{224090480,9729}}{2}\approx86\,253,711$

Par conséquent, le deuxième amortissement est égal à 71 284,059 F et le quatrième amortissement est égal à 86 253,711 F.

2. Nous devons déterminer le taux d'intérêt i .

Si u₂ représente le montant du deuxième amortissement et u₄ représente le montant du quatrième amortissement, nous savons que : $\dfrac{u_4}{u_2}=(1+i)^2.$
Il s'ensuit que :

$(1+i)^2=\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}\phantom{w}\Longleftrightarrow\phantom{w}1+i=\sqrt{\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}} \\\\\phantom{(1+i)^2=\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}\phantom{w}}\Longleftrightarrow\phantom{w}i=\sqrt{\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}}-1 \\\\\phantom{(1+i)^2=\dfrac{86\,253,711}{71\,284,059}\phantom{w}}\Longrightarrow\phantom{w}i\approx0,1$

Nous en déduisons que le taux d'intérêt est i = 10%.

3. Nous devons déterminer le premier amortissement u₁.

Si u₂ représente le montant du deuxième amortissement, nous savons que : $u_2=(1+i)\,u_1.$
Il s'ensuit que :

$71\,284,059=(1+0,1)\times u_1\phantom{w}\Longleftrightarrow\phantom{w}71\,284,059=1,1\, u_1 \\\\\phantom{71\,284,059=(1+0,1)\times u_1\phantom{w}}\Longleftrightarrow\phantom{w} u_1=\dfrac{71\,284,059}{1,1} \\\\\phantom{71\,284,059=(1+0,1)\times u_1\phantom{w}}\Longleftrightarrow\phantom{w} \boxed{u_1=64\,803,69}$

Par conséquent, le premier amortissement s'élève à 64 803,69 F.

4. Nous devons déterminer le nombre n d'annuités et la dette initiale d sachant que le montant de l'annuité est 114 803,69 F.

Nous savons que le premier amortissement s'élève à 64 803,69 F et que le taux d'intérêt est i = 0,1.

Il s'ensuit que : $114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n.$

$\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n\Longleftrightarrow114\,803,69=64 803,69\times1,1^n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longleftrightarrow1,1^n=\dfrac{114\,803,69}{64\,803,69}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longleftrightarrow\ln(1,1^n)=\ln\left(\dfrac{114\,803,69}{64\,803,69}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,1)=\ln(114\,803,69)-\ln(64\,803,69)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longleftrightarrow n=\dfrac{\ln(114\,803,69)-\ln(64\,803,69)}{\ln(1,1)}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\,114\,803,69=64 803,69(1+0,1)^n}\Longrightarrow \boxed{n\approx6}}$
D'où il faudra 6 annuités pour rembourser la dette initiale d .

Désignons par u_n l'amortissement de la n^ième année.

Dans ce cas, $d=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5+u_6$

d est donc la somme des 6 premiers termes d'une suite géométrique de raison q = 1,1 dont le premier terme est u₁ = 64 803,69.

Or la somme S de termes d'une suite géométrique est donnée par : $\overset{{\white{.}}}{S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}.}$
Donc $d=64\,803,69\times\dfrac{1-(1,1)^6}{1-1,1}=500\,000.$
Nous en déduisons que la dette initiale s'élève à 500 000 F.

10 points

probleme

Partie A :

Soit la fonction g définie par : $g(x)=(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1.$

1. a) Le domaine de définition de g est D_g =

.

1. b) Nous devons calculer les limites de g aux bornes de son domaine de définition.

$\\\\\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(1-2x)=+\infty\phantom{wwwwwwwwwww}\\\\\left\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\\\\\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty \end{matrix}\right\rbrace\Longrightarrow\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\end{matrix}\right\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to-\infty}(1-2x)\,\text{e}^{-x}=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to-\infty}\left[(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1\right]=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty}$

$\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(1-2x)=-\infty\phantom{wwwwwwwwwww}\\\\\left\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0 \end{matrix}\right\rbrace\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(1-2x)\,\text{e}^{-x}=0\\ (\text{croissances comparées}) \end{matrix}\\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_ {x\to+\infty}\left[(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1\right]=-1 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-1}$

2. a) La fonction g est dérivable sur

.

$g'(x)=[(1-2x)\,\text{e}^{-x}]'-1' \\\phantom{g'(x)}=(1-2x)'\times\,\text{e}^{-x}+(1-2x)\times\,(\text{e}^{-x})' \\\phantom{g'(x)}=(-2)\times\,\text{e}^{-x}+(1-2x)\times\,(-x)'\,\text{e}^{-x} \\\phantom{g'(x)}=-2\,\text{e}^{-x}+(1-2x)\times\,(-1)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{g'(x)}=-2\,\text{e}^{-x}-(1-2x)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{g'(x)}=(-2-1+2x)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{g'(x)}=(-3+2x)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=(2x-3)\,\text{e}^{-x}}$

2. b) Nous devons dresser le tableau de variation de g .

L'exponentielle est strictement positive sur

.
Donc le signe de g' (x ) est le signe de (2x - 3).

D'où le tableau de variation de g .

$\begin{matrix}2x-3<0\Longleftrightarrow 2x<3\\\phantom{2x-1<0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{3}{2}\\\\2x-3=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\\\\2x-3>0\Longleftrightarrow x>\dfrac{3}{2}\\\\g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(1-2\times\dfrac{3}{2}\right)\text{e}^{-\frac{3}{2}}-1\\=-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}-1\phantom{w.}\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline2x-3&&-&0&+&\\\hline&&&&&\\g\,'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&-1\\g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}-1&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. a) $g(0)=(1-2\times0)\,\text{e}^{0}-1=1-1=0\Longrightarrow\boxed{g(0)=0}\,.$

3. b) Tableau de variations de g complété par le signe de g (x ).

${\white{wwwwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&&\\ x&-\infty&&&0&&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\&&&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&&&-1\\g(x)&&\searrow&&0&&\searrow&&\nearrow&\\&&&&&&&-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}-1&&\\\hline &&&&&&&&&\\g(x)&&+&&0&&-&-&-&\\&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Par conséquent,
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ g(x) > 0 sur l'intervalle ]- ; 0[
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ g(x) < 0 sur l'intervalle ]0 ; +[.

Partie B :

Soit la fonction f définie par : $f(x)=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x.$

1. a) L'ensemble de définition de f est D_f =

.

1. b) Nous devons calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

Calculons $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x).}$

$f(x)=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x \\\phantom{f(x)}=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x\times1 \\\phantom{f(x)}=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x\times\text{e}^{-x}\times\text{e}^{x} \\\phantom{f(x)}=-\text{e}^{-x}(-2x-1+x\,\text{e}^{x}) \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=-\text{e}^{-x}(-2x-1+x\,\text{e}^{x})}$

$\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\\\\\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty \\\phantom{WWWWWWWiWWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}-\text{e}^{-x}=-\infty } \\\\\\ \bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x-1)=+\infty\\\\\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text{e}^x=0\\ (\text{croissances comparées)} \end{matrix}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x-1+x\,\text{e}^{x})=+\infty}$

Il s'ensuit, par produit, que $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}-\text{e}^{-x}(-2x-1+x\,\text{e}^{x})=-\infty.}$

Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty } }$

Calculons $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).}$

$\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^{x}}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{x}}=0\\\phantom{WWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0 } \\\\\\ \bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}2x=+\infty\\\\\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}2x\,\text{e}^{-x}=0}\text{ (croissances comparées)}$

Il s'ensuit que $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}(2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x)=-\infty.}$

Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty } }$

1. c) La fonction f est dérivable sur

.

$f'(x)={\red{(2x\,\text{e}^{-x})'}}+(\text{e}^{-x})'-x' \\\phantom{f'(x)}={\red{(2x)'\times\,\text{e}^{-x}+2x\times\,(\text{e}^{-x})'}}+(\text{e}^{-x})'-1 \\\phantom{f'(x)}=2\times\,\text{e}^{-x}+2x\times\,(-\text{e}^{-x})-\text{e}^{-x}-1 \\\phantom{f'(x)}=2\,\text{e}^{-x}-2x\,\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}-1 \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-2x\,\text{e}^{-x}-1 \\\phantom{f'(x)}=(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1 \\\phantom{f'(x)}=g(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=g(x)=(1-2x)\,\text{e}^{-x}-1}$

1. d) Nous devons dresser le tableau de variation de f .

En utilisant le signe de g(x) étudié dans la partie A, question 3b) et en sachant que $f(0)=0+\text{e}^{0}-0=1,$ nous pouvons dresser le tableau de variation de f .

${\white{wwwwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|} \hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline g(x)&&+&0&-&\\\hline &&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\ &&&&&\\\hline&&&1&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}$

1. e) Nous devons montrer que l'équation f (x ) = 0 admet deux solutions dans

.

$\bullet{\white{w}}$ Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;0[.}$

La fonction f est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;0[.}$
$\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$ et $\overset{{\white{.}}}{f(0)=1.}$
D'où $\overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]-\infty\,;0[\,).}$
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha _1}$ dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;0[.}$

$\underline{\text{Remarque}}\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}f(-0,7)\approx-0,105<0 \\\\f(-0,6)\approx0,236>0\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{-0,7<\alpha _1<-0,6}\,.}$

$\bullet{\white{w}}$ Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

La fonction f est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$
$\overset{{\white{.}}}{f(0)=1}$ et $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}.}$
D'où $\overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]0\,;\,+\infty[\,).}$
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha _2}$ dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

$\underline{\text{Remarque}}\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}f(1)\approx0,104>0 \\\\f(1,1)\approx-0,035<0\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{1<\alpha _2<1,1}\,.}$

Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet deux solutions dans .

1. f) Nous devons montrer que la droite (D ) : y = -x est une asymptote oblique à (C_f ) en + infini

.

$\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]=\lim\limits_{x\to+\infty}[(2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x)+x] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]}=\lim\limits_{x\to+\infty}(2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]}=\lim\limits_{x\to+\infty}2x\,\text{e}^{-x}+\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]}=0+0=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x)]=0}$
Il s'ensuit que la droite (D ) : y = -x est une asymptote oblique à (C_f ) en +

1. g) Nous devons étudier la position relative de (C_f ) par rapport à (D ).

Etudions le signe de f (x ) - (-x ).

$f(x)-(-x)=(2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x)+x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-(-x)}=2x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-(-x)}=(2x+1)\,\text{e}^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)-(-x)=(2x+1)\,\text{e}^{-x}}$

Étant donné que l'exponentielle est strictement positive sur

, le signe de f (x ) - (-x ) est le signe de (2x + 1).

${\white{wwwwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}2x+1<0\Longleftrightarrow 2x<-1\Longleftrightarrow x<-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{2x+1>0\Longleftrightarrow 2x>-1\Longleftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.$

soit ${\white{wwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}f(x)-(-x)<0\Longleftrightarrow x<-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)-(-x)>0\Longleftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que :

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ (C_f ) est en dessous de (D ) sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\,[$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ (C_f ) est au-dessus de (D ) sur l'intervalle $]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\,[.$

1. h) Représentation graphique de (C_f ) et de (D ).

2. Soit h la restriction de f sur ]0 ; + infini

[.

2. a) La fonction h est continue et strictement décroissante sur ]0 ; + infini

[ (voir question 1. d).
Nous savons que h (0) = 1 et $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty.}$

Donc la fonction h est bijective de ]0 ; +[ vers ]- ; 1[.

2. b) $h(1)=2\,\text{e}^{-1}+\text{e}^{-1}-1\Longrightarrow\boxed{h(1)=3\,\text{e}^{-1}-1}\,.$

Nous remarquons que $h(1)=3\,\text{e}^{-1}-1\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww} h^{-1}(3\,\text{e}^{-1}-1)=1$

Nous devons en déduire $(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1).$

$(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1)=\dfrac{1}{h'(h^{-1}(3\,\text{e}^{-1}-1))}=\dfrac{1}{h'(1)}\Longrightarrow\boxed{(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1)=\dfrac{1}{h'(1)}} \\\\\text{Or }h'(1)=g(1)=(1-2\times1)\,\text{e}^{-1}-1\,(\text{voir question 1. c}) \\\\\Longrightarrow \boxed{h'(1)=-\text{e}^{-1}-1} \\\\\text{D'où }\,(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1)=\dfrac{1}{-\text{e}^{-1}-1}\Longleftrightarrow\boxed{(h^{-1})'(3\,\text{e}^{-1}-1)=-\dfrac{1}{\text{e}^{-1}+1}}$

2. c) Représentation graphique de (C_h^-1 ).

Les courbes (C_h^-1 ) et (C_h ) sont symétriques par rapport à la droite ( deltamaj

) : y = x .

D'où la construction de (C_h^-1 ).

Publié par malou le 19-01-2022

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