Fiche de mathématiques

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Bac Tunisie SE 2022 - Contrôle

Durée : 3 heures
Coefficient : 3

4 points

exercice 1

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4 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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7 points

exercice 4

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Bac Tunisie 2022 Contrôle SE (sciences expérimentales)

4 points

exercice 1

Le tableau ci-dessous, donne pour les années indiquées, la production de lait cru en Tunisie.

$\begin{array} { |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| } \hline &&&&&&&&&&&\text{Année}&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017&&&&&&&&&&& \\ \hline&&&&& &&&&& \\ I=\text{rang}&1&2&3&4&5 &6&7&8&9&10\\&&&&&&&&&& \\ \hline P=\text{production}&&&&& &&&&& \\ \text{annuelle de lait cru}&1014&1030&1059&1096&1124 &1175&1218&1376&1428&1424\\\text{(en millions de litres)}&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

1. Nous devons calculer le coefficient de corrélation r de la série statistique (I , P ).
Nous rappelons que $\overset{ { \white { \dfrac{ } { . } } } } { r=\dfrac{ \sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(I_i-\overline{I})(P_i-\overline{P}) } { \sqrt{ \sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(I_i-\overline{I})^2\sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(P_i-\overline{P})^2 } } }$ où $\overline{I}$ et $\overline{P}$ sont les moyennes respectives des valeurs prises par I et P .

$\text{Or }\;\overline{I}=\dfrac{ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 }{ 10 }=\dfrac{55}{10}=5,5 \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \text{Or }\; }\overline{P}=\dfrac{ 1014 + 1030 + 1059 + \dots + 1428 +1424 }{ 10 }=\dfrac{ 11944 }{10}=1194,4 }$

$\sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(I_i-\overline{I})(P_i-\overline{P})=(1-5,5)(1014-1194,4)+(2-5,5)(1030-1194,4)+\cdots+(10-5,5)(1424-1194,4) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \Longrightarrow\quad\boxed{ \sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(I_i-\overline{I})(P_i-\overline{P}) = 4239 } }.\\ \\ \\ \sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(I_i-\overline{I})^2\sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(P_i-\overline{P})^2 \\ \\ \quad =[(1-5,5)^2+(2-5,5)^2+\cdots+(10-5,5)^2]\times[(1014-11,944)^2+(1030-11,944)^2+\cdots+(1424-11,944)^2] \\ \\ \quad=82,5\times233740,4 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \Longrightarrow\quad\boxed{ \sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(I_i-\overline{I})^2\sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(P_i-\overline{P})^2 = 19\,283\,583 } }.$

$\text{D'où }\;r=\dfrac{ \sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(I_i-\overline{I})(P_i-\overline{P}) } { \sqrt{ \sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(I_i-\overline{I})^2\sum\limits_{ i=1 }^{ 10 }(P_i-\overline{P})^2 } }=\dfrac{4239}{\sqrt{ 19\,283\,583}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ r\approx0,965 }$

Par conséquent, le coefficient de corrélation de la série statistique (I , P ) est r 0,965.

Le coefficient de corrélation de la série statistique (I , P ) est proche de +1.
Dès lors, les deux variables I et P sont en relation étroite et leur sens de variation est identique.

2. Nous devons donner l'équation de la droite de régression de P en I .

La droite de régression de P en I est de la forme $P=a\,I+b$ .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons $\overset{ { \white{ . } } } { a\approx51,38 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {b=911,8. }$

D'où, l'équation de la droite de régression de P en I est $\boxed{P=51,38\,I+911,8 }\,.$

3. a) Nous devons estimer la production, en millions de litres, de lait cru en 2023.

L'année 2023 correspond au rang 16.
Dans l'équation de la droite, remplaçons I par 16 et calculons P .

${ \white{ xx } }$ $P=51,38\times16+911,8\qud\Longrightarrow\quad\boxed{ P=1733,88}\,.$
Par conséquent, la production de lait cru en 2023 est estimée à 1733,88 millions de litres.

3. b) Nous devons déterminer à partir de quelle année la production de lait cru dépassera 1800 millions de litres.

Nous devons donc trouver le plus petit entier I tel que P supegal

1800.

$P\ge1800\quad\Longleftrightarrow\quad51,38\,I+911,8 \ge1800 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P\ge1800}\quad\Longleftrightarrow\quad51,38\,I \ge888,2} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P\ge1800}\quad\Longleftrightarrow\quad I \ge\dfrac{ 888,2 } { 51,38 } } \\ \\ \text{Or }\,\dfrac{ 888,2 } { 51,38 } \approx17,3$
Dès lors, le plus petit entier I vérifiant l'inégalité est I = 18.
Le rang 18 correspond à l'année 2025.

Par conséquent, la production de lait cru dépassera 1800 millions de litres à partir de l'année 2025.

3. c) On prévoit que la population tunisienne atteindra 12,5 millions d'habitants en 2024 et qu'en moyenne, un Tunisien consomme 135 litres de lait cru par an.

Le rang de l'année 2024 est I = 17.

La production annuelle de lait cru en millions de litres en 2024 sera donc $\overset{ { \white{ . } } } { P=51,38\times17+911,8 }$ , soit P = 1785,26 millions de litres.

Or la consommation moyenne de lait cru en millions de litres, de la population tunisienne en 2024 sera de $\overset{ { \white{ . } } } { 135\times12,5 }$ , soit 1687,5 millions de litres.

La production de lait cru est donc supérieure à la consommation moyenne.
Par conséquent, la production de lait cru répondra au besoin de la Tunisie en 2024.

4 points

exercice 2

Une urne contient quatre boules rouges et six boules noires, indiscernables au toucher.

Une épreuve consiste à tirer simultanément trois boules de l'urne.

1. On considère l'événement A : " Obtenir une seule boule rouge ".
Nous devons calculer P (A ).

Les boules étant indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité.

Le nombre d'issues possibles est égal à $\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}=\dfrac{10\,!}{3\,!\,7\,!}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120.$

Il y a 4 tirages possibles d'une boule rouge parmi les 4 boules rouges.
A chacun de ces tirages, il y a $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix} }$ manières de tirer deux boules noires parmi les six boules noires.
D'où, le nombre d'issues favorables est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { 4\times\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=4\times\dfrac{6\,!}{2\,!\,4\,!}=4\times\dfrac{6\times5}{2}=60. }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { P(A)=\dfrac{60}{120}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(A)=\dfrac{1 } { 2 }=0,5}\,. }$

2. On considère l'événement B : " N'obtenir aucune boule rouge ".
Nous devons calculer P (B ).

Les boules étant indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité.

Le nombre d'issues possibles est égal à $\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}=\dfrac{10\,!}{3\,!\,7\,!}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120.$

N'obtenir aucune boule rouge parmi les 3 boules tirées, revient à obtenir trois boules noires parmi les six boules noires.
D'où, le nombre d'issues favorables est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}=\dfrac{6\,!}{3\,!\,3\,!}=\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20. }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { P(B)=\dfrac{20}{120}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ P(B)=\dfrac{1 } { 6 } }\,. }$

3. On répète l'épreuve n fois de suite, n supegal

2, en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on a obtenu une et une seule boule rouge.

3. a) Déterminons la loi de probabilité de X .

Lors de cette expérience, on répète n fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « Obtenir une seule boule rouge » dont la probabilité est p = 0,5.
Echec : « Ne pas obtenir une seule boule rouge » dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aléatoire X compte le nombre de fois où l'on a obtenu une et une seule boule rouge, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(n\,;\,0,5) }$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times0,5^k\times0,5^{n-k } }$

3. b) L'espérance mathématique de X est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{E(X)=n\times p=0,5\,n }\,. }$
La variance de X est $\overset{ { \white{ . } } } { V(X)=n\times p\times(1-p)=n\times0,5\times0,5 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{V(X)=0,25\,n }\,. }$

5 points

exercice 3

1. On considère dans $\C$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E):z^2-2(1+\text i)\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}z+4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}=0. }$

1. a) Vérifions que $2\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}$ est solution de l'équation (E ).

${ \white{ xx } }$ $(2\text e^{\text i\frac{\pi}{6}})^2-2(1+\text i)\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}\times2\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}+4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}=4\text e^{\text i\frac{2\pi}{6}}-4(1+\text i)\text e^{2\text i\frac{\pi}{6}}+4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWWWWv}=4\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}-4(1+\text i)\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}+4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}} } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWWWWv}=4\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}-4\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}-4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}+4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}} } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWWWWv}=0}$

Nous en déduisons que $2\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}$ est solution de l'équation (E ).

1. b) Déterminons l'autre solution de l'équation (E ).

Nous savons que si l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions x ₁ et x ₂, alors le produit de ces solutions est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ x_1\times x_2=\dfrac{c}{a} }\,. }$
L'équation (E ) admet une première solution $x_1=2\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}.$
Si x ₂ est la seconde solution de (E ), alors : $2\,\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}\times x_2=\dfrac{4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}}{1}$
Dès lors, nous obtenons :
${ \white{ xx } }$ $2\,\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}\times x_2=4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=\dfrac{4\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}}{2\,\text e^{\text i\frac{\pi}{6}}} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=2\text i\,\text e^{\text i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})} } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=2\text i\,\text e^{\text i\frac{\pi}{6}} } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=2\,\text e^{\text i\frac{\pi}{2}}\,\text e^{\text i\frac{\pi}{6}} }$
${ \white{ xx } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=2\,\text e^{\text i(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6})} } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=2\,\text e^{\text i\frac{4\pi}{6}} } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ x_2= 2\,\text e^{\text i\frac{2\pi}{3}} }$

2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { (O\,,\,\vec u\,,\,\vec v) }$ , on considère les points A , B et C d'affixes respectives $z_A=\sqrt 3+\text i\;;\;z_B=-1+\text i\sqrt 3\;\text{ et }\,z_C=2.$

On désigne par H le point d'affixe $z_H=z_A+z_B+z_C.$

2. a) Montrons que les points A , B et C appartiennent au cercle $(\zeta)$ de centre O et de rayon 2.

Il suffit de montrer que $OA=OB=OC=2.$

${ \white{ xx } }$ $OA=|z_A|=\sqrt{(\sqrt 3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{A\in (\zeta)} \\ \\ OB=|z_A|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{B\in (\zeta)} \\ \\ OC=|z_C|=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{C\in (\zeta)}$

2. b) Nous devons construire les points A et B dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { (O\,,\,\vec u\,,\,\vec v). }$

$\bullet{\white{x}}$ Le point A est sur le cercle $(\zeta)$ et possède une ordonnée égale à 1 en ayant une abscisse positive.
$\bullet{\white{x}}$ Le point B est sur le cercle $(\zeta)$ et possède une abscisse égale à (-1) en ayant une ordonnée positive.

D'où leur construction.

Bac Tunisie 2022 Contrôle SE (sciences expérimentales) : image 9

3. a) Nous devons écrire $\dfrac{z_B+z_C}{z_C-z_B}$ sous forme cartésienne.

$\dfrac{z_B+z_C}{z_C-z_B}=\dfrac{-1+\text i\sqrt 3+2}{2-(-1+\text i\sqrt 3)}=\dfrac{1+\text i\sqrt 3}{2+1-\text i\sqrt 3} =\dfrac{1+\text i\sqrt 3}{3-\text i\sqrt 3} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\dfrac{z_B+z_C}{z_C-z_B} }=\dfrac{(1+\text i\sqrt 3)(3+\text i\sqrt 3)}{(3-\text i\sqrt 3)(3+\text i\sqrt 3)} =\dfrac{3+\text i\sqrt 3+3\text i\sqrt 3-3}{9+3} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\dfrac{z_B+z_C}{z_C-z_B} }=\dfrac{4\text i\sqrt 3}{12} =\text i\dfrac{\sqrt 3}{3} } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_B+z_C}{z_C-z_B}=\text i\dfrac{\sqrt 3}{3} }$

3. b) Nous devons montrer que les droites (AH ) et (BC ) sont perpendiculaires.

Montrons que $\dfrac{z_H-z_A}{z_C-z_B}$ est un nombre imaginaire pur.

Par définition du point H , nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { z_H=z_A+z_B+z_C }$ , soit que $\overset{ { \white{ . } } } { z_H-z_A=z_B+z_C. }$

$\text{Dès lors, }\;\dfrac{z_H-z_A}{z_C-z_B}=\dfrac{z_B+z_C}{z_C-z_B}=\text i\dfrac{\sqrt 3}{3} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_H-z_A}{z_C-z_B}=\text i\dfrac{\sqrt 3}{3}\in \text i\C }$

Par conséquent, les droites (AH ) et (BC ) sont perpendiculaires.

3. c) Nous devons montrer que $z_H=\sqrt 2(1+\sqrt 3)\,\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}.$

${ \white{ xxi } }$ $z_H=z_A+z_B+z_C \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_H }=\sqrt 3+\text i-1+\text i\sqrt 3+2 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_H }=\sqrt 3+1+\text i+\text i\sqrt 3 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_H }=\sqrt 3+1+\text i(1+\sqrt 3) }$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_H }=(1+\sqrt 3)+\text i(1+\sqrt 3) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{z_H }=(1+\sqrt 3)(1+\text i) }$

Écrivons $\overset{ { \white{ . } } } { 1+\text i }$ sous forme exponentielle.

$\bullet{\white{x}}$ Le module de $\overset{ { \white{ . } } } { 1+\text i }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { |1+\text i|=\sqrt{1^2+1^2}\quad\Longrightarrow\quad |1+\text i|=\sqrt 2 .}$
$\bullet{\white{x}}$ Notons $\theta$ l'argument de $\overset{ { \white{ . } } } { 1+\text i }$

${ \white{ xxxi } }$ $1+\text i=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 2}\text i\right) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1+\text i}=\sqrt{2}\left({\red{\dfrac{\sqrt 2}{2}}}+{\red{\dfrac{\sqrt 2}{2}}}\text i\right) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1+\text i}=\sqrt{2}\left({\red{\cos\theta}}+\text i\,{\red{\sin\theta}}\right) }$

Par identification, $\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\sqrt 2}{2}\\ \overset{ { \white{ . } } } {\sin\theta=\dfrac{\sqrt 2}{2} } \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad {\red{\theta=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi,\;k\in\Z}}$

D'où $\boxed{ 1+\text i=\sqrt{2}\,\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}}\,.$
Nous en déduisons que $\left\lbrace\begin{matrix}z_H =(1+\sqrt 3)({\red{1+\text i}})\\\overset{ { \white{ . } } } { {\red{1+\text i}}=\sqrt{2}\,\text e^{\text i\frac{\pi}{4}} \phantom{xxxxx}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ z_H=\sqrt 2(1+\sqrt 3)\,\text e^{\text i\frac{\pi}{4}} }\,.$

3. d) Nous devons construire le point H .

$\bullet{\white{x}}z_H=\sqrt 2(1+\sqrt 3)\,\text e^{\text i\frac{\pi}{4}} \quad\Longrightarrow\quad \arg(z_H)=\dfrac{\pi}{4}.$
${\white{xx}}$ Dès lors, le point H appartient à la première bissectrice d'équation y = x .

$\bullet{\white{x}}$ Les droites (AH ) et (BC ) sont perpendiculaires.
Donc le point H appartient à la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC ).

$\bullet{\white{x}}$ D'où la construction du point H .

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7 points

exercice 4

On considère la fonction f définie sur ]0 ; + infini

[ par $f(x)=x\ln x-\dfrac 1 2 \ln^2x.$
On désigne par $(\zeta)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O\,,\,\vec i\,,\,\vec j)\,. }$

1. a) Calculons $\overset{ { \white{ p } } } { \lim\limits_{x\to0^+}f(x). }$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\quad(\text{croissances comparées)}\\ \overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\ln ^2x=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(x\ln x-\dfrac{1}{2}\ln^2x\right)=-\infty \\ \\ \phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty }$

Nous en déduisons que la courbe $(\zeta)$ admet une asymptote verticale d'équation x = 0.

1. b) Calculons $\overset{ { \white{ p } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x). }$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x\ln x-\dfrac{1}{2}\ln^2x\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\ln^2x\left(\dfrac{x}{\ln x}-\dfrac{1}{2}\right) \\ \\ \text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln^2x=+\infty\phantom{ WWWWWWWWWW }\\ \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\ln x}=+\infty \quad(\text{croissances comparées)}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln^2x\left(\dfrac{x}{\ln x}-\dfrac{1}{2}\right)=+\infty \\ \\ \\ \text{D'où }\;\boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty }$

1. c) Calculons $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\ln x-\dfrac{1}{2}\dfrac{\ln^2x}{x}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x\left(1-\dfrac{1}{2}\dfrac{\ln x}{x}\right) \\ \\ \text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\phantom{ WWWWWWWWWW }\\ \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{ x}=0 \quad(\text{croissances comparées)}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x\left(1-\dfrac{1}{2}\dfrac{\ln x}{x}\right)=+\infty \\ \\ \text{D'où }\;\boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty }$

Par conséquent, puisque $\overset{ { \white{ p } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty }$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ , nous déduisons que la courbe $(\zeta)$ admet, au voisinage de +, une branche parabolique de direction $(O,\vec j).$

2. a) Pour tout x appartient

]0 ; +

[,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(x\ln x)'-\dfrac 1 2 \left(\ln^2x\right)' \\ \phantom{f'(x)}=x'\times\ln x+x\times (\ln x)'-\dfrac 1 2 \times2\times(\ln x)'\times\ln x \\ \phantom{f'(x)}=1\times\ln x+x\times \dfrac 1 x-\dfrac 1 x\times\ln x \\ \phantom{f'(x)}=\ln x+1-\dfrac 1 x\times\ln x \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1+\ln x-\dfrac {\ln x} { x} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1+\dfrac {x\ln x-\ln x} { x} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=1+\dfrac {(x-1)\ln x} { x} }$

$\Longrightarrow\quad\boxed{ \forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty\,[,\;f'(x)=1+\dfrac {(x-1)\ln x} { x} }$

2. b) Montrons que pour tout x appartient

]0 ; +

[, $(x-1)\ln x\ge0.$

${ \white{ WWW } }\begin{matrix}\text{Pour tout }x>0,\\ \\x-1=0\Longleftrightarrow x=1\\x-1<0\Longleftrightarrow x<1 \\x-1>0 \Longleftrightarrow x>1\\ \\ \ln x=0\Longleftrightarrow x=1\\ \ln x>0\Longleftrightarrow x>1\\ \phantom{xxi}\ln x<0\Longleftrightarrow 0<x<1\end{matrix}\phantom{ WW } \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{ WW }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &0&&&1&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&& \\ x-1&& - && 0 & &+ &\\ \ln x&& - && 0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&\\ (x-1)\ln x&&+&&0&&+&\\&&&& &&&\\ \hline \end{array}$

Donc pour tout x ]0 ; +[, $(x-1)\ln x\ge0.$

2. c) Nous en déduisons le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

${ \white{ WWWWWW } }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &0&&&1&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&||&&&&&& \\ (x-1)\ln x&||& + && 0 & &+ & \\ x&0&+ && + & &+ &\\&||&&&&&&\\ \hline&||&&&&&&\\ f'(x)={\red{1+}}\,\dfrac {(x-1)\ln x} { x} &||&+&&1&&+&\\&||&&& &&&\\ \hline&||&&&&&&+\infty\\ f(x)&||&\nearrow&&0&&\nearrow&\\&-\infty&&& &&&\\ \hline \end{array}$

3. Une équation de la tangente (T ) à la courbe $(\zeta)$ au point d'abscisse 1 est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ y=f('1)(x-1)+f(1) }\,.}$

Or f' (1) = 1 et f (1) = 0.

D'où l'équation réduite de la tangente (T ) à la courbe $(\zeta)$ au point d'abscisse 1 est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ y=x-1 }\,. }$

4. On pose pour tout x appartient

]0 ; +

[, $g(x)=f(x)-x+1.$

On donne ci-dessous le tableau de variation de g .

${ \white{ WWWWWW } }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &0\phantom{xxxi}&&&&&&+\infty\\&&&& &&&\\ \hline&||\phantom{xxxi}&&&&&&+\infty\\ g&||\phantom{xxxi}&\nearrow&&\nearrow&&\nearrow&\\&||-\infty&&& &&&\\ \hline \end{array}$

4. a) $g(1)=f(1)-1+1=0-1+1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ g(1)=0 }\,.$

De plus, le tableau de variations de g montre que g est strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.
Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}0<x\le1\quad\Longrightarrow\quad g(x)\le g(1) \\ \phantom{XXXiiXX}\quad\Longrightarrow\quad g(x)\le 0 \\\\ \bullet{\white{x}}x\ge1\quad\Longrightarrow\quad g(x)\ge g(1) \\ \phantom{XXXii}\quad\Longrightarrow\quad g(x)\ge 0$

D'où le tableau de signes de la fonction g .

${ \white{ WWWWWW } }\begin{array} { |c|ccccccc| } \hline &&&&&&&& x &0&&&1&&&+\infty\\&&&& &&&\\ \hline&||&&&&&&\\ g&||&-&&0&&+&\\&||&&& &&&\\ \hline \end{array}$

4. b) A l'aide du tableau de signes de la fonction g , nous déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}0<x\le1\quad\Longrightarrow\quad g(x)\le 0 \\ \phantom{XXXiiXX}\quad\Longrightarrow\quad f(x)-(x-1)\le 0 \\ \phantom{XXXiiXX}\quad\Longrightarrow\quad(\zeta)\text{ est en dessous de la tangente }(T) \\\\ \bullet{\white{x}}x\ge1\quad\Longrightarrow\quad g(x)\ge 0 \\ \phantom{XiiXX}\quad\Longrightarrow\quad f(x)-(x-1)\ge 0 \\ \phantom{XiiXX}\quad\Longrightarrow\quad(\zeta)\text{ est au-dessus de la tangente }(T)$

Dès lors, la tangente (T ) traverse la courbe $(\zeta)$ au point A (1 ; 0).
Par conséquent, le point A (1 ; 0) est un point d'inflexion de la courbe $(\zeta).$

4. c) La fonction g est continue et strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.
Il s'ensuit que g réalise une bijection de ]0 ; + infini

[ sur g (]0 ; + infini

[)= $\R.$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { 1\in\R, }$ nous en déduisons que l'équation g (x ) = 1 admet une unique solution dans ]0 ; +[.

De plus, $\left\lbrace\begin{matrix}g(3,3)\approx0,927<1\\g(3,4)\approx1,012>1\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \alpha\in\,]\,3,3\;;\;3,4\,[ }$

5. Soit deltamaj

la droite d'équation y = x .

5. a) Nous déterminerons les abscisses des éventuels points d'intersection entre la courbe $(\zeta)$ et la droite deltamaj

en résolvant l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. }$

$f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x=0 \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x+1=1 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad g(x)=1 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\alpha } }$
D'où la droite coupe la courbe $(\zeta)$ uniquement au point d'abscisse .

5. b) Représentations graphiques de la tangente (T ), de la droite deltamaj

et de la courbe $(\zeta)$ dans $\overset{ { \white{ . } } } { (O\,,\,\vec i\,,\,\vec j)\,. }$

Bac Tunisie 2022 Contrôle SE (sciences expérimentales) : image 8

6. a) La fonction f est continue et strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.
Il s'ensuit que f réalise une bijection de ]0 ; +[ sur f (]0 ; +[)= $\R.$

6. b) On note f ^-1 la fonction réciproque de f , on désigne par ( gammamaj

) sa courbe représentative dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { (O\,,\,\vec i\,,\,\vec j)\,. }$

Traçons la courbe ( gammamaj

).

Nous savons que les courbes ( gammamaj

) et $(\zeta)$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice deltamaj

d'équation y = x .
D'où la construction de ( gammamaj

Bac Tunisie 2022 Contrôle SE (sciences expérimentales) : image 7

7. Soit $\mathscr A$ l'aire de la partie du plan limitée par la courbe ( gammamaj

) et les droites d'équations y = 1, y = e et x = 0.

7. a) Calculons $\displaystyle\int_1^{\text{e}}x\ln x\text{ d}x.$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\text e} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{1}^{\text e}-\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\text e} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}.$

${ \white{ xxxxxxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln x\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=\dfrac{1}{x}\phantom{ww}\\v'(x)=x\phantom{wwwwwv}\Longrightarrow\quad \phantom{x}v(x)=\dfrac{\overset{}{x^{2}}}{2}\phantom{ww}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors, }\ \displaystyle\int_1^{\text{e}}x\ln x\text{ d}x=\left[\overset{}{\dfrac{x^{2}}{2}}\times\ln x\right]\limits_1^{\text{e}}-\begin{aligned}\int\nolimits_1^{\text{e}}\dfrac{1}{x}\times\dfrac{x^{2}}{2}\,\text d x\end{aligned}$

$\text{Or }\ \left[\overset{}{\dfrac{x^{2}}{2}}\times\ln x\right]\limits_1^{\text{e}}=\dfrac{\text e^2}{2}\times\ln \text e-\dfrac{1^2}{2}\times\ln 1 \\\phantom{WWWWWWW}=\dfrac{\text e^2}{2}\times1-\dfrac{1}{2}\times0 \\ \\ \phantom{WWWWWWW}=\dfrac{\text e^2}{2}$

$\\\\\text{et }\ \begin{aligned}\int\nolimits_1^{\text{e}}\dfrac{1}{x}\times\dfrac{x^{2}}{2}\,\text d x\end{aligned}=\dfrac{1}{2}\begin{aligned}\int\nolimits_1^{\text{e}}x\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWiW}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^{\text{e}} \\\\\phantom{WWiWWWWW}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\text e^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}\right] \\\\\phantom{WWiWWWWW}=\dfrac{1}{4}\left[\text e^2-1\right]$

$\text{D'où }\;\displaystyle \displaystyle\int_1^{\text{e}}x\ln x\text{ d}x=\dfrac{\text e^2}{2}-\dfrac{1}{4}(\text e^2-1) \\ \phantom{\text{D'où }\;\displaystyle \displaystyle\int_1^{\text{e}}x\ln x\text{ d}x}=\dfrac{\text e^2}{2}-\dfrac{\text e^2}{4}+\dfrac 1 4 \\ \phantom{\text{D'où }\;\displaystyle \displaystyle\int_1^{\text{e}}x\ln x\text{ d}x}=\dfrac{\text e^2}{4}+\dfrac 1 4 \\\\\text{soit }\;\boxed{\displaystyle \displaystyle\int_1^{\text{e}}x\ln x\text{ d}x=\dfrac{\text e^2+1}{4}}$

7. b) Soit la fonction u définie sur ]0 ; + infini

[ par $u(x)=x\ln^2x-2x\ln x+2x.$

La fonction u est dérivable sur ]0 ; + infini

[ (somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + infini

[).

Pour tout x appartient

]0 ; +

[,

$u'(x)=(x\ln^2x)'-2(x\ln x)'+(2x)' \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u'(x)}=[x'\times\ln^2x+x\times(\ln^2x)']-2[x'\times\ln x+x\times(\ln x)']+2 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u'(x)}=[1\times\ln^2x+x\times2\times\dfrac 1 x\times\ln x]-2[1\times\ln x+x\times\dfrac 1 x]+2 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u'(x)}=[\ln^2x+2\ln x]-2[\ln x+1]+2 }$

$\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u'(x)}=\ln^2x+2\ln x-2\ln x-2+2 } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{u'(x)}=\ln^2x } \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;u'(x)=\ln^2x}$

Par conséquent, la fonction u définie sur ]0 ; +[ par $u(x)=x\ln^2x-2x\ln x+2x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \ln^2x.$

7. c) Déterminons la valeur de $\mathscr A.$

En utilisant la symétrie par rapport à la droite deltamaj

, l'aire $\mathscr A$ est égale à l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $(\zeta)$ et les droites d'équations x = 1, x = e et y = 0.

Ainsi, $\mathscr A=\displaystyle\int_1^{\text{e}}f(x)\text{ d}x.$

Nous obtenons alors :

$\mathscr A=\displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(x\ln x-\frac 1 2 \ln^2x\right)\text{ d}x,\; \text { soit }\boxed{ \mathscr A=\displaystyle\int_1^{\text{e}}x\ln x\text{ d}x-\frac 1 2 \displaystyle\int_1^{\text{e}}\ln^2x\text{ d}x } \\\\\text{Or }\;\displaystyle\int_1^{\text{e}}x\ln x\text{ d}x=\dfrac{\text e^2+1}{4}$

$\\\\\text{et }\;\displaystyle\int_1^{\text{e}}\ln^2x\text{ d}x=\left[\overset{}{u(x)}\right]_1^{\text{e}} \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWx}= \left[\overset{}{x\ln^2x-2x\ln x+2x}\right] _1^{\text{e}} }$
${ \white{ xxxixxxxi } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWx}=(\text e\ln^2\text e-2\text e\ln \text e+2\text e)-(1\ln^21-2\times1\ln 1+2\times1) } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWx}=(\text e-2\text e+2\text e)-(0-0+2) } \\ \overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWx}=\text e-2 }$

$\text{D'où }\;\mathscr A=\dfrac{\text e^2+1}{4}-\dfrac{1}{2}(\text e-2) \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWW}=\dfrac{\text e^2+1}{4}-\dfrac{\text e-2}{2} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWW}=\dfrac{\text e^2+1-2\text e+4}{4} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWW}=\dfrac{\text e^2-2\text e+5}{4} }$

$\\ \\ \quad\Longrightarrow\quad\boxed { \mathscr A= \dfrac{\text e^2-2\text e+5}{4} }$

Publié par malou/Panter le 02-07-2023

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