Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Mathématiques

Sénégal 2023

Séries S2-S2A-S4-S5

Épreuve du 1er groupe

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Durée : 4 heures

Coefficient : 4


5 points

exercice 1

Bac Sénégal 2023 série STEG : image 1


5 points

exercice 2

Bac Sénégal 2023 série STEG : image 3


10 points

probleme

Bac Sénégal 2023 série STEG : image 2







Bac Sénégal 2023 série STEG

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5 points

exercice 1

1.  Nous devons montrer que les contraintes de l'entrepreneur se traduisent par le système d'inéquations  \overset{ { \white{ . } } } { (E) }  suivant :

(E):\left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\;;\;y\ge0\\x+y\le7\\x+2y\le12\\3x+2y\le20\end{matrix}\right.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Les nombres de carreleurs et de peintres embauchés par jour ne peuvent pas être strictement négatifs.
Donc  \overset{ { \white{ . } } } { x\ge0\;;\;y\ge0. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Chaque ouvrier doit disposer d'une brouette et l'entreprise en possède 7.
Donc  \overset{ { \white{ . } } } { x+y\le7. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Les travaux de carrelage et de peintures nécessitent par jour et par ouvrier respectivement 50 000 F et 100 000 F de main-d'oeuvre.
De plus, l'entrepreneur ne peut pas dépasser son budget de 600 000 F par jour pour la main-d'oeuvre.
Donc  \overset{ { \white{ . } } } { 50\,000x+100\,000y\le600\,000, }  soit  \overset{ { \white{ . } } } { x+2y\le12. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Les travaux de carrelage et de peintures nécessitent par jour et par ouvrier respectivement 150 000 F et 100 000 F de matériel.
De plus, l'entrepreneur ne peut pas dépasser son budget de 1 000 000 F par jour pour le matériel.
Donc  \overset{ { \white{ . } } } { 150\,000x+100\,000y\le1\,000\,000, }  soit  \overset{ { \white{ . } } } { 3x+2y\le20. } 

Par conséquent, les contraintes de l'entrepreneur se traduisent par le système d'inéquations  \overset{ { \white{ . } } } { (E) }  suivant :

(E):\left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\;;\;y\ge0\\x+y\le7\\x+2y\le12\\3x+2y\le20\end{matrix}\right.

2.  L'entrepreneur réalise par jour un bénéfice de 30 000 F sur le travail de chaque carreleur et 40 000 F sur celui de chaque peintre.
On note  B  le bénéfice total que l'entrepreneur réalise chaque jour.

2. a)  La fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { B }  est définie par  \overset{ { \white{ . } } } { B=30\,000x+40\,000y. } 

2. b)  Déterminons graphiquement le nombre de carreleurs et de peintre que l'entrepreneur doit faire travailler chaque jour pour assurer un bénéfice maximal.

Soient les droites dont les équations sont les suivantes :

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_1):x=0
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_2):y=0
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_3):x+y=7
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_4):x+2y=12
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_5):3x+2y=20

Représentons ces droites dans un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\;\vec i,\vec j).  } 
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}La droite  \overset{ { \white{ . } } } {(D_1)}  coïncide avec l'axe des ordonnées.
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}La droite  \overset{ { \white{ . } } } {(D_2)}  coïncide avec l'axe des abscisses.
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}La droite  \overset{ { \white{ . } } } {(D_3)}  passe par les points de coordonnées  \overset{ { \white{ . } } } { (7\,;\;0) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (0\,;\;7) } 
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}La droite  \overset{ { \white{ . } } } {(D_4)}  passe par les points de coordonnées  \overset{ { \white{ . } } } { (12\,;\;0) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (0\,;\;6) } 
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}La droite  \overset{ { \white{ . } } } {(D_5)}  passe par les points de coordonnées  \overset{ { \white{ . } } } { (\frac{20}{3}\,;\;0) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (0\,;\;10) } 

Chacune de ces droites délimite deux portions du plan.

Reprenons les inéquations de  \overset{ { \white{ . } } } { (E) } 
Le système  \overset{ { \white{ . } } } {(E):\left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.}  est vérifié par les points du premier quadrant.
Le point  \overset{ { \white{ . } } } { O\,(0\;;\;0) }  appartient à la portion de plan vérifiant l'inéquation  \overset{ { \white{ . } } } { x+y\le 7 }  car  \overset{ { \white{ . } } } { 0+0\le7. } 
Le point  \overset{ { \white{ . } } } { O\,(0\;;\;0) }  appartient à la portion de plan vérifiant l'inéquation  \overset{ { \white{ . } } } { x+2y\le 12 }  car  \overset{ { \white{ . } } } { 0+2\times0\le12. } 
Le point  \overset{ { \white{ . } } } { O\,(0\;;\;0) }  appartient à la portion de plan vérifiant l'inéquation  \overset{ { \white{ . } } } { 3x+2y\le 20 }  car  \overset{ { \white{ . } } } { 3\times0+2\times0\le20. } 

Par conséquent, l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient le système  \overset{ { \white{ . } } } { (E) }  appartient à la portion du plan délimitée par le polygone  \overset{ { \white{ _. } } } { OABCD }  avec  \overset{ { \white{ _. } } } { A\,(0\;;\;6),\;B\,(2\;;\;5),\; C\,(6\;;\;1)}  et  \overset{ { \white{ . } } } { D\,\left(\dfrac{20}{3}\;;\;0\right). } 

Nous appellerons ''région réalisable'' ce polygone  \overset{ { \white{ _. } } } { OABCD. } 

avec  \overset{ { \white{ _. } } } { A\,(0\;;\;6),\;B\,(2\;;\;5),\; C\,(6\;;\;1)}  et  \overset{ { \white{ . } } } { D\,\left(\dfrac{20}{3}\;;\;0\right). } 

.
Bac Sénégal 2023 série STEG : image 6

Déterminons les coordonnées du (ou des) points du polygone  \overset{ { \white{ _. } } } { OABCD }  rendant la fonction bénéfice  \overset{ { \white{ _. } } } { B }  maximale.
La fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { B=30\,000x+40\,000y }  est maximale si et seulement si la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { B_1=3x+4y }  est maximale.

Construisons la droite  \overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta)}  d'équation  \overset{ { \white{ _. } } } { 3x+4y=0. } 

Pour déterminer la solution du problème, nous allons déplacer parallèlement  (\Delta)  vers le point de la région réalisable le plus éloigné de l'origine.

Bac Sénégal 2023 série STEG : image 4

Nous trouvons que ce point est le point  \overset{ { \white{ _. } } } { B\,(2\;;\;5). } 

Par conséquent, pour assurer un bénéfice journalier maximal, l'entrepreneur doit faire travailler chaque jour 2 carreleurs et 5 peintres.

2. c)  Si  \overset{ { \white{ _. } } } {x=2}  et  \overset{ { \white{ . } } } {y=5} , alors  \overset{ { \white{ . } } } {B=30\,000\times2+40\,000\times5=260\,000.}

D'où le bénéfice journalier maximal est de 260 000 F.

5 points

exercice 2

Le service d'un emprunt remboursable en annuités constantes, la première échéance un an après l'obtention du prêt, fait apparaître les renseignements suivants :

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}La différence des deux premiers amortissements est : 41 888,733 F.
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}La différence du cinquième et du quatrième amortissement est : 48 491,43 F.
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Le dernier amortissement est : 1 178 832,856 F.

Notons  \overset{ { \white{ . } } } {A_k }  le kième amortissement,  \overset{ { \white{ _. } } } {i }  le taux de l'emprunt,  \overset{ { \white{ _. } } } {t }  le taux en pourcentage de l'emprunt et  \overset{ { \white{ . } } } {a }  l'annuité.

1.  Nous devons calculer le taux d'emprunt et le premier amortissement.

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_5-A_4=48\,491,43\phantom{i}\end{matrix}\right. } 

Dès lors,

\left\lbrace\begin{matrix}A_5=A_2\times(1+i)^3\\A_4=A_1\times(1+i)^3 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad A_5-A_4=( A_2-A_1)\times(1+i)^3 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 48\,491,43=41\,888,733\times(1+i)^3 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad (1+i)^3=\dfrac{48\,491,43}{41\,888,733} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 1+i=\sqrt[3]{\dfrac{48\,491,43}{41\,888,733}}} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 1+i\approx1,05 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{i\approx0,05}

Par conséquent, le taux de l'emprunt est  \overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{t = 5 \,\%}\,.}

De plus,

\left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_2=1,05\times A_1\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad 1,05\times A_1-A_1=41\,888,733 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_2=1,05\times A_1\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 0,05\times A_1=41\,888,733 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_2=1,05\times A_1\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad  A_1=\dfrac{41\,888,733}{0,05} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_2=1,05\times A_1\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{  A_1=837\,774,66}

Par conséquent, le premier amortissement s'élève à 837 774,66 F.

2.  Nous devons calculer le montant de l'annuité constante  \overset{ { \white{ . } } } { a. } 

Le dernier amortissement est : 1 178 832,856 F.

D'où  \overset{ { \white{ . } } } {a=1,05\times1\,178\,832,856\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=1\,237\,774,5}  } 

Donc l'annuité s'élève à 1 237 774,5 F.

3.  Nous devons calculer le nombre d'annuités.

Soit  \overset{ { \white{ . } } } { n }  le nombre d'annuités.

A_n= A_1\times (1+i)^{n-1} \quad\Longrightarrow\quad 1\, 178\, 832,856=837\, 774,66\times1,05^{n-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad 1,05^{n-1}=\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad \ln1,05^{n-1}=\ln\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}}  \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad (n-1)\times\ln1,05=\ln\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}}
\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad n-1=\dfrac{\ln\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}}{\ln1,05}}  \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad n=\dfrac{\ln\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}}{\ln1,05}+1}  \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad n\approx7,999\,996}

D'où l'emprunt sera remboursable en 8 annuités.

4.  Nous devons calculer le montant de la dette.

En appliquant la formule de la somme des 8 premiers termes d'une suite géométrique dont la raison est 1,05 et dont le premier terme est  \overset{ { \white{ . } } } { A_1= 837\,774,66} , nous déduisons que le montant de la dette est égal à :

837\,774,66\times\dfrac{1,05^8-1}{1,05-1}=837\,774,66\times\dfrac{1,05^8-1}{0,05}\approx8\,000\,001,442

Par conséquent, le montant de la dette s'élève à 8 000 000 F.

5.  Nous devons calculer le capital remboursé après versement de la cinquième annuité.

En appliquant la formule de la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique dont la raison est 1,05 et dont le premier terme est  \overset{ { \white{ . } } } { A_1= 837\,774,66} , nous déduisons que le montant de la dette est égal à :

837\,774,66\times\dfrac{1,05^5-1}{1,05-1}=837\,774,66\times\dfrac{1,05^5-1}{0,05}\approx4\,629\,233,842.

Par conséquent, le capital remboursé après versement de la cinquième annuité s'élève à 4 629 233,842 F.


10 points

probleme

Partie A (3,5 points)

Soit  \overset{ { \white{ o } } } { g }  la fonction définie sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[  }  par :  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}. } 

1.  Nous devons calculer la limite de  \overset{ { \white{ o. } } } { g }  en 0 et en  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to0^+}g(x). } 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}-\ln x=+\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right. \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}\right)=+\infty

{ \white{ xxi } }D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=+\infty}\,. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}g(x). } 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac4x=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2}=0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}-\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac4x=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2}=0}\end{matrix}\right. \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}\right)=-\infty

{ \white{ xxi } }D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}\,. } 

2.  Nous devons étudier les variations de  \overset{ { \white{ o } } } { g. } 

La fonction  \overset{ { \white{ o } } } { g }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[.  } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } {x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[ , } 

{ \white{ xxi } }g'(x)=\left(-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=-\dfrac1x-\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=\dfrac{-x^2-4x-3}{x^3}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=-\dfrac{1}{x^3}(x^2+4x+3)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)=-\dfrac{1}{x^3}(x^2+4x+3)}

Étudions le signe de  \overset{ { \white{ o } } } { g }  sur \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[.  } 

\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;x>0\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x^2+4x+6>0\\x^3>0\end{matrix}\right. \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;x>0}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{x^3}(x^2+4x+3)>0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;x>0}\quad\Longrightarrow\quad-\dfrac{1}{x^3}(x^2+4x+3)<0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;x>0}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g'(x)<0}}

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ o } } } { g }  est strictement décroissante sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[.  } 

3.  Dressons le tableau de variations de  \overset{ { \white{ o } } } { g. } 

 { \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\g'(x)&||&-&-&-&-&-&\\&||&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&\\g(x)&||&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow&\\&||&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}

4. a)  Montrons que l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=0 }  admet une solution unique (notée  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha } ).

La fonction g  est continue et strictement décroissante sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[.  }
Il s'ensuit que g  réalise une bijection de  \overset{ { \white{ . } } } {  ]\,0\;;\;+\infty\,[}  sur  \overset{ { \white{ . } } } { g( ]\,0\;;\;+\infty\,[)=]-\infty\;;\;+\infty[=\R.}

Or  \overset{ { \white{ . } } } {0\in\R. }

Dès lors, l'équation  \overset{ { \white{ . } } }{g(x)=0}  admet une unique solution  \overset{ { \white{ . } } }{\alpha}  sur  \overset{ { \white{ . } } }{ ]\,0\;;\;+\infty\,[.} 

4. b)  \left\lbrace\begin{matrix}g(3,6)\approx0,06166>0\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } {g(3,7)\approx-0,00811<0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad g(3,6)\times g(3,7)<0

{ \white{ xxxxi } }D'où   \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{3,6<\alpha<3,7}\,.}

5.  Nous devons en déduire le signe de  \overset{ { \white{ o } } } { g. } 

Complétons le tableau de variations de \overset{ { \white{ . } } } { g. } 

  { \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\alpha&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline&+\infty&&&&&&\\g(x)&||&\searrow&\searrow&0&\searrow&\searrow&\\&||&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)>0 }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\alpha[ } 
{ \white{ WWWWWWxWWW} }\overset{ { \white{ . } } } { g(x)<0 }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]\alpha\;;\;+\infty[. } 


Partie B (6,5 points)

Soit la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  définie par :  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1. }  

1.  Le domaine de définition de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{D_f=\,]0\;;\;+\infty[}\,. } 

2.  Nous devons calculer la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { f}  en 0. 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\text e^{-x}=\text e^{0}=1\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\phantom{xx}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x}=+\infty\phantom{xxx}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\text e^{-x}=1\phantom{}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\phantom{}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}-\dfrac{3}{x}=-\infty\phantom{}}\end{matrix}\right. \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right.iii}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\Bigg(\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1\Bigg)=-\infty

{ \white{ xxi } }D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}\,. } 

Nous en déduisons que la droite d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { x=0}  est une asymptote verticale à la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}).}

3. a)   Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>0, } 

{ \white{ xxi } }f(x)=\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{1}{\text e^{x}}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{\ln x}{\text e^{x}}-\dfrac{3}{x\,\text e^{x}}+1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\left(\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)-\dfrac{3}{x\,\text e^{x}}+1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\;f(x)=\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\left(\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)-\dfrac{3}{x\,\text e^{x}}+1}

3. b)  Nous devons calculer la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { f}  en  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty.} 

{ \white{ xxi } }  \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x }{x}=0\quad(\text{croisssances comparées)}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text e^x}=0\quad(\text{croisssances comparées)}\phantom{xx}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text e^x=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x\,\text e^x}=0\phantom{x}}\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\Bigg(\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\left(\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)-\dfrac{3}{x\,\text e^{x}}+1\Bigg)=1

{ \white{ xxi } }D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1}\,. } 

Nous en déduisons que la droite d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { y=1}  est une asymptote horizontale à la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C})}  en +infini.

4. a)  La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f}  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[.} 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>0, } 

{ \white{ xxi } }f'(x)=\left[\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1\right]' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\left[\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)\right]'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=(\text e^{-x})'\times\left(\ln x-\dfrac3x\right)+\text e^{-x}\times\left(\ln x-\dfrac3x\right)'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=-\text e^{-x}\left(\ln x-\dfrac3x\right)+\text e^{-x}\left(\dfrac1x+\dfrac{3}{x^2}\right)}
{ \white{ xxi } }\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\text e^{-x}\left(-\ln x+\dfrac3x+\dfrac1x+\dfrac{3}{x^2}\right)}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\text e^{-x}\left(-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}\right)}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\text e^{-x}\,g(x)}  \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\;f'(x)=\text e^{-x}\,g(x)}

4. b)  Déterminons le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }  suivant les valeurs de  \overset{ { \white{ . } } } { x. } 
Puisque l'exponentielle est strictement positive pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>0, }  nous savons que le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }  est le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { g(x) }  étudié dans la question 5. - Partie A.

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x)>0 }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\alpha[ } 
{ \white{ WWWWWWxWWW} }\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)<0 }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]\alpha\;;\;+\infty[. } 


4. c)  Dressons le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f. } 

 { \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\alpha&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline&||&&&&&&\\f'(x)&||&+&+&0&-&-&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&f(\alpha)&&&\\f(x)&||&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&-\infty&&&&&&1\\\hline \end{array}

5.  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\left(\dfrac{\alpha+3}{\alpha^2}\right)+1. } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } {g(\alpha)=0.  } 

\text{Or }\;g(\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad-\ln \alpha+\dfrac4\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\;g(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\ln \alpha=\dfrac4\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}}}

\text{Donc }\;\left\lbrace\begin{matrix}f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\,\left(\ln \alpha-\dfrac3\alpha\right)+1\\\overset{ { \white{ . } } } { \ln \alpha=\dfrac4\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}\phantom{WWWWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\,\left(\dfrac4\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}-\dfrac3\alpha\right)+1 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\,\left(\dfrac1\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}\right)+1  \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\,\left(\dfrac{\alpha+3}{\alpha^2}\right)+1}}

6.  Traçons la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) } dans le repère   { (O;\vec i,\vec j) }  avec  \overset{ { \white{ . } } } { ||\vec i||=1\text{ cm} }  et  \overset{ { \white{ . } } } { ||\vec j||=5\text{ cm}. } 

Remarque : { \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } {\alpha\approx3,7\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)\approx1,012.  }

Bac Sénégal 2023 série STEG : image 5
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