Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Mathématiques

Sénégal 2023

Séries S2-S2A-S4-S5

Épreuve du 1^er groupe

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

5 points

exercice 1

5 points

exercice 2

10 points

probleme

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Bac Sénégal 2023 série STEG

5 points

exercice 1

1. Nous devons montrer que les contraintes de l'entrepreneur se traduisent par le système d'inéquations $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ suivant :

$(E):\left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\;;\;y\ge0\\x+y\le7\\x+2y\le12\\3x+2y\le20\end{matrix}\right.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Les nombres de carreleurs et de peintres embauchés par jour ne peuvent pas être strictement négatifs.
Donc   $\overset{ { \white{ . } } } { x\ge0\;;\;y\ge0. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Chaque ouvrier doit disposer d'une brouette et l'entreprise en possède 7.
Donc   $\overset{ { \white{ . } } } { x+y\le7. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Les travaux de carrelage et de peintures nécessitent par jour et par ouvrier respectivement 50 000 F et 100 000 F de main-d'oeuvre.
De plus, l'entrepreneur ne peut pas dépasser son budget de 600 000 F par jour pour la main-d'oeuvre.
Donc   $\overset{ { \white{ . } } } { 50\,000x+100\,000y\le600\,000, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { x+2y\le12. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Les travaux de carrelage et de peintures nécessitent par jour et par ouvrier respectivement 150 000 F et 100 000 F de matériel.
De plus, l'entrepreneur ne peut pas dépasser son budget de 1 000 000 F par jour pour le matériel.
Donc   $\overset{ { \white{ . } } } { 150\,000x+100\,000y\le1\,000\,000, }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { 3x+2y\le20. }$

Par conséquent, les contraintes de l'entrepreneur se traduisent par le système d'inéquations $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ suivant :

$(E):\left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\;;\;y\ge0\\x+y\le7\\x+2y\le12\\3x+2y\le20\end{matrix}\right.$
2. L'entrepreneur réalise par jour un bénéfice de 30 000 F sur le travail de chaque carreleur et 40 000 F sur celui de chaque peintre.
On note $B$ le bénéfice total que l'entrepreneur réalise chaque jour.

2. a) La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est définie par $\overset{ { \white{ . } } } { B=30\,000x+40\,000y. }$

2. b) Déterminons graphiquement le nombre de carreleurs et de peintre que l'entrepreneur doit faire travailler chaque jour pour assurer un bénéfice maximal.

Soient les droites dont les équations sont les suivantes :

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_1):x=0$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_2):y=0$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_3):x+y=7$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_4):x+2y=12$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(D_5):3x+2y=20$

Représentons ces droites dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {(O\;;\;\vec i,\vec j). }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D_1)}$ coïncide avec l'axe des ordonnées.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D_2)}$ coïncide avec l'axe des abscisses.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D_3)}$ passe par les points de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { (7\,;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (0\,;\;7) }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D_4)}$ passe par les points de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { (12\,;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (0\,;\;6) }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D_5)}$ passe par les points de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { (\frac{20}{3}\,;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (0\,;\;10) }$

Chacune de ces droites délimite deux portions du plan.

Reprenons les inéquations de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$
Le système $\overset{ { \white{ . } } } {(E):\left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.}$ est vérifié par les points du premier quadrant.
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { O\,(0\;;\;0) }$ appartient à la portion de plan vérifiant l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } { x+y\le 7 }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { 0+0\le7. }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { O\,(0\;;\;0) }$ appartient à la portion de plan vérifiant l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } { x+2y\le 12 }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { 0+2\times0\le12. }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { O\,(0\;;\;0) }$ appartient à la portion de plan vérifiant l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } { 3x+2y\le 20 }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { 3\times0+2\times0\le20. }$

Par conséquent, l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient le système $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ appartient à la portion du plan délimitée par le polygone $\overset{ { \white{ _. } } } { OABCD }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(0\;;\;6),\;B\,(2\;;\;5),\; C\,(6\;;\;1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { D\,\left(\dfrac{20}{3}\;;\;0\right). }$

Nous appellerons ''région réalisable'' ce polygone $\overset{ { \white{ _. } } } { OABCD. }$

avec $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(0\;;\;6),\;B\,(2\;;\;5),\; C\,(6\;;\;1)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { D\,\left(\dfrac{20}{3}\;;\;0\right). }$

.

Déterminons les coordonnées du (ou des) points du polygone $\overset{ { \white{ _. } } } { OABCD }$ rendant la fonction bénéfice $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ maximale.
La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { B=30\,000x+40\,000y }$ est maximale si et seulement si la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { B_1=3x+4y }$ est maximale.

Construisons la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta)}$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 3x+4y=0. }$

Pour déterminer la solution du problème, nous allons déplacer parallèlement $(\Delta)$ vers le point de la région réalisable le plus éloigné de l'origine.

Nous trouvons que ce point est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { B\,(2\;;\;5). }$

Par conséquent, pour assurer un bénéfice journalier maximal, l'entrepreneur doit faire travailler chaque jour 2 carreleurs et 5 peintres.

2. c) Si $\overset{ { \white{ _. } } } {x=2}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {y=5}$ , alors $\overset{ { \white{ . } } } {B=30\,000\times2+40\,000\times5=260\,000.}$

D'où le bénéfice journalier maximal est de 260 000 F.

5 points

exercice 2

Le service d'un emprunt remboursable en annuités constantes, la première échéance un an après l'obtention du prêt, fait apparaître les renseignements suivants :

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La différence des deux premiers amortissements est : 41 888,733 F.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La différence du cinquième et du quatrième amortissement est : 48 491,43 F.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le dernier amortissement est : 1 178 832,856 F.

Notons $\overset{ { \white{ . } } } {A_k }$ le k^ième amortissement, $\overset{ { \white{ _. } } } {i }$ le taux de l'emprunt, $\overset{ { \white{ _. } } } {t }$ le taux en pourcentage de l'emprunt et $\overset{ { \white{ . } } } {a }$ l'annuité.

1. Nous devons calculer le taux d'emprunt et le premier amortissement.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_5-A_4=48\,491,43\phantom{i}\end{matrix}\right. }$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}A_5=A_2\times(1+i)^3\\A_4=A_1\times(1+i)^3 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad A_5-A_4=( A_2-A_1)\times(1+i)^3 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 48\,491,43=41\,888,733\times(1+i)^3 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad (1+i)^3=\dfrac{48\,491,43}{41\,888,733} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 1+i=\sqrt[3]{\dfrac{48\,491,43}{41\,888,733}}} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 1+i\approx1,05 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_4=(1+i)^3\times A_1\\A_5=(1+i)^3\times A_2\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{i\approx0,05}$

Par conséquent, le taux de l'emprunt est $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{t = 5 \,\%}\,.}$

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_2=1,05\times A_1\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad 1,05\times A_1-A_1=41\,888,733 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_2=1,05\times A_1\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad 0,05\times A_1=41\,888,733 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_2=1,05\times A_1\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad A_1=\dfrac{41\,888,733}{0,05} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}A_2-A_1=41\,888,733\\A_2=1,05\times A_1\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ A_1=837\,774,66}$

Par conséquent, le premier amortissement s'élève à 837 774,66 F.

2. Nous devons calculer le montant de l'annuité constante $\overset{ { \white{ . } } } { a. }$

Le dernier amortissement est : 1 178 832,856 F.

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {a=1,05\times1\,178\,832,856\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=1\,237\,774,5} }$

Donc l'annuité s'élève à 1 237 774,5 F.

3. Nous devons calculer le nombre d'annuités.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ le nombre d'annuités.

$A_n= A_1\times (1+i)^{n-1} \quad\Longrightarrow\quad 1\, 178\, 832,856=837\, 774,66\times1,05^{n-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad 1,05^{n-1}=\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad \ln1,05^{n-1}=\ln\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad (n-1)\times\ln1,05=\ln\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad n-1=\dfrac{\ln\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}}{\ln1,05}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad n=\dfrac{\ln\dfrac{1\, 178\, 832,856}{837\, 774,66}}{\ln1,05}+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A_n= A_1\times (1+i)^{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad n\approx7,999\,996}$

D'où l'emprunt sera remboursable en 8 annuités.

4. Nous devons calculer le montant de la dette.

En appliquant la formule de la somme des 8 premiers termes d'une suite géométrique dont la raison est 1,05 et dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { A_1= 837\,774,66}$ , nous déduisons que le montant de la dette est égal à :

$837\,774,66\times\dfrac{1,05^8-1}{1,05-1}=837\,774,66\times\dfrac{1,05^8-1}{0,05}\approx8\,000\,001,442$
Par conséquent, le montant de la dette s'élève à 8 000 000 F.

5. Nous devons calculer le capital remboursé après versement de la cinquième annuité.

En appliquant la formule de la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique dont la raison est 1,05 et dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { A_1= 837\,774,66}$ , nous déduisons que le montant de la dette est égal à :

$837\,774,66\times\dfrac{1,05^5-1}{1,05-1}=837\,774,66\times\dfrac{1,05^5-1}{0,05}\approx4\,629\,233,842.$
Par conséquent, le capital remboursé après versement de la cinquième annuité s'élève à 4 629 233,842 F.

10 points

probleme

Partie A (3,5 points)

Soit $\overset{ { \white{ o } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}. }$

1. Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ en 0 et en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to0^+}g(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}-\ln x=+\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right. \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}\right)=+\infty$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=+\infty}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}g(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac4x=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2}=0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}-\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac4x=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2}=0}\end{matrix}\right. \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}\right)=-\infty$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}\,. }$

2. Nous devons étudier les variations de $\overset{ { \white{ o } } } { g. }$

La fonction $\overset{ { \white{ o } } } { g }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[ , }$

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)=\left(-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=-\dfrac1x-\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=\dfrac{-x^2-4x-3}{x^3}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g'(x)}=-\dfrac{1}{x^3}(x^2+4x+3)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;g'(x)=-\dfrac{1}{x^3}(x^2+4x+3)}$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ o } } } { g }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[. }$

$\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;x>0\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x^2+4x+6>0\\x^3>0\end{matrix}\right. \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;x>0}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{x^3}(x^2+4x+3)>0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;x>0}\quad\Longrightarrow\quad-\dfrac{1}{x^3}(x^2+4x+3)<0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\;x>0}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g'(x)<0}}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ o } } } { g }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[. }$

3. Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ o } } } { g. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\g'(x)&||&-&-&-&-&-&\\&||&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&\\g(x)&||&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow&\\&||&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

4. a) Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=0 }$ admet une solution unique (notée $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ ).

La fonction g est continue et strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,0\;;\;+\infty\,[. }$
Il s'ensuit que g réalise une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { g( ]\,0\;;\;+\infty\,[)=]-\infty\;;\;+\infty[=\R.}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } {0\in\R. }$

Dès lors, l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{g(x)=0}$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } }{\alpha}$ sur $\overset{ { \white{ . } } }{ ]\,0\;;\;+\infty\,[.}$

4. b) $\left\lbrace\begin{matrix}g(3,6)\approx0,06166>0\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } {g(3,7)\approx-0,00811<0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad g(3,6)\times g(3,7)<0$

${ \white{ xxxxi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{3,6<\alpha<3,7}\,.}$

5. Nous devons en déduire le signe de $\overset{ { \white{ o } } } { g. }$

Complétons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { g. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\alpha&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline&+\infty&&&&&&\\g(x)&||&\searrow&\searrow&0&\searrow&\searrow&\\&||&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)>0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\alpha[ }$
${ \white{ WWWWWWxWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)<0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]\alpha\;;\;+\infty[. }$

Partie B (6,5 points)

Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1. }$

1. Le domaine de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{D_f=\,]0\;;\;+\infty[}\,. }$

2. Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ en 0.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\text e^{-x}=\text e^{0}=1\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\phantom{xx}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x}=+\infty\phantom{xxx}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\text e^{-x}=1\phantom{}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\phantom{}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}-\dfrac{3}{x}=-\infty\phantom{}}\end{matrix}\right. \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac4x=+\infty\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{3}{x^2}=+\infty}\end{matrix}\right.iii}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\Bigg(\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1\Bigg)=-\infty$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}\,. }$

Nous en déduisons que la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x=0}$ est une asymptote verticale à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}).}$

3. a) Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{1}{\text e^{x}}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{\ln x}{\text e^{x}}-\dfrac{3}{x\,\text e^{x}}+1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\left(\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)-\dfrac{3}{x\,\text e^{x}}+1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\;f(x)=\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\left(\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)-\dfrac{3}{x\,\text e^{x}}+1}$

3. b) Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty.}$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x }{x}=0\quad(\text{croisssances comparées)}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text e^x}=0\quad(\text{croisssances comparées)}\phantom{xx}}\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text e^x=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x\,\text e^x}=0\phantom{x}}\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\Bigg(\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\left(\dfrac{x}{\text e^{x}}\right)-\dfrac{3}{x\,\text e^{x}}+1\Bigg)=1$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1}\,. }$

Nous en déduisons que la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=1}$ est une asymptote horizontale à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C})}$ en +.

4. a) La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[.}$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left[\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)+1\right]' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\left[\text e^{-x}\,\left(\ln x-\dfrac3x\right)\right]'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=(\text e^{-x})'\times\left(\ln x-\dfrac3x\right)+\text e^{-x}\times\left(\ln x-\dfrac3x\right)'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=-\text e^{-x}\left(\ln x-\dfrac3x\right)+\text e^{-x}\left(\dfrac1x+\dfrac{3}{x^2}\right)}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\text e^{-x}\left(-\ln x+\dfrac3x+\dfrac1x+\dfrac{3}{x^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\text e^{-x}\left(-\ln x+\dfrac4x+\dfrac{3}{x^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\text e^{-x}\,g(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\;f'(x)=\text e^{-x}\,g(x)}$

4. b) Déterminons le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ suivant les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$
Puisque l'exponentielle est strictement positive pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0, }$ nous savons que le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { g(x) }$ étudié dans la question 5. - Partie A.

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)>0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\alpha[ }$
${ \white{ WWWWWWxWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)<0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]\alpha\;;\;+\infty[. }$

4. c) Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\alpha&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline&||&&&&&&\\f'(x)&||&+&+&0&-&-&\\&||&&&&&&\\\hline&||&&&f(\alpha)&&&\\f(x)&||&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&-\infty&&&&&&1\\\hline \end{array}$

5. Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\left(\dfrac{\alpha+3}{\alpha^2}\right)+1. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {g(\alpha)=0. }$

$\text{Or }\;g(\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad-\ln \alpha+\dfrac4\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\;g(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\ln \alpha=\dfrac4\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}}}$

$\text{Donc }\;\left\lbrace\begin{matrix}f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\,\left(\ln \alpha-\dfrac3\alpha\right)+1\\\overset{ { \white{ . } } } { \ln \alpha=\dfrac4\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}\phantom{WWWWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\,\left(\dfrac4\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}-\dfrac3\alpha\right)+1 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\,\left(\dfrac1\alpha+\dfrac{3}{\alpha^2}\right)+1 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{f(\alpha)=\text e^{-\alpha}\,\left(\dfrac{\alpha+3}{\alpha^2}\right)+1}}$

6. Traçons la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_f) }$ dans le repère ${ (O;\vec i,\vec j) }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { ||\vec i||=1\text{ cm} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { ||\vec j||=5\text{ cm}. }$

Remarque : ${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha\approx3,7\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)\approx1,012. }$

Publié par malou le 18-03-2024

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