Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths bac > Bac 2023 toujours : des sujets venus d'ailleurs
Bac Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient: 5
Calculatrice non autorisée
4 points
4 points
12 points
1) Simplifions l'expression du complexe
pour aboutir à sa forme algébrique:
^2-2(2+i)(3+i) \\\\&=& \dfrac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}-i(2+i)-3(1-4i+4i^2)-2(6+2i+3i-1) \\\\&=& \dfrac{6-3i-2i-1}{5}-2i+1-3(-3-4i)-2(5+5i) \\\\&=& \dfrac{5-5i}{5}-2i+1+9+12i-10-10i \\\\&=& \dfrac{5(1-i)}{5} \\\\&=& 1-i\end{matrix})
On a alors:
2) Résolvons dans
le système suivant: z'=2-5i\end{cases})
z'=2-5i\end{cases}&\iff& \begin{cases}z+iz'=1+i\\ z+2(1-i)z'=4-10i\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}z+iz'=1+i\\ iz'-2(1-i)z'=1+i-4+10i\end{cases}\\\\&\iff& \begin{cases}z=1+i-iz'\\ z'(-2+3i)=3+11i\end{cases}\\\\&\iff& \begin{cases}z=1+i-iz'\\ z'=\dfrac{(3+11i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}z=1+i-iz'\\ z'=\dfrac{6+9i-22i+33}{13}=\dfrac{39-13i}{13}\end{cases}\\\\&\iff& \begin{cases}z=1+i-i(3-i)\\ z'=3-i\end{cases}\\\\&\iff& \begin{cases}z=-2i\\ z'=3-i\end{cases}\end{matrix})
L'ensemble des solutions du système est donc:\right\rbrace})
3-a) Soit
le point d'affixe 
,alors l'affixe du point )
est:
+2} \\\\&=& \dfrac{4}{1-i}&=&\dfrac{4(1+i)}{2} \\\\&=& 2(1+i) &=& 2+2i\end{matrix})
\text{ est : }2+2i })
b) Directement:
} &=& \dfrac{i(z-3+i)}{-i^2(z+2i)}&=& \dfrac{i(z-3+i)}{z+2i}\end{matrix}\enskip\iff\enskip \boxed{z'=\dfrac{i(z-3+i)}{z+2i}})
c) Puisque}{z+2i}=\dfrac{i(z-z_B)}{z-z_A})
Donc:
}{z-z_A}\right| = \dfrac{\left|i(z-z_B)\right|}{\left|z-z_A\right|}=\dfrac{\left|i\right|\enskip\left|z-z_B\right|}{\left|z-z_A\right|}=\dfrac{1\times BM}{AM}=\dfrac{BM}{AM})
![\arg(z')\enskip\equiv\enskip \arg\left(\dfrac{i(z-z_B)}{z-z_A}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv \enskip \arg(i)+\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv\enskip \dfrac{\pi}{2} +\text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) \enskip[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\arg(z')\enskip\equiv\enskip \arg\left(\dfrac{i(z-z_B)}{z-z_A}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv \enskip \arg(i)+\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv\enskip \dfrac{\pi}{2} +\text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) \enskip[2\pi] )
Conclusion:
![\boxed{|z'|=\dfrac{BM}{AM} \enskip\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\enskip \arg(z')\enskip\equiv\enskip \text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)+\dfrac{\pi}{2} \enskip[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{|z'|=\dfrac{BM}{AM} \enskip\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\enskip \arg(z')\enskip\equiv\enskip \text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)+\dfrac{\pi}{2} \enskip[2\pi]} )
d)
L'ensemble
\in E_1 &\iff& z'\in \R^{*} \\\\&\iff& \arg(z')=k\pi\text{ ; }k\in\Z \\\\&\iff& \text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)+\dfrac{\pi}{2}=k\pi\text{ ; }k\in\Z \\\\ &\iff& \text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\text{ ; }k\in\Z\end{matrix})
On obtient:![\boxed{\text{ L'ensemble }E_1\text{ est le cercle de diamètre le segment }[AB]\text{ privé des points }A\text{ et }B }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ L'ensemble }E_1\text{ est le cercle de diamètre le segment }[AB]\text{ privé des points }A\text{ et }B } )
L'ensemble
\in E_2 &\iff& z'\in i\R^{*} \\\\&\iff& \arg(z')=\dfrac{\pi}{2} +k\pi\text{ ; }k\in\Z \enskip\enskip\text{ ou }\enskip\enskip \arg(z')=-\dfrac{\pi}{2} +k\pi\text{ ; }k\in\Z\\\\&\iff& \text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\text{ ; }k\in\Z \enskip\enskip\text{ ou }\enskip\enskip \text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)+\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\text{ ; }k\in\Z \\\\ &\iff& \text{ mes}\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)=k\pi\text{ ; }k\in\Z\end{matrix})
On obtient:\text{ privé des points }A\text{ et }B } )
L'ensemble
\in E_3 &\iff& |z'|=1 \\\\&\iff& \dfrac{BM}{AM}=1\\\\&\iff& AM=BM\end{matrix})
On obtient:![\boxed{\text{ L'ensemble }E_3\text{ est la médiatrice du segment }[AB]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ L'ensemble }E_3\text{ est la médiatrice du segment }[AB]} )
Un sac contient six boules noires, trois boules vertes et une boule rouge, donc 10 au total . Et on tire simultanément au hasard deux boules du sac .
Donc :
1) Notons A " Les deux boules tirées sont de même couleur" . Donc
=\dfrac{ {6\choose 2 }+ {3\choose 2 }}{45}=\dfrac{15+3}{45}=\dfrac{2}{5} \Longrightarrow \boxed{p(A)=\dfrac{2}{5}})
2) Notons B: "Au moins une des deux boules tirées est verte" . Donc
=\dfrac{ {3\choose 1 } {6\choose 1 }+{3\choose 1 } {1\choose 1 }+{3\choose 2 } }{45}=\dfrac{3\times 6 +3\times 1+3}{45}=\dfrac{24}{45}=\dfrac{8}{15} \Longrightarrow \boxed{p(B)=\dfrac{8}{15}})
3) Les valeurs prises par
sont : 
, alors les deux boules tirées sont de même couleur, d'où: =p(A)=\dfrac{2}{5})
, puisque +p(X=-2)=1 \Longrightarrow p(X=-2)=1-p(X=2)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{ 3}{5})
Et on remplit le tableau :
 & \dfrac{3}{5}&\dfrac{2}{5}\\ & &\\ \hline \end{array})
Remarque:
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4-a) Les valeurs prises par
sont : 
Construisons l'arbre pondéré correspondant:
=\left(\dfrac{3}{5}\right)^3=\dfrac{27}{125})
=3\times\dfrac 2 5 \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{54}{125})
=3\times\dfrac 3 5 \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{36}{125})
=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{8}{125})
Vérification:+p(Y=-2)+p(Y=2)+p(Y=6)=\dfrac{27+54+36+8}{125} = \dfrac{125}{125}=1)
Et on remplit le tableau :
&\dfrac{27}{125} & \dfrac{54}{125}&\dfrac{36}{125}&\dfrac{8}{125}\\ && & &\\ \hline \end{array})
b) Calculons l'espérance mathématique)
de :
&=&\displaystyle\sum_{i=0}^3y_i\,p(Y=y_i) \\&=& -6\times\dfrac{27}{125}-2\times\dfrac{54}{125}+2\times\dfrac{36}{125}+6\times\dfrac{8}{125}\\&=&-\dfrac{6}{5}} \end{matrix})
=-\dfrac{6}{5}})
c) La fonction de répartition
de est définie de 
dans ![[0;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;1])
par =p(Y\leq x))
Donc, d'après la loi de probabilité de trouvé en 4-a), on a:
Si![x\in]-\infty;-6[\text{ : }F(x)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]-\infty;-6[\text{ : }F(x)=0)
Si=\dfrac{27}{125})
Si=\dfrac{27}{125}+\dfrac{54}{125}=\dfrac{81}{125})
Si=\dfrac{81}{125}+\dfrac{36}{125}=\dfrac{117}{125})
Si=1)
Conclusion:
![\boxed{\text{ La fonction de répartition }F\text{ est définie par: }F(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x\in]-\infty;-6[ \\\\ \dfrac{27}{125}&\text{ si }x\in[-6;-2[ \\\\ \dfrac{81}{125}&\text{ si }x\in[-2;2[ \\\\ \dfrac{117}{125}&\text{ si }x\in[2;6[ \\\\ 1 &\text{ si }x\in[6;+\infty[\end{cases}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ La fonction de répartition }F\text{ est définie par: }F(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x\in]-\infty;-6[ \\\\ \dfrac{27}{125}&\text{ si }x\in[-6;-2[ \\\\ \dfrac{81}{125}&\text{ si }x\in[-2;2[ \\\\ \dfrac{117}{125}&\text{ si }x\in[2;6[ \\\\ 1 &\text{ si }x\in[6;+\infty[\end{cases}})
Partie A:
\text{ : }y'-2y=2(e^{2x}-1))
1) Soit
la fonction définie et dérivable sur par =axe^{2x}+b\text{ , avec }a,b\in\R )
&\iff& \forall x\in\R\text{ : }g'(x)-2g(x)=2(e^{2x}-1) \\\\&\iff& \forall x\in\R\text{ : }(axe^{2x}+b)'-2(axe^{2x}+b)=2(e^{2x}-1) \\\\&\iff& \forall x\in\R\text{ : }ae^{2x}+2axe^{2x}-2axe^{2x}-2b=2e^{2x}-2 \\\\&\iff& \forall x\in\R\text{ : }ae^{2x}-2b=2e^{2x}-2 \\\\&\iff& \begin{cases} a=2 \\ -2b=-2 \end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases} \end{matrix} )
Conclusion:=2xe^{2x}+1 } )
2) Soit
&\iff& \forall x\in\R\text{ : }h'(x)-2h(x)=2(e^{2x}-1) \\\\&\iff& \forall x\in\R\text{ : }((z(x)+g(x))'(x)-2(z(x)+g(x))=2(e^{2x}-1) \\\\ &\iff& \forall x\in\R\text{ : }z'(x)+g'(x)-2z(x)-2g(x)=2(e^{2x}-1) \\\\ &\iff& \forall x\in\R\text{ : }z'(x)-2z(x)+\underbrace{g'(x)-2g(x)}_{2(e^{2x}-1)}=2(e^{2x}-1) \\\\&\iff&\forall x\in\R\text{ : }z'(x)-2z(x)=0 \\\\&\iff& \boxed{ z \text{ est une solution de }(E')\text{ : }y'-2y=0 } \end{matrix} )
3))
est une équation diférentielle de premier ordre sans second membre, alors directement:
\text{ sont les fonctions de la forme }x\mapsto Ae^{2x}\text{ , }A\in\R })
est solution de , c'est-à-dire: =Ae^{2x} \text{ , }A\in\R)
, si et seulement si 
est solution de )
, donc:
=g(x)+z(x)=2xe^{2x}+1+Ae^{2x}\text{ , }A\in\R \enskip\enskip \Longrightarrow \enskip\enskip \forall x\in\R\text{ : } h(x)=(2x+A)e^{2x}+1\text{ ; }A \in\R )
On conclut que:
\text{ sont les fonctions de la forme }x\mapsto (2x+A)e^{2x}+1\text{ , }A\in\R })
4) La fonction
est une solution de avec =0)
, donc:
Il existe
tel que =(2x+A)e^{2x}+1)
, déterminons la constante 
=0 \Longrightarrow (0+A)e^0+1=0 \Longrightarrow A+1=0 \Longrightarrow A=-1 )
 \text{ qui vérifie }k(0)=0 \text{ s'écrit : }\forall x\in\R\text{ , } k(x)=(2x-1)e^{2x}+1 })
Partie B:
=(2x-1)e^{2x}+1)
1-a) Calculons la limite en
 = \lim_{x\to -\infty} (2x-1)e^{2x}+1 = \lim_{x\to -\infty} 2xe^{2x}-e^{2x}+1\underbrace{=}_{X=2x} \lim_{X\to -\infty} Xe^{X}-e^{X}+1=0-0+1=1 )
 =1})
Interprétation graphique:
\text{ d'équation } y=1 \text{ est une asymptote horizontale à la courbe }(\mathscr{C}) })
b) Etudions le signe de-y\text{ avec }y=1\text{ l'équation de la droite }(D)\text{ : })
-y&=&(2x-1)e^{2x}+1-1 &=& (2x-1)e^{2x} \end{matrix})
Or, pour tout réel
donc le signe de -y)
est celui de 
![\forall x\in \left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[\text{ : }2x-1<0 \enskip\enskip\Longrightarrow\enskip\enskip \forall x\in \left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[\text{ : }f(x)-y<0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in \left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[\text{ : }2x-1<0 \enskip\enskip\Longrightarrow\enskip\enskip \forall x\in \left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[\text{ : }f(x)-y<0 )
Si=y)
![\forall x\in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\text{ : }2x-1>0 \enskip\enskip\Longrightarrow\enskip\enskip \forall x\in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\text{ : }f(x)-y>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\text{ : }2x-1>0 \enskip\enskip\Longrightarrow\enskip\enskip \forall x\in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\text{ : }f(x)-y>0 )
On en déduit que:
![\boxed{\begin{matrix} \bullet & (\mathscr{C}) \text{ est en dessous de la droite }(D) \text{ sur l'intervalle }\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[ \\ \bullet & (\mathscr{C}) \text{ coupe la droite }(D)\text{ au point } A\left(\dfrac{1}{2};1\right) \\ \bullet & (\mathscr{C}) \text{ est au-dessus de la droite }(D) \text{ sur l'intervalle }\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[ \end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\begin{matrix} \bullet & (\mathscr{C}) \text{ est en dessous de la droite }(D) \text{ sur l'intervalle }\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[ \\ \bullet & (\mathscr{C}) \text{ coupe la droite }(D)\text{ au point } A\left(\dfrac{1}{2};1\right) \\ \bullet & (\mathscr{C}) \text{ est au-dessus de la droite }(D) \text{ sur l'intervalle }\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[ \end{matrix}} )
2) Calculons la limite en
 = \lim_{x\to +\infty} (2x-1)e^{2x}+1 = (+\infty)\times(+\infty)+1=+\infty )
 =+\infty})
Calculons alors}{x}\text{ : })
}{x} = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{(2x-1)e^{2x}+1}{x} = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x-1}{x}e^{2x}+\dfrac{1}{x}=2\times (+\infty) + 0 = +\infty )
}{x} =+\infty})
Interprétation graphique:
 \text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de }+\infty })
3-a) On sait que, d'après la partie A), que
est une solution de l'équation différentielle , alors :
-2f(x)=2e^{2x}-2 \text{ , donc : })
&=&2f(x)+2e^{2x}-2 &=& 2(2x-1)e^{2x} +2e^{2x} &=& 4xe^{2x} \end{matrix})
=4xe^{2x}})
Or, pour tout réel \text{ est celui de }x\text{ , d'où : })
![\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[ \text{ : } & f'(x)<0 \\ f'(0)=0 &\\ \forall x\in ]0;+\infty[ \text{ : } &f'(x)>0 \end{matrix} \enskip\enskip\Longrightarrow \enskip\enskip \boxed{ \begin{matrix}f\text{ est strictement décroissante sur } ]-\infty;0[\\f \text{ admet un minimum en }0 \\ f\text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;0[ \text{ : } & f'(x)<0 \\ f'(0)=0 &\\ \forall x\in ]0;+\infty[ \text{ : } &f'(x)>0 \end{matrix} \enskip\enskip\Longrightarrow \enskip\enskip \boxed{ \begin{matrix}f\text{ est strictement décroissante sur } ]-\infty;0[\\f \text{ admet un minimum en }0 \\ f\text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \end{matrix}} )
Et on dresse le tableau de variations de la fonction
On rappelle que=k(0)=0)
(d'après la dernière question de la partie A ))
 & & - & \barre{0} &+& \\ \hline & 1&&&&+\infty \\ f & & \searrow & & \nearrow & \\ & & &0&& \\ \hline \end{array}} )
b) La fonction admet un minimum en \geq f(0)=0)
\geq 0 })
4) Voir le graphique à la fin de la correction du problème s.v.p.
Partie C:
1-a) On a :)\text{ d}x=\displaystyle\int_0^{\frac 1 2} -(2x-1)e^{2x}\text{ d}x)
Procédons par une intégration par parties, posons pour cela:
=-(2x-1) \\ v'(x)=e^{2x} \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} u'(x)=-2 \\v(x)=\dfrac{1}{2} e^{2x} \end{cases})
Alors :
![\begin{matrix} I&=& \displaystyle\int_0^{\frac 1 2} -(2x-1)e^{2x}\text{ d}x &=& \displaystyle \int_0^{\frac 1 2 } u(x)v'(x)\text{ d}x \\\\&=& \left[u(x)v(x)\right]_0^{\frac 1 2 }-\displaystyle\int_0^{\frac 1 2 } u'(x)v(x)\text{ d}x} &=&\left[-\dfrac{1}{2}e^{2x}(2x-1)\right]_0^{\frac 1 2 }-\displaystyle\int_0^{\frac 1 2 } e^{2x}\text{ d}x} \\\\&=&-\dfrac{1}{2}+\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\frac 1 2 } &=&-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}(e-1) \\\\&=& \dfrac{1}{2} (e-2) \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} I&=& \displaystyle\int_0^{\frac 1 2} -(2x-1)e^{2x}\text{ d}x &=& \displaystyle \int_0^{\frac 1 2 } u(x)v'(x)\text{ d}x \\\\&=& \left[u(x)v(x)\right]_0^{\frac 1 2 }-\displaystyle\int_0^{\frac 1 2 } u'(x)v(x)\text{ d}x} &=&\left[-\dfrac{1}{2}e^{2x}(2x-1)\right]_0^{\frac 1 2 }-\displaystyle\int_0^{\frac 1 2 } e^{2x}\text{ d}x} \\\\&=&-\dfrac{1}{2}+\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\frac 1 2 } &=&-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}(e-1) \\\\&=& \dfrac{1}{2} (e-2) \end{matrix})
})
b) On a vu que, sur l'intervalle![\left]-\infty;\dfrac 12\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\infty;\dfrac 12\right])
, la droite horizontale \text{ : }y=1)
est au dessus de la courbe )
. (avec intersection en 
)
Et puisque![\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\subset \left]-\infty;\dfrac 12\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\subset \left]-\infty;\dfrac 12\right])
, donc ![\forall x\in \left[0;\dfrac 1 2\right] \text{ : }1-f(x)\geq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in \left[0;\dfrac 1 2\right] \text{ : }1-f(x)\geq 0)
De plus:)\text{ d}x)
Alors:
\text{ , la courbe }(\mathscr{C}) \text{ , } \\ \text{l'axe des ordonnées et la droite verticale d'équation } x=\dfrac 12 \text{ , en unité d'aire }\end{matrix}} )
2) Pour ne pas refaire un calcul déjà fait, on tire de la question 1-a) une primitive de la fonctione^{2x})
e^{2x}\text{ d}x &=&-\dfrac{1}{2}e^{2x}(2x-1)-\displaystyle\int e^{2x}\text{ d}x} &=&-\dfrac{1}{2}e^{2x}(2x-1)+\dfrac{1}{2}e^{2x} &=&\dfrac{1}{2}e^{2x}(2-2x) &=&e^{2x}(1-x) \end{matrix})
Donc une primitive de la fonctione^{2x})
est la fonction =e^{2x}(x-1))
On en déduit:
![\begin{matrix}J&=&\displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)e^{2x}\text{ d}x &=& \displaystyle \left[e^{2x}(x-1) \right]_{-1}^{0}&=& -1-(-2e^{-2})&=&2e^{-2}-1 \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}J&=&\displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)e^{2x}\text{ d}x &=& \displaystyle \left[e^{2x}(x-1) \right]_{-1}^{0}&=& -1-(-2e^{-2})&=&2e^{-2}-1 \end{matrix})
3) On a :^2 e^{4x}\text{ d}x)
Procédons par une intégration par parties, posons pour cela:
=(2x-1)^2 \\ v'(x)=e^{4x} \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} u_1'(x)=2(2x-1)'(2x-1)=4(2x-1) \\v(x)=\dfrac{1}{4} e^{4x} \end{cases})
Alors :
![\begin{matrix} K&=& \displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)^2 e^{4x}\text{ d}x &=& \displaystyle \int_{-1}^0 u_1(x)v'(x)\text{ d}x \\\\&=& \left[u_1(x)v(x)\right]_{-1}^0-\displaystyle\int_{-1}^0 u_1'(x)v(x)\text{ d}x} &=&\left[\dfrac{1}{4}e^{4x}(2x-1)^2\right]_{-1}^0-\displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)e^{4x}\text{ d}x} \\\\&=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)e^{4x}\text{ d}x} \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} K&=& \displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)^2 e^{4x}\text{ d}x &=& \displaystyle \int_{-1}^0 u_1(x)v'(x)\text{ d}x \\\\&=& \left[u_1(x)v(x)\right]_{-1}^0-\displaystyle\int_{-1}^0 u_1'(x)v(x)\text{ d}x} &=&\left[\dfrac{1}{4}e^{4x}(2x-1)^2\right]_{-1}^0-\displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)e^{4x}\text{ d}x} \\\\&=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)e^{4x}\text{ d}x} \end{matrix})
Procédons par une seconde intégration par parties, et posons:
=2x-1 \\ v'(x)=e^{4x} \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} u_2'(x)=2 \\v(x)=\dfrac{1}{4} e^{4x} \end{cases})
Alors :
![\begin{matrix} K&=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)e^{4x}\text{ d}x} &=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\displaystyle \int_{-1}^0 u_2(x)v'(x)\text{ d}x \\\\&=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\left[u_2(x)v(x)\right]_{-1}^0+\displaystyle\int_{-1}^0 u_2'(x)v(x)\text{ d}x} &=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\left[\dfrac{1}{4}e^{4x}(2x-1)\right]_{-1}^0+\displaystyle\int_{-1}^0 \dfrac{1}{2}e^{4x}\text{ d}x} \\\\&=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\left(-\dfrac 1 4 + \dfrac 3 4 e^{-4}\right) +\dfrac{1}{2} \left[ \dfrac 1 4 e^{4x} \right]_{-1}^0 &=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}+\dfrac 1 4 - \dfrac 3 4 e^{-4} +\dfrac{1}{8} \left(1 -e^{-4} \right) \\\\&=& \dfrac{1}{2}-3e^{-4} +\dfrac{1}{8} -\dfrac 18 e^{-4} &=& \dfrac{5}{8}-\dfrac{25}{8}e^{-4} \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} K&=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\displaystyle\int_{-1}^0 (2x-1)e^{4x}\text{ d}x} &=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\displaystyle \int_{-1}^0 u_2(x)v'(x)\text{ d}x \\\\&=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\left[u_2(x)v(x)\right]_{-1}^0+\displaystyle\int_{-1}^0 u_2'(x)v(x)\text{ d}x} &=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\left[\dfrac{1}{4}e^{4x}(2x-1)\right]_{-1}^0+\displaystyle\int_{-1}^0 \dfrac{1}{2}e^{4x}\text{ d}x} \\\\&=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}-\left(-\dfrac 1 4 + \dfrac 3 4 e^{-4}\right) +\dfrac{1}{2} \left[ \dfrac 1 4 e^{4x} \right]_{-1}^0 &=& \dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}e^{-4}+\dfrac 1 4 - \dfrac 3 4 e^{-4} +\dfrac{1}{8} \left(1 -e^{-4} \right) \\\\&=& \dfrac{1}{2}-3e^{-4} +\dfrac{1}{8} -\dfrac 18 e^{-4} &=& \dfrac{5}{8}-\dfrac{25}{8}e^{-4} \end{matrix})
On obtient finalement:})
4-a) Soit
le domaine des points du plan tels que )
.
Alors le volume
du solide de révolution engendré par la rotation de autour de l'axe des abscisses est en unité de volume:
)^2 \text{ d}x\enskip \enskip(uv) )
Calcul:
)^2 \text{ d}x &=& \pi \displaystyle \int_{-1}^0 ((2x-1)e^{2x}+1)^2 \text{ d}x \\\\&=& \pi \displaystyle \int_{-1}^0 \left((2x-1)e^{2x})^2+2(2x-1)e^{2x}+1\right) \text{ d}x &=& \pi \displaystyle \left(\underbrace{\int_{-1}^0 (2x-1)^2e^{4x}\text{ d}x}_{=K}+2\underbrace{\int_{-1}^0(2x-1)e^{2x}\text{ d}x}_{=J}+\underbrace{\int_{-1}^0 \text{ d}x}_{=1}\right) \\\\&=& \pi\left(K+2J+1\right)\enskip (uv) \end{matrix})
On conclut alors que:\enskip\enskip (uv) })
b) On a en unité de volume (uv):
&=& \pi\left(\dfrac{5}{8}-\dfrac{25}{8}e^{-4}+2(2e^{-2}-1)+1\right) &=& \pi\left(\dfrac{5}{8}-\dfrac{25}{8}e^{-4}+4e^{-2}-1\right)&=& \pi\left(-\dfrac{3}{8}-\dfrac{25}{8}e^{-4}+4e^{-2}\right) \enskip\enskip (uv)\end{matrix} )
Or, l'unité graphique est = 8\text{ cm}^3)
On obtient:
 \enskip\enskip (uv) &=& 8\pi\left(-\dfrac{3}{8}-\dfrac{25}{8}e^{-4}+4e^{-2}\right) \enskip\enskip (\text{ cm}^3) \\\\&=& \pi\left(-3-25e^{-4}+32e^{-2}\right) \enskip\enskip (\text{ cm}^3) \end{matrix})
\enskip\enskip\text{ cm}^3 })
Partie D:
\text{ : }\begin{cases} x(t)=\dfrac{\ln t}{2} \\ y(t)=1-\dfrac{1+\ln t}{t} \end{cases}\text{ ; }t\geq 1)
1) On a, pour tout=\dfrac{\nl t}{2} \Longrightarrow \ln t=2x(t) \Longrightarrow t=e^{2x(t)} )
On écrit alors
en fonction de 
=1-\dfrac{1+\ln t}{t}=1-\dfrac{1+2x(t)}{e^{2x(t)}}=1-(1+2x(t))e^{-2x(t)})
Or:=\dfrac{\ln t}{2} \geq 0 )
D'où:
\text{ s'écrit: }y(x)=1-(1+2x)e^{-2x}\enskip ;\enskip x\geq 0 })
2) On remarque que:
&=&1-(1+2x)e^{-2x}&=&(-2x-1)e^{-2x}+1 &=& (2(-x)-1)e^{2(-x)}+1&=& f(-x)\end{matrix})
Or,
On en déduit que:
![\boxed{(\Gamma)\text{ se déduit par symétrie orthogonale d'axe l'axe des ordonnées de la partie de la courbe }(\mathscr{C}) \text{ située sur } ]-\infty,0] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{(\Gamma)\text{ se déduit par symétrie orthogonale d'axe l'axe des ordonnées de la partie de la courbe }(\mathscr{C}) \text{ située sur } ]-\infty,0] } )
Le graphique:
Bac Mathématiques
Burkina Faso 2023
Série D
2ème tour
Coefficient: 5
Calculatrice non autorisée
4 points
exercice 1
4 points
exercice 2
12 points
probleme
exercice 1
1) Simplifions l'expression du complexe
On a alors:
2) Résolvons dans
L'ensemble des solutions du système est donc:
3-a) Soit
b) Directement:
c) Puisque
Donc:
Conclusion:
d)
L'ensemble
On obtient:
L'ensemble
On obtient:
L'ensemble
On obtient:
exercice 2
Un sac contient six boules noires, trois boules vertes et une boule rouge, donc 10 au total . Et on tire simultanément au hasard deux boules du sac .
Donc :
1) Notons A " Les deux boules tirées sont de même couleur" . Donc
2) Notons B: "Au moins une des deux boules tirées est verte" . Donc
3) Les valeurs prises par
Et on remplit le tableau :
Remarque:
Cliquez pour afficher4-a) Les valeurs prises par
Construisons l'arbre pondéré correspondant:
Vérification:
Et on remplit le tableau :
b) Calculons l'espérance mathématique
c) La fonction de répartition
Donc, d'après la loi de probabilité de
Si
Si
Si
Si
Si
Conclusion:
probleme
Partie A:
1) Soit
Conclusion:
2) Soit
3)
On conclut que:
4) La fonction
Il existe
Partie B:
1-a) Calculons la limite en
Interprétation graphique:
b) Etudions le signe de
Or, pour tout réel
Si
On en déduit que:
2) Calculons la limite en
Calculons alors
Interprétation graphique:
3-a) On sait que, d'après la partie A), que
Or, pour tout réel
Et on dresse le tableau de variations de la fonction
On rappelle que
b) La fonction
4) Voir le graphique à la fin de la correction du problème s.v.p.
Partie C:
1-a) On a :
Procédons par une intégration par parties, posons pour cela:
Alors :
b) On a vu que, sur l'intervalle
Et puisque
De plus:
Alors:
2) Pour ne pas refaire un calcul déjà fait, on tire de la question 1-a) une primitive de la fonction
Donc une primitive de la fonction
On en déduit:
3) On a :
Procédons par une intégration par parties, posons pour cela:
Alors :
Procédons par une seconde intégration par parties, et posons:
Alors :
On obtient finalement:
4-a) Soit
Alors le volume
Calcul:
On conclut alors que:
b) On a en unité de volume (uv):
Or, l'unité graphique est
On obtient:
Partie D:
1) On a, pour tout
On écrit alors
Or:
D'où:
2) On remarque que:
Or,
On en déduit que:
Le graphique:
ceci n'est qu'un extrait
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