Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques

Congo-Brazzaville 2023

Série C

Durée : 4h
Coefficient: 5
Documents autorisés : Néant
4 points

exercice 1

Dans cet exercice, les deux premières questions sont indépendantes de la troisième question.

1) On donne les nombres $a=960\text{ et }b=528\text{ ;}$

En utilisant une composition de chaque nombre en produit de facteurs premiers, montrer que le $PGCD(a;b)=48$ .

2) On veut déterminer l'ensemble des couples $(u;v)$ d'entiers relatifs tels que:

$(E)\text{ : }au+bv=PGCD(a;b)\text{ ;}$

a) Écrire l'équation $(E)$ .

b) Vérifier que le couple $(u_0;v_0)=(5;-9)$ est solution de l'équation $(E)$ .

c) Montrer que l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation $(E')\text{ : }20u+11v=1$ .

d) Résoudre l'équation $(E'')\text{ : }20u+11v=0$ .

e) Déduire de ce qui précède, les solutions de l'équation $(E)$ .

3-a) Montrer que l'équation $(E_1)\text{ : }18x-31\equiv 0[7]$ est équivalente à $(E_2)\text{ : } 4x\equiv 3[7]$ .

b) En utilisant le tableau ci-dessous; déterminer l'ensemble des solutions de $(E_1)$ .

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}\hline x &0&1&2&3&4&5&6\\\hline 4x &0&4&1&5&2&6&3 \\\hline \end{array}$

8 points

exercice 2

Dans le plan orienté $(P)$ , on considère un segment $[AI]$ horizontal tel que $AI=4\text{ cm. }$ Soit $B$ le point du plan tel que $IAB$ soit un triangle rectangle et isocèle en $I$ et de sens direct.

On désigne par $(C)$ le cercle de centre $I$ , de rayon $AI$ . On désigne par $O$ le milieu du segment $[AB]$ . La demi-droite $[OI)$ coupe $(C)$ en $D$ .

1) Faire la figure.

2) Soit $f$ la similitude plane directe telle que $f(A)=A\text{ et }f(I)=O$ . Déterminer son rapport $k$ et une mesure $\theta$ de son angle.

3) Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ sur le segment $[BD]$ .

a) Montrer que le triangle $AHD$ est rectangle et isocèle en $H$ .

b) En déduire que $f(D)=H$ .

4) Soit $K$ le point diamétralement opposé à $A$ sur le cercle $(C)$ et $F$ le point du plan tel que $ABKF$ soit un carré de sens direct.

Démontrer que $f(K)=B\text{ et } f(F)=I$ . On appelle $L$ le milieu de $[BK]$ .

5) Soit $g$ la similitude plane indirecte telle que $g(J)=H\text{ et }g(H)=A$ où $J$ est le milieu de $[AD]$ .

a) Déterminer le rapport $k_1$ de $g$ .

b) On désigne par $\Omega$ le centre de $g$ . Démontrer que $g\circ g$ est une homothétie dont on précisera le rapport.

c) Déterminer $g\circ g(J)$ puis en déduire que $\Omega=D$ .

d) Déterminer l'axe $(\Delta)$ de $g$ .

6) Soit $(p)$ la parabole de foyer $K$ et dont la tangente en $F$ est la droite $(BI)$ , d'axe focal $(BK)$ .

a) Préciser sa directrice $(D)$ et son sommet .

b) La perpendiculaire en $K$ à la droite $(KA)$ coupe la droite $(AB)$ en $Q$ . Le cercle de centre $Q$ et de rayon $QK$ coupe la demi-droite $[QA)$ en $M$ . La droite parallèle à la droite $(BK)$ passant par $M$ coupe la demi-droite $[KA)$ en $M_0$ . Montrer que $M_0$ est un point de $(p)$ , on pourra utiliser la nature du triangle $KM_0M$ .

c) Achever la construction de $(p)$ .

5 points

exercice 3

1) On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par: $f(x)=\dfrac{6\ln(x+3)}{x+3}$ .

a) Montrer que, pour tout $x\in[0;+\infty[\text{ , }f'(x)=\dfrac{6[1-\ln(x+3)]}{(x+3)^2}$ .

Puis montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$ .

b) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ , puis dresser le tableau de variation de $f$ .

2) On définit, pour tout entier naturel $n$ , la suite $(u_n)$ par: $u_n=\displaystyle\int_{n}^{n+1} f(x)\text{ d}x$ .

a) Montrer que pour tout entier naturel $n\text{ , si }n\leq x\leq n+1\text{ , alors } f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)$ .

b) Montrer que, pour tout entier naturel $n\text{ , } f(n+1)\leq u_n\leq f(n)$ .

c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$ .

3) Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\ln ^2(x+3)$ .

a) Démontrer que, pour tout $x\in [0;+\infty[\text{ , }g'(x)=\dfrac{1}{3} f(x)$ .

b) On pose, pour tout entier naturel $n\text{ , }I_n=\displaystyle \int_{0}^n f(x)\text{ d}x$ .

Démontrer que, pour tout entier naturel $n\text{ , }I_n=3[\ln^2(n+3)-\ln^2(3)]$ .

c) On pose, pour tout entier naturel non nul $n\text{ , }S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{n-1}$

Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n\text{ , }S_n=I_n$ .

3 points

exercice 4

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 3 boules blanches et 7 boules noires.

On effectue deux tirages successifs sans remettre la première boule tirée dans l'urne.

On note:

$B_1$ l'événement: "la première boule tirée est blanche" .

$B_2$ l'événement: "la deuxième boule tirée est blanche" .

Soit $X$ la variable aléatoire qu'à deux tirages associe le nombre des boules blanches tirées.

1) Compléter l'arbre de probabilités suivant:

Bac Congo-Brazzaville 2023 série C : image 1

2) Déterminer l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs prises par $X$ .

3) Démontrer que $P(X=0)=\dfrac{7}{15}$ .

4) Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

5) Calculer l'espérance mathématique de $X$ .

Correction

Bac Congo-Brazzaville 2023 série C

4 points

exercice 1

1. On donne les nombres $\overset{ { \white{ _. } } } { a=960 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b=528 }$ .

En utilisant une composition de chaque nombre en produit de facteurs premiers, nous devons montrer que le $\overset{ { \white{ . } } } { PGCD(a;b)=48}$ .

En effet, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} a=960=2^6\times3\times5\\b=528=2^4\times3\times11 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad PGCD(a;b)=2^4\times3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} a=960=2^6\times3\times5\\ \end{cases}i}\quad\Longrightarrow\quad PGCD(a;b)=16\times3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} a=960=2^6\times3\times5\\\end{cases}i}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{PGCD(a;b)=48}}$

2. On veut déterminer l'ensemble des couples $\overset{ { \white{ _. } } } { (u;v) }$ d'entiers relatifs tels que:

$\overset{ { \white{ _. } } } {(E):au+bv=PGCD(a;b) }$
2. a) Nous devons écrire l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

Rappelons le théorème de Bachet-Bézout :

${ \white{ xxi } }$ Soient $\overset{ { \white{. } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { b }$ , deux entiers relatifs non nul.
${ \white{ xxi } }$ Il existe un couple d'entiers relatifs $\overset{ { \white{ _. } } } { (u\;;\;v) }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { au+bv=PGCD(a,b) }$ .

Dans cet exercice, $\overset{ { \white{ _. } } } { a=960,\,b=528 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { PGCD(a;b)=48 }$ .
Donc l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(E):960u+528v=48} }$

2. b) Nous devons vérifier que le couple $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_0\;;\;v_0)=(5\;;\;-9) }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .
En effet,

${ \white{ xxi } }$ $960\,u_0+528\,v_0=960\times5+528\times(-9) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 960\,u_0+528\,v_0}=4800-4752 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 960\,u_0+528\,v_0}=48 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{960\,u_0+528\,v_0=48}$

Par conséquent, le couple $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_0\;;\;v_0)=(5\;;\;-9) }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

2. c) Nous devons montrer que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ est équivalente à l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E')\text{ : }20u+11v=1 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $(E):960u+528v=48\quad\Longleftrightarrow\quad (E):48\times20u+48\times 11v=48 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (E):960u+528v=48}\quad\Longleftrightarrow\quad (E):48(20u+11v)=48 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (E):960u+528v=48}\quad\Longleftrightarrow\quad (E'):20u+11v=1 }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(E):960u+528v=48\quad\Longleftrightarrow\quad (E'):20u+11v=1 } }$ .

2. d) Nous devons résoudre l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E'')\text{ : }20u+11v=0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $20u+11v=0\quad\Longleftrightarrow\quad 20u=-11v$

Donc l'entier 20 divise le produit $\overset{ { \white{ . } } } { 11v\,. }$
Or 20 et 11 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 20 divise $\overset{ { \white{ . } } } { v }$
Dès lors, il existe un entier relatif $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{v=20k}\,, }$

De plus,

$\begin{cases}20u=-11v\\v=20k\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad20u=-11\times20k \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\begin{cases}20u=-11v\\\end{cases}}\quad\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{ u=-11k} }$

Donc, il existe un entier relatif $\overset{ { \white{ _. } } } { k}$ tel que $\begin{cases}u=-11k\\v=20k\end{cases}.$

Montrons que le couple $\overset{ { \white{ . } } } { (-11k\;;\; 20k) }$ est solution de $\overset{ { \white{ . } } } {(E'') }$ pour tout entier relatif $\overset{ { \white{ . } } } {k\,. }$
En effet, $\overset{{\white{.}}}{20\times(-11k)+11\times20k=-220k+220k=0.}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E'') }$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(-11k\,;\,20k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

2. e) Nous devons déduire de ce qui précède, les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

La solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { (u\,;\;v)=(u_0-11k\;;\;v_0+20k) }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { k\in \Z }$ .

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(5-11k\,;\,-9+20k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

3. a) Nous devons montrer que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_1):18x-31\equiv 0\,[7] }$ est équivalente à $\overset{ { \white{ . } } } { (E_2)\text{ : } 4x\equiv 3\,[7] }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { 18x-31\equiv 0\,[7]\quad\Longleftrightarrow\quad 18x\equiv 31\,[7] }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 18[7]=4 }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } {18=2\times 7+ 4 }$
et $\overset{ { \white{ _. } } } { 31[7]=3 }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } {31=4\times 7+ 3 }$ .

Donc en réduisant l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { 18x\equiv 31\,[7] }$ aux restes, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } {4x\equiv3\,[7] }$

Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_1):18x-31\equiv 0\,[7] }$ est équivalente à $\overset{ { \white{ . } } } { (E_2)\text{ : } 4x\equiv 3\,[7] }$ .

3. b) En utilisant le tableau ci-dessous, nous devons déterminer l'ensemble des solutions de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1) }$ .

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}\hline x &0&1&2&3&4&5&6\\\hline 4x &0&4&1&5&2&6&3 \\\hline \end{array}$

La dernière colonne du tableau nous indique que l'ensemble des solutions de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1) }$ est l'ensemble des entiers égaux à 6 modulo 7.

Par conséquent, l'ensemble des solutions de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overset{{\white{_.}}}{\boxed{S=\lbrace6+7k\,;\,k\in\Z\rbrace}} }$ .

8 points

exercice 2

Dans le plan orienté $\overset{ { \white{ _. } } } { (P) }$ , on considère un segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AI] }$ horizontal tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { AI=4\text{ cm } }$ .
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ le point du plan tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { IAB }$ soit un triangle rectangle et isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et de sens direct.
On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ le cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ , de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { AI }$ .
On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ le milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .
La demi-droite $\overset{ { \white{ _. } } } { [OI) }$ coupe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ .

1. Ci-dessous la figure correspondante.

Bac Congo-Brazzaville 2023 série C : image 2

2. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ la similitude plane directe telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(A)=A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { f(I)=O }$ .
Nous devons déterminer son rapport $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { k }$ et une mesure $\overset{ { \white{ _. } } } { \theta }$ de son angle.

Le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { IAB }$ est rectangle et isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ .
Dès lors, dans ce triangle, nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{BAI}=\widehat{IBA}=\dfrac{\pi}{4} }$

Par définition de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}f(A)=A\\f(I)=O \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad AO=k\,AI \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(A)=A \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad k=\dfrac{AO}{AI} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(A)=A \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad k=\cos\left(\widehat{OAI}\right)=\cos\left(\widehat{BAI}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(A)=A \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad k=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(A)=A \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k =\dfrac{\sqrt 2}{2}}}$

L'angle de la similitude $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est l'angle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left (\overrightarrow{AI}\;;\;\overrightarrow{AO} \right)=-\dfrac{\pi}{4} \,[2\pi] }$ .
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\theta=-\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]} }$ .

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ le pied de la hauteur issue de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ sur le segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [BD] }$ .

3. a) Nous devons montrer que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD }$ est rectangle et isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ .

Bac Congo-Brazzaville 2023 série C : image 5

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ .

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ est le pied de la hauteur issue de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ sur le segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [BD] }$ .
Dès lors, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AH) }$ est perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (BD) }$ .
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ _. } } } { \left (\overrightarrow{HD}\;;\;\overrightarrow{HA} \right)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] }$
D'où le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ .

Rappelons la propriété suivante :
${ \white{ xxi } }$ Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit.

Dans le cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { (C), }$ l'angle inscrit $\widehat{ADB}$ et l'angle au centre $\widehat{AIB }$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$ .

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\widehat{AIB} =2\times \widehat{ADB} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\pi}{2}=2\times \widehat{ADB} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{AIB} =2\times \widehat{ADB}} \quad\Longleftrightarrow\quad \widehat{ADB} =\dfrac{\pi}{4}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{AIB} =2\times \widehat{ADB}} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\widehat{ADH} =\dfrac{\pi}{4}}}$

Puisque e triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ , les angles ${ \widehat{ADH} }$ et ${ \widehat{HAD} }$ sont complémentaires.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{ADH} =\dfrac{\pi}{4} }$ .
Donc $\overset{ { \white{ _. } } }{ \widehat{HAD}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4} }$ .
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{ADH} =\widehat{HAD}=\dfrac{\pi}{4} }$
Par conséquent, le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous avons donc montré que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD }$ est rectangle et isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ .

3. b) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(D)=H }$ .

Par définition de la similitude directe $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ , démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(D)=H }$ revient à démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} AH=\dfrac{\sqrt 2}{2}AD\\\overset{ { \white{ _. } } } { \left(\overrightarrow{AD}\;;\;\overrightarrow{AH}\right)=-\dfrac{\pi}{4} \,[2\pi]}\end{cases} }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { AH=\dfrac{\sqrt 2}{2}AD }$ .
Nous savons que dans le triangle rectangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD,\quad \widehat{HAD}=\dfrac{\pi}{4} }$ .
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\cos\left(\widehat{HAD}\right)=\dfrac{AH}{AD}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{AH}{AD} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \cos\left(\widehat{HAD}\right)=\dfrac{AH}{AD}}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\sqrt 2}{2}=\dfrac{AH}{AD} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \cos\left(\widehat{HAD}\right)=\dfrac{AH}{AD}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{AH=\dfrac{\sqrt 2}{2}\,AD }}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(\overrightarrow{AD}\;;\;\overrightarrow{AH}\right)=-\dfrac{\pi}{4} \,[2\pi] }$ .
Nous savons que dans le triangle rectangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD,\quad \widehat{HAD}=\dfrac{\pi}{4} }$ .
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left(\overrightarrow{AD}\;;\;\overrightarrow{AH}\right)=-\dfrac{\pi}{4} \,[2\pi]} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} AH=\dfrac{\sqrt 2}{2}AD\\\overset{ { \white{ _. } } } { \left(\overrightarrow{AD}\;;\;\overrightarrow{AH}\right)=-\dfrac{\pi}{4} \,[2\pi]}\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(D)=H} }$

4.) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ le point diamétralement opposé à $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ sur le cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ le point du plan tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { ABKF }$ soit un carré de sens direct.

Bac Congo-Brazzaville 2023 série C : image 7

Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(K)=B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { f(F)=I }$ .
On appelle $\overset{ { \white{ _. } } } { L }$ le milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [BK] }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Démontrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(K)=B }$ .

Notons $\overset{ { \white{ _. } } } { K' }$ le point tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(K)=K' }$ .
Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} f(A)=A\\f(K)=K'\end{cases} }$ .
Nous savons également que la similitude conserve les milieux des segments.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { f(I)=O }$ .
Puisque le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ est le milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [AK] }$ , nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ est le milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [AK'] }$ .
Mais le point $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ est le milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .
En vertu de l'unicité du milieu, nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { K'=B }$ .
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(K)=B } }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Démontrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(F)=I }$ .

Notons $\overset{ { \white{ _. } } } { F' }$ le point tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(F)=F' }$ .
Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} f(A)=A\\f(F)=F'\end{cases} }$ .
Le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AIF }$ est rectangle isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et de sens direct.
Or une similitude transforme le triangle rectangle isocèle $\overset{ { \white{ _. } } } { AIF }$ en un autre triangle rectangle isocèle.
Sachant que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(I)=O }$ , nous observons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AOF' }$ est rectangle isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et de sens direct.
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { F'=I }$ .
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(F)=I } }$ .

5. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ la similitude plane indirecte telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { g(J)=H }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { g(H)=A }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ est le milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [AD] }$ .

5. a) Nous devons déterminer le rapport $\overset{ { \white{ _. } } } { k_1 }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ .

La similitude plane indirecte $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { g(J)=H }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { g(H)=A }$ .
Nous avons montré dans la question 3. a) que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AHD }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ .
Par suite, $\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{HAD}=\dfrac{\pi}{4} }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{HAJ}=\dfrac{\pi}{4} }$ .
De plus, la médiane $\overset{ { \white{ _. } } } {(HJ) }$ du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AD]}$ est médiatrice de $\overset{ { \white{ _. } } } { [AD] }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } {HA=HD }$ .
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ _. } } } { (HJ) }$ est perpendiculaire à $\overset{ { \white{ _. } } } { (AD) }$ .
D'où le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { HJA }$ est rectangle et isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ .
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{JHA}=\dfrac{\pi}{4} }$ .
Dans le triangle rectangle $\overset{ { \white{ _. } } } {HJA,\quad \cos\left(\widehat{JHA}\right)=\dfrac{JH}{AH} }$
Par définition de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}g(J)=H\\g(H)=A \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad AH=k_1\,JH \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(A)=A \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad k_1=\dfrac{AH}{JH} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(A)=A \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad k_1=\dfrac{1}{\cos\left(\widehat{JHA}\right)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(A)=A \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad k_1=\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} =\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt 2}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt 2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(A)=A \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k_1 =\sqrt 2}}$

5. b) On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } {\Omega }$ le centre de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ . Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { g\circ g }$ est une homothétie dont on précisera le rapport.

Nous savons que $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ est une similitude indirecte de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ et de rapport $\overset{ { \white{ _. } } } { k_1=\sqrt 2 }$ .
Dans ce cas, $\overset{ { \white{ M. } } } { g\circ g }$ est une homothétie de centre $\overset{ { \white{ _{_.}} } } { \Omega }$ et de rapport $\overset{ { \white{ _. } } } { k_1^2=2 }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{g\circ g=h_{\Omega,2}} }$ .

5. c) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ _. } } } { g\circ g(J) }$ puis en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } {\Omega = D }$ .

${ \white{ xxi } }$ $g\circ g(J)=g\Big(g(J)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g\circ g(J)}=g(H) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g\circ g(J)}=A} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{g\circ g(J)=A}$

Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } {\Omega = D }$ .

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { g\circ g=h_{\Omega,2} }$ .
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $g\circ g(J)=A\quad\Longleftrightarrow\quad h_{\Omega,2}(J)=A \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g\circ g(J)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad A\Omega=2J\Omega}$

Mais nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { AD=2JD }$ car le point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ est le milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [AD] }$ .
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}A\Omega=2J\Omega\\AD=2JD \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Omega = D} }$

5. d) Nous devons déterminer l'axe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ .

Nous savons que le centre de $\overset{ { \white{ -. } } } {g}$ est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ .
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { g(J)=H }$ .

Nous en déduisons que l'axe de $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ est la bissectrice de l'angle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(\overrightarrow{DJ},\overrightarrow{DH}\right) }$ .
Or dans le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ADB }$ isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ , la bissectrice de l'angle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(\overrightarrow{DJ},\overrightarrow{DH}\right) }$ est également la médiatrice du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ , soit la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (DO) }$ .

Par conséquent, l'axe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Delta) }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (DO) }$ .

6. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (p) }$ la parabole de foyer $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ et dont la tangente en $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (BI) }$ , d'axe focal $\overset{ { \white{ _. } } } { (BK) }$ .

6. a) Nous devons préciser sa directrice $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ et son sommet .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Rappelons une caractéristique des tangentes à la parabole :

${ \white{ xxi } }$ Une droite est tangente à une parabole si et seulement si le symétrique du foyer par rapport à cette droite est sur la directrice.

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (BI) }$ est tangente à la parabole $\overset{ { \white{ _. } } } { (p) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ .
Dès lors, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ , symétrique du foyer $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ par rapport à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (BI) }$ est un point de la directrice $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ .
D'autre part, nous savons que la directrice $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ est perpendiculaire à l'axe focal $\overset{ { \white{ _. } } } { (BK) }$ .

Or la droite comprenant le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et orthogonale à $\overset{ { \white{ _. } } } { (BK) }$ est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ .
Par conséquent, la directrice $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ de la parabole $\overset{ { \white{ _. } } } { (p) }$ est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le foyer de la parabole est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ et son projeté orthogonal sur la directrice $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ .

Le sommet de la parabole est le milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [KB] }$ .
Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { L }$ est le sommet de la parabole $\overset{ { \white{ _. } } } { (p) }$ .

6. b) La perpendiculaire en $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (KA) }$ coupe la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ .
Le cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { QK }$ coupe la demi-droite $\overset{ { \white{ _. } } } { [QA) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ .
La droite parallèle à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (BK) }$ passant par $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ coupe la demi-droite $\overset{ { \white{ _. } } } { [KA) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { M_0 }$ .

Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { M_0 }$ est un point de $\overset{ { \white{ _. } } } { (p) }$ .

Bac Congo-Brazzaville 2023 série C : image 4

Rappelons que deux segments partant d'un même point extérieur à un cercle et tangents à ce cercle ont toujours la même longueur.

Nous en déduisons que les segments $\overset{ { \white{ _. } } } { [M_0M] }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { [M_0K] }$ ont même longueur, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M_0M=M_0K }$ . Il s'ensuit que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M_0 }$ est à égale distance du foyer $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ de la parabole $\overset{ { \white{ _. } } } { (p) }$ et de la directrice $\overset{ { \white{ _. } } } { (D) }$ de cette parable.
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { M_0 }$ est un point de $\overset{ { \white{ _. } } } { (p) }$ .

6. c) Nous devons achever la construction de $\overset{ { \white{ _. } } } { (p) }$ .
${ \white{ xxxi } }$ (voir figure de la question 6. b)

5 points

exercice 3

1. On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[ }$ par: $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\dfrac{6\ln(x+3)}{x+3} }$ .

1. a) Nous devons montrer que, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {x\in[0;+\infty[\,,\quad f'(x)=\dfrac{6[1-\ln(x+3)]}{(x+3)^2} }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[ }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=6\times\left(\dfrac{\ln(x+3)}{x+3}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=6\times\dfrac{\Big(\ln(x+3)\Big)'\times (x+3)-\ln(x+3)\times (x+3)'}{(x+3)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=6\times\dfrac{\dfrac{1}{x+3}\times (x+3)-\ln(x+3)\times 1}{(x+3)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=6\times\dfrac{1-\ln(x+3)}{(x+3)^2}} \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{ f'(x)=\dfrac{6[1-\ln(x+3)]}{(x+3)^2}}$

Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[ }$ .

Le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[ }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-\ln(x+3) }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}6>0\\ (x+3)^2>0\end{cases} }$ .

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $x\in[0;+\infty[\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\in[0;+\infty[}\quad\Longleftrightarrow\quad x+3\geq 3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\in[0;+\infty[}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x+3)\geq \ln(3)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\in[0;+\infty[}\quad\Longleftrightarrow\quad -\ln(x+3)\leq -\ln(3)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x\in[0;+\infty[}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-\ln(x+3)\leq 1-\ln(3)<0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x\in[0;+\infty[}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{1-\ln(x+3)<0}}$

Nous en déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[\,,\quad f'(x)<0 }$ .
D'où la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[ }$ .

1. b) Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ , puis dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln(X)}{X}=0\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+3)}{x+3}=0\qquad(\text{en posant }X=x+3) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln(X)}{X}=0}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{6\ln(x+3)}{x+3}=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln(X)}{X}=0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0 }}$

Nous pouvons dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

$\begin{matrix}f(0)=\dfrac{6\ln(3)}{2}=2\ln(3)\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&&&+\infty\\ &&&&&\\\hline &&&&&\\ f'(x)&&-&-&-&\\&&&&&\\\hline &2\ln(3)&&&&\\&&\searrow&&&\\f&&&\searrow&&\\&&&&\searrow&\\&&&&&0\\\hline \end{array}$

2. On définit, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ , la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_n=\displaystyle\int_{n}^{n+1} f(x)\text{ d}x }$ .

2. a) Nous devons montrer que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{-. } } } { n }$ , si $\overset{ { \white{ _. } } } { n\leq x\leq n+1 }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { f(n+1)\leq f(x)\leq f(n) }$ .

Il suffit d'appliquer la définition de la décroissance de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[ }$ .

2. b) Nous devons montrer que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad f(n+1)\leq u_n\leq f(n) }$ .

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ , si $\overset{ { \white{ _. } } } { n\leq x\leq n+1 }$ , alors :

${ \white{ xxi } }$ $f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_n^{n+1}f(n+1)\,\text dx\leq \displaystyle\int_n^{n+1}f(x)\,\text dx\leq \displaystyle\int_n^{n+1}f(n)\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\displaystyle\int_n^{n+1}\,\text dx\leq u_n\leq f(n)\displaystyle\int_n^{n+1}\,\text dx } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\Big[x\Big]_n^{n+1}\leq u_n\leq f(n)\Big[x\Big]_n^{n+1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\Big((n+1)-n\Big)\leq u_n\leq f(n)\Big((n+1)-n\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)}\quad\Longrightarrow\quad f(n+1)\times1\leq u_n\leq f(n)\times1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad f(n+1)\leq u_n\leq f(n)}$

2. c) Nous devons calculer la limite de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ .

Appliquons le théorème d'encadrement (''théorème des gendarmes'').

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \overset{ { \white{ _. } } } { f(n+1)\leq u_n\leq f(n) } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\lim\limits_{n\to+\infty} f(n+1)=0 } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\lim\limits_{n\to+\infty} f(n)=0 } \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0}$

3. Soit $\overset{ { \white{-. } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=\ln ^2(x+3) }$ .

3. a) Nous devons démontrer que, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in [0;+\infty[\,,\quad g'(x)=\dfrac{1}{3} f(x) }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in [0;+\infty[}$ ,

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)=\Big(\ln ^2(x+3)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x) } =2\Big(\ln(x+3)\Big)'\times\ln(x+3) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x) } =2\times\dfrac{1}{x+3}\times\ln(x+3) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x) } =\dfrac 13\times6\times\dfrac{1}{x+3}\times\ln(x+3) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x) } =\dfrac 13\times\dfrac{6\ln(x+3)}{x+3} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x) } =\dfrac 13\times f(x) } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,x\in[0\;;\;+\infty[\,,\quad g'(x)=\dfrac 13\,f(x)}$

3. b) On pose, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad I_n=\displaystyle \int_{0}^n f(x)\text{ d}x }$ .
${ \white{ xxxi } }$ Nous devons démontrer que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad I_n=3[\ln^2(n+3)-\ln^2(3)] }$ .

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $I_n=\displaystyle \int_{0}^n f(x)\text{ d}x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_n}=\displaystyle \int_{0}^n 3\,g'(x)\text{ d}x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_n}= 3\times \Big[g(x)\Big]_{0}^n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_n}= 3\times \Big(g(n)-g(0)\Big)}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_n}= 3\times \Big(\ln^2(n+3)-\ln^2(3)\Big)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\N,\quad I_n=3\Big[\ln^2(n+3)-\ln^2(3)\Big]}$

3. c) On pose, pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{n-1} }$ .

Nous devons démontrer que, pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ _. } } } { n\,,\quad S_n=I_n }$ .

En effet pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_{n-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n}=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\text{ d}x +\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\text{ d}x+\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\text{ d}x+\cdots+\displaystyle\int_{n-1}^{n} f(x)\text{ d}x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n}=\displaystyle\int_{0}^{n} f(x)\text{ d}x \quad\text{(relation de Chasles)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n}=I_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N^*,\quad S_n=I_n}$

3 points

exercice 4

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 3 boules blanches et 7 boules noires.
On effectue deux tirages successifs sans remettre la première boule tirée dans l'urne.
On note :
${ \white{ xxi } }B_1$ l'événement : ''la première boule tirée est blanche'' .
${ \white{ xxi } }B_2$ l'événement : ''la deuxième boule tirée est blanche'' .
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire qui, à deux tirages, associe le nombre des boules blanches tirées.

1. Arbre de probabilités modélisant la situation.

Bac Congo-Brazzaville 2023 série C : image 3

2. Nous devons déterminer l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { X(\Omega) }$ des valeurs prises par $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ .

La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ peut prendre les valeurs 0, 1, 2.

Donc $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{ X(\Omega)=\lbrace 0\;;\;1\;;\;2\rbrace} }$ .

3. Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X=0)=\dfrac{7}{15} }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $P(X=0)=P(\overline{B_1}\cap \overline{B_2}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=0)}=P(\overline{B_1})\times P_{\overline{B_1}}(\overline{B_2})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=0)}=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{2}{3}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=0)}=\dfrac{7}{5}\times \dfrac{1}{3}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(X=0)}=\dfrac{7}{15}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P(X=0)=\dfrac{7}{15}}$

4. Nous devons déterminer la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\boxed{ P(X=0)=\dfrac{7}{15}}$

$\bullet{\phantom{x}}P(X=1)=P(B_1\cap \overline{B_2})+P(\overline{B_1}\cap B_2) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}} P(X=1)}=P(B_1)\times P_{B_1}( \overline{B_2})+P(\overline{B_1})\times P_{\overline{B_1}}( B_2) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}} P(X=1)}=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{10}\times \dfrac{1}{3}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}P(X=1)}=\dfrac{1}{10}\times \dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{10}\times \dfrac{1}{3}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}P(X=1)}=\dfrac{14}{30}=\dfrac{7}{15}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=1)=\dfrac{7}{15}}$

$\bullet{\phantom{x}} P(X=2)=P({B_1}\cap {B_2}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=2)}=P({B_1})\times P_{{B_1}}({B_2})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=2)}=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=2)}=\dfrac{6}{90}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(X=2)}=\dfrac{1}{15}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P(X=2)=\dfrac{1}{15}}$

Résumons cette loi de probabilité dans un tableau :

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array} {|c|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&& x_i & &0 & &&1 &&&2 &\\&&&&&&&&& \\ \hline&&&&&&&&&& P(X=x_i)& &\dfrac{7}{15} & &&\dfrac{7}{15} & &&\dfrac{1}{15} &\\&&&&&&&&& \\ \hline \end{array}$

5. Nous devons calculer l'espérance mathématique de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ .

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=0\times\dfrac{7}{15}+1\times\dfrac{7}{15}+2\times\dfrac{1}{15} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)}=0+\dfrac{7}{15}+\dfrac{2}{15} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)}=\dfrac{9}{15} =\dfrac 35} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{E(X)=\dfrac 35}$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou/Panter le 07-01-2026

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