Fiche de mathématiques

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Bac Maroc 2023

Série: SVT-PC

-Rattrapage-

Durée : 3 heures
Coefficient : 7

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3 points

exercice 1

On considère la suite numérique $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=0 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}, }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N. }$

1. Nous allons montrer par récurrence que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n\in\N:\;u_n>-1. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{u_0>-1.}$
C'est une évidence car par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n),\; u_0=0>-1.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ u_n>-1}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}>-1 .}$
En effet,
${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}+1=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}+1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u_{n+1}+1}=\dfrac{u_n-2+2u_n+5}{2u_n+5}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{u_{n+1}+1}=\dfrac{3u_n+3}{2u_n+5}}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;\bullet\; u_n>-1\quad\Longrightarrow\quad 3u_n>-3 \\\phantom{\text{Or }\;\bullet\; u_n>-1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{3u_n+3>0} \\\\\phantom{\text{Or }\;}\bullet\; u_n>-1\quad\Longrightarrow\quad 2u_n>-2 \\\phantom{\text{Or }\;\bullet\; u_n>-1}\quad\Longrightarrow\quad 2u_n+5>3>0 \\\phantom{\text{Or }\;\bullet\; u_n>-1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2u_n+5>0} \\\\\text{D'où\,}\;\left\lbrace\begin{matrix}3u_n+3>0\\2u_n+5>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{3u_n+3}{2u_n+5}>0. \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\ u_{n+1}+1>0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\ u_{n+1}>-1}}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n,\quad u_n>-1. }$

2. Montrons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante.

Pour tout nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}-u_n \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n-2-u_n(2u_n+5)}{2u_n+5} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n-2-2u_n^2-5u_n}{2u_n+5} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-2u_n^2-4u_n-2}{2u_n+5} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-2(u_n^2+2u_n+1)}{2u_n+5} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-2(u_n+1)^2}{2u_n+5} }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}-2<0\phantom{xxxx}\\\overset{ { \white{ . } } } { (u_n+1)^2>0}\\\overset{ { \white{ . } } } { 2u_n+5>0}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{-2(u_n+1)^2}{2u_n+5}<0 }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{u_{n+1}-u_n<0} }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante.

La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par -1.
Cette suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est donc convergente.

3. On pose $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=\dfrac{3}{1+u_n} }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N. }$

3. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)}$ est une suite arithmétique de raison 2.

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N, }$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}-v_n=\dfrac{3}{1+u_{n+1}}-\dfrac{3}{1+u_{n}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{3}{1+\dfrac{u_n-2}{2u_n+5}}-\dfrac{3}{1+u_{n}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{3}{\dfrac{3u_n+3}{2u_n+5}}-\dfrac{3}{1+u_{n}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{3(2u_n+5)}{3u_n+3}-\dfrac{3}{1+u_{n}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{2u_n+5}{u_n+1}-\dfrac{3}{1+u_{n}} }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{2u_n+5-3}{u_n+1} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{2u_n+2}{u_n+1} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{2(u_n+1)}{u_n+1} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{u_{n+1}-u_n}=2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n=2} \\\\\underline{\text{Remarque}}:v_0=\dfrac{3}{1+u_0}=\dfrac{3}{1+0}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{v_0=3}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)}$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r=2}$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=3.}$

3. b) Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \N, }$

${ \white{ xxxi } }$ $v_n=\dfrac{3}{1+u_{n}} \quad\Longrightarrow\quad 1+u_n=\dfrac{3}{v_n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{v_n=\dfrac{3}{1+u_{n}}}\quad\Longrightarrow\quad u_n=\dfrac{3}{v_n}-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{v_n=\dfrac{3}{1+u_{n}}}\quad\Longrightarrow\quad u_n=\dfrac{3-v_n}{v_n}}$

De plus, nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n)}$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r=2}$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=3.}$
Dès lors $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=v_0+r\times n\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{v_n=3+2n} }$

Par conséquent, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { \N, }$

${ \white{ xxxi } }$ $u_n=\dfrac{3-(3+2n)}{3+2n}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u_n=\dfrac{-2n}{3+2n}}$

Nous en déduisons la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-2n}{3+2n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-2n}{2n}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-1}$

4) On pose $\overset{ { \white{ . } } } { w_n=\text e^{3-v_n} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { S_n=w_0+w_1+\cdots+w_n }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \N. }$

4. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n)}$ est une suite géométrique.

Nous avons montré que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \N, }$ $\overset{ { \white{ . } } } { v_n=3+2n. }$

Dès lors,

$w_n=\text e^{3-v_n}\quad\Longrightarrow\quad w_n=\text e^{3-(3+2n)} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{w_n=\text e^{3-v_n}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_n=\text e^{-2n}}} \\\\\text{D'où }\;w_{n+1}=\text e^{-2(n+1)}\quad\Longleftrightarrow\quad w_{n+1}=\text e^{-2n-2} \\\phantom{\text{D'où }\;w_{n+1}=\text e^{-2(n+1)}}\quad\Longleftrightarrow\quad w_{n+1}=\text e^{-2n}\times\text e^{-2} \\\phantom{\text{D'où }\;w_{n+1}=\text e^{-2(n+1)}}\quad\Longleftrightarrow\quad w_{n+1}=w_n\times\text e^{-2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;w_{n+1}=\text e^{-2}\times w_n} \\\\\underline{\text{Remarque}}:w_0=\text e^{-2\times0}=\text e^0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{w_0=1}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n)}$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=\text e^{-2}}$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ _. } } } { w_0=1.}$

4. b) Nous devons calculer la limite de la somme $\overset{ { \white{ . } } } { S_n. }$

D'une part, nous savons que dans le cas d'une suite géométrique,

${ \white{ xxi } }$ $S_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_n}=1\times\dfrac{1-(\text e^{-2})^{n+1}}{1-\text e^{-2}} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_n}=\dfrac{1-(\text e^{-2})^{n+1}}{1-\text e^{-2}} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_n}=\dfrac{1-\text e^{-2n-2}}{1-\text e^{-2}} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_n=\dfrac{1-\text e^{-2n-2}}{1-\text e^{-2}} }$

D'autre part,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-\text e^{-2n-2}}{1-\text e^{-2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{1-\text e^{-2}} -\dfrac{\text e^{-2n-2}}{1-\text e^{-2}} \right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n}=\dfrac{1}{1-\text e^{-2}} -\dfrac{1}{1-\text e^{-2}} \times\left(\lim\limits_{n\to+\infty}\text e^{-2n-2}\right) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n}=\dfrac{1}{1-\text e^{-2}} -\dfrac{1}{1-\text e^{-2}} \times0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n}=\dfrac{1}{1-\text e^{-2}} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{1}{1-\text e^{-2}} }$

3 points

exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ , on considère les points

$A(2\;;\;1\;;\;2)\text{ , }B(-2\;;\;0\;;\;5)\text{ , }C(4\;;\;-5\;;\;7)\text{ et }\Omega(1\;;\;-1\;;\;0) .$
On pose $\vec u=\overrightarrow{\Omega A}.$

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ la sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } }{\Omega }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { R=3. }$

1. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13\vec{u}.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\Omega(1\;;\;-1\;;\;0)\\A(2\;;\;1\;;\;2)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {\Omega A}\begin{pmatrix}2-1\\1+1\\2-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {\Omega A}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}A(2\;;\;1\;;\;2)\\B(-2\;;\;0\;;\;5)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}-2-2\\0-1\\5-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}-4\\-1\\3\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(2\;;\;1\;;\;2)\\C(4\;;\;-5\;;\;7)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}4-2\\-5-1\\7-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2\\-6\\5\end{pmatrix}}$

$\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}-1&-6\\3&5\end{vmatrix}\vec i-\begin{vmatrix}-4&2\\3&5\end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix}-4&2\\-1&-6\end{vmatrix}\vec k \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=(-5+18)\vec i-(-20-6)\vec j+(24+2)\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=13\vec i+26\vec j+26\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=13(\vec i+2\vec j+2\vec k}) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=13\,\overrightarrow {\Omega A}=13\vec u}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13\vec u} }\,.}$

Nous en déduisons que les points A , B et C ne sont pas alignés car ${ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\neq\vec 0. }$

Ils déterminent donc un plan.

1. b) Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Nous avons montré que ${ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13\vec u. }$
Dès lors, le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec u\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$

D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {x+2y+2z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {B(-2\;;\;0\;;\;5) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {-2+2\times0+2\times5+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=-8. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{x+2y+2z-8=0}\,. }$

1. c) Montrons que le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est tangent à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } } {A. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons d'abord que le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est tangent à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S). }$

Calculons la distance du point $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

${ \white{ xxi } }$ $d\Big(\Omega,(ABC)\Big)=\dfrac{|\,x_{\Omega}+2\, y_{\Omega}+2\, z_{\Omega}-8\,|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega,(ABC)\Big)}=\dfrac{|\,1+2\times(-1)+2\times 0 -8\,|}{\sqrt{9}}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega,(ABC)\Big)}=\dfrac{|\,-9\,|}{3}=\dfrac{9}{3}=3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d\Big(\Omega,(ABC)\Big)=3}$

Dès lors, la distance du centre $\overset{ { \white{ _. } } } {\Omega }$ de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ est égale au rayon de cette sphère.
D'où le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est tangent à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons ensuite que le point de tangence est le point $\overset{ { \white{ . } } } { A. }$

Nous avons montré que le vecteur ${\overrightarrow{\Omega A} }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Omega A) }$ est perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$
Puisque le point $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC), }$ nous déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ est le projeté orthogonal de $\overset{ { \white{ . } } } {\Omega }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est tangent à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } } {A. }$

2. Soient $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ le plan d'équation cartésienne $\overset{ { \white{ . } } } {3x+4y+z+1=0 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ la droite passant par $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ et orthogonale au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P). }$

2. a) Montrons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ) }$ coupe le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { H\,\left(\dfrac12\;;\;-1\;;\;\dfrac32\right). }$
Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta). }$

La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P):3x+4y+z+1=0. }$
Dès lors, un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \vec n\,\begin{pmatrix}{\red{3}}\\ {\red{4}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix} }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { A\,({\blue{2}}\;;\;{\blue{1}}\;;\;{\blue{2}}) }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta). }$

Donc une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta)}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x={\blue{2}}+{\red{3}}\times k\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{1}}+{\red{4}}\times k}\phantom{}\\z={\blue{2}}+{\red{1}}\times k\end{matrix}\right.\quad \quad(k\in\R) }$
soit $\overset{ { \phantom{ . } } } { \boxed{\Delta:\left\lbrace\begin{matrix}x=2+3k\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+4k}\\z=2+k\end{matrix}\right.\quad \quad (k\in\R)} }$

Les coordonnées du point d'intersection $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ et du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (P ) }$ se déterminent en résolvant le système suivant : $\left\lbrace\begin{matrix}x=2+3k\phantom{WWXx}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+4k\phantom{WWXx}}\\z=2+k\phantom{WWWW}\\3x+4y+z+1=0\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x=2+3k\phantom{WWXx}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+4k\phantom{WWXx}}\\z=2+k\phantom{WWWW}\\3x+4y+z+1=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+3k\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+4k\phantom{WWWWWWWWWWW}}\\z=2+k\phantom{WWWWWWWWWWWx}\\3(2+3k)+4(1+4k)+(2+k)+1=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+3k\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+4k}\\z=2+k\\13+26k=0\end{matrix}\right.$

$\\\\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2+3k\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1+4k}\\z=2+k\\k=-\dfrac12\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=2-\dfrac32\\\overset{ { \white{ . } } } {y=1-2}\\z=2-\dfrac12\\\overset{ { \white{ . } } } {k=-\dfrac12}\end{matrix}\right. \\\\.\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac12\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y=-1}\\z=\dfrac32\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta ) }$ coupe le plan $\overset{ { \white{ . } } } {(P) }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { H\,\left(\dfrac12\;;\;-1\;;\;\dfrac32\right). }$

2. b) Déterminons les coordonnées du point $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ tel que le point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ soit le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [AD]. }$

Le point $\overset{ { \white{ . } } } { H }$ est le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [AD]. }$
Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}x_H=\dfrac{x_A+x_D}{2}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y_H=\dfrac{y_A+y_D}{2}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {z_H=\dfrac{z_A+z_D}{2}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac12=\dfrac{2+x_D}{2}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {-1=\dfrac{1+y_D}{2}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\dfrac32=\dfrac{2+z_D}{2}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}1=2+x_D\\\overset{ { \phantom{ . } } } {-2=1+y_D}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {3=2+z_D}\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_D=-1\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y_D=-3}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {z_D=1\phantom{x}}\end{matrix}\right.}$

D'où les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(-1\;;\;-3\;;\;1)}\,. }$

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (Q) }$ le plan passant par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega D}.$

3. a) Montrons que le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (Q) }$ est tangent à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ en $\overset{ { \white{ . } } } {D. }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\Omega(1\;;\;-1\;;\;0)\\D(-1\;;\;-3\;;\;1)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {\Omega D}\begin{pmatrix}-1-1\\-3+1\\1-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {\Omega D}\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}} }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega D=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt9\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Omega D=3}\,. }$

Or le rayon de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ est également égal à 3 et le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (Q) }$ le plan passe par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega D}.$

Par conséquent, le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (Q) }$ est tangent à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ en $\overset{ { \white{ . } } } {D. }$

3. b) Montrons que les plans $\overset{ { \white{ . } } } { (Q) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ se coupent suivant la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (BC). }$

Calculons le produit vectoriel des vecteurs normaux à chaque plan afin d'obtenir un vecteur colinéaire à un vecteur directeur de l'intersection des deux plans..

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {\Omega A}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.}$

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (Q) }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {\Omega D}\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}.}$
${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega D}=\begin{vmatrix}2&-2\\2&1\end{vmatrix}\vec i-\begin{vmatrix}1&-2\\2&1\end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix}1&-2\\2&-2\end{vmatrix}\vec k \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=(2+4)\vec i-(1+4)\vec j+(-2+4)\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=6\vec i-5\vec j+2\vec k} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega D}=6\vec i-5\vec j+2\vec k}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}B(-2\;;\;0\;;\;5)\\C(4\;;\;-5\;;\;7)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {BC}\begin{pmatrix}4+2\\-5-0\\7-5\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {BC}\begin{pmatrix}6\\-5\\2\end{pmatrix}=6\vec i-5\vec j+2\vec k} }$

Nous en déduisons que les plans $\overset{ { \white{ . } } } { (Q) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ se coupent suivant une droite dirigée par le vecteur ${\overrightarrow{BC}. }$

De plus, d'une part, les points $\overset{ { \white{ . } } } { B }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { C }$ appartiennent au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

D'autre part, le point $\overset{ { \white{ . } } } { B}$ appartient au plan (Q) car
$\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{B D}\cdot\overrightarrow{\Omega D}=\begin{pmatrix}-1+2\\-3-0\\1-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}=-2+6-4=0. }$

De même, le point $\overset{ { \white{ . } } } { C}$ appartient au plan (Q) car $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{B C}\cdot\overrightarrow{\Omega D}=\begin{pmatrix}4+2\\-5-0\\7-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-5\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}=-12+10+2=0. }$

Par conséquent, les plans $\overset{ { \white{ . } } } { (Q) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ se coupent suivant la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (BC). }$

3 points

exercice 3

1. On considère le nombre complexe $a=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac32\text i\,.$

1. a) Montrons que $a=\sqrt3\left(\cos \dfrac{\pi}{3}+\text i\sin \dfrac{\pi}{3}\right).$

${ \white{ xxxxi } }$ $a=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac32\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a}=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3\sqrt3}{2}\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a}=\sqrt3\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\text i\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a}=\sqrt3\left(\cos \dfrac{\pi}{3}+\text i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{a=\sqrt3\left(\cos \dfrac{\pi}{3}+\text i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)}$

1. b) Nous devons en déduire que ${ a^{2022} }$ est un nombre réel.

Rappelons la formule de Moivre :
Pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } {n,\;\boxed{\Big(r(\cos\alpha+\text i\sin\alpha)\Big)^n=r^n\,(\cos n\alpha+\text i\sin n\alpha)} }$

En utilisant la formule de Moivre, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $a^{2022}=\Bigg(\sqrt3\left(\cos \dfrac{\pi}{3}+\text i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)\Bigg)^{2022} \\\phantom{a^{2022}}=\sqrt3^{2022}\left(\cos \dfrac{{2022}\pi}{3}+\text i\sin \dfrac{{2022}\pi}{3}\right) \\\phantom{a^{2022}}=\Big((\sqrt3)^2\Big)^{1011}\left(\cos 674\pi+\text i\sin 674\pi\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a^{2022}}=3^{1011}\Big(\cos (337\times2\pi)+\text i\sin (337\times2\pi)\Big)}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a^{2022}}=3^{1011}\Big(\cos (2\pi)+\text i\sin (2\pi)\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a^{2022}}=3^{1011}\Big(1+\text i\times 0\Big)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{a^{2022}}=3^{1011}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{a^{2022}=3^{1011}\,{\red{\in\R}}}$

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { (O, \vec u,\vec v), }$ on considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overline{a}. }$

Nous devons déterminer une mesure de l'angle $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha }$ de la rotation $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ de centre $\overset{ { \white{ . } } } { O }$ et qui transforme $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

${ \white{ xxi } }$ $R(B)=A\quad\Longleftrightarrow\quad z_A-z_O=\text e^{\text i\theta}(z_B-z_O) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{R(B)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad z_A=\text e^{\text i\theta}z_B} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{R(B)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{\text i\theta}=\dfrac{z_A}{z_B}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{R(B)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{\text i\theta}=\dfrac{a}{\overline{a}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{R(B)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{\text i\theta}=\dfrac{\sqrt3\,\text e^{\text i\frac{\pi}{3}}}{\sqrt3\,\text e^{-\text i\frac{\pi}{3}}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{R(B)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{\text i\theta}=\text e^{\text i\frac{\pi}{3}+\text i\frac{\pi}{3}}}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{R(B)=A\quad\Longleftrightarrow\quad\text e^{\text i\theta}=\text e^{\text i\frac{2\pi}{3}}} }$
Par conséquent, une mesure de l'angle de la rotation $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{2\pi}{3}. }$

3. On considère dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_{\alpha}):z^2-\sqrt3z+\alpha=0 }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ est un nombre réel non nul.

On suppose que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_{\alpha})}$ admet deux racines complexes conjuguées non réelles $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\overline{z}. }$
Soient les points $\overset{ { \white{ . } } } { M(z)\;;\;N(\overline{z}) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { P(\sqrt3) }$ du plan complexe.
Sans résoudre l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_{\alpha})}$ :

3. a) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha >\dfrac34}$ et que $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha=z\overline{z}.}$

Puisque l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_{\alpha})}$ admet deux solutions complexes, nous savons que le discriminant de cette équation est strictement négatif.

${ \white{ xxi } }$ $\Delta<0\quad\Longleftrightarrow\quad(-\sqrt3)^2-4\times1\times\alpha<0 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Delta<0}\quad\Longleftrightarrow\quad3-4\alpha<0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Delta<0}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\alpha>3} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Delta<0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha>\dfrac34}}$

De plus, si elles existent, le produit des racines d'une équation du second degré ${ax^2+bx+c=0 }$ est donné par le quotient $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{c}{a}. }$

Or l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_{\alpha})}$ admet deux racines complexes $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\overline{z}. }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } { z\overline{z}=\dfrac{\alpha}{1} }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ z\overline{z}=\alpha}}\,.$

3. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { |\,z\,|=\left|\,z-\sqrt3\,\right|. }$

Si elles existent, la somme des racines d'une équation du second degré ${ax^2+bx+c=0 }$ est donnée par le quotient $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{-b}{a}. }$

Or l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E_{\alpha})}$ admet deux racines complexes $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\overline{z}. }$

Donc ${ z+\overline{z}=\dfrac{\sqrt3}{1}}$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { z+\overline{z}=\sqrt3}$
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $z+\overline{z}=\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad \overline{z}=\sqrt3-z \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ z+\overline{z}=\sqrt3}\quad\Longrightarrow\quad |\,\overline{z}\,|=\left|\,\sqrt3-z\,\right|} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ z+\overline{z}=\sqrt3}\quad\Longrightarrow\quad |\,z\,|=\left|\,\sqrt3-z\,\right|} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ z+\overline{z}=\sqrt3}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{|\,z\,|=\left|\,z-\sqrt3\,\right|}}$

3. c) Nous devons en déduire que les points $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { N }$ appartiennent à la médiatrice $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta) }$ du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [OP]. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'une part, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { |\,z\,|=|\,z-\sqrt3\,|\quad\Longleftrightarrow\quad OM=PM. }$

Le point $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ est donc à égale distance des points $\overset{ { \white{ . } } } { O }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { P. }$
Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ appartient à la médiatrice $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta) }$ du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [OP]. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'autre part, nous avons :
$\overset{ { \white{ . } } } {|\,z\,|=|\,z-\sqrt3\,|\quad\Longleftrightarrow\quad |\,\overline z\,|=|\,\overline{z-\sqrt3}\,|\quad\Longleftrightarrow\quad |\,\overline z\,|=|\,\overline{z}-\sqrt3\,|\quad\Longleftrightarrow\quad ON=OP. }$

Le point $\overset{ { \white{ . } } } { N }$ est donc à égale distance des points $\overset{ { \white{ . } } } { O }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { P. }$
Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ . } } } { N }$ appartient à la médiatrice $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta) }$ du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [OP]. }$

3. d) Déterminons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ pour laquelle $\overset{ { \white{ . } } } { \left|\,z-\sqrt3\,\right|=\sqrt3. }$

Nous avons $\left\lbrace\begin{matrix}|\,z\,|=\left|\,z-\sqrt3\,\right|\\\overset{ { \white{ . } } } {\left|\,z-\sqrt3\,\right|=\sqrt3}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad |\,z\,|=\sqrt3$

Nous obtenons alors : $\left\lbrace\begin{matrix}z\overline z=\alpha\\\overset{ { \white{ . } } } {z\overline z=|\,z\,|^2}\\\overset{ { \white{ . } } } {|\,z\,|=\sqrt3}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\alpha=|\,z\,|^2=(\sqrt3)^2=3.$

Donc $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\alpha=3}\,. }$

Nous devons en déduire les points d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ et du cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt3. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'une part, nous avons $\overset{ { \white{ . } } } { \left|\,z-\sqrt3\,\right|=\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad PM=\sqrt3. }$
D'où le point $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ appartient au cercle de centre $\overset{ { \white{ . } } } { P }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt3. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'autre part, nous avons $\overset{ { \white{ . } } } { \left|\,z-\sqrt3\,\right|=\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad \left|\,\overline{z-\sqrt3}\,\right|=\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad \left|\,\overline{z}-\sqrt3\,\right|=\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad PN=\sqrt3. }$
D'où le point $\overset{ { \white{ . } } } { N }$ appartient au cercle de centre $\overset{ { \white{ . } } } { P }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt3. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ De plus les points $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { N }$ appartiennent à la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(\Delta) }$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { N }$ sont les points d'intersection de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ et du cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt3. }$

3 points

exercice 4

Une urne contient quatre boules blanches et deux boules noires, indiscernables au toucher.

1. On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne.

1. a) Nous devons calculer la probabilité de l'événement ${ A: }$ ''tirer au moins une boule noire''.

L'événement ${ A }$ peut se traduire par : ''ou bien tirer une boule noire et une boule blanche, ou bien tirer deux boules noires.''

Nous sommes dans le cas d'équiprobabilité.

Le nombre de tirages possibles de 2 boules parmi les 6 boules est égal à

$\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=C_6^2=\dfrac{6!}{2!(6-2)!}=\dfrac{6!}{2!4!}=\dfrac{6\times5}{2}=15. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le nombre de tirages possibles d'une boule noire parmi les 2 boules noires et une boule blanche parmi les 4 boules blanches est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=C_2^1\times C_4^1=2\times4=8. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Il n'y a qu'une seule façon de tirer 2 boules noires parmi les 2 boules noires.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { p(A)=\dfrac{8+1}{15}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(A)=\dfrac{9}{15}} }$

1. b) Soit l'événement ${ B: }$ ''obtenir deux boules de la même couleur''.

L'événement ${ B }$ peut se traduire par : ''ou bien tirer deux boules noires, ou bien tirer deux boules blanches.''

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Il n'y a qu'une seule façon de tirer 2 boules noires parmi les 2 boules noires.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le nombre de tirages possibles de deux boules blanches parmi les 4 boules blanches est égal à

$\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=C_4^2=\dfrac{4!}{2!\times 2!}=\dfrac{4\times3}{2}=6. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { p(B)=\dfrac{1+6}{15}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(B)=\dfrac{7}{15}} }$

1. c) On répète cette expérience cinq fois en remettant dans l'urne les boules tirées, après chaque tirage.
Déterminons la probabilité que l'événement ${ B }$ soit réalisé exactement trois fois.

1. Lors de cette expérience, on répète 5 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' les deux boules tirées sont de la même couleur '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=p(B)=\dfrac{7}{15}. }$
Echec : '' les deux boules tirées ne sont pas de la même couleur '' dont la probabilité est
$\overset{ { \white{ . } } } { 1-p=1-p(B)=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}. }$
Soit la variable aléatoire Y comptant le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un 400 mètres haies, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
La variable aléatoire Y suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }(5\,;\,\dfrac{7}{15}) }$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{ p(Y=k)=\begin{pmatrix}5\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{7}{15}\right)^k\times\left(\dfrac{8}{15}\right)^{ 5-k } }$

Dès lors,

${ \white{ xx } }$ $P(Y=3)=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{7}{15}\right)^{ 3 }\times\left(\dfrac{8}{15}\right)^{ 5-3 } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(Y=3) }=\dfrac{5!}{3!\times 2!}\times\left(\dfrac{7}{15}\right)^{ 3 }\times\left(\dfrac{8}{15}\right)^{ 2 } } \\ \overset{ { \white{ . } } }{ \phantom{ P(Y=3) }=10\times\dfrac{7^3}{15^3}\times\dfrac{8^2}{15^2} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } }{ \phantom{ P(Y=3) }=\dfrac{219\,520}{759\,375} =\dfrac{43\,904}{151\,875} } \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{ P(Y=3)=\dfrac{43\,904}{151\,875}\approx0,289 }$

Par conséquent, la probabilité que l'événement ${ B }$ soit réalisé exactement trois fois est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{43\,904}{151\,875}\approx0,289 }$

2. Dans cette question, on tire des boules de l'urne, une après l'autre et sans remise et on arrête le tirage lorsqu'on obtient une boule blanche pour la première fois.

Arbre pondéré représentant les données de la situation :

Bac Maroc 2023 SVT-PC (Rattrapage) : image 7

Soit ${ X }$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de tirages effectués dans cette expérience.

2. a) Déterminons les valeurs prises par ${ X.}$

Aidons-nous de l'arbre de probabilités ci-dessus.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si la première boule est blanche, alors le tirage s'arrête et nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { X=1. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si la première boule est noire et la deuxième est blanche, alors le tirage s'arrête et nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { X=2. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si les deux premières boules sont noires alors d'office, la troisième boule sera blanche, le tirage s'arrête et nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { X=3. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{X(\Omega)=\lbrace1,2,3\rbrace} }$

2. b) Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { p(X=2). }$

À l'aide de l'arbre pondéré, nous obtenons :
${ \white{ WWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } { p(X=2)=\dfrac{2}{6}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{30}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=2)=\dfrac{4}{15}} }$

2. c) Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire ${ X.}$

À l'aide de l'arbre pondéré, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}p(X=1)=\dfrac{4}{6}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=1)=\dfrac{2}{3}} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{p(X=2)=\dfrac{4}{15}} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}p(X=3)=\dfrac{2}{6}\times\dfrac{1}{5}\times1=\dfrac{2}{30}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=3)=\dfrac{1}{15}}$

La loi de probabilité de $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ peut être résumée par le tableau suivant :

${ \white{ WWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&x_i&&1&&&2&&&3& &&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&\\p(X=x_i)&&\dfrac23&&&\dfrac{4}{15}&&&\dfrac{1}{15}&\\&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

2. d) Déterminons la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ . } } } { p(X=2)+p(X=3). }$

$p(X=2)+p(X=3)=\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{5}{15}=\dfrac13$
Par conséquent, la probabilité d'obtenir au moins une boule noire est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac13. }$

8 points

probleme

On considère la fonction numérique $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=(x-1)^2\,\text e^{x(2-x)}\quad\phantom{xx}\phantom{xix};\quad x\le2\\f(x)=1+(x-2)^2\ln(x-2)\quad ;\quad x>2\end{matrix}\right. }$

Soit $\overset{ { \white{ . } } } {(C) }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {(O, \vec i,\vec j) }$ (unité : 1 cm).

1. Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue au point 2.

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}f(2)=(2-1)^2\,\text e^{2(2-2)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(2)rr}=1\,\text e^{0}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(2)rr}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(2)=1}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ P. } } } {\lim\limits_{x\to2^-}f(x).}$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to2^-}(x-1)^2\,\text e^{x(2-x)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to2^-}f(x)}=(2-1)^2\,\text e^{2(2-2)} } \\ {\phantom{\lim\limits_{x\to2^-}f(x)}=1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=1 }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ P. } } } {\lim\limits_{x\to2^+}f(x).}$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to2^+}\Big(1+(x-2)^2\ln(x-2)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to2^-}f(x)}=1+\lim\limits_{x\to2^+}(x-2)^2\ln(x-2) } \\\\\text{Or }\;\lim\limits_{x\to2^+}(x-2)^2\ln(x-2) =\lim\limits_{X\to0^+}X^2\ln X =0 \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=1+0=1 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=1 }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to2}f(x)=1}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to2}f(x)=f(2) } }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue au point 2.

2. a) Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x<2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { x\neq0, }$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{(x-1)^2\,\text e^{x(2-x)}-1}{x-2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\dfrac{(x^2-2x+1)\,\text e^{x(2-x)}-1}{x-2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\dfrac{x^2\,\text e^{x(2-x)}-2x\,\text e^{x(2-x)}+\text e^{x(2-x)}-1}{x-2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\dfrac{x^2\,\text e^{x(2-x)}-2x\,\text e^{x(2-x)}}{x-2}+\dfrac{\text e^{x(2-x)}-1}{x-2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\dfrac{(x^2-2x)\,\text e^{x(2-x)}}{x-2}-\dfrac{\text e^{x(2-x)}-1}{2-x}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\dfrac{x(x-2)\,\text e^{x(2-x)}}{x-2}-x.\dfrac{\text e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=x\,\text e^{x(2-x)}-x.\dfrac{\text e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x<2,\;x\neq0,\quad\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=x\,\text e^{x(2-x)}-x.\dfrac{\text e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}}$

2. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable à gauche en 2.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2^-}\left(x\,\text e^{x(2-x)}-x.\dfrac{\text e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}\right) \\\phantom{\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\lim\limits_{x\to2^-}x\,\text e^{x(2-x)}-\lim\limits_{x\to2^-}x\times\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{\text e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\\\text{Or }\;\bullet\;\lim\limits_{x\to2^-}x\,\text e^{x(2-x)}=2\,\text e^0=2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\;}\bullet\;\lim\limits_{x\to2^-}x=2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\;}\bullet\;\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{\text e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}=\lim\limits_{X\to0^+}\dfrac{\text e^{X}-1}{X}=1\quad\Big(\text{où }X=x(2-x)\Big)}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=2-2\times1 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=0}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable à gauche en 2 et $\overset{ { \white{ . } } } { f'_g(2)=0. }$

2. c) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable en 2 et que $\overset{ { \white{ . } } } { f'(2)=0. }$

$\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{1+(x-2)^2\ln(x-2)-1}{x-2} \\\phantom{\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{(x-2)^2\ln(x-2)}{x-2} \\\phantom{\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\lim\limits_{x\to2^+}(x-2)\ln(x-2) \\\phantom{\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=\lim\limits_{X\to0^+}X\ln X\quad\Big(\text{où }X=x-2\Big) \\\phantom{\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}}=0\quad\Big(\text{croissances comparées }\Big) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=0}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable à droite en 2 et $\overset{ { \white{ . } } } { f'_d(2)=0. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } {f'_g(2)=f'_d(2)=0}$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable en 2 et $\overset{ { \white{ . } } } { f'(2)=0. }$

Graphiquement, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ admet une tangente horizontale au point $\overset{ { \white{ . } } } { A(2\;;\;1). }$

3. a) Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\le2, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=(x-1)^2\,\text e^{x(2-x)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)}=(x^2-2x+1)\,\text e^{x(2-x)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)}=(x^2-2x)\,\text e^{x(2-x)}+\text e^{x(2-x)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)}=x(x-2)\,\text e^{x(2-x)}+\text e^{x(2-x)}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(x)=x(x-2)\,\text e^{x(2-x)}+\text e^{x(2-x)}}$

3. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ R. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(x(x-2)\,\text e^{x(2-x)}+\text e^{x(2-x)}\Big) \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\Big(-x(2-x)\,\text e^{x(2-x)}+\text e^{x(2-x)}\Big) \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{X\to-\infty}\Big(-X\,\text e^{X}+\text e^{X}\Big)\quad\Big(\text{où }X=x(2-x)\Big)$

${ \white{ xxi } }$ $\\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{X\to-\infty}X\,\text e^{X}=0\quad(\text{croissances comparées})\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{X\to-\infty}\text e^{X}=0\phantom{WWWWWWWWWWW}}\end{matrix}\right. \\\\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0}$

Graphiquement, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ admet une asymptote horizontale en $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } {y=0. }$

3. c) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ R. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) }$ et ${ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ R. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(1+(x-2)^2\ln(x-2)\Big)$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(x-2)^2=+\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x-2)=+\infty\phantom{}}\end{matrix}\right. \\\\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons ${ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}. }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1+(x-2)^2\ln(x-2)}{x} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(\dfrac{1}{x}+\dfrac{(x-2)^2}{x}\ln(x-2)\Big)}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(x-2)^2}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x-2)=+\infty\phantom{WWWWWWWWW}}\end{matrix}\right. \\\\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Graphiquement, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C) }$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

4. a) Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x<2. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x<2, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big((x-1)^2\,\text e^{x(2-x)}\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\Big((x-1)^2\Big)'\times\,\text e^{x(2-x)}+(x-1)^2\times\Big(\text e^{x(2-x)}\Big)'} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-1)\times\,\text e^{x(2-x)}+(x-1)^2\times\Big(x(2-x)\Big)'\text e^{x(2-x)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-1)\times\,\text e^{x(2-x)}+(x-1)^2\times(2x-x^2)'\,\text e^{x(2-x)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-1)\times\,\text e^{x(2-x)}+(x-1)^2\times(2-2x)\,\text e^{x(2-x)}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-1)\times\,\text e^{x(2-x)}-2(x-1)^2\times(x-1)\,\text e^{x(2-x)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-1)\text e^{x(2-x)}\Big(1-(x-1)^2\Big)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-1)\text e^{x(2-x)}(1-x^2+2x-1)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-1)\text e^{x(2-x)}(-x^2+2x)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2x(x-1)\text e^{x(2-x)}(-x+2)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x<2,\;f'(x)=2x(x-1)(2-x)\text e^{x(2-x)}}$

4. b) Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>2. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>2, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(1+(x-2)^2\ln(x-2)\Big)' \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=0+\Big((x-2)^2\Big)'\times\ln(x-2)+(x-2)^2\times\Big(\ln(x-2)\Big)'} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-2)\times\ln(x-2)+(x-2)^2\times\dfrac{1}{x-2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=2(x-2)\,\ln(x-2)+(x-2)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=(x-2)\Big(2\ln(x-2)+1\Big)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>2,\;f'(x)=(x-2)\Big(1+2\ln(x-2)\Big)}$

4. c) Nous devons résoudre dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]2\;;\;+\infty[ }$ l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } { 1+2\ln(x-2)\le0 .}$

Dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]2\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $1+2\ln(x-2)\le0\quad\Longleftrightarrow\quad 2\ln(x-2)\le-1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1+2\ln(x-2)\le0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x-2)\le-\dfrac12} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1+2\ln(x-2)\le0}\quad\Longleftrightarrow\quad x-2\le\text e^{-\frac12}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1+2\ln(x-2)\le0}\quad\Longleftrightarrow\quad x\le2+\text e^{-\frac12}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1+2\ln(x-2)\le0}\quad\Longleftrightarrow\quad x\le2+\dfrac{1}{\sqrt{\text e}}}$

D'où l'ensemble des solutions de l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } { 1+2\ln(x-2)\le0 }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]2\;;\;+\infty[ }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\,\left]\,2\;;\;2+\dfrac{1}{\sqrt{\text e}}\,\right]} }$

4. d) Nous devons étudier le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ puis dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,-\infty\;;\;2\;[ }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x<2,\, f'(x)=2x(x-1)(2-x)\text e^{x(2-x)}}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { x<2\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2-x>0\\\text e^{x(2-x)}>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(2-x)\,\text e^{x(2-x)}>0} }$
Nous en déduisons que le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { 2x(x-1) }$

D'où le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,-\infty\;;\;2\;[ }$ :

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\x &-\infty & & 0 & &1 & & 2 \\ & & & & & & & \\ \hline & && & & & &| \\ 2x(x-1) & &+&0 &-&0&+&| \\ & & & & & & & |\\ \hline & && & & & & |\\ f'(x) & &+&0 &-&0&+&| \\ & & & & & & &| \\ \hline \end{array}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,2\;;\;+\infty\;[ }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>2,\, f'(x)=(x-2)\Big(1+2\ln(x-2)\Big)}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { x>2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x-2>0} }$
Nous en déduisons que le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { \Big(1+2\ln(x-2)\Big) }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&2&&&2+\dfrac{1}{\sqrt{\text e}}&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &|&&&&&&\\1+2\ln(x-2)&|&-&-&0&+&+&\\&|&&&&&&\\\hline &|&&&&&&\\f'(x)&|&-&-&0&+&+&\\&|&&&&&&\\\hline \end{array}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous avons montré dans la question 2. c) que $\overset{ { \white{ . } } } {f'(2)=0. }$

Nous en déduisons le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } \R{ }$ et le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$

$\bullet\phantom{x} f(0)=(0-1)^2\,\text e^{0}=1\times1=1 \\\\\bullet\phantom{x}f(1)=(1-1)^2\,\text e^{1}=0 \\\\\bullet\phantom{x}f(2)=1\quad\text{(voir question 1.)}$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline &&&&&&&&&&&&x&-\infty&&0&&1&&2&&2+\dfrac{1}{\sqrt{\text e}}&&+\infty &&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&&&&&\\\hline &&&1&&&&1&&&&+\infty\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&0&&&&0&&&&f\left(2+\frac{1}{\sqrt{\text e}}\right)&&\\\hline \end{array}$

5. Construisons la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(C) }$ dans le repère $\overset{ { \white{ _. } } } {(O, \vec i,\vec j). }$

On donne : $\overset{ { \white{ . } } } { f(3)=1\quad;\quad2+\dfrac{1}{\sqrt{\text e}}\approx2,6\quad;\quad f\left(2+\dfrac{1}{\sqrt{\text e}}\right)\approx0,8. }$

Bac Maroc 2023 SVT-PC (Rattrapage) : image 6

6. Soit $\overset{ { \white{ . } } } {\lambda \in\,]\,2\;;\;3\,[. }$

6. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{\lambda}^{3}(x-2)^2\ln(x-2)\,\text dx=-\dfrac19+ \dfrac13(\lambda-2)^3\left(\dfrac13-\ln(\lambda -2)\right) }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{\lambda}^{3}(x-2)^2\ln(x-2)\,\text dx. }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_{\lambda}^{3}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{\lambda}^{3}- \displaystyle\int_{\lambda}^{3}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln(x-2)\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\dfrac{1}{x-2}\phantom{WWWW} \\\\v'(x)=(x-2)^2\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{1}{3}(x-2)^3\phantom{WWWp}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{\lambda}^{3}(x-2)^2\ln(x-2)\,\text dx=\left[\dfrac{1}{3}(x-2)^3\ln(x-2)\right]_{\lambda}^{3}-\displaystyle\int_{\lambda}^{3}\dfrac{1}{x-2}\times\dfrac13(x-2)^3\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWwWWWWW}=\left[\dfrac{1}{3}(x-2)^3\ln(x-2)\right]_{\lambda}^{3}-\dfrac13\displaystyle\int_{\lambda}^{3}(x-2)^2\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWwWWWWW}=\left(\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{3}(\lambda-2)^3\ln(\lambda-2)\right)-\dfrac13\times\left[\dfrac{1}{3}(x-2)^3\right]_{\lambda}^{3}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWWw}=-\dfrac{1}{3}(\lambda-2)^3\ln(\lambda-2)-\dfrac19\times\left(1-(\lambda-2)^3\right)}$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWWw}=-\dfrac{1}{3}(\lambda-2)^3\ln(\lambda-2)-\dfrac19+\dfrac19(\lambda-2)^3} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWWw}=-\dfrac19+\dfrac19(\lambda-2)^3-\dfrac{1}{3}(\lambda-2)^3\ln(\lambda-2)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWWw}=-\dfrac19+ \dfrac13(\lambda-2)^3\left(\dfrac13-\ln(\lambda -2)\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{\lambda}^{3}(x-2)^2\ln(x-2)\,\text dx=-\dfrac19+ \dfrac13(\lambda-2)^3\left(\dfrac13-\ln(\lambda -2)\right)}$

6. b) Déterminons en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { \lambda }$ l'aire $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{A}(\lambda) }$ de la partie du plan limitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ et les droites d'équations : $\overset{ { \white{ . } } } { y=1\;,\;x=\lambda\;,\;x=3. }$

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A}(\lambda)=\displaystyle\int_{\lambda}^{3}\left|f(x)-y\right|\,\text dx \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A(\lambda)}=\displaystyle\int_{\lambda}^{3}\left|1+(x-2)^2\ln(x-2)-1\right|\,\text dx} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A(\lambda)}=\displaystyle\int_{\lambda}^{3}\left|(x-2)^2\ln(x-2)\right|\,\text dx}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} (x-2)^2>0\\\\\phantom{xxx}\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}x\in[\lambda\;;\;3], \;\lambda \in\,]2\;;\;3]\quad\Longrightarrow\quad2< \lambda<x<3 \\\phantom{WWWWWWWWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad0< \lambda-2<x-2<1 \\\phantom{WWWWWWWWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad0< x-2<1 \\\phantom{WWWWWWWWWwWW}\quad\Longrightarrow\quad\ln(x-2)<0 \\\\\text{D'où }\;(x-2)^2\ln(x-2)<0.$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A(\lambda)}=\displaystyle\int_{\lambda}^{3}\left|(x-2)^2\ln(x-2)\right|\,\text dx \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A(\lambda)}= \displaystyle\int_{\lambda}^{3}-(x-2)^2\ln(x-2)\,\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A(\lambda)}=- \displaystyle\int_{\lambda}^{3}(x-2)^2\ln(x-2)\,\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A(\lambda)}=-\left(-\dfrac19+ \dfrac13(\lambda-2)^3\left(\dfrac13-\ln(\lambda -2)\right)\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A(\lambda)}=\dfrac19- \dfrac13(\lambda-2)^3\left(\dfrac13-\ln(\lambda -2)\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr{A(\lambda)}=\dfrac19- \dfrac13(\lambda-2)^3\left(\dfrac13-\ln(\lambda -2)\right)\;\text{cm}^2}$

6. c) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ O. } } } {\lim\limits_{\lambda\to2^+}\mathscr{A(\lambda).} }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{\lambda\to2^+}\mathscr{A(\lambda)}=\lim\limits_{\lambda\to2^+}\left[\dfrac19- \dfrac13(\lambda-2)^3\left(\dfrac13-\ln(\lambda -2)\right)\right] \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWW}=\lim\limits_{\lambda\to2^+}\left[\dfrac19- \dfrac19(\lambda-2)^3+\dfrac13(\lambda-2)^3\ln(\lambda -2)\right]} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\lambda\to2^+}(\lambda-2)^3=0\phantom{WWWWWWWWWxW}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{\lambda\to2^+}(\lambda-2)^3\ln(\lambda -2)=\lim\limits_{\Lambda\to0^+}\Lambda^3\ln(\Lambda)=0}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{\lambda\to2^+}\mathscr{A(\lambda)}=\dfrac19}$

Publié par malou/Panter le 10-06-2024

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