Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques Sénégal 2023

Séries S1-S1A-S3

Epreuve du 1er groupe

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Durée : 4 heures

Coefficient : 8


4 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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11 points

probleme

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Bac Senegal 2023 série S : image 2






Bac Sénégal 2023 série S

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4 points

exercice 1

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct  \overset{ { \white{ . } } } {(0\;;\;\vec u,\vec v)}  d'unité graphique 1 cm, on considère les points  \overset{ { \white{ . } } } { A,\;B,\;C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  d'affixes respectives :  \overset{ { \white{ . } } } { z_A=1\;,\;z_B=1-\text i\sqrt 3\;,\;z_C=\frac 1 4-\text i\frac{\sqrt 3}{4} }  et  \overset{ { \white{ . } } } { z_D=4. }

1.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { f }  la similitude plane directe qui transforme \overset{ { \white{ _. } } } { A }  en  \overset{ { \white{ _. } } } { C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  en  \overset{ { \white{ _. } } } { B.}

1. a)  Déterminons les éléments géométriques caractéristiques de  \overset{ { \white{ . } } } { f .} 

Déterminons d'abord l'expression algébrique de la similitude  \overset{ { \white{ . } } } { f .} 
L'expression algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est de la forme  \overset{ { \white{ . } } } { z'=az+b. } 

\left\lbrace\begin{matrix}f(A)=C\\f(D)=B\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_C=az_A+b\\z_B=az_D+b\end{matrix}\right. \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_C-z_B=(az_A+b)-(az_D+b)\\z_B=az_D+b\phantom{WWWWWWWW}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_C-z_B=az_A-az_D\\z_B=az_D+b\phantom{WWW}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_C-z_B=a(z_A-z_D)\\z_B=az_D+b\phantom{WWW}\end{matrix}\right.}
{ \white{ WWWWWW} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_D}=a\\\overset{ { \phantom{ . } } } { z_B=az_D+b}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{\left(\frac 1 4-\text i\frac{\sqrt 3}{4}\right)-(1-\text i\sqrt 3)}{1-4}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\text i\sqrt 3=a\times4+b}\phantom{WWW}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{\frac 1 4-\text i\frac{\sqrt 3}{4}-1+\text i\sqrt 3}{-3}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\text i\sqrt 3=4a+b}\phantom{W}\end{matrix}\right.}
{ \white{ WWWWWW} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{-\frac 3 4+3\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}}{-3}\phantom{xxx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\text i\sqrt 3=4a+b}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=\frac 1 4-\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\text i\sqrt 3=1-\text i\sqrt 3+b}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{ \left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac 1 4-\,\text i\dfrac{\sqrt 3}{4}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {b=0\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.}}

D'où l'expression algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'= \left(\frac 1 4-\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}\right)z}\,. } 

Nous en déduisons les éléments géométriques caractéristiques de  \overset{ { \white{ . } } } { f .} 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Le centre de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est  \overset{ { \white{ . } } } { O .} 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons le rapport  \overset{ { \white{ . } } } { k. } 

{ \white{ xxi } } k=\left| \dfrac 1 4-\,\text i\dfrac{\sqrt 3}{4} \right| \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{k}=\sqrt{\left(\dfrac 1 4\right)^2+\left( \dfrac{\sqrt 3}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac {1} {16}+ \dfrac{3}{16}}=\sqrt{\dfrac {4} {16}}=\sqrt{\dfrac {1} {4}}=\dfrac12}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons l'angle  \overset{ { \white{ . } } } { \theta. } 

{ \white{ xxi } } \theta=\arg\left(\dfrac 1 4-\,\text i\dfrac{\sqrt 3}{4}\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\frac 1 4}{\left|\frac 1 4-\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}\right|}=\dfrac{\frac 1 4}{\frac1 2}=\dfrac 12\phantom{xx}\\\overset{ { \white{ . } } } {\sin\theta=\dfrac{-\frac{\sqrt 3}{4}}{\frac1 2}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\phantom{WWWx}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \theta=-\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]

En résumé, le centre de la similitude  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est  \overset{ { \white{ . } } } { O } , son rapport est  \overset{ { \white{ . } } } { k=\dfrac 1 2 }  et son angle est  \overset{ { \white{ . } } } { \theta=-\dfrac{\pi}{3}. }

1. b)  Déterminons l'image  \overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{C'})  }  du cercle  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }  de centre  \overset{ { \white{ _. } } } { A }  et de rayon 6 par  \overset{ { \white{ . } } } { f. }
L'image du cercle  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }  par  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est le cercle  \overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{C'})  }  de centre  \overset{ { \white{ . } } } { f(A)=C }  dont le rayon est  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 1 2\times6 = 3. } 

2.  On considère la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }  d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { x^2+\frac 4 3 y^2=16. } 

2. a)  Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }). } 

{ \white{ xxi } } x^2+\dfrac 4 3 y^2=16\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^2}{16}+\dfrac {y^2}{12}=1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac {y^2}{(\sqrt{12})^2}=1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac {y^2}{(2\sqrt{3})^2}=1}}

Donc  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }). }  est une ellipse car son équation est de la forme  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1. }

Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } } \left\lbrace\begin{matrix}a=4\phantom{WWWWWWWW}\\b=2\sqrt 3\phantom{WWWWWWW}\\c^2=a^2-b^2=16-12=4\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=4\phantom{W}\\b=2\sqrt 3\\c=2\phantom{W}\end{matrix}\right.}

Eléments caractéristiques de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }): } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Sommets :  \overset{ { \white{ . } } } { A\,(4\;;\;0),\,A'\,(-4\;;\;0),\,B\,(0\;;\;2\sqrt 3)\;\text{ et }\;B'\,(0\;;\;-2\sqrt 3). }
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Foyers :  \overset{ { \white{ . } } } { F\,(2\;;\;0)\;\text{ et }\;F'\,(-2\;;\;0). }
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Excentricité :  \overset{ { \white{ . } } } { e=\dfrac c a=\dfrac 2 4 \quad\Longrightarrow\quad e=\dfrac 1 2. }
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Axe focal :  \overset{ { \white{ . } } } { y=0. }
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Axe non-focal :  \overset{ { \white{ . } } } { x=0. }
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Directrices :  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}(D):x=\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{16}{2}\phantom{WW}\\\overset{ { \white{ . } } } { (D'):x=-\dfrac{a^2}{c}=-\dfrac{16}{2}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}(D):x=8\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { (D'):x=-8}\end{matrix}\right. }

2. b)  Déterminons l'équation de la tangente  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{T }) }  à  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }  au point  \overset{ { \white{ . } } } { E\,(2\;;\;3) } 

Nous obtenons :

(\mathscr{T}):x\times2+\dfrac 4 3 y\times3=16\quad\Longleftrightarrow\quad(\mathscr{T}):2x+4y=16 \\\phantom{xxx:x\times2+\dfrac 4 3 y\times3=16}\quad\Longleftrightarrow\quad(\mathscr{T}):x+2y=8

{ \white{ WWWWWWWWWxWW} } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{(\mathscr{T}) :x+2y-8=0}

2. c)  Représentons graphiquement  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{T }). } 

Bac Senegal 2023 série S : image 10


3.  On considère la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  d'équation :  \overset{ { \white{ . } } } { 15x^2+13y^2-2xy\sqrt 3 -768=0.} 

3. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  est l'image réciproque de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }  par  \overset{ { \white{ . } } } { f. } 

Nous avons montré dans la question 1. a) que l'expression algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'= \left(\frac 1 4-\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}\right)z}\,. } 

Posons  \overset{ { \white{ . } } } { z=x+\text i y }  et  \overset{ { \white{ . } } } { z'=x'+\text i y' } 

Nous obtenons alors :

z'= \left(\dfrac 1 4-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}\right)z\quad\Longleftrightarrow\quad x'+\text i\,y'= \left(\dfrac 1 4-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}\right)(x+\text i\,y) \\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x'+\text i\,y'= \left(\dfrac 1 4-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}\right)x+\text i\left(\dfrac 1 4-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}\right)\,y \\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x'+\text i\,y'=\dfrac 1 4x-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}x+\dfrac 1 4\,\text i\,y+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y \\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x'+\text i\,y'=\left(\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\right)+\,\text i\,\left(-\dfrac{\sqrt 3}{4}x+\dfrac 1 4\,y\right)
{ \white{ WWWWWWWWW} } \\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\\\overset{ { \white{ . } } } {y'=-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4}y\end{matrix}\right.

Soit le point  \overset{ { \white{ . } } } { M(x\;;\;y) }  appartenant à l'image réciproque de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }  par  \overset{ { \white{ . } } } { f. } 

Nous savons alors qu'il existe un point  \overset{ { \white{ . } } } { M'(x'\;;\;y') }  appartenant à  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } { M'=f(M). }

  Nous obtenons ainsi le système :  \overset{ { \white{ . } } } {  \left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\\\overset{ { \white{ . } } } {y'=-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4\,y}\\\overset{ { \white{ . } } } {x'^2+\dfrac 4 3 y'^2=16\phantom{xx}}\end{matrix}\right.  }

Dans la troisième équation, remplaçons  \overset{ { \white{ . } } } { x' }  et  \overset{ { \white{ . } } } { y' }  par leurs valeurs tirées des deux premières équations.

\left(\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\right)^2+\dfrac 4 3 \left(-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4\,y\right)^2=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{\sqrt3}{8}\,xy+\dfrac{3}{16}y^2+\dfrac 4 3 \left(\dfrac{3}{16}x^2-\dfrac{\sqrt3}{8}xy+\dfrac{1}{16}y^2\right)=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{\sqrt3}{8}\,xy+\dfrac{3}{16}y^2+\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{\sqrt3}{6}xy+\dfrac{1}{12}y^2=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{5}{16}x^2+\dfrac{13}{48}y^2-\dfrac{\sqrt3}{24}xy=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{15}{48}x^2+\dfrac{13}{48}y^2-\dfrac{2\sqrt3}{48}\,xy=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad15x^2+13y^2-2\sqrt3\,xy=768

Par conséquent, l'image réciproque de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }  par  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  d'équation :  \overset{ { \white{ . } } } { 15x^2+13y^2-2xy\sqrt 3 -768=0.} 

3. b)  L'image réciproque de la similitude directe  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est une similitude directe et l'image d'une ellipse par une similitude directe est une ellipse.
Donc l'image réciproque de l'ellipse  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }  par  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est une ellipse.
Dès lors,  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  est une ellipse.

Déterminons les éléments caractéristiques de  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  sur base des éléments caractéristiques de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}). } 

Nous avons montré dans la question 3. a) que si  \overset{ { \white{ . } } } { M(x\;;\;y) }  appartient à  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma), }  alors il existe un point  \overset{ { \white{ . } } } { M'(x'\;;\;y') }  appartenant à  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\\\overset{ { \white{ . } } } {y'=-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4}y\end{matrix}\right. } 

\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y=x'\\\overset{ { \white{ . } } } {-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4\,y=y'}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x+\sqrt 3\,y=4x'\quad\quad\phantom{x}(1)\\\overset{ { \white{ . } } } {-\sqrt 3\,x+y=4y'\quad\quad(2)}\end{matrix}\right.

Il s'ensuit que :

{ \white{ xxi } } \left\lbrace\begin{matrix}\sqrt 3\times(1)\\ (2)\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\sqrt 3\,x+3y=4\sqrt3\,x'\quad\quad\phantom{x}(3)\\\overset{ { \white{ . } } } {-\sqrt 3\,x+y=4y'\phantom{xxi}\quad\quad(2)}\end{matrix}\right. \\\\ (3)+(2)\quad\Longleftrightarrow\quad 4y=4\sqrt3\,x'+4y' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWxW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{y=\sqrt3\,x'+y'}}

\text{et }\;\left\lbrace\begin{matrix}(1)\phantom{xxxxxx}\\\overset{ { \white{ . } } } {-\sqrt 3\times(2)}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x+\sqrt 3\,y=4x'\quad\quad\phantom{xxxxxxx}(1)\\\overset{ { \white{ . } } } {3x-\sqrt 3\,y=-4\sqrt 3\,y'\phantom{xxi}\quad\quad(4)}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{xxx}(1)+(4)\quad\Longleftrightarrow\quad 4x=4x'-4\sqrt3\,y' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=x'-\sqrt3\,y'}}

D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=x'-\sqrt3\,y'\\\overset{ { \white{ . } } } { y=\sqrt3\,x'+y'}\end{matrix}\right. }}

Nous pouvons ainsi en déduire les éléments caractéristiques de  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma). } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Sommets de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }  : \overset{ { \white{ . } } } { A\,(4\;;\;0),\,A'\,(-4\;;\;0),\,B\,(0\;;\;2\sqrt 3)\;\text{ et }\;B'\,(0\;;\;-2\sqrt 3). }
\overset{ { \white{ . } } }{}{\white{ix}}Sommets de  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  notés \overset{ { \white{ . } } } { A_1,\,A'_1,\,B_1\;\text{ et }\;B'_1\;: }
{ \white{ xxi } }  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{A_1}=4-\sqrt3\times0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A_1}=\sqrt3\times4+0}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{A_1}=4\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A_1}=4\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{A_1\,(4\;;\;4\sqrt 3)}

{ \white{ xxi } }  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_1}=-4-\sqrt3\times0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_1}=\sqrt3\times(-4)+0}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_1}=-4\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_1}=-4\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{A'_1\,(-4\;;\;-4\sqrt 3)}

{ \white{ xxi } }   \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{B_1}=0-\sqrt3\times2\sqrt 3\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{B_1}=\sqrt3\times0+2\sqrt 3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{B_1}=-6\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{B_1}=2\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{B_1\,(-6\;;\;2\sqrt 3)}

{ \white{ xxi } }  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{B'_1}=0-\sqrt3\times(-2\sqrt 3)\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{B'_1}=\sqrt3\times0-2\sqrt 3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{B'_1}=6\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{B'_1}=-2\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{B'_1\,(6\;;\;-2\sqrt 3)}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Foyers de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }  :  \overset{ { \white{ . } } } { F\,(2\;;\;0)\;\text{ et }\;F'\,(-2\;;\;0). }
\overset{ { \white{ . } } }{}{\white{ix}}Foyers de  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  notés \overset{ { \white{ . } } } { F_1\;\text{ et }\;F'_1\;: }
{ \white{ xxi } }  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{F_1}=2-\sqrt3\times0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{F_1}=\sqrt3\times2+0}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{F_1}=2\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{F_1}=2\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{F_1\,(2\;;\;2\sqrt 3)}

{ \white{ xxi } }  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{F'_1}=-2-\sqrt3\times0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{F_1}=\sqrt3\times(-2)+0}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{F'_1}=-2\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{F'_1}=-2\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{F'_1\,(-2\;;\;-2\sqrt 3)}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Excentricité :  \overset{ { \white{ . } } } { e'=e=\dfrac 1 2. }

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Axe focal de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }  :  \overset{ { \white{ . } } } { y=0. }
\overset{ { \white{ . } } }{}{\white{ix}}Axe focal de  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  :  \overset{ { \white{ . } } } {y=\sqrt3\,x+0} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{-\sqrt3\,x+y=0}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Axe non-focal de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }  :  \overset{ { \white{ . } } } { x=0. }
\overset{ { \white{ . } } }{}{\white{ix}}Axe non-focal de  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  :  \overset{ { \white{ . } } } {x=0-\sqrt3\,y} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{x+\sqrt3\,y=0}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Directrices de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }  :  \left\lbrace\begin{matrix}(D):x=8\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { (D'):x=-8}\end{matrix}\right.
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Directrices de  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }  :   \overset{ { \phantom{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}(D_1):\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y=8\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x+\sqrt 3\,y=32}\phantom{i}\\\overset{ { \white{ . } } } { (D'_1):\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y=-8\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x+\sqrt 3\,y=-32}}\end{matrix}\right.}

3. c)  Représentons graphiquement  \overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma). }

Bac Senegal 2023 série S : image 7


5 points

exercice 2

1.  Une urne contient 15 jetons.

{ \white{ xxi } }{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}2 jetons portent le nombre   { a=\overline{1001}\;^2, }
{ \white{ xxi } }{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}4 jetons portent le nombre   { b=\overline{431}\;^5, }
{ \white{ xxi } }{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}6 jetons portent le nombre   { c=\overline{7E6}\;^{16}, }
{ \white{ xxi } }{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}3 jetons portent le nombre   { d=2023. }

1. a)  Nous devons déterminer les écritures des nombres  \overset{ { \white{ . } } } {a,\,b}  et  \overset{ { \white{ . } } } {c}  dans la base décimale.

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}a=\overline{1001}\;^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{Wv}=1\times2^3+0\times2^2+0\times2^1+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=8+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=9 } \\\\\phantom{xx}\Longrightarrow\quad\boxed{a=\overline{1001}\;^2=9}

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}b=\overline{431}\;^5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{Wv}=4\times5^2+3\times5^1+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=100+15+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=116 } \\\\\phantom{xx}\Longrightarrow\quad\boxed{b=\overline{431}\;^5=116}

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}c=\overline{7E6}\;^{16} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{Wv}=7\times16^2+14\times16^1+6 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=1792+224+6 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=2022 } \\\\\phantom{xx}\Longrightarrow\quad\boxed{c=\overline{7E6}\;^{16}=2022}

1. b)  Nous devons déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de chacun des nombres inscrits sur les jetons.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{xx}}a=9=1\times7+2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a\equiv 2\,[7]} \\\overset{ { \phantom{ Z } } }{\bullet}{\phantom{xx}}b=116=16\times7+4\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b\equiv 4\,[7]} \\\overset{ { \phantom{Z } } }{\bullet}{\phantom{xx}}c=2022=288\times7+6\quad\Longrightarrow\quad\boxed{c\equiv 6\,[7]} \\\overset{ { \phantom{Z } } }{\bullet}{\phantom{xx}}d=2023=289\times7+0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{d\equiv 0\,[7]}

2.  On pose  \overset{ { \white{ . } } } {S_n=2^n+4^n+6^n}  où  \overset{ { \white{ . } } } { n }  est un entier naturel.

2. a)  Démontrons que  \overset{ { \white{ . } } } { S_{6n}\equiv3\,[7]. } 

S_{6n}=2^{6n}+4^{6n}+6^{6n}

\text{Or }\;\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} 2^6=64=9\times7+1\quad\Longrightarrow\quad2^6\equiv1\,[7]\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\left(2^6\right)^n\overset{ { \white{ . } } } {\equiv1^n\,[7]}  \\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad2^{6n}\overset{ { \white{ . } } } {\equiv1\,[7]} \\\\\phantom{xxx}\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} 4^6=2^6\times2^6\equiv1\times1\,[7]\quad\Longrightarrow\quad4^6\equiv1\,[7]\\\phantom{WWWWWWWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad\left(4^6\right)^n\overset{ { \phantom{ . } } } {\equiv1^n\,[7]} \\\phantom{WWWWWWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad4^{6n}\overset{ { \phantom{ . } } } {\equiv1\,[7]}

\\\\\phantom{xxx}\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} 6^6=2^6\times3^6=2^6\times(3^2)^3\equiv1\times2^3\,[7]\equiv1\times1\,[7]\quad\Longrightarrow\quad6^6\equiv1\,[7]\\\phantom{WWW WWWWWWWWWWWWWWxWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\left(6^6\right)^n\overset{ { \phantom{ . } } } {\equiv1^n\,[7]} \\\phantom{WWWWWWWWWWxWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad6^{6n}\overset{ { \phantom{ . } } } {\equiv1\,[7]} \\\\\Longrightarrow\quad S_{6n}\equiv1+1+1\;[7]

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S_{6n}\equiv3\,[7]}\,. } 

2. b)  Déterminons le reste de la division euclidienne de  \overset{ { \white{ . } } } { S_{2023} }  par 7.

En utilisant les informations de la question 2. a), nous obtenons :

{ \white{ xxi } } S_{2023}=2^{2023}+4^{2023}+6^{2023} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_{2023}}=2\times2^{2022}+4\times4^{2022}+6\times6^{2022}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{S_{2023}}=2\times2^{6\times337}+4\times4^{6\times337}+6\times6^{6\times337}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_{2023}}\equiv2\times1+4\times1+6\times1\,[7]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_{2023}}\equiv12\,[7]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{S_{2023}}\equiv5\,[7]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{2023}\equiv5\,[7]}

3.  L'urne est utilisée dans un jeu.

Le joueur tire un jeton, note le numéro et le remet dans l'urne avant de procéder à un second tirage.
Pour chaque tirage, le joueur gagnera un nombre de points égal au reste de la division euclidienne par 7 du nombre inscrit sur le jeton.

Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { X }  la variable aléatoire associée au nombre de points obtenus par le joueur à l'issue des deux tirages.

3. a)  Déterminons la loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X. } 

Dans la question 1. b), nous avons montré que les valeurs possibles pour les restes de la division euclidienne par 7 des nombres inscrits sur les jetons étaient 0, 2, 4 et 6.

Notons dans le tableau suivant les diverses manières d'obtenir les différents totaux de points.

{ \white{ WWWWWWW} } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline{\red{\text{Points obtenus}}}&&&&&&&&&&&&\\ {\red{\text{lors de}}}&&{\red{0}}&&&{\red{2}}&&&{\red{4}}&&&{\red{6}}&&{\red{\text{chaque tirage}}} &&&&&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&&&&& \\ {\red{0}}&&0&&&2&&&4&&&6&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&\\ {\red{2}}&&2&&&4&&&6&&&8&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&\\ {\red{4}}&&4&&&6&&&8&&&10&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&\\ {\red{6}}&&6&&&8&&&10&&&12&\\&&&&&&&&&&&& \\\hline \end{array}

Nous en déduisons que les valeurs possibles de la variable  \overset{ { \white{ _. } } } { X }  sont : 0, 2, 4, 6, 8, 10 et 12.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité et les deux tirages sont indépendants.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}3 jetons parmi les 15 jetons portent le nombre  \overset{ { \white{ _. } } } { d }  et attribuent dès lors 0 point.
Lors d'un tirage, la probabilité d'obtenir 0 point est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{3}{15}.}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}2 jetons parmi les 15 jetons portent le nombre  \overset{ { \white{ . } } } { a }  et attribuent dès lors 2 points.
Lors d'un tirage, la probabilité d'obtenir 2 points est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{2}{15}.}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}4 jetons parmi les 15 jetons portent le nombre  \overset{ { \white{ _. } } } { b }  et attribuent dès lors 4 points.
Lors d'un tirage, la probabilité d'obtenir 4 points est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{4}{15}.}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}6 jetons parmi les 15 jetons portent le nombre  \overset{ { \white{ . } } } { c }  et attribuent dès lors 6 points.
Lors d'un tirage, la probabilité d'obtenir 6 points est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{6}{15}.}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons   \overset{ { \white{ . } } } { P(X=0). } 
Pour obtenir  \overset{ { \white{ _. } } } { X=0 } , nous devons 0 point aux deux tirages.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=0)=\dfrac{3}{15}\times\dfrac{3}{15}=\dfrac{9}{225}. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons   \overset{ { \white{ . } } } { P(X=2). } 
Pour obtenir  \overset{ { \white{ _. } } } { X=2 } , nous devons ''obtenir 2 points au premier tirage et 0 point au second tirage'' ou ''obtenir 0 point au premier tirage et 2 points au second tirage''.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=2)=\dfrac{2}{15}\times\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}\times\dfrac{2}{15}=\dfrac{12}{225}. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons   \overset{ { \white{ . } } } { P(X=4). } 
Pour obtenir  \overset{ { \white{ _. } } } { X=4 } , nous devons ''obtenir 4 points au premier tirage et 0 point au second tirage'' ou ''obtenir 0 point au premier tirage et 4 points au second tirage'' ou ''obtenir 2 points aux deux tirages''.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=4)=\dfrac{4}{15}\times\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}\times\dfrac{4}{15}+\dfrac{2}{15}\times\dfrac{2}{15}=\dfrac{28}{225}. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons   \overset{ { \white{ . } } } { P(X=6). } 
Pour obtenir  \overset{ { \white{ _. } } } { X=6 } , nous devons ''obtenir 6 points au premier tirage et 0 point au second tirage'' ou ''obtenir 0 point au premier tirage et 6 points au second tirage'' ou ''obtenir 2 points au premier tirage et 4 points au second tirage'' ou ''obtenir 4 points au premier tirage et 2 points au second tirage''.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=6)=\dfrac{6}{15}\times\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}\times\dfrac{6}{15}+\dfrac{2}{15}\times\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{15}\times\dfrac{2}{15}=\dfrac{52}{225}. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons   \overset{ { \white{ . } } } { P(X=8). } 
Pour obtenir  \overset{ { \white{ _. } } } { X=8 } , nous devons ''obtenir 2 points au premier tirage et 6 points au second tirage'' ou ''obtenir 6 points au premier tirage et 2 points au second tirage'' ou ''obtenir 4 points aux deux tirages''.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=8)=\dfrac{2}{15}\times\dfrac{6}{15}+\dfrac{6}{15}\times\dfrac{2}{15}+\dfrac{4}{15}\times\dfrac{4}{15}=\dfrac{40}{225}. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons   \overset{ { \white{ . } } } { P(X=10). } 
Pour obtenir  \overset{ { \white{ _. } } } { X=10 } , nous devons ''obtenir 6 points au premier tirage et 4 points au second tirage'' ou ''obtenir 4 points au premier tirage et 6 points au second tirage''.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=10)=\dfrac{6}{15}\times\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{15}\times\dfrac{6}{15}=\dfrac{48}{225}. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons   \overset{ { \white{ . } } } { P(X=12). } 
Pour obtenir  \overset{ { \white{ _. } } } { X=12 } , nous devons 6 points aux deux tirages.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } { P(X=12)=\dfrac{6}{15}\times\dfrac{6}{15}=\dfrac{36}{225}. } 

Résumons cette loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X }  par le tableau suivant :

{ \white{ WWWWWWW} } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ x_i&&0&&&2&&&4&&&6&&&8&&&10&&&12&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\P(X=x_i)&&\dfrac{9}{225}&&&\dfrac{12}{225}&&&\dfrac{28}{225}&&&\dfrac{52}{225}&&&\dfrac{40}{225}&&&\dfrac{48}{225}&&&\dfrac{36}{225}&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

3. b)  Calculons l'espérance mathématique  \overset{ { \white{ _. } } } { E(X). } 

{ \white{ xxi } } E(X)=0\times\dfrac{9}{225}+2\times\dfrac{12}{225}+4\times\dfrac{28}{225}+6\times\dfrac{52}{225}+8\times\dfrac{40}{225}+10\times\dfrac{48}{225}+12\times\dfrac{36}{225} \\\\\phantom{E(X)}=\dfrac{1680}{225}=\dfrac{112}{15} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=\dfrac{112}{15}\approx7,47}

3. c)  Calculons la probabilité d'avoir un gain dépassant l'espérance, soit  \overset{ { \white{ . } } } { P\left(X>\dfrac{112}{15}\right). }
{ \white{ xxi } } P\left(X>\dfrac{112}{15}\right)=P(X=8)+P(X=10)+P(X=12) \\\phantom{P\left(X>\dfrac{112}{15}\right)}=\dfrac{40}{225}+\dfrac{48}{225}+\dfrac{26}{225} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P\left(X>\dfrac{112}{15}\right)}=\dfrac{124}{225}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P\left(X>\dfrac{112}{15}\right)=\dfrac{124}{225}\approx0,56}

11 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthonormé  \overset{ { \white{ _. } } } {(O\,;\,\vec i,\vec j).  } 

Partie A (2,5 points)

On considère la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_m }  à variable réelle définie par :  \overset{ { \white{ . } } } { f_m(x)=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right) }  où  \overset{ { \white{ . } } } { m }  est un paramètre réel non nul.
On note  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_m) }  la courbe représentative de  \overset{ { \white{ . } } } { f_m }  dans la repère  \overset{ { \white{ _. } } } {(O\,;\,\vec i,\vec j).  } 

1.  Déterminons le domaine de définition  \overset{ { \white{ _. } } } {D_m }  de  \overset{ { \white{ _. } } } { f_m.} 

 \overset{ { \white{ _. } } } { f_m\in\R\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{m+x}{m-x}>0. } 

Envisageons deux cas.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Premier cas :  \overset{ { \white{ _. } } } {m>0 } 

{ \white{ xxi } }\begin{matrix}m+x<0\Longleftrightarrow x<-m \\\overset{ { \white{ . } } } {m+x=0\Longleftrightarrow x=-m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m+x>0\Longleftrightarrow x>-m}\\\\m-x<0\Longleftrightarrow x>m \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x=0\Longleftrightarrow x=m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x>0\Longleftrightarrow x<m}  \end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&-m&&m&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\ m+x&&-&0&+&+&+&\\m-x&&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&||&&\\\dfrac{m+x}{m-x}&&-&0&+&||&-&\\&&&&&||&&\\\hline \end{array} \\\\\text{Donc }\;\dfrac{m+x}{m-x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\;]-m\;;\;m[

D'où si  \overset{ { \white{ . } } } {m>0, }  alors  \overset{ { \white{ . } } } {D_m=]-m\;;\;m[. } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Second cas :  \overset{ { \white{ _. } } } {m<0 } 

{ \white{ xxi } }\begin{matrix}m+x<0\Longleftrightarrow x<-m \\\overset{ { \white{ . } } } {m+x=0\Longleftrightarrow x=-m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m+x>0\Longleftrightarrow x>-m}\\\\m-x<0\Longleftrightarrow x>m \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x=0\Longleftrightarrow x=m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x>0\Longleftrightarrow x<m}  \end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&m&&-m&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\ m+x&&-&-&-&0&+&\\m-x&&+&0&-&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&||&&\\\dfrac{m+x}{m-x}&&-&0&+&||&-&\\&&&&&||&&\\\hline \end{array} \\\\\text{Donc }\;\dfrac{m+x}{m-x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\;]m\;;\;-m[

D'où si  \overset{ { \white{ . } } } {m<0, }  alors  \overset{ { \white{ . } } } {D_m=]m\;;\;-m[. } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{D_m=]-|m|\;;\;|m|\,[}\,.  } 

2. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { f_m }  est impaire.

{ \white{ xxi } }{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\forall\ x\in D_m, \;-x\in D_m. \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\forall\ x\in D_m, \; f_m(-x)=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{m-x}{m+x}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWw}=-\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWw}=-f_m(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\ x\in D_m, \; f_m(-x)=-f_m(x)}

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { f_m }  est impaire.

2. b)  Nous devons calculer les limites de  \overset{ { \white{ . } } } {f_m  }  aux bornes de  \overset{ { \white{ . } } } { D_m. } 

Envisageons deux cas.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Premier cas :  \overset{ { \white{ _. } } } {m>0 }  (nous savons que dans ce cas,  \overset{ { \white{ . } } } {D_m=\,]-m\;;\;m[. } )

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -m^+}f_m(x). } 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -m^+}(m+x)=0^+\phantom{xxx}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -m^+}(m-x)=2m>0} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to -m^+}\dfrac{m+x}{m-x}=0^+}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to -m^+}\dfrac{m+x}{m-x}=0^+}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{X\to0^+}\ln\, (X)=-\infty} \end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\frac{m+x}{m-x}\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-m^+}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{x\to -m^+}\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=-\infty

D'où  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to -m^+}f_m(x)=-\infty} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to m^-}f_m(x). } 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to m^-}(m+x)=2m>0\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to m^-}(m-x)=0^+\phantom{xxx}} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to m^-}\dfrac{m+x}{m-x}=+\infty}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to m^-}\dfrac{m+x}{m-x}=+\infty}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{X\to +\infty}\ln\, (X)=+\infty} \end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\frac{m+x}{m-x}\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to m^-}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{x\to m^-}\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=+\infty

D'où  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to m^-}f_m(x)=+\infty} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Second cas :  \overset{ { \white{ _. } } } {m<0 }  (nous savons que dans ce cas,  \overset{ { \white{ . } } } {D_m=\,]m\;;\;-m[. } )

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to m^+}f_m(x). } 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to m^+}(m+x)=2m<0\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to m^+}(m-x)=0^-\phantom{xxx}} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to m^+}\dfrac{m+x}{m-x}=+\infty}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to m^+}\dfrac{m+x}{m-x}=+\infty}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{X\to+\infty}\ln\, (X)=+\infty} \end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\frac{m+x}{m-x}\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to m^+}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{x\to  m^+}\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=+\infty

D'où  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to m^+}f_m(x)=+\infty} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -m^-}f_m(x). } 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -m^-}(m+x)=0^-\phantom{xxx}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -m^-}(m-x)=2m<0} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to -m^-}\dfrac{m+x}{m-x}=0^+}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to -m^-}\dfrac{m+x}{m-x}=0^+}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{X\to 0^+}\ln\, (X)=-\infty} \end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\frac{m+x}{m-x}\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to -m^-}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{x\to -m^-}\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=-\infty

D'où  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to -m^-}f_m(x)=-\infty} } 

2. c)  Montrons que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { m }  non nul, nous avons :  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in D_m,\;f_{(-m)}(x)=-f_m(x).} 

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white . } } } { \forall\,x\in D_m,\;f_{(-m)}(x)=\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{-m+x}{-m-x}\right)=\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{-(m-x)}{-(m+x)}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{m-x}{m+x}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=-\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=-f_m(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in D_m,\;f_{(-m)}(x)=-f_m(x)}

3.  On suppose dans cette question que  \overset{ { \white{ . } } } { m }  est un réel strictement positif.

3. a)  Nous devons étudier les variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f_m} 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_m }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { D_m.} 

{ \white{ xxi } } f'_m(x)=\dfrac{1}{2}\,\left[\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)\right]' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)'}{\dfrac{m+x}{m-x}} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{m-x}{m+x}\times\dfrac{(m+x)'\times(m-x)-(m+x)\times(m-x)'}{(m-x)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{m-x}{m+x}\times\dfrac{1\times(m-x)-(m+x)\times(-1)}{(m-x)^2} }
{ \white{ xxi } } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{m-x}{m+x}\times\dfrac{m-x+m+x}{(m-x)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{m+x}\times\dfrac{2m}{m-x} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{m}{(m+x)(m-x)} } \\\\\Longrightarrow\boxed{f'_m(x)=\dfrac{m}{(m+x)(m-x)} }

\begin{matrix}m+x<0\Longleftrightarrow x<-m \\\overset{ { \white{ . } } } {m+x=0\Longleftrightarrow x=-m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m+x>0\Longleftrightarrow x>-m} \\\\m-x<0\Longleftrightarrow x>m \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x=0\Longleftrightarrow x=m} \\\overset{ { \phantom{ . } } }  {m-x>0\Longleftrightarrow x<m} \end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&&x&-\infty&&-m&&m&&+\infty &&&&&&&&\\\hline  &&&&&&&\\ m&&+&+&+&+&+&\\ m+x&&-&0&+&+&+&\\m-x&&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&||&&||&&\\f'_m(x)=\dfrac{m}{(m+x)(m-x)} &&-&||&+&||&-&\\&&&||&&||&&\\\hline \end{array}

Donc  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\,x\in\,]-m\;;\;m[\,,\;f'_m(x)>0.} } 

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_m }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-m\;;\;m[\,. } 

3. b)  La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_m }  est continue et strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-m\;;\;m[\,. } 

Dès lors,  \overset{ { \white{ . } } } { f_m }  réalise une bijection de  \overset{ { \white{ . } } } { ]-m\;;\;m[ }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { J=f\left(]-m\;;\;m[\right)=\R. } 

3. c)  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { (f_m)^{-1} }  la bijection réciproque de  \overset{ { \white{ . } } } { f_m. } 

\forall\,x\in\,]-m\;;\;m[\,,\;y=f_m(x)\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)  \\\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad 2y=\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{2y}=\dfrac{m+x}{m-x}}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad (m-x)\,\text e^{2y}=m+x}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad m\,\text e^{2y}-x\,\text e^{2y}=m+x}

{ \white{ WWWWWWWWWWW} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad m\,\text e^{2y}-m=x\,\text e^{2y}+x}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad m\,(\text e^{2y}-1)=x(\text e^{2y}+1)}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{ m\,(\text e^{2y}-1)}{\text e^{2y}+1}}  \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad x=(f_m)^{-1}(y)}

Nous pouvons ainsi définir  \overset{ { \white{ . } } } { (f_m)^{-1} } comme suit :  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(f_m)^{-1} :x\mapsto (f_m)^{-1} (x)=  \dfrac{ m\,(\text e^{2x}-1)}{\text e^{2x}+1}}}  où le domaine de définition est  \overset{ { \white{ . } } } {D\Big((f_m)^{-1}\Big)=\R  }  et l'image est  \overset{ { \white{ . } } } { \text{Im}\Big((f_m)^{-1}\Big)=\,]-m\;;\;m[\,. } 

Partie B (2,25 points)

1.  Nous devons dresser le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f_1. } 
Nous rappelons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_1 }  est définie par :  \overset{ { \white{ . } } } { f_1(x)=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right). } 
Nous notons  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }  la courbe représentative de  \overset{ { \white{ . } } } { f_1 }  dans la repère  \overset{ { \white{ _. } } } {(O\,;\,\vec i,\vec j).  } 

En utilisant les résultats de la partie A où  \overset{ { \white{ . } } } {m=1  } , nous obtenons le tableau de variations de  \overset{ { \white{ . } } } { f_1. } 

{ \white{ WWWWWWW} } \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-1&&&&1 &&&&&&\\\hline&||&&&&||& f'_1(x)&||&+&+&+&||\\&||&&&&||\\\hline&||&&&&+\infty\\f_1&||&\nearrow&\nearrow&\nearrow&||\\&-\infty&&&&||\\\hline \end{array}

2.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  la tangente à  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }  au point d'abscisse 0.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Déterminons une équation de  \overset{ { \white{ . } } } { (T). } 

Une équation de  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  est de la forme  \overset{ { \white{ . } } } { y=f'_1(0)(x-0)+f_1(0),  }  soit  \overset{ { \white{ . } } } { y=f'_1(0)\,x+f_1(0).  } 

Or   \overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}f_1(0)=\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{1+0}{1-0}\right)\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_1(0)=\dfrac{1}{(1+0)(1-0)}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow \quad\left\lbrace\begin{matrix}f_1(0)=0\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_1(0)=1}\end{matrix}\right.  } 

Nous en déduisons qu'une équation de  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  est  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=x}\,.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Nous déterminerons la position de  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }  par rapport à  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  en étudiant le signe de la fonction  \overset{ { \white{ g } } } { g }  définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-1;\;;1[ }  par  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=f_1(x)-x. } 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;1[ }.

\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)=f_1'(x)-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{1}{(1+x)(1-x)} -1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{1-(1+x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{1-(1-x^2)}{(1+x)(1-x)}}
\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{x^2}{(1+x)(1-x)}} \\\\\Longrightarrow\quad{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{x^2}{1-x^2} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}x^2\ge0\phantom{WWWWWWWWWWW} \\\\-1<x<1\quad\Longrightarrow\quad |x|<1\phantom{WWW} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{xW}\quad\Longrightarrow\quad x^2<1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{xWWw}\quad\Longrightarrow\quad 1-x^2>0}\end{matrix}\right.

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)\ge0 } 
et par suite la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  est croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]-1;\;;1[. }

En outre,  \overset{ { \white{ . } } } { g(0)=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+0}{1-0}\right)-0\quad\Longrightarrow\quad g(0)=0.  } 

Il s'ensuit que :  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\forall\,x\in\,]-1\;;\;0\,[\,,\;g(x)<0\\\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\,]\,0\;;\;1[\,,\;g(x)>0}\end{matrix}\right. } 

soit que  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\forall\,x\in\,]-1\;;\;0\,[\,,\;f_1(x)-x<0\\\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\,]\,0\;;\;1[\,,\;f_1(x)-x>0}\end{matrix}\right. } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }  est en dessous de  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;0\,[ } 
{\white{WWWWwWW}}\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }  est au-dessus de  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;1[ .}
 

3.  Construisons  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }  et  \overset{ { \white{ . } } } { (T). } 

Bac Senegal 2023 série S : image 8


4.  Nous avons montré dans la partie A, question 2. c) que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { m }  non nul, nous avons :  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in D_m,\;f_{(-m)}(x)=-f_m(x).} 
Dès lors,  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,]\,-1\;;\;1\,[\,,\;f_{(-1)}(x)=-f_1(x).} 

Par conséquent, la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_{-1}) }  est l'image de la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }  par la symétrie axiale dont l'axe est la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (Ox). } 

De plus, nous savons que si deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, leurs représentations graphiques dans un plan muni d'un repère orthonormé sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation  \overset{ { \white{ . } } } { y=x. } 

D'où la courbe   \overset{ { \phantom{ . } } } { (\mathscr{C}_{(f_1)^{-1}}) }  est l'image de la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }  par la symétrie axiale dont l'axe est la droite  \overset{ { \white{.} } } { y=x. } 

Partie C (3,5 points)

1.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { \Phi }  une primitive de  \overset{ { \white{ . } } } { (f_1)^{-1} }  sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R. } 

1. a)  Nous devons démontrer que  \overset{ { \white{ . } } } { \Phi\circ f_1 }  est une primitive de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto x\,f'_1(x) }  sur  \overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[ .}

D'une part,  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,\R,\;\Phi'(x)=(f_1)^{-1}(x) }  car  \overset{ { \white{ . } } } { \Phi }  est une primitive de  \overset{ { \white{ . } } } { (f_1)^{-1} }  sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R. } 

D'autre part, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { \Phi\circ f_1 }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } {]\,-1\;;\;1\,[ }  (car  \overset{ { \white{ _. } } } { f_1 }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[ }  et  \overset{ { \white{ . } } } {\Phi}  est dérivable sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R } ).

Nous obtenons ainsi :  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,]\,-1\;;\;1\,[, } 

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } } { (\Phi\circ f_1)'(x)=\Phi'\Big( f_1(x)\Big) \times f_1'(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}= f_1^{-1}\Big( f_1(x)\Big) \times f_1'(x)}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}=x \times f_1'(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]\,-1\;;\;1\,[,\;(\Phi\circ f_1)'(x)=x \times f_1'(x)}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \Phi\circ f_1 }  est une primitive de la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto x\,f'_1(x). } 

1. b)  Nous devons démontrer que pour tous réels  \overset{ { \white{ . } } } { a }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { b }  appartenant à l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[\,, }  on a :
 \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{f_1(a)}^{f_1(b)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{a}^{b} t\,f_1'(t)\,\text{d}t. }
 

En effet, pour tous réels  \overset{ { \white{ . } } } { a }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { b }  appartenant à l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[\,, }  nous obtenons :

{ \white{ xxi } }\displaystyle\int_{f_1(a)}^{f_1(b)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\left[\overset{}{\Phi(t)}\right]_{f_1(a)}^{f_1(b)}\\\phantom{WWWWWWi}=\Phi(f_1(b))-\Phi(f_1(a)) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWi}=(\Phi\circ f_1)(b)-(\Phi\circ f_1)(a)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWi}=\left[\overset{}{\Phi\circ f_1}\right]_{a}^{b}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWi}=\displaystyle\int_{a}^{b} (\Phi\circ f_1)'(t)\,\text{d}t}
{ \white{ xxi } }\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWi}=\displaystyle\int_{a}^{b}t\,f_1'(t)\,\text{d}t}. \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,a,b\in\,]-1\;;\;1[\,,\;\displaystyle\int_{f_1(a)}^{f_1(b)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{a}^{b}t\,f_1'(t)\,\text{d}t}

1. c)  Nous devons en déduire que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  appartenant à l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[\,, }  nous avons :
\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}t\,f_1'(t)\,\text{d}t.}
Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { f_1(0)=0. } 
Dès lors, en remplaçant  \overset{ { \white{ . } } } { a }  par 0 et  \overset{ { \white{ _. } } } { b }  par  \overset{ { \white{ . } } } { x }  dans l'égalité de la question précédente, nous obtenons :

 \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{f_1(0)}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}t\,f_1'(t)\,\text{d}t } , soit  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \displaystyle\int_{0}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}t\,f_1'(t)\,\text{d}t }} 

2.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { x }  un élément de  \overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;1\,[. } 

2. a)  Démontrons que  \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t=-\dfrac1 2 \ln(1-x^2). } 
Nous avons montré dans la partie A, question 3. a) que  \overset{ { \white{ . } } } { f'_m(x)=\dfrac{m}{(m+x)(m-x)} }  et par suite,  \overset{ { \white{ . } } } { f'_1(t)=\dfrac{1}{(1+t)(1-t)} } 

Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } {  \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x} t\times\dfrac{1}{(1+t)(1-t)}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{  \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{t}{1-t^2}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{  \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=-\dfrac12\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{-2t}{1-t^2}\,\text{d}t}
{ \white{ xxi } } \\\phantom{  \displaystyle\int t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=-\dfrac12\left[\overset{}{\ln(1-t^2)}\right]_0^x \\\phantom{  \displaystyle\int t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=-\dfrac12\left[\overset{}{\ln(1-x^2)-\ln(1-0)}\right] \\\phantom{  \displaystyle\int t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=-\dfrac12\ln(1-x^2) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{0}^{x} t\,f\,'_1(t)\,\text{d}t=-\dfrac1 2 \ln(1-x^2)}

2. b)  Nous devons montrer que pour tout élément  \overset{ { \white{ . } } } { y }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {\R\,,  }  \displaystyle\int_{0}^{y} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\ln\left(\dfrac{\text e^y+\text e^{-y}}{2}\right).

Nous avons montré dans les questions 1. c) et 2. a) que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  appartenant à l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[\,, }  nous avons :
\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}t\,f_1'(t)\,\text{d}t}    et    \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t=-\dfrac1 2 \ln(1-x^2). }

Nous en déduisons que   \overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t= -\dfrac1 2 \ln(1-x^2) } 

et si  \overset{ { \white{ . } } } { y=f_1(x)\,, }  alors l'égalité précédente s'écrira :  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\displaystyle\int_{0}^{y} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t= -\dfrac1 2 \ln(1-x^2)} } 

  Dans ce cas, nous savons par la question 3. c) - Partie A que  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=(f_1)^{-1}(y)\phantom{xxxx}\\\overset{ { \white{ . } } } {(f_1)^{-1}(y)=\dfrac{\text e^{2y}-1}{\text e^{2y}+1}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac{\text e^{2y}-1}{\text e^{2y}+1}} } 

Dès lors,

\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{y} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t= -\dfrac1 2 \ln\Bigg(1-\left(\dfrac{\text e^{2y}-1}{\text e^{2y}+1}\right)^2\Bigg)}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= -\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{(\text e^{2y}+1)^2-(\text e^{2y}-1)^2}{(\text e^{2y}+1)^2}\right)}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= -\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{\text e^{4y}+2\text e^{2y}+1-\text e^{4y}+2\text e^{2y}-1}{(\text e^{2y}+1)^2}\right)}
{ \white{ WWWWWi} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= -\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{4\text e^{2y}}{(\text e^{2y}+1)^2}\right)}  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{(\text e^{2y}+1)^2}{4\text e^{2y}}\right)}   \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{\text e^{2y}+1}{2\text e^{y}}\right)^2}   \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \ln\left(\dfrac{\text e^{2y}+1}{2\text e^{y}}\right)}
{ \white{ WWWWWi} }  \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \ln\left(\dfrac{\text e^{2y}}{2\text e^{y}}+\dfrac{1}{2\text e^{y}}\right)}   \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \ln\left(\dfrac{1}{2}\,\text e^{y}+\dfrac{1}{2}\,\text e^{-y}\right)}
\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \ln\left(\dfrac{\text e^{y}+\text e^{-y}}{2}\right)}   \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{0}^{y} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t= \ln\left(\dfrac{\text e^{y}+\text e^{-y}}{2}\right)}

2. c)  Calculons l'aire  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{A} } , en cm2, de la partie du plan délimitée par la courbe    \overset{ { \phantom{ (c) } } } { (\mathscr{C}_{(f_1)^{-1}}) } , les droites d'équations  \overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }  et l'axe des abscisses.

Déterminons d'abord l'aire  \overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{A} }  en unité d'aire (u.a.) en utilisant le résultat de la question précédente dans lequel nous remplaçons  \overset{ { \white{ . } } } { y }  par 1.

{ \white{ xxi } }\mathscr{A}=\displaystyle\int_{0}^{1} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\ln\left(\dfrac{\text e^{1}+\text e^{-1}}{2}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=\ln\left(\dfrac{\text {e}+\text e^{-1}}{2}\right)\text{u.a.}}

Or l'unité graphique du repère est de 3 cm.
Dès lors l'unité d'aire est 9 cm2.

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\mathscr{A}=9\times\ln\left(\dfrac{\text {e}+\text e^{-1}}{2}\right)\text{cm}^2}\,. } 

3.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { x }  un réel et  \overset{ { \white{ _. } } } { A }  le point de   \overset{ { \phantom{ (c) } } } { (\mathscr{C}_{(f_1)^{-1}}) }  d'abscisse  { \ln\sqrt2.} 

3. a)  Montrons que :  \overset{ { \white{ . } } } { \Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'=1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2. } 

En utilisant la définition de   \overset{ { \white{ . } } } { (f_m)^{-1} }    donnée dans la Partie A - question 3. c), nous savons que
\overset{ { \white{ . } } } {  (f_1)^{-1} (x)= \dfrac{ \text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}. }

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}D'une part, nous obtenons :

{ \white{ xxi } } \Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'= \left(\dfrac{ \text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'}= \dfrac{( \text e^{2x}-1)'\times(\text e^{2x}+1)-(\text e^{2x}-1)\times (\text e^{2x}+1)'}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'}= \dfrac{2\, \text e^{2x}\times(\text e^{2x}+1)-(\text e^{2x}-1)\times 2\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'}= \dfrac{2\, \text e^{4x}+2\, \text e^{2x}-2\, \text e^{4x}+ 2\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'}= \dfrac{4\, \text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'=\dfrac{4\, \text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}D'autre part,

 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2=1-\left( \dfrac{ \text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}\right)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}=\dfrac{ (\text e^{2x}+1)^2-(\text e^{2x}-1)^2}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}=\dfrac{ [(\text e^{2x}+1)+(\text e^{2x}-1)]\times[(\text e^{2x}+1)-(\text e^{2x}-1)]}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}=\dfrac{2\,\text e^{2x}\times2}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}=\dfrac{4\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2=\dfrac{4\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Par conséquent  \boxed{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'=1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}\,.

3. b)  Nous devons en déduire le volume du solide engendré par la rotation de l'arc  \underset{ { \white{ - } } } { \overset{\frown}{ OA} }  de   \overset{ { \phantom{ (c) } } } { (\mathscr{C}_{(f_1)^{-1}}) }  autour de l'axe des abscisses.

Nous avons :   \overset{ { \white{ _. } } } {V=\pi \displaystyle\int_{0}^{\ln\sqrt2}\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2\,\text{d}x}. 

Or selon la question précédente, nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { \Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'=1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2 } , soit que  \overset{ { \white{ . } } } { \Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2=1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'. } 

Dès lors,

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } } {V=\pi \displaystyle\int_{0}^{\ln\sqrt2}\left [(f_1)^{-1}(x)\right]^2\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V}=\pi \displaystyle\int_{0}^{\ln\sqrt2}\left[1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'\right]\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V}=\pi \times\left[\overset{}{x-(f_1)^{-1}(x)}\right]_{0}^{\ln\sqrt2}}
{ \white{ xxi } }{ \white{ xx } }\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V}=\pi \times\left[\Big(\overset{}{\ln\sqrt2-(f_1)^{-1}(\ln\sqrt2)\Big)}-\Big(\overset{}{0-(f_1)^{-1}(0)\Big)}\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V}=\pi \times\left(\overset{}{\ln\sqrt2-(f_1)^{-1}(\ln\sqrt2)+(f_1)^{-1}(0)}\right)}

\overset{ { \white{ . } } } {\text{Or }\; (f_1)^{-1} (x)= \dfrac{ \text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}}\\\\\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}(f_1)^{-1}(0)= \dfrac{ \text e^{0}-1}{\text e^{0}+1}=\dfrac{ 1-1}{1+1}=0\phantom{WWWWWWWWx}\\\overset{ { \white{ . } } } {(f_1)^{-1}(\ln\sqrt2)= \dfrac{ \text e^{2\ln\sqrt2}-1}{\text e^{2\ln\sqrt2}+1}= \dfrac{ \text e^{\ln2}-1}{\text e^{\ln2}+1}=\dfrac{ 2-1}{2+1}=\dfrac13}\end{matrix}\right.

D'où  \overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{V=\pi \times\left(\ln \sqrt2-\dfrac13\right)\,\text{u.v.}}} }

Or l'unité graphique est 3 cm.
Donc l'unité de volume (u. v.) est 27 cm3

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{V=27\pi \times\left(\ln \sqrt2-\dfrac13\right)\,\text{cm}^3\approx1,123\,\text{cm}^3}}

Partie D (2,75 points)

Soit  \overset{ { \white{ . } } } { x }  un nombre réel.
Pour tout entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  non nul, on pose :  \overset{ { \white{ . } } } { F_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big (f_1^{-1}(t)\Big)^n\,\text{d}t. } 

1. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,x\in\R^+,\,\forall\,n\in\N^*, }  nous avons :  \overset{ { \white{ . } } } { 0\le F_n(x)\le x\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^n. } 

Nous savons par la question 1 - Partie B que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_1 }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;1[. } 
Dès lors, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f_1^{-1} }  est strictement croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. } 
Nous obtenons alors :  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\R^+, \forall\,n\in\N^*,  } 

{ \white{ xxi } }0\le t\le x\quad\Longrightarrow\quad  f_1^{-1}(0)\le f_1^{-1}(t)\le f_1^{-1}(x) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad  0\le f_1^{-1}(t)\le f_1^{-1}(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad  0\le \Big(f_1^{-1}(t)\Big)^n\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad  0\le \displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^n\,\text{d}t\le \displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n\,\text{d}t}
{ \white{ xxi } }\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad  0\le F_n(x)\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n\displaystyle\int_{0}^{x}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad  0\le F_n(x)\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n\left[\overset{}{t}\right]_0^x    } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad  0\le F_n(x)\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n(x-0)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad  0\le F_n(x)\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^nx} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{0\le F_n(x)\le x\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^n}\,.

1. b)  Nous devons en déduire pour tout réel positif  \overset{ { \white{ . } } } { x }  fixé, la limite de  \overset{ { \white{ . } } } { F_n(x). } 

Nous savons par la question 3. c) - Partie A que  \overset{ { \white{ . } } } { \text{Im}\Big((f_1)^{-1}\Big)=\,]-1\;;\;1[. }
Nous obtenons alors :  \overset{ { \white{ . } } } {-1<(f_1)^{-1}(x)<1\quad\Longrightarrow\quad{\lim\limits_{n\to+\infty}\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^n=0} }
{ \white{ WWWWWWWW} }{ \white{ WWWWWWWW} }{ \white{ WW} }\\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}x\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^n=0 }}

De plus, nous avons montré dans la question précédente que  \overset{ { \white{ . } } } { 0\le F_n(x)\le x\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^n. } 

Dès lors, en appliquant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous avons pour tout réel positif  \overset{ { \white{ . } } } { x }  fixé,

\left\lbrace\begin{matrix} 0\le F_n(x)\le x\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^n\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{n\to+\infty}x\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^n=0 }\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}F_n(x)=0}

2. a)  Montrons que :  \overset{ { \white{ . } } } { \forall n\in\N^*,\; F_{n+2}(x)=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}. } 

En effet, pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { n\in\N^*, } 

{ \white{ xxi } }  F_{n+2}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n+2}\,\text{d}t \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{2}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\bigg(1-\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\bigg)\,\text{d}t}\quad\quad(\text{voir question 3. a - Partie C)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\left[\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}-\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\right]\,\text{d}t}
{ \white{ xxi } } { \white{ WWWi} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\,\text{d}t-\displaystyle\int_{0}^{x}\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\left[\Big (f_1^{-1}(t)\Big)^{n+1}\right]_0^x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\left[\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}-\Big (f_1^{-1}(0)\Big)^{n+1}\right]}
{ \white{ xxi } } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\left[\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}-0\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \forall n\in\N^*,\; F_{n+2}(x)=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}}

2. b)  Démontrons par récurrence que :  \overset{ { \white{ . } } } { \forall\,n\in\N^*, \;F_{2n}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}. } 

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour  \overset{ { \white{ . } } } { n=1, }  soit que  \overset{ { \white{ . } } } {F_{2}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^1\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}.}
Notons d'abord que  \overset{ { \white{ . } } } { \sum\limits_{p=1}^1\dfrac{1}{2p-1}=\dfrac{1}{2\times1-1}=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\sum\limits_{p=1}^1\dfrac{1}{2p-1}=1} } 

De plus,

{ \white{ xxi } }F_2(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{2}\,\text{d}t \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\bigg(1-\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\bigg)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}1\,\text{d}t-\displaystyle\int_{0}^{x}\,\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\bigg)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=\bigg[t-(f_1)^{-1}(t)\bigg]_0^x}
{ \white{ xxi } }\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=[x-(f_1)^{-1}(x)]-[0-(f_1)^{-1}(0)]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=x-(f_1)^{-1}(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=x-1\times\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2\times1-1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=x-\sum\limits_{p=1}^1\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{F_{2}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^1\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel non nul  \overset{ { \white{ . } } } { n }  fixé, la propriété est vraie au rang  \overset{ { \white{ . } } } { n, }  alors elle est encore vraie au rang  \overset{ { \white{ . } } } { (n+1). } 
Montrons donc que si pour un nombre naturel non nul \overset{ { \white{ . } } } { n }  fixé,  \overset{ { \white{ . } } } {F_{2n}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}} ,
alors nous obtenons  \overset{ { \white{ . } } } {F_{2(n+1)}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^{n+1}\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}

F_{2(n+1)}=F_{2n+2}=F_{2n}(x)-\dfrac{1}{2n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2n+1}\quad(\text{voir question 2. a - Partie D}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F_{2(n+1)}=F_{2n+2}}=x-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}-\dfrac{1}{2n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2n+1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F_{2(n+1)}=F_{2n+2}}=x-\left[\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}+\dfrac{1}{2(n+1)-1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2(n+1)-1}\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F_{2(n+1)}=F_{2n+2}}=x-\sum\limits_{p=1}^{n+1}\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{F_{2(n+1)}=x-\sum\limits_{p=1}^{n+1}\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}

Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que :  
\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \forall\,n\in\N^*, \;F_{2n}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}\,. }
 


3. a)  Montrons que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  appartenant à [0 ; 1[ et pour tout entier naturel non nul  \overset{ { \white{ . } } } { n, }  nous avons :
x+\dfrac13 x^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\,x^{2n-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x)).

En utilisant le résultat de la question 2. b), nous déduisons que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  appartenant à [0 ; 1[ et pour tout entier naturel non nul  \overset{ { \white{ . } } } { n, }  nous obtenons :

{ \white{ xxi } }F_{2n}(f_1(x))=f_1(x)-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(f_1(x))\Big)^{2p-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\quad\Longleftrightarrow\quad  F_{2n}(f_1(x))=f_1(x)-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)x^{2p-1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\quad\Longleftrightarrow\quad  \sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)x^{2p-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x))} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\quad\Longleftrightarrow\quad  \frac{1}{2-1}\,x+\frac{1}{4-1}\, x^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\,x^{2n-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x))} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\quad\Longleftrightarrow\quad  \boxed{x+\dfrac13 x^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\,x^{2n-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x))}}

3. b)  Nous devons en déduire :  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \dfrac13+\dfrac{1}{3\times 3^3}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}}  \right). } 

Nous avons montré dans la question précédente que pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x }  appartenant à [0 ; 1[ et pour tout entier naturel non nul  \overset{ { \white{ . } } } { n, }  nous avons :
x+\dfrac13 x^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\,x^{2n-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x)).

Remplaçons  \overset{ { \white{ . } } } { x }  par  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac13, }  nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } } \dfrac13+\dfrac13\times\left(\dfrac13\right) ^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\times\left(\dfrac13\right) ^{2n-1}=f_1\left(\frac13\right) -F_{2n}(f_1\left(\frac13\right) ) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{XXX}\Longleftrightarrow\quad \dfrac13+\dfrac{1}{3\times3^3}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)\times3^{2n-1}}=f_1\left(\frac13\right) -F_{2n}(f_1\left(\frac13\right) )}

{ \white{ xxi } } \text{Or }\;f_1\left(\frac13\right)=\dfrac12\,\ln\left(\dfrac{1+\frac13}{1-\frac13}\right) \\\phantom{XXXXX}=\dfrac12\,\ln\left(\dfrac{\frac43}{\frac23}\right)\\\phantom{XXXXX}=\dfrac12\ln2\\\phantom{XXXXX}=\ln\sqrt2\\\\\Longrightarrow\quad f_1\left(\frac13\right)=\ln\sqrt2 \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left( \dfrac13+\dfrac{1}{3\times 3^3}+\cdots++\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}}  \right)=\ln\sqrt2-\lim\limits_{n\to+\infty}F_{2n}(\ln\sqrt2)

De plus, nous savons par la question 1. b) que pour tout réel positif  \overset{ { \white{ . } } } { x }  fixé,  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}F_n(x)=0. } 
Nous en déduisons que pour \overset{ { \white{ _. } } } { x=\ln\sqrt2, }   \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}F_{2n}(\ln\sqrt2)=0. } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \dfrac13+\dfrac{1}{3\times 3^3}+\cdots++\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}}  \right)=\ln\sqrt2-0\,, } 
soit  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left( \dfrac13+\dfrac{1}{3\times 3^3}+\cdots++\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}}  \right)=\ln\sqrt2}\,. } 
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