Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Mathématiques

Sénégal 2023

Série STIDD

Épreuve du 1^er groupe

Durée : 4 heures

Coefficient : 5

5 points

exercice 1

4 points

exercice 2

11 points

probleme

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Bac Sénégal 2023 série STIDD

5 points

exercice 1

1. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ la fonction numérique à variable réelle définie par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\ln(x^2). }$
${ \white{ xx } }$ Quel est l'ensemble de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ ?
${ \white{ xx } }$ Réponse D : $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{ \R\,\setminus\, \lbrace0\rbrace.}} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\ln(x^2)\in\R\quad\Longleftrightarrow\quad x^2>0 \\\phantom{\ln(x^2)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad x\neq0 \\\phantom{\ln(x^2)\in\R}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\R\,\setminus\,\lbrace 0 \rbrace$

${\blue{\text{La réponse D est correcte.}}}$

2. Quelle est la limite quand $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ tend vers 1 de $\overset{ { \white{ . } } } {{\white{x}} \dfrac{\text e^{x-1}-1}{x^2-1} }$ ?
${ \white{ xx } }$ Réponse B : $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{ \dfrac12.}} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{(x-1)(x+1)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x^2-1}}=\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x-1}\times\dfrac{1}{x+1}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x^2-1}}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x-1}\times\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1}{x+1}}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x-1}=\lim\limits_{x-1\to0}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x-1}}=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\text e^{t}-1}{t}\quad\text{où }t=x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x-1}}=f'(0)\quad\text{où }f\text{ est définie sur }\R\text{ par }f(t)=\text e^t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x-1}}=1\quad\text{(car }f'(t)=\text e^t\Longrightarrow f'(0)=\text e^0=1)} \\\\\text{et }\;\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$

Par conséquent, ${ \lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x^2-1}=1\times\dfrac12\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\text e^{x-1}-1}{x^2-1}=\dfrac12} }$

${\blue{\text{La réponse B est correcte.}}}$

3. Quelle est l'écriture sous forme exponentielle du nombre complexe ${ z=-\sqrt3-\text i\sqrt3. }$
${ \white{ xx } }$ Réponse B : ${{\red{ \sqrt6\,\text e^{\text i\frac{5\pi}{4}}.}} }$

En effet, $z=-\sqrt3-\text i\sqrt3=|z|\,\text e^{\text i\theta}.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le module de $\overset{ { \white{ . } } } { z. }$

${ \white{ xxi } }$ $|z|=\sqrt{(-\sqrt3)^2+(-\sqrt3)^2}=\sqrt{3+3}=\sqrt6\quad\Longrightarrow\quad \boxed{|z|=\sqrt 6}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons un argument $\overset{ { \white{ . } } } { \theta }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { z. }$

${ \white{ xxi } }$ $z=-\sqrt3-\text i\sqrt3=|z|\,(\cos\theta+\text i\sin\theta) \\\\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longrightarrow\quad\sqrt6\,(\cos\theta+\text i\sin\theta)=-\sqrt3-\text i\sqrt3} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longrightarrow\quad \cos\theta+\text i\sin\theta=-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt6}-\text i\dfrac{\sqrt3}{\sqrt6}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longrightarrow\quad \cos\theta+\text i\sin\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}-\text i\dfrac{1}{\sqrt2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longrightarrow\quad \cos\theta+\text i\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}-\text i\dfrac{\sqrt2}{2}}$
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\\overset{ { \white{ . } } } {\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\theta=-\dfrac{3\pi}{4}\,[2\pi],\text{ ou encore }\boxed{\theta=\dfrac{5\pi}{4}\,[2\pi]}$
D'où, une écriture exponentielle de $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ est ${ \boxed{z=\sqrt6\,\text e^{\text i\frac{5\pi}{4}}}\,. }$

${\blue{\text{La réponse B est correcte.}}}$

4. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x^3\,(\ln x)^2. }$
${ \white{ xx } }$ Quelle est l'expression de sa dérivée ?

${ \white{ xx } }$ Réponse D : $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{x^2\ln x(3\ln x+2).}} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(x^3\,(\ln x)^2\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}=(x^3)'\times\,(\ln x)^2+x^3\times\,\Big((\ln x)^2\Big)'} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}=3x^2\times\,(\ln x)^2+x^3\times\,2\times\dfrac1x\times\ln x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'(x)}=3x^2(\ln x)^2+2x^2\ln x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f'(x)}=x^2\ln x(3\ln x+2)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=x^2\ln x(3\ln x+2)}$

${\blue{\text{La réponse D est correcte.}}}$

5. Quelle est l'expression de la solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } }{ y''+4y=0 }$ vérifiant
$\overset{ { \white{ . } } } { y(0)=1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y'(0)=0 }$ ?

${ \white{ xx } }$ Réponse C : ${{\red{\cos 2x.}} }$

Première méthode : Vérification.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { y(x)=\cos 2x. }$

$y(x)=\cos 2x\quad\Longrightarrow\quad y'(x)=-2\sin 2x \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{y(x)=\cos 2x}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=-4\cos 2x} \\\\\text{D'où }\;y''(x)+4y(x)=-4\cos 2x+4\cos2x=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y''(x)+4y(x)=0}$

De plus $\overset{ { \white{ . } } } {y(0)=\cos0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y(0)=1}}$
et $\overset{ { \white{ . } } } {y'(0)=-2\sin 0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y'(0)=0}}$

Par conséquent, l'expression de la solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { y''+4y=0 }$ vérifiant
$\overset{ { \white{ . } } } { y(0)=1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y'(0)=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y(x)=\cos 2x}\,. }$

${\blue{\text{La réponse C est correcte.}}}$

Deuxième méthode : Résolution détaillée.

À l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } }{ y''+4y=0 }$ , nous associons l'équation caractéristique ${r^2+4=0}$

Résolvons cette équation caractéristique.

$\underline{\text{Discriminant}}\;:\Delta=0^2-4\times1\times4=-16<0 \\\\\underline{\text{Racines}}\;:r_1=\dfrac{0-4\,\text i}{2}=-2\,\text i \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}r_2=\dfrac{0+4\,\text i}{2}=2\,\text i}$

Puisque l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées $\overset{{\white{.}}}{r_1=0-2\,\text i}$ et $\overset{{\white{.}}}{r_2=0+2\,\text i}$ , les solutions de l'équation différentielles s'écrivent sous la forme : $\overset{{\white{.}}}{y(x)=\text e^{0 x}(\alpha\cos 2x+\beta\sin 2x)}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y(x)=\alpha\cos 2x+\beta\sin 2x\quad\quad(\alpha\in\R\,,\beta\in\R)}}$

$\text{Or }\;y(0)=1\quad\Longrightarrow\quad \alpha\cos 0+\beta\sin 0=1 \\\phantom{\text{Or }\;y(0)=1}\quad\Longrightarrow\quad \alpha\times1+\beta\times0=1 \\\phantom{\text{Or }\;y(0)=1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\alpha=1}$

D'où les solutions de l'équation différentielles s'écrivent sous la forme :
$\overset{{\white{.}}}{\boxed{y(x)=\cos 2x+\beta\sin 2x\quad\quad(\beta\in\R)}}$
De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { y(x)=\cos 2x+\beta\sin 2x\quad\Longrightarrow\quad y'(x)=-2\sin 2x+2\beta\cos 2x. }$

$\text{Dès lors, }\;y'(0)=0\quad\Longrightarrow\quad -2\sin 0+2\beta\cos 0=0 \\\phantom{\text{Dès lors, }\;y'(0)=0}\quad\Longrightarrow\quad 2\beta=0 \\\phantom{\text{Dès lors, }\;y'(0)=0}\quad\Longrightarrow\quad \beta=0$

Par conséquent, l'expression de la solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } { y''+4y=0 }$ vérifiant
$\overset{ { \white{ . } } } { y(0)=1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y'(0)=0 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y(x)=\cos 2x}\,. }$

${\blue{\text{La réponse C est correcte.}}}$

4 points

exercice 2

Dans l'espace muni du repère orthonormal direct ${(O\;;\vec i,\vec j,\vec k), }$ on considère les points suivants :

$\overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;2\;;\;-3),\,B(-5\;;\;-2\;;\;-4),\,C(3\;;\;-6\;;\;2)},\,D(3\;;\;-2\;;\;0)$ et $\overset{ { \white{ . } } } {E(-2\;;\;4\;;\;5).}$

1. Nous devons démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.

Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}=0.}$

Déterminons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5-1\\-2-2\\-4+3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-6\\-4\\-1\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3-1\\-6-2\\2+3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-8\\5\end{pmatrix}\end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-6\\-4\\-1\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}2\\-8\\5\end{pmatrix}$
${ \white{ WWWWWWxWWWWW} }$    $\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\begin{pmatrix}(-4)\times5-(-1)\times(-8)\\ (-1)\times2-(-6)\times5\\ (-6)\times(-8)-(-4)\times2\end{pmatrix}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\begin{pmatrix}-28\\28\\56\end{pmatrix}}$

D'où nous obtenons le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}-28\\28\\56\end{pmatrix}.}$
Le vecteur ${\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}$ n'est pas le vecteur nul.
Dès lors, les vecteurs ${\overrightarrow{AB}}$ et ${\overrightarrow{AC}}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les points A, B et C déterminent un plan $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}). }$

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}-28\\28\\56\end{pmatrix} \\\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}\phantom{WWW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } {\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}=(-28)\times2+28\times(-4)+56\times3} \\\phantom{WWWWWwWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}=0}$

Par conséquent, les points A, B, C et D sont coplanaires.

2. Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{P}) }$ passant par les points A, B et C .

Le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}-28\\28\\56\end{pmatrix}}$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P}). }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P})}$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {-28x+28y+56z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;2\;;\;-3) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {-28\times1+28\times2+56\times(-3)+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=140. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P}) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {-28x+28y+56z+140=0\,. }$

En divisant les deux membres de l'équation par (-28), nous obtenons :
$\overset{ { \phantom{ . } } } {\boxed{(\mathscr{P}) : x-y-2z-5=0}\,. }$

3. Le point $\overset{ { \white{ . } } } {E(-2\;;\;4\;;\;5)}$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P}) }$ car ses coordonnées ne vérifient pas l'équation du plan.

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { -2-4-2\times5-5=-21\ne 0. }$

4. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { V_e }$ le volume exprimé en m³ de l'entrepôt
${ \white{ WWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } { V_d }$ le volume total exprimé en m³ occupé par les déchets plastiques pour la durée de 5 ans.
Pour savoir si cet entrepôt satisfait au souhait de la mairesse, nous allons comparer $\overset{ { \white{ . } } } { V_e }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { V_d. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons le volume de l'entrepôt.

Le solide EABC est un tétraèdre car le point $\overset{ { \white{ . } } } {E}$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{P}) }$ .
Si la base de ce tétraèdre est le triangle ABC , le volume de l'entrepôt se calcule par

$\overset{ { \white{ . } } } { V_e=\left|\dfrac16\times\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AE}\right|\times 10^3\,\text{m}^3. }$
En nous aidant des résultats de la question 1, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix}-28\\28\\56\end{pmatrix} \\\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}-3\\2\\8\end{pmatrix}\phantom{WWW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } {\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AE}=(-28)\times(-3)+28\times2+56\times8} \\\phantom{WWWWWwWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AE}=588}$

Dès lors, le volume de l'entrepôt est égal à    $\overset{ { \white{ . } } } { V_e=\dfrac16\times588\times10^3\,\text{m}^3 }$ ,
soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ V_e=98\,000\,\text{m}^3}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons le volume occupé par les déchets plastiques pour la durée de 5 ans.

Notons $\overset{ { \white{ . } } } { Q_n }$ la quantité (exprimée en kg) de déchets plastiques produits dans la commune durant la n ^ième année.

Lors de la première année, chaque jour, il est produit 4500 kg de déchets plastiques.
Donc la quantité (exprimée en kg) de déchets plastiques produits durant la première année est $\overset{ { \white{ . } } } { Q_1=4500\times365=1\,642\,500. }$

Ensuite, au premier jour de chaque année, la quantité de déchets plastiques augmente de 50 kg et reste constante tout au long de l'année.

Nous en déduisons que pour tout entier naturel n non nul,

$\overset{ { \white{ . } } } { Q_{n+1}=Q_n+50\times365=Q_n+18\,250. }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_n) }$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r=18\,250}$   dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { Q_1=1\,642\,500. }$

Dès lors, le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_n) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { Q_n=Q_1+(n-1)\times r }$ ,
soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{Q_n=1\,642\,500+(n-1)\times 18\,250}\,. }$

En particulier, la quantité (exprimée en kg), de déchets plastiques produits dans la commune durant la 5^ième année est $\overset{ { \white{ . } } } { Q_5=1\,642\,500+4\times 18\,250 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{Q_5=1\,715\,500\,\text{kg}}\,. }$

La quantité de déchets plastiques produits pour une durée de 5 ans est la somme des 5 premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_n). }$
Cette somme se calcule par    $\overset{ { \white{ . } } } { S_5=5\times\dfrac{Q_1+Q_5}{2}. }$

Donc $S_5=5\times\dfrac{1\,642\,500+1\,715\,500}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{S_5=8\,395\,000\,\text{kg}}\,.$

Or 100 kg de déchets plastiques occupent un volume de 1 m³.
Dès lors, le volume occupé par les déchets plastiques est égal à    $\overset{ { \white{ . } } } { V_d=\dfrac{ 8\,395\,000}{100}\,\text{m}^3}$ ,
soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ V_d= 83\,950\,\text{m}^3}}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } { V_d<V_e. }$

Nous pouvons donc affirmer que cet entrepôt satisfait au souhait de madame la mairesse.

11 points

probleme

Partie A (3,5 points)

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {g(x)=-\,\text e^x-x+2. }$

1. Nous devons calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$

L'ensemble de définition de $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}g(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^x=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}(-\text e^x-x+2)=+\infty$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}g(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}(-\text e^x-x+2)=-\infty$

${ \white{ xxi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}\,. }$

2. a) Déterminons l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x) }$ et étudions son signe.

La fonction $\overset{ { \white{ o } } } { g }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R }$ et $\boxed{\forall\,x\in\,\R,\;g'(x)=-\text e^x-1}$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in\,\R,\;\text e^x>0\quad\Longrightarrow\quad - e^x<0 \\\phantom{\forall\,x\in\,\R,\;\text e^x>0}\quad\Longrightarrow\quad - e^x-1<0 \\\phantom{\forall\,x\in\,\R,\;\text e^x>0}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)<0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,\R,\;g'(x)<0}\,.$

2. b) Étudions les variations de $\overset{ { \white{ o. } } } { g. }$
Nous savons par la question précédente que $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,\R,\;g'(x)<0. }$
Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ o. } } } { g. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\g'(x)&&-&-&-&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&+\infty&&&&&&\\g(x)&||&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow&\\&||&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

3. a) Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=0 }$ admet une solution unique (notée $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ ).

La fonction g est continue et strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$ Il s'ensuit que g réalise une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { \R}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { g( \R)=\,]-\infty\;;\;+\infty[\,=\R.}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } {0\in\R. }$

Dès lors, l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{g(x)=0}$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } }{\alpha}$ sur $\overset{ { \white{ . } } }{ \R.}$

3. b) $\left\lbrace\begin{matrix}g(0,4)\approx0,108>0\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } {g(0,5)\approx-0,149<0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad g(0,4)\times g(0,5)<0$

${ \white{ xxxxi } }$ D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{0,4<\alpha<0,5}\,.}$

4. Nous devons en déduire le signe de $\overset{ { \white{ o } } } { g. }$

Complétons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { g. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&\alpha&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline&+\infty&&&&&&\\g(x)&||&\searrow&\searrow&0&\searrow&\searrow&\\&||&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)>0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;\alpha\,[ }$
${ \white{ WWWWWWxWWW} }$ $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)<0 }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,\alpha\;;\;+\infty\,[. }$

Partie B (5,5 points)

Soit $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)=\dfrac{x-1}{\text e^x}-x+3. }$

1. Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ en - infini

et la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ en + infini

.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{x-1}{\text e^x}-x+3\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{x-1-x\,\text e^x+3\,\text e^x}{\text e^x}\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-1)=-\infty\phantom{WWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text e^x=0\quad(\text{croissances comparées)}\\\lim\limits_{x\to-\infty}3\,\text e^x=0\phantom{WWWWWWWWWWw}\end{matrix}\right.\\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}(x-1-x\,\text e^x+3\,\text e^x)=-\infty$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-1-x\,\text e^x+3\,\text e^x)=-\infty \\\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^x=0^+\phantom{WWWWWWWW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{x-1-x\,\text e^x+3\,\text e^x}{\text e^x}\right)=-\infty}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x-1}{\text e^x}-x+3\right) \\\\\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x-1}{\text e^x}=0\quad(\text{croissances comparées)}\\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x-1}{\text e^x}-x+3\right)=-\infty$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}\,. }$

2. a) La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R.}$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\R, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(\dfrac{x-1}{\text e^x}-x+3\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\left(\dfrac{x-1}{\text e^x}\right)'-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{(x-1)'\times\text e^x-(x-1)\times (\text e^x)'}{(\text e^x)^2}-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{1\times\text e^x-(x-1)\times \text e^x}{\text e^{2x}}-1}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{\text e^x-(x-1)\times \text e^x}{\text e^{2x}}-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{\text e^x(1-x+1)}{\text e^{2x}}-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{\text 2-x}{\text e^{x}}-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{\text 2-x-\text e^{x}}{\text e^{x}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{f(x)}=\dfrac{g(x)}{\text e^{x}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;f'(x)=\dfrac{g(x)}{\text e^{x}}}$

2. b) Étudions les variations de $\overset{ { \white{ o. } } } { f. }$
Puisque l'exponentielle est toujours strictement positive, nous en déduisons que le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ est le signe de ${ g(x) .}$
En nous basant sur le signe de $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ étudié dans la partie A - question 5, nous en déduisons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ o. } } } { f. }$

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&\alpha&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&+&+&0&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&f(\alpha)&&&\\f(x)&&\nearrow&\nearrow&&\searrow&\searrow&\\&-\infty&&&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

3. a) Nous devons montrer que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=-x+3 }$ est asymptote à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ en + infini

.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f(x)-(-x+3)}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x-1}{\text e^x}=0\quad(\text{croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f(x)-(-x+3)}\right)=0}$

Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(D) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=-x+3 }$ est asymptote à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ en +.

3. b) Étudions la position relative de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ et de $\overset{ { \white{ . } } } { (D). }$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)-(-x+3). }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ , $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)-(-x+3)=\dfrac{x-1}{\text e^x}. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow x<1\\\overset{ { \white{.} } } {x-1=0\Longleftrightarrow x=1} \\\overset{ { \phantom{.} } } {x-1>0\Longleftrightarrow x>1} \\\\\forall\,x\in\R,\;\text e^x>0\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-\infty&&1&&+\infty &&&&&& \\\hline &&&&&\\x-1&&-&0&+&\\\text e^x&&+&+&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\\dfrac{x-1}{\text e^x}&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, sur ]- ; 1[, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ est en dessous de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ ,
${ \white{ WWWWWvW} }$ sur ]1 ; +[, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ est au-dessus de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D). }$

3. c) Étudions la branche infinie de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ en - infini

.

$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x\,\text e^x}-\dfrac{x}{x}+\dfrac3x\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x\,\text e^x}-1+\dfrac3x\right)}$

$\text{Or }\;\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x-1}{x\,\text e^x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x}\times\dfrac{1}{\text e^x}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x-1}{x\,\text e^x}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x-1}{x}\times\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{1}{\text e^x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x-1}{x\,\text e^x}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x}{x}\times\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{1}{\text e^x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x-1}{x\,\text e^x}}=1\times(+\infty)=+\infty}$
$\text{et }\;\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{3}{x}=0. \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x\,\text e^x}-1+\dfrac3x\right)=+\infty-1+0=+\infty \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Donc la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en -.

3. d) Traçons $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ dans un repère orthonormal $\overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\vec i,\vec j\right). }$

Remarque : ${ \white{ x } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha\approx0,44\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)\approx2,2. }$

Partie C (2 points)

Déterminons une valeur approchée à 0,01 m² près de l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{A} }$ d'une face latérale d'un abri.

L'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{A} }$ est donnée par : $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} f(x)\,\text{d}x. }$

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} f(x)\,\text{d}x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} \Big(\dfrac{x-1}{\text e^x}-x+3\Big) \,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} (x-1)\,\text e^{-x} \,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{2,5}(- x +3)\,\text{d}x}$
${ \white{ xxxxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x-\displaystyle\int_{0}^{2,5} \text e^{-x}\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{2,5}(-x+3) \,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{2,5} -\text e^{-x}\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{2,5}(-x+3) \,\text{d}x}$
${ \white{ xxxxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x+\left[\overset{}{\text e^{-x}}\right]_0^{2,5}+\left[\overset{}{-\dfrac{x^2}{2}}+3x\right]_0^{2,5}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x+(\text e^{-2,5}+\text e^0)+\left(-\dfrac{2,5^2}{2}+3\times2,5\right)-0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x+\text e^{-2,5}-1-\dfrac{6,25}{2}+7,5} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A}=\displaystyle\int_{0}^{2,5} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x+\text e^{-2,5}+3,375}$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{2,5} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{2,5}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{2,5}- \displaystyle\int\limits_0^{2,5}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=1 \\\\v'(x)=\text e^{-x}\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\text e^{-x}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{2,5} x\,\text e^{-x}\,\text{d}x=\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_0^{2,5}-\displaystyle\int_0^{2,5}1\times(-\text{e}^{-x})\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_0^{2,5}-\displaystyle\int_0^{2,5}-\text{e}^{-x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_0^{2,5}-\left[\overset{}{\text e^{-x}}\right]_0^{2,5}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWW}=(-2,5\,\text e^{-2,5}-0)-(\text e^{-2,5}-\text e^0)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWW}=-2,5\,\text e^{-2,5}-\text e^{-2,5}+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWW}=-3,5\,\text e^{-2,5}+1}$

Nous obtenons ainsi : $\mathscr{A}=(-3,5\,\text e^{-2,5}+1)+\text e^{-2,5}+3,375$

soit $\boxed{\mathscr{A}=(4,375-2,5\,\text e^{-2,5})\;\text{m}^2\approx4,17\;\text{m}^2}$

L'autre dimension de la plaque est donnée par le maximum de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)\approx2,20 .}$

Par conséquent, la valeur approchée de l'autre dimension est 2,20 m (à 0,01 m près).

Publié par malou le 29-03-2024

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