Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques 2024

Cameroun D et TI

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

3,5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } }{\left(O\;;\;\overrightarrow {e_1}\;,\;\overrightarrow {e_2}\right)}$ .

On considère les points A, B et C d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } }{Z_A=2-\text i\;;\; Z_B=3-2\text i\text{ et } Z_C=1-2\text i\,.}$

1. Résoudre dans C, l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{z^2-(5-3\text i)z+4-7\text i=0\,.}$

2. Déterminer l'expression complexe de la similitude directe $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ de centre C et qui transforme A en B.

3. Préciser les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ .

4. Quelle est l'image de la droite (AC) par la similitude $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ ?

3 points

exercice 2

exercice 3

On considère sur l'ensemble des nombres réels R, les équations différentielles

$\overset{ { \white{ . } } }{(E\,)\;:\;y''+4y'+4y=0\text{ et } (E\,')\;:\;y''+4y'+4y=-4}$

Le plan est muni d'un repère orthogonal avec 1 cm pour unité sur l'axe des abscisses (Ox) et 2 cm pour unité sur l'axe des ordonnées (Oy).

1. a. Résoudre l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{(E\,)\,.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\white w }$ b. Résoudre l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{(E\,')\,.}$

2. Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } }{g}$ de R vers R définie par l'égalité $\overset{ { \white{ . } } }{g(x)=-1-(x+0,5)\text e^{-2x}\,.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\white w }$ a. Démontrer que $\overset{ { \white{ . } } }{g}$ est la solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{(E\,')}$ vérifiant les égalités $\overset{ { \white{ . } } }{g(0)=-1,5 \text{ et } g'(0)=0\,.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\white w }$ b. Calculer les limites de $\overset{ { \white{ . } } }{g}$ en $\overset{ { \white{ . } } }{-\infty}$ et $\overset{ { \white{ . } } }{+\infty\,.}$ En déduire une équation d'une asymptote à la courbe $\overset{ { \white{ . } } }{(\mathcal C_g)}$ de $\overset{ { \white{ . } } }{g\,.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\white w }$ c. Déterminer le signe de $\overset{ { \white{ . } } }{g'(x)}$ et dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } }{g\,.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\white w }$ d. Tracer la courbe $\overset{ { \white{ . } } }{(\mathcal C_g)}$ dans le plan.

$\overset{ { \white{ . } } }{\white w }$ e. Déterminer à l'aide d'une intégration par parties, $\overset{ { \white{ . } } }{\begin{aligned}\int_{0}^{2}{(x+0,5)\text e^{-2x}\,}\text dx\end{aligned}\,.}$

3,5 points

exercice 4

Les dépenses mensuelles $\overset{ { \white{ . } } }{X}$ et les capitaux associés $\overset{ { \white{ . } } }{Y}$ d'une PME de cinq mois consécutifs sont donnés dans le tableau statistique suivant :

$\overset{ { \white{ . } } }{{\white{WWWW}}\begin{array} {|c|cccccccccc|} \hline \text{Dépenses }X\text{ (en millions de francs)}&1& |& 1,5 & |& \alpha&| & 2,5 & | & 3& \\ \hline \text{Capitaux }Y\text{ (en millions de francs)}& 2,5 & | & 3 & | & 4,5 & | & 8 & | &9 & \\ \hline \end{array}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\alpha}$ est un montant masqué par le statisticien qui mentionne néanmoins qu'une équation de la droite de régression de $\overset{ { \white{ . } } }{Y}$ en $\overset{ { \white{ . } } }{X}$ que la valeur exacte de $\overset{ { \white{ . } } }{\alpha}$ a permis d'obtenir est donnée par l'égalité $\overset{ { \white{ . } } }{y=3,6x-1,8\,.}$

1. Démontrer que la valeur exacte de $\overset{ { \white{ . } } }{\alpha}$ est 2.

2. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique double.

3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $\overset{ { \white{ . } } }{r}$ et donner une interprétation du résultat obtenu.

4. Donner une estimation du capital de cette PME au 6^e mois lorsqu'elle avait dépensé 4 millions de francs.

Partie A : Évaluation des compétences (5 points)

Situation :

Le 1er janvier 2016, Paul a épargné une somme de 5 millions de francs dans une banque où le taux d'intérêt annuel composé est de 4,5 %. Il compte vider plus tard ce compte pour investir dans l'élevage à hauteur de 7 millions de francs.

Paul a dans son village un terrain dont la surface a la forme d'un demi-disque de centre O et de rayon 100 m. Voir figure ci-dessous.

Bac Cameroun 2024 mathématiques D et TI : image 1

Les points $\overset{ { \white{ . } } }{O}$ et $\overset{ { \white{ . } } }{A}$ représentent respectivement un oranger et un avocatier situés sur la bordure du terrain.

À partir d'un point $\overset{ { \white{ . } } }{ M}$ du rayon $\overset{ { \white{ . } } }{[OA]}$ , il veut protéger une surface rectangulaire (en couleur sur la figure) dont deux de ses sommets sont sur l'arc de cercle.

Cet espace rectangulaire sera exploité pour l'élevage et financé grâce à l'argent épargné. Paul voudrait que cet espace ait une aire maximale alors que son épouse, qui a besoin du reste du terrain pour l'agriculture, souhaite que l'espace rectangulaire destiné à l'elevage garde la forme voulue par Paul et soit plutôt la moitié de l'espace total.

En 2020, Paul se demandait déjà si le moment n'était pas venu pour commencer son projet de 7 millions provenant de l'argent épargné.

Tâches :

1. À quelle distance du point O doit-on placer le point M pour que l'espace rectangulaire ait une aire maximale ?

2. Y a-t-il des positions du point M permettant à la surface rectangulaire d'être la moitié de la surface initiale du terrain ?

3. À partir de la quantième année d'épargne, Paul pourra-t-il réaliser son projet ?

Voir la correction

Bac Cameroun 2024 mathématiques D et TI

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

3,5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } }{\left(O\;;\;\overrightarrow {e_1}\;,\;\overrightarrow {e_2}\right)} .$

On considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } }{Z_A=2-\text i\;;\; Z_B=3-2\text i\text{ et } Z_C=1-2\text i\,.}$

1. Résoudre dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ , l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{z^2-(5-3\text i)z+4-7\text i=0\,.}$

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Discriminant}}:\quad\Delta=[-(5-3\text i)]^2-4\times1\times(4-7\text i) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\quad\Delta}=25-30\text i-9-16+28\text i \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\quad\Delta}=-2\text i \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\quad\Delta}=1-2\text i-1 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\quad\Delta}=1-2\text i+\text i^2 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\quad\Delta}=(1-\text i)^2 \\\\\underline{\text{Racines}}:\quad z_1=\dfrac{5-3\text i+1-\text i}{2}=\dfrac{6-4\text i}{2}=3-2\text i \\\\\phantom{WWWWW}z_2=\dfrac{5-3\text i-1+\text i}{2}=\dfrac{4-2\text i}{2}=2-\text i$

D'où l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{z^2-(5-3\text i)z+4-7\text i=0}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\lbrace 3-2\text i\,,\,2-\text i\rbrace} }$

2. Nous devons déterminer l'expression complexe de la similitude directe $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ et qui transforme $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$

L'expression complexe de la similitude directe $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { z'=az+b\quad\text{avec }a\in\C^*,\,b\in\C. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}s(C)=C\\\overset{ { \phantom{ . } } } {s(A)=B}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}Z_C=aZ_C+b\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {Z_B=aZ_A+b}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}s(C)=C\\\overset{ { \phantom{ . } } } {s(A)=B}\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}1-2\text i=a(1-2\text i)+b\quad(1)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {3-2\text i=a(2-\text i)+b\quad(2)}\end{matrix}\right.$

$(2)-(1):3-2\text i-1+2\text i=a(2-\text i-1+2\text i)\quad\Longleftrightarrow\quad2=a(1+\text i) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(1)-(2):1+2\text i-3+2\text i=a(1+2\text i-2+\text i)}\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2}{1+\text i}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(1)-(2):1+2\text i-3+2\text i=a(1+2\text i-2+\text i)}\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2(1-\text i)}{(1+\text i)(1-\text i)}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(1)-(2):1+2\text i-3+2\text i=a(1+2\text i-2+\text i)}\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2(1-\text i)}{1+1}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(1)-(2):1+2\text i-3+2\text i=a(1+2\text i-2+\text i)}\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2(1-\text i)}{2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{(1)-(2):1+2\text i-3+2\text i=a(1+2\text i-2+\text i)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a=1-\text i}}$

L'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (2) }$ devient successivement :

$3-2\text i=(1-\text i)(2-\text i)+b\quad\Longleftrightarrow\quad 3-2\text i=2-\text i-2\text i-1+b \\\phantom{3-2\text i=(1-\text i)(2-\text i)+b}\quad\Longleftrightarrow\quad 3-2\text i=1-3\text i+b \\\phantom{3-2\text i=(1-\text i)(2-\text i)+b}\quad\Longleftrightarrow\quad b=3-2\text i-1+3\text i \\\phantom{3-2\text i=(1-\text i)(2-\text i)+b}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{b=2+\text i}$

Par conséquent, l'expression complexe de la similitude $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'=(1-\text i)z+2+\text i}}$

3. Nous devons préciser les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } }{s} .$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Rapport $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ de $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ :

${ \white{ xxi } }$ $k=|1-\text i|=\sqrt{1^2+1^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k=\sqrt 2}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Angle $\overset{ { \white{ _. } } } { \theta }$ de $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ :

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \theta=\arg(1-\text i). }$

$\text{Or }\quad1-\text i=\sqrt 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\text i\right) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad1-\text i}=\sqrt 2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\,\text i\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad1-\text i}=\sqrt 2\left[\cos\Big(-\dfrac{\pi}{4}\Big)+\sin\Big(-\dfrac{\pi}{4}\Big)\,\text i\right]}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\theta\equiv -\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ est la similitude directe de centre $\overset{ { \white{ _. } } } {C }$ , de rapport $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt2 }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { -\dfrac{\pi}{4}. }$

4. Nous devons déterminer l'image de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AC) }$ par la similitude $\overset{ { \white{ . } } }{s.}$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { s(A)=B }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { s(C)=C. }$
D'où l'image de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AC) }$ par la similitude $\overset{ { \white{ . } } }{s}$ est la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (BC). }$

3 points

exercice 2

Une loterie comporte vingt billets. Parmi eux, il y a un (seul) billet gagnant 1 000 francs et trois billets gagnant 500 francs. Les autres billets ne rapportent aucun franc. Les billets gagnants et non gagnants sont indiscernables par le joueur.

Une personne achète deux billets. On considère la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } }{X }$ donnant la somme totale (en francs) que ces deux billets lui rapportent.

1. Les valeurs possibles de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ sont : $\overset{ { \white{ . } } } { 0\;;\;500\;;\;1\,000\;;\;1\,500. }$

2. Nous devons dresser le tableau de la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } }{X} .$

Les billets sont indiscernables au toucher.
Nous sommes dans le cas d'une équiprobabilité.
Le nombre de groupements possibles de 2 billets parmi 20 est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}20\\2\end{pmatrix}=\dfrac{20\times19}{2}=190. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=0). }$
Parmi les 20 billets, 16 sont non gagnants.
Le nombre de groupements possibles de 2 billets parmi 16 est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}=\dfrac{16\times15}{2}=120. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(X=0)=\dfrac{120}{190}}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=500). }$
Parmi les 20 billets, 3 billets gagnent 500F et 16 sont non gagnants.
Le nombre de groupements possibles de 1 billet parmi 3 et 1 billet parmi 16 est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}16\\1\end{pmatrix}=3\times16=48. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(X=500)=\dfrac{48}{190}}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=1\,000). }$
Parmi les 20 billets, 3 billets gagnent 500F et 1 billet gagne 1000F.
Pour gagner 1 000F, ou bien la personne tire 1 billet de 1 000F et 1 billet non gagnant, ou bien elle tire 2 billets gagnant chacun 500F.
Le nombre de groupements possibles est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}16\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=1\times16+3=19. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(X=1\,000)=\dfrac{19}{190}}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=1\,500). }$
Parmi les 20 billets, 3 billets gagnent 500F et 1 billet gagne 1 000F.
Pour gagner 1 500F, la personne doit tirer 1 billet de 1 000F et 1 billet gagnant 500F.
Le nombre de groupements possibles est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=1\times3=3. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(X=1\,500)=\dfrac{3}{190}}\,. }$

Dressons le tableau de la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } }{X} .$

$\overset{ { \phantom{ . } } } {\begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline&&&&& x_i &0&500&1000&1500\\&&&&\\ \hline &&&&\\P(X=x_i)&\phantom{x} \dfrac{120}{190}\phantom{x}&\phantom{x} \dfrac{48}{190}\phantom{x} &\phantom{x}\dfrac{19}{190} \phantom{x} &\phantom{x}\dfrac{3}{190} \phantom{x} \\&&&& \\ \hline \end{array}}$

3. Déterminons la probabilité pour que ce joueur puisse gagner plus de 500 francs, soit $\overset{ { \white{ . } } } { P(X>500). }$

$P(X>500)=P(X=1\,000)+P(X=1\,500) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X>500)}=\dfrac{19}{190}+\dfrac{3}{190}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(X>500)}=\dfrac{22}{190}=\dfrac{11}{95}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X>500)=\dfrac{11}{95}}$

Par conséquent, la probabilité pour que ce joueur puisse gagner plus de 500 francs est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{11}{95} }\,.$

5 points

exercice 3

On considère sur l'ensemble des nombres réels $\overset{ { \white{ _. } } } {\R, }$ les équations différentielles

$\overset{ { \white{ . } } }{(E\,)\;:\;y''+4y'+4y=0\text{ et } (E\,')\;:\;y''+4y'+4y=-4}$

1. a) Résolvons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E). }$

Associons à l'équation différentielle $\overset{ { \white{ . } } } {(E), }$ l'équation caractéristique du second degré : $\overset{ { \white{ . } } } { r^2+4r+4=0. }$

Son discriminant est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \Delta=4^2-4\times1\times4=16-16=0. }$
L'équation caractéristique possède donc une racine double $\overset{ { \white{ . } } } { r=-\dfrac42=-2 }$

D'où les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ sont les fonctions définies par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y(x)=(ax+b)\,\text e^{-2x}\quad \text{avec }a\in\R,\;b\in\R} }$

1. b) Résolvons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E\,'). }$

Déterminons une solution particulière de $\overset{ { \white{ . } } } {(E\,'). }$
Puisque le second membre de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E\,') }$ est une fonction constante, cherchons une solution particulière qui soit une fonction constante, soit la fonction définie par $\overset{ { \white{ . } } } { y(x)=c. }$

Nous avons alors : $\overset{ { \white{ . } } } { y'(x)=0 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y''(x)=0. }$

En remplaçant dans l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E\,') }$ , nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { 4c=-4 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {c=-1. }$
Dès lors, un solution particulière de $\overset{ { \white{ . } } } {(E\,') }$ est la fonction constante définie par $\overset{ { \white{ . } } } { y(x)=-1. }$

Par conséquent, les solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ sont les fonctions définies par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y(x)=-1+(ax+b)\,\text e^{-2x}\quad \text{avec }a\in\R,\;b\in\R} }$

2. Soit la fonction $\overset{ { \white{ . } } }{g}$ de $\overset{ { \white{ _. } } }{\R}$ vers $\overset{ { \white{ _. } } }{\R}$ définie par l'égalité $\overset{ { \white{ . } } }{g(x)=-1-(x+0,5)\text e^{-2x}\,.}$

2. a) Démontrons que $\overset{ { \white{ . } } }{g}$ est la solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } }{(E\,')}$ vérifiant les égalités $\overset{ { \white{ . } } }{g(0)=-1,5 \text{ et } g'(0)=0\,.}$

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=-1+(ax+b)\,\text e^{-2x}}$ solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E\,'). }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { g(0)=-1+(a\times0+b)\,\text e^{0}= -1+b\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(0)=-1+b}}$

$\text{De plus, }g'(x)=\Big(-1+(ax+b)\,\text e^{-2x}\Big)' \\\phantom{\text{De plus, }g'(x)}=\Big((ax+b)\,\text e^{-2x}\Big)' \\\phantom{\text{De plus, }g'(x)}=(ax+b)'\times\text e^{-2x}+(ax+b)\times\Big(\text e^{-2x}\Big)' \\\phantom{\text{De plus, }g'(x)}=a\times\text e^{-2x}+(ax+b)\times\Big(-2\,\text e^{-2x}\Big) \\\phantom{\text{De plus, }g'(x)}=(a-2ax-2b)\times\text e^{-2x} \\\phantom{\text{De plus, }g'(x)}=(-2ax+a-2b)\times\text e^{-2x} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{g'(0)=a-2b}$

Dès lors, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}g(0)=-1,5\\\overset{ { \phantom{ . } } } {g'(0)=0\phantom{WW}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}-1+b=-1,5\\\overset{ { \phantom{ . } } } {a-2b=0\phantom{W}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}b=-0,5\\\overset{ { \phantom{ . } } } {a-2\times(-0,5)=0\phantom{W}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}g(0)=-1,5\\\overset{ { \phantom{ . } } } {g'(0)=0\phantom{WW}}\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}b=-0,5\\\overset{ { \phantom{ . } } } {a=-1\phantom{W}}\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=-1+(-x-0,5)\,\text e^{-2x}\,,}$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{g(x)=-1-(x+0,5)\,\text e^{-2x}}}$

2. b) Calculons les limites de $\overset{ { \white{ . } } }{g}$ en $\overset{ { \white{ . } } }{-\infty}$ et $\overset{ { \white{ . } } }{+\infty\,.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}g(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x)=+\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{X\to+\infty}\text e^X=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=-2x)}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{-2x}=+\infty \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x+0,5)=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{-2x}=+\infty}\end{matrix}\right.\quad{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to-\infty}(x+0,5)\,\text e^{-2x}=-\infty$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}\Big[-1-(x+0,5)\,\text e^{-2x}\Big]=+\infty }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}g(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{X\to-\infty}\text e^X=0\phantom{WW}}\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=-2x)}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-2x}=0 \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(x+0,5)=+\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-2x}=0^+\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.\quad{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(x+0,5)\,\text e^{-2x}=0\quad\text{(croissances comparées)}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\Big[-1-(x+0,5)\,\text e^{-2x}\Big]=-1 }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-1} }$

Nous en déduisons que la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=-1 }$ est une asymptote horizontale à la courbe $\overset{ { \white{ . } } }{(\mathcal C_g)}$ de $\overset{ { \white{ . } } }{g}$ au voisinage de $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty\,. }$

2. c) Nous devons déterminer le signe de $\overset{ { \white{ . } } }{g'(x)}$ et dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } }{g\,.}$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\R\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)=\Big(-1-(x+0,5)\,\text e^{-2x}\Big)' \\\phantom{g'(x)}=\Big((-x-0,5)\,\text e^{-2x}\Big)' \\\phantom{g'(x)}=(-x-0,5)'\times\text e^{-2x}+(-x-0,5)\times\Big(\text e^{-2x}\Big)' \\\phantom{g'(x)}=(-1)\times\text e^{-2x}+(-x-0,5)\times\Big(-2\,\text e^{-2x}\Big) \\\phantom{g'(x)}=(-1+2x+1)\times\text e^{-2x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{g'(x)}=2x\text e^{-2x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R\,,\quad g'(x)=2x\text e^{-2x} }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R\,, }$ le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x. }$

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } }{g\,.}$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}2x<0\Longleftrightarrow x<0\\\overset{ { \white{.} } } {2x=0\Longleftrightarrow x=0} \\\overset{ { \phantom{.} } } {2x>0\Longleftrightarrow x>0}\\\\g(0)=-1-0,5\\\phantom{}=-1,5\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&&0&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\2x&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\g'(x)&&-&-&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline &+\infty&&&&&&-1\\g&&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&\\&&&&-1,5&&&\\\hline \end{array}$

2. d) Traçons la courbe $\overset{ { \white{ . } } }{(\mathcal C_g).}$

Bac Cameroun 2024 mathématiques D et TI : image 5

2. e) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } }{\displaystyle\int_{0}^{2}{(x+0,5)\text e^{-2x}\,}\text dx\,.}$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{2}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]_0^{2}- \displaystyle\int\limits_0^{2}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x+0,5\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=1\phantom{xx} \\\\v'(x)=\text e^{-2x}\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\dfrac 12\text e^{-2x}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{2}( x+0,5)\,\text e^{-2x}\,\text{d}x=\left[\overset{}{-\dfrac 12(x+0,5)\,\text e^{-2x}}\right]_0^{2}-\displaystyle\int_0^{2}1\times(-\dfrac12\text{e}^{-2x})\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-\dfrac 12(x+0,5)\,\text e^{-2x}}\right]_0^{2}+\dfrac12\displaystyle\int_0^{2}\text{e}^{-2x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-\dfrac 12(x+0,5)\,\text e^{-2x}}\right]_0^{2}+\dfrac12\left[\overset{}{-\dfrac12\text e^{-2x}}\right]_0^{2}}$
$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=-\dfrac 12\left[\overset{}{(x+0,5+\dfrac12)\,\text e^{-2x}}\right]_0^{2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=-\dfrac 12\left[\overset{}{(x+1)\,\text e^{-2x}}\right]_0^{2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=-\dfrac 12(3\,\text e^{-4}-1)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=\dfrac 12(1-3\,\text e^{-4})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{0}^{2} (x+0,5)\,\text e^{-2x}\,\text{d}x=\dfrac{1-3\,\text e^{-4}}{2}}$

3,5 points

exercice 4

Les dépenses mensuelles $\overset{ { \white{ _. } } }{X}$ et les capitaux associés $\overset{ { \white{ _. } } }{Y}$ d'une PME de cinq mois consécutifs sont donnés dans le tableau statistique suivant :

$\overset{ { \white{ . } } }{{\white{WWWW}}\begin{array} {|c|cccccccccc|} \hline \text{Dépenses }X\text{ (en millions de francs)}&1& |& 1,5 & |& \alpha&| & 2,5 & | & 3& \\ \hline \text{Capitaux }Y\text{ (en millions de francs)}& 2,5 & | & 3 & | & 4,5 & | & 8 & | &9 & \\ \hline \end{array}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\alpha}$ est un montant masqué par le statisticien qui mentionne néanmoins qu'une équation de la droite de régression de $\overset{ { \white{ _. } } }{Y}$ en $\overset{ { \white{_. } } }{X}$ (que la valeur exacte de $\overset{ { \white{ . } } }{\alpha}$ a permis d'obtenir) est donnée par l'égalité $\overset{ { \white{ . } } }{y=3,6x-1,8\,.}$

1. Déterminons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha . }$

Calculons les coordonnées du point moyen $\overset{ { \white{ . } } } {G} .$

Nous devons calculer les moyennes $\overset{ { \white{ . } } } {\overline x}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\overline y}$ respectivement des variables $\overset{ { \white{ _. } } } {X}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {Y}.$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1+1,5+\alpha +2,5+3}{5}\phantom{W}\\\\\overline{y}=\dfrac{2,5+3+4,5+8+9}{5}\end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{\alpha +8}{5}\\\\\overline{y}=5,4\end{matrix}\right.}$

Nous obtenons ainsi le point moyen $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{G\left(\dfrac{\alpha+8}{5}\;;\;5,4\right)}\,. }$

Le point moyen $\overset{ { \white{ . } } } {G}$ appartient à la droite de régression de $\overset{ { \white{ _. } } }{Y}$ en $\overset{ { \white{_. } } }{X}$ dont l'équation est $\overset{ { \white{ . } } }{y=3,6x-1,8\,.}$
Ses coordonnées vérifient donc l'équation de la droite.

${ \white{ xxi } }$ $5,4=3,6\times\dfrac{\alpha + 8}{5}-1,8\quad\Longleftrightarrow\quad 7,2=3,6\times\dfrac{\alpha + 8}{5} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{5,4=3,6\times\dfrac{\alpha + 8}{5}-1,8}\quad\Longleftrightarrow\quad 2=\dfrac{\alpha + 8}{5}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{5,4=3,6\times\dfrac{\alpha + 8}{5}-1,8}\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha + 8=10} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{5,4=3,6\times\dfrac{\alpha + 8}{5}-1,8}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha=2}}$

2. Représentons le nuage de points associé à cette série statistique double.

Bac Cameroun 2024 mathématiques D et TI : image 2

3. Calculons le coefficient de corrélation linéaire $\overset{ { \white{ . } } }{r\,.}$

La calculatrice nous donne le résultat suivant : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{r\approx 0,966}\,. }$

Effectuons le calcul ''à la main''.

$r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\times S_{yy}}}\quad \text{où }\quad\left\lbrace\begin{matrix}S_{xy}=\sum xy-\dfrac{\sum x\sum y}{5}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { S_{xx}=\sum x^2-\dfrac{\left(\sum x\right)^2}{5}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { S_{yy}=\sum y^2-\dfrac{\left(\sum y\right)^2}{5}}\end{matrix}\right.$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum xy=1\times2,5+1,5\times3+2\times4,5+2,5\times8+3\times9 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum xy=63} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum x^2=1^2+1,5^2+2^2+2,5^2+3^2 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum x^2=22,5} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum y^2=2,5^2+3^2+4,5^2+8^2+9^2 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum y^2=180,5}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum x=1+1,5+2+2,5+3 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum x=10} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum y=2,5+3+4,5+8+9 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum y=27}$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $S_{xy}=\sum xy-\dfrac{\sum x\sum y}{8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=63-\dfrac{10\times27}{5}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=9} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{xy}=9}$

${ \white{ xxi } }$ $S_{xx}=\sum x^2-\dfrac{\left(\sum x\right)^2}{8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=22,5-\dfrac{10^2}{5}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=2,5} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{xx}=2,5}$

${ \white{ xxi } }$ $S_{yy}=\sum y^2-\dfrac{\left(\sum y\right)^2}{8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=180,5-\dfrac{27^2}{5}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=34,7} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{yy}=34,7}$

Nous en déduisons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { r.}$

${ \white{ xxi } }$ $r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\times S_{yy}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r}=\dfrac{9}{\sqrt{2,5\times 34,7}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r}\approx0,966} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{r\approx 0,966}$

Puisque le coefficient de corrélation est proche de 1, nous pouvons dire que la corrélation est très forte.

4. Nous devons donner une estimation du capital de cette PME au 6^e mois lorsqu'elle avait dépensé 4 millions de francs.

Dans l'équation de la droite de régression, remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par 4 et calculons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { y. }$

${ \white{ xxi } }$ $3,6\times4-1,8=12,6.$

Par conséquent, lorsque la PME avait dépensé 4 millions de francs, le capital au 6^e mois est estimé à 12 600 000 francs.

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Tâches :

1. À quelle distance du point $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ doit-on placer le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ pour que l'espace rectangulaire ait une aire maximale ?

Bac Cameroun 2024 mathématiques D et TI : image 3

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { OA=100. }$
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { x=OM. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { 0\le x\le 100. }$

Soient le point $\overset{ { \white{ . } } } { N }$ sur le demi-cercle comme représenté sur la figure et $\overset{ { \white{ . } } } { y=MN. }$

Alors les dimensions de l'espace rectangulaire sont $\overset{ { \white{ . } } } {2x }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y. }$

Par Pythagore dans le triangle rectangle $\overset{ { \white{ . } } } { OMN, }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $OM^2+MN^2=ON^2\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2=100^2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{OM^2+MN^2=ON^2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2=10\,000} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{OM^2+MN^2=ON^2}\quad\Longleftrightarrow\quad y^2=10\,000-x^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{OM^2+MN^2=ON^2}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\sqrt{10\,000-x^2}\quad(\text{car }y\ge 0)}$

L'aire du rectangle est alors donnée par : $\overset{ { \white{ } } } { A(x)=2x\times y\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{A(x)=2x\,\sqrt{10\,000-x^2}} }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ définie sur l'intervalle [0 ; 100] par $\overset{ { \white{ . } } } {A(x)=2x\,\sqrt{10\,000-x^2} }$ est dérivable sur ]0 ; 100[.

Étudions le signe de la dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { A'(x) }$ sur l'intervalle ]0 ; 100[.

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\,]0\;;\;100[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $A'(x)=\Big(2x\,\sqrt{10\,000-x^2}\Big)' \\\phantom{A'(x)}=(2x)'\times\sqrt{10\,000-x^2}+2x\times\Big(\sqrt{10\,000-x^2}\Big)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A'(x)}=2\times\sqrt{10\,000-x^2}+2x\times\dfrac{(10\,000-x^2)'}{2\sqrt{10\,000-x^2}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A'(x)}=2\,\sqrt{10\,000-x^2}+x\times\dfrac{-2x}{\sqrt{10\,000-x^2}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A'(x)}=2\,\sqrt{10\,000-x^2}-\dfrac{2x^2}{\sqrt{10\,000-x^2}}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A'(x)}=\dfrac{2(10\,000-x^2)-2x^2}{\sqrt{10\,000-x^2}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A'(x)}=\dfrac{20\,000-2x^2-2x^2}{\sqrt{10\,000-x^2}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{A'(x)}=\dfrac{20\,000-4x^2}{\sqrt{10\,000-x^2}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;100[,\quad A'(x)=\dfrac{-4(x^2-5\,000)}{\sqrt{10\,000-x^2}}}$

$x^2-5\,000=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=5\,000 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x^2-5\,000=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\sqrt{5\,000}\quad \text{(car }x\ge0)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x^2-5\,000=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\sqrt{2\,500\times2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x^2-5\,000=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=50\,\sqrt{2}\approx70,7}$

Nous pouvons dresser le tableau de signes de $\overset{ { \white{ . } } } { A'(x) }$ et de variation de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { A. }$

$\begin{matrix}A(0)=0\\\\A(100)=0\\\\A(50\sqrt 2)=2\times50\sqrt 2\times\,\sqrt{10\,000-(50\sqrt 2)^2}\\\phantom{WW}=2\times50\sqrt 2\times\,\sqrt{10\,000-5\,000}\\=2\times50\sqrt 2\times\,\sqrt{5\,000}\phantom{xx}\\=2\times50\sqrt 2\times\,\sqrt{2\,500\times2}\\=2\times50\sqrt 2\times50\sqrt{2}\phantom{xW}\\=10\,000\phantom{WWWWWW}\end{matrix} {\white{x}}\begin{matrix}\phantom{WWW}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix}$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&50\sqrt2&&&100 &&&&&&&& \\\hline -4&&&-&-&-&&\\x^2-5\,000&&&-&0&+&&\\\sqrt{10\,000-x^2}&&&+&+&+&&0\\\hline &&&&&&&\\A'(x)&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline &&&&10\,000&&&\\A&&&\nearrow&&\searrow&&\\&0&&&&&&0\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { A }$ est maximale si $\overset{ { \white{ . } } } { OM=50\sqrt2\approx 70,7. }$

Par conséquent, pour que l'espace rectangulaire ait une aire maximale, le point $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ doit être placé à 70,7 mètres du point $\overset{ { \white{ . } } } { O. }$

2. Y a-t-il des positions du point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ permettant à la surface rectangulaire d'être la moitié de la surface initiale du terrain ?

La surface initiale du terrain possède une aire (en m²) égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac12\pi\times100^2=5\,000\pi. }$

Nous devons donc résoudre dans [0 ; 100], l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { A(x)=\dfrac{1}{2}\times 5\,000\pi. }$

$A(x)=\dfrac{1}{2}\times 5\,000\pi\quad\Longleftrightarrow\quad 2x\,\sqrt{10\,000-x^2} =2\,500\pi \\\phantom{A(x)=\dfrac{1}{2}\times 5\,000\pi}\quad\Longleftrightarrow\quad x\,\sqrt{100^2-x^2} =1\,250\pi \\\phantom{A(x)=\dfrac{1}{2}\times 5\,000\pi}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2(100^2-x^2) =1\,250^2\pi^2 \\\phantom{A(x)=\dfrac{1}{2}\times 5\,000\pi}\quad\Longleftrightarrow\quad 100^2x^2-x^4 =1\,250^2\pi^2 \\\phantom{A(x)=\dfrac{1}{2}\times 5\,000\pi}\quad\Longleftrightarrow\quad x^4-100^2x^2 +1\,250^2\pi^2=0$

Résolvons l'équation bicarrée : $\overset{ { \white{ . } } } { x^4-100^2x^2 +1\,250^2\pi^2=0. }$

Soit $\overset{ { \white{ } } } { x^2=X }$

L'équation s'écrit alors : $\overset{ { \white{ . } } } { X^2-100^2X +1\,250^2\pi^2=0 }$

Résolvons cette dernière équation.

Discriminant :

${ \white{ xxi } }$ $\Delta = (-100^2)^2-4\times1\times1250^2\pi^2 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \Delta=10^8-4\times125^2\times10^2\pi^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \Delta=10^8-62500\times10^2\pi^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \Delta=10^8-625\times10^4\pi^2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \Delta=10^4(10^4-625\pi^2)} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \Delta=10^4\times625(16-\pi^2)>0}$

Racines:

${ \white{ xxi } }$ $X_1=\dfrac{100^2-\sqrt{10^4\times625(16-\pi^2)}}{2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{X_1}=\dfrac{10\,000-2500\sqrt{16-\pi^2}}{2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{X_1}=5\,000-1\,250\sqrt{16-\pi^2}} \\\\X_2=\dfrac{100^2+\sqrt{10^4\times625(16-\pi^2)}}{2} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{X_1}=\dfrac{10\,000+2500\sqrt{16-\pi^2}}{2}} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{X_1}=5\,000+1\,250\sqrt{16-\pi^2}}$

Nous en déduisons alors les racines de l'équation bicarrée : $\overset{ { \white{ } } } { x^4-100^2x^2 +1\,250^2\pi^2=0. }$

${ \white{ xxi } }$ $x_1^2=X_1\quad\Longleftrightarrow\quad x_1=\sqrt{X_1}\quad (\text{car }x_1\ge 0) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x_1^2=X_1}\quad\Longleftrightarrow\quad x_1=\sqrt{5\,000-1\,250\sqrt{16-\pi^2}}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x_1^2=X_1}\quad\Longleftrightarrow \quad \boxed{x_1\approx43,65}} \\\\ x_2^2=X_2\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=\sqrt{X_2}\quad (\text{car }x_2\ge 0) \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x_1^2=X_1}\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=\sqrt{5\,000+1\,250\sqrt{16-\pi^2}}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x_1^2=X_1}\quad\Longleftrightarrow \quad \boxed{x_2\approx89,97}}$

Par conséquent, pour que la surface rectangulaire soit la moitié de la surface initiale du terrain, la distance entre le point $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ doit être égale à 43,65m ou à 89,97m (valeurs arrondies au centième).

3. Nous devons déterminer à partir de la quantième année d'épargne, Paul pourra réaliser son projet.

Nous savons que le 1er janvier 2016, Paul a épargné une somme de 5 millions de francs dans une banque où le taux d'intérêt annuel composé est de 4,5 %.
Il compte vider plus tard ce compte pour investir dans l'élevage à hauteur de 7 millions de francs.

Soit la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (c_n)_{n\in\N} }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { c_n }$ représente le capital épargné par Paul à l'année $\overset{ { \white{ . } } } { 2016+n. }$

Alors la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (c_n)_{n\in\N} }$ est définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}c_0=5\,000\,000\phantom{WWWWWv}\\c_{n+1}=1,045\times c_n\quad(n\in\N)\end{matrix}\right. }$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } {(c_n)}$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q=1,045 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ . } } } { c_0=5\,000\,000. }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (c_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{c_n=c_0\times q^{n}}$
Donc, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {n\in\N\,,\quad \boxed{c_n=5\,000\,000\times(1,045)^{n}}}$

Pour réaliser son projet, il faut avoir : $\overset{ { \white{ . } } } { c_n\ge 7\,000\,000. }$

${ \white{ xxi } }$ $c_n\ge 7\,000\,000\quad\Longleftrightarrow\quad 5\,000\,000\times(1,045)^{n}\ge 7\,000\,000 \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{c_n\ge 7\,000\,000}\quad\Longleftrightarrow\quad 5\times(1,045)^{n}\ge 7} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{c_n\ge 7\,000\,000}\quad\Longleftrightarrow\quad (1,045)^{n}\ge 1,4} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{c_n\ge 7\,000\,000}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln (1,045)^{n}\ge \ln 1,4} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{c_n\ge 7\,000\,000}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times \ln 1,045\ge \ln 1,4} \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{c_n\ge 7\,000\,000}\quad\Longleftrightarrow\quad n \ge }\dfrac{\ln 1,4}{\ln 1,045} \\\\\text{Or }\quad\dfrac{\ln 1,4}{\ln 1,045}\approx7,64$

Le plus petit entier $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant l'inéquation est $\overset{ { \white{ . } } } { n=8. }$

Par conséquent, Paul pourra réaliser son projet à partir du 1er janvier 2024, soit à partir de la 9^e année.

merci à Hiphigenie et Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.

Publié par malou le 08-01-2025

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