Fiche de mathématiques
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Bac Congo 2024

Série D

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Durée : 4 heures

Coefficient : 4


5 points

exercice 1

Le plan complexe   (P)   est rapporté à un repère orthonormé   (O; \overrightarrow u, \overrightarrow v)  . On désigne par S l'application qui, à tout point M de coordonnées   (x, y)   associe le point   M'   de coordonnées   (x', y')   telles que :

      \begin{cases}     x' = -x - y + 2 \\     y' = x - y - 1     \end{cases}      

1. Déterminer l'affixe   z'   de   M'   en fonction de l'affixe   z   de   M  

2. On considère   A, B   et   C   trois points du plan d'affixes respectives   z_A = 1, z_B = -2 + i   et           z_C = 3 - 4i           Soit   u   un nombre complexe tel que   u = \dfrac{z_A - z_C}{z_A - z_B}  .

a. Déterminer la forme algébrique de   u  

b. Déterminer le module et un argument de   u  

3. On considère   h   la similitude plane directe qui laisse invariant le point   A   et qui transforme   B   en   C  .


a. Supposons que le point   M'   d'affixe   z'   est l'image du point   M   d'affixe   z   par la similitude plane directe   h  ; Montrer que   z'   s'écrit de la forme :   z'=(i - 1)z + 2 - i   ;

b. En déduire l'angle   \theta   et le rapport   k   de   h  .



5 points

exercice 2

Le plan vectoriel   E   est muni de la base canonique   (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})   et   f   un endomorphisme de   E   défini par :

      f :      \begin{cases}      x' = 10x + 4y \\      y' = -10x - 4y      \end{cases}      

1. Déterminer   \text{Ker} f  , le noyau de   f  .

2. Déterminer   \text{Im} f  , l'image de   f  .

3. Soient \overset{ { \white{ _. } } } { E_1 } et \overset{ { \white{ _. } } } { E_2 } deux sous-espaces vectoriels de \overset{ { \white{ _. } } } { E } engendrés respectivement par \overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{e_1} } et \overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{e_2} }\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{e_1} = -2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} } et \overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{e_2} = -\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} } sont deux vecteurs de \overset{ { \white{ _. } } } { E. }

a. Montrer que   (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   est une base de   E  .

b. Montrer que   E_1   et   E_2   sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de   E  .

4. On donne   \overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}  .

a. Montrer que la famille  (\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2)  est une famille libre de  E .

b. Déterminer les réels  \alpha  et  \beta  tels que    \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2 . .

5. On admet que  f(\overrightarrow{e}_1) = 0  et  f(\overrightarrow{e}_2) = 6\,\overrightarrow{e}_2 .

a. Montrer que  f(\overrightarrow{i}) = 10\overrightarrow{i} - 10\overrightarrow{j}  et  f(\overrightarrow{j}) = 4\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} .

b. En déduire la matrice de  f  dans la base  (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) .



7 points

exercice 3

On considère la fonction numérique   f   de la variable réelle   x   définie sur   \mathbb{R}   par :

      \begin{cases}     f(x) = e^{1-x}, & \text{si } x \leq 1 \\     f(x) = 1 - (x-1)\ln(x-1), & \text{si } x > 1     \end{cases}      

On désigne par (C) la représentation graphique de la fonction   f   dans un repère orthonormé  (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})  du plan. Unité graphique : 2 cm.

1. Calculer  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)  et  \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) .

2. Étudier la continuité de   f   en 1.

3. Étudier la dérivabilité de la fonction   f   en 1 et interpréter géométriquement les résultats obtenus.

4. On désigne par   f'   la dérivée de   f  . Calculer   f'(x)   suivant les valeurs de   x  .

5. Étudier le signe de   f'(x)   suivant les valeurs de   x  .

6. Dresser le tableau de variation de   f  .

7. Montrer que l'équation   f(x) = 0   admet une solution unique   \alpha   et que   2,7 < \alpha < 2,8  .

8. Étudier les branches infinies à (C).

9. Tracer la courbe (C) ; On placera dans le repère le point de (C) d'abscisse 0.



3 points

exercice 4

Une expérience aléatoire consiste à jeter une fois un dé pipé à six faces numérotées : 1, 2, 3, 4, 5, 6. On désigne par   P_i   la probabilité d'apparition de la face supérieure portant le chiffre   i  , avec   i   un entier naturel et   1 \leq i \leq 6  , tel que :   P_1 = P_3, \, P_2 = P_4, \, P_5 = P_6 = 2P_1   et   2P_1 = 3P_2  .

1. Montrer que   P_1 = \dfrac{3}{22}  .

2. On considère la variable aléatoire   X   qui prend la valeur de la face supérieure de ce dé. La loi de probabilité de   X   est donnée par le tableau suivant :
  X = x_i   1 2 3 4 5 6
  P_i     P_1     P_2     P_3     P_4     P_5     P_6  


a. Déterminer la loi de probabilité de   X  .

b. Montrer que   E(X) = \dfrac{45}{11}  .

c. Calculer   V(X)  , la variance de   X  .







Bac Congo 2024 série D

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5 points

exercice 1

Le plan complexe  \overset{ { \white{ . } } } { (P)   }  est rapporté à un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } {  (O; \overrightarrow u, \overrightarrow v).  } 
On désigne par  \overset{ { \white{ . } } } {  S  }  l'application qui, à tout point  \overset{ { \white{  _{_.} } } } {   M }  de coordonnées  \overset{ { \white{ _. } } } {  (x,y)  }  associe le point  \overset{ { \white{  } } } { M'   }  de coordonnées  \overset{ { \white{ . } } } { (x',y')   }  telles que :  \overset{ { \white{ . } } } {   \begin{cases}     x' = -x - y + 2 \\     y' = x - y - 1     \end{cases}        } 

1.  Déterminons l'affixe  \overset{ { \white{  } } } { z'   }  de  \overset{ { \white{  } } } {  M'  }  en fonction de l'affixe  \overset{ { \white{ . } } } {  z  }  de  \overset{ { \white{ . } } } { M.   } 

Nous savons que l'affixe de  \overset{ { \white{  _{_.} } } } { M   }  est  \overset{ { \white{ . } } } { z=x+\text i y   }  et l'affixe de  \overset{ { \white{  } } } {  M'  }  est  \overset{ { \white{ . } } } { z'=x'+\text i y'.   } 
Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } } z'=x'+\text i y' \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =(-x - y + 2)+\text i ( x - y - 1  ) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-x - y + 2+\text i  x - \text i y - \text i  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-x - \text i y +\text i  x - y + 2- \text i  }
{ \white{ xxi } } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-(x + \text i y) +(\text i  x +\text i^2 y) + 2- \text i  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-(x + \text i y) +\text i ( x +\text i y) + 2- \text i  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-z +\text i z + 2- \text i  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{   z'} =(-1 +\text i) z + 2- \text i  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z'=(-1 +\text i) z + 2- \text i  }


2.  On considère  \overset{ { \white{ . } } } {  A, B  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { C   }  trois points du plan d'affixes respectives  \overset{ { \white{ . } } } {  z_A = 1, z_B = -2 + \text i  }  et  \overset{ { \white{ . } } } {  z_C = 3 - 4i.  } 
Soit  \overset{ { \white{ . } } } {  u  }  un nombre complexe tel que  \overset{ { \white{ . } } } {  u = \dfrac{z_A - z_C}{z_A - z_B}  .  } 

2. a)  Déterminons la forme algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } {  u.  } 

{ \white{ xxi } }  u = \dfrac{z_A - z_C}{z_A - z_B}  \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{1 - (3-4\text i)}{1 -(-2+\text i)}  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{-2+4\text i}{3-\text i}  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{(-2+4\text i)(3+\text i)}{(3-\text i)(3+\text i)}  }
{ \white{ xxi } }   \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{-6-2\text i+12\text i-4}{9+1}  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{-10+10\text i}{10}  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{10(-1+\text i)}{10}  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{   u   }= -1+\text i  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u=-1+\text i}

2. b)  Déterminons le module et un argument de  \overset{ { \white{ . } } } {  u.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { |u|.   } 

{ \white{ xxi } } |u|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt 2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{|u|=\sqrt 2}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { \arg(u).   } 

{ \white{ xxi } }  u=-1+\text i \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{u }   =\sqrt 2\left(-\dfrac{1}{\sqrt 2}+\text i\dfrac{1}{\sqrt 2}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{u }   =\sqrt 2\left(-\dfrac{\sqrt 2}{2}+\text i\dfrac{\sqrt 2}{2}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{u }   =\sqrt 2\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\arg(u)=\dfrac{3\pi}{4}\,[2\pi]}

3.  On considère  \overset{ { \white{ _. } } } {  h  }  la similitude plane directe qui laisse invariant le point  \overset{ { \white{  _{_.} } } } {  A  }  et qui transforme  \overset{ { \white{  _{_.} } } } { B   }  en  \overset{ { \white{  _{_.} } } } {  C.  } 

3. a)  Supposons que le point  \overset{ { \white{  } } } {  M'  }  d'affixe  \overset{ { \white{  } } } {  z'  }  est l'image du point  \overset{ { \white{  _{_.}} } } {  M  }  d'affixe  \overset{ { \white{ . } } } {  z  }  par la similitude plane directe  \overset{ { \white{  _{_.} } } } {  h.  } 
Montrons que  \overset{ { \white{  } } } {  z'  }  s'écrit de la forme :  \overset{ { \white{ . } } } { z' = (\text i-1)z + 2 - \text i .  } 

L'écriture complexe de la similitude plane directe  \overset{ { \white{ _. } } } { h   }  est de la forme  \overset{ { \white{  _{_.} } } } { z' = az + b   }  avec  \overset{ { \white{ _. } } } { a\in \C^*, b\in \C.  }

Selon les données de l'énoncé, nous obtenons :

{ \white{ xxi } }\begin{cases}h(A)=A\\h(B)=C    \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} z_A = az_A + b\\z_C = az_B + b   \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases}h(A)=A\\h(B)=C    \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad z_A-z_C=( az_A + b)-(az_B + b) } \\ {  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad z_A-z_C=az_A -az_B  } \\ \overset{ { \white{ . } } } {{  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad z_A-z_C=a(z_A -z_B)  }} \\ \overset{ { \white{ . } } } {{  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad a=\dfrac{z_A-z_C}{z_A -z_B}  }}
{ \white{ xxi } }  \\ .\overset{ { \white{ . } } } {{  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad a=u  }} \\ \overset{ { \white{ . } } } {{  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{a=-1+\text i }}}

De plus,

{ \white{ xxi } }  \begin{cases} z_A = az_A + b\\a=-1+\text i   \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad  \begin{cases} 1 = a + b\\a=-1+\text i   \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases} z_A = az_A + b\\a=-1+\text i   \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad 1=-1+\text i + b} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{b=2-\text i}}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ z' = (\text i-1)z + 2 - \text i}\, .  } 

3. b)  Nous devons en déduire l'angle  \overset{ { \white{ _. } } } { \theta   }  et le rapport  \overset{ { \white{ _. } } } {  k  }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {  h.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons l'angle  \overset{ { \white{ _. } } } { \theta   }   de  \overset{ { \white{ _. } } } {  h.  } 

{ \white{ xxi } } \theta=\arg(a) \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{\theta   }=\arg(u)  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{\theta   }=\dfrac{3\pi}{4}\,[2\pi]  \quad(\text{voir question 2. b})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\theta   =\dfrac{3\pi}{4}\,[2\pi]}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons le rapport  \overset{ { \white{ _. } } } { k  }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {  h.  } 

{ \white{ xxi } } k=|a| \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{k }=|u|  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{k   }=\sqrt 2\quad(\text{voir question 2. b})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{k   =\sqrt 2}

5 points

exercice 2

Le plan vectoriel  \overset{ { \white{ _. } } } { E   }  est muni de la base canonique  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})   }  et  \overset{ { \white{ . } } } {  f  }  un endomorphisme de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  défini par :  \overset{ { \white{ . } } } {    f :      \begin{cases}      x' = 10x + 4y \\      y' = -10x - 4y      \end{cases}        } 

1.  Déterminons  \overset{ { \white{ _. } } } {  \text{Ker} f   }  , le noyau de  \overset{ { \white{ . } } } { f.   } 

Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec u\,(x\;;\;y) \in E.   } 

{ \white{ xxi } } \vec u\in\text{Ker}f\quad\Longleftrightarrow\quad f(\vec u)=\vec 0 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \vec u\in\text{Ker}f}\quad\Longleftrightarrow\quad     \begin{cases}       10x + 4y=0 \\   -10x - 4y=0      \end{cases}       } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \vec u\in\text{Ker}f}\quad\Longleftrightarrow\quad     \begin{cases}       5x + 2y=0 \\   5x + 2y=0      \end{cases}       }

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {  \boxed{\text{Ker}f=\lbrace\vec  u(x\;;\;y)\in E\,/\,5x+2y=0\rbrace}  } 

2.  Déterminons  \overset{ { \white{ . } } } {  \text{Im} f   }  , l'image de  \overset{ { \white{ . } } } { f.   } 

{ \white{ xxi } }  \text{Im} f=\lbrace\vec v\in E\;\text{tel que}\;\exists\,\vec u\in E:\vec v=f(\vec u)\rbrace \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{ \text{Im} f  } =\lbrace f(\vec u)\,\text{ tel que}\,\vec u\in E\rbrace } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{ \text{Im} f  } =\lbrace \vec v\,(x'\;;\;y')\,\text{ tel que}\;:x' = 10x + 4y\; \text{ et }\;      y' = -10x - 4y\quad ;\quad x\in \R,y\in\R \rbrace } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{ \text{Im} f  } =\lbrace \vec v\,(x'\;;\;y')\,\text{ tel que}\;:x' +  y' = 0 \rbrace }

Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\text{Im} f  =\lbrace \vec v\,(x\;;\;y)\in E\,/\;x+y=0\rbrace}   } 

3.  Soient  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { E_2   }  deux sous-espaces vectoriels de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  engendrés respectivement par \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_1}  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_2}  }  où \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_1} = -2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}   }   et    \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_2} = -\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}  }  sont deux vecteurs de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E.  } 

3. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E.   } 

Nous rappelons que si  \overset{ { \white{ _. } } } {   E }  est un espace vectoriel de dimension 2,  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{B}=(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})    }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } {   E }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr F=(\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une famille de deux vecteurs de  \overset{ { \white{ _. } } } { E ,  }  alors  \overset{ { \white{ _. } } } {  \mathscr F  }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  si et seulement si  \overset{ { \white{ _. } } } {  \det_{\mathscr B}(\mathscr F)\neq 0.  } 

{ \white{ xxi } } \text{Or }\quad \det_{\mathscr B}( \mathscr F )= \det(\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}) \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{WWWWWw   }=\begin{vmatrix}-2&-1\\5&1\end{vmatrix}  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{WWWWWw   }=(-2)\times1-5\times(-1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{WWWWWw   }=-2+5} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{WWWWWw}=3}

{ \white{ xxi } } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text{det}_{\mathscr {B}}( \mathscr F )\neq 0}

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E.   } 

3. b)  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E.  } 

Par définition,  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  sont supplémentaires si tout vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et d'un vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2 . } 

 \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec e_1.   } 
Donc  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  est l'ensemble des multiples du vecteur  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec e_1,   } soit   \overset{ { \white{ _. } } } {E_1=\lbrace k_1\,\vec e_1\;/\;k_1\in \R\rbrace.   } 

De même,  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec e_2.   } 
\overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  est donc l'ensemble des multiples du vecteur  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec e_2,   } soit   \overset{ { \white{ _. } } } {E_2=\lbrace k_2\,\vec e_2\;/\;k_2\in \R\rbrace.   } 

Puisque nous avons montré dans la question 3. a) que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E,   } alors tout  \overset{ { \white{ _. } } } {  \vec v\in E  }  s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire  \overset{ { \white{ _. } } } {  \vec v=k_1\vec e_1+k_2\vec e_2.  } 

D'où tout vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et d'un vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2 . } 
Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E.  } 

4.  On donne  \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}  .  } 

4. a)  Montrons que la famille  \overset{ { \white{ _. } } } {  (\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2)  }  est une famille libre de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E .  } 

Nous avons montré dans la question 3. a) que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E,   } 
Or nous savons qu'une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E   }  est une partie libre et génératrice de  \overset{ { \white{ _. } } } { E.   } 

Dès lors, la famille  \overset{ { \white{ _. } } } {  (\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2)  }  est une famille libre de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E .  } 

4. b)  Nous devons déterminer les réels  \overset{ { \white{ _. } } } {   \alpha }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { \beta   }  tels que  \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2 .  } 

{ \white{ xxi } }  \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2\quad\Longleftrightarrow\quad   \vec i+5\vec j=\alpha(-2\vec i + 5\vec j)+\beta( -\vec i+\vec j) \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2}\quad\Longleftrightarrow\quad   \vec i+5\vec j=(-2\alpha-\beta)\vec i + (5\alpha+\beta)\vec j  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2\alpha-\beta=1\quad (\text{éq. 1)}\\5\alpha+\beta=5\quad \phantom{xi}(\text{éq. 2)}   \end{cases}}

{ \white{ xxi } }  (\text{éq. 1)}+(\text{éq. 2)}\quad\Longleftrightarrow\quad 3\alpha=6 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   (\text{éq. 1)}+(\text{éq. 2)}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha=2}  } \\\\\begin{cases}  \alpha=2\\5\alpha+\beta=5  \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}  \alpha=2\\10+\beta=5  \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \begin{cases}  \alpha=2\\5\alpha+\beta=5  \end{cases} }\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}  \alpha=2\\\boxed{\beta=-5}  \end{cases}  }

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{e}_3 = 2\overrightarrow{e}_1 -5\overrightarrow{e}_2  } }   } 

5.  On admet que  \overset{ { \white{ _. } } } { f(\overrightarrow{e}_1) = 0   }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {f(\overrightarrow{e}_2) = 6\overrightarrow{e}_2 .} 

5. a)  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ _. } } } { f(\overrightarrow{i}) = 10\overrightarrow{i} - 10\overrightarrow{j}   }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  f(\overrightarrow{j}) = 4\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} .  } 

{ \white{ xxi } }  \begin{cases}  f(\vec e_1)=\vec 0\\f(\vec e_2)=6\vec e_2  \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}  f(-2\vec i+5\vec j)=\vec 0\\f(-\vec i+\vec j)=6(-\vec i+\vec j)  \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases}  f(\vec e_1)=\vec 0\\f(\vec e_2)=6\vec e_2  \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2 f(\vec i)+5f(\vec j)=\vec 0\\-f(\vec i)+f(\vec j)=-6\vec i+6\vec j  \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases}  f(\vec e_1)=\vec 0\\f(\vec e_2)=6\vec e_2  \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2 f(\vec i)+5f(\vec j)=\vec 0\\-2\Big[-f(\vec i)+f(\vec j)\Big]=-2\Big[-6\vec i+6\vec j \Big] \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases}  f(\vec e_1)=\vec 0\\f(\vec e_2)=6\vec e_2  \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2 f(\vec i)+5f(\vec j)=\vec 0\\2f(\vec i)-2f(\vec j)=12\vec i-12\vec j  \end{cases} }

En additionnant membre à membre les deux équations, nous obtenons :

{ \white{ xxi } } 3f(\vec j)=12\vec i-12\vec j\quad\Longleftrightarrow\boxed{f(\vec j)=4\vec i-4\vec j}

De plus, nous avons :

{ \white{ xxi } } \begin{cases} -2 f(\vec i)+5f(\vec j)=\vec 0\\f(\vec j)=4\vec i-4\vec j \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad  -2 f(\vec i)+5(4\vec i-4\vec j )=\vec 0 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{     -2 f(\vec i)+5f(\vec j)4\vec i-4\vec j }\quad\Longrightarrow\quad  -2 f(\vec i)+20\vec i-20\vec j =\vec 0 } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{     -2 f(\vec i)+5f(\vec j)4\vec i-4\vec j }\quad\Longrightarrow\quad 2 f(\vec i)=20\vec i-20\vec j  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{     -2 f(\vec i)+5f(\vec j)4\vec i-4\vec j }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(\vec i)=10\vec i-10\vec j  }}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } { f(\overrightarrow{i}) = 10\overrightarrow{i} - 10\overrightarrow{j}   }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  f(\overrightarrow{j}) = 4\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} .  } 

5. b)  Nous devons en déduire la matrice  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{M}   }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {   f }  dans la base  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) .   } 

La matrice  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{M}   }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {   f }  dans la base  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})   }  est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs  \overset{ { \white{ _. } } } {  f(\vec i) }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  f(\vec j) } dans la base  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) .   } 

Donc  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\mathscr{M}=\begin{pmatrix}\quad10&\quad4\\-10&-4\end{pmatrix}}   } 


7 points

exercice 3

On considère la fonction numérique  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  de la variable réelle  \overset{ { \white{ . } } } {  x  }  définie sur  \overset{ { \white{ _. } } } {   \mathbb{R}  } par :

 \overset{ { \white{ _. } } } {  \begin{cases}     f(x) = \text e^{1-x}, & \text{si } x \leq 1 \\     f(x) = 1 - (x-1)\ln(x-1), & \text{si } x > 1     \end{cases}   }

On désigne par  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C)  }  la représentation graphique de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  dans un repère orthonormé  \overset{ { \white{ _. } } } { (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})   }  du plan.

1.  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ W. } } } {   \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)  }  et  \overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) .   } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ W. } } } {   \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x),  }  soit  \overset{ { \white{ W. } } } {   \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text e^{1-x}  } 

{ \white{ xxi } }  \begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty} (1-x)=+\infty \\ \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty\end{cases}\quad\underset{(X=1-x)}{\Longrightarrow} \qquad \lim\limits_{x\to -\infty}\text e^{1-x}=+\infty

{ \white{ xxi } }D'où  \overset{ { \white{ W. } } } {   \boxed{\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty}  } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ W. } } } {   \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x),  }  soit  \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \Big(1-(x-1)\ln(x-1)\Big).    } 

{ \white{ xxi } }  \begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty} (x-1)=+\infty \\ \lim\limits_{X\to +\infty}\ln X=+\infty\end{cases}\quad\underset{(X=1-x)}{\Longrightarrow} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x-1)=+\infty \\\\ \phantom{ \lim\limits_{x\to +\infty} (x-1)=+\infty \lim\limits\lim}\quad{\Longrightarrow} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}(x-1)\ln(x-1)=+\infty \\\\ \phantom{ \lim\limits_{x\to +\infty} (x-1)=+\infty \lim\limits\lim}\quad{\Longrightarrow} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}\Big(1-(x-1)\ln(x-1)\Big)=-\infty

{ \white{ xxi } }D'où  \overset{ { \white{ W. } } } {   \boxed{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty}  } 

2.  Nous devons étudier la continuité de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  en 1.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \overset{ { \white{ _. } } } {  f(1)=\text e^{1-1}=\text e^0=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(1)=1}  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to 1^-}f(x) .  } 

{ \white{ xxi } }  \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}\text e^{1-x} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=\text e^{1-1} } \\ {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=\text e^{0} } \\ {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to 1^+}f(x) ,  }  soit  \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 1^+}\Big[1 - (x-1)\ln(x-1)\Big].   } 

Posons  \overset{ { \white{ _. } } } { t=x-1.   } 

Nous obtenons alors :

{ \white{ xxi } }  \lim\limits_{x\to 1^+}(x-1)\ln(x-1)=\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}(x-1)\ln(x-1)}=0\quad(\text{croissances comparées}) } \\\\\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 1^+}\Big[1 - (x-1)\ln(x-1)\Big]=1

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {   \boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=1}  } 

Dès lors,  \overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1\\\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=1   \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1}   } 

Nous avons donc :  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)}\quad(=1).   } 

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  est continue en 1.

3.  Nous devons étudier la dérivabilité de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  en 1 et interpréter géométriquement les résultats obtenus.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions la dérivabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  à gauche en 1.

{ \white{ xxi } } \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}.

Posons  \overset{ { \white{ _. } } } { t=1-x.   } 

Dans ce cas,

{ \white{ xxi } } \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}=\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\text e^{t}-1}{-t} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}}=-\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\text e^{t}-\text e^{0}}{t-0} } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}}=-g'(0) \quad\text{où }g\text{ est la fonction définie par }g(t)=\text e^t} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}}=-1 \quad\text{car }g'(t)=\text e^t}\Longrightarrow g'(0)=\text e^0=1

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {  \boxed{ \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-1\in\R}  } 

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  est dérivable à gauche en 1.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions la dérivabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  à droite en 1.

{ \white{ xxi } } \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\Big[ 1 - (x-1)\ln(x-1)\Big]-1}{x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{- (x-1)\ln(x-1)}{x-1}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim\limits_{x\to 1^+}-\ln(x-1)} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}=-\lim\limits_{t\to 0^+}\ln t\quad\text{ avec }t=x-1}
{ \white{ xxi } }  \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}=+\infty\quad(\text{car }\quad \lim\limits_{t\to 0^+}\ln t=-\infty)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty\notin\R}

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  n'est pas dérivable à droite en 1.

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  n'est pas dérivable en 1.

Interprétation graphique des résultats

Nous avons montré que \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-1.  } 

Donc la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C)  }  admet au point de coordonnées (1 ; 1) une demi-tangente à gauche de coefficient directeur -1.

Nous avons montré que \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty.  } 

Donc la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C)  }  admet au point de coordonnées (1 ; 1) une demi-tangente verticale à droite dirigée vers le haut.

4.  Calculer  \overset{ { \white{ _. } } } {  f'(x)  }  suivant les valeurs de  \overset{ { \white{ _. } } } {  x.  } 

Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x<1,   } 

{ \white{ xxi } }  f'(x)=\left(\text e^{1-x}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=(1-x)'\text e^{1-x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=(-1)\times \text e^{1-x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=-\text e^{1-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x<1,\quad f'(x)=-\,\text e^{1-x}}

Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x>1,   } 

{ \white{ xxi } }  f'(x)=\Big(1 - (x-1)\ln(x-1)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=-(x-1)'\times\ln(x-1)-(x-1)\times \Big(\ln(x-1)\Big)'} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=-1\times\ln(x-1)-(x-1)\times \dfrac{1}{x-1}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=-\ln(x-1)-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>1,\quad f'(x)=-\ln(x-1)-1}

5.  Nous devons étudier le signe de  \overset{ { \white{ _. } } } {   f'(x) }  suivant les valeurs de  \overset{ { \white{ _. } } } { x.   } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x < 1,   } 

{ \white{ xxi } } \text e^{1-x}> 0\quad\Longrightarrow\quad -\,\text e^{1-x}< 0 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \text e^{1-x}> 0}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)< 0  } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,x<1,\quad f'(x)<0}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x > 1,   } 

{ \white{ xxi } }  f('x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad -1-\ln(x-1)>0 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f('x)>0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x-1)<-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  f('x)>0}\quad\Longleftrightarrow\quad x-1<\text e^{-1} } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f('x)>0}\quad\Longleftrightarrow\quad x<1+\text e^{-1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\ \R,\quad 1<x<1+\text e^{-1}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)>0}

De plus,

{ \white{ xxi } }  \boxed{\forall\,x>1+\text e^{-1},\quad f'(x)<0}

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de  \overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) .  } 

{\white{WWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\x&-\infty&&1&&1+\text e^{-1}&&+\infty\\ &&&&&&& \\\hline&&&||&&&&\\f'(x)&&-&||&+&0&-&\\&&&||&&&&\\\hline \end{array}

6.  Dressons le tableau de variation de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f.  } 

\text{Remarque : }\quad f(1+\text e^{-1})=1-(1+\text e^{-1}-1)\ln(1+\text e^{-1}-1) \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \text{Remarque : }\quad f(1+\text e^{-1}) } =1-\text e^{-1}\ln(\text e^{-1}) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \text{Remarque : }\quad f(1+\text e^{-1}) } =1-\text e^{-1}\times(-1) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \text{Remarque : }\quad f(1+\text e^{-1}) } =1+\text e^{-1} } \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{  \text{Remarque : }}}\Longrightarrow\quad\boxed{ f(1+\text e^{-1})= 1+\text e^{-1}}

{\white{WWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\x&-\infty&&1&&1+\text e^{-1}&&+\infty\\ &&&&&&& \\\hline&&&||&&&&\\f'(x)&&-&||&+&0&-&\\&&&||&&&&\\\hline&+\infty&&&&1+\text e^{-1}&&\\f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&1&&&&-\infty\\\hline \end{array}

7.  Montrons que l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {  f(x)=0  }  admet une solution unique  \overset{ { \white{ . } } } {  \alpha   }  et que  \overset{ { \white{ . } } } {   2,7 < \alpha < 2,8  .  } 

Le tableau de variation de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  nous indique que  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  } admet un minimum égal à 1 sur l'intervalle  \overset{ { \white{ _. } } } {  ]-\infty\;;\;1+\text e^{-1}].  } 
Dès lors, l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {  f(x)=0  }  n'admet pas de solution sur l'intervalle  \overset{ { \white{ _. } } } {  ]-\infty\;;\;1+\text e^{-1}].  } 

Par contre, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {  f  }  est continue et strictement décroissante sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [ 1+\text e^{-1}, + \infty [ . } 
Elle réalise donc une bijection de  \overset{ { \white{ . } } } {[ 1+\text e^{-1}, + \infty [  }  sur  \overset{ { \white{ . } } } {  f\Big([ 1+\text e^{-1}, + \infty [\Big)=]-\infty , 1+\text e^{-1}] .  } 

Puisque  \overset{ { \white{ . } } } { 0\in\;]-\infty , 1+\text e^{-1}]   }  l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0   }  admet une unique solution   \overset{ { \white{ . } } } { \alpha .  } 

De plus, nous avons :

 { \white{ xxi } }   \begin{cases}  f(2,7) =1-(2,7-1)\ln(2,7-1)\approx 0,098{\white{x}}{\red{>0}}\\f(2,8) =1-(2,8-1)\ln(2,8-1)\approx- 0,058{\white{x}}{\red{<0}}  \end{cases}

D'où l'équation   \overset{ { \white{ . } } } {  f(x) = 0  }  admet une unique solution   \overset{ { \white{ . } } } { \alpha   }  telle que   \overset{ { \white{ . } } } {  2,7 < \alpha < 2,8 .} 

8.  Étudions les branches infinies à  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C).  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions la branche infinie en  \overset{ { \white{ _. } } } { -\infty .   } 

Nous avons montré que  \overset{ { \white{ _. } } } {  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty.  } 

Calculons  \overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}.} 

{ \white{ xxi } } \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{1-x}}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e\times \text e^{-x}}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text e\times \dfrac{\text e^{-x}}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}= -\,\text e\times\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x}}

{ \white{ xxi } }  \text{Or }\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x}= \lim_{X \to +\infty} \dfrac{\text e^{X}}{X}\qquad\text{où }X=-x \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \text{Or }\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x} } =+\infty \quad\text{(croissances comparées)} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x}=+\infty}

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {  -\,\text e\times\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x}=-\infty   } 
Nous en déduisons que  \overset{ { \white{  } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=-\infty} 

Par conséquent, la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C) }  admet une branche parabolique de direction  \overset{ { \white{ _. } } } { (Oy)   }  au voisinage de  \overset{ { \white{ _. } } } {  -\infty.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions la branche infinie en  \overset{ { \white{ _. } } } { +\infty .   } 

Nous avons montré que  \overset{ { \white{ _. } } } {  \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty.  } 

Calculons  \overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}.} 

{ \white{ xxi } }  \displaystyle\lim_{x \to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - (x-1)\ln(x-1)}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \displaystyle\lim_{x \to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\dfrac{1}{x} - \dfrac{(x-1)}{x}\ln(x-1) \right]} \\\\\text{Or }\begin{cases} \lim\limits_{x \to+\infty} \dfrac1x=0\\ \lim\limits_{x \to+\infty} \dfrac{x-1}{x}=\lim\limits_{x \to+\infty} \dfrac{x}{x} =1\\\lim\limits_{x \to+\infty} \ln(x-1)=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\dfrac{1}{x} - \dfrac{(x-1)}{x}\ln(x-1) \right]=-\infty

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{  } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=-\infty} 

Par conséquent, la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C) }  admet une branche parabolique de direction  \overset{ { \white{ _. } } } { (Oy)   }  au voisinage de  \overset{ { \white{ _. } } } {  +\infty.  } 

9.  Traçons la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C) }  et plaçons dans le repère le point de  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C) }  d'abscisse 0.

{ \white{ xxi } }f(0)=\text e^{1-0}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\text e \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f(0)=\text e^{1-0}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{A(0\;;\;\text e)\in(C)} }

Bac Congo 2024 série D  : image 1


3 points

exercice 4

Une expérience aléatoire consiste à jeter une fois un dé pipé à six faces numérotées : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On désigne par  \overset{ { \white{ _. } } } {  P_i  }  la probabilité d'apparition de la face supérieure portant le chiffre  \overset{ { \white{ _. } } } {  i,  }  avec  \overset{ { \white{ _. } } } {  i  }  un entier naturel et  \overset{ { \white{ . } } } {  1 \leq i \leq 6  ,  }  tel que :  \overset{ { \white{ _. } } } { P_1 = P_3, \, P_2 = P_4, \, P_5 = P_6 = 2P_1   }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  2P_1 = 3P_2  .   } 

1.  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } { P_1 = \dfrac{3}{22}  .   } 

Nous devons déterminer  \overset{ { \white{ _. } } } {  P_1.  } 
Nous savons que  \overset{ { \white{ _. } } } {P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1.    } 

{ \white{ xxi } } \text{Or }\quad \begin{cases}2P_1=3P_2\quad\Longrightarrow \quad P_2=\dfrac23 P_1\\P_3=P_1\\P_4=P_2\quad\Longrightarrow \quad P_4=\dfrac23 P_1 \\P_5=2P_1\\P_6=2P_1  \end{cases}

Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } }  P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1\quad\Longrightarrow\quad P_1+\dfrac 23 P_1+P_1+\dfrac23 P_1+2P_1+2P_1=1 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longrightarrow\quad 6P_1+\dfrac 43 P_1=1  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac {22}{3} P_1=1  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_1=\dfrac {3}{22}  }}

2.  On considère la variable aléatoire  \overset{ { \white{ _. } } } {  X  }  qui prend la valeur de la face supérieure de ce dé.
La loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } {  X  }  est donnée par le tableau suivant :

{ \white{ WWWWWWW } } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\X=x_i&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&&&6\ &&&&&&&&&&&&&& &&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\P_i&&P_1&&&P_2&&&P_3&&&P_4&&&P_5&&&P_6&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

2. a)  Nous devons déterminer la loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X.   } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ _. } } } { P_1=\dfrac {3}{22}.   } 
Dès lors,

{ \white{ xxi } } \begin{cases}P_2=\dfrac23 P_1\quad\Longrightarrow\quad P_2=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{22}=\dfrac{2}{22}\\\overset{ { \white{ _. } } } { P_3=P_1\quad\Longrightarrow\quad P_3= \dfrac{3}{22}}\\\overset{ { \white{ _. } } } { P_4=P_2\quad\Longrightarrow\quad P_4= \dfrac{2}{22}} \\\overset{ { \white{ _. } } } { P_5=2P_1\quad\Longrightarrow\quad P_5=\dfrac{6}{22}}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { P_6=2P_1\quad\Longrightarrow\quad P_6 =\dfrac{6}{22}}\end{cases}

Nous pouvons résumer cette loi de probabilité dans le tableau suivant :

{ \white{ WWWWWWW } } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\X=x_i&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&&&6\ &&&&&&&&&&&&&& &&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\P_i&&\dfrac{3}{22}&&&\dfrac{2}{22}&&&\dfrac{3}{22}&&&\dfrac{2}{22}&&&\dfrac{6}{22}&&&\dfrac{6}{22}&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

2. b)  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } {   E(X) = \dfrac{45}{11}  .  } 

{ \white{ xxi } } E(X)=1\times\dfrac{3}{22}+2\times\dfrac{2}{22}+3\times\dfrac{3}{22}+4\times\dfrac{2}{22}+5\times\dfrac{6}{22}+6\times\dfrac{6}{22} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   E(X)}=\dfrac{90}{22}  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=\dfrac{45}{11}}

2. c)  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ _. } } } { V(X)  ,   }  la variance de  \overset{ { \white{ _. } } } {  X.  } 

{ \white{ xxi } }  V(X)=\dfrac{3}{22}\times(1-\dfrac{45}{11})^2+\dfrac{2}{22}\times(2-\dfrac{45}{11})^2+\dfrac{3}{22}\times(3-\dfrac{45}{11})^2\\\\\phantom{V(X)=}+\dfrac{2}{22}\times(4-\dfrac{45}{11})^2+\dfrac{6}{22}\times(5-\dfrac{45}{11})^2+\dfrac{6}{22}\times(6-\dfrac{45}{11})^2 \\\\\phantom{V(X)}=\dfrac{3}{22}\times\dfrac{1156}{121}+\dfrac{2}{22}\times\dfrac{529}{121}+\dfrac{3}{22}\times\dfrac{144}{121}+\dfrac{2}{22}\times\dfrac{1}{121}+\dfrac{6}{22}\times\dfrac{100}{121}+\dfrac{6}{22}\times\dfrac{441}{121} \\\\\phantom{V(X)}=\dfrac{8206}{2662}\approx3,08 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(X)\approx3,08}

Bac Congo 2024 série D

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5 points

exercice 1

Le plan complexe  \overset{ { \white{ . } } } { (P)   }  est rapporté à un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } {  (O; \overrightarrow u, \overrightarrow v).  } 
On désigne par  \overset{ { \white{ . } } } {  S  }  l'application qui, à tout point  \overset{ { \white{  _{_.} } } } {   M }  de coordonnées  \overset{ { \white{ _. } } } {  (x,y)  }  associe le point  \overset{ { \white{  } } } { M'   }  de coordonnées  \overset{ { \white{ . } } } { (x',y')   }  telles que :  \overset{ { \white{ . } } } {   \begin{cases}     x' = -x - y + 2 \\     y' = x - y - 1     \end{cases}        } 

1.  Déterminons l'affixe  \overset{ { \white{  } } } { z'   }  de  \overset{ { \white{  } } } {  M'  }  en fonction de l'affixe  \overset{ { \white{ . } } } {  z  }  de  \overset{ { \white{ . } } } { M.   } 

Nous savons que l'affixe de  \overset{ { \white{  _{_.} } } } { M   }  est  \overset{ { \white{ . } } } { z=x+\text i y   }  et l'affixe de  \overset{ { \white{  } } } {  M'  }  est  \overset{ { \white{ . } } } { z'=x'+\text i y'.   } 
Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } } z'=x'+\text i y' \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =(-x - y + 2)+\text i ( x - y - 1  ) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-x - y + 2+\text i  x - \text i y - \text i  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-x - \text i y +\text i  x - y + 2- \text i  }
{ \white{ xxi } } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-(x + \text i y) +(\text i  x +\text i^2 y) + 2- \text i  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-(x + \text i y) +\text i ( x +\text i y) + 2- \text i  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   z'} =-z +\text i z + 2- \text i  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{   z'} =(-1 +\text i) z + 2- \text i  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z'=(-1 +\text i) z + 2- \text i  }


2.  On considère  \overset{ { \white{ . } } } {  A, B  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { C   }  trois points du plan d'affixes respectives  \overset{ { \white{ . } } } {  z_A = 1, z_B = -2 + \text i  }  et  \overset{ { \white{ . } } } {  z_C = 3 - 4i.  } 
Soit  \overset{ { \white{ . } } } {  u  }  un nombre complexe tel que  \overset{ { \white{ . } } } {  u = \dfrac{z_A - z_C}{z_A - z_B}  .  } 

2. a)  Déterminons la forme algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } {  u.  } 

{ \white{ xxi } }  u = \dfrac{z_A - z_C}{z_A - z_B}  \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{1 - (3-4\text i)}{1 -(-2+\text i)}  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{-2+4\text i}{3-\text i}  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{(-2+4\text i)(3+\text i)}{(3-\text i)(3+\text i)}  }
{ \white{ xxi } }   \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{-6-2\text i+12\text i-4}{9+1}  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{-10+10\text i}{10}  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   u   }= \dfrac{10(-1+\text i)}{10}  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{   u   }= -1+\text i  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u=-1+\text i}

2. b)  Déterminons le module et un argument de  \overset{ { \white{ . } } } {  u.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { |u|.   } 

{ \white{ xxi } } |u|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt 2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{|u|=\sqrt 2}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { \arg(u).   } 

{ \white{ xxi } }  u=-1+\text i \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{u }   =\sqrt 2\left(-\dfrac{1}{\sqrt 2}+\text i\dfrac{1}{\sqrt 2}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{u }   =\sqrt 2\left(-\dfrac{\sqrt 2}{2}+\text i\dfrac{\sqrt 2}{2}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{u }   =\sqrt 2\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\arg(u)=\dfrac{3\pi}{4}\,[2\pi]}

3.  On considère  \overset{ { \white{ _. } } } {  h  }  la similitude plane directe qui laisse invariant le point  \overset{ { \white{  _{_.} } } } {  A  }  et qui transforme  \overset{ { \white{  _{_.} } } } { B   }  en  \overset{ { \white{  _{_.} } } } {  C.  } 

3. a)  Supposons que le point  \overset{ { \white{  } } } {  M'  }  d'affixe  \overset{ { \white{  } } } {  z'  }  est l'image du point  \overset{ { \white{  _{_.}} } } {  M  }  d'affixe  \overset{ { \white{ . } } } {  z  }  par la similitude plane directe  \overset{ { \white{  _{_.} } } } {  h.  } 
Montrons que  \overset{ { \white{  } } } {  z'  }  s'écrit de la forme :  \overset{ { \white{ . } } } { z' = (\text i-1)z + 2 - \text i .  } 

L'écriture complexe de la similitude plane directe  \overset{ { \white{ _. } } } { h   }  est de la forme  \overset{ { \white{  _{_.} } } } { z' = az + b   }  avec  \overset{ { \white{ _. } } } { a\in \C^*, b\in \C.  }

Selon les données de l'énoncé, nous obtenons :

{ \white{ xxi } }\begin{cases}h(A)=A\\h(B)=C    \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} z_A = az_A + b\\z_C = az_B + b   \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases}h(A)=A\\h(B)=C    \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad z_A-z_C=( az_A + b)-(az_B + b) } \\ {  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad z_A-z_C=az_A -az_B  } \\ \overset{ { \white{ . } } } {{  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad z_A-z_C=a(z_A -z_B)  }} \\ \overset{ { \white{ . } } } {{  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad a=\dfrac{z_A-z_C}{z_A -z_B}  }}
{ \white{ xxi } }  \\ .\overset{ { \white{ . } } } {{  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad a=u  }} \\ \overset{ { \white{ . } } } {{  \phantom{  WWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{a=-1+\text i }}}

De plus,

{ \white{ xxi } }  \begin{cases} z_A = az_A + b\\a=-1+\text i   \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad  \begin{cases} 1 = a + b\\a=-1+\text i   \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases} z_A = az_A + b\\a=-1+\text i   \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad 1=-1+\text i + b} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{b=2-\text i}}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ z' = (\text i-1)z + 2 - \text i}\, .  } 

3. b)  Nous devons en déduire l'angle  \overset{ { \white{ _. } } } { \theta   }  et le rapport  \overset{ { \white{ _. } } } {  k  }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {  h.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons l'angle  \overset{ { \white{ _. } } } { \theta   }   de  \overset{ { \white{ _. } } } {  h.  } 

{ \white{ xxi } } \theta=\arg(a) \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{\theta   }=\arg(u)  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{\theta   }=\dfrac{3\pi}{4}\,[2\pi]  \quad(\text{voir question 2. b})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\theta   =\dfrac{3\pi}{4}\,[2\pi]}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons le rapport  \overset{ { \white{ _. } } } { k  }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {  h.  } 

{ \white{ xxi } } k=|a| \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{k }=|u|  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{k   }=\sqrt 2\quad(\text{voir question 2. b})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{k   =\sqrt 2}

5 points

exercice 2

Le plan vectoriel  \overset{ { \white{ _. } } } { E   }  est muni de la base canonique  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})   }  et  \overset{ { \white{ . } } } {  f  }  un endomorphisme de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  défini par :  \overset{ { \white{ . } } } {    f :      \begin{cases}      x' = 10x + 4y \\      y' = -10x - 4y      \end{cases}        } 

1.  Déterminons  \overset{ { \white{ _. } } } {  \text{Ker} f   }  , le noyau de  \overset{ { \white{ . } } } { f.   } 

Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec u\,(x\;;\;y) \in E.   } 

{ \white{ xxi } } \vec u\in\text{Ker}f\quad\Longleftrightarrow\quad f(\vec u)=\vec 0 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \vec u\in\text{Ker}f}\quad\Longleftrightarrow\quad     \begin{cases}       10x + 4y=0 \\   -10x - 4y=0      \end{cases}       } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \vec u\in\text{Ker}f}\quad\Longleftrightarrow\quad     \begin{cases}       5x + 2y=0 \\   5x + 2y=0      \end{cases}       }

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {  \boxed{\text{Ker}f=\lbrace\vec  u(x\;;\;y)\in E\,/\,5x+2y=0\rbrace}  } 

2.  Déterminons  \overset{ { \white{ . } } } {  \text{Im} f   }  , l'image de  \overset{ { \white{ . } } } { f.   } 

{ \white{ xxi } }  \text{Im} f=\lbrace\vec v\in E\;\text{tel que}\;\exists\,\vec u\in E:\vec v=f(\vec u)\rbrace \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{ \text{Im} f  } =\lbrace f(\vec u)\,\text{ tel que}\,\vec u\in E\rbrace } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{ \text{Im} f  } =\lbrace \vec v\,(x'\;;\;y')\,\text{ tel que}\;:x' = 10x + 4y\; \text{ et }\;      y' = -10x - 4y\quad ;\quad x\in \R,y\in\R \rbrace } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{ \text{Im} f  } =\lbrace \vec v\,(x'\;;\;y')\,\text{ tel que}\;:x' +  y' = 0 \rbrace }

Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\text{Im} f  =\lbrace \vec v\,(x\;;\;y)\in E\,/\;x+y=0\rbrace}   } 

3.  Soient  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { E_2   }  deux sous-espaces vectoriels de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  engendrés respectivement par \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_1}  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_2}  }  où \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_1} = -2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}   }   et    \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_2} = -\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}  }  sont deux vecteurs de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E.  } 

3. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E.   } 

Nous rappelons que si  \overset{ { \white{ _. } } } {   E }  est un espace vectoriel de dimension 2,  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{B}=(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})    }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } {   E }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr F=(\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une famille de deux vecteurs de  \overset{ { \white{ _. } } } { E ,  }  alors  \overset{ { \white{ _. } } } {  \mathscr F  }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  si et seulement si  \overset{ { \white{ _. } } } {  \det_{\mathscr B}(\mathscr F)\neq 0.  } 

{ \white{ xxi } } \text{Or }\quad \det_{\mathscr B}( \mathscr F )= \det(\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}) \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{WWWWWw   }=\begin{vmatrix}-2&-1\\5&1\end{vmatrix}  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{WWWWWw   }=(-2)\times1-5\times(-1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{WWWWWw   }=-2+5} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{WWWWWw}=3}

{ \white{ xxi } } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text{det}_{\mathscr {B}}( \mathscr F )\neq 0}

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E.   } 

3. b)  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E.  } 

Par définition,  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  sont supplémentaires si tout vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et d'un vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2 . } 

 \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec e_1.   } 
Donc  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  est l'ensemble des multiples du vecteur  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec e_1,   } soit   \overset{ { \white{ _. } } } {E_1=\lbrace k_1\,\vec e_1\;/\;k_1\in \R\rbrace.   } 

De même,  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec e_2.   } 
\overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  est donc l'ensemble des multiples du vecteur  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec e_2,   } soit   \overset{ { \white{ _. } } } {E_2=\lbrace k_2\,\vec e_2\;/\;k_2\in \R\rbrace.   } 

Puisque nous avons montré dans la question 3. a) que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E,   } alors tout  \overset{ { \white{ _. } } } {  \vec v\in E  }  s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire  \overset{ { \white{ _. } } } {  \vec v=k_1\vec e_1+k_2\vec e_2.  } 

D'où tout vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E  }  se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et d'un vecteur de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2 . } 
Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_1  }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  E_2  }  sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E.  } 

4.  On donne  \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}  .  } 

4. a)  Montrons que la famille  \overset{ { \white{ _. } } } {  (\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2)  }  est une famille libre de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E .  } 

Nous avons montré dans la question 3. a) que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})   }  est une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E,   } 
Or nous savons qu'une base de  \overset{ { \white{ _. } } } { E   }  est une partie libre et génératrice de  \overset{ { \white{ _. } } } { E.   } 

Dès lors, la famille  \overset{ { \white{ _. } } } {  (\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2)  }  est une famille libre de  \overset{ { \white{ _. } } } {  E .  } 

4. b)  Nous devons déterminer les réels  \overset{ { \white{ _. } } } {   \alpha }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { \beta   }  tels que  \overset{ { \white{ _. } } } {  \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2 .  } 

{ \white{ xxi } }  \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2\quad\Longleftrightarrow\quad   \vec i+5\vec j=\alpha(-2\vec i + 5\vec j)+\beta( -\vec i+\vec j) \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2}\quad\Longleftrightarrow\quad   \vec i+5\vec j=(-2\alpha-\beta)\vec i + (5\alpha+\beta)\vec j  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \overrightarrow{e}_3 = \alpha\overrightarrow{e}_1 + \beta\overrightarrow{e}_2}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2\alpha-\beta=1\quad (\text{éq. 1)}\\5\alpha+\beta=5\quad \phantom{xi}(\text{éq. 2)}   \end{cases}}

{ \white{ xxi } }  (\text{éq. 1)}+(\text{éq. 2)}\quad\Longleftrightarrow\quad 3\alpha=6 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   (\text{éq. 1)}+(\text{éq. 2)}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha=2}  } \\\\\begin{cases}  \alpha=2\\5\alpha+\beta=5  \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}  \alpha=2\\10+\beta=5  \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \begin{cases}  \alpha=2\\5\alpha+\beta=5  \end{cases} }\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}  \alpha=2\\\boxed{\beta=-5}  \end{cases}  }

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{e}_3 = 2\overrightarrow{e}_1 -5\overrightarrow{e}_2  } }   } 

5.  On admet que  \overset{ { \white{ _. } } } { f(\overrightarrow{e}_1) = 0   }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {f(\overrightarrow{e}_2) = 6\overrightarrow{e}_2 .} 

5. a)  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ _. } } } { f(\overrightarrow{i}) = 10\overrightarrow{i} - 10\overrightarrow{j}   }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  f(\overrightarrow{j}) = 4\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} .  } 

{ \white{ xxi } }  \begin{cases}  f(\vec e_1)=\vec 0\\f(\vec e_2)=6\vec e_2  \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}  f(-2\vec i+5\vec j)=\vec 0\\f(-\vec i+\vec j)=6(-\vec i+\vec j)  \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases}  f(\vec e_1)=\vec 0\\f(\vec e_2)=6\vec e_2  \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2 f(\vec i)+5f(\vec j)=\vec 0\\-f(\vec i)+f(\vec j)=-6\vec i+6\vec j  \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases}  f(\vec e_1)=\vec 0\\f(\vec e_2)=6\vec e_2  \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2 f(\vec i)+5f(\vec j)=\vec 0\\-2\Big[-f(\vec i)+f(\vec j)\Big]=-2\Big[-6\vec i+6\vec j \Big] \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \begin{cases}  f(\vec e_1)=\vec 0\\f(\vec e_2)=6\vec e_2  \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2 f(\vec i)+5f(\vec j)=\vec 0\\2f(\vec i)-2f(\vec j)=12\vec i-12\vec j  \end{cases} }

En additionnant membre à membre les deux équations, nous obtenons :

{ \white{ xxi } } 3f(\vec j)=12\vec i-12\vec j\quad\Longleftrightarrow\boxed{f(\vec j)=4\vec i-4\vec j}

De plus, nous avons :

{ \white{ xxi } } \begin{cases} -2 f(\vec i)+5f(\vec j)=\vec 0\\f(\vec j)=4\vec i-4\vec j \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad  -2 f(\vec i)+5(4\vec i-4\vec j )=\vec 0 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{     -2 f(\vec i)+5f(\vec j)4\vec i-4\vec j }\quad\Longrightarrow\quad  -2 f(\vec i)+20\vec i-20\vec j =\vec 0 } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{     -2 f(\vec i)+5f(\vec j)4\vec i-4\vec j }\quad\Longrightarrow\quad 2 f(\vec i)=20\vec i-20\vec j  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{     -2 f(\vec i)+5f(\vec j)4\vec i-4\vec j }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(\vec i)=10\vec i-10\vec j  }}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } { f(\overrightarrow{i}) = 10\overrightarrow{i} - 10\overrightarrow{j}   }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  f(\overrightarrow{j}) = 4\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} .  } 

5. b)  Nous devons en déduire la matrice  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{M}   }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {   f }  dans la base  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) .   } 

La matrice  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{M}   }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {   f }  dans la base  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})   }  est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs  \overset{ { \white{ _. } } } {  f(\vec i) }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  f(\vec j) } dans la base  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) .   } 

Donc  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\mathscr{M}=\begin{pmatrix}\quad10&\quad4\\-10&-4\end{pmatrix}}   } 


7 points

exercice 3

On considère la fonction numérique  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  de la variable réelle  \overset{ { \white{ . } } } {  x  }  définie sur  \overset{ { \white{ _. } } } {   \mathbb{R}  } par :

 \overset{ { \white{ _. } } } {  \begin{cases}     f(x) = \text e^{1-x}, & \text{si } x \leq 1 \\     f(x) = 1 - (x-1)\ln(x-1), & \text{si } x > 1     \end{cases}   }

On désigne par  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C)  }  la représentation graphique de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  dans un repère orthonormé  \overset{ { \white{ _. } } } { (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})   }  du plan.

1.  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ W. } } } {   \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)  }  et  \overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) .   } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ W. } } } {   \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x),  }  soit  \overset{ { \white{ W. } } } {   \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text e^{1-x}  } 

{ \white{ xxi } }  \begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty} (1-x)=+\infty \\ \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty\end{cases}\quad\underset{(X=1-x)}{\Longrightarrow} \qquad \lim\limits_{x\to -\infty}\text e^{1-x}=+\infty

{ \white{ xxi } }D'où  \overset{ { \white{ W. } } } {   \boxed{\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty}  } 

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ W. } } } {   \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x),  }  soit  \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \Big(1-(x-1)\ln(x-1)\Big).    } 

{ \white{ xxi } }  \begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty} (x-1)=+\infty \\ \lim\limits_{X\to +\infty}\ln X=+\infty\end{cases}\quad\underset{(X=1-x)}{\Longrightarrow} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x-1)=+\infty \\\\ \phantom{ \lim\limits_{x\to +\infty} (x-1)=+\infty \lim\limits\lim}\quad{\Longrightarrow} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}(x-1)\ln(x-1)=+\infty \\\\ \phantom{ \lim\limits_{x\to +\infty} (x-1)=+\infty \lim\limits\lim}\quad{\Longrightarrow} \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}\Big(1-(x-1)\ln(x-1)\Big)=-\infty

{ \white{ xxi } }D'où  \overset{ { \white{ W. } } } {   \boxed{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty}  } 

2.  Nous devons étudier la continuité de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  en 1.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \overset{ { \white{ _. } } } {  f(1)=\text e^{1-1}=\text e^0=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(1)=1}  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to 1^-}f(x) .  } 

{ \white{ xxi } }  \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}\text e^{1-x} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=\text e^{1-1} } \\ {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=\text e^{0} } \\ {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)}=1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to 1^+}f(x) ,  }  soit  \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 1^+}\Big[1 - (x-1)\ln(x-1)\Big].   } 

Posons  \overset{ { \white{ _. } } } { t=x-1.   } 

Nous obtenons alors :

{ \white{ xxi } }  \lim\limits_{x\to 1^+}(x-1)\ln(x-1)=\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}(x-1)\ln(x-1)}=0\quad(\text{croissances comparées}) } \\\\\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 1^+}\Big[1 - (x-1)\ln(x-1)\Big]=1

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {   \boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=1}  } 

Dès lors,  \overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1\\\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=1   \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1}   } 

Nous avons donc :  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)}\quad(=1).   } 

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  est continue en 1.

3.  Nous devons étudier la dérivabilité de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  en 1 et interpréter géométriquement les résultats obtenus.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions la dérivabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  à gauche en 1.

{ \white{ xxi } } \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}.

Posons  \overset{ { \white{ _. } } } { t=1-x.   } 

Dans ce cas,

{ \white{ xxi } } \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}=\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\text e^{t}-1}{-t} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}}=-\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\text e^{t}-\text e^{0}}{t-0} } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}}=-g'(0) \quad\text{où }g\text{ est la fonction définie par }g(t)=\text e^t} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\text e^{1-x}-1}{x-1}}=-1 \quad\text{car }g'(t)=\text e^t}\Longrightarrow g'(0)=\text e^0=1

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {  \boxed{ \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-1\in\R}  } 

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  est dérivable à gauche en 1.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions la dérivabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  à droite en 1.

{ \white{ xxi } } \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\Big[ 1 - (x-1)\ln(x-1)\Big]-1}{x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{- (x-1)\ln(x-1)}{x-1}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim\limits_{x\to 1^+}-\ln(x-1)} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}=-\lim\limits_{t\to 0^+}\ln t\quad\text{ avec }t=x-1}
{ \white{ xxi } }  \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}=+\infty\quad(\text{car }\quad \lim\limits_{t\to 0^+}\ln t=-\infty)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty\notin\R}

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  n'est pas dérivable à droite en 1.

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  n'est pas dérivable en 1.

Interprétation graphique des résultats

Nous avons montré que \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-1.  } 

Donc la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C)  }  admet au point de coordonnées (1 ; 1) une demi-tangente à gauche de coefficient directeur -1.

Nous avons montré que \overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty.  } 

Donc la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C)  }  admet au point de coordonnées (1 ; 1) une demi-tangente verticale à droite dirigée vers le haut.

4.  Calculer  \overset{ { \white{ _. } } } {  f'(x)  }  suivant les valeurs de  \overset{ { \white{ _. } } } {  x.  } 

Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x<1,   } 

{ \white{ xxi } }  f'(x)=\left(\text e^{1-x}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=(1-x)'\text e^{1-x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=(-1)\times \text e^{1-x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=-\text e^{1-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x<1,\quad f'(x)=-\,\text e^{1-x}}

Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x>1,   } 

{ \white{ xxi } }  f'(x)=\Big(1 - (x-1)\ln(x-1)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=-(x-1)'\times\ln(x-1)-(x-1)\times \Big(\ln(x-1)\Big)'} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=-1\times\ln(x-1)-(x-1)\times \dfrac{1}{x-1}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f'(x)}=-\ln(x-1)-1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>1,\quad f'(x)=-\ln(x-1)-1}

5.  Nous devons étudier le signe de  \overset{ { \white{ _. } } } {   f'(x) }  suivant les valeurs de  \overset{ { \white{ _. } } } { x.   } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x < 1,   } 

{ \white{ xxi } } \text e^{1-x}> 0\quad\Longrightarrow\quad -\,\text e^{1-x}< 0 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \text e^{1-x}> 0}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)< 0  } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,x<1,\quad f'(x)<0}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x > 1,   } 

{ \white{ xxi } }  f('x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad -1-\ln(x-1)>0 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f('x)>0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x-1)<-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  f('x)>0}\quad\Longleftrightarrow\quad x-1<\text e^{-1} } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f('x)>0}\quad\Longleftrightarrow\quad x<1+\text e^{-1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\ \R,\quad 1<x<1+\text e^{-1}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)>0}

De plus,

{ \white{ xxi } }  \boxed{\forall\,x>1+\text e^{-1},\quad f'(x)<0}

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de  \overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) .  } 

{\white{WWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\x&-\infty&&1&&1+\text e^{-1}&&+\infty\\ &&&&&&& \\\hline&&&||&&&&\\f'(x)&&-&||&+&0&-&\\&&&||&&&&\\\hline \end{array}

6.  Dressons le tableau de variation de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f.  } 

\text{Remarque : }\quad f(1+\text e^{-1})=1-(1+\text e^{-1}-1)\ln(1+\text e^{-1}-1) \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \text{Remarque : }\quad f(1+\text e^{-1}) } =1-\text e^{-1}\ln(\text e^{-1}) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \text{Remarque : }\quad f(1+\text e^{-1}) } =1-\text e^{-1}\times(-1) } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \text{Remarque : }\quad f(1+\text e^{-1}) } =1+\text e^{-1} } \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } {  \phantom{  \text{Remarque : }}}\Longrightarrow\quad\boxed{ f(1+\text e^{-1})= 1+\text e^{-1}}

{\white{WWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\x&-\infty&&1&&1+\text e^{-1}&&+\infty\\ &&&&&&& \\\hline&&&||&&&&\\f'(x)&&-&||&+&0&-&\\&&&||&&&&\\\hline&+\infty&&&&1+\text e^{-1}&&\\f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&1&&&&-\infty\\\hline \end{array}

7.  Montrons que l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {  f(x)=0  }  admet une solution unique  \overset{ { \white{ . } } } {  \alpha   }  et que  \overset{ { \white{ . } } } {   2,7 < \alpha < 2,8  .  } 

Le tableau de variation de  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  }  nous indique que  \overset{ { \white{ _. } } } {  f  } admet un minimum égal à 1 sur l'intervalle  \overset{ { \white{ _. } } } {  ]-\infty\;;\;1+\text e^{-1}].  } 
Dès lors, l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {  f(x)=0  }  n'admet pas de solution sur l'intervalle  \overset{ { \white{ _. } } } {  ]-\infty\;;\;1+\text e^{-1}].  } 

Par contre, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {  f  }  est continue et strictement décroissante sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { [ 1+\text e^{-1}, + \infty [ . } 
Elle réalise donc une bijection de  \overset{ { \white{ . } } } {[ 1+\text e^{-1}, + \infty [  }  sur  \overset{ { \white{ . } } } {  f\Big([ 1+\text e^{-1}, + \infty [\Big)=]-\infty , 1+\text e^{-1}] .  } 

Puisque  \overset{ { \white{ . } } } { 0\in\;]-\infty , 1+\text e^{-1}]   }  l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0   }  admet une unique solution   \overset{ { \white{ . } } } { \alpha .  } 

De plus, nous avons :

 { \white{ xxi } }   \begin{cases}  f(2,7) =1-(2,7-1)\ln(2,7-1)\approx 0,098{\white{x}}{\red{>0}}\\f(2,8) =1-(2,8-1)\ln(2,8-1)\approx- 0,058{\white{x}}{\red{<0}}  \end{cases}

D'où l'équation   \overset{ { \white{ . } } } {  f(x) = 0  }  admet une unique solution   \overset{ { \white{ . } } } { \alpha   }  telle que   \overset{ { \white{ . } } } {  2,7 < \alpha < 2,8 .} 

8.  Étudions les branches infinies à  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C).  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions la branche infinie en  \overset{ { \white{ _. } } } { -\infty .   } 

Nous avons montré que  \overset{ { \white{ _. } } } {  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty.  } 

Calculons  \overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}.} 

{ \white{ xxi } } \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{1-x}}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e\times \text e^{-x}}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text e\times \dfrac{\text e^{-x}}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{    \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}}= -\,\text e\times\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x}}

{ \white{ xxi } }  \text{Or }\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x}= \lim_{X \to +\infty} \dfrac{\text e^{X}}{X}\qquad\text{où }X=-x \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{  \text{Or }\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x} } =+\infty \quad\text{(croissances comparées)} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x}=+\infty}

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {  -\,\text e\times\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{-x}}{-x}=-\infty   } 
Nous en déduisons que  \overset{ { \white{  } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=-\infty} 

Par conséquent, la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C) }  admet une branche parabolique de direction  \overset{ { \white{ _. } } } { (Oy)   }  au voisinage de  \overset{ { \white{ _. } } } {  -\infty.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions la branche infinie en  \overset{ { \white{ _. } } } { +\infty .   } 

Nous avons montré que  \overset{ { \white{ _. } } } {  \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty.  } 

Calculons  \overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}.} 

{ \white{ xxi } }  \displaystyle\lim_{x \to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - (x-1)\ln(x-1)}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   \displaystyle\lim_{x \to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\dfrac{1}{x} - \dfrac{(x-1)}{x}\ln(x-1) \right]} \\\\\text{Or }\begin{cases} \lim\limits_{x \to+\infty} \dfrac1x=0\\ \lim\limits_{x \to+\infty} \dfrac{x-1}{x}=\lim\limits_{x \to+\infty} \dfrac{x}{x} =1\\\lim\limits_{x \to+\infty} \ln(x-1)=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\dfrac{1}{x} - \dfrac{(x-1)}{x}\ln(x-1) \right]=-\infty

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{  } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=-\infty} 

Par conséquent, la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C) }  admet une branche parabolique de direction  \overset{ { \white{ _. } } } { (Oy)   }  au voisinage de  \overset{ { \white{ _. } } } {  +\infty.  } 

9.  Traçons la courbe  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C) }  et plaçons dans le repère le point de  \overset{ { \white{ _. } } } {  (C) }  d'abscisse 0.

{ \white{ xxi } }f(0)=\text e^{1-0}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\text e \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   f(0)=\text e^{1-0}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{A(0\;;\;\text e)\in(C)} }

Bac Congo 2024 série D  : image 2


3 points

exercice 4

Une expérience aléatoire consiste à jeter une fois un dé pipé à six faces numérotées : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On désigne par  \overset{ { \white{ _. } } } {  P_i  }  la probabilité d'apparition de la face supérieure portant le chiffre  \overset{ { \white{ _. } } } {  i,  }  avec  \overset{ { \white{ _. } } } {  i  }  un entier naturel et  \overset{ { \white{ . } } } {  1 \leq i \leq 6  ,  }  tel que :  \overset{ { \white{ _. } } } { P_1 = P_3, \, P_2 = P_4, \, P_5 = P_6 = 2P_1   }  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  2P_1 = 3P_2  .   } 

1.  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } { P_1 = \dfrac{3}{22}  .   } 

Nous devons déterminer  \overset{ { \white{ _. } } } {  P_1.  } 
Nous savons que  \overset{ { \white{ _. } } } {P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1.    } 

{ \white{ xxi } } \text{Or }\quad \begin{cases}2P_1=3P_2\quad\Longrightarrow \quad P_2=\dfrac23 P_1\\P_3=P_1\\P_4=P_2\quad\Longrightarrow \quad P_4=\dfrac23 P_1 \\P_5=2P_1\\P_6=2P_1  \end{cases}

Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } }  P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1\quad\Longrightarrow\quad P_1+\dfrac 23 P_1+P_1+\dfrac23 P_1+2P_1+2P_1=1 \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longrightarrow\quad 6P_1+\dfrac 43 P_1=1  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac {22}{3} P_1=1  } \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6=1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_1=\dfrac {3}{22}  }}

2.  On considère la variable aléatoire  \overset{ { \white{ _. } } } {  X  }  qui prend la valeur de la face supérieure de ce dé.
La loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } {  X  }  est donnée par le tableau suivant :

{ \white{ WWWWWWW } } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\X=x_i&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&&&6\ &&&&&&&&&&&&&& &&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\P_i&&P_1&&&P_2&&&P_3&&&P_4&&&P_5&&&P_6&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

2. a)  Nous devons déterminer la loi de probabilité de  \overset{ { \white{ _. } } } { X.   } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ _. } } } { P_1=\dfrac {3}{22}.   } 
Dès lors,

{ \white{ xxi } } \begin{cases}P_2=\dfrac23 P_1\quad\Longrightarrow\quad P_2=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{22}=\dfrac{2}{22}\\\overset{ { \white{ _. } } } { P_3=P_1\quad\Longrightarrow\quad P_3= \dfrac{3}{22}}\\\overset{ { \white{ _. } } } { P_4=P_2\quad\Longrightarrow\quad P_4= \dfrac{2}{22}} \\\overset{ { \white{ _. } } } { P_5=2P_1\quad\Longrightarrow\quad P_5=\dfrac{6}{22}}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { P_6=2P_1\quad\Longrightarrow\quad P_6 =\dfrac{6}{22}}\end{cases}

Nous pouvons résumer cette loi de probabilité dans le tableau suivant :

{ \white{ WWWWWWW } } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\X=x_i&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&&&6\ &&&&&&&&&&&&&& &&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\P_i&&\dfrac{3}{22}&&&\dfrac{2}{22}&&&\dfrac{3}{22}&&&\dfrac{2}{22}&&&\dfrac{6}{22}&&&\dfrac{6}{22}&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

2. b)  Montrons que  \overset{ { \white{ _. } } } {   E(X) = \dfrac{45}{11}  .  } 

{ \white{ xxi } } E(X)=1\times\dfrac{3}{22}+2\times\dfrac{2}{22}+3\times\dfrac{3}{22}+4\times\dfrac{2}{22}+5\times\dfrac{6}{22}+6\times\dfrac{6}{22} \\\overset{ { \white{ . } } } {  \phantom{   E(X)}=\dfrac{90}{22}  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=\dfrac{45}{11}}

2. c)  Nous devons calculer  \overset{ { \white{ _. } } } { V(X)  ,   }  la variance de  \overset{ { \white{ _. } } } {  X.  } 

{ \white{ xxi } }  V(X)=\dfrac{3}{22}\times(1-\dfrac{45}{11})^2+\dfrac{2}{22}\times(2-\dfrac{45}{11})^2+\dfrac{3}{22}\times(3-\dfrac{45}{11})^2\\\\\phantom{V(X)=}+\dfrac{2}{22}\times(4-\dfrac{45}{11})^2+\dfrac{6}{22}\times(5-\dfrac{45}{11})^2+\dfrac{6}{22}\times(6-\dfrac{45}{11})^2 \\\\\phantom{V(X)}=\dfrac{3}{22}\times\dfrac{1156}{121}+\dfrac{2}{22}\times\dfrac{529}{121}+\dfrac{3}{22}\times\dfrac{144}{121}+\dfrac{2}{22}\times\dfrac{1}{121}+\dfrac{6}{22}\times\dfrac{100}{121}+\dfrac{6}{22}\times\dfrac{441}{121} \\\\\phantom{V(X)}=\dfrac{8206}{2662}\approx3,08 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(X)\approx3,08}

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