Le plan complexe est rapporté à un repère
orthonormé . On désigne par S l'application qui, à tout point M de coordonnées associe le point de coordonnées telles que :
1. Déterminer l'affixe de en fonction de l'affixe de
2. On considère et trois points du plan d'affixes respectives et
Soit un nombre complexe tel que .
a. Déterminer la forme algébrique de
b. Déterminer le module et un argument de
3. On considère la similitude plane directe qui laisse invariant le point et qui transforme en .
a. Supposons que le point d'affixe est l'image du point l'affixe par la similitude plane directe ; Montrer que s'écrit de la forme : ;
b. En déduire l'angle et le rapport de .
5 points
exercice 2
Le plan vectoriel est muni de la base canonique et un endomorphisme de défini par :
1. Déterminer , le noyau de .
2. Déterminer , l'image de .
3. Soient et deux sous-espaces vectoriels de : et deux vecteurs de .
a. Montrer que est une base de .
b. Montrer que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
4. On donne .
a. Montrer que la famille est une famille libre de .
b. Déterminer les réels et tels que .
5. On admet que et .
a. Montrer que et .
b. En déduire la matrice de dans la base .
7 points
exercice 3
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur par :
On désigne par (C) la représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé du plan. Unité graphique : 2 cm.
1. Calculer et .
2. Étudier la continuité de en 1.
3. Étudier la dérivabilité de la fonction en 1 et interpréter géométriquement les résultats obtenus.
4. On désigne par la dérivée de . Calculer suivant les valeurs de .
5. Étudier le signe de suivant les valeurs de .
6. Dresser le tableau de variation de .
7. Montrer que l'équation admet une solution unique et que .
8. Étudier les branches infinies à (C).
9. Tracer la courbe (C) ; On placera dans le repère le point de (C) d'abscisse 0.
3 points
exercice 4
Une expérience aléatoire consiste à jeter une fois un dé pipé à six faces numérotées : 1, 2, 3, 4, 5, 6. On désigne par la probabilité d'apparition de la face supérieure portant le chiffre , avec un entier naturel et , tel que : et .
1. Montrer que .
2. On considère la variable aléatoire qui prend la valeur de la face supérieure de ce dé. La loi de probabilité de est donnée par le tableau suivant :
1
2
3
4
5
6
a. Déterminer la loi de probabilité de .
b. Montrer que .
c. Calculer , la variance de .
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est rapporté à un repère
orthonormé  )
. On désigne par S l'application qui, à tout point M de coordonnées  )
associe le point 
de coordonnées  )
telles que :
de 
de 
et 
trois points du plan d'affixes respectives 
et
Soit 
un nombre complexe tel que 
.
la similitude plane directe qui laisse invariant le point 
et qui transforme 
en 
par la similitude plane directe x + 2 - i )
;
et le rapport 
de 
est muni de la base canonique  )
et 
un endomorphisme de 
, le noyau de 
, l'image de 
et 
deux sous-espaces vectoriels de 
et 
deux vecteurs de  )
est une base de 
.)
est une famille libre de 
.
et 
tels que 
. = 0)
et  = \overrightarrow{e}_2)
.
 = 10\overrightarrow{i} - 10\overrightarrow{j})
et  = 4\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j})
.
dans la base )
.
par : = e^{1-x}, & \text{si } x \leq 1 \\ f(x) = 1 - (x-1)\ln(x-1), & \text{si } x > 1 \end{cases} )
)
du plan. Unité graphique : 2 cm.)
et )
.
la dérivée de  )
suivant les valeurs de  = 0 )
admet une solution unique 
et que 
.
la probabilité d'apparition de la face supérieure portant le chiffre 
, avec 
, tel que : 
et 
.
.
qui prend la valeur de la face supérieure de ce dé. La loi de probabilité de  = \dfrac{45}{11} )
. )
, la variance de 
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