Le plan complexe est rapporté à un repère
orthonormé . On désigne par S l'application qui, à tout point M de coordonnées associe le point de coordonnées telles que :
1. Déterminer l'affixe de en fonction de l'affixe de
2. On considère et trois points du plan d'affixes respectives et
Soit un nombre complexe tel que .
a. Déterminer la forme algébrique de
b. Déterminer le module et un argument de
3. On considère la similitude plane directe qui laisse invariant le point et qui transforme en .
a. Supposons que le point d'affixe est l'image du point d'affixe par la similitude plane directe ; Montrer que s'écrit de la forme : ;
b. En déduire l'angle et le rapport de .
5 points
exercice 2
Le plan vectoriel est muni de la base canonique et un endomorphisme de défini par :
1. Déterminer , le noyau de .
2. Déterminer , l'image de .
3. Soient et deux sous-espaces vectoriels
de engendrés respectivement
par
et
où et sont deux vecteurs de
a. Montrer que est une base de .
b. Montrer que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
4. On donne .
a. Montrer que la famille est une famille libre de .
b. Déterminer les réels et tels que .
5. On admet que et .
a. Montrer que et .
b. En déduire la matrice de dans la base .
7 points
exercice 3
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur par :
On désigne par (C) la représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé du plan. Unité graphique : 2 cm.
1. Calculer et .
2. Étudier la continuité de en 1.
3. Étudier la dérivabilité de la fonction en 1 et interpréter géométriquement les résultats obtenus.
4. On désigne par la dérivée de . Calculer suivant les valeurs de .
5. Étudier le signe de suivant les valeurs de .
6. Dresser le tableau de variation de .
7. Montrer que l'équation admet une solution unique et que .
8. Étudier les branches infinies à (C).
9. Tracer la courbe (C) ; On placera dans le repère le point de (C) d'abscisse 0.
3 points
exercice 4
Une expérience aléatoire consiste à jeter une fois un dé pipé à six faces numérotées : 1, 2, 3, 4, 5, 6. On désigne par la probabilité d'apparition de la face supérieure portant le chiffre , avec un entier naturel et , tel que : et .
1. Montrer que .
2. On considère la variable aléatoire qui prend la valeur de la face supérieure de ce dé. La loi de probabilité de est donnée par le tableau suivant :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé On désigne par l'application qui, à tout point de coordonnées associe le point de coordonnées telles que :
1. Déterminons l'affixe de en fonction de l'affixe de
Nous savons que l'affixe de est et l'affixe de est
Nous obtenons ainsi :
2. On considère et trois points du plan d'affixes respectives et
Soit un nombre complexe tel que
2. a) Déterminons la forme algébrique de
2. b) Déterminons le module et un argument de
Calculons
Calculons
3. On considère la similitude plane directe qui laisse invariant le point et qui transforme en
3. a) Supposons que le point d'affixe est l'image du point d'affixe par la similitude plane directe
Montrons que s'écrit de la forme :
L'écriture complexe de la similitude plane directe est de la forme avec
Selon les données de l'énoncé, nous obtenons :
De plus,
Par conséquent,
3. b) Nous devons en déduire l'angle et le rapport de
Calculons l'angle de
Calculons le rapport de
5 points
exercice 2
Le plan vectoriel est muni de la base canonique et un endomorphisme de défini par :
1. Déterminons , le noyau de
Soit
D'où
2. Déterminons , l'image de
Par conséquent,
3. Soient et deux sous-espaces vectoriels de engendrés respectivement par et où
et sont deux vecteurs de
3. a) Montrons que est une base de
Nous rappelons que si est un espace vectoriel de dimension 2, est une base de et est une famille de deux vecteurs de alors est une base de si et seulement si
Nous en déduisons que est une base de
3. b) Montrons que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de
Par définition, et sont supplémentaires si tout vecteur de se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur
de et d'un vecteur de
est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur
Donc est l'ensemble des multiples du vecteur soit
De même, est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur est donc l'ensemble des multiples du vecteur soit
Puisque nous avons montré dans la question 3. a) que est une base de alors tout s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire
D'où tout vecteur de se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur
de et d'un vecteur de
Par conséquent, et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de
4. On donne
4. a) Montrons que la famille est une famille libre de
Nous avons montré dans la question 3. a) que est une base de
Or nous savons qu'une base de est une partie libre et génératrice de
Dès lors, la famille est une famille libre de
4. b) Nous devons déterminer les réels et tels que
D'où
5. On admet que et
5. a) Nous devons montrer que et
En additionnant membre à membre les deux équations, nous obtenons :
De plus, nous avons :
Par conséquent, et
5. b) Nous devons en déduire la matrice de dans la base
La matrice de dans la base est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs et dans la base
Donc
7 points
exercice 3
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur par :
On désigne par la représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé du plan.
1. Nous devons calculer et
Calculons soit
D'où
Calculons soit
D'où
2. Nous devons étudier la continuité de en 1.
Calculons
Calculons soit
Posons
Nous obtenons alors :
D'où
Dès lors,
Nous avons donc :
Par conséquent, la fonction est continue en 1.
3. Nous devons étudier la dérivabilité de la fonction en 1 et interpréter géométriquement les résultats obtenus.
Étudions la dérivabilité de à gauche en 1.
Posons
Dans ce cas,
D'où
Nous en déduisons que la fonction est dérivable à gauche en 1.
Étudions la dérivabilité de à droite en 1.
Nous en déduisons que la fonction n'est pas dérivable à droite en 1.
Par conséquent, la fonction n'est pas dérivable en 1.
Interprétation graphique des résultats
Nous avons montré que
Donc la courbe admet au point de coordonnées (1 ; 1) une demi-tangente à gauche de coefficient directeur -1.
Nous avons montré que
Donc la courbe admet au point de coordonnées (1 ; 1) une demi-tangente verticale à droite dirigée vers le haut.
4. Calculer suivant les valeurs de
Pour tout
Pour tout
5. Nous devons étudier le signe de suivant les valeurs de
Pour tout
Pour tout
De plus,
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de
6. Dressons le tableau de variation de
7. Montrons que l'équation admet une solution unique et que
Le tableau de variation de nous indique que admet un minimum égal à 1 sur l'intervalle
Dès lors, l'équation n'admet pas de solution sur l'intervalle
Par contre, la fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle
Elle réalise donc une bijection de sur
Puisque l'équation admet une unique solution
De plus, nous avons :
D'où l'équation admet une unique solution telle que
8. Étudions les branches infinies à
Étudions la branche infinie en
Nous avons montré que
Calculons
D'où
Nous en déduisons que
Par conséquent, la courbe admet une branche parabolique de direction au voisinage de
Étudions la branche infinie en
Nous avons montré que
Calculons
Nous en déduisons que
Par conséquent, la courbe admet une branche parabolique de direction au voisinage de
9. Traçons la courbe et plaçons dans le repère le point de d'abscisse 0.
3 points
exercice 4
Une expérience aléatoire consiste à jeter une fois un dé pipé à six faces numérotées : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On désigne par la probabilité d'apparition de la face supérieure
portant le chiffre avec un entier naturel et tel que : et
1. Montrons que
Nous devons déterminer
Nous savons que
Nous obtenons ainsi :
2. On considère la variable aléatoire qui prend la valeur de la face supérieure de ce dé.
La loi de probabilité de est donnée par le tableau suivant :
2. a) Nous devons déterminer la loi de probabilité de
Nous savons que
Dès lors,
Nous pouvons résumer cette loi de probabilité dans le tableau suivant :
2. b) Montrons que
2. c) Nous devons calculer la variance de
Bac Congo 2024 série D
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5 points
exercice 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé On désigne par l'application qui, à tout point de coordonnées associe le point de coordonnées telles que :
1. Déterminons l'affixe de en fonction de l'affixe de
Nous savons que l'affixe de est et l'affixe de est
Nous obtenons ainsi :
2. On considère et trois points du plan d'affixes respectives et
Soit un nombre complexe tel que
2. a) Déterminons la forme algébrique de
2. b) Déterminons le module et un argument de
Calculons
Calculons
3. On considère la similitude plane directe qui laisse invariant le point et qui transforme en
3. a) Supposons que le point d'affixe est l'image du point d'affixe par la similitude plane directe
Montrons que s'écrit de la forme :
L'écriture complexe de la similitude plane directe est de la forme avec
Selon les données de l'énoncé, nous obtenons :
De plus,
Par conséquent,
3. b) Nous devons en déduire l'angle et le rapport de
Calculons l'angle de
Calculons le rapport de
5 points
exercice 2
Le plan vectoriel est muni de la base canonique et un endomorphisme de défini par :
1. Déterminons , le noyau de
Soit
D'où
2. Déterminons , l'image de
Par conséquent,
3. Soient et deux sous-espaces vectoriels de engendrés respectivement par et où
et sont deux vecteurs de
3. a) Montrons que est une base de
Nous rappelons que si est un espace vectoriel de dimension 2, est une base de et est une famille de deux vecteurs de alors est une base de si et seulement si
Nous en déduisons que est une base de
3. b) Montrons que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de
Par définition, et sont supplémentaires si tout vecteur de se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur
de et d'un vecteur de
est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur
Donc est l'ensemble des multiples du vecteur soit
De même, est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur est donc l'ensemble des multiples du vecteur soit
Puisque nous avons montré dans la question 3. a) que est une base de alors tout s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire
D'où tout vecteur de se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur
de et d'un vecteur de
Par conséquent, et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de
4. On donne
4. a) Montrons que la famille est une famille libre de
Nous avons montré dans la question 3. a) que est une base de
Or nous savons qu'une base de est une partie libre et génératrice de
Dès lors, la famille est une famille libre de
4. b) Nous devons déterminer les réels et tels que
D'où
5. On admet que et
5. a) Nous devons montrer que et
En additionnant membre à membre les deux équations, nous obtenons :
De plus, nous avons :
Par conséquent, et
5. b) Nous devons en déduire la matrice de dans la base
La matrice de dans la base est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs et dans la base
Donc
7 points
exercice 3
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur par :
On désigne par la représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé du plan.
1. Nous devons calculer et
Calculons soit
D'où
Calculons soit
D'où
2. Nous devons étudier la continuité de en 1.
Calculons
Calculons soit
Posons
Nous obtenons alors :
D'où
Dès lors,
Nous avons donc :
Par conséquent, la fonction est continue en 1.
3. Nous devons étudier la dérivabilité de la fonction en 1 et interpréter géométriquement les résultats obtenus.
Étudions la dérivabilité de à gauche en 1.
Posons
Dans ce cas,
D'où
Nous en déduisons que la fonction est dérivable à gauche en 1.
Étudions la dérivabilité de à droite en 1.
Nous en déduisons que la fonction n'est pas dérivable à droite en 1.
Par conséquent, la fonction n'est pas dérivable en 1.
Interprétation graphique des résultats
Nous avons montré que
Donc la courbe admet au point de coordonnées (1 ; 1) une demi-tangente à gauche de coefficient directeur -1.
Nous avons montré que
Donc la courbe admet au point de coordonnées (1 ; 1) une demi-tangente verticale à droite dirigée vers le haut.
4. Calculer suivant les valeurs de
Pour tout
Pour tout
5. Nous devons étudier le signe de suivant les valeurs de
Pour tout
Pour tout
De plus,
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de
6. Dressons le tableau de variation de
7. Montrons que l'équation admet une solution unique et que
Le tableau de variation de nous indique que admet un minimum égal à 1 sur l'intervalle
Dès lors, l'équation n'admet pas de solution sur l'intervalle
Par contre, la fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle
Elle réalise donc une bijection de sur
Puisque l'équation admet une unique solution
De plus, nous avons :
D'où l'équation admet une unique solution telle que
8. Étudions les branches infinies à
Étudions la branche infinie en
Nous avons montré que
Calculons
D'où
Nous en déduisons que
Par conséquent, la courbe admet une branche parabolique de direction au voisinage de
Étudions la branche infinie en
Nous avons montré que
Calculons
Nous en déduisons que
Par conséquent, la courbe admet une branche parabolique de direction au voisinage de
9. Traçons la courbe et plaçons dans le repère le point de d'abscisse 0.
3 points
exercice 4
Une expérience aléatoire consiste à jeter une fois un dé pipé à six faces numérotées : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On désigne par la probabilité d'apparition de la face supérieure
portant le chiffre avec un entier naturel et tel que : et
1. Montrons que
Nous devons déterminer
Nous savons que
Nous obtenons ainsi :
2. On considère la variable aléatoire qui prend la valeur de la face supérieure de ce dé.
La loi de probabilité de est donnée par le tableau suivant :
2. a) Nous devons déterminer la loi de probabilité de
Nous savons que
Dès lors,
Nous pouvons résumer cette loi de probabilité dans le tableau suivant :
2. b) Montrons que
2. c) Nous devons calculer la variance de
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Publié par malou
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