Fiche de mathématiques
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Bac 2024 Mauritanie M et TMGM

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Coefficient : 9 et 6

Durée : 4 heures
3 points

exercice 1

On considère l'équation (E) :  104x - 17y = 278 , d'inconnu  (x,y)  où  x  et  y  sont des entiers.

1. a) Justifier que l'équation (E) admet des solutions.

1. b) Vérifier que le couple  (3, 2)  est solution de (E), puis résoudre (E).

2. Soit  p  un entier naturel qui s'écrit  \overline{1ab1b}  en base 6 et  \overline{1aabb0}  en base 4.

2. a) Montrer que le couple  (a, b)  est solution de (E).

2. b) Déterminer  a  et  b , puis écrire  p  en base 10.

3. Soit  (x, y)  une solution de (E).

Montrer que  x \equiv 3 \, [17] .

En déduire que  x^{2024} +1 \equiv 0\, [17] .

3 points

exercice 2

\forall n , on pose  I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{ 1} x(1 + \ln x)^n \,\text  dx  et  u_n = \dfrac{(-2)^n}{n!}I_n .

1. Montrer que la suite  (I_n)  est décroissante et positive.

2. Montrer que  \forall n \geq 0 , on a  2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1 . Déduire que pour tout  n \geq 0 ,  \dfrac{1}{n + 3} \leq I_n \leq \dfrac{1}{n + 1} .

3. a) Montrer que  u_n = u_{n+1} + \dfrac{(-2)^n}{(n + 1)!}   \forall n \geq 0 .

3. b) Vérifier que pour tout  n \geq 3 ,  \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \leq \dfrac{1}{2} , puis en déduire  \displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n .

3. c) Déterminer  \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!} .

5 points

exercice 3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé  (O, \vec{i}, \vec{j}) . Pour tout nombre complexe  z , on pose :

 P(z) = z^3 - (2 + 2i)z^2 + 11z +38 + 8i .

1. a) Calculer  P(-2)  puis déterminer les complexes  a  et  b  tels que  P(z) = (z+2)(z^2 + az + b) .

1. b) Résoudre dans  \mathbb C l'équation  P(z) = 0 . On note  z_1 ,  z_2  et  z_3 les solutions de cette équation, avec  \text{Im}(z_1) > \text{Im}(z_2) > \text{Im}(z_3) .

2. On considère les points  A ,  B  et  C  d'affixes respectives  z_1 ,  z_2  et  z_3 .

2. a) Placer les points  A ,  B  et  C .

2. b) Montrer que le point  D  d'affixe  6  est le barycentre de  \left\lbrace(A, 3); (B, -4); (C, 5)\right\rbrace .

3. On définit l'ellipse  E  dont  A  et  B  sont deux sommets et dont  C  est un foyer.

3. a) Reconnaître l'axe focal de  E  et en déduire que  D  est un troisième sommet de  E .

3. b) Préciser le centre et le quatrième sommet de  E .

3. c) Justifier que  \dfrac{(x-2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1  est une équation de  E , puis construire  E .

4 points

exercice 4

On considère la fonction numérique  f  définie par :  f(x) = \dfrac{x }{\text e^{2x}-x}  et soit  (C)  sa courbe représentative dans un repère orthonormé  (0, \vec i, \vec j)  d'unité graphique 2 cm..

1. a) Montrer que  \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1 . Interpréter graphiquement.

b) Montrer que  \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 . Interpréter graphiquement.

c) Dresser le tableau de variation de  f .

2. Soit  h  la restriction de  f  sur  I=\left[\dfrac 12,+\infty\right[ .

2. a) Montrer que  h  réalise une bijection de  I  sur un intervalle  J  à déterminer.

2. b) Dresser le tableau de variation de \overset{ { \white{ } } } { h^{-1} } ( \overset{ { \white{ } } } { h^{-1} } étant la réciproque de \overset{ { \white{_. } } } { h }).

3. a) Déterminer une équation de la tangente  T  à  (C)  au point d'abscisse  0 .

3. b) Construire la courbe  (C)  et la courbe  (C')  de  h^{-1}  dans le repère  (0, \vec i, \vec j) .

4. Soit  A  l'aire de la partie du plan délimitée par  (C) , l'axe des abscisses et les droites d'équations  x = \dfrac{1}{2}  et  x = 1 . Montrer que  \dfrac{1}{2\text e^2 - 2} \leq A \leq \dfrac{1}{4\text e - 2} 

5 points

exercice 5

ABC  est un triangle isocèle en  A , tel que  (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{2 \pi}{3}\;[2\pi] . I  est le milieu de  [BC]  et  D = S_I(A) . Soient  J ,  K , et  L  les milieux respectifs de  [DC] ,  [CA]  et  [DJ] . Soit  \Gamma  le cercle circonscrit à  ADC .

1. Faire une figure.

2. a) Montrer qu'il existe un unique déplacement  r  tel que  r(C) = D  et  r(K) = I .

2. b) Vérifier que  r  est une rotation puis déterminer son angle et son centre.

3. Soit  f  l'isométrie plane telle que  f(C) = A ,  f(A) = D  et  f(D) = B .

3. a) Montrer que  f  est un antidéplacement.

3. b) Justifier que  f  est une symétrie glissante, puis donner sa forme réduite.

4. Soit  s  la similitude directe qui transforme  A  en  D  et  C  en  J .

4. a) Déterminer le rapport et un angle de  s  .

4. b) Montrer que le centre  \Omega  de  s  appartient à  \Gamma .

4. c) Déterminer  s(K)  et en déduire que  \Omega ,C ,  K ,et  L  sont cocycliques.

4. d) Soit  M  un point de  \Gamma , différent de  \Omega , et  M' = s(M) . Montrer que la droite  (MM')  passe par un point fixe à préciser.





Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM

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3 points

exercice 1

On considère l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { (E) :  104x - 17y = 278 , } où   \overset{ { \white{ . } } } { x }  et  \overset{ { \white{ . } } } { y }  sont des entiers.

1. a)  Justifions que l'équation  \overset{ { \white{ _. } } } { (E) }  admet des solutions.

Rappelons le corollaire de Bézout :

 { \white{ xxi } }L'équation  \overset{ { \white{ _. } } } { ax + by = c }  admet des solutions entières si et seulement si   \overset{ { \white{ . } } } { c }  est un multiple de   \overset{ { \white{ _. } } } { \text{pgcd}(a,b). }  

Les entiers 104 et 17 sont premiers entre eux, soit  \overset{ { \white{ _. } } } { \text{pgcd}(104,17)=1. } 
De plus, 278 est bien un multiple de 1.

Par conséquent, l'équation   \overset{ { \white{ _. } } } { (E) }  admet des solutions.

1. b)  Nous devons vérifier que le couple (3, 2) est solution de  \overset{ { \white{ _. } } } { (E), }  puis résoudre  \overset{ { \white{ _. } } } { (E). } 

Le couple (3, 2) est solution de   \overset{ { \white{ _. } } } { (E) }  car \overset{ { \white{ _. } } } { 104\times3-17\times2=278. } 

Résolvons   \overset{ { \white{ _. } } } { (E). } 
Nous savons que le couple   \overset{ { \white{ . } } } { (3\,,\,2) }  est une solution de l'équation   \overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. } 

 \begin{cases}104x-17y=278\\104\times3-17\times2=278\end{cases}\right.\quad\underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\quad104(x-3)-17(y-2)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad\quad\quad104(x-3)=17(y-2)

Donc l'entier 17 divise le produit  \overset{ { \white{ . } } } { 104(x-3)\,. } 
Or 17 et 104 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 17 divise  \overset{ { \white{ . } } } { (x-3). } 
Dès lors, il existe un entier relatif  \overset{ { \white{ _. } } } { k }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } { x-3=17k\,, }  soit  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{x=3+17k}}\,. 

De plus,

 \left\lbrace\begin{matrix}104(x-3)=17(y-2)\phantom{xxxx}\\x=3+17k\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}104({\red{x-3}})=17(y-2)\quad\\ {\red{x-3}}=17k\phantom{WW}\end{matrix}\right.  \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad104\times17k=17(y-2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ 104k=y-2 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=2+104k}}

Donc, il existe un entier relatif  \overset{ { \white{ _. } } } {  k}  tel que  \left\lbrace\begin{matrix}x=3+17k\\y=2+104k\end{matrix}\right..

Montrons que le couple  \overset{ { \white{ . } } } { (3 + 17k\;;\;  2 + 104k) }  est solution de  \overset{ { \white{ . } } } {(E) }  pour tout entier relatif  \overset{ { \white{ _. } } } {k\,. } 
En effet,  \overset{{\white{.}}}{104(3+17k)-17(2+104k)=312+1768k-34-1768k=278.}

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {(E) }  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(3+17k\,;\,2+104k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}

2.  Soit   \overset{ { \white{ w. } } } { p }  un entier naturel qui s'écrit   \overset{ { \white{  } } } { \overline{1ab1b} }  en base 6 et   \overset{ { \white{  } } } { \overline{1aabb0} }  en base 4.

2. a)  Montrons que le couple   \overset{ { \white{ _. } } } { (a, b) }  est solution de  \overset{ { \white{ _. } } } { (E). } 

 \overline{1ab1b}\overset{(6)}{{\phantom{O}}}=\overline{1aabb0}\overset{(4)}{{\phantom{O}}} \\\\\Longleftrightarrow\quad b+1\times6+b\times6^2+a\times 6^3+1\times 6^4=0+b\times4+b\times4^2+a\times4^3+a\times 4^4+1\times 4^5 \\\\\Longleftrightarrow\quad b+6+36b+216a+1296=4b+16b+64a+256a+1024 \\\\\Longleftrightarrow\quad 216a+37b+1302=320a+20b+1024 \\\\\Longleftrightarrow\quad \boxed{104a-17b=278}

Nous en déduisons que le couple   \overset{ { \white{ _. } } } { (a, b) }  est solution de  \overset{ { \white{ _. } } } { (E). } 

2. b)  Nous devons déterminer   \overset{ { \white{ . } } } { a }  et   \overset{ { \white{. } } } { b, }  puis écrire   \overset{ { \white{w. } } } { p }  en base 10.

L'écriture de l'entier  \overset{ { \white{ w. } } } { p }  en base 4 et en base 6 impose les conditions suivantes sur  \overset{ { \white{ . } } } { a }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { b }  :

 \left\lbrace\begin{matrix}0\le a\le 3\\0\le b\le 3\\0\le a\le 5\\0\le b\le 5\end{matrix}\right. ,  { \white{ xxi } }soit { \white{ xxi } }  \left\lbrace\begin{matrix}0\le a\le 3\\0\le b\le 3\end{matrix}\right.

Nous savons que l'ensemble des solutions de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {(E) }  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(3+17k\,;\,2+104k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}

Par conséquent, les valeurs de  \overset{ { \white{ . } } } { a }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { b }  solutions de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {(E) }  et vérifiant les conditions sont  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.} } 

Il découle de la question 2. a) que :

 { \white{ xxi } }   p=\overline{1ab1b}\overset{(6)}{{\phantom{O}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p }=216a+37b+1302  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p }=216\times3+37\times2+1302  }. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p }=2024  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p=2024}

3.  Soit   \overset{ { \white{ _. } } } { (x, y) }  une solution de  \overset{ { \white{ _. } } } { (E). } 
\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Montrons que   \overset{ { \white{ _. } } } { x \equiv 3 \, [17] . } 

Nous avons montré dans la question 1. b)  que  \overset{ { \white{ _. } } } { x=3+17k }  avec  \overset{ { \white{ _. } } } { k\in\Z. } .
Nous en déduisons donc que   \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{x \equiv 3 \, [17] } }\,.  

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Ensuite, nous devons en déduire que   \overset{ { \white{ _. } } } { x^{2024} +1 \equiv 0\, [17] . } 

Nous avons :  \overset{ { \white{ _. } } } { x \equiv 3 \, [17]\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^{2024} \equiv 3^{2024} \, [17]} } 

Or 17 est un nombre premier, 3 est un nombre entier et  \overset{ { \white{ _. } } } { 3\wedge 17=1. } 

Selon le petit théorème de Fermat, nous déduisons que :  \overset{ { \white{ _. } } } { 3^{16}\equiv 1\,[17]. } 

Dès lors,

 { \white{ xxi } }   3^{2024}=3^{16\times126+8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3^{2024} } =(3^{16})^{126}\times 3^8 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3^{2024} } \equiv1^{126}\times 3^8\, [17]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3^{2024} } \equiv 1\times3^8\, [17]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3^{2024} } \equiv 3^8\, [17]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{3^{2024}\equiv 3^8\, [17]}

 \text{De plus, }\quad 3^4=81 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{De plus, }\quad 3^4 }=4\times17-4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{De plus, }\quad 3^4 }\equiv-4\,[17] } \\\\\Longrightarrow\quad 3^4\equiv-4\,[17]

Il s'ensuit que :

 { \white{ xxi } }  3^4\equiv-4\,[17]\quad\Longrightarrow\quad (3^4)^2\equiv(-4)^2\,[17] \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 3^4\equiv-4\,[17]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{3^8\equiv16\,[17] } }

 \text{D'où }\quad\begin{cases}x^{2024}\equiv 3^{2024}\, [17]\\3^{2024}\equiv 3^8\, [17] \\3^8\equiv16\,[17]    \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad x^{2024}\equiv16\,[17]

Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{x^{2024} +1 \equiv 0\, [17]}  } 

3 points

exercice 2

Pour tout entier naturel   \overset{ { \white{ w. } } } { n, }  on pose   \overset{ { \white{ _. } } } { I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^n \,\text dx\;  \text{ et }\;  u_n = \dfrac{(-2)^n}{n!}I_n . } 

1.  Montrons que la suite   \overset{ { \white{ _. } } } { (I_n)  }  est décroissante et positive.

Pour tout entier naturel   \overset{ { \white{ W. } } } { n, } 

 { \white{ xxi } }   I_{n+1}-I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^{n+1} \,\text dx-\displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^n \,\text dx \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_{n+1}-I_n }= \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} \Big[x(1 + \ln x)^{n+1} - x(1 + \ln x)^n\Big] \,\text dx  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_{n+1}-I_n }= \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^{n}\Big[(1 + \ln x) - 1\Big] \,\text dx  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_{n+1}-I_n }= \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^{n} \ln x \,\text dx  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_{n+1}-I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x\ln x \,(1 + \ln x)^{n} \,\text dx  }

Pour tout réel  \overset{ { \white{ . } } } { x, } 
 { \white{ xxi } }  \quad \text e^{-1}\le x \le 1\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} x>0\\-1\le \ln x\le 0\\0\le 1+\ln x\le 1  \end{cases} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x>0\\\ln x\le 0\\ (1+\ln x)^n\ge 0  \end{cases}} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad x\ln x \,(1 + \ln x)^{n}\le 0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{n+1}-I_n\le 0 }}

D'où la suite   \overset{ { \white{ _. } } } { (I_n)  }  est décroissante.

De plus,
 { \white{ xxi } } \quad \text e^{-1}\le x \le 1\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} x>0\\-1\le \ln x\\0\le 1+\ln x  \end{cases} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x>0\\ (1+\ln x)^n\ge 0  \end{cases}} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad x\,(1 + \ln x)^{n}\ge 0 } \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{n}\ge 0 }}

D'où la suite   \overset{ { \white{ _. } } } { (I_n)  }  est positive.


2.  Montrons que   \overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1  }  et que  \overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n \geq 0 ,\quad   \dfrac{1}{n + 3} \leq I_n \leq \dfrac{1}{n + 1} . } 

Pour tout entier naturel   \overset{ { \white{ W. } } } { n, } 

 { \white{ xxi } }  I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^n \,\text dx\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_n   = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x^2\,\dfrac{(1 + \ln x)^n}{x} \,\text dx }

Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x^2\,\dfrac{(1 + \ln x)^n}{x} \,\text dx . } 

 \underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_{\text e^{-1}}^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{\text e^{-1}}^{1}- \displaystyle\int_{\text e^{-1}}^{1}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}.  \\ \\\begin{cases}u(x)=x^2\phantom{WWWw}\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2x \\v'(x)=\dfrac{(1+\ln x)^n}{x}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{(1+\ln x)^{n+1}}{n+1}\end{cases}

  \text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x^2\,\dfrac{(1 + \ln x)^n}{x} \,\text dx=\left[\overset{}{x^2\,\dfrac{(1+\ln x)^{n+1}}{n+1}}\right]_{\text e^{-1}}^{1}-\displaystyle\int_{\text e^{-1}}^{1}2x\times \dfrac{(1+\ln x)^{n+1}}{n+1}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{x^2\,(1+\ln x)^{n+1}}\right]_{\text e^{-1}}^{1}-\dfrac{2}{n+1}\displaystyle\int_{\text e^{-1}}^{1}x (1+\ln x)^{n+1}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n+1}\Big(1-\text{e}^{-2}\times0\Big)-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}}

D'où   \overset{ { \white{ _. } } } { I_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}. } 

Il s'ensuit que

 { \white{ xxi } }  I_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2}{n+1}I_{n+1}+I_n=\dfrac{1}{n+1} \\\overset{ { \phantom{ P. } } } { \phantom{ I_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2I_{n+1}+(n+1)\,I_n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}  } \\\overset{ { \phantom{ P. } } } { \phantom{ I_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}}\quad\Longleftrightarrow\quad 2I_{n+1}+(n+1)\,I_n=1  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1  } }

De plus, nous savons par la question 1. que  \overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\in\N,\quad I_{n+1}\ge 0,  } 
soit que  \overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\in\N,\quad 2I_{n+1}\ge 0,  } 

Dès lors,

 { \white{ xxi } }   \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1}\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad 1 - (n + 1)I_n \ge 0   \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1}\ge 0 } \quad\Longleftrightarrow\quad  (n + 1)I_n \le 1   } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1}\ge 0 } \quad\Longleftrightarrow\quad  \boxed{I_n \le \dfrac{1}{n+1} }  }

Nous savons également par la question 1. que la suite   \overset{ { \white{ _. } } } { (I_n)  }  est décroissante.

Nous obtenons alors :

 { \white{ xxi } }   I_{n+1}\le I_n\quad\Longleftrightarrow\quad 2I_{n+1}\le 2I_n \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad 2I_{n+1}+(n+1)I_n\le 2I_n+(n+1)I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\le 2I_n+nI_n+I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\le nI_n+3I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\le (n+3)I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\dfrac{1}{n+3}\le I_n}}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\forall\,n \geq 0 ,\quad   \dfrac{1}{n + 3} \leq I_n \leq \dfrac{1}{n + 1} }\,. } 


3. a)  Montrons que   \overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\ge 0,\quad u_n = u_{n+1} + \dfrac{(-2)^n}{(n + 1)!}.  } 

En utilisant le résultat de la question 2), nous obtenons :

 { \white{ xxi } } \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2I_{n+1}= 1- (n + 1)I_n \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1 }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{n+1}= \dfrac 12\Big[1- (n + 1)I_n \Big]}}

Nous en déduisons que pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { n \geq 0 ,}

 { \white{ xxi } }  u_{n+1} = \dfrac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!}I_{n+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!} \times \dfrac 12\Big[1- (n + 1)I_n \Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{(-1)^{n+1}\times 2^{n+1}}{(n+1)!\times2} \times \Big[1- (n + 1)I_n \Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{(-1)^{n+1}\times 2^{n}}{(n+1)!} \times \Big[1- (n + 1)I_n \Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-1\times(-1)^{n}\times 2^{n}}{(n+1)!} \times \Big[1- (n + 1)I_n \Big]}

 { \white{ xxi } } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-(- 2)^{n}}{(n+1)!} \times \Big[1- (n + 1)I_n \Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-(- 2)^{n}}{(n+1)!} +\dfrac{(- 2)^{n}}{(n+1)!} (n + 1)I_n } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-(- 2)^{n}}{(n+1)!} +\dfrac{(- 2)^{n}}{n!} I_n } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-(- 2)^{n}}{(n+1)!} +u_n} \\\\\Longrightarrow\quad\forall\,n\ge 0, \quad u_{n+1} = u_n-\dfrac{(- 2)^{n}}{(n+1)!} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\ge 0, \quad u_{n} = u_{n+1}+\dfrac{(- 2)^{n}}{(n+1)!} }

3. b)  Nous devons vérifier que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { n \geq 3 ,\quad \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \leq \dfrac{1}{2} , }  puis en déduire  \overset{ { \white{ W. } } } {\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n . }

Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { n \geq 3, }

 { \white{ xxi } }  \left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|= \left|\dfrac{\dfrac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!}I_{n+1}}{\dfrac{(-2)^{n}}{n!}I_{n}}\right| \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|} =\left|\dfrac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!} \times \dfrac{n!}{(-2)^{n}}\times\dfrac{I_{n+1}}{I_n}\right|} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|} =\left|\dfrac{-2}{n+1} \times\dfrac{I_{n+1}}{I_n}\right|} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|} =\left|\dfrac{-2}{n+1} \right|\times\left|\dfrac{I_{n+1}}{I_n}\right|} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\geq3,\quad\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|=\dfrac{2}{n+1} \times\dfrac{I_{n+1}}{I_n} }\quad \text{car }\quad\begin{cases} n+1>0\\I_n>0\\I_{n+1}>0 \end{cases}

 \text{Or }\quad\bullet\quad n\geq 3\quad\Longrightarrow\quad n+1\geq 4 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\bullet\quad n\geq 3} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{n+1}\leq \dfrac 14 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\bullet\quad n\geq 3} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{2}{n+1}\leq \dfrac 24 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\bullet\quad n\geq 3} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{2}{n+1}\leq \dfrac 12 } \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad}\bullet\quad 0<I_{n+1}\leq I_n\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1 }

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{2}{n+1} \times\dfrac{I_{n+1}}{I_n} \leq\dfrac12\times1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \dfrac{2}{n+1} \times\dfrac{I_{n+1}}{I_n}\leq \dfrac 12} }

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\, n \geq 3 ,\quad \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \leq \dfrac{1}{2}}\, . }

Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ W. } } } {\boxed{ \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0} } 

3. c)  Nous devons déterminer   \overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!} . } 

Nous savons par la question 3. a) que  \overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\ge 0,\quad u_n = u_{n+1} + \dfrac{(-2)^n}{(n + 1)!}.  } 

Dès lors, nous obtenons les égalités suivantes :

 { \white{ xxi } }  u_0=u_1+ \dfrac{(-2)^0}{1! } \\\overset{ { \white{ . } } } {  u_1=u_2+ \dfrac{(-2)^1}{2! } } \\\overset{ { \white{ . } } } {  u_2=u_3+ \dfrac{(-2)^2}{3! } } \\\overset{ { \white{ . } } } { \cdots} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  u_{n-1}=u_n+ \dfrac{(-2)^{n-1}}{n! } } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {  u_{n}=u_{n+1}+ \dfrac{(-2)^{n}}{(n+1)! } }

Additionnons ces égalités membre à membre et supprimons les termes identiques dans les deux membres.

Nous obtenons alors :  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{u_0=u_{n+1}+\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!} }} 

 { \white{ xxi } } \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}= \displaystyle \lim_{n\to + \infty}(u_0-u_{n+1}) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{    \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}}= u_0-\displaystyle \lim_{n\to + \infty}u_{n+1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{    \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}}= u_0-0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}= u_0}

 \text{Or }\;u_0= \dfrac{(-2)^0}{0!}I_0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}= I_0  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^0 \,\text dx  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x \,\text dx  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{\text e^{-1}}^{1}  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\dfrac 12-\dfrac{\text e^{-2}}{2}  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\dfrac 12-\dfrac{1}{2\text e^{2}}  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_0=\dfrac{\text e^2-1}{2\text e^2}}

Par conséquent,    \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}= \dfrac{\text e^2-1}{2\text e^2}}


5 points

exercice 3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé  \overset{ { \white{ _. } } } { (O, \vec{i}, \vec{j}) . } 

Pour tout nombre complexe  \overset{ { \white{ . } } } {  z}  , on pose :   \overset{ { \white{ _. } } } { P(z) = z^3 - (2 + 2i)z^2 + 11z +38 + 8i . } 

1. a)  Nous devons calculer   \overset{ { \white{ _. } } } { P(-2), }  puis déterminer les complexes   \overset{ { \white{ . } } } { a }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { b }  tels que   \overset{ { \white{ _. } } } { P(z) = (z+2)(z^2 + az + b) .  } 

 { \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} P(-2)= (-2)^3 - (2 + 2i)\times (-2)^2 + 11\times(-2) +38 + 8i .    \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  P(-2)}  =-8-4(2+2\text i)-22+38+8\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(-2)}  =-8-8-8\text i-22+38+8\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(-2)}  =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(-2)=0}

Le polynôme  \overset{ { \white{ _. } } } { P(z) }  est donc divisible par  \overset{ { \white{ . } } } { (z+2). } 

 { \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons le quotient de  \overset{ { \white{ . } } } { P(z) }  par  \overset{ { \white{ . } } } {(z+2)  }  selon la méthode de Horner.

 { \white{ XXXXX } }\begin{array}{c|ccc|c} &1&-2-2\text i&11&38+8\text i \\&&&& \\\hline&&&&& -2&&-2&8+4\text i&-38-8\text i\\&&&&\\\hline &&&&\\&1&-4-2\text i&19+4\text i&0\\\end{array}

Dès lors,  \overset{ { \white{ _. } } } { a=-4-2\text i }  et  \overset{ { \white{ . } } } { b=19+4\text i. } 

Le quotient est le polynôme  \overset{ { \white{ . } } } { z^2+(-4-2\text i)z+19+4\text i.}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall z\in \textbf C\,,\,P(z)=(z+2)\Big(z^2-(4+2\text i)z+19+4\text i\Big)}\,.   } 

1. b)  Nous devons résoudre dans   \overset{ { \white{ . } } } { \C}  l'équation   \overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0. } 

 { \white{ xxi } } P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (z+2)\Big(z^2-(4+2\text i)z+19+4\text i\Big)=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(z)=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad z+2=0\quad\text{ou}\quad z^2-(4+2\text i)z+19+4\text i=0 } \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=-2} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}z^2-(4+2\text i)z+19+4\text i=0  \\\\\quad \Delta=[-(4+2\text i)]^2-4\times1\times(19+4\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\qquad=16+16\text i-4-76-16\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \qquad=-64}

 { \white{ xxi } } \overset{ { \phantom{ . } } } { \qquad=(8\text i)^2} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z=\dfrac{4+2\text i+8\text i}{2}=\dfrac{4+10\text i}{2}=2+5\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z=2+5\text i} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z=\dfrac{4+2\text i-8\text i}{2}=\dfrac{4-6\text i}{2}=2-3\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z=2-3\text i}

L'ensemble des solutions dans   \overset{ { \white{ _. } } } { \C}  de l'équation   \overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0 }  est  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\lbrace -2\;,\;2+5\text i\;,\;2-3\text i\rbrace} } 


On note   \overset{ { \white{. } } } { z_1 ,  z_2 }  et   \overset{ { \white{ . } } } {z_3  }  les solutions de cette équation avec   \overset{ { \white{ _. } } } {  \text{Im}(z_1) > \text{Im}(z_2) > \text{Im}(z_3) .} 

Donc, les solutions dans   \overset{ { \white{ _. } } } { \C}  de l'équation   \overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0 }  sont :  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{z_1=2+5\text i\,,\, z_2=-2\,,\,z_3=2-3\text i} } 

2.  On considère les points   \overset{ { \white{ _. } } } { A ,  B }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { C }  d'affixes respectives   \overset{ { \white{. } } } { z_1 ,  z_2 }  et   \overset{ { \white{ . } } } {z_3 . } 

2. a)  Plaçons les points   \overset{ { \white{ _. } } } { A ,  B }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { C .}  (voir le graphique de la question 3. c)

2. b)  Montrons que le point   \overset{ { \white{ _. } } } { D }  d'affixe 6 est le barycentre de   \overset{ { \white{ _. } } } { \left\lbrace(A, 3)\;;\;(B, -4)\;;\;(C, 5)\right\rbrace . } 

 { \white{ xxi } } D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace\quad\Longleftrightarrow\quad 3\overrightarrow{DA}-4\overrightarrow{DB}+5\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(z_A-z_D)-4(z_B-z_D)+5(z_C-z_D)=0  }  \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace}\quad\Longleftrightarrow\quad 3z_A-3z_D-4z_B+4z_D+5z_C-5z_D=0  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace}\quad\Longleftrightarrow\quad -4z_D=-3z_A+4z_B-5z_C  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=\dfrac 34z_A-z_B+\dfrac 54z_C  }
 { \white{ xxi } }   \\\overset{ { \white{ W. } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=\dfrac 34(2+5\text i)-(-2)+\dfrac 54(2-3\text i)  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=\dfrac 32+\dfrac{15}{4}\text i+2+\dfrac 52-\dfrac{15}{4}\text i  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=6} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_D=6}

Par conséquent, le point   \overset{ { \white{ _. } } } { D }  d'affixe 6 est le barycentre de   \overset{ { \white{ _. } } } { \left\lbrace(A, 3)\;;\;(B, -4)\;;\;(C, 5)\right\rbrace . } 


3.  On définit l'ellipse   \overset{ { \white{ _. } } } { E }  dont   \overset{ { \white{ _. } } } { A }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { B }  sont deux sommets et   \overset{ { \white{ _. } } } {C  }  est un foyer.

3. a)  Nous devons reconnaître l'axe focal de   \overset{ { \white{ _. } } } { E }  et en déduire que   \overset{ { \white{ _. } } } { D }  est un troisième sommet de   \overset{ { \white{ _. } } } { E. } 

Nous avons les sommets  \overset{ { \white{ _. } } } {A(2\;;\;5)}  et  \overset{ { \white{ _. } } } {B(-2\;;\;0)}  et le foyer   \overset{ { \white{ _. } } } { C(2\;;\;-3). } 
L'axe focal passe par le foyer  \overset{ { \white{ _. } } } { C }  et par au moins un des sommets  \overset{ { \white{ _. } } } {  A}  ou  \overset{ { \white{ _. } } } { B .} 

Les abscisses des points  \overset{ { \white{ _. } } } { C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { A }  étant égales à 2, l'axe focal de   \overset{ { \white{ _. } } } { E }  est la droite  \overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }  d'équation  \overset{ { \white{ _. } } } { x=2. } 

Le point  \overset{ { \white{ _. } } } { B  }  n'appartient pas à l'axe focal  \overset{ { \white{ _. } } } { (AC). } 
Donc un troisième sommet de l'ellipse est le symétrique de  \overset{ { \white{ _. } } } { B }  par rapport à la droite  \overset{ { \white{ _. } } } { (AC) } 

La distance entre le point  \overset{ { \white{ _. } } } { B }  et l'axe  \overset{ { \white{ _. } } } { (AC)}  est égale à 4.
L'abscisse du troisième sommet de l'ellipse est donc égale à 2 + 4 = 6.

Dès lors, le symétrique du point  \overset{ { \white{ _. } } } { B }  d'affixe -1 est le point d'affixe 6, soit le point  \overset{ { \white{ _. } } } { D. } 
Par conséquent,   \overset{ { \white{ _. } } } { D }  est un troisième sommet de   \overset{ { \white{ _. } } } { E. } 

3. b)  Précisons le centre  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  et le quatrième sommet de   \overset{ { \white{ _. } } } { E. } 

Le centre  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  de  \overset{ { \white{ _. } } } { E }  est le milieu du segment  \overset{ { \white{ _. } } } { [BD] } 

Son affixe est   \overset{ { \white{ _. } } } {z_{\Omega}=\dfrac{z_B+z_D}{2}=\dfrac{-2+6}{2}=2.  } 
Les coordonnées du centre  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  de  \overset{ { \white{ _. } } } { E }  sont donc  \overset{ { \white{ _. } } } { (2\;;\;0). } 

Le quatrième sommet de  \overset{ { \white{ _. } } } {E }  est le symétrique du sommet  \overset{ { \white{ _. } } } { A }  par rapport au centre  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega } , soit le point d'affixe  \overset{ { \white{ _. } } } { 2-5\text i } , soit le point de coordonnées  \overset{ { \white{ _. } } } { (2\;;\;-5). } 

3. c) Nous devons justifier que   \overset{ { \white{  } } } { \dfrac{(x-2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1 }  est une équation de   \overset{ { \white{ _. } } } { E, }  puis construire   \overset{ { \white{ _. } } } { E. } 

L'équation réduite de l'ellipse dont le centre est le point de coordonnées  \overset{ { \white{ _. } } } { (h\;;\;k) } , dont la longueur du demi-axe parallèle à l'axe des abscisses est  \overset{ { \white{ . } } } { a }  et dont la longueur du demi-axe parallèle à l'axe des ordonnées est  \overset{ { \white{ _. } } } { b }  est de la forme  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\dfrac{x-h}{a^2}+\dfrac{y-k}{b^2}=1} } 

Nous avons montré que les coordonnées du centre de  \overset{ { \white{ _. } } } { E }  sont  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega (2\;;\;0). } 
D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {(h\;;\;k)=(2\;;\;0).  } 

De plus,  \overset{ { \white{ _. } } } { a=B\Omega=4 }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { b=A\Omega=5. } 

L'équation réduite de l'ellipse  \overset{ { \white{ _. } } } { E}  est  \overset{ { \white{ _. } } } {  \dfrac{(x-2)^2}{4^2} + \dfrac{(y-0)^2}{5^2} = 1 } , soit  \boxed{\dfrac{(x-2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1}.

Représentation graphique de  \overset{ { \white{ _. } } } { E. } 

Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM : image 5


4 points

exercice 4

On considère la fonction   \overset{ { \white{ _. } } } { f }  définie par :   \overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = \dfrac{x }{\text e^{2x}-x}. } 

1. a)  Nous devons montrer que   \overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1 }  et interpréter graphiquement.

 { \white{ xxi } } \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x }{\text e^{2x}-x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) }=\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x }{x\left(\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1\right)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) }=\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1}}

 { \white{ xxi } }  \text{Or }\quad\begin{cases} \lim\limits_{x \to -\infty} \text e^{2x}=0\\\lim\limits_{x \to -\infty} x=-\infty  \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{2x}}{x}=0 \\\phantom{\text{Or }\quad\begin{cases} \lim\limits_{x \to -\infty} \text e^{2x}=0\\\lim\limits_{x \to -\infty} x=-\infty  \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1\right)=-1 \\\phantom{\text{Or }\quad\begin{cases} \lim\limits_{x \to -\infty} \text e^{2x}=0\\\lim\limits_{x \to -\infty} x=-\infty  \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1}=-1

Par conséquent,  \overset{ { \white{ W. } } } {\boxed{ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1 }} 

Interprétation graphique : La courbe  \overset{ { \white{ _. } } } { \left( C \right) }  admet une asymptote horizontale en  \overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }  d'équation :  \overset{ { \white{ _. } } } { y=-1. } 

1. b)  Nous devons montrer que   \overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 }  et interpréter graphiquement.

 { \white{ xxi } }   \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x }{\text e^{2x}-x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) }=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x }{x\left(\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1\right)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) }=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1}}

 { \white{ xxi } }  \text{Or }\quad\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text e^{2x}}{x}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1\right)=+\infty  \\\phantom{\text{Or }\quad\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text e^{2x}}{x}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1}=0

Par conséquent,  \overset{ { \white{ W. } } } {\boxed{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 }} 

Interprétation graphique : La courbe  \overset{ { \white{ _. } } } { \left( C \right) }  admet une asymptote horizontale en  \overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }  d'équation :  \overset{ { \white{ _. } } } { y=0. } 

1. c)  Nous devons dresser le tableau de variation de   \overset{ { \white{ _. } } } { f. } 

La fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { f }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R. } 

Pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } {x\in\R,  } 

 { \white{ xxi } }  f'(x) = \left(\dfrac{x }{\text e^{2x}-x}\right)'\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) }  = \dfrac{x'\times (\text e^{2x}-x)-x\times (\text e^{2x}-x)'}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) }  = \dfrac{1\times (\text e^{2x}-x)-x\times (2\,\text e^{2x}-1)}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) }  = \dfrac{\text e^{2x}-x-2x\,\text e^{2x}+x}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) }  = \dfrac{\text e^{2x}-2x\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) }  = \dfrac{(1-2x)\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}-x)^2} }  \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)= \dfrac{(1-2x)\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}-x)^2} }

Puisque l'exponentielle est strictement positive ainsi que le dénominateur (en tant que carré), le signe de  \overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }  est le signe de  \overset{ { \white{ _. } } } { (1-2x). } 

Nous pouvons alors dresser le tableau de variation de   \overset{ { \white{ _. } } } { f. } 

 \begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } {1-2x>0\Longleftrightarrow -2x>-1}\\\phantom{WW}\Longleftrightarrow x<\dfrac 12 \\\\ \overset{ { \white{.} } } {1-2x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac 12}\\\\1-2x<0\Longleftrightarrow x>\dfrac 12 \\\\\\\overset{ { \white{.} } } {f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{\frac 12}{\text e^1-\frac 12}=\dfrac{1}{2\text e-1}\approx0,23}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&\dfrac 12&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\1-2x&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&\dfrac{1}{2\text e-1}&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&-1&&&&0\\\hline \end{array}

2.  Soit   \overset{ { \white{ _. } } } { h }  la restriction de   \overset{ { \white{ _. } } } { f }  sur   \overset{ { \white{ . } } } { I=\left[\dfrac 12\;;\; +\infty\right[. } 

2. a)  Montrons que   \overset{ { \white{ _. } } } { h }  réalise une bijection de   \overset{ { \white{ _. } } } { I }  sur un intervalle   \overset{ { \white{ _. } } } { J }  à déterminer.

La fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  est continue et strictement décroissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { I=\left[\dfrac 12\;;\; +\infty\right[. } 

Dans ce cas,  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  réalise une bijection de   \overset{ { \white{ _. } } } { I }  sur l'intervalle   \overset{ { \white{ . } } } { J=f(I). } 

 \text{Or }\quad\begin{cases} h\left(\dfrac 12\right)=f\left(\dfrac 12\right)= \dfrac{1}{2\text e-1}\\\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0 \end{cases}

D'où la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  réalise une bijection de   \overset{ { \white{ _. } } } { I }  sur l'intervalle   \overset{ { \white{ . } } } { J=\left]\,0\;;\;\dfrac{1}{2\text e-1}\right]\,. } 

2. b)  Dressons le tableau de variation de  \overset{ { \white{  } } } { h^{-1} }  (  \overset{ { \white{  } } } { h^{-1} } étant la réciproque de  \overset{ { \white{_.  } } } { h }).

Le tableau de variation de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { I=\left[\dfrac 12\;;\; +\infty\right[ }  est le suivant :

 {\white{WWWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&\dfrac 12&&&&+\infty\\ &&&&& \\\hline&&&&&&&\dfrac{1}{2\text e-1}&&&&\\h(x)&&&\searrow&&\\&&&&&0\\\hline \end{array}

Dès lors, le tableau de variation de la fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { h^{-1} }  sur  \overset{ { \white{ . } } } { J=\left]\,0\;;\;\dfrac{1}{2\text e-1}\right] }  est le suivant :

 {\white{WWWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &||&&&&\\x&0&&&&\dfrac{1}{2\text e-1}\\ &||&&&& \\\hline&+\infty&&&&\\h^{-1}(x)&&\searrow&&&\\&&&&&\dfrac12\\\hline \end{array}

3. a)  Déterminons une équation de la tangente   \overset{ { \white{ _. } } } { T }  à la courbe représentative   \overset{ { \white{ _. } } } {(C)  }  au point d'abscisse   \overset{ { \white{ _. } } } {0.  } 

L'équation de cette tangente est de la forme  \overset{ { \white{ . } } } {y=f'(0)(x-0)+f(0), }  soit de la forme  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=f'(0)x+f(0)} } 

Or  \begin{cases}f(x) = \dfrac{x }{\text e^{2x}-x} \\\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)= \dfrac{(1-2x)\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}-x)^2}}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}f(0)=\dfrac{0}{1-0}\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(0)=\dfrac{1}{1}}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}f(0)=0\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(0)=1}\end{cases}

D'où une équation de la tangente à la courbe  \overset{ { \white{ . } } } {(C) }  au point d'abscisse 0 est  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=x} } 

3. b)  Construisons la courbe   \overset{ { \white{ _. } } } { (C) }  et la courbe   \overset{ { \white{ _. } } } {(C')  }  de   \overset{ { \white{  } } } { h^{-1} }  dans le repère   \overset{ { \white{ _. } } } { (0, \vec i, \vec j) . } 

Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM : image 6


4.  Soit   \overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A} }  l'aire de la partie du plan délimitée par   \overset{ { \white{ _. } } } { (C),  }  l'axe des abscisses et les droites d'équations   \overset{ { \white{ _. } } } { x = \dfrac{1}{2}  }  et   \overset{ { \white{ _. } } } {x=1.  } 
L'aire  \overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A} }  est donnée par :  \overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{\frac 12}^1 f(x)\,\text dx. } 
Montrons que   \overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{1}{2\text e^2 - 2} \leq \mathcal{A} \leq \dfrac{1}{4\text e - 2}.   } 
La fonction  \overset{ { \white{ _. } } } { f }  est continue sur l'intervalle   \overset{ { \white{ _. } } } { \left[\,\dfrac 12\;;\;1\right]. } 
Nous avons montré dans la question 1. c) que  \overset{ { \white{ _. } } } { f }  est strictement décroissante sur l'intervalle   \overset{ { \white{ _. } } } { \left[\,\dfrac 12\;;\;1\right]. } 
Le minimum de  \overset{ { \white{ _. } } } { f }  sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \left[\,\dfrac 12\;;\;1\right] }  est égal à  \overset{ { \white{ _. } } } { f(1)=\dfrac{1}{\text e^2-1} } 
Le maximum de  \overset{ { \white{ _. } } } {f  }  sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \left[\,\dfrac 12\;;\;1\right] }  est égal à  \overset{ { \white{ _. } } } { f\left(\dfrac12\right)=\dfrac{1}{2\,\text e-1} } 
Dès lors, nous obtenons : pour tout  \overset{ { \white{ _. } } } { x\in\left[\,\dfrac 12\;;\;1\right],\quad \dfrac{1}{\text e^2-1}\leq f(x)\leq\dfrac{1}{2\,\text e-1} } 

En vertu de l'inégalité de la moyenne, nous obtenons :   \overset{ { \white{ _. } } } {\dfrac{1}{\text e^2-1}\left(1-\dfrac 12\right)\leq \displaystyle\int_{\frac 12}^1 f(x)\,\text dx\leq\dfrac{1}{2\,\text e-1}\left(1-\dfrac 12\right) } ,

soit  \overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 12\times \dfrac{1}{\text e^2-1}\leq \mathcal{A}\leq\dfrac 12\times\dfrac{1}{2\,\text e-1} } 

Par conséquent, nous venons de montrer que  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\dfrac{1}{2\text e^2 - 2} \leq \mathcal{A} \leq \dfrac{1}{4\text e - 2} }   } 


5 points

exercice 5

Soit   \overset{ { \white{ _. } } } { ABC }  un triangle isocèle en   \overset{ { \white{ _. } } } { A, }  tel que   \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{2 \pi}{3}\;[2\pi] . } 
On note   \overset{ { \white{ _. } } } {I }  le milieu de   \overset{ { \white{ _. } } } { [BC] }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D = S_I(A) . } 
Soient   \overset{ { \white{ . } } } { J\, ,  K }  et   \overset{ { \white{ _. } } } {L  }  les milieux respectifs de  \overset{ { \white{ _. } } } {  [DC]\, ,  [CA]}  et   \overset{ { \white{ _. } } } { [DJ] . } 
On note   \overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }  le cercle circonscrit à   \overset{ { \white{ _. } } } { ADC. } 

1.  Figure représentant les données de l'exercice.

 { \white{ WWWWWW } }
Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM : image 3


2. a)  Montrons qu'il existe un unique déplacement   \overset{ { \white{. } } } { r }  tel que   \overset{ { \white{ _. } } } { r(C) = D }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { r(K) = I . } 

Dans le triangle  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { ABC }  isocèle en  \overset{ { \white{ _. } } } { A, }  la médiane  \overset{ { \white{ _. } } } {(AI) }  est également bissectrice de l'angle  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) }  et médiatrice de  \overset{ { \white{ _. } } } {[BC].  } 
Il s'ensuit que  \overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{ \pi}{3}\;[2\pi] }  et que les droites  \overset{ { \white{ _. } } } {(AI) }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { (IC) }  sont perpendiculaires.

Dans le triangle  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { AIC }  rectangle en  \overset{ { \white{ _. } } } { I, } 

 { \white{ xxi } }  \cos\left(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}\right) =\dfrac{AI}{AC}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos\dfrac{\pi}{3} =\dfrac{DI}{AC}\qquad\text{car }AI=DI \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\cos\left(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}\right) =\dfrac{AI}{AC} } \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 12 =\dfrac{DI}{2\,CK}}  \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\cos\left(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}\right) =\dfrac{AI}{AC} } \quad\Longleftrightarrow\quad 1=\dfrac{DI}{CK}}  \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\cos\left(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}\right) =\dfrac{AI}{AC} } \quad\Longleftrightarrow\quad CK=DI}

D'où  \overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{CK=DI\neq 0}  } 

Nous en déduisons qu'il existe un unique déplacement transformant  \overset{ { \white{ _. } } } { C }  en  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { K }  en  \overset{ { \white{ _. } } } { I. } 

2. b)  Nous devons vérifier que   \overset{ { \white{ . } } } { r }  est une rotation et en déterminer l'angle et le centre.

 { \white{ xxi } } \left(\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{DI}\right) =\left(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{DA}\right)\;[2\pi]  \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  \left(\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{DI}\right) }=\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right)\;[2\pi] }  \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  \left(\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{DI}\right) }=-\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi] } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \left(\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{DI}\right) =-\dfrac{\pi}{3}\neq 0}

D'où   \overset{ { \white{ . } } } { r }  est une rotation.

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}L'angle de  \overset{ { \white{ . } } } { r }  est  \overset{ { \white{ _. } } } {-\dfrac{\pi}{3}.  } 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Déterminons le centre de  \overset{ { \white{ . } } } { r .} 

Les médiatrices de  \overset{ { \white{ _. } } } { [CD] }  et de  \overset{ { \white{ _. } } } { [KI] }  sont égales à la droite  \overset{ { \white{ _. } } } { (AJ). } 
Dès lors, le centre de  \overset{ { \white{ . } } } { r }  est  le point d'intersection des droites  \overset{ { \white{ _. } } } { (CK) }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { (DI), }  soit le point  \overset{ { \white{ _. } } } { A. } 

Par conséquent,   \overset{ { \white{ _. } } } { r }  est une rotation d'angle  \overset{ { \white{ _. } } } {-\dfrac{\pi}{3}  }  et de centre  \overset{ { \white{ _. } } } { A. } 

3.  Soit   \overset{ { \white{ _. } } } { f}  l'isométrie plane telle que   \overset{ { \white{ _. } } } { f(C) = A ,\;  f(A) = D   }  et   \overset{ { \white{ _. } } } {  f(D) = B .} 

3. a)  Montrons que   \overset{ { \white{ _. } } } { f }  est un antidéplacement.

Nous avons montré dans la question 2. a) que les droites  \overset{ { \white{ _. } } } {(AI) }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { (IC) }  sont perpendiculaires.
Or  \overset{ { \white{ _. } } } { I }  est le milieu de  \overset{ { \white{ _. } } } { [AD]. } 
Donc  \overset{ { \white{ _. } } } { (IC) }  est médiatrice de  \overset{ { \white{ _. } } } {[AD].  } 
Nous en déduisons que  \overset{ { \white{ _. } } } { CA=CD } 

Dès lors, le triangle  \overset{ { \white{ _. } } } {ACD  }  est isocèle en  \overset{ { \white{ _. } } } { C. } 
De plus  \overset{ { \white{. } } } { \left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right) =\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]. } 
Il s'ensuit que le triangle  \overset{ { \white{ _. } } } { ACD }  est équilatéral.
D'où  \overset{ { \white{ _. } } } { CA=AD\neq 0 } 

De même, le triangle  \overset{ { \white{ _. } } } { ADB }  est équilatéral.
D'où  \overset{ { \white{ _. } } } { AD=DB\neq 0 } 

Par conséquent, il existe un unique antidéplacement transformant  \overset{ { \white{ _. } } } { C }  en  \overset{ { \white{ _. } } } { A, }   \overset{ { \white{ _. } } } { A }  en  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  en  \overset{ { \white{ _. } } } { B. } 

3. b)  Nous devons justifier que   \overset{ { \white{ _. } } } {  f}  est une symétrie glissante, puis donner sa forme réduite.

La médiatrice de  \overset{ { \white{ _. } } } { [CA] }  est différente de la médiatrice de  \overset{ { \white{ _. } } } { [AD]. } 
La médiatrice de  \overset{ { \white{ _. } } } { [AD] }  est différente de la médiatrice de  \overset{ { \white{ _. } } } { [DB]. } 
Par conséquent,   \overset{ { \white{ _. } } } { f }  est une symétrie glissante.

Déterminons sa forme réduite.

Par définition,   \overset{ { \white{ _. } } } { f(C) = A }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { f(A) = D.  } 

Posons :   \overset{ { \white{ _. } } } { f=t_{\vec u}\circ S_\Delta=S_\Delta\circ  t_{\vec u}.  } 

Nous obtenons alors :

 { \white{ xxi } }  f\circ f=(t_{\vec u}\circ S_\Delta)\circ (S_\Delta\circ  t_{\vec u}) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\circ f} =t_{\vec u}\circ (S_\Delta\circ S_\Delta)\circ  t_{\vec u} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\circ f} =t_{\vec u}\circ 1_\pi\circ  t_{\vec u} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\circ f} =t_{\vec u}\circ  t_{\vec u} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\circ f} =t_{2\vec u} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f\circ f=t_{2\vec u} }

 \text{Or }\quad (f\circ f)(C)=f(f(C)) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad ()circ f(C)}=f(A)  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad ()f\circ f(C)}=D  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(f\circ f)(C)=D  } 

Dès lors,  \overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} f\circ f=t_{2\vec u}\\ (f\circ f)(C)=D  \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 2\vec u=\overrightarrow{CD} } , soit  \overset{ { \white{ _. } } } { \vec u=\dfrac12\,\overrightarrow{CD} .} 

D'autre part, puisque  \overset{ { \white{ _. } } } { f(C)=A } , le milieu  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { K }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {[CD] }  appartient à  \overset{ { \white{ _. } } } { \Delta } 
et puisque  \overset{ { \white{ _. } } } { f(A)=D } , le milieu  \overset{ { \white{ _. } } } { I }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {[CD] }  appartient à  \overset{ { \white{ _. } } } { \Delta \,.} 
D'où  \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\vec u=\overrightarrow{KI}} } 

En conclusion,  \overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{f=S_{(KI)}\circ t_{\overrightarrow{KI}}= t_{\overrightarrow{KI}}\circ S_{(KI)}}} 


4.  Soit   \overset{ { \white{ . } } } { s }  la similitude directe qui transforme   \overset{ { \white{ _. } } } {  A}  en   \overset{ { \white{ _. } } } { D }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { C }  en   \overset{ { \white{ _. } } } { J. } 

4. a)  Nous devons déterminer le rapport et un angle de  \overset{ { \white{ . } } } { s .} 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Le rapport de  \overset{ { \white{ . } } } { s }  est donné par  \overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{DJ}{AC}\,. } 
Nous avons montré dans la question 3. a) que le triangle  \overset{ { \white{ _. } } } { ACD }  est équilatéral.
Dès lors, 

 { \white{ xxi } } DJ=\dfrac 12\, DC\quad\Longrightarrow\quad DJ =\dfrac 12\, AC   \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{DJ=\dfrac 12\, DC }  \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac{DJ}{AC} =\dfrac 12 }}

D'où, le rapport de  \overset{ { \white{ . } } } { s }  est égal à  \overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 12\,.  } 

 \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}L'angle de  \overset{ { \white{ . } } } { s }  est donné par  \overset{ { \white{ _. } } } { \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DJ}\right). } 
D'où, l'angle de  \overset{ { \white{ . } } } { s }  est égal à  \overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac {\pi}{3}\,.  } 

4. b)  Nous devons montrer que le centre   \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  de  \overset{ { \white{ -. } } } { s }  appartient à   \overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma . } 

Rappelons la proposition suivante :
Soit  \overset{ { \white{ . } } } { s }  la similitude transformant  \overset{ { \white{ . } } } { (A,B) }  en  \overset{ { \white{ _. } } } { (A',B') }  avec  \overset{ { \white{ _. } } } { A\neq B }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { A'\neq B'. } 
Si les droites  \overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { (A'B') }  sont sécantes en   \overset{ { \white{ _. } } } { I } , alors le centre  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {  s}  est le point, autre que  \overset{ { \white{ _. } } } {I , }  commun aux cercles  \overset{ { \white{ _. } } } { (IAA') }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { (IBB'). } 


Dans cette question, les droites  \overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { (DJ) }  sont sécantes en   \overset{ { \white{ _. } } } { C.}

Alors le centre  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  de  \overset{ { \white{ _. } } } {  s}  est le point, autre que  \overset{ { \white{ _. } } } {C , }  commun au cercle  \overset{ { \white{ _. } } } { (CAD) }  et à un autre cercle passant par les points  \overset{ { \white{ _. } } } { C }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { J. } 
Or le cercle  \overset{ { \white{ _. } } } { (CAD) }  est le cercle  \overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma .} 

Par conséquent, le centre   \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }  de  \overset{ { \white{ -. } } } { s }  appartient à   \overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma . } 

4. c)  Nous devons déterminer   \overset{ { \white{ _. } } } { s(K) }  et en déduire que   \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega , C ,  K }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { L }  sont cocycliques.

Le point  \overset{ { \white{ _. } } } {  K}  est le milieu de  \overset{ { \white{ _. } } } { [AC]. } 
Or toute similitude de rapport strictement positif conserve les milieux.
Dès lors,  \overset{ { \white{ _. } } } { s(K) }  est le milieu de  \overset{ { \white{ _. } } } { [DJ]. } 

Par conséquent,  \overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{s(K)=L} \,. } 

Nous devons en déduire que   \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega , C ,  K }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { L }  sont cocycliques.

 \begin{cases} s(\Omega)=\Omega\\s(K)=L      \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left(\overrightarrow{\Omega K},\overrightarrow{\Omega L}\right)=\dfrac{\pi}{3}} }

Or  \overset{ { \white{ _. } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left(\overrightarrow{C K},\overrightarrow{CL}\right)=\dfrac{\pi}{3}} }  } 

Nous en déduisons que les points  \overset{ { \white{ _. } } } { \Omega , C ,  K }  et   \overset{ { \white{ _. } } } { L }  sont cocycliques.


4. d)  Soit  \overset{ { \white{ _. } } } { M }  un point de  \Gamma  différent de   \overset{ { \white{ . } } } { \Omega, }  et  \overset{ { \white{ . } } } { M' = s(M). } 
Nous devons montrer que la droite  \overset{ { \white{ . } } } { (MM') }  passe par un point fixe à préciser.

Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM : image 1


Pour ce faire, montrons les points  \overset{ { \white{ . } } } { M, M' }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  sont alignés.
Calculons l'angle  \overset{ { \white{o.} } } {\left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DM'}\right).}

Par la relation de Chasles, nous obtenons :  \overset{ { \white{o.} } } { \left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DM'}\right)=\left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{D\Omega}\right)+\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right) }
Nous savons que l'image par  \overset{ { \white{ . } } } { s }  du cercle  \overset{ { \white{ _. } } } {\Gamma  }  de centre  \overset{ { \white{ _. } } } { O }  est un cercle  \overset{ { \white{ . } } } { \Gamma ' }  de centre  \overset{ { \white{ . } } } { O' }  avec  \overset{ { \white{ . } } } { O'=s(O). } 

Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, alors l'amplitude de l'angle au centre est double de celle de l'angle inscrit.

Dès lors  \overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O\Omega}\right)=2\,\left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{D\Omega}\right)\;[\pi] }  et  \overset{ { \white{ . } } } {  \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)=2\,\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]} 

La similitude directe  \overset{ { \white{ . } } } { s }  conserve les angles orientés.
D'où  \overset{ { \white{ . } } } {  \left(\overrightarrow{O\Omega},\overrightarrow{OM}\right)= \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)\;[\pi] } 

Nous obtenons ainsi :

 \left\lbrace\begin{matrix} \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O\Omega}\right)=2\left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{D\Omega}\right)\;[\pi] \\ \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)=2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]\\ \left(\overrightarrow{O\Omega},\overrightarrow{OM}\right)= \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)\;[\pi]  \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad  \left\lbrace\begin{matrix}  {\red{\left(\overrightarrow{O\Omega},\overrightarrow{OM}\right)}}=2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)\;[\pi] \\ {\red{\left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)}}=2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]\\ {\red{\left(\overrightarrow{O\Omega},\overrightarrow{OM}\right)= \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)\;[\pi] }} \end{matrix}\right.

Nous en déduisons que :  \overset{ { \white{ . } } } {2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)=2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]}

Dès lors,

 \left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)=\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]\quad\Longrightarrow\quad \vec 0=- \left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)+\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi] \\\phantom{\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)=\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]}\quad\Longrightarrow\quad  \left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{D\Omega}\right)+\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)=\overrightarrow {0} \;[\pi] \\\phantom{\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)=\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DM'}\right)=\overrightarrow {0} \;[\pi]}

Il s'ensuit que les points  \overset{ { \white{ . } } } { M, M' }  et  \overset{ { \white{ _. } } } { D }  sont alignés.

Par conséquent, pour tout point  \overset{ { \white{ _. } } } { M }  de  \Gamma  différent de   \overset{ { \white{ . } } } { \Omega, }  les droites  \overset{ { \white{ . } } } { (MM') }  passent par le point fixe  \overset{ { \white{ _. } } } { D. } 

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