Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac 2024 Mauritanie M et TMGM

Coefficient : 9 et 6

Durée : 4 heures 3 points

exercice 1

On considère l'équation (E) : $104x - 17y = 278$ , d'inconnu $(x,y)$ où $x$ et $y$ sont des entiers.

1. a) Justifier que l'équation (E) admet des solutions.

1. b) Vérifier que le couple $(3, 2)$ est solution de (E), puis résoudre (E).

2. Soit $p$ un entier naturel qui s'écrit $\overline{1ab1b}$ en base 6 et $\overline{1aabb0}$ en base 4.

2. a) Montrer que le couple $(a, b)$ est solution de (E).

2. b) Déterminer $a$ et $b$ , puis écrire $p$ en base 10.

3. Soit $(x, y)$ une solution de (E).

Montrer que $x \equiv 3 \, [17]$ .

En déduire que $x^{2024} +1 \equiv 0\, [17]$ .

3 points

exercice 2

$\forall n$ , on pose $I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{ 1} x(1 + \ln x)^n \,\text dx$ et $u_n = \dfrac{(-2)^n}{n!}I_n$ .

1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante et positive.

2. Montrer que $\forall n \geq 0$ , on a $2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1$ . Déduire que pour tout $n \geq 0$ , $\dfrac{1}{n + 3} \leq I_n \leq \dfrac{1}{n + 1}$ .

3. a) Montrer que $u_n = u_{n+1} + \dfrac{(-2)^n}{(n + 1)!}$ $\forall n \geq 0$ .

3. b) Vérifier que pour tout $n \geq 3$ , $\left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \leq \dfrac{1}{2}$ , puis en déduire $\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n$ .

3. c) Déterminer $\displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}$ .

5 points

exercice 3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Pour tout nombre complexe $z$ , on pose :

$P(z) = z^3 - (2 + 2i)z^2 + 11z +38 + 8i$ .

1. a) Calculer $P(-2)$ puis déterminer les complexes $a$ et $b$ tels que $P(z) = (z+2)(z^2 + az + b)$ .

1. b) Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $P(z) = 0$ . On note $z_1$ , $z_2$ et $z_3$ les solutions de cette équation, avec $\text{Im}(z_1) > \text{Im}(z_2) > \text{Im}(z_3)$ .

2. On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_1$ , $z_2$ et $z_3$ .

2. a) Placer les points $A$ , $B$ et $C$ .

2. b) Montrer que le point $D$ d'affixe $6$ est le barycentre de $\left\lbrace(A, 3); (B, -4); (C, 5)\right\rbrace$ .

3. On définit l'ellipse $E$ dont $A$ et $B$ sont deux sommets et dont $C$ est un foyer.

3. a) Reconnaître l'axe focal de $E$ et en déduire que $D$ est un troisième sommet de $E$ .

3. b) Préciser le centre et le quatrième sommet de $E$ .

3. c) Justifier que $\dfrac{(x-2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ est une équation de $E$ , puis construire $E$ .

4 points

exercice 4

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{x }{\text e^{2x}-x}$ et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(0, \vec i, \vec j)$ d'unité graphique 2 cm..

1. a) Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$ . Interpréter graphiquement.

b) Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0$ . Interpréter graphiquement.

c) Dresser le tableau de variation de $f$ .

2. Soit $h$ la restriction de $f$ sur $I=\left[\dfrac 12,+\infty\right[$ .

2. a) Montrer que $h$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer.

2. b) Dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ } } } { h^{-1} }$ ( $\overset{ { \white{ } } } { h^{-1} }$ étant la réciproque de $\overset{ { \white{_. } } } { h }$ ).

3. a) Déterminer une équation de la tangente $T$ à $(C)$ au point d'abscisse $0$ .

3. b) Construire la courbe $(C)$ et la courbe $(C')$ de $h^{-1}$ dans le repère $(0, \vec i, \vec j)$ .

4. Soit $A$ l'aire de la partie du plan délimitée par $(C)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$ . Montrer que $\dfrac{1}{2\text e^2 - 2} \leq A \leq \dfrac{1}{4\text e - 2}$

5 points

exercice 5

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ , tel que $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{2 \pi}{3}\;[2\pi]$ . $I$ est le milieu de $[BC]$ et $D = S_I(A)$ . Soient $J$ , $K$ , et $L$ les milieux respectifs de $[DC]$ , $[CA]$ et $[DJ]$ . Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit à $ADC$ .

1. Faire une figure.

2. a) Montrer qu'il existe un unique déplacement $r$ tel que $r(C) = D$ et $r(K) = I$ .

2. b) Vérifier que $r$ est une rotation puis déterminer son angle et son centre.

3. Soit $f$ l'isométrie plane telle que $f(C) = A$ , $f(A) = D$ et $f(D) = B$ .

3. a) Montrer que $f$ est un antidéplacement.

3. b) Justifier que $f$ est une symétrie glissante, puis donner sa forme réduite.

4. Soit $s$ la similitude directe qui transforme $A$ en $D$ et $C$ en $J$ .

4. a) Déterminer le rapport et un angle de $s$ .

4. b) Montrer que le centre $\Omega$ de $s$ appartient à $\Gamma$ .

4. c) Déterminer $s(K)$ et en déduire que $\Omega$ , $C$ , $K$ ,et $L$ sont cocycliques.

4. d) Soit $M$ un point de $\Gamma$ , différent de $\Omega$ , et $M' = s(M)$ . Montrer que la droite $(MM')$ passe par un point fixe à préciser.

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Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM

3 points

exercice 1

On considère l'équation   $\overset{ { \white{ . } } } { (E) : 104x - 17y = 278 , }$ où    $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et   $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ sont des entiers.

1. a) Justifions que l'équation   $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ admet des solutions.

Rappelons le corollaire de Bézout :

${ \white{ xxi } }$ L'équation   $\overset{ { \white{ _. } } } { ax + by = c }$ admet des solutions entières si et seulement si    $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ est un multiple de    $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{pgcd}(a,b). }$

Les entiers 104 et 17 sont premiers entre eux, soit   $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{pgcd}(104,17)=1. }$
De plus, 278 est bien un multiple de 1.

Par conséquent, l'équation    $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ admet des solutions.

1. b) Nous devons vérifier que le couple (3, 2) est solution de   $\overset{ { \white{ _. } } } { (E), }$ puis résoudre   $\overset{ { \white{ _. } } } { (E). }$

Le couple (3, 2) est solution de    $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { 104\times3-17\times2=278. }$

Résolvons    $\overset{ { \white{ _. } } } { (E). }$
Nous savons que le couple    $\overset{ { \white{ . } } } { (3\,,\,2) }$ est une solution de l'équation    $\overset{ { \white{ . } } } { (E)\,. }$

$\begin{cases}104x-17y=278\\104\times3-17\times2=278\end{cases}\right.\quad\underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\quad104(x-3)-17(y-2)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad\quad\quad104(x-3)=17(y-2)$

Donc l'entier 17 divise le produit   $\overset{ { \white{ . } } } { 104(x-3)\,. }$
Or 17 et 104 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 17 divise   $\overset{ { \white{ . } } } { (x-3). }$
Dès lors, il existe un entier relatif   $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ tel que   $\overset{ { \white{ . } } } { x-3=17k\,, }$ soit   $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{x=3+17k}}\,.$

De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}104(x-3)=17(y-2)\phantom{xxxx}\\x=3+17k\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}104({\red{x-3}})=17(y-2)\quad\\ {\red{x-3}}=17k\phantom{WW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad104\times17k=17(y-2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ 104k=y-2 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=2+104k}}$

Donc, il existe un entier relatif   $\overset{ { \white{ _. } } } { k}$ tel que   $\left\lbrace\begin{matrix}x=3+17k\\y=2+104k\end{matrix}\right..$

Montrons que le couple   $\overset{ { \white{ . } } } { (3 + 17k\;;\; 2 + 104k) }$ est solution de   $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ pour tout entier relatif   $\overset{ { \white{ _. } } } {k\,. }$
En effet,   $\overset{{\white{.}}}{104(3+17k)-17(2+104k)=312+1768k-34-1768k=278.}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation   $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ est   $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(3+17k\,;\,2+104k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

2. Soit    $\overset{ { \white{ w. } } } { p }$ un entier naturel qui s'écrit    $\overset{ { \white{ } } } { \overline{1ab1b} }$ en base 6 et    $\overset{ { \white{ } } } { \overline{1aabb0} }$ en base 4.

2. a) Montrons que le couple    $\overset{ { \white{ _. } } } { (a, b) }$ est solution de   $\overset{ { \white{ _. } } } { (E). }$

$\overline{1ab1b}\overset{(6)}{{\phantom{O}}}=\overline{1aabb0}\overset{(4)}{{\phantom{O}}} \\\\\Longleftrightarrow\quad b+1\times6+b\times6^2+a\times 6^3+1\times 6^4=0+b\times4+b\times4^2+a\times4^3+a\times 4^4+1\times 4^5 \\\\\Longleftrightarrow\quad b+6+36b+216a+1296=4b+16b+64a+256a+1024 \\\\\Longleftrightarrow\quad 216a+37b+1302=320a+20b+1024 \\\\\Longleftrightarrow\quad \boxed{104a-17b=278}$

Nous en déduisons que le couple    $\overset{ { \white{ _. } } } { (a, b) }$ est solution de   $\overset{ { \white{ _. } } } { (E). }$

2. b) Nous devons déterminer    $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et    $\overset{ { \white{. } } } { b, }$ puis écrire    $\overset{ { \white{w. } } } { p }$ en base 10.

L'écriture de l'entier   $\overset{ { \white{ w. } } } { p }$ en base 4 et en base 6 impose les conditions suivantes sur   $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ :

$\left\lbrace\begin{matrix}0\le a\le 3\\0\le b\le 3\\0\le a\le 5\\0\le b\le 5\end{matrix}\right.$ , ${ \white{ xxi } }$ soit ${ \white{ xxi } }$    $\left\lbrace\begin{matrix}0\le a\le 3\\0\le b\le 3\end{matrix}\right.$

Nous savons que l'ensemble des solutions de l'équation   $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ est   $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace(3+17k\,;\,2+104k)\,/\,k\in\Z\rbrace}}$

Par conséquent, les valeurs de   $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ solutions de l'équation   $\overset{ { \white{ . } } } {(E) }$ et vérifiant les conditions sont   $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.} }$

Il découle de la question 2. a) que :

${ \white{ xxi } }$ $p=\overline{1ab1b}\overset{(6)}{{\phantom{O}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p }=216a+37b+1302 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p }=216\times3+37\times2+1302 }. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{p }=2024 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p=2024}$

3. Soit    $\overset{ { \white{ _. } } } { (x, y) }$ une solution de   $\overset{ { \white{ _. } } } { (E). }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que    $\overset{ { \white{ _. } } } { x \equiv 3 \, [17] . }$

Nous avons montré dans la question 1. b) que   $\overset{ { \white{ _. } } } { x=3+17k }$ avec   $\overset{ { \white{ _. } } } { k\in\Z. }$ .
Nous en déduisons donc que    $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{x \equiv 3 \, [17] } }\,.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Ensuite, nous devons en déduire que    $\overset{ { \white{ _. } } } { x^{2024} +1 \equiv 0\, [17] . }$

Nous avons :   $\overset{ { \white{ _. } } } { x \equiv 3 \, [17]\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^{2024} \equiv 3^{2024} \, [17]} }$

Or 17 est un nombre premier, 3 est un nombre entier et   $\overset{ { \white{ _. } } } { 3\wedge 17=1. }$

Selon le petit théorème de Fermat, nous déduisons que :   $\overset{ { \white{ _. } } } { 3^{16}\equiv 1\,[17]. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $3^{2024}=3^{16\times126+8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3^{2024} } =(3^{16})^{126}\times 3^8 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3^{2024} } \equiv1^{126}\times 3^8\, [17]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3^{2024} } \equiv 1\times3^8\, [17]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{3^{2024} } \equiv 3^8\, [17]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{3^{2024}\equiv 3^8\, [17]}$

$\text{De plus, }\quad 3^4=81 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{De plus, }\quad 3^4 }=4\times17-4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{De plus, }\quad 3^4 }\equiv-4\,[17] } \\\\\Longrightarrow\quad 3^4\equiv-4\,[17]$

Il s'ensuit que :

${ \white{ xxi } }$ $3^4\equiv-4\,[17]\quad\Longrightarrow\quad (3^4)^2\equiv(-4)^2\,[17] \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 3^4\equiv-4\,[17]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{3^8\equiv16\,[17] } }$

$\text{D'où }\quad\begin{cases}x^{2024}\equiv 3^{2024}\, [17]\\3^{2024}\equiv 3^8\, [17] \\3^8\equiv16\,[17] \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad x^{2024}\equiv16\,[17]$

Par conséquent,   $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{x^{2024} +1 \equiv 0\, [17]} }$

3 points

exercice 2

Pour tout entier naturel    $\overset{ { \white{ w. } } } { n, }$ on pose    $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^n \,\text dx\; \text{ et }\; u_n = \dfrac{(-2)^n}{n!}I_n . }$

1. Montrons que la suite    $\overset{ { \white{ _. } } } { (I_n) }$ est décroissante et positive.

Pour tout entier naturel    $\overset{ { \white{ W. } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $I_{n+1}-I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^{n+1} \,\text dx-\displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^n \,\text dx \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_{n+1}-I_n }= \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} \Big[x(1 + \ln x)^{n+1} - x(1 + \ln x)^n\Big] \,\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_{n+1}-I_n }= \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^{n}\Big[(1 + \ln x) - 1\Big] \,\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{I_{n+1}-I_n }= \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^{n} \ln x \,\text dx } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_{n+1}-I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x\ln x \,(1 + \ln x)^{n} \,\text dx }$

Pour tout réel   $\overset{ { \white{ . } } } { x, }$
${ \white{ xxi } }$ $\quad \text e^{-1}\le x \le 1\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} x>0\\-1\le \ln x\le 0\\0\le 1+\ln x\le 1 \end{cases} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x>0\\\ln x\le 0\\ (1+\ln x)^n\ge 0 \end{cases}} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad x\ln x \,(1 + \ln x)^{n}\le 0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{n+1}-I_n\le 0 }}$

D'où la suite    $\overset{ { \white{ _. } } } { (I_n) }$ est décroissante.

De plus,
${ \white{ xxi } }$ $\quad \text e^{-1}\le x \le 1\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} x>0\\-1\le \ln x\\0\le 1+\ln x \end{cases} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x>0\\ (1+\ln x)^n\ge 0 \end{cases}} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad x\,(1 + \ln x)^{n}\ge 0 } \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \quad \text e^{-1}\le x \le 1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{n}\ge 0 }}$

D'où la suite    $\overset{ { \white{ _. } } } { (I_n) }$ est positive.

2. Montrons que    $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1 }$ et que   $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n \geq 0 ,\quad \dfrac{1}{n + 3} \leq I_n \leq \dfrac{1}{n + 1} . }$

Pour tout entier naturel    $\overset{ { \white{ W. } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^n \,\text dx\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_n = \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x^2\,\dfrac{(1 + \ln x)^n}{x} \,\text dx }$

Calculons   $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x^2\,\dfrac{(1 + \ln x)^n}{x} \,\text dx . }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_{\text e^{-1}}^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{\text e^{-1}}^{1}- \displaystyle\int_{\text e^{-1}}^{1}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\\begin{cases}u(x)=x^2\phantom{WWWw}\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2x \\v'(x)=\dfrac{(1+\ln x)^n}{x}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{(1+\ln x)^{n+1}}{n+1}\end{cases}$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x^2\,\dfrac{(1 + \ln x)^n}{x} \,\text dx=\left[\overset{}{x^2\,\dfrac{(1+\ln x)^{n+1}}{n+1}}\right]_{\text e^{-1}}^{1}-\displaystyle\int_{\text e^{-1}}^{1}2x\times \dfrac{(1+\ln x)^{n+1}}{n+1}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{x^2\,(1+\ln x)^{n+1}}\right]_{\text e^{-1}}^{1}-\dfrac{2}{n+1}\displaystyle\int_{\text e^{-1}}^{1}x (1+\ln x)^{n+1}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n+1}\Big(1-\text{e}^{-2}\times0\Big)-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}}$

D'où    $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}. }$

Il s'ensuit que

${ \white{ xxi } }$ $I_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2}{n+1}I_{n+1}+I_n=\dfrac{1}{n+1} \\\overset{ { \phantom{ P. } } } { \phantom{ I_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2I_{n+1}+(n+1)\,I_n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1} } \\\overset{ { \phantom{ P. } } } { \phantom{ I_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}I_{n+1}}\quad\Longleftrightarrow\quad 2I_{n+1}+(n+1)\,I_n=1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1 } }$

De plus, nous savons par la question 1. que   $\overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\in\N,\quad I_{n+1}\ge 0, }$
soit que   $\overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\in\N,\quad 2I_{n+1}\ge 0, }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1}\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad 1 - (n + 1)I_n \ge 0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1}\ge 0 } \quad\Longleftrightarrow\quad (n + 1)I_n \le 1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1}\ge 0 } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{I_n \le \dfrac{1}{n+1} } }$

Nous savons également par la question 1. que la suite    $\overset{ { \white{ _. } } } { (I_n) }$ est décroissante.

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $I_{n+1}\le I_n\quad\Longleftrightarrow\quad 2I_{n+1}\le 2I_n \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad 2I_{n+1}+(n+1)I_n\le 2I_n+(n+1)I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\le 2I_n+nI_n+I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\le nI_n+3I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\le (n+3)I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_{n+1}\le I_n}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\dfrac{1}{n+3}\le I_n}}$

Par conséquent,   $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\forall\,n \geq 0 ,\quad \dfrac{1}{n + 3} \leq I_n \leq \dfrac{1}{n + 1} }\,. }$

3. a) Montrons que    $\overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\ge 0,\quad u_n = u_{n+1} + \dfrac{(-2)^n}{(n + 1)!}. }$

En utilisant le résultat de la question 2), nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2I_{n+1}= 1- (n + 1)I_n \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \forall\,n \geq 0 ,\quad 2I_{n+1} + (n + 1)I_n = 1 }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{I_{n+1}= \dfrac 12\Big[1- (n + 1)I_n \Big]}}$

Nous en déduisons que pour tout   $\overset{ { \white{ _. } } } { n \geq 0 ,}$

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1} = \dfrac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!}I_{n+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!} \times \dfrac 12\Big[1- (n + 1)I_n \Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{(-1)^{n+1}\times 2^{n+1}}{(n+1)!\times2} \times \Big[1- (n + 1)I_n \Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{(-1)^{n+1}\times 2^{n}}{(n+1)!} \times \Big[1- (n + 1)I_n \Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-1\times(-1)^{n}\times 2^{n}}{(n+1)!} \times \Big[1- (n + 1)I_n \Big]}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-(- 2)^{n}}{(n+1)!} \times \Big[1- (n + 1)I_n \Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-(- 2)^{n}}{(n+1)!} +\dfrac{(- 2)^{n}}{(n+1)!} (n + 1)I_n } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-(- 2)^{n}}{(n+1)!} +\dfrac{(- 2)^{n}}{n!} I_n } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}} = \dfrac{-(- 2)^{n}}{(n+1)!} +u_n} \\\\\Longrightarrow\quad\forall\,n\ge 0, \quad u_{n+1} = u_n-\dfrac{(- 2)^{n}}{(n+1)!} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\ge 0, \quad u_{n} = u_{n+1}+\dfrac{(- 2)^{n}}{(n+1)!} }$

3. b) Nous devons vérifier que pour tout   $\overset{ { \white{ . } } } { n \geq 3 ,\quad \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \leq \dfrac{1}{2} , }$ puis en déduire   $\overset{ { \white{ W. } } } {\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n . }$

Pour tout   $\overset{ { \white{ _. } } } { n \geq 3, }$

${ \white{ xxi } }$ $\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|= \left|\dfrac{\dfrac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!}I_{n+1}}{\dfrac{(-2)^{n}}{n!}I_{n}}\right| \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|} =\left|\dfrac{(-2)^{n+1}}{(n+1)!} \times \dfrac{n!}{(-2)^{n}}\times\dfrac{I_{n+1}}{I_n}\right|} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|} =\left|\dfrac{-2}{n+1} \times\dfrac{I_{n+1}}{I_n}\right|} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|} =\left|\dfrac{-2}{n+1} \right|\times\left|\dfrac{I_{n+1}}{I_n}\right|} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\geq3,\quad\left|\dfrac{u_{n+1} }{u_{n}} \right|=\dfrac{2}{n+1} \times\dfrac{I_{n+1}}{I_n} }\quad \text{car }\quad\begin{cases} n+1>0\\I_n>0\\I_{n+1}>0 \end{cases}$

$\text{Or }\quad\bullet\quad n\geq 3\quad\Longrightarrow\quad n+1\geq 4 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\bullet\quad n\geq 3} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{n+1}\leq \dfrac 14 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\bullet\quad n\geq 3} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{2}{n+1}\leq \dfrac 24 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\bullet\quad n\geq 3} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{2}{n+1}\leq \dfrac 12 } \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad}\bullet\quad 0<I_{n+1}\leq I_n\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1 }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{2}{n+1} \times\dfrac{I_{n+1}}{I_n} \leq\dfrac12\times1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \dfrac{2}{n+1} \times\dfrac{I_{n+1}}{I_n}\leq \dfrac 12} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\, n \geq 3 ,\quad \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \leq \dfrac{1}{2}}\, . }$

Nous en déduisons que   $\overset{ { \white{ W. } } } {\boxed{ \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0} }$

3. c) Nous devons déterminer    $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!} . }$

Nous savons par la question 3. a) que   $\overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\ge 0,\quad u_n = u_{n+1} + \dfrac{(-2)^n}{(n + 1)!}. }$

Dès lors, nous obtenons les égalités suivantes :

${ \white{ xxi } }$ $u_0=u_1+ \dfrac{(-2)^0}{1! } \\\overset{ { \white{ . } } } { u_1=u_2+ \dfrac{(-2)^1}{2! } } \\\overset{ { \white{ . } } } { u_2=u_3+ \dfrac{(-2)^2}{3! } } \\\overset{ { \white{ . } } } { \cdots} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { u_{n-1}=u_n+ \dfrac{(-2)^{n-1}}{n! } } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { u_{n}=u_{n+1}+ \dfrac{(-2)^{n}}{(n+1)! } }$

Additionnons ces égalités membre à membre et supprimons les termes identiques dans les deux membres.

Nous obtenons alors :   $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{u_0=u_{n+1}+\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!} }}$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}= \displaystyle \lim_{n\to + \infty}(u_0-u_{n+1}) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}}= u_0-\displaystyle \lim_{n\to + \infty}u_{n+1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}}= u_0-0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{ \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}= u_0}$

$\text{Or }\;u_0= \dfrac{(-2)^0}{0!}I_0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}= I_0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x(1 + \ln x)^0 \,\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\displaystyle \int_{\text e^{-1}}^{1} x \,\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{\text e^{-1}}^{1} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\dfrac 12-\dfrac{\text e^{-2}}{2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;u_0}=\dfrac 12-\dfrac{1}{2\text e^{2}} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_0=\dfrac{\text e^2-1}{2\text e^2}}$

Par conséquent, $\boxed{ \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\displaystyle \sum_{p=0}^{n} \dfrac{(-2)^p}{(p + 1)!}= \dfrac{\text e^2-1}{2\text e^2}}$

5 points

exercice 3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé   $\overset{ { \white{ _. } } } { (O, \vec{i}, \vec{j}) . }$

Pour tout nombre complexe   $\overset{ { \white{ . } } } { z}$ , on pose :    $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z) = z^3 - (2 + 2i)z^2 + 11z +38 + 8i . }$

1. a) Nous devons calculer    $\overset{ { \white{ _. } } } { P(-2), }$ puis déterminer les complexes    $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ tels que    $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z) = (z+2)(z^2 + az + b) . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} P(-2)= (-2)^3 - (2 + 2i)\times (-2)^2 + 11\times(-2) +38 + 8i . \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(-2)} =-8-4(2+2\text i)-22+38+8\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(-2)} =-8-8-8\text i-22+38+8\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(-2)} =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(-2)=0}$

Le polynôme   $\overset{ { \white{ _. } } } { P(z) }$ est donc divisible par   $\overset{ { \white{ . } } } { (z+2). }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons le quotient de   $\overset{ { \white{ . } } } { P(z) }$ par   $\overset{ { \white{ . } } } {(z+2) }$ selon la méthode de Horner.

${ \white{ XXXXX } }\begin{array}{c|ccc|c} &1&-2-2\text i&11&38+8\text i \\&&&& \\\hline&&&&& -2&&-2&8+4\text i&-38-8\text i\\&&&&\\\hline &&&&\\&1&-4-2\text i&19+4\text i&0\\\end{array}$

Dès lors,   $\overset{ { \white{ _. } } } { a=-4-2\text i }$ et   $\overset{ { \white{ . } } } { b=19+4\text i. }$

Le quotient est le polynôme   $\overset{ { \white{ . } } } { z^2+(-4-2\text i)z+19+4\text i.}$

Par conséquent,   $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall z\in \textbf C\,,\,P(z)=(z+2)\Big(z^2-(4+2\text i)z+19+4\text i\Big)}\,. }$

1. b) Nous devons résoudre dans    $\overset{ { \white{ . } } } { \C}$ l'équation    $\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0. }$

${ \white{ xxi } }$ $P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (z+2)\Big(z^2-(4+2\text i)z+19+4\text i\Big)=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(z)=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad z+2=0\quad\text{ou}\quad z^2-(4+2\text i)z+19+4\text i=0 } \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=-2} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}z^2-(4+2\text i)z+19+4\text i=0 \\\\\quad \Delta=[-(4+2\text i)]^2-4\times1\times(19+4\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\qquad=16+16\text i-4-76-16\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \qquad=-64}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \phantom{ . } } } { \qquad=(8\text i)^2} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z=\dfrac{4+2\text i+8\text i}{2}=\dfrac{4+10\text i}{2}=2+5\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z=2+5\text i} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z=\dfrac{4+2\text i-8\text i}{2}=\dfrac{4-6\text i}{2}=2-3\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z=2-3\text i}$

L'ensemble des solutions dans    $\overset{ { \white{ _. } } } { \C}$ de l'équation    $\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0 }$ est   $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\lbrace -2\;,\;2+5\text i\;,\;2-3\text i\rbrace} }$

On note    $\overset{ { \white{. } } } { z_1 , z_2 }$ et    $\overset{ { \white{ . } } } {z_3 }$ les solutions de cette équation avec    $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Im}(z_1) > \text{Im}(z_2) > \text{Im}(z_3) .}$

Donc, les solutions dans    $\overset{ { \white{ _. } } } { \C}$ de l'équation    $\overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0 }$ sont :   $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{z_1=2+5\text i\,,\, z_2=-2\,,\,z_3=2-3\text i} }$

2. On considère les points    $\overset{ { \white{ _. } } } { A , B }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ d'affixes respectives    $\overset{ { \white{. } } } { z_1 , z_2 }$ et    $\overset{ { \white{ . } } } {z_3 . }$

2. a) Plaçons les points    $\overset{ { \white{ _. } } } { A , B }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { C .}$ (voir le graphique de la question 3. c)

2. b) Montrons que le point    $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ d'affixe 6 est le barycentre de    $\overset{ { \white{ _. } } } { \left\lbrace(A, 3)\;;\;(B, -4)\;;\;(C, 5)\right\rbrace . }$

${ \white{ xxi } }$ $D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace\quad\Longleftrightarrow\quad 3\overrightarrow{DA}-4\overrightarrow{DB}+5\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace}\quad\Longleftrightarrow\quad 3(z_A-z_D)-4(z_B-z_D)+5(z_C-z_D)=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace}\quad\Longleftrightarrow\quad 3z_A-3z_D-4z_B+4z_D+5z_C-5z_D=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace}\quad\Longleftrightarrow\quad -4z_D=-3z_A+4z_B-5z_C } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)\rbrace}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=\dfrac 34z_A-z_B+\dfrac 54z_C }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ W. } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=\dfrac 34(2+5\text i)-(-2)+\dfrac 54(2-3\text i) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=\dfrac 32+\dfrac{15}{4}\text i+2+\dfrac 52-\dfrac{15}{4}\text i } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ D=\text{bar}\lbrace(A,3);(B,-4);C(5)}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=6} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_D=6}$

Par conséquent, le point    $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ d'affixe 6 est le barycentre de    $\overset{ { \white{ _. } } } { \left\lbrace(A, 3)\;;\;(B, -4)\;;\;(C, 5)\right\rbrace . }$

3. On définit l'ellipse    $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ dont    $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ sont deux sommets et    $\overset{ { \white{ _. } } } {C }$ est un foyer.

3. a) Nous devons reconnaître l'axe focal de    $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ et en déduire que    $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est un troisième sommet de    $\overset{ { \white{ _. } } } { E. }$

Nous avons les sommets   $\overset{ { \white{ _. } } } {A(2\;;\;5)}$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } {B(-2\;;\;0)}$ et le foyer    $\overset{ { \white{ _. } } } { C(2\;;\;-3). }$
L'axe focal passe par le foyer   $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ et par au moins un des sommets   $\overset{ { \white{ _. } } } { A}$ ou   $\overset{ { \white{ _. } } } { B .}$

Les abscisses des points   $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ étant égales à 2, l'axe focal de    $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$   est la droite   $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$ d'équation   $\overset{ { \white{ _. } } } { x=2. }$

Le point   $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ n'appartient pas à l'axe focal   $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC). }$
Donc un troisième sommet de l'ellipse est le symétrique de   $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ par rapport à la droite   $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$

La distance entre le point   $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ et l'axe   $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC)}$ est égale à 4.
L'abscisse du troisième sommet de l'ellipse est donc égale à 2 + 4 = 6.

Dès lors, le symétrique du point   $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ d'affixe -1 est le point d'affixe 6, soit le point   $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$
Par conséquent,    $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est un troisième sommet de    $\overset{ { \white{ _. } } } { E. }$

3. b) Précisons le centre   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ et le quatrième sommet de    $\overset{ { \white{ _. } } } { E. }$

Le centre   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ de   $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ est le milieu du segment   $\overset{ { \white{ _. } } } { [BD] }$

Son affixe est    $\overset{ { \white{ _. } } } {z_{\Omega}=\dfrac{z_B+z_D}{2}=\dfrac{-2+6}{2}=2. }$
Les coordonnées du centre   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ de   $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ sont donc   $\overset{ { \white{ _. } } } { (2\;;\;0). }$

Le quatrième sommet de   $\overset{ { \white{ _. } } } {E }$ est le symétrique du sommet   $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ par rapport au centre   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ , soit le point d'affixe   $\overset{ { \white{ _. } } } { 2-5\text i }$ , soit le point de coordonnées   $\overset{ { \white{ _. } } } { (2\;;\;-5). }$

3. c) Nous devons justifier que    $\overset{ { \white{ } } } { \dfrac{(x-2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1 }$ est une équation de    $\overset{ { \white{ _. } } } { E, }$ puis construire    $\overset{ { \white{ _. } } } { E. }$

L'équation réduite de l'ellipse dont le centre est le point de coordonnées   $\overset{ { \white{ _. } } } { (h\;;\;k) }$ , dont la longueur du demi-axe parallèle à l'axe des abscisses est   $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et dont la longueur du demi-axe parallèle à l'axe des ordonnées est   $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ est de la forme   $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\dfrac{x-h}{a^2}+\dfrac{y-k}{b^2}=1} }$

Nous avons montré que les coordonnées du centre de   $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ sont   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega (2\;;\;0). }$
D'où   $\overset{ { \white{ _. } } } {(h\;;\;k)=(2\;;\;0). }$

De plus,   $\overset{ { \white{ _. } } } { a=B\Omega=4 }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { b=A\Omega=5. }$

L'équation réduite de l'ellipse   $\overset{ { \white{ _. } } } { E}$ est   $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{(x-2)^2}{4^2} + \dfrac{(y-0)^2}{5^2} = 1 }$ , soit $\boxed{\dfrac{(x-2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1}.$

Représentation graphique de   $\overset{ { \white{ _. } } } { E. }$

Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM : image 5

4 points

exercice 4

On considère la fonction    $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie par :    $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = \dfrac{x }{\text e^{2x}-x}. }$

1. a) Nous devons montrer que    $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1 }$ et interpréter graphiquement.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x }{\text e^{2x}-x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) }=\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x }{x\left(\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1\right)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) }=\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1}}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad\begin{cases} \lim\limits_{x \to -\infty} \text e^{2x}=0\\\lim\limits_{x \to -\infty} x=-\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\text e^{2x}}{x}=0 \\\phantom{\text{Or }\quad\begin{cases} \lim\limits_{x \to -\infty} \text e^{2x}=0\\\lim\limits_{x \to -\infty} x=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1\right)=-1 \\\phantom{\text{Or }\quad\begin{cases} \lim\limits_{x \to -\infty} \text e^{2x}=0\\\lim\limits_{x \to -\infty} x=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1}=-1$

Par conséquent,   $\overset{ { \white{ W. } } } {\boxed{ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1 }}$

Interprétation graphique : La courbe   $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( C \right) }$ admet une asymptote horizontale en   $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ d'équation :   $\overset{ { \white{ _. } } } { y=-1. }$

1. b) Nous devons montrer que    $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 }$ et interpréter graphiquement.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x }{\text e^{2x}-x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) }=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x }{x\left(\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1\right)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) }=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1}}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text e^{2x}}{x}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1\right)=+\infty \\\phantom{\text{Or }\quad\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text e^{2x}}{x}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\text e^{2x}}{x}-1}=0$

Par conséquent,   $\overset{ { \white{ W. } } } {\boxed{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 }}$

Interprétation graphique : La courbe   $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( C \right) }$ admet une asymptote horizontale en   $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ d'équation :   $\overset{ { \white{ _. } } } { y=0. }$

1. c) Nous devons dresser le tableau de variation de    $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

La fonction   $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable sur   $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

Pour tout   $\overset{ { \white{ _. } } } {x\in\R, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x) = \left(\dfrac{x }{\text e^{2x}-x}\right)'\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } = \dfrac{x'\times (\text e^{2x}-x)-x\times (\text e^{2x}-x)'}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } = \dfrac{1\times (\text e^{2x}-x)-x\times (2\,\text e^{2x}-1)}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } = \dfrac{\text e^{2x}-x-2x\,\text e^{2x}+x}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } = \dfrac{\text e^{2x}-2x\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x) } = \dfrac{(1-2x)\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}-x)^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)= \dfrac{(1-2x)\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}-x)^2} }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive ainsi que le dénominateur (en tant que carré), le signe de   $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de   $\overset{ { \white{ _. } } } { (1-2x). }$

Nous pouvons alors dresser le tableau de variation de    $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

$\begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } {1-2x>0\Longleftrightarrow -2x>-1}\\\phantom{WW}\Longleftrightarrow x<\dfrac 12 \\\\ \overset{ { \white{.} } } {1-2x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac 12}\\\\1-2x<0\Longleftrightarrow x>\dfrac 12 \\\\\\\overset{ { \white{.} } } {f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{\frac 12}{\text e^1-\frac 12}=\dfrac{1}{2\text e-1}\approx0,23}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&\dfrac 12&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\1-2x&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&\dfrac{1}{2\text e-1}&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&-1&&&&0\\\hline \end{array}$

2. Soit    $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ la restriction de    $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur    $\overset{ { \white{ . } } } { I=\left[\dfrac 12\;;\; +\infty\right[. }$

2. a) Montrons que    $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ réalise une bijection de    $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sur un intervalle    $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ à déterminer.

La fonction   $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est continue et strictement décroissante sur   $\overset{ { \white{ . } } } { I=\left[\dfrac 12\;;\; +\infty\right[. }$

Dans ce cas,   $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ réalise une bijection de    $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sur l'intervalle    $\overset{ { \white{ . } } } { J=f(I). }$

$\text{Or }\quad\begin{cases} h\left(\dfrac 12\right)=f\left(\dfrac 12\right)= \dfrac{1}{2\text e-1}\\\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0 \end{cases}$

D'où la fonction   $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ réalise une bijection de    $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sur l'intervalle    $\overset{ { \white{ . } } } { J=\left]\,0\;;\;\dfrac{1}{2\text e-1}\right]\,. }$

2. b) Dressons le tableau de variation de   $\overset{ { \white{ } } } { h^{-1} }$ ( $\overset{ { \white{ } } } { h^{-1} }$ étant la réciproque de   $\overset{ { \white{_. } } } { h }$ ).

Le tableau de variation de la fonction   $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ sur   $\overset{ { \white{ . } } } { I=\left[\dfrac 12\;;\; +\infty\right[ }$ est le suivant :

${\white{WWWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&\dfrac 12&&&&+\infty\\ &&&&& \\\hline&&&&&&&\dfrac{1}{2\text e-1}&&&&\\h(x)&&&\searrow&&\\&&&&&0\\\hline \end{array}$

Dès lors, le tableau de variation de la fonction   $\overset{ { \white{ _. } } } { h^{-1} }$ sur   $\overset{ { \white{ . } } } { J=\left]\,0\;;\;\dfrac{1}{2\text e-1}\right] }$ est le suivant :

${\white{WWWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &||&&&&\\x&0&&&&\dfrac{1}{2\text e-1}\\ &||&&&& \\\hline&+\infty&&&&\\h^{-1}(x)&&\searrow&&&\\&&&&&\dfrac12\\\hline \end{array}$

3. a) Déterminons une équation de la tangente    $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à la courbe représentative    $\overset{ { \white{ _. } } } {(C) }$ au point d'abscisse    $\overset{ { \white{ _. } } } {0. }$

L'équation de cette tangente est de la forme   $\overset{ { \white{ . } } } {y=f'(0)(x-0)+f(0), }$ soit de la forme   $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=f'(0)x+f(0)} }$

Or   $\begin{cases}f(x) = \dfrac{x }{\text e^{2x}-x} \\\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)= \dfrac{(1-2x)\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}-x)^2}}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}f(0)=\dfrac{0}{1-0}\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(0)=\dfrac{1}{1}}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}f(0)=0\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(0)=1}\end{cases}$

D'où une équation de la tangente à la courbe   $\overset{ { \white{ . } } } {(C) }$ au point d'abscisse 0 est   $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=x} }$

3. b) Construisons la courbe    $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ et la courbe    $\overset{ { \white{ _. } } } {(C') }$ de    $\overset{ { \white{ } } } { h^{-1} }$ dans le repère    $\overset{ { \white{ _. } } } { (0, \vec i, \vec j) . }$

Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM : image 6

4. Soit    $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A} }$ l'aire de la partie du plan délimitée par    $\overset{ { \white{ _. } } } { (C), }$ l'axe des abscisses et les droites d'équations    $\overset{ { \white{ _. } } } { x = \dfrac{1}{2} }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } {x=1. }$
L'aire   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A} }$ est donnée par :   $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{\frac 12}^1 f(x)\,\text dx. }$
Montrons que    $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{1}{2\text e^2 - 2} \leq \mathcal{A} \leq \dfrac{1}{4\text e - 2}. }$
La fonction   $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est continue sur l'intervalle    $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[\,\dfrac 12\;;\;1\right]. }$
Nous avons montré dans la question 1. c) que   $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement décroissante sur l'intervalle    $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[\,\dfrac 12\;;\;1\right]. }$
Le minimum de   $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur   $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[\,\dfrac 12\;;\;1\right] }$ est égal à   $\overset{ { \white{ _. } } } { f(1)=\dfrac{1}{\text e^2-1} }$
Le maximum de   $\overset{ { \white{ _. } } } {f }$ sur   $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[\,\dfrac 12\;;\;1\right] }$ est égal à   $\overset{ { \white{ _. } } } { f\left(\dfrac12\right)=\dfrac{1}{2\,\text e-1} }$
Dès lors, nous obtenons : pour tout   $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\left[\,\dfrac 12\;;\;1\right],\quad \dfrac{1}{\text e^2-1}\leq f(x)\leq\dfrac{1}{2\,\text e-1} }$

En vertu de l'inégalité de la moyenne, nous obtenons :    $\overset{ { \white{ _. } } } {\dfrac{1}{\text e^2-1}\left(1-\dfrac 12\right)\leq \displaystyle\int_{\frac 12}^1 f(x)\,\text dx\leq\dfrac{1}{2\,\text e-1}\left(1-\dfrac 12\right) }$ ,

soit   $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 12\times \dfrac{1}{\text e^2-1}\leq \mathcal{A}\leq\dfrac 12\times\dfrac{1}{2\,\text e-1} }$

Par conséquent, nous venons de montrer que   $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\dfrac{1}{2\text e^2 - 2} \leq \mathcal{A} \leq \dfrac{1}{4\text e - 2} } }$

5 points

exercice 5

Soit    $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ un triangle isocèle en    $\overset{ { \white{ _. } } } { A, }$ tel que    $\overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{2 \pi}{3}\;[2\pi] . }$
On note    $\overset{ { \white{ _. } } } {I }$ le milieu de    $\overset{ { \white{ _. } } } { [BC] }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { D = S_I(A) . }$
Soient    $\overset{ { \white{ . } } } { J\, , K }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } {L }$ les milieux respectifs de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [DC]\, , [CA]}$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { [DJ] . }$
On note    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }$ le cercle circonscrit à    $\overset{ { \white{ _. } } } { ADC. }$

1. Figure représentant les données de l'exercice.

${ \white{ WWWWWW } }$

Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM : image 3

2. a) Montrons qu'il existe un unique déplacement    $\overset{ { \white{. } } } { r }$ tel que    $\overset{ { \white{ _. } } } { r(C) = D }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { r(K) = I . }$

Dans le triangle   $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { ABC }$ isocèle en   $\overset{ { \white{ _. } } } { A, }$ la médiane   $\overset{ { \white{ _. } } } {(AI) }$ est également bissectrice de l'angle   $\overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) }$ et médiatrice de   $\overset{ { \white{ _. } } } {[BC]. }$
Il s'ensuit que   $\overset{ { \white{ _. } } } { (\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{ \pi}{3}\;[2\pi] }$ et que les droites   $\overset{ { \white{ _. } } } {(AI) }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { (IC) }$ sont perpendiculaires.

Dans le triangle   $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { AIC }$ rectangle en   $\overset{ { \white{ _. } } } { I, }$

${ \white{ xxi } }$ $\cos\left(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}\right) =\dfrac{AI}{AC}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos\dfrac{\pi}{3} =\dfrac{DI}{AC}\qquad\text{car }AI=DI \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\cos\left(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}\right) =\dfrac{AI}{AC} } \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 12 =\dfrac{DI}{2\,CK}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\cos\left(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}\right) =\dfrac{AI}{AC} } \quad\Longleftrightarrow\quad 1=\dfrac{DI}{CK}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\cos\left(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AC}\right) =\dfrac{AI}{AC} } \quad\Longleftrightarrow\quad CK=DI}$

D'où   $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{CK=DI\neq 0} }$

Nous en déduisons qu'il existe un unique déplacement transformant   $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ en   $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { K }$ en   $\overset{ { \white{ _. } } } { I. }$

2. b) Nous devons vérifier que    $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ est une rotation et en déterminer l'angle et le centre.

${ \white{ xxi } }$ $\left(\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{DI}\right) =\left(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{DA}\right)\;[2\pi] \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{DI}\right) }=\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right)\;[2\pi] } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{DI}\right) }=-\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi] } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \left(\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{DI}\right) =-\dfrac{\pi}{3}\neq 0}$

D'où    $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ est une rotation.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ L'angle de   $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ est   $\overset{ { \white{ _. } } } {-\dfrac{\pi}{3}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le centre de   $\overset{ { \white{ . } } } { r .}$

Les médiatrices de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [CD] }$ et de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [KI] }$ sont égales à la droite   $\overset{ { \white{ _. } } } { (AJ). }$
Dès lors, le centre de   $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ est le point d'intersection des droites   $\overset{ { \white{ _. } } } { (CK) }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { (DI), }$ soit le point   $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

Par conséquent,    $\overset{ { \white{ _. } } } { r }$ est une rotation d'angle   $\overset{ { \white{ _. } } } {-\dfrac{\pi}{3} }$ et de centre   $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

3. Soit    $\overset{ { \white{ _. } } } { f}$ l'isométrie plane telle que    $\overset{ { \white{ _. } } } { f(C) = A ,\; f(A) = D }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { f(D) = B .}$

3. a) Montrons que    $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est un antidéplacement.

Nous avons montré dans la question 2. a) que les droites   $\overset{ { \white{ _. } } } {(AI) }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { (IC) }$ sont perpendiculaires.
Or   $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ est le milieu de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [AD]. }$
Donc   $\overset{ { \white{ _. } } } { (IC) }$ est médiatrice de   $\overset{ { \white{ _. } } } {[AD]. }$
Nous en déduisons que   $\overset{ { \white{ _. } } } { CA=CD }$

Dès lors, le triangle   $\overset{ { \white{ _. } } } {ACD }$ est isocèle en   $\overset{ { \white{ _. } } } { C. }$
De plus   $\overset{ { \white{. } } } { \left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\right) =\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]. }$
Il s'ensuit que le triangle   $\overset{ { \white{ _. } } } { ACD }$ est équilatéral.
D'où   $\overset{ { \white{ _. } } } { CA=AD\neq 0 }$

De même, le triangle   $\overset{ { \white{ _. } } } { ADB }$ est équilatéral.
D'où   $\overset{ { \white{ _. } } } { AD=DB\neq 0 }$

Par conséquent, il existe un unique antidéplacement transformant   $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ en   $\overset{ { \white{ _. } } } { A, }$     $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ en   $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ en   $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$

3. b) Nous devons justifier que    $\overset{ { \white{ _. } } } { f}$ est une symétrie glissante, puis donner sa forme réduite.

La médiatrice de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [CA] }$ est différente de la médiatrice de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [AD]. }$
La médiatrice de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [AD] }$ est différente de la médiatrice de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [DB]. }$
Par conséquent,    $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est une symétrie glissante.

Déterminons sa forme réduite.

Par définition,    $\overset{ { \white{ _. } } } { f(C) = A }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { f(A) = D. }$

Posons :    $\overset{ { \white{ _. } } } { f=t_{\vec u}\circ S_\Delta=S_\Delta\circ t_{\vec u}. }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $f\circ f=(t_{\vec u}\circ S_\Delta)\circ (S_\Delta\circ t_{\vec u}) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\circ f} =t_{\vec u}\circ (S_\Delta\circ S_\Delta)\circ t_{\vec u} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\circ f} =t_{\vec u}\circ 1_\pi\circ t_{\vec u} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\circ f} =t_{\vec u}\circ t_{\vec u} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\circ f} =t_{2\vec u} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f\circ f=t_{2\vec u} }$

$\text{Or }\quad (f\circ f)(C)=f(f(C)) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad ()circ f(C)}=f(A) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad ()f\circ f(C)}=D } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(f\circ f)(C)=D }$

Dès lors,   $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} f\circ f=t_{2\vec u}\\ (f\circ f)(C)=D \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 2\vec u=\overrightarrow{CD} }$ , soit   $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec u=\dfrac12\,\overrightarrow{CD} .}$

D'autre part, puisque   $\overset{ { \white{ _. } } } { f(C)=A }$ , le milieu   $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { K }$ de   $\overset{ { \white{ _. } } } {[CD] }$ appartient à   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$
et puisque   $\overset{ { \white{ _. } } } { f(A)=D }$ , le milieu   $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ de   $\overset{ { \white{ _. } } } {[CD] }$ appartient à   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta \,.}$
D'où   $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\vec u=\overrightarrow{KI}} }$

En conclusion,   $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{f=S_{(KI)}\circ t_{\overrightarrow{KI}}= t_{\overrightarrow{KI}}\circ S_{(KI)}}}$

4. Soit    $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ la similitude directe qui transforme    $\overset{ { \white{ _. } } } { A}$ en    $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ en    $\overset{ { \white{ _. } } } { J. }$

4. a) Nous devons déterminer le rapport et un angle de   $\overset{ { \white{ . } } } { s .}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le rapport de   $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est donné par   $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{DJ}{AC}\,. }$
Nous avons montré dans la question 3. a) que le triangle   $\overset{ { \white{ _. } } } { ACD }$ est équilatéral.
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $DJ=\dfrac 12\, DC\quad\Longrightarrow\quad DJ =\dfrac 12\, AC \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{DJ=\dfrac 12\, DC } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac{DJ}{AC} =\dfrac 12 }}$

D'où, le rapport de   $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est égal à   $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 12\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ L'angle de   $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est donné par   $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DJ}\right). }$
D'où, l'angle de   $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ est égal à   $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac {\pi}{3}\,. }$

4. b) Nous devons montrer que le centre    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ de   $\overset{ { \white{ -. } } } { s }$ appartient à    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma . }$

Rappelons la proposition suivante :
Soit   $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ la similitude transformant   $\overset{ { \white{ . } } } { (A,B) }$ en   $\overset{ { \white{ _. } } } { (A',B') }$ avec   $\overset{ { \white{ _. } } } { A\neq B }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { A'\neq B'. }$
Si les droites   $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { (A'B') }$ sont sécantes en    $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ , alors le centre   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ de   $\overset{ { \white{ _. } } } { s}$ est le point, autre que   $\overset{ { \white{ _. } } } {I , }$ commun aux cercles   $\overset{ { \white{ _. } } } { (IAA') }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { (IBB'). }$

Dans cette question, les droites   $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { (DJ) }$ sont sécantes en    $\overset{ { \white{ _. } } } { C.}$

Alors le centre   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ de   $\overset{ { \white{ _. } } } { s}$ est le point, autre que   $\overset{ { \white{ _. } } } {C , }$ commun au cercle   $\overset{ { \white{ _. } } } { (CAD) }$ et à un autre cercle passant par les points   $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { J. }$
Or le cercle   $\overset{ { \white{ _. } } } { (CAD) }$ est le cercle   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma .}$

Par conséquent, le centre    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ de   $\overset{ { \white{ -. } } } { s }$ appartient à    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma . }$

4. c) Nous devons déterminer    $\overset{ { \white{ _. } } } { s(K) }$ et en déduire que    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega , C , K }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { L }$ sont cocycliques.

Le point   $\overset{ { \white{ _. } } } { K}$ est le milieu de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [AC]. }$
Or toute similitude de rapport strictement positif conserve les milieux.
Dès lors,   $\overset{ { \white{ _. } } } { s(K) }$ est le milieu de   $\overset{ { \white{ _. } } } { [DJ]. }$

Par conséquent,   $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{s(K)=L} \,. }$

Nous devons en déduire que    $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega , C , K }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { L }$ sont cocycliques.

$\begin{cases} s(\Omega)=\Omega\\s(K)=L \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left(\overrightarrow{\Omega K},\overrightarrow{\Omega L}\right)=\dfrac{\pi}{3}} }$

Or   $\overset{ { \white{ _. } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left(\overrightarrow{C K},\overrightarrow{CL}\right)=\dfrac{\pi}{3}} } }$

Nous en déduisons que les points   $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega , C , K }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { L }$ sont cocycliques.

4. d) Soit   $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ un point de   $\Gamma$ différent de    $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega, }$ et   $\overset{ { \white{ . } } } { M' = s(M). }$
Nous devons montrer que la droite   $\overset{ { \white{ . } } } { (MM') }$ passe par un point fixe à préciser.

Bac Mauritanie 2024 séries M & TMGM : image 1

Pour ce faire, montrons les points   $\overset{ { \white{ . } } } { M, M' }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont alignés.
Calculons l'angle   $\overset{ { \white{o.} } } {\left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DM'}\right).}$

Par la relation de Chasles, nous obtenons : $\overset{ { \white{o.} } } { \left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DM'}\right)=\left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{D\Omega}\right)+\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right) }$
Nous savons que l'image par   $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ du cercle   $\overset{ { \white{ _. } } } {\Gamma }$ de centre   $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ est un cercle   $\overset{ { \white{ . } } } { \Gamma ' }$ de centre   $\overset{ { \white{ . } } } { O' }$ avec   $\overset{ { \white{ . } } } { O'=s(O). }$

Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, alors l'amplitude de l'angle au centre est double de celle de l'angle inscrit.

Dès lors   $\overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O\Omega}\right)=2\,\left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{D\Omega}\right)\;[\pi] }$ et   $\overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)=2\,\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]}$

La similitude directe   $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ conserve les angles orientés.
D'où   $\overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{O\Omega},\overrightarrow{OM}\right)= \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)\;[\pi] }$

Nous obtenons ainsi :

$\left\lbrace\begin{matrix} \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O\Omega}\right)=2\left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{D\Omega}\right)\;[\pi] \\ \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)=2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]\\ \left(\overrightarrow{O\Omega},\overrightarrow{OM}\right)= \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)\;[\pi] \end{matrix}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} {\red{\left(\overrightarrow{O\Omega},\overrightarrow{OM}\right)}}=2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)\;[\pi] \\ {\red{\left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)}}=2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]\\ {\red{\left(\overrightarrow{O\Omega},\overrightarrow{OM}\right)= \left(\overrightarrow{O'\Omega},\overrightarrow{O'M'}\right)\;[\pi] }} \end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que :   $\overset{ { \white{ . } } } {2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)=2\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]}$

Dès lors,

$\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)=\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]\quad\Longrightarrow\quad \vec 0=- \left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)+\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi] \\\phantom{\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)=\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]}\quad\Longrightarrow\quad \left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{D\Omega}\right)+\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)=\overrightarrow {0} \;[\pi] \\\phantom{\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM}\right)=\left(\overrightarrow{D\Omega},\overrightarrow{DM'}\right)\;[\pi]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \left(\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DM'}\right)=\overrightarrow {0} \;[\pi]}$

Il s'ensuit que les points   $\overset{ { \white{ . } } } { M, M' }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont alignés.

Par conséquent, pour tout point   $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ de   $\Gamma$ différent de    $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega, }$ les droites   $\overset{ { \white{ . } } } { (MM') }$ passent par le point fixe   $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$

_{==Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette fiche==}

Publié par malou le 12-04-2025

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