1. a) Justifions que l'équation admet des solutions.
Rappelons le corollaire de Bézout :
L'équation admet des solutions entières si et seulement si
est un multiple de
Les entiers 104 et 17 sont premiers entre eux, soit
De plus, 278 est bien un multiple de 1.
Par conséquent, l'équation admet des solutions.
1. b) Nous devons vérifier que le couple (3, 2) est solution de puis résoudre
Le couple (3, 2) est solution de car
Résolvons
Nous savons que le couple est une solution de l'équation
Donc l'entier 17 divise le produit
Or 17 et 104 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 17 divise
Dès lors, il existe un entier relatif tel que soit
De plus,
Donc, il existe un entier relatif tel que
Montrons que le couple est solution de pour tout entier relatif
En effet,
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est
2. Soit un entier naturel qui s'écrit en base 6 et en base 4.
2. a) Montrons que le couple est solution de
Nous en déduisons que le couple est solution de
2. b) Nous devons déterminer et puis écrire en base 10.
L'écriture de l'entier en base 4 et en base 6 impose les conditions suivantes sur et :
, soit
Nous savons que l'ensemble des solutions de l'équation est
Par conséquent, les valeurs de et solutions de l'équation et vérifiant les conditions sont
Il découle de la question 2. a) que :
3. Soit une solution de Montrons que
Nous avons montré dans la question 1. b) que avec .
Nous en déduisons donc que
Ensuite, nous devons en déduire que
Nous avons :
Or 17 est un nombre premier, 3 est un nombre entier et
Selon le petit théorème de Fermat, nous déduisons que :
Dès lors,
Il s'ensuit que :
Par conséquent,
3 points
exercice 2
Pour tout entier naturel on pose
1. Montrons que la suite est décroissante et positive.
Pour tout entier naturel
Pour tout réel
D'où la suite est décroissante.
De plus,
D'où la suite est positive.
2. Montrons que et que
Pour tout entier naturel
Calculons
D'où
Il s'ensuit que
De plus, nous savons par la question 1. que soit que
Dès lors,
Nous savons également par la question 1. que la suite est décroissante.
Nous obtenons alors :
Par conséquent,
3. a) Montrons que
En utilisant le résultat de la question 2), nous obtenons :
Nous en déduisons que pour tout
3. b) Nous devons vérifier que pour tout puis en déduire
Pour tout
D'où
Par conséquent,
Nous en déduisons que
3. c) Nous devons déterminer
Nous savons par la question 3. a) que
Dès lors, nous obtenons les égalités suivantes :
Additionnons ces égalités membre à membre et supprimons les termes identiques dans les deux membres.
Nous obtenons alors :
Par conséquent,
5 points
exercice 3
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé
Pour tout nombre complexe
, on pose :
1. a) Nous devons calculer
puis déterminer les complexes et
tels que
Le polynôme est donc divisible par
Calculons le quotient de par selon la méthode de Horner.
Dès lors, et
Le quotient est le polynôme
Par conséquent,
1. b) Nous devons résoudre dans l'équation
L'ensemble des solutions dans de l'équation est
On note et les solutions de cette équation avec
Donc, les solutions dans de l'équation sont :
2. On considère les points et d'affixes respectives et
2. a) Plaçons les points et (voir le graphique de la question 3. c)
2. b) Montrons que le point d'affixe 6 est le barycentre de
Par conséquent, le point d'affixe 6 est le barycentre de
3. On définit l'ellipse dont et sont deux sommets et est un foyer.
3. a) Nous devons reconnaître l'axe focal de et en déduire que est un troisième sommet de
Nous avons les sommets et et le foyer
L'axe focal passe par le foyer et par au moins un des sommets ou
Les abscisses des points et étant égales à 2, l'axe focal de est la droite d'équation
Le point n'appartient pas à l'axe focal
Donc un troisième sommet de l'ellipse est le symétrique de par rapport à la droite
La distance entre le point et l'axe est égale à 4.
L'abscisse du troisième sommet de l'ellipse est donc égale à 2 + 4 = 6.
Dès lors, le symétrique du point d'affixe -1 est le point d'affixe 6, soit le point
Par conséquent, est un troisième sommet de
3. b) Précisons le centre et le quatrième sommet de
Le centre de est le milieu du segment
Son affixe est
Les coordonnées du centre de sont donc
Le quatrième sommet de est le symétrique du sommet par rapport au centre , soit le point d'affixe , soit le point de coordonnées
3. c) Nous devons justifier que est une équation de puis construire
L'équation réduite de l'ellipse dont le centre est le point de coordonnées , dont la longueur du demi-axe parallèle à l'axe des abscisses est et dont la longueur du demi-axe parallèle à l'axe des ordonnées est est de la forme
Nous avons montré que les coordonnées du centre de sont
D'où
De plus, et
L'équation réduite de l'ellipse est , soit
Représentation graphique de
4 points
exercice 4
On considère la fonction définie par :
1. a) Nous devons montrer que et interpréter graphiquement.
Par conséquent,
Interprétation graphique : La courbe admet une asymptote horizontale en d'équation :
1. b) Nous devons montrer que et interpréter graphiquement.
Par conséquent,
Interprétation graphique : La courbe admet une asymptote horizontale en d'équation :
1. c) Nous devons dresser le tableau de variation de
La fonction est dérivable sur
Pour tout
Puisque l'exponentielle est strictement positive ainsi que le dénominateur (en tant que carré), le signe
de est le signe de
Nous pouvons alors dresser le tableau de variation de
2. Soit la restriction de sur
2. a) Montrons que réalise une bijection de sur un intervalle à déterminer.
La fonction est continue et strictement décroissante sur
Dans ce cas, réalise une bijection de sur l'intervalle
D'où la fonction réalise une bijection de sur l'intervalle
2. b) Dressons le tableau de variation de ( étant la réciproque de ).
Le tableau de variation de la fonction sur est le suivant :
Dès lors, le tableau de variation de la fonction sur est le suivant :
3. a) Déterminons une équation de la tangente à la courbe représentative au point d'abscisse
L'équation de cette tangente est de la forme soit de la forme
Or
D'où une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est
3. b) Construisons la courbe et la courbe de dans le repère
4. Soit l'aire de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses et les droites d'équations et
L'aire est donnée par :
Montrons que
La fonction est continue sur l'intervalle
Nous avons montré dans la question 1. c) que est strictement décroissante sur l'intervalle
Le minimum de sur est égal à
Le maximum de sur est égal à
Dès lors, nous obtenons : pour tout
En vertu de l'inégalité de la moyenne, nous obtenons : ,
soit
Par conséquent, nous venons de montrer que
5 points
exercice 5
Soit un triangle isocèle en tel que
On note le milieu de et
Soient et les milieux respectifs de et
On note le cercle circonscrit à
1. Figure représentant les données de l'exercice.
2. a) Montrons qu'il existe un unique déplacement tel que et
Dans le triangle isocèle en la médiane est également bissectrice de l'angle et médiatrice de
Il s'ensuit que et que les droites et sont perpendiculaires.
Dans le triangle rectangle en
D'où
Nous en déduisons qu'il existe un unique déplacement transformant en et en
2. b) Nous devons vérifier que est une rotation et en déterminer l'angle et le centre.
D'où est une rotation.
L'angle de est
Déterminons le centre de
Les médiatrices de et de sont égales à la droite
Dès lors, le centre de est le point d'intersection des droites et soit le point
Par conséquent, est une rotation d'angle et de centre
3. Soit l'isométrie plane telle que et
3. a) Montrons que est un antidéplacement.
Nous avons montré dans la question 2. a) que les droites et sont perpendiculaires.
Or est le milieu de
Donc est médiatrice de
Nous en déduisons que
Dès lors, le triangle est isocèle en
De plus
Il s'ensuit que le triangle est équilatéral.
D'où
De même, le triangle est équilatéral.
D'où
Par conséquent, il existe un unique antidéplacement transformant en en et en
3. b) Nous devons justifier que est une symétrie glissante, puis donner sa forme réduite.
La médiatrice de est différente de la médiatrice de
La médiatrice de est différente de la médiatrice de
Par conséquent, est une symétrie glissante.
Déterminons sa forme réduite.
Par définition, et
Posons :
Nous obtenons alors :
Dès lors, , soit
D'autre part, puisque , le milieu de appartient à
et puisque , le milieu de appartient à
D'où
En conclusion,
4. Soit la similitude directe qui transforme en et en
4. a) Nous devons déterminer le rapport et un angle de
Le rapport de est donné par
Nous avons montré dans la question 3. a) que le triangle est équilatéral.
Dès lors,
D'où, le rapport de est égal à
L'angle de est donné par
D'où, l'angle de est égal à
4. b) Nous devons montrer que le centre de appartient à
Rappelons la proposition suivante : Soit la similitude transformant en avec et
Si les droites et sont sécantes en , alors le centre de est le point, autre que commun aux cercles et
Dans cette question, les droites et sont sécantes en
Alors le centre de est le point, autre que commun au cercle et à un autre cercle passant par les points et
Or le cercle est le cercle
Par conséquent, le centre de appartient à
4. c) Nous devons déterminer et en déduire que et sont cocycliques.
Le point est le milieu de
Or toute similitude de rapport strictement positif conserve les milieux.
Dès lors, est le milieu de
Par conséquent,
Nous devons en déduire que et sont cocycliques.
Or
Nous en déduisons que les points et sont cocycliques.
4. d) Soit un point de différent de et
Nous devons montrer que la droite passe par un point fixe à préciser.
Pour ce faire, montrons les points et sont alignés.
Calculons l'angle
Par la relation de Chasles, nous obtenons :
Nous savons que l'image par du cercle de centre est un cercle de centre avec
Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, alors l'amplitude de l'angle au centre est double de celle de l'angle inscrit.
Dès lors et
La similitude directe conserve les angles orientés.
D'où
Nous obtenons ainsi :
Nous en déduisons que :
Dès lors,
Il s'ensuit que les points et sont alignés.
Par conséquent, pour tout point de différent de les droites passent par le point fixe
==Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette fiche==
Publié par malou
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