Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Mathématiques Sénégal 2024

Séries S2-S2A-S4-S5

Durée : 4 heures

Coefficient : 5

Epreuve du 1^er groupe 5 points

exercice 1

1. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(0; \overrightarrow i, \overrightarrow j)$ , on considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_A = -3i$ , $z_B = -2$ et $z_C = 1 + 2i$ .

a. Déterminer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}$ .

b. En déduire la nature du triangle $ABC$ .

c. Déterminer l'affixe $z_D$ du point D tel que le quadrilatère $BADC$ soit un carré.

d. Montrer que les points $A, B, C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

2. On considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ où $x, y, x'$ et $y'$ sont des réels.

Soit $S$ l'application du plan dans le plan d'expression analytique :

$\begin{cases} x' = x - y + 2 \\ y' = x + y - 1 \end{cases}$

a. Montrer que l'écriture complexe de $S$ est : $z' = (1 + i)z + 2 - i$ .

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $S$ .

c. Déterminer l'image par $S$ de la droite $( D )$ d'équation $x + y + 1 = 0$ .

d. Déterminer l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $|(1 + i)z + 2 - i| = 2.$

5 points

exercice 2

1. Une entreprise fabrique des articles dans deux unités de production notées $U_1$ et $U_2$ . L'unité $U_1$ assure 60% de la production.
On a constaté que :

$\circ\quad$ 3% des articles provenant de l'unité $U_1$ présentent un défaut de fabrication.

$\circ\quad$ 8% des articles provenant de l'unité $U_2$ présentent un défaut de fabrication.

L'entreprise envisage de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 82% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 4% des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente.

L'entreprise souhaite que moins de 1% des articles vendus soient défectueux.

A l'aide des informations ci-dessus et des outils mathématiques au programme :

1. Démontrer que 5% des articles produits présentent un défaut de fabrication.

2. En prenant au hasard un article fabriqué, montrer que la chance que cet article soit mis en vente après contrôle est de 0,921.

3. Vérifier si ce contrôle permet à l'entreprise de réaliser son souhait.

10 points

probleme

PARTIE A

1. Pour tout $x < 0$ , on pose : $u(x) = x + 1 - e^{-x}$ .

Étudier le signe de $1 - e^{-x}$ pour $x < 0$ .

En déduire que pour tout $x < 0, \, u(x) < 0$ .

2. Pour tout $x > 0$ , on pose : $v(x) = x - 1 - \ln x$ .

a. Dresser le tableau de variations de $v$ .

b. En déduire le signe de $v(x)$ pour $x > 0$ .

PARTIE B

Soient $f$ la fonction définie par

$f(x) = \begin{cases} xe^x - x - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - 1 - 2x \ln x & \text{si } x > 0 \end{cases}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(0; \overrightarrow i, \overrightarrow j)$ d'unité 1 cm.

1. a Montrer que l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}$ .

b. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .

c. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = -x - 1$ est asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$ .

Préciser la position de $(C_f)$ par rapport à $(D)$ sur $]-\infty, 0[$ .

d. Étudier la nature de la branche infinie de $(C_f)$ en $+\infty$ .

2. a. Étudier la continuité de $f$ en 0.

b. Étudier la dérivabilité de $f$ en 0.

Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

3. a. Montrer que pour tout $x < 0$ , $f'(x) = u(x)e^x$ .

En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]-\infty, 0[$ .

b. Montrer que pour tout $x > 0$ , $f'(x) = 2v(x)$ .

En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]0, +\infty[$ .

c. Dresser le tableau de variations de $f$ .

4. Tracer $(D)$ et $(C_f)$ dans le plan muni du repère $(0; \overrightarrow i, \overrightarrow j)$

5. a. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]0,+\infty[$ . Montrer que $g$ admet une bijection réciproque $g^{-1}$ dont on précisera l'ensemble de définition et le sens de variations.

b. Tracer la courbe représentative $(C_{g^{-1}})$ de $g^{-1}$ dans le plan muni du repère $(0; \overrightarrow i, \overrightarrow j)$ .

6. Soit $\lambda$ un réel strictement négatif.

a. Exprimer l'aire $A(\lambda)$ en fonction de $\lambda$ de la partie du plan délimitée par les droites d'équations $x = \lambda, \, x = 0, \, y = -x - 1$ et la courbe $(C_f)$ .

b. En déduire $\displaystyle\lim_{\lambda \to -\infty} A(\lambda)$ .

Voir la correction

Bac Sénégal 2024 série S2-S2A-S4-S5

5 points

exercice 1

1. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{_. } } } { (O; \overrightarrow i, \overrightarrow j) , }$ on considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { C }$ d'affixes respectives : $\overset{ { \white{ . } } } { z_A = -3\text i , z_B = -2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { z_C = 1 + 2\text i . }$

1. a) Nous devons déterminer le module et un argument du quotient $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B} . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons le module de $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B} . }$

${ \white{ xxi } }$ $\left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|=\left|\dfrac{1+2\text i-(-2)}{-3\text i-(-2)}\right| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|}=\left|\dfrac{1+2\text i+2}{-3\text i+2}\right| } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|}=\left|\dfrac{3+2\text i}{-3\text i+2}\right| } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|}=\left|\dfrac{\text i(-3\text i+2)}{-3\text i+2}\right| } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|}=\left|\text i\right|=1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|=1}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons l'argument de $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B} . }$

${ \white{ xxi } }$ $\arg\left(\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right)=\arg\left(\text i\right)=\dfrac{\pi}{2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\arg\left(\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right)=\dfrac{\pi}{2}}$

1. b) Nous devons en déduire la nature du triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|=1\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\left|z_C - z_B\right|}{\left|z_A - z_B\right|}=1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|=1} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{BC}{BA}=1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|=1} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{BC=BA}}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\arg\left(\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right)=\dfrac{\pi}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right)=\dfrac{\pi}{2}}$

Nous en déduisons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC}$ est rectangle isocèle en B.

1. c) Nous devons déterminer l'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z_D }$ du point $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { D }$ tel que le quadrilatère $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { BADC }$ soit un carré.

Pour que $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { BADC }$ soit un carré, il faut et il suffit que $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { D }$ soit le symétrique de $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { B }$ par rapport au milieu de $\overset{ { \white{ . } } } { [AC]. }$
Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_D+z_B}{2}=\dfrac{z_A+z_C}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D+z_B=z_A+z_C \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D+z_B}{2}=\dfrac{z_A+z_C}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=z_A+z_C-z_B} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D+z_B}{2}=\dfrac{z_A+z_C}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad z_D=-3\text i+1+2\text i-(-2)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D+z_B}{2}=\dfrac{z_A+z_C}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_D=3-\text i}}$

1. d) Montrons que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B, C }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { D }$ appartiennent à un même cercle.

Le quadrilatère $\overset{ { \white{ . } } } { BADC }$ est un carré.
Il est donc inscriptible dans un cercle dont le centre $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \Omega }$ est le milieu de la diagonale $\overset{ { \white{ . } } } { [AC] }$ et dont le rayon $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \frac 12 AC. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z_{\Omega} }$ du centre $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega . }$

${ \white{ xxi } }$ $z_{\Omega}=\dfrac{z_A+z_C}{2} \\\overset{ { \white{ P. } } } { \phantom{ z_{\Omega}}=\dfrac{-3\text i + 1 + 2\text i}{2} } \\\overset{ { \white{ P. } } } { \phantom{ z_{\Omega}}=\dfrac{ 1 -\text i}{2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_{\Omega}=\dfrac 12-\dfrac 12\text i}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le rayon $\overset{ { \white{ . } } } { r. }$

${ \white{ xxi } }$ $r= \dfrac {AC}{2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r }=\dfrac{|z_C-z_A|}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r }=\dfrac{|1+2\text i-(-3\text i)|}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r }=\dfrac{|1+5\text i|}{2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ r }=\dfrac{\sqrt{1^2+5^2}}{2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ r }=\dfrac{\sqrt{26}}{2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{r=\dfrac{\sqrt{26}}{2} }$

2. On considère les points $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { M' }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { z = x + \text iy }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { z' = x' + \text iy' }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { x, y, x' }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { y' }$ sont des réels.

Soit $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { S }$ l'application du plan dans le plan d'expression analytique : $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} x' = x - y + 2 \\ y' = x + y - 1 \end{cases} }$

2. a) Montrer que l'écriture complexe de $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { S }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { z' = (1 + i)z + 2 - \text i . }$

Pour tous réels $\overset{ { \white{ P. } } } { x,\, y , }$

${ \white{ xxi } }$ $(1 + \text i)z + 2 -\text i =(1 + \text i)(x + \text i y) + 2 - \text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (1 + \text i)z + 2 - i }=x + \text iy + \text ix - y + 2 -\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (1 + \text i)z + 2 - i }=x - y + 2 + \text iy + \text ix - \text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (1 + \text i)z + 2 - i }=(x - y + 2) +\text i (y + x - 1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (1 + \text i)z + 2 - i }=x' +\text i y' } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (1 + \text i)z + 2 - i }=z'} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z'=(1 + \text i)z + 2 -\text i }$

2. b) Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { S }$ .

L'écriture complexe de $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { S }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { z' = az + b }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { a = 1 + \text i \neq 0. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { S }$ est une similitude plane directe.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z_{\Omega} }$ du centre $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \Omega }$ de la similitude.

${ \white{ xxi } }$ $z_{\Omega}=(1 + \text i)z_{\Omega} + 2 -\text i\quad\Longleftrightarrow\quad z_{\Omega}=z_{\Omega} + \text iz_{\Omega} + 2 -\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_{\Omega}=(1 + \text i)z_{\Omega} + 2 -\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad \text iz_{\Omega} =\text i}-2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_{\Omega}=(1 + \text i)z_{\Omega} + 2 -\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad -\text i(\text iz_{\Omega}) =-\text i(\text i-2)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_{\Omega}=(1 + \text i)z_{\Omega} + 2 -\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad z_{\Omega} =1+2\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_{\Omega}=(1 + \text i)z_{\Omega} + 2 -\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_{\Omega} =z_C}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le rapport $\overset{ { \white{ _{_.} } } } {k }$ de la similitude.

${ \white{ xxi } }$ $k=|a| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k } =| 1 + \text i|} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k } =\sqrt{1^2+1^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k } =\sqrt 2} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{k=\sqrt 2}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'angle $\overset{ { \white{ _{_.} } } } {\theta }$ de la similitude.

${ \white{ xxi } }$ $\theta=\arg(a) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \theta } =\arg(1 + \text i)} \\\\\text{Or }\quad 1+\text i=\sqrt2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt2}\,\text i\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad 1+\text i }= \sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\,\text i\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad 1+\text i }= \sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin\dfrac{\pi}{4}\,\text i\right) } \\\\\Longrightarrow\quad \arg(1+\text i)=\dfrac{\pi}{4} \\\\\text{D'où }\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { S }$ est une similitude plane directe de centre $\overset{ { \white{ . } } } { C, }$ de rapport $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \sqrt 2 }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\pi}{4}. }$

2. c) Déterminons l'image par $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { S }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ d'équation $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { x + y + 1 = 0 . }$

Dans l'équation de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D) , }$ remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ p. } } } { y }$ par leurs valeurs tirées de l'expression analytique de $\overset{ { \white{ . } } } { S. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} x' = x - y + 2 \\ y' = x + y - 1 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} y' + x' = (x + y - 1)+( x - y+ 2) \\ y' - x' = (x + y - 1)-( x - y+ 2) \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x' = x - y + 2 \\ y' = x + y - 1 \end{cases}} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} y' + x' =x + y - 1 + x - y+ 2 \\ y' - x' = x + y - 1 - x + y- 2 \end{cases} }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x' = x - y + 2 \\ y' = x + y - 1 \end{cases}} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} y' + x' = 2x+1\\ y' - x' = 2y - 3 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x' = x - y + 2 \\ y' = x + y - 1 \end{cases}} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} 2x = y' + x' - 1\\ 2y = y' - x' + 3 \end{cases} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x' = x - y + 2 \\ y' = x + y - 1 \end{cases}} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}x =\frac 12( y' + x' - 1)\\ y =\frac 12( y' - x' + 3) \end{cases} }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{D'où }\quad x + y + 1 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 12( y' + x' - 1)+\dfrac 12( y' - x' + 3)+1=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad x + y + 1 = 0 } \quad\Longleftrightarrow\quad ( y' + x' - 1)+( y' - x' + 3)+2=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad x + y + 1 = 0 } \quad\Longleftrightarrow\quad 2y' +4=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad x + y + 1 = 0 } \quad\Longleftrightarrow\quad y'=-2}$

Par conséquent, l'image par $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { S }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ d'équation $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { x + y + 1 = 0}$ est la droite d'équation $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { y=-2.}$

2. d) Déterminons l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { M }$ dont l'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ vérifie : $\overset{ { \white{ . } } } { \big|(1 + i)z + 2 - \text i\big| = 2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\big|(1 + i)z + 2 - \text i\big| = 2\quad\Longleftrightarrow\quad \left|(1 + i)\Big(z + \dfrac{2 - \text i}{1+\text i}\Big)\right| = 2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \big|(1 + i)z + 2 - \text i\big| = 2}\quad\Longleftrightarrow\quad |1 + i|\left|z + \dfrac{2 - \text i}{1+\text i}\right| = 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \big|(1 + i)z + 2 - \text i\big| = 2}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{1^2+1^2}\left|z + \dfrac{(2 - \text i)(1-\text i)}{(1+\text i)(1-\text i)}\right| = 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \big|(1 + i)z + 2 - \text i\big| = 2}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{2}\left|z + \dfrac{2-2\text i-\text i-1}{1+1}\right| = 2 }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \big|(1 + i)z + 2 - \text i\big| = 2}\quad\Longleftrightarrow\quad \left|z + \dfrac{1-3\text i}{2}\right| = \sqrt 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \big|(1 + i)z + 2 - \text i\big| = 2}\quad\Longleftrightarrow\quad \left|z -\left(- \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\text i\right)\right| = \sqrt 2 }$

Soit $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { N }$ le point dont l'affixe est $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { - \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\text i. }$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { \left|z -\left(- \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\text i\right)\right| = \sqrt 2 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{MN=\sqrt 2} }$ .

Nous en déduisons que l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { M }$ dont l'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ vérifie : $\overset{ { \white{ . } } } { \big|(1 + i)z + 2 - \text i\big| = 2 }$ est le cercle dont le centre est $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { N }$ d'affixe $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { - \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\text i }$ et dont le rayon est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt 2 }$

5 points

exercice 2

Une entreprise fabrique des articles dans deux unités de production notées $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { U_2. }$
L'unité $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ assure 60% de la production.
On a constaté que :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 3% des articles provenant de l'unité $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ présentent un défaut de fabrication.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 8% des articles provenant de l'unité $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ présentent un défaut de fabrication.

Soit les événements suivants :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { U_1: }$ l'article provient de l'unité $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { U_2: }$ l'article provient de l'unité $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { D: }$ l'article présente un défaut de fabrication
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { \overline D: }$ l'article ne présente aucun défaut de fabrication

Traduisons la situation décrite par l'énoncé à l'aide d'un arbre de probabilité.

Bac Sénégal 2024 série S2-S2A-S4-S5 : image 5

1. Nous devons démontrer que 5% des articles produits présentent un défaut de fabrication.

Nous devons donc déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(D). }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{U_1}$ et $\overset{{\white{_.}}}{U_2}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(D)=P(U_1\cap D)+P(U_2\cap D) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=P(U_1)\times P_{U_1}(D)+P(U_2)\times P_{U_2}(D)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,6\times 0,03+0,4\times 0,08} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,018+0,032} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,05} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D)=0,05}$

D'où, 5% des articles produits présentent un défaut de fabrication.

2. En prenant au hasard un article fabriqué, montrons que la chance que cet article soit mis en vente après contrôle est de 0,921.

L'entreprise envisage de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente.
Ce contrôle détecte et élimine 82% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 4% des articles non défectueux.
Les articles non éliminés sont alors mis en vente.

Soit les événements suivants :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { D: }$ l'article présente un défaut de fabrication
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { \overline D: }$ l'article ne présente aucun défaut de fabrication
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { V: }$ l'article est mis en vente après contrôle
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { \overline V: }$ l'article n'est pas mis en vente après contrôle

Traduisons la situation décrite par l'énoncé à l'aide d'un arbre de probabilité.

Bac Sénégal 2024 série S2-S2A-S4-S5 : image 2

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { P(V). }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{D}$ et $\overset{{\white{}}}{\overline D}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(V)=P(D\cap V)+P(\overline D\cap V) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V)}=P(D)\times P_{D}(V)+P(\overline D)\times P_{\overline D}(V)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V)}=0,05\times 0,18+0,95\times 0,96} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(V)}=0,921} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(V)=0,921}$

D'où, en prenant au hasard un article fabriqué, la chance que cet article soit mis en vente après contrôle est de 0,921.

3. Vérifions que l'entreprise souhaite que moins de 1% des articles vendus soient défectueux.

La probabilité qu'un article vendu soit défectueux se détermine par $\overset{ { \white{ . } } } { P(D\cap V). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(D\cap V)=P(D)\times P_{D}(V) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(D\cap V)}=0,05\times 0,18 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(D\cap V)}=0,009 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(D\cap V)=0,009=0,9\,\% }$

D'où la probabilité qu'un article vendu soit défectueux est égale à 0,9%.
Cette probabilité est inférieure à 1%.

Par conséquent, le contrôle permet de réaliser le souhait de l'entreprise.

10 points

probleme

Partie A

1. Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x < 0 , }$ on pose : $\overset{ { \white{ . } } } { u(x) = x + 1 - e^{-x} . }$

Nous devons étudier le signe de $\overset{ { \white{ _{_.}} } } { 1 - e^{-x} }$ pour $\overset{ { \white{ . } } } { x < 0 . }$

${ \white{ xxi } }$ $x<0\quad\Longrightarrow\quad -x>0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x<0 } \quad\Longrightarrow\quad \text e^{-x}>\text e^0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x<0 } \quad\Longrightarrow\quad \text e^{-x}>1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x<0 } \quad\Longrightarrow\quad -\text e^{-x}<-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x<0 } \quad\Longrightarrow\quad 1-\text e^{-x}<0 }$

D'où $\overset{ { \white{ _{_.}} } } { 1 - e^{-x} < 0 }$ pour $\overset{ { \white{ . } } } { x < 0 . }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} x<0\\1- \text e^{-x}<0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad x+ 1- \text e^{-x}<0 \quad\Longrightarrow\quad u(x)<0}$

Par conséquent, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x<0,\quad u(x)<0. }$

2. Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0, }$ on pose : $\overset{ { \white{ . } } } { v(x) = x - 1 - \ln x . }$

2. a) Nous devons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { v. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ M. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}v(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}(x-1)=-1\\ \lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}(x-1-\ln x)=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}(x-1)=-1\\ \lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty \end{cases} } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \lim\limits_{x\to 0^+}v(x)=+\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ M. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}v(x). }$
Remarquons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad \boxed{v(x)=x\left(1-\dfrac 1x-\dfrac{\ln x}{x}\right)} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac 1x=0\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac {\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) } \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac 1x-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac 1x=0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac {\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) } \end{cases} } \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}x\left(1-\dfrac 1x-\dfrac{\ln x}{x}\right)=+\infty} \\\text{D'où }\quad \boxed{ \lim\limits_{x\to +\infty}v(x)=+\infty}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions la croissance de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { v. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { v }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty\,[. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0, }$

${ \white{ xxi } }$ $v'(x)=(x-1-\ln x)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{v'(x)} =1-\dfrac 1x } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{v'(x)} =\dfrac {x-1}{x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]\,0\;;\;+\infty\,[,\quad v'(x)=\dfrac{x-1}{x}}$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { x > 0, }$ le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { v'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { x-1. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } x-1>0\Longleftrightarrow x>1\\\overset{ { \white{ . } } } { x-1=0\Longleftrightarrow x=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { x-1<0\Longleftrightarrow x<1}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|cccccccc|}\hline &&&&&&&&\\x&0&&&1&&&&+\infty\\ &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&&\\x-1&||&-&-&0&+&+&&&&||&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&&\\v'(x)&||&-&-&0&+&+&&\\&||&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous pouvons dresser le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { v. }$

${ \white{ WWWWW} }$ $\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline &&&&&&&&\\x&0&&&1&&&&+\infty\\ &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&&\\v'(x)&||&-&-&0&+&+&&&&||&&&&&&&\\\hline&\phantom{WW}||+\infty&&&&&&&+\infty\\v&||&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow&&\\&||&&&0&&&&\\\hline \end{array}$

2. b) Nous devons en déduire le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { v(x) }$ pour $\overset{ { \white{ . } } } { x > 0 . }$

Nous observons dans le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { v, }$ que cette fonction admet un minimum égal à 0 sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;+\infty[. }$

D'où pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad v(x) \geq 0. }$

Partie B

Soient $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ la fonction définie par $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) = \begin{cases} xe^x - x - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - 1 - 2x \ln x & \text{si } x > 0 \end{cases} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O; \overrightarrow i, \overrightarrow j) }$ d'unité 1 cm.

1. a) Montrons que l'ensemble de définition de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R. }$

$\overset{ { \white{ . } } } { f(x) }$ existe et est réel si et seulement si $\overset{ { \white{ . } } } { x\leq 0 }$ ou $\overset{ { \white{ . } } } { x>0, }$ soit si et seulement si $\overset{ { \white{ } } } { x \in\R. }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{D_f=\R} \,. }$

1. b) Nous devons étudier les limites de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty }$ et en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ M. } } } { \lim\limits_{x\to -\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty}x\text e^x =0\quad(\text{croissances comparées})\\ \lim\limits_{x\to -\infty}(-x-1)=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty}(x\text e^x -x-1)=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty}x\text e^x =0\quad(\text{croissances comparées})\\ \lim\limits_{x\to -\infty}(-x-1)=+\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty }}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ M. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x). }$

Remarquons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad \boxed{f(x)=x^2\left(1-\dfrac {1}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}\right)} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac {1}{x^2}=0\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac {\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) } \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac {1}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}\right)=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac 1x=0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac {\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) } \end{cases} } \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}x^2\left(1-\dfrac {1}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}\right)=+\infty} \\\text{D'où }\quad \boxed{ \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$

1. c) Nous devons montrer que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y = -x - 1 }$ est asymptote à $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty . }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to -\infty}\Big(f(x)-(-x-1)\Big)=\lim\limits_{x\to -\infty}x\,\text e^x \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to -\infty}\Big(f(x)-(-x-1)\Big)}=0\quad\text{(croissances comparées)} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to -\infty}\Big(f(x)-(-x-1)\Big)=0}$

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y = -x - 1 }$ est asymptote à $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { -\infty . }$

De plus, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {{\red{x<0}},\quad f(x)-(-x-1)=x\,\text e^x<0. }$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ est en dessous de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

1. d) Nous devons étudier la nature de la branche infinie de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty. }$

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty . }$

Calculons $\overset{ { \white{ } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}. }$

Remarquons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad \boxed{\dfrac{f(x)}{x}=x\left(1-\dfrac {1}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}\right)} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac {1}{x^2}=0\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac {\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) } \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac {1}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}\right)=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac 1x=0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac {\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) } \end{cases} } \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}x\left(1-\dfrac {1}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}\right)=+\infty} \\\text{D'où }\quad \boxed{ \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Par conséquent, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty . }$

2. a) Étudions la continuité de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en 0.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $f(0)=0\times\text e^0-0-1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=-1}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-} (xe^x - x - 1) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\lim\limits_{x\to 0^-} f(x) } =0\times\text e^0-0-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\lim\limits_{x\to 0^-} f(x) } =-1 } \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=-1}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+} (x^2-1+2x\ln x) \\\\\phantom{W}\text {Or }\quad \begin{cases} \lim\limits_{x\to 0^+}(x^2-1)=-1\\\lim\limits_{x\to 0^+} 2x\ln x=0\quad(\text{croissances comparées}) \end{cases} \\\\\phantom{W}\text{D'où }\quad \lim\limits_{x\to 0^+} (x^2-1+2x\ln x)=-1 \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-1}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-1=f(0)} }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue en 0.

2. b) Étudions la dérivabilité de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ en 0.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions la dérivabilité de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ à gauche en 0.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{xe^x - x - 1-(-1)}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=\lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{xe^x - x}{x} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=\lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{x(e^x -1)}{x} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=\lim\limits_{x\to 0^-} (e^x -1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=e^0 -1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=0}$

D'où la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable à gauche en 0.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions la dérivabilité de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ à droite en 0.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x^2-1-2x\ln x-(-1)}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x^2-2x\ln x}{x} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x(x-2\ln x)}{x} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=\lim\limits_{x\to 0^+} (x-2\ln x)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}}=+\infty} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=+\infty}$

D'où la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ n'est pas dérivable à droite en 0.

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ n'est pas dérivable en 0.

Interprétation graphique

La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ admet le point (0 ; -1) comme point d'arrêt.
En ce point, la demi-tangente à gauche est horizontale et la demi-tangente à droite est verticale.

3. a) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x < 0 , f'(x) = u(x)e^x . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x < 0, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(x\,\text e^x-x-1)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =(x\,\text e^x)'-1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =1\times\text e^x+x\times (\text e^x)'-1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =\text e^x+x\times \text e^x-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =(1+x-\text e^{-x})\,\text e^x } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =u(x)\,\text e^x } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x<0,\quad f'(x)=u(x)\,\text e^x }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\;;\;0[ }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { u(x) }$
Or nous avons montré dans la question 1. - Partie A que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x<0,\quad u(x)<0. }$
Par conséquent, pour tout pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x<0,\quad f'(x)<0. }$

3. b) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x > 0 , f'(x) = 2v(x) . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x > 0, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(x^2-1-2x\ln x)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =2x-(2x\,\ln x)' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} = 2x-\left(2\times \ln x+2x\times\dfrac 1x\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =2x-(2\ln x +2)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =2x-2\ln x -2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =2(x-\ln x -1)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)} =2\,v(x) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\quad f'(x)=2\,v(x) }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ est le signe de $\overset{ { \white{ . } } } { v(x) }$
Or nous avons montré dans la question 2. b) - Partie A que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad v(x) \ge 0. }$
Par conséquent, pour tout pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad f'(x)\ge 0. }$

3. c) Dressons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

${\white{WWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&0&&+\infty\\ &&&&& \\\hline&&&||&&\\f'(x)&&-&||&+&\\&&&||&&\\\hline&+\infty&&&&+\infty\\f&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-1&&\\\hline \end{array}$

4. Traçons $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ dans le plan muni du repère $\overset{ { \white{ . } } } { (O; \overrightarrow i, \overrightarrow j) . }$

Bac Sénégal 2024 série S2-S2A-S4-S5 : image 4

5. a) Soit $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ la restriction de $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { I=\; ]0,+\infty[ . }$
Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ admet une bijection réciproque $\overset{ { \white{ _. } } } { g^{-1} }$ dont on précisera l'ensemble de définition et le sens de variations.

La fonction   $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ est continue et strictement croissante sur   $\overset{ { \white{ . } } } { I=\; ]0,+\infty[. }$
Dans ce cas,   $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ réalise une bijection de    $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sur l'intervalle    $\overset{ { \white{ . } } } { J=g(I)=]-1\;;\;+\infty[. }$

D'où la fonction   $\overset{ { \white{ _. } } } { g }$ admet une bijection réciproque $\overset{ { \white{ _. } } } { g^{-1} }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;+\infty[. }$

De plus, les fonctions $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { g^{-1} }$ sont croissantes dans le même sens.

Dès lors, puisque $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0,+\infty[, }$ la fonction réciproque $\overset{ { \white{ _. } } } { g^{-1} }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;+\infty[. }$

5. b) Traçons la courbe représentative $\overset{ { \white{ . } } } { (C_{g^{-1}}) }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { g^{-1} }$ dans le plan muni du repère $\overset{ { \white{ . } } } { (O; \overrightarrow i, \overrightarrow j) . }$

Bac Sénégal 2024 série S2-S2A-S4-S5 : image 1

6. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { \lambda }$ un réel strictement négatif.

6. a) Nous devons exprimer l'aire $\overset{ { \white{ . } } } { A(\lambda) }$ en fonction de $\overset{ { \white{ _. } } } { \lambda }$ de la partie du plan délimitée par les droites d'équations $\overset{ { \white{ . } } } { x = \lambda, \, x = 0, \, y = -x - 1 }$ et la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) . }$

Nous avons montré dans la question 1. c.) que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ est en dessous de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (D):y=-x-1. }$

Dès lors, l'aire $\overset{ { \white{ . } } } { A(\lambda) }$ (en cm²) est déterminée par :

${ \white{ xxi } }$ $A(\lambda)=\displaystyle\int_{\lambda}^0(-x-1-f(x))\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A(\lambda) }=\displaystyle\int_{\lambda}^0-x\,\text e^x\,\text dx } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A(\lambda) }=\displaystyle\int_0^{\lambda}x\,\text e^x\,\text dx }$

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{\lambda}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{\lambda}- \displaystyle\int\limits_0^{\lambda}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=1 \\\\v'(x)=\text e^{x}\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\text e^{x}\end{matrix}\right.$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_0^{\lambda} x\,\text e^{x}\,\text{d}x=\left[\overset{}{x\,\text e^{x}}\right]_0^{\lambda}-\displaystyle\int_0^{\lambda}1\times\text{e}^{x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiWWW}=\left[\overset{}{x\,\text e^{x}}\right]_0^{\lambda}-\displaystyle\int_0^{\lambda}\text{e}^{x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,\text e^{x}}\right]_0^{\lambda}-\left[\overset{}{\text e^{x}}\right]_0^{\lambda}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=(\lambda\,\text e^{\lambda}-0)-(\text e^{\lambda}-\text e^0)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\lambda\,\text e^{\lambda}-\text e^{\lambda}+1}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{A(\lambda)=(\lambda\,\text e^{\lambda}-\text e^{\lambda}+1)\;\text{cm}^2} }$

6. b) Nous devons en déduire $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\lim_{\lambda \to -\infty} A(\lambda) . }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{\lambda\to-\infty} \lambda\,\text e^{\lambda}=0\quad\text{(croissances comparées)} \\\lim\limits_{\lambda\to-\infty} \text e^{\lambda}=0\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\lambda\to-\infty} (\lambda\,\text e^{\lambda}-\text e^{\lambda}+1)=1$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{\lambda\to-\infty} A(\lambda)=1\;\text{cm}^2} }$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour avoir élaboré cette fiche}

Publié par malou le 17-03-2025

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