b) Déterminer l'autre solution sous forme exponentielle.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct .
Dans la figure 1 de l'annexe ci-jointe, est le cercle de centre O et de rayon 1 et P est un point de d'affixe , où est un réel de
a. Construire le point d'affixe .
b. La tangente à en coupe la droite (OP) au point M d'affixe .
Montrer que .
c. Construire le point N d'affixe .
d. Vérifier que les points M et N sont distincts.
3. a. Montrer que .
b. Montrer que .
c. Pour quelle valeur de , le triangle MNQ est-il rectangle en M ?
5 points
exercice 2
Le plan est orienté dans le sens direct.
Dans la figure 2 de l'annexe ci-jointe, le triangle ABC est isocèle en A tel que
J est le milieu du segment [AC], I est le point tel que ,
et K est le point tel que le triangle AJK est isocèle en A et
Soit R la rotation de centre A et d'angle , h l'homothétie de centre A et de rapport
et S la similitude directe telle que et .
1. Justifier que .
2. a. Déterminer .
b. Vérifier que .
c. Montrer que .
d. En déduire une mesure de l'angle orienté .
3. Soit .
a. Montrer que
b. Déterminer . En déduire que les droites (AB) et (AE) sont perpendiculaires.
c. Construire le point E.
4. Soit g la similitude indirecte telle que et . On note le centre de g.
a. Déterminer le rapport de g.
b. Déterminer . En déduire que est le symétrique de B par rapport à K.
5. Soit F le milieu du segment .
a. Montrer que .
b. Justifier que
c. En déduire que le triangle KEF est équilatéral.
7 points
exercice 3
A/ Soit f la fonction définie sur par .
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1. a. Montrer que
Interpréter graphiquement.
b. Montrer que la droite d'équation est une asymptote à .
2. Montrer que pour tout , .
3. On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction .
a. Montrer que l'équation admet dans l'intervalle une unique solution telle que .
b. En déduire le signe de .
c. Dresser le tableau de variation de . (On précisera et ).
4. Tracer la courbe , (on prendra ).
5.a. Montrer que pour tout ,
b. Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe et les droites d'équations et .
B/ Pour tout entier , on pose
1. a. Justifier que pour tout ,
b. En déduire que pour tout entier ,
2. a. Montrer que pour tout entier ;
b. Montrer que pour tout entier ,
c. Montrer que
d. Déterminer
3,5 points
exercice 4
1. Soit dans l'équation (E) : .
a. Vérifier que est une solution de (E).
b. Résoudre dans l'équation (E).
2. Soit .
a. Déterminer les restes modulo 5 de .
b. Montrer que .
3. On considère dans le système (S):
a. Montrer que est une solution de (S) si et seulement si, il existe
tels que
b. Déterminer les solutions du système (S).
4. Déterminer dans , les solutions de l'équation .
Remplaçons par dans le membre de gauche de et vérifions que la valeur de ce membre est zéro.
D'où vérifie l'équation
Par conséquent, est une solution de
1. b) Nous devons déterminer l'autre solution sous forme exponentielle.
Nous savons que si une équation du second degré admet deux racines distinctes et , alors le produit de ces racines est
Dès lors, si et est l'autre solution de alors nous obtenons :
Écrivons sous forme exponentielle.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
Dans la figure ci-dessous (voir exercice 2. a), est le cercle de centre et de rayon 1 et est un point de d'affixe où est un réel de
2. a) Nous devons construire le point d'affixe
Nous en déduisons que le point est l'image du point par la rotation de centre et d'angle
D'où la construction du point
2. b) La tangente à en coupe la droite au point d'affixe
Montrons que
Déterminons
Nous devons donc déterminer
Dans le triangle rectangle en nous avons :
D'où,
Déterminons
Par conséquent,
2. c) Nous devons construire le point d'affixe
Puisque est un nombre réel, le point appartient à l'axe réel.
De plus,
Dès lors, le point appartient au cercle de centre et de rayon
Par conséquent, le point est le point d'intersection de l'axe réel et du cercle de centre et de rayon
Voir figure à la question 2. a).
2. d) Vérifions que les points et sont distincts.
Rappelons que
De plus, n'est pas un multiple de car est un réel de
Il s'ensuit que
Dès lors,
Nous en déduisons que les points et sont distincts.
3. a) Montrons que
3. b) Montrons que
3. c) Nous devons déterminer pour quelle valeur de le triangle est rectangle en
Nous remarquons que
car
Soit et les affixes respectives des vecteurs et .
Alors, le triangle est rectangle en M si et seulement si
Rappelons que
Par conséquent, le triangle est rectangle en si et seulement si
5 points
exercice 2
Soit le triangle isocèle en tel que est le milieu du segment est le point tel que
et est le point tel que le triangle est isocèle en et
Soit la rotation de centre et d'angle l'homothétie de centre et de rapport
et la similitude directe telle que et
1. Nous devons justifier que
En effet, car l'homothétie et la rotation ont le même centre
2. a) Nous devons déterminer
D'une part, nous avons :
D'autre part,
Nous en déduisons que :
2. b) Nous devons vérifier que
En effet,
2. c) Nous devons montrer que
Considérons les deux points distincts et
Dès lors, puisque les similitudes directes et coïncident sur deux points distincts, nous en déduisons que
2. d) Nous devons en déduire une mesure de l'angle orienté
Nous savons que est la rotation de centre et d'angle que est l'homothétie de centre et de rapport
et que
Donc est la similitude directe de centre de rapport et d'angle
Nous en déduisons que :
3. Soit
3. a) Montrons que
Nous avons montré dans la question précédente que
Or
De plus, la similitude directe conserve les mesures des angles orientés.
D'où
Par conséquent,
3. b) Nous devons déterminer et en déduire que les droites et sont perpendiculaires.
Nous devons en déduire que les droites et sont perpendiculaires.
Nous avons montré dans la question 2. c) que qui est la forme réduite de la similitude directe de centre de rapport et d'angle
Dès lors, est une similitude directe de centre et d'angle soit d'angle
De plus, nous avons montré que
Nous en déduisons que
Par conséquent, les droites et sont perpendiculaires.
3. c) Nous pouvons construire le point en utilisant les réponses aux questions 3. a) et 3. b).
4. Soit la similitude indirecte telle que et On note le centre de
4. a) Déterminons le rapport de
Par définition, nous savons que est la similitude directe telle que et
Nous avons également montré dans la question 2. d) que est la similitude directe de centre et de rapport ce qui signifie que
Par conséquent, le rapport de est égal au rapport de soit à
4. b) Nous devons déterminer et en déduire que est le symétrique de par rapport à
De plus, est la composée de deux similitudes indirectes de centre et de rapport
Il s'ensuit que est une similitude directe de centre et de rapport
D'où
Cela signifie que le point est le milieu du segment
Par conséquent, est le symétrique de par rapport à
5. Soit le milieu du segment
5. a) Montrons que
D'une part, nous savons que est le milieu du segment
D'autre part, nous avons montré dans la question précédente que le point est le milieu du segment
Puisqu'une similitude conserve les milieux, nous en déduisons que est le milieu du segment
Autrement dit, est le milieu du segment
Le milieu de étant unique, nous en déduisons que
5. b) Nous devons justifier que
Nous avons montré dans la question 2. d) que
Or
De plus, la similitude indirecte transforme tout angle en son opposé.
D'où
Par conséquent,
5. c) Nous devons en déduire que le triangle est équilatéral.
Si un triangle est isocèle et possède un angle dont la mesure en radians est , alors ce triangle est équilatéral.
Montrons que le triangle est isocèle de sommet principal
Nous savons que et sont deux similitudes de rapport
Dès lors, et par suite,
Par conséquent, le triangle est isocèle de sommet principal
Montrons que
Utilisons les résultats des questions 3. a) et 5. b).
Nous avons montré que le triangle est isocèle et possède un angle dont la mesure en radians est .
Par conséquent, le triangle est équilatéral.
7 points
exercice 3
Partie A
Soit la fonction définie sur par
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1. a) Nous devons montrer que et déterminer puis interpréter graphiquement.
Pour tout
De plus,
(voir ci-dessus).
D'où
Nous en déduisons que la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de
1. b) Montrons que la droite d'équation est une asymptote à
Calculons
D'où
Par conséquent, la droite d'équation est une asymptote à
2. Montrons que pour tout
3. On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction
3. a) Nous devons montrer que l'équation admet dans l'intervalle une unique solution telle que
La fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle
Elle réalise donc une bijection de sur
Puisque l'équation admet une unique solution
De plus, nous avons :
D'où l'équation admet une unique solution telle que
3. b) Nous devons en déduire le signe de suivant les valeurs de
Complétons le tableau de variation de
Nous pouvons en déduire le signe de suivant les valeurs de
si si si
3. c) Dressons le tableau de variation de (On précisera et ) .
4. Traçons la courbe
5. a) Montrons que pour tout
Pour tout calculons
5. b) Calculons l'aire de la partie du plan limitée par la courbe et les droites d'équations et
Nous savons que la fonction est croissante sur l'intervalle et que
Il s'ensuit que pour tout
Nous en déduisons que :
Partie B
Pour tout entier on pose
1. a) Justifions que pour tout
Le tableau de variation de (voir Partie A - 3. b) montre que est décroissante sur l'intervalle
Des lors, pour tout
Par conséquent, pour tout
1. b) Nous devons en déduire que pour tout entier
D'une part,
Dès lors, pour tout
D'autre part, la fonction est continue sur
Par le théorème de la croissance de l'intégrale, nous obtenons :
2. a) Montrons que pour tout entier
Nous avons montré dans la question 1. b) que
D'où
Or est strictement croissante sur l'intervalle
Il s'ensuit que est strictement croissante sur l'intervalle
Dès lors,
Nous savons par la question précédente que pour tout entier
Nous en déduisons que pour tout entier
soit que pour tout entier
Nous obtenons alors :
Par conséquent, pour tout entier
2. b) Montrons que pour tout entier
Montrons que pour tout entier
Nous avons montré dans la question 5. b) - Partie A que pour tout
Il s'ensuit que pour tout
De plus, la fonction est continue sur l'intervalle
Par conséquent, soit
Montrons que pour tout entier
D'une part, selon la question 2. a) - Partie B, nous savons que pour tout entier
D'autre part, nous savons également que pour tout et en particulier pour tout
Dès lors, pour tout
Puisque la fonction est continue sur nous avons :
D'où
Par conséquent, pour tout entier
2. c) Montrons que
Pour tout
Dès lors,
Calculons
Soit
Nous obtenons alors :
Nous en déduisons que
Par conséquent,
2. d) Nous devons déterminer
Nous avons montré dans la question 2. b) que pour tout entier
Calculons
Pour tout
Nous savons que
Dès lors,
Par le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :
3,5 points
exercice 4
1. Soit dans l'équation
1. a) Nous devons vérifier que est une solution de
En effet,
1. b) Nous devons résoudre dans l'équation
Nous savons que le couple est une solution de l'équation
Donc l'entier 53 divise le produit
Or 53 et 5 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 53 divise
Dès lors, il existe un entier relatif tel que soit
De plus,
Donc, il existe un entier relatif tel que
Montrons que le couple est solution de pour tout entier relatif
En effet,
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est
2. Soit
2. a) Déterminons les restes modulo 5 de
Envisageons les cinq cas possibles pour .
2. b) Nous devons montrer que
Montrons donc que pour tout est divisible par 53.
Donc pour tout est divisible par 53.
Par conséquent,
3. On considère dans le système
3. a) Nous devons montrer que est une solution de si et seulement si, il existe tels que
D'où est une solution de si et seulement si, il existe tels que
3. b) Nous devons déterminer les solutions du système
Montrons que si est une solution de , alors
Nous savons que est une solution de si et seulement si, il existe tels que
Nous en déduisons que soit que
Or nous avons montré dans la question 1. que le couple où est solution de l'équation
Dès lors,
Montrons que si , alors est une solution de
Nous observons que
Nous avons :
Par conséquent, l'ensemble des solutions dans du système est l'ensemble
4. Nous devons déterminer dans les solutions de l'équation
Donc l'ensemble des solutions dans de l'équation est l'ensemble des solutions dans du système .
Par conséquent, l'ensemble des solutions dans de l'équation est l'ensemble
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l'équation
: 2\sqrt{3}z^2 - \left(7-i\sqrt{3}\right)z + 2\sqrt{3}-2i = 0)
.
est une solution de )
.)
.
est le cercle de centre O et de rayon 1 et P est un point de 
, où 
est un réel de ![\overset{ { \white{ . } } } { ]-\pi, \pi[\,\backslash \lbrace 0\rbrace . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { ]-\pi, \pi[\,\backslash \lbrace 0\rbrace . })
d'affixe }{\theta}} )
.
. 
.
.e^{\dfrac{i(\theta - \pi)}{2}} )
.}{3}} )
.
, le triangle MNQ est-il rectangle en M ?![\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6} [2\pi], }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6} [2\pi], })
J est le milieu du segment [AC], I est le point tel que 
,
et K est le point tel que le triangle AJK est isocèle en A et
![\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{AK}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6}\; [2\pi]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{AK}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6}\; [2\pi]. })
, h l'homothétie de centre A et de rapport 
 = I)
et  = K)
.
.)
. = J)
.
.)
.)
.![\overset{ { \white{ } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KE}\right)} \equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi]. } }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KE}\right)} \equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi]. } })
)
. En déduire que les droites (AB) et (AE) sont perpendiculaires. = I)
et  = K)
. On note 
le centre de g.)
. En déduire que ![[I \Omega]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[I \Omega])
.)
.![] - 1, + \infty [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? ] - 1, + \infty [ )
par  = x - (x - 1)\ln(x + 1) )
. )
sa courbe représentative dans un repère orthonormé  })
. = -\infty \quad \text{et déterminer} \quad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}.)
Interpréter graphiquement.
est une asymptote à ![x \in ] - 1, + \infty [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? x \in ] - 1, + \infty [ )
,  = \dfrac{2}{x + 1} - \ln(x + 1) )
.
.
 = 0 )
admet dans l'intervalle 
telle que 
. )
.
. (On précisera  )
et  )
).
).
,
\ln(t+1)dt = \dfrac{1}{2}(x^2 - 2x - 3)\ln(x+1) + \dfrac{1}{4}(6x - x^2).)
de la partie du plan limitée par la courbe 
et 
.
, on pose
\Big)^n\,\text dx. })
![x \in ]-1,1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? x \in ]-1,1] )
,
 \geq 1 - \ln 2.)
 \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}.)
\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n. })
;^n + \dfrac{1}{\sqrt{n}}.)
 = -\infty.)
l'équation (E) : 
. )
est une solution de (E).
.
.^2 = x^2 - x - 13 \ (\text{mod}\ 53) )
.
le système (S):
 \\ x^2 - x \equiv 13 \ (\text{mod}\ 53). \end{cases})
est une solution de (S) si et seulement si, il existe  \in \mathbb{Z}^2 )
tels que 
 )
.
l'équation : 2\sqrt{3}z^2 - \left(7-\text i\sqrt{3}\right)z + 2\sqrt{3}-2\text i = 0 . })
est une solution de . })
par 
dans le membre de gauche de  })
et vérifions que la valeur de ce membre est zéro.^2 - \left(7-\text i\sqrt{3}\right)\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2\sqrt{3}-2\text i =2\sqrt{3}\times\dfrac{4}{3}- \dfrac{14}{\sqrt 3}+2\text i + 2\sqrt{3}-2\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2\sqrt{3}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(7-\text i\sqrt{3}\right)\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2\sqrt{3}-2\text i }=\dfrac{8}{\sqrt 3}- \dfrac{14}{\sqrt 3}+ 2\sqrt{3}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2\sqrt{3}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(7-\text i\sqrt{3}\right)\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2\sqrt{3}-2\text i }= -\dfrac{6}{\sqrt 3}+ 2\sqrt{3}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2\sqrt{3}\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(7-\text i\sqrt{3}\right)\times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2\sqrt{3}-2\text i }=- \dfrac{6\sqrt 3}{ 3}+ 2\sqrt{3}})
^2 - \left(7-\text i\sqrt{3}\right)\times \left(555\right) + 2\sqrt{3}-2\text i }=-2\sqrt{3}+ 2\sqrt{3}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 2\sqrt{3}\times \left(5555\right)^2 - \left(7-\text i\sqrt{3}\right)\times \left(55555\right) + 2\sqrt{3}-2\text i }={\red{0}}} \\ {\white{.}} )
admet deux racines distinctes 
et 
, alors le produit de ces racines est 
et , })
alors nous obtenons : 
 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{2}{\sqrt{3}}\,z_2=\dfrac{2\sqrt 3-2\text i}{2\sqrt 3}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_2=\dfrac{\sqrt 3-\text i}{2}} } )
+\text i\sin\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_2=\dfrac{\sqrt 3-\text i}{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_2=\text e^{-\text i\frac{\pi}{6}}}})
 . })
est le cercle de centre 
et de rayon 1 et 
est un point de 
où 
est un réel de ![\overset{ { \white{ . } } } { ]-\pi, \pi[\,\backslash \lbrace 0\rbrace . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { ]-\pi, \pi[\,\backslash \lbrace 0\rbrace . })
d'affixe } . })
} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_Q } = e^{\text i\theta } e^{-\text i \dfrac{\pi}{6}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_Q } = e^{-\text i \frac{\pi}{6}}z_P } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_Q=e^{- \text i\,\frac{\pi}{6}}z_P } )
est l'image du point 
par la rotation de centre 
et d'angle 
![\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{w}}OP=OQ=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{w}}\widehat{\left(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\right)}=-\dfrac{\pi}{6}\;[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{w}}OP=OQ=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{w}}\widehat{\left(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\right)}=-\dfrac{\pi}{6}\;[2\pi] )
coupe la droite  })
au point 
d'affixe 
Déterminons 
rectangle en 
nous avons : }=\dfrac{OQ}{OM}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{OM} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \cos\widehat{\left(\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OM}\right)}=\dfrac{OQ}{OM}}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\sqrt 3}{2}=\dfrac{1}{OM} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \cos\widehat{\left(\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OM}\right)}=\dfrac{OQ}{OM}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{OM=\dfrac{2}{\sqrt 3}} } )
. })
![\arg(z_M)=\arg(z_P)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\arg(z_M)=\theta\;[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\arg(z_M)=\arg(z_P)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\arg(z_M)=\theta\;[2\pi]} )
d'affixe 
est un nombre réel, le point 
car 
\text e^{\text i\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right)} . })
 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_N }= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos\theta+\text i\sin\theta-1\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_N }= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(-2\sin^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right)+2\text i\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\right) }\quad \text{car}\quad\begin{cases} 1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac{\theta}{2}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \sin\theta=2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)} \end{cases} )
\left(-\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)+\text i\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_N }= \dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\left(\cos\left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_N }= \dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text e^{\text i\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right)} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ z_M - z_N = \dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text e^{\text i\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right)}} )
} . })
![z_M - z_Q = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}-\text e^{i\left(\theta - \dfrac{\pi}{6}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}- \text e^{\text i\,\theta}\text e^{i\left(- \dfrac{\pi}{6}\right)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left(2-\sqrt 3\,\text e^{i\left( -\dfrac{\pi}{6}\right)} \right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[2-\sqrt 3\,\left(\cos(-\dfrac{\pi}{6})+\text i\sin(-\dfrac{\pi}{6})\right) \right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[2-\sqrt 3\,\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}-\dfrac 12\text i\right) \right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? z_M - z_Q = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}-\text e^{i\left(\theta - \dfrac{\pi}{6}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}- \text e^{\text i\,\theta}\text e^{i\left(- \dfrac{\pi}{6}\right)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left(2-\sqrt 3\,\text e^{i\left( -\dfrac{\pi}{6}\right)} \right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[2-\sqrt 3\,\left(\cos(-\dfrac{\pi}{6})+\text i\sin(-\dfrac{\pi}{6})\right) \right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[2-\sqrt 3\,\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}-\dfrac 12\text i\right) \right]} )
![\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[2-\dfrac 32+\text i\dfrac{\sqrt 3}{2} \right]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[\dfrac 12+\text i\dfrac{\sqrt 3}{2} \right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[\cos\dfrac\pi 3+\text i\sin\dfrac \pi 3\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\text e^{\text i\,\frac{\pi}{3}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}e^{i\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_M - z_Q = \dfrac{1}{\sqrt{3}}e^{i\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[2-\dfrac 32+\text i\dfrac{\sqrt 3}{2} \right]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[\dfrac 12+\text i\dfrac{\sqrt 3}{2} \right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\left[\cos\dfrac\pi 3+\text i\sin\dfrac \pi 3\right]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text e^{\text i\,\theta}\text e^{\text i\,\frac{\pi}{3}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_M - z_Q }= \dfrac{1}{\sqrt{3}}e^{i\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_M - z_Q = \dfrac{1}{\sqrt{3}}e^{i\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)}} )
est rectangle en 
} \quad\Longrightarrow\quad |z_M-z_Q|= \dfrac{1}{\sqrt{3}}\phantom{i}{\red{\neq 0}}. })
et 
les affixes respectives des vecteurs 
et 
.
est rectangle en M si et seulement si ![\overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\,. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\,. })
![\text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\quad\Longleftrightarrow\quad \arg\left(\dfrac{z_{\overrightarrow{NM}}}{z_{\overrightarrow{QM}}}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_{\overrightarrow{NM}}}{z_{\overrightarrow{QM}}}\in\text i\R^* } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_M-z_N}{z_M-z_Q}\in\text i\R^* }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\quad\Longleftrightarrow\quad \arg\left(\dfrac{z_{\overrightarrow{NM}}}{z_{\overrightarrow{QM}}}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_{\overrightarrow{NM}}}{z_{\overrightarrow{QM}}}\in\text i\R^* } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_M-z_N}{z_M-z_Q}\in\text i\R^* })
![.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text e^{\text i\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right)}}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}e^{i\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)}}\in\text i\R^* } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text e^{\text i\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2}-\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)}\in\text i\R^* } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text e^{\text i\left(-\dfrac{\theta}{2} +\dfrac{\pi}{6}\right)}\in\text i\R^* }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text e^{\text i\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right)}}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}e^{i\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)}}\in\text i\R^* } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text e^{\text i\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2}-\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)}\in\text i\R^* } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\text e^{\text i\left(-\dfrac{\theta}{2} +\dfrac{\pi}{6}\right)}\in\text i\R^* } )
![.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{\theta}{2} +\dfrac{\pi}{6}\equiv\dfrac{\pi}{2} \;[\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{\theta}{2} \equiv\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6} \;[\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{\theta}{2} \equiv \dfrac{\pi}{3} \;[\pi] } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\theta \equiv -\dfrac{2\pi}{3} \;[2\pi] } }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? .\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{\theta}{2} +\dfrac{\pi}{6}\equiv\dfrac{\pi}{2} \;[\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{\theta}{2} \equiv\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6} \;[\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{\theta}{2} \equiv \dfrac{\pi}{3} \;[\pi] } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\theta \equiv -\dfrac{2\pi}{3} \;[2\pi] } } )
![\overset{ { \white{ . } } } { \theta\in\; ]-\pi, \pi[\,\backslash \lbrace 0\rbrace . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { \theta\in\; ]-\pi, \pi[\,\backslash \lbrace 0\rbrace . })
isocèle en 
tel que ![\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6} [2\pi], }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6} [2\pi], })
est le milieu du segment ![\overset{ { \white{ _. } } } { [AC], }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { [AC], })
est le point tel que 
et 
est le point tel que le triangle 
est isocèle en ![\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{AK}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6}\; [2\pi]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{AK}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6}\; [2\pi]. })
la rotation de centre 
l'homothétie de centre 
et 
la similitude directe telle que  = I })
et  = K . })
car l'homothétie 
ont le même centre 
 . })
![\begin{cases}AB=AC\\\widehat{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6} [2\pi] \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{R(B)=C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \begin{cases}AB=AC\\\widehat{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)} \equiv \dfrac{5\pi}{6} [2\pi] \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{R(B)=C} )
=I} } )
=h(R(B)) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h \circ R (B)}=h(C) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h \circ R (B)}=I } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{h \circ R (B)=I} )
 = J . })
=J} )
et 
=I\\h\circ R(B)=I \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{S(B)=h\circ R(B)})
=K\\h\circ R(I)=R\circ h(I) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h\circ R(I)}=R(J)}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h\circ R(I)}=K}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{S(I)=h\circ R(I)} })
et 
coïncident sur deux points distincts, nous en déduisons que 
. })
de rapport 
et d'angle 
![\begin{cases} S(B)=I\\S(I)=K \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\left(\overrightarrow{BI},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv \dfrac{5\pi}{6} \;[2\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} S(B)=I\\S(I)=K \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \pi+\widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv \dfrac{5\pi}{6} \;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} S(B)=I\\S(I)=K \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv \dfrac{5\pi}{6}-\pi \;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} S(B)=I\\S(I)=K \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] } }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \begin{cases} S(B)=I\\S(I)=K \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\left(\overrightarrow{BI},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv \dfrac{5\pi}{6} \;[2\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} S(B)=I\\S(I)=K \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \pi+\widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv \dfrac{5\pi}{6} \;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} S(B)=I\\S(I)=K \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv \dfrac{5\pi}{6}-\pi \;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} S(B)=I\\S(I)=K \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] } } )
 . })
![\overset{ { \white{ } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KE}\right)} \equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi]. } }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KE}\right)} \equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi]. } })
![\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] })
=K ,\quad S(B)=I,\quad S(K)=E. })
![\overset{ { \white{ } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KE}\right)} \equiv \widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\;[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KE}\right)} \equiv \widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\;[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] } )
![\overset{ { \white{ } } } { \boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KE}\right)} \equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] }} }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ } } } { \boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KE}\right)} \equiv -\dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] }} })
 })
et en déduire que les droites  })
et  })
sont perpendiculaires.=S\circ S(I)\quad\text{car }S(B)=I \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S\circ S\circ S(B)}=S(K)\quad\text{car }S(I)=K } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S\circ S\circ S(B)}=E\quad\text{car }S(K)=E } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S\circ S\circ S(B)=E} )
qui est la forme réduite de la similitude directe de centre 
est une similitude directe de centre 
soit d'angle 
=E. })
![\overset{ { \white{ } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE}\right)}\equiv \dfrac{\pi}{2} \;[2\pi] . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE}\right)}\equiv \dfrac{\pi}{2} \;[2\pi] . })
en utilisant les réponses aux questions 3. a) et 3. b).
la similitude indirecte telle que  = I })
et  = K . })
On note 
le centre de 
ce qui signifie que 
est égal au rapport de 
soit à  })
et en déduire que 
est le symétrique de 
par rapport à 
=g(I)=K\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g \circ g(B)=K} )
est la composée de deux similitudes indirectes de centre 
et de rapport ^2=\dfrac 12. })
=K\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{\Omega K}=\dfrac 12\, \overrightarrow{\Omega B}} })
![\overset{ { \white{ _. } } } { [\Omega B]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { [\Omega B]. })
le milieu du segment ![\overset{ { \white{ _. } } } { [I \Omega] . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { [I \Omega] . })
 . })
 })
est le milieu du segment ![\overset{ { \white{ _. } } } { [g(\Omega)\, g(B)]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { [g(\Omega)\, g(B)]. })
![\overset{ { \white{ _. } } } { [\Omega I]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { [\Omega I]. })
![\overset{ { \white{ _. } } } { [\Omega I] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { [\Omega I] })
étant unique, nous en déduisons que }\, . })
![\overset{ { \white{ } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI},\overrightarrow{KF}\right)}\equiv \dfrac{\pi}{6} \;[2\pi]. } }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI},\overrightarrow{KF}\right)}\equiv \dfrac{\pi}{6} \;[2\pi]. } })
=K ,\quad g(B)=I,\quad g(K)=F. })
transforme tout angle en son opposé.![\overset{ { \white{ } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KF}\right)} \equiv -\widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\;[2\pi]\equiv \dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KF}\right)} \equiv -\widehat{\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IK}\right)}\;[2\pi]\equiv \dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] } )
![\overset{ { \white{ } } } { \boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KF}\right)} \equiv \dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] }} }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ } } } { \boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KI}, \overrightarrow{KF}\right)} \equiv \dfrac{\pi}{6} \;[2\pi] }} })
est équilatéral.
, alors ce triangle est équilatéral.
sont deux similitudes de rapport 
=K\\S(K)=E \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{KE}{IK}=\dfrac{\sqrt 2}{2} \\\\ \begin{cases} g(I)=K\\g(K)=F \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{KF}{IK}=\dfrac{\sqrt 2}{2} )
et par suite, 
![\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}\equiv \dfrac{\pi}{3} \;[2\pi] . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}\equiv \dfrac{\pi}{3} \;[2\pi] . })
![\widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}\equiv \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KI}\right)}+\widehat{\left(\overrightarrow{KI},\overrightarrow{KF}\right)} \;[2\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}}\equiv \dfrac{\pi}{6}+ \dfrac{\pi}{6}\;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}}\equiv \dfrac{\pi}{3}\;[2\pi] } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}\equiv \dfrac{\pi}{3}\;[2\pi] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}\equiv \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KI}\right)}+\widehat{\left(\overrightarrow{KI},\overrightarrow{KF}\right)} \;[2\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}}\equiv \dfrac{\pi}{6}+ \dfrac{\pi}{6}\;[2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}}\equiv \dfrac{\pi}{3}\;[2\pi] } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\widehat{\left(\overrightarrow{KE},\overrightarrow{KF}\right)}\equiv \dfrac{\pi}{3}\;[2\pi] } )
la fonction définie sur ![\overset{ { \white{ _. } } } { ] - 1, + \infty [ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { ] - 1, + \infty [ })
par  = x - (x - 1)\ln(x + 1) . })
 })
sa courbe représentative dans un repère orthonormé  . })
 = -\infty})
et déterminer }{x}, })
puis interpréter graphiquement. = x - (x - 1)\ln(x + 1)\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x) = x\Bigg(1 - \left(1 - \dfrac 1x\right)\ln(x + 1)\Bigg)}})
=+\infty\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\dfrac 1x\right) =1 \\\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x+1)=+\infty\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac 1x =0 \\\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x+1)=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\dfrac 1x\right) \ln(x+1)=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac 1x =0 \\\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x+1)=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x \to +\infty}\Bigg(1 - \left(1 - \dfrac 1x\right)\ln(x + 1)\Bigg)=-\infty } )
=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x \to +\infty}x\Bigg(1 - \left(1 - \dfrac 1x\right)\ln(x + 1)\Bigg)=-\infty} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty} )
}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\Bigg(1 - \left(1 - \dfrac 1x\right)\ln(x + 1)\Bigg)=-\infty } )
(voir ci-dessus).}{x}=-\infty} })
est une asymptote à  . })
. })
 =0^+\\\lim\limits_{X \to 0^+} \ln X=-\infty\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x > -1 }}\ln(x+1) =-\infty\\\\ \begin{cases}\lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x > -1 }}\ln(x+1) =-\infty\\\lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x > -1 }}-(x-1)=2\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x > -1 }}-(x-1)\ln(x+1) =-\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x > -1 }}\ln(x+1) =-\infty\\\lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x > -1 }}-(x-1)=2\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x > -1 }}\Big(x-(x-1)\ln(x+1)\Big) =-\infty } )
=-\infty} })
![\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\, ] - 1, + \infty [ , \quad f'(x) = \dfrac{2}{x + 1} - \ln(x + 1) . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\, ] - 1, + \infty [ , \quad f'(x) = \dfrac{2}{x + 1} - \ln(x + 1) . })
![f'(x) = \Big(x - (x - 1)\ln(x + 1)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = 1 -\left[ (x - 1)'\times \ln(x + 1)+(x - 1)\times\Big(\ln(x + 1)\Big)'\right] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = 1 -\left[1\times \ln(x + 1)+(x - 1)\times\dfrac{1}{x+1}\right] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = 1 -\ln(x + 1)-\dfrac{x-1}{x+1} }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? f'(x) = \Big(x - (x - 1)\ln(x + 1)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = 1 -\left[ (x - 1)'\times \ln(x + 1)+(x - 1)\times\Big(\ln(x + 1)\Big)'\right] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = 1 -\left[1\times \ln(x + 1)+(x - 1)\times\dfrac{1}{x+1}\right] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = 1 -\ln(x + 1)-\dfrac{x-1}{x+1} } )
![\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = 1-\dfrac{x-1}{x+1} -\ln(x + 1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = \dfrac{x+1-x+1}{x+1} -\ln(x + 1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = \dfrac{2}{x+1} -\ln(x + 1) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]-1,+\infty[,\quad f'(x)= \dfrac{2}{x+1} -\ln(x + 1) }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = 1-\dfrac{x-1}{x+1} -\ln(x + 1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = \dfrac{x+1-x+1}{x+1} -\ln(x + 1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } = \dfrac{2}{x+1} -\ln(x + 1) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]-1,+\infty[,\quad f'(x)= \dfrac{2}{x+1} -\ln(x + 1) } )
 = 0 })
admet dans l'intervalle ![\overset{ { \white{ . } } } { ] - 1, + \infty [ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { ] - 1, + \infty [ })
une unique solution 
telle que 
est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ![\overset{ { \white{ . } } } { ] - 1, + \infty [ . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { ] - 1, + \infty [ . })
![\overset{ { \white{ . } } } { f'\Big(] - 1, + \infty [\Big)=\R. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { f'\Big(] - 1, + \infty [\Big)=\R. })
l'équation =0 })
admet une unique solution 
 =\dfrac{2}{1,3+1} -\ln(1,3+1)\approx 0,037{\white{x}}{\red{>0}}\\f'(1,4) =\dfrac{2}{1,4+1} -\ln(1,4+1)\approx -0,042{\white{x}}{\red{<0}} \end{cases} )
 = 0 })
admet une unique solution 
 })
suivant les valeurs de 
>0 })
si ![\overset{ { \white{ . } } } { x\in\;]-1,\alpha[ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { x\in\;]-1,\alpha[ })
<0 })
si ![\overset{ { \white{ . } } } { x\in\;]\alpha,+\infty[ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { x\in\;]\alpha,+\infty[ })
=0 })
si 
(On précisera  })
et  })
) .&||\phantom{WW}&+&0&-&\\&||\phantom{WW}&&&&\\\hline&||\phantom{WW}&&f(\alpha)&&\\f&||\phantom{WW}&\nearrow&&\searrow&\\&||-\infty&&&&-\infty\\\hline \end{array} )
=0- (0 - 1)\ln(0 + 1)=-\ln 1=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=0}\\\\ f(1)=1- (1 - 1)\ln(1 + 1)=1-0=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(1)=1} )
. })
\ln(t+1)\,\text dt = \dfrac{1}{2}(x^2 - 2x - 3)\ln(x+1) + \dfrac{1}{4}(6x - x^2). })
calculons \ln(t+1)\,\text dt })
![\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{x}u(t)v'(t)\,\text{d}t=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_0^{x}- \displaystyle\int\limits_0^{x}u'(t)v(t)\,\text{d}t}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(t)=\ln(t+1)\quad\Longrightarrow\quad u'(t)=\dfrac{1}{t+1} \\\\v'(t)=t-1\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(t)=\dfrac12t^2-t-\dfrac32\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{x}u(t)v'(t)\,\text{d}t=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_0^{x}- \displaystyle\int\limits_0^{x}u'(t)v(t)\,\text{d}t}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(t)=\ln(t+1)\quad\Longrightarrow\quad u'(t)=\dfrac{1}{t+1} \\\\v'(t)=t-1\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(t)=\dfrac12t^2-t-\dfrac32\end{matrix}\right. )
![\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{x} (t-1)\ln(t+1)\,\text dt=\left[\left(\dfrac12t^2-t-\dfrac32\right)\ln(t+1)\right]_0^{x}-\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{1}{t+1}\times\left(\dfrac12t^2-t-\dfrac32\right)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWiWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(t^2-2t-3)\ln(t+1)}\right]_0^{x}-\dfrac 12\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{t^2-2t-3}{t+1}\,\text{d}t} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWiWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(t^2-2t-3)\ln(t+1)}\right]_0^{x}-\dfrac 12\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{(t+1)(t-3)}{t+1}\,\text{d}t} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWiWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(t^2-2t-3)\ln(t+1)}\right]_0^{x}-\dfrac 12\displaystyle\int_0^{x}(t-3)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWiWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(t^2-2t-3)\ln(t+1)}\right]_0^{x}-\dfrac 12\Big[\dfrac {t^2}{2}-3t\Big]_0^{x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{x} (t-1)\ln(t+1)\,\text dt=\left[\left(\dfrac12t^2-t-\dfrac32\right)\ln(t+1)\right]_0^{x}-\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{1}{t+1}\times\left(\dfrac12t^2-t-\dfrac32\right)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWiWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(t^2-2t-3)\ln(t+1)}\right]_0^{x}-\dfrac 12\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{t^2-2t-3}{t+1}\,\text{d}t} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWiWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(t^2-2t-3)\ln(t+1)}\right]_0^{x}-\dfrac 12\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{(t+1)(t-3)}{t+1}\,\text{d}t} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWiWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(t^2-2t-3)\ln(t+1)}\right]_0^{x}-\dfrac 12\displaystyle\int_0^{x}(t-3)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWiWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(t^2-2t-3)\ln(t+1)}\right]_0^{x}-\dfrac 12\Big[\dfrac {t^2}{2}-3t\Big]_0^{x}} )
![\phantom{WWWWWWWWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(x^2-2x-3)\ln(x+1)-0}\right]-\dfrac 12\Big[\left(\dfrac {x^2}{2}-3x\right)-0\Big] \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\dfrac 12(x^2-2x-3)\ln(x+1)-\dfrac 12\left(\dfrac {x^2}{2}-3x\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\dfrac 12(x^2-2x-3)\ln(x+1)-\dfrac 14\left(x^2-6x\right)} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\displaystyle\int_{0}^{x} (t-1)\ln(t+1)\,\text dt=\dfrac 12(x^2-2x-3)\ln(x+1)+\dfrac 14\left(6x-x^2\right)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \phantom{WWWWWWWWWW}=\dfrac 12\left[\overset{}{(x^2-2x-3)\ln(x+1)-0}\right]-\dfrac 12\Big[\left(\dfrac {x^2}{2}-3x\right)-0\Big] \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\dfrac 12(x^2-2x-3)\ln(x+1)-\dfrac 12\left(\dfrac {x^2}{2}-3x\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\dfrac 12(x^2-2x-3)\ln(x+1)-\dfrac 14\left(x^2-6x\right)} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\displaystyle\int_{0}^{x} (t-1)\ln(t+1)\,\text dt=\dfrac 12(x^2-2x-3)\ln(x+1)+\dfrac 14\left(6x-x^2\right)} )
 })
et les droites d'équations 
et 
est croissante sur l'intervalle ![\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;1] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;1] })
et que =0\\f(1)=1 \end{cases}. })
![\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,[0\;;\;1],\quad f(x)\geq 0 . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,[0\;;\;1],\quad f(x)\geq 0 . })
![A=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\text dt \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\displaystyle\int_0^1 \Big(t - (t - 1)\ln(t + 1)\Big)\,\text dt} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\displaystyle\int_0^1 t\,\text dt-\displaystyle\int_0^1 (t - 1)\ln(t + 1)\,\text dt} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\left[\dfrac12t^2\right]_0^1-\left[\dfrac 12(1^2-2\times1-3)\ln(1+1)+\dfrac 14\left(6\times1-1^2\right)\right]} \\\phantom{WWWWW}\overset{ { \phantom{ . } } } { \text{(voir exercice 5. a. avec }x=1)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? A=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\text dt \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\displaystyle\int_0^1 \Big(t - (t - 1)\ln(t + 1)\Big)\,\text dt} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\displaystyle\int_0^1 t\,\text dt-\displaystyle\int_0^1 (t - 1)\ln(t + 1)\,\text dt} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\left[\dfrac12t^2\right]_0^1-\left[\dfrac 12(1^2-2\times1-3)\ln(1+1)+\dfrac 14\left(6\times1-1^2\right)\right]} \\\phantom{WWWWW}\overset{ { \phantom{ . } } } { \text{(voir exercice 5. a. avec }x=1)} )
\ln2-\dfrac 14\times5} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\dfrac12+2\ln2-\dfrac 54} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A } =2\ln2-\dfrac 34} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A =\left(2\ln2-\dfrac 34\right)\text{unités d'aire}} )
on pose \Big)^n\,\text dx. })
![\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\, ]-1,1] ,\quad f'(x) \geq 1 - \ln 2. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\, ]-1,1] ,\quad f'(x) \geq 1 - \ln 2. })
(voir Partie A - 3. b) montre que 
est décroissante sur l'intervalle ![\overset{ { \white{ _. } } } { ]-1,1]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { ]-1,1]. })
![\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\,]-1,1], }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\,]-1,1], })
\geq f'(1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x \leq1 } \quad\Longrightarrow\quad f'(x)\geq \dfrac{2}{1+1}-\ln(1+1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x \leq1 } \quad\Longrightarrow\quad f'(x)\geq 1-\ln 2 } )
![\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\, ]-1,1] ,\quad \boxed{ f'(x) \geq 1 - \ln 2}\,. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\, ]-1,1] ,\quad \boxed{ f'(x) \geq 1 - \ln 2}\,. })
 \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}. })
![n\in\N,\; n\geq 2\quad\Longrightarrow \sqrt n\geq\sqrt2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ n\in\N,\; n\geq 2}\quad\Longrightarrow 0<\dfrac{1}{\sqrt n}\leq \dfrac{1}{\sqrt 2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ n\in\N,\; n\geq 2}\quad\Longrightarrow 0>-\dfrac{1}{\sqrt n}\geq -\dfrac{1}{\sqrt 2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ n\in\N,\; n\geq 2}\quad\Longrightarrow 1>1-\dfrac{1}{\sqrt n}\geq 1-\dfrac{1}{\sqrt 2}} \\\\\text{Or }\quad 1-\dfrac{1}{\sqrt 2}\approx0,293 \\\\\text {D'où }\quad \forall\,n\in\N,\; n\geq 2,\quad \boxed{1-\dfrac{1}{\sqrt n}\in\,[-1,1]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? n\in\N,\; n\geq 2\quad\Longrightarrow \sqrt n\geq\sqrt2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ n\in\N,\; n\geq 2}\quad\Longrightarrow 0<\dfrac{1}{\sqrt n}\leq \dfrac{1}{\sqrt 2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ n\in\N,\; n\geq 2}\quad\Longrightarrow 0>-\dfrac{1}{\sqrt n}\geq -\dfrac{1}{\sqrt 2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ n\in\N,\; n\geq 2}\quad\Longrightarrow 1>1-\dfrac{1}{\sqrt n}\geq 1-\dfrac{1}{\sqrt 2}} \\\\\text{Or }\quad 1-\dfrac{1}{\sqrt 2}\approx0,293 \\\\\text {D'où }\quad \forall\,n\in\N,\; n\geq 2,\quad \boxed{1-\dfrac{1}{\sqrt n}\in\,[-1,1]} )
![\overset{ { \white{ _. } } } {x\in \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right] ,\quad f'(x) \geq 1 - \ln 2. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } {x\in \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right] ,\quad f'(x) \geq 1 - \ln 2. })
![\overset{ { \white{ _. } } } { \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right]. })
![\displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq (1 - \ln 2)\displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}1\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad \Big[f(x)\Big]_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}\geq (1-\ln2)\Big[x\Big]_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad f(1)-f\left(1-\dfrac {1}{\sqrt n}\right)\geq (1-\ln2)\Big[1-\left(1-\dfrac {1}{\sqrt n}\right)\Big] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq (1 - \ln 2)\displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}1\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad \Big[f(x)\Big]_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}\geq (1-\ln2)\Big[x\Big]_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad f(1)-f\left(1-\dfrac {1}{\sqrt n}\right)\geq (1-\ln2)\Big[1-\left(1-\dfrac {1}{\sqrt n}\right)\Big] })
\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad 1-f\left(1-\dfrac {1}{\sqrt n}\right)\geq (1-\ln2)\times\dfrac {1}{\sqrt n} } )
\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad -f\left(1-\dfrac {1}{\sqrt n}\right)\geq -1+\dfrac {1-\ln2}{\sqrt n} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}f'(x)\,\text dx \geq \displaystyle \int_{1-\frac {1}{\sqrt n}}^{1}(1 - \ln 2)\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad f\left(1-\dfrac {1}{\sqrt n}\right)\leq 1-\dfrac {1-\ln2}{\sqrt n} } \\\\\Longrightarrow \boxed{\forall\,n\in\N, n\geq 2,\quad f\left(1-\dfrac {1}{\sqrt n}\right)\leq 1-\dfrac {1-\ln2}{\sqrt n} } )
\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n. })
![\overset{ { \white{ . } } } { 1-\dfrac{1}{\sqrt n}\in[\,0,1]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { 1-\dfrac{1}{\sqrt n}\in[\,0,1]. })
![\overset{ { \white{ _. } } } {[0,1] . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } {[0,1] . })
![\overset{ { \white{ _. } } } {\left[0,1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right] . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } {\left[0,1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right] . })
![\forall\,x\in \left[0,1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right],\quad 0\leq x\leq 1-\dfrac{1}{\sqrt n}\quad\Longrightarrow\quad f(0)\leq f(x)\leq f\left(1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in \left[0,1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right],\quad 0\leq x\leq 1-\dfrac{1}{\sqrt n} } \quad\Longrightarrow\quad 0\leq f(x)\leq f\left(1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right) }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall\,x\in \left[0,1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right],\quad 0\leq x\leq 1-\dfrac{1}{\sqrt n}\quad\Longrightarrow\quad f(0)\leq f(x)\leq f\left(1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in \left[0,1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right],\quad 0\leq x\leq 1-\dfrac{1}{\sqrt n} } \quad\Longrightarrow\quad 0\leq f(x)\leq f\left(1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right) })
\leq f\left(1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} })
 \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} . })
 \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\quad\Longrightarrow\quad \Big(f(x)\Big)^n \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, n \geq 2 ,\quad 0\leq f(x) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\,\text dx } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, n \geq 2 ,\quad 0\leq f(x) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}1\,\text dx } )
![.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, n \geq 2 ,\quad 0\leq f(x) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\Big[x\Big]_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, n \geq 2 ,\quad 0\leq f(x) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\Big[{1-\frac{1}{\sqrt n}}-0\Big] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, n \geq 2 ,\quad 0\leq f(x) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\Big(1-\frac{1}{\sqrt n}\Big) }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? .\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, n \geq 2 ,\quad 0\leq f(x) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\Big[x\Big]_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, n \geq 2 ,\quad 0\leq f(x) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\Big[{1-\frac{1}{\sqrt n}}-0\Big] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\, n \geq 2 ,\quad 0\leq f(x) \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\Big(1-\frac{1}{\sqrt n}\Big) } )
 \leq 1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\quad\text{car } 1-\frac{1}{\sqrt n}<1 } )
^n + \dfrac{1}{\sqrt{n}}. })
![\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,[0\;;\;1],\quad \Big(f(x)\Big)^n\geq 0 . }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,[0\;;\;1],\quad \Big(f(x)\Big)^n\geq 0 . })
est continue sur l'intervalle ![\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;1]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;1]. })
\Big)^n\,\text dx\geq 0, })
soit 
^n + \dfrac{1}{\sqrt{n}}. })
\Big)^n\,\text dx \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n}\,. })
\leq 1 })
pour tout ![\overset{ { \white{ _. } } } { x\in [0,1], }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { x\in [0,1], })
et en particulier pour tout ![\overset{ { \white{ . } } } { x\in \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right]. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { x\in \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right]. })
![\overset{ { \white{ . } } } { x\in \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right],\quad \Big(f(x)\Big)^n\leq 1. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { x\in \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right],\quad \Big(f(x)\Big)^n\leq 1. })
![\overset{ { \white{ . } } } { \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right],}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ . } } } { \left[1-\dfrac{1}{\sqrt n},1\right],})
nous avons : \Big)^n\,\text dx \leq \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^11\,\text dx . })
![\text{Or }\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^11\,\text dx\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \Big[x\Big]_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^11\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq 1-\left(1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^11\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \dfrac{1}{\sqrt n} } }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \text{Or }\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^11\,\text dx\quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \Big[x\Big]_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^11\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq 1-\left(1-\dfrac{1}{\sqrt n}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^11\,\text dx } \quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx \leq \dfrac{1}{\sqrt n} } } )
\Big)^n\,\text dx \\ \displaystyle \int_{0}^{1} \Big(f(x)\Big)^n\,\text dx ={\red{\displaystyle \int_{0}^{1-\frac{1}{\sqrt n}} \Big(f(x)\Big)^n\,\text dx}} +{\blue{\displaystyle \int_{{1-\frac{1}{\sqrt n}}}^{1} \Big(f(x)\Big)^n\,\text dx}}\\ {\red{\displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{\sqrt n}}\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx }}\leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n\\ {\blue{\displaystyle\int_{1-\frac{1}{\sqrt n}}^1\Big(f(x)\Big)^n\,\text dx}} \leq \dfrac{1}{\sqrt n} \end{cases})
^n + \dfrac{1}{\sqrt{n}}})
^n + \dfrac{1}{\sqrt{n}}}\,. })
 = -\infty. })
=n\times{\red{\left(-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)}}\times\dfrac{\ln\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)}{{\red{-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ n\ln\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)}=\sqrt n\times\left(-1 + \ln 2\right)\times\dfrac{\ln\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)}{-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}} })
=\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt n\times\left(-1 + \ln 2\right)\times\dfrac{\ln\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)}{-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}} . })
=-\infty})
}{-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}}.)
}{-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}}= \lim\limits_{X\to 0}\dfrac{\ln\left(1 +X\right)}{X} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1 - 55555555\right)}{-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}}}= \lim\limits_{X\to0}\dfrac{\ln\left(1 +X\right)-\ln (1+0)}{X-0} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1 - 55555555\right)}{-WWWWW}}= h'(0)\quad \text{avec }h(X)=\ln(1+X)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ WWWWWWWWWw }=1\quad\text{car }\quad h'(X)=\dfrac {1}{1+X}\quad\Longrightarrow \quad h'(0)=1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)}{-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}}=1} )
\times \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)}{-\dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}}=-\infty. })
 = -\infty} })
^n. })
^n= \lim\limits_{n\to+\infty}\text e^{\ln\left(1 - \frac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{n\to+\infty} \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n}= \lim\limits_{n\to+\infty}\text e^{n\times\ln\left(1 - \frac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)} })
=-\infty\quad(\text{voir 2. c)}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{X\to-\infty}\text e^X=0} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\text e^{n\times\ln\left(1 - \frac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)} =0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad \begin{cases} n\times\ln\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}} \right)=-\infty\quad(\text{voir 2. c)}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{X\to-\infty}\text e^X=0} \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n =0} } )
![\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n+\dfrac{1}{\sqrt{n }}\right]=0} }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n+\dfrac{1}{\sqrt{n }}\right]=0} })
![\begin{cases} 0 \leq a_n \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left[\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n+\dfrac{1}{\sqrt{n }}\right]=0 }\end{cases}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} a_n=0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \begin{cases} 0 \leq a_n \leq \left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left[\left(1 - \dfrac{1 - \ln 2}{\sqrt{n}}\right)^n+\dfrac{1}{\sqrt{n }}\right]=0 }\end{cases}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} a_n=0} )
l'équation  : 5u - 53v = 24 . })
 })
est une solution de . })
 })
est une solution de l'équation \,, })
-53(v-2)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\quad\quad\quad5(u-26)=53(v-2))
\,. })
 })
tel que 
soit 
=53(v-2)\\u=26+53k\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}5({\red{u-26}})=53(v-2)\quad\\ {\red{u-26}}=53k\phantom{WW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad5\times53k=53(v-2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ 5k=v-2 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{v=2+5k}})
tel que 
 })
est solution de  })
pour tout entier relatif 
-53(2+5k)=130+265k-106-265k=24.})
\,/\,k\in\Z\rbrace}})
.}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}x\equiv0\;\text{(mod 5)}\\x^2\equiv0\;\text{(mod 5)}\end{cases} \\\\ { \phantom{ \bullet\quad x\equiv0\;\text{(mod 5)} }} {\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^2-x\equiv 0\;\text{(mod 5)}}} )
}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}x\equiv1\;\text{(mod 5)}\\x^2\equiv1\;\text{(mod 5)} \end{cases} \\\\ { \phantom{ \bullet\quad x\equiv0\;\text{(mod 5)} }} {\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^2-x\equiv 0\;\text{(mod 5)}}} )
}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x\equiv2\;\text{(mod 5)}\\ x^2\equiv4\;\text{(mod 5)} \end{cases} \\\\ { \phantom{ \bullet\quad x\equiv0\;\text{(mod 5)} }} {\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^2-x\equiv 2\;\text{(mod 5)}}} )
}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}x\equiv3\;\text{(mod 5)}\\x^2\equiv9\;\text{(mod 5)} \end{cases} \\\\ { \phantom{ \bullet\quad x\equiv0\;\text{(mod 5)} }} {\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}x\equiv3\;\text{(mod 5)}\\x^2\equiv4\;\text{(mod 5)} \end{cases}} \\\\ { \phantom{ \bullet\quad x\equiv0\;\text{(mod 5)} }} {\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^2-x\equiv 1\;\text{(mod 5)}}} )
}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}x\equiv4\;\text{(mod 5)}\\x^2\equiv16\;\text{(mod 5)} \end{cases} \\\\ { \phantom{ \bullet\quad x\equiv0\;\text{(mod 5)} }} {\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}x\equiv4\;\text{(mod 5)}\\x^2\equiv6\;\text{(mod 5)} \end{cases}} \\\\ { \phantom{ \bullet\quad x\equiv0\;\text{(mod 5)} }} {\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^2-x\equiv 2\;\text{(mod 5)}}} )
^2 \equiv x^2 - x - 13 \ (\text{mod}\ 53) . })
^2 - (x^2 - x - 13) })
est divisible par 53.^2 - (x^2 - x - 13)=x^2-54x+729-x^2+x+13 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x - 27)^2 - (x^2 - x - 13)}=-53x+742 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x - 27)^2 - (x^2 - x - 13)}=53(-x+14) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(x - 27)^2 - (x^2 - x - 13)=53(-x+14) } )
^2 \equiv x^2 - x - 13 \ (\text{mod}\ 53)}\, . })
le système : \begin{cases} x^2 - x \equiv 1 \ (\text{mod}\ 5) \\ x^2 - x \equiv 13 \ (\text{mod}\ 53). \end{cases} })
est une solution de  })
si et seulement si, il existe  \in \Z^2 })
tels que 
\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x^2 - x \equiv 1 \ (\text{mod}\ 5) \\ x^2 - x \equiv 13 \ (\text{mod}\ 53) \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\text{ est solution de }(S)}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x \equiv 3 \ (\text{mod}\ 5) \quad (\text{voir 2. a})\\ (x-27)^2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 53) \quad (\text{voir 2. b}) \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\text{ est solution de }(S)}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x \equiv 3 \ (\text{mod}\ 5) \\ x\equiv 27 \ (\text{mod}\ 53) \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\text{ est solution de }(S)}\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\;(u,v)\in\Z^2:\begin{cases}x=3+5u\\x=27+53v \end{cases}} )
est une solution de .})
est une solution de 
soit que 
est solution de l'équation +3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x=5u+3\\u=26+53k \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=133+265k,\quad k\in\Z} } )
, alors . })
} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x=133+265k\text{ avec }k\in\Z}\quad\Longrightarrow \quad\begin{cases}x\equiv 133\,\text{(mod 5)}\\x\equiv 133\,\text{(mod 53)} \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x=133+265k\text{ avec }k\in\Z}\quad\Longrightarrow \quad\begin{cases}x\equiv 3\,\text{(mod 5)}\quad\text{car }133=26\times5+3\\x\equiv 27\,\text{(mod 53)} \quad\text{car }133=2\times53+27\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x=133+265k\text{ avec }k\in\Z}\quad\Longrightarrow \quad \exists\,(u,v)\in\Z^2:\begin{cases} x\equiv3+5u\\x\equiv27+53v \end{cases}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x=133+265k\text{ avec }k\in\Z}\quad\Longrightarrow \quad \boxed{x\text{ est une solution de }(S)}} )
du système  })
est l'ensemble 
les solutions de l'équation  . })
\quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - x \equiv66 \ (\text{mod}\ 265) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x^2 - x - 66 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 265)}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x^2 - x \equiv66 \ (\text{mod}\ 5)\\x^2 - x \equiv66 \ (\text{mod}\ 53) \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x^2 - x - 66 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 265)}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x^2 - x \equiv1\ (\text{mod}\ 5)\quad\text{car }66=13\times5+1 \\x^2 - x \equiv13 \ (\text{mod}\ 53) \quad\text{car }66=53+13 \end{cases} })
 })
est l'ensemble des solutions dans 
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