Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Épreuve : Mathématiques

Tunisie 2024

Session principale

Section : Sciences Techniques

Durée : 3h

Coefficient de l'épreuve : 3
4 points

exercice 1

1) On considère dans $C$ l'équation $(E) : \text e^{\frac{i\pi}{4}}z^2 - \left( i + \text e^{\frac{i\pi}{4}} \right) z + i = 0$ .

a) Vérifier que $1$ est une solution de l'équation $(E)$ .

b) En déduire l'autre solution de $(E)$ et la mettre sous forme exponentielle.

2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left( O, \vec u, \vec v \right)$ , on considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 1$ , $z_B = \text e^{\frac{i\pi}{4}}$ et $z_C = 2\text e^{\frac{i\pi}{4}} - i$ .

a) Écrire $1 + i$ sous forme exponentielle.

b) Vérifier que $z_C - z_A = \left( 2 - \sqrt{2} \right) z_B$ .

En déduire que les droites $\left( AC \right)$ et $\left( OB \right)$ sont parallèles.

3) a) Montrer que $i \left( z_B - z_C \right) = \overline{z_B - z_A }$ .

b) En déduire que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$ .

4) Dans la figure 1 de l'annexe ci-jointe, on a placé le point $A$ et on a construit le cercle $\zeta$ de centre $O$ et de rayon $1$ .

a) Vérifier que le point $B$ appartient au cercle $\zeta$ . Construire le point $B$ .

b) Soit $T$ la tangente à $\zeta$ en $B$ .

Montrer que $T$ est la médiatrice du segment $\left[ AC \right]$ .

c) Construire alors sur la figure 1 le point $C$ .

5 points

exercice 2

L'espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left( O,\vec i, \vec j, \vec k \right)$ .

On donne les points $A\left( 1,3,1 \right), B\left(-1,1,1 \right), C\left( 1,2,0 \right)$ et $I\left( 1,1,1 \right)$ .

1) a) Calculer les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ .

b) En déduire que les points $A, B$ et $C$ déterminent un plan $P$ dont une équation cartésienne est $x - y + z + 1 = 0$ .

c) Vérifier que le point $H\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{1}{3} \right)$ est le projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $P$ .

2) Soit $S$ l'ensemble des points $M(x,y,z)$ de l'espace tels que :

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0.$

a) Montrer que $S$ est la sphère de centre $I$ et de rayon $R = 2$ .

b) Vérifier que les points $A$ et $B$ appartiennent à $S$ .

c) Montrer que le plan $P$ coupe la sphère $S$ suivant un cercle $\mathcal{C}$ que l'on caractérisera.

d) Montrer que la droite $\left( AB \right)$ coupe le cercle $\mathcal{C}$ en $A$ et $B$ .

3) On considère le plan $Q : z - 1 = 0$ .

a) Montrer que $P$ et $Q$ sont sécants suivant la droite $\left( AB \right)$ .

b) Soit le point $E\left( 1,1,3 \right)$ . Vérifier que $E$ appartient à $S$ .

c) Soit $M\left( x,y,z \right)$ un point de l'espace.

Montrer que : $\overrightarrow{IE} \cdot \overrightarrow{IM} = 0$ si et seulement si $M$ appartient à $Q$ .

4) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan $P$ tels que le triangle $IME$ soit rectangle et isocèle en $I$ .

4,5 points

exercice 3

On considère la suite $\left( U_n \right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :

$\begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = \sqrt{2U_n}, \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$

1) a) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}, 0 < U_n \leq 2$ .

b) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}, U_{n+1}^2 - U_n^2 = U_n \left( 2 - U_n \right)$ .

En déduire que la suite $\left( U_n \right)$ est croissante.

c) Montrer que la suite $\left( U_n \right)$ est convergente et que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n = 2$ .

2) On considère la suite $\left( V_n \right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $V_n = \ln 2 - \ln U_n$ .

Montrer que $\left( V_n \right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ dont on précisera le premier terme.

3) Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on pose $S_n = V_0 + V_1 + \ldots + V_{n-1}$ .

a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $S_n = 2 \ln 2 \left( 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right)$ .

b) Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n$ .

c) En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} e^{\ln 2-\frac{S_n}{n}} = 2$ .

6,5 points

exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0, +\infty [$ par $f(x) = (\ln(x) - 1)^2$ .

On désigne par $\left( C_f \right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left( 0, \vec i, \vec j \right)$ .

1) a) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ . Interpréter graphiquement.

b) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

c) Vérifier que pour tout $x > 0$ ,

$\dfrac{f(x)}{x} = \left( \dfrac{\ln(x)}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)^2$ puis montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ .

Interpréter graphiquement les résultats.

2) a) Montrer que pour tout $x > 0$ , $f'(x) = \dfrac{2(\ln(x)-1)}{x}$ .

b) Dresser le tableau de variation de $f$ .

3) Soit $g$ la fonction définie sur $]0, +\infty}[$ par : $g(x) = f(x) - x.$

On donne ci-après le tableau de variation de $g$ .

Bac Tunisie 2024 série maths-sciences techniques : image 1

a) Calculer $g(1)$ puis déterminer le signe de $g(x)$ sur $]0, +\infty[$ .

b) En déduire la position relative de la courbe $(C_f)$ par rapport à la droite $\Delta : y = x$ .

4) Dans la figure 2 de l'annexe ci-jointe, on a tracé dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { \left( 0, \vec i, \vec j \right)}$ la droite $\Delta$ et on a placé le point $E(e,0)$ .

Tracer la courbe $(C_f)$ dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { \left( 0, \vec i, \vec j \right)}$ .

5) Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]0, \text e]$ .

a) Montrer que $h$ réalise une bijection de $]0, \text e]$ sur $[0, +\infty[$ .

On note $h^{-1}$ la fonction réciproque de $h$ et on désigne par $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { \left( 0, \vec i, \vec j \right)}$ .

b) Tracer sur la figure 2 la courbe $(\Gamma)$ .

6) a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : $\displaystyle\int_{1}^{\text e} f(x)dx = -1 - \displaystyle\int_{1}^{e} xf'(x)dx.$

6) b) Montrer que : $\displaystyle\int_{1}^{\text e} xf'(x)dx = 2(2-\text e).$

c) Déduire l'aire $\mathcal{A}$ , en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe $(\Gamma)$ et les droites d'équations $y = 1$ , $x = 0$ et $x = 1$ .

ANNEXE à rendre avec la copie

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Bac Tunisie 2024 série maths-sciences techniques

4 points

exercice 1

1. On considère dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) : \text e^{\frac{\text i\pi}{4}}z^2 - \left( \text i + \text e^{\frac{\text i\pi}{4}} \right) z + \text i = 0 . }$

1. a) Vérifions que 1 est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$

Remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ par 1 dans le membre de gauche de $\overset{ { \white{ . } } } { E }$

${ \white{ xxi } }$ $\text e^{\frac{\text i\pi}{4}}\times1^2 - \left(\text i + \text e^{\frac{\text i\pi}{4}} \right) \times 1 +\text i=\text e^{\frac{\text i\pi}{4}} - \text i - \text e^{\frac{\text i\pi}{4}} + \text i=0.$

L'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ est bien vérifiée si $\overset{ { \white{} } } { z=1. }$
D'où 1 est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$

1. b) Nous devons en déduire l'autre solution de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ et la mettre sous forme exponentielle.

Nous savons que si une équation du second degré $\overset{ { \white{ } } } { ax^2+bx+c=0 }$ admet deux racines $\overset{ { \white{ . } } } { z_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { z_2, }$ alors le produit des racines est donné par $\overset{ { \white{ . } } } { z_1z_2=\dfrac ca .}$

Puisque 1 est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (E), }$ posons : $\overset{ { \white{ . } } } { z_1=1. }$ et notons $\overset{ { \white{ . } } } {z_2 }$ la seconde racine de $\overset{ { \white{ . } } } { (E). }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $z_1z_2=\dfrac ca\quad\Longleftrightarrow\quad 1\times z_2=\dfrac{\text i}{\text e^{\frac{\text i\pi}{4}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_1z_2=\dfrac ca} \quad\Longleftrightarrow\quad z_2=\text i\text e^{\frac{-\text i\pi}{4}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_1z_2=\dfrac ca} \quad\Longleftrightarrow\quad z_2=\text e^{\frac{\text i\pi}{2}} \text e^{\frac{-\text i\pi}{4}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_1z_2=\dfrac ca} \quad\Longleftrightarrow\quad z_2=\text e^{\frac{\text i\pi}{2}-\frac{\text i\pi}{4}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_1z_2=\dfrac ca} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_2=\text e^\frac{\text i\pi}{4}}}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de $\overset{ { \white{ . } } } { (E) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \lbrace 1\;;\;\text e^\frac{\text i\pi}{4}\rbrace\,. }$

2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { \left( O, \vec u, \vec v \right) , }$ on considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {C }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ } } } { z_A = 1 , z_B = \text e^{\frac{\text i\pi}{4}} }$ et $\overset{ { \white{ } } } {z_C = 2\text e^{\frac{\text i\pi}{4}} -\text i . }$

2. a) Écrivons $\overset{ { \white{ . } } } { 1 + \text i }$ sous forme exponentielle.

D'une part, $\overset{ { \white{ . } } } { |1 + \text i|=\sqrt{1^2+1^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{|1 + \text i|=\sqrt 2} }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $1 + \text i=\sqrt 2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}+\text i\dfrac{1}{\sqrt2}\right) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1 + \text i}=\sqrt 2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\text i\dfrac{\sqrt2}{2}\right) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1 + \text i}=\sqrt 2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{1 + \text i}=\sqrt 2\,\text e^\frac{\text i\pi}{4}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{1 + \text i=\sqrt 2\,\text e^\frac{\text i\pi}{4}}$

2. b) Vérifions que $\overset{ { \white{ . } } } { z_C - z_A = \left( 2 - \sqrt{2} \right) z_B . }$

${ \white{ xxi } }$ $z_C - z_A=( 2\text e^{\frac{\text i\pi}{4}} -\text i )-1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C - z_A}=2\text e^{\frac{\text i\pi}{4}} -(\text i+1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C - z_A}=2\text e^{\frac{\text i\pi}{4}} -\sqrt 2\,\text e^\frac{\text i\pi}{4}\quad(\text{voir question 2. a}) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C - z_A}=(2 -\sqrt 2)\,\text e^\frac{\text i\pi}{4}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C - z_A}=(2 -\sqrt 2)\,z_B} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_C - z_A=(2 -\sqrt 2)\,z_B}$

Par suite, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $z_C - z_A=(2 -\sqrt 2)\,z_B\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{z_C - z_A}{z_B}=2 -\sqrt 2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C - z_A=(2 -\sqrt 2)\,z_B}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{z_{\overrightarrow{AC}}}{z_{\overrightarrow{OB}}}=2 -\sqrt 2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_C - z_A=(2 -\sqrt 2)\,z_B}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac{z_{\overrightarrow{AC}}}{z_{\overrightarrow{OB}}}\in\R^*}}$

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ . } } } {(AC) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (OB) }$ sont parallèles.

3. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { \text i \left( z_B - z_C \right) = \overline{z_B-z_A} . }$

${ \white{ xxi } }$ $\text i \,( z_B - z_C )=\text i z_B - \text i z_C \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) }=\text i \,\text e^\frac{\text i\pi}{4} -\text i \left(2\text e^\frac{\text i\pi}{4}-\text i\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) }=\text i \,\text e^\frac{\text i\pi}{4} -2\,\text i \text e^\frac{\text i\pi}{4}-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) }= -\,\text i \text e^\frac{\text i\pi}{4}-1}. \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) }= \text e^\frac{-\text i\pi}{2}\text e^\frac{\text i\pi}{4}-1}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) }=\text e^{-\frac{\text i\pi}{4}}-1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) }=\overline{\text e^{\frac{\text i\pi}{4}}-1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) }=\overline{z_B-z_A}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text i \,( z_B - z_C ) =\overline{z_B-z_A}}$

3. b) Nous devons en déduire que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { B.}$

${ \white{ xxi } }$ $\text i \,( z_B - z_C ) =\overline{z_B-z_A}\quad\Longrightarrow\quad \Big|\,\text i \,( z_B - z_C )\Big| = \Big|\overline{z_B-z_A} \Big| \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) =\overline{z_B-z_A}}\quad\Longrightarrow\quad |\,\text i |\, | z_B - z_C | = |z_B-z_A| } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) =\overline{z_B-z_A}}\quad\Longrightarrow\quad | z_B - z_C | = |z_B-z_A| } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) =\overline{z_B-z_A}}\quad\Longrightarrow\quad CB = AB } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text i \,( z_B - z_C ) =\overline{z_B-z_A}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{BC = BA} }$

Par conséquent, le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { B.}$

4. Dans la figure ci-dessous, on a placé le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et on a construit le cercle $\overset{ { \white{ . } } } {\zeta }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } {O }$ et de rayon 1.

4. a) Vérifions que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartient au cercle $\overset{ { \white{ . } } } {\zeta }$ et construisons le point $\overset{ { \white{ _. } } } {B.}$

Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { OB=1. }$

${ \white{ xxi } }$ $OB=|z_B|=| \text e^{\frac{i\pi}{4}} |=1\quad \Longrightarrow\quad OB=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{OB=|z_B|=| \text e^{\frac{i\pi}{4}} |=1}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{B\in \zeta} }$

Bac Tunisie 2024 série maths-sciences techniques : image 7

4. b) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { \zeta }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$

Montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est la médiatrice du segment $\overset{ { \white{ . } } } { \left[ AC \right] . }$

Nous savons que la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ au cercle $\overset{ { \white{ . } } } { \zeta }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est perpendiculaire au rayon en $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {T\perp (OB). }$
Or nous avons montré dans la question 2. b) que les droites $\overset{ { \white{ . } } } {(AC) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (OB) }$ sont parallèles.
Dès lors, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{T\perp (AC)} }$

De plus, nous savons par la question 3. b) que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { B, }$ et par suite que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{BA=BC}\,. }$

De lors, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est un point de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ équidistant des extrémités du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AC]}$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { T\perp (AC). }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est la médiatrice du segment $\overset{ { \white{ . } } } { \left[ AC \right] . }$

4. c) Construisons alors sur la figure ci-dessous le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C.}$

Bac Tunisie 2024 série maths-sciences techniques : image 4

Traçons la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (OB) }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$
Par $\overset{ { \white{ _. } } } {A, }$ traçons une droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ perpendiculaire à $\overset{ { \white{ _. } } } { T. }$
Par $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ traçons un arc de cercle de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { AB }$ coupant la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et en un point $\overset{ { \white{ _. } } } { C.}$

5 points

exercice 2

L'espace $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{E} }$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { \left( O,\vec i, \vec j, \vec k \right) .}$
On donne les points $\overset{ { \white{ . } } } { A\left( 1,3,1 \right), B\left(-1,1,1 \right), C\left( 1,2,0 \right) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { I\left( 1,1,1 \right) . }$

1. a) Calculer les composantes du vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC} . }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}A(1\;;\;3\;;\;1)\\B(-1\;;\;1\;;\;1)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}-1-1\\1-3\\1-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow \quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(1\;;\;3\;;\;1)\\C(1\;;\;2\;;\;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}1-1\\2-3\\0-1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}}$

$\text{Dès lors, }\quad \overrightarrow {AB}\wedge \overrightarrow {AC}=\begin{pmatrix}(-2)\times(-1)-0\times(-1)\\0\times0-(-1)\times(-2)\\ (-2)\times(-1)-(-2)\times0\end{pmatrix} \\\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\wedge \overrightarrow {AC}=\begin{pmatrix}2\\-2\\ 2\end{pmatrix}}$

1. b) Nous devons en déduire que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ déterminent un plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ dont une équation cartésienne est $\overset{ { \white{ . } } } { x - y + z + 1 = 0 . }$

Nous observons que $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow {AB}\wedge \overrightarrow {AC}\neq \overrightarrow {0}.}$
Nous en déduisons que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {AC} }$ ne sont pas colinéaires.

Donc les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés et par conséquent, ces points déterminent un plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

De plus, nous savons que le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {AB}\wedge \overrightarrow {AC}}$ de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}2\\-2\\ 2\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

Il s'ensuit qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {2x-2y+2z+d=0 }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { d\in\R. }$

Or le point $\overset{ { \white{ . } } } { A\left( 1,3,1 \right) }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$
Ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\times1-2\times3+2\times1+d=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{d=2} }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { 2x-2y+2z+2=0, }$ soit après simplifications, l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{x-y+z+1=0}\,. }$

1. c) Nous devons vérifier que le point $\overset{ { \white{ . } } } { H\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{1}{3} \right) }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{HI} }$ est orthogonal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

Nous savons que le vecteur $\underset{ { \white{ } } } {\vec n= \overrightarrow {AB}\wedge \overrightarrow {AC}}$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

Montrons donc que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{HI} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{n} }$ sont colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix} H\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{1}{3} \right) \\I(1\;;\;1\;;\;1)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {HI}\begin{pmatrix}1-\dfrac 13\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\dfrac 53}\\\overset{ { \phantom{ . } } }{1-\dfrac 13}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow \quad\overrightarrow {HI}\begin{pmatrix}\dfrac 23\\\overset{ { \phantom{ . } } } {-\dfrac 23}\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\dfrac 23}\end{pmatrix} \\\\\overrightarrow {n}\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \overrightarrow{HI}=\dfrac 13\overrightarrow{n} }}$

Nous en déduisons que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{HI} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{n} }$ sont colinéaires.

D'où le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{HI} }$ est orthogonal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$
Vérifions que les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 13 - \dfrac 53 + \dfrac 13 +1=-\dfrac 33+1=0. }$

En résumé, le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{HI} }$ est orthogonal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ . } } } { H\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{1}{3} \right) }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

2. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ l'ensemble des points $\overset{ { \white{ . } } } { M(x,y,z) }$ de l'espace tels que : $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0.$

2. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ est la sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } {R=2. }$

${ \white{ xxi } }$ $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 2x+ y^2 - 2y+ z^2 - 2z= 1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad (x^2 - 2x+1)+ (y^2 - 2y+1)+ (z^2 - 2z+1)= 1+1+1+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{ (x-1)^2+ (y-1)^2+(z-1)^2= 4}}$

L'équation $\overset{ { \white{ _. } } } {(x-1)^2+ (y-1)^2+(z-1)^2= 4 }$ représente bien l'équation d'une sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { I(1\;;\;1\;;\;1) }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } {R=2. }$

2. b) Vérifions que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartiennent à $\overset{ { \white{ _. } } } { S. }$

Montrons que les coordonnées des points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { S. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(1-1)^2+ (3-1)^2+(1-1)^2= 0+2^2+0=4\quad\Longrightarrow\quad \boxed{A\in S} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}(-1-1)^2+ (1-1)^2+(1-1)^2= 0+(-2)^2+0=4\quad\Longrightarrow\quad \boxed{B\in S}$

D'où les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartiennent à $\overset{ { \white{ _. } } } { S. }$

2. c) Montrons que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ coupe la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ suivant un cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C}. }$

Montrons donc que la distance $\overset{ { \white{ _. } } } {d(I,P) }$ du centre $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ de la sphère au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est inférieure au rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R=2 }$ de cette sphère.

Puisque le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ , nous déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } {d(I,P)=HI. }$

${ \white{ xxi } }$ $d(I,P)=HI=\sqrt{\left(\dfrac 23\right)^2+\left(-\dfrac 23\right)^2+\left(\dfrac 23\right)^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{d(I,P)=HI}=\sqrt{\dfrac 49+\dfrac 49+\dfrac 49} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{d(I,P)=HI}=\sqrt{\dfrac {12}{9}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{d(I,P)=HI}=\dfrac {\sqrt{12}}{\sqrt 9}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{d(I,P)=HI}=\dfrac {2\sqrt{3}}{3}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(I,P)=\dfrac {2\sqrt{3}}{3}<2}$

Nous en déduisons que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ coupe la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ suivant un cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C}. }$

Caractérisons ce cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le centre de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C} }$ est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { r }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C}. }$

${ \white{ xxi } }$ $r^2+d^2=R^2\quad\Longleftrightarrow\quad r^2+\left(\dfrac{2\sqrt 3}{3}\right)^2=2^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r^2+d^2=R^2}\quad\Longleftrightarrow\quad r^2+\dfrac{12}{9}=4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r^2+d^2=R^2}\quad\Longleftrightarrow\quad r^2=4-\dfrac{12}{9}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r^2+d^2=R^2}\quad\Longleftrightarrow\quad r^2=\dfrac{24}{9}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r^2+d^2=R^2}\quad\Longleftrightarrow\quad r=\dfrac{\sqrt{24}}{3}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{r=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}}$
D'où le rayon de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C} }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { r=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}. }$

2. d) Montrons que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( AB \right) }$ coupe le cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C} }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par définition du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P, }$ les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartiennent à $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous avons montré dans la question 2. b) que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartiennent à $\overset{ { \white{ _. } } } { S. }$

Ces points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartiennent donc à $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C}, }$ intersection de $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$
Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( AB \right) }$ coupe le cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{C} }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$

3. On considère le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q : z - 1 = 0 . }$

3. a) Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q}$ sont sécants suivant la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( AB \right) . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Les points   $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$   appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ par définition de $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et par suite, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( AB \right) }$ est incluse dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$
${ \white{ Wi } }$ Les points   $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$   appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ car leurs coordonnées vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ et par suite, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( AB \right) }$ est incluse dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q. }$

Nous en déduisons que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( AB \right) }$ est incluse dans l'intersection de $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q}$ sont sécants.

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}. }$
Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { Q }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n'}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} . }$

Manifestement, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Nous en déduisons que les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q}$ sont sécants.

Dès lors, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( AB \right) }$ est incluse dans l'intersection des plans sécants $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q.}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Q}$ sont sécants suivant la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( AB \right) . }$

3. b) Soit le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E\left( 1,1,3 \right) . }$
${ \white{ xxxi } }$ Vérifions que $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } { S. }$

Les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { S. }$
En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } {(1-1)^2+ (1-1)^2+(3-1)^2= 0+0+2^2=4. }$
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{E\in S} }$

3. c) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M\left( x,y,z \right) }$ un point de l'espace.

Montrer que : $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \overrightarrow{IE} \cdot \overrightarrow{IM} = 0 }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } { Q. }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}I(1\;;\;1\;;\;1)\\E(1\;;\;1\;;\;3)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {IE}\begin{pmatrix}1-1\\1-1\\3-1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow \quad\boxed{\overrightarrow {IE}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}I(1\;;\;1\;;\;1)\\M(x\;;\;y\;;\;z)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {IM}\begin{pmatrix}x-1\\y-1\\z-1\end{pmatrix}}$

$\text{Dès lors, }\quad \overrightarrow {IE}\cdot \overrightarrow {IM}=0\quad\Longleftrightarrow\quad 0\times(x-1)+0\times(y-1)+2\times(z-1)=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Dès lors, }\quad \overrightarrow {IE}\cdot \overrightarrow {IM}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 2(z-1)=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Dès lors, }\quad \overrightarrow {IE}\cdot \overrightarrow {IM}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad z-1=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Dès lors, }\quad \overrightarrow {IE}\cdot \overrightarrow {IM}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad M\in Q} \\\\\text{D'où }\quad\boxed{\overrightarrow {IE}\cdot \overrightarrow {IM}=0\quad\Longleftrightarrow\quad M\in Q}$

4. Nous devons déterminer l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ du plan $\overset{ { \white{ _. } } } {P }$ tels que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { IME }$ soit rectangle et isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { I. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { IME }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{IE} }$ est orthogonal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{IM} ,}$ soit si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{IE}\cdot \overrightarrow{IM}=0. }$
Or nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } {\overrightarrow {IE}\cdot \overrightarrow {IM}=0\quad\Longleftrightarrow\quad M\in Q }$   (voir question 3. c)
Dès lors, nous retenons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{M\in Q}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { IME }$ est isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { IM=IE. }$
Or nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } {IM=IE \quad\Longleftrightarrow\quad M\in S }$   (voir question 3. b)
Dès lors, nous retenons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{M\in S},. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ De plus, nous savons par définition que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{M\in P}\,. }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{M\in P\cap Q\cap S}\,. }$

Or nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } {P\cap Q=(AB) }$   (voir question 3. a)

$\text{D'où}\quad M\in P\cap Q\cap S\quad\Longleftrightarrow M\in(AB)\cap S \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{D'où}\quad M\in P\cap Q\cap S}\quad\Longleftrightarrow \boxed{M\in\lbrace A,B\rbrace}}$

Par conséquent, l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ du plan $\overset{ { \white{ _. } } } {P }$ tels que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { IME }$ soit rectangle et isocèle en $\overset{ { \white{ _. } } } { I}$ est l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{\lbrace A, B\rbrace}}}$

4,5 points

exercice 3

On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } {\left( U_n \right) }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\N }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } {\begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = \sqrt{2U_n}, \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases} }$

1. a) Montrons par récurrence que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \N,\quad 0 < U_n \leq 2 . }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ . } } } { n=0, }$ soit que $\overset{{\white{.}}}{0<U_{0}\le 2.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{U_0=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0<U_0\le 2}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 0<U_n\le 2}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 0<U_{n+1}\le 2 .}$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $0<U_n\le 2\quad\Longrightarrow\quad 0<2U_n\le 4 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<U_n\le 2}\quad\Longrightarrow\quad 0<\sqrt{2U_n}\le \sqrt 4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{0<U_n\le 2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0<U_{n+1}\le 2} }$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { 0<U_n\le 2. }$

1. b) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \N,\quad U_{n+1}^2 - U_n^2 = U_n \left( 2 - U_n \right) . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \N, }$

${ \white{ xxi } }$ $U_{n+1}^2 - U_n^2 = \left(\sqrt{2U_{n}}\right)^2 - U_n^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ U_{n+1}^2 - U_n^2 }=2U_{n} - U_n^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ U_{n+1}^2 - U_n^2 }=U_{n}(2 - U_n) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\N,\quad U_{n+1}^2 - U_n^2 =U_{n}(2 - U_n) }$

Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } {\left( U_n \right) }$ est croissante.

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \N, }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} U_n>0\\U_n\le 2\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} U_n>0\\2-U_n\ge 0\end{cases} \\\phantom{\begin{cases} U_n>0\\U_n\le 2\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad U_n(2-U_n)\ge 0 \\\phantom{\begin{cases} U_n>0\\U_n\le 2\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad U_{n+1}^2 - U_n^2 \ge 0 \\\phantom{\begin{cases} U_n>0\\U_n\le 2\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad U_{n+1}^2 \ge U_n^2 \\\phantom{\begin{cases} U_n>0\\U_n\le 2\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_{n+1}\ge U_n}\quad\text{car }U_n>0,\;U_{n+1}>0$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } {\left( U_n \right) }$ est croissante.

1. c) Montrons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } {\left( U_n \right) }$ est convergente et que $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n = 2 . }$

Nous avons montré dans la question précédente que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est croissante et majorée par 2.
D'après le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est convergente.

Montrons que $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n = 2 . }$

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\sqrt{2x}. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{{\white{.}}}{[0\;;\;2]} .$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { U_{n+1}=f(U_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$

${ \white{ xxi } }$ $\ell=f(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=\sqrt{2\ell} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell^2=2\ell} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell^2-2\ell=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell\,(\ell-2)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=0\quad\text{ou}\quad\,\ell-2=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=0\quad\text{ou}\quad\,\,\ell=2}$

Or la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (U_n) }$ est croissante et nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { U_0=1. }$
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { \ell\ge1}$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\ell = 2. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=2}}$

2. On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } {\left( V_n \right) }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\N }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { V_n = \ln 2 - \ln U_n . }$

Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } {\left( V_n \right) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{1}{2} }$ dont on précisera le premier terme.

${ \white{ xxi } }$ $V_{n+1}=\ln 2 - \ln U_{n+1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V_{n+1} } =\ln 2 - \ln \sqrt{2U_n} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V_{n+1} } =\ln 2 - \dfrac 12\ln (2U_n) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V_{n+1} } =\ln 2 - \dfrac 12(\ln 2+\ln U_n)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V_{n+1} } =\ln 2 - \dfrac 12\ln 2- \dfrac 12\ln U_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V_{n+1} } =\dfrac 12\ln 2- \dfrac 12\ln U_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V_{n+1} } =\dfrac 12(\ln 2- \ln U_n)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{V_{n+1} } =\dfrac 12\,V_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{V_{n+1}=\dfrac12\,V_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:V_0=\ln 2 - \ln U_{0}=\ln 2 - \ln 1\Longrightarrow\boxed{V_0=\ln2}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ } } } { q=\dfrac 12 }$ dont le premier terme est $\overset{ { \white{ . } } } { V_0=\ln 2. }$

3. Pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \mathbb{N}^* , }$ on pose $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n = V_0 + V_1 + \ldots + V_{n-1} . }$

3. a) Nous devons montrer que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \mathbb{N}^* ,\quad S_n = 2 \ln 2 \left( 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right) . }$

La somme $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n }$ représente la somme des $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n). }$
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $S_n=V_0\times\dfrac{1-q^n}{1-q} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S_n}=\ln 2\times\dfrac{1-\left(\dfrac 12\right)^n}{1-\dfrac 12} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S_n}=\ln 2\times\dfrac{1-\left(\dfrac 12\right)^n}{\dfrac 12} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ S_n}=2\ln 2\times \left(1-\left(\dfrac 12\right)^n\right) } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,n \in \mathbb{N}^* , \quad S_n = 2 \ln 2 \left( 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right) .}$

3. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n . }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{n \to +\infty}\left( \dfrac{1}{2} \right)^n=0\quad\text{car }\; 0<\dfrac12<1. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^n\right)=1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n \to +\infty}2\ln 2\left(1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^n\right)=2\ln 2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{n \to +\infty}\left(1-\left( \dfrac{1}{2} \right)^n\right)=1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}S_n=2\ln 2 }}$

3. c) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{n \to +\infty} e^{\ln 2-\frac{S_n}{n}} = 2 . }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{n \to +\infty}S_n=2\ln 2\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{S_n}{n}=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{n \to +\infty}S_n=2\ln 2}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n \to +\infty}\left(\ln 2-\dfrac{S_n}{n}\right)=\ln 2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{n \to +\infty}S_n=2\ln 2}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n \to +\infty}\text e^{\left(\ln 2-\frac{S_n}{n}\right)}=\text e^{\ln 2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{n \to +\infty}S_n=2\ln 2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}\text e^{\left(\ln 2-\frac{S_n}{n}\right)}=2} }$

6,5 points

exercice 4

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {] 0, +\infty [ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = (\ln(x) - 1)^2 . }$
On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( C_f \right) }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( 0, \vec i, \vec j \right) . }$

1. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)}$ et interpréter graphiquement.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln(x)=-\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x \to 0^+}(\ln(x)-1)=-\infty \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x \to +\infty}S_n=2\ln 2}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}(\ln(x)-1)^2=+\infty } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x \to +\infty}S_n=2\ln 2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=+\infty} }$

Interprétation graphique : La courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( C_f \right) }$ admet une asymptote verticale d'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0. }$

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x).}$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x \to +\infty}(\ln(x)-1)=+\infty \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x \to +\infty}S_n=2\ln 2}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}(\ln(x)-1)^2=+\infty } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x \to +\infty}S_n=2\ln 2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x \to+\infty}f(x)=+\infty} }$

1. c) Nous devons vérifier que pour tout $\overset{ { \white{ } } } { x > 0 ,\quad \dfrac{f(x)}{x} = \left( \dfrac{\ln(x)}{\sqrt{x}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 , }$ puis montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0 . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x > 0 , }$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{ (\ln(x) - 1)^2 }{x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{f(x)}{x}}=\dfrac{ (\ln(x) - 1)^2 }{(\sqrt x)^2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{f(x)}{x}}=\left(\dfrac{ \ln(x) - 1 }{\sqrt x}\right)^2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{f(x)}{x}}=\left(\dfrac{ \ln(x) }{\sqrt x}-\dfrac{ 1 }{\sqrt x}\right)^2 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\quad \dfrac{f(x)}{x}=\left(\dfrac{ \ln(x) }{\sqrt x}-\dfrac{ 1 }{\sqrt x}\right)^2 }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{ \ln(x) }{\sqrt x}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{ 1}{\sqrt x}=0} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{ \ln(x) }{\sqrt x}-\dfrac{ 1 }{\sqrt x}\right)^2=0 }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0} }$

Interprétation graphique : La courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \left( C_f \right) }$ admet une branche infinie parabolique au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ de direction celle de l'axe des abscisses.

2. a) Nous devons montrer que pour tout $\overset{ { \white{ } } } { x > 0 ,\quad f'(x) = \dfrac{2(\ln(x)-1)}{x} . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x > 0 , }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big((\ln(x)-1)^2\Big)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=2\Big(\ln(x)-1\Big)'(\ln(x)-1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=2\times\dfrac 1x\times(\ln(x)-1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac {2(\ln(x)-1)}{x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\quad f'(x)=\dfrac {2(\ln(x)-1)}{x} }$

2. b) Étudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x>0 }$ et dressons le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } {f. }$

$\begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } {\ln(x)-1>0\Longleftrightarrow \ln(x)>1}\\\phantom{WWxW}\Longleftrightarrow x>\text e \\\\ \overset{ { \white{.} } } {\ln(x)-1=0\Longleftrightarrow x=\text e}\\\\\ln(x)-1<0\Longleftrightarrow x<\text e \\\\\\\overset{ { \white{.} } } {f(\text{e})=2(\ln(\text e)-1)^2=0}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0\phantom{WW}&&\text e&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||\phantom{WW}&&&&\\2(\ln(x)-1)&||\phantom{WW}&-&0&+&\\x&0\phantom{WW}&+&+&+&\\&||\phantom{WW}&&&&\\\hline&||\phantom{WW}&&&&\\f'(x)&||\phantom{WW}&-&0&+&\\&||\phantom{WW}&&&&\\\hline&||+\infty&&&&+\infty\\f&||\phantom{WW}&\searrow&&\nearrow&\\&||\phantom{WW}&&0&&\\\hline \end{array}$

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0, +\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x) = f(x) - x. }$

On donne ci-après le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { g. }$

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0\phantom{WW}&&&&+\infty\\ &&&&&\\\hline&||+\infty&&&&\\g(x)&||\phantom{WW}&\searrow&\searrow&\searrow&\\&||\phantom{WW}&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

3. a) Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { g(1) }$ puis déterminons le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0, +\infty[ . }$

${ \white{ xxi } }$ $g(1)=f(1)-1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g(1)} =(\ln(1)-1)^2-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g(1)} =(-1)^2-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ g(1)} =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=0}$

Nous pouvons compléter le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { g. }$

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0\phantom{WW}&&1&&+\infty\\ &&&&&\\\hline&||+\infty&&&&\\g(x)&||\phantom{WW}&\searrow&0&\searrow&\\&||\phantom{WW}&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

D'où le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0, +\infty[ . }$

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&1&&+\infty\\ &&&&&\\\hline&||&&&&\\g(x)&||&+&0&-&\\&||&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, pour $\overset{ { \white{ _. } } } { 0<x<1,\quad g(x)>0 }$
${ \white{ WWWWWWx } }$ pour $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1,\quad g(x)=0 }$
${ \white{ WWWWWWx } }$ pour $\overset{ { \white{ _. } } } { x>1,\quad g(x)<0 .}$

3. b) Nous devons en déduire la position relative de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ par rapport à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } {\Delta : y = x . }$

La position relative de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ par rapport à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } {\Delta : y = x}$ est donnée par le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)}$ étudié dans la question 3.a)

Nous en déduisons que :

${\white{xxx}}\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ est au-dessus de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ pour $\overset{ { \white{ _. } } } { 0<x<1}$
${\white{xxx}}\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ est en dessous de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ pour $\overset{ { \white{ _. } } } { x > 1}$
${\white{xxx}}\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ coupe la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ pour $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1.}$

4. Traçons dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { \left( 0, \vec i, \vec j \right),}$ la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et plaçons le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E(\text e,0) . }$
Traçons la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ dans ce repère $\overset{ { \white{ . } } } { \left( 0, \vec i, \vec j \right) }$ (voir question 5. b)

5. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { h}$ la restriction de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ à l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {]0, \text e] . }$

5. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } {]0, \text e] }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0, +\infty[ . }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]0, \text e] }$ (voir question 2.b)
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to0^+}h(x)=\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\\\overset{ { \white{ . } } } {h(\text e)=f(\text e)=0}\end{cases}}$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } {]0, \text e] }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0, +\infty[ . }$

On note $\overset{ { \white{ _. } } } { h^{-1} }$ la fonction réciproque de $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ et on désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma)}$ sa courbe représentative dans le repère $\overset{ { \white{ . } } } { \left( 0, \vec i, \vec j \right) . }$

5. b) Nous devons tracer la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma) . }$

Les courbes $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma) }$ sont symétriques par rapport à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } {\Delta : y = x.}$

Bac Tunisie 2024 série maths-sciences techniques : image 6

6. a) À l'aide d'une intégration par parties, montrons que : $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_{1}^{\text e} f(x)\,\text{d}x = -1 - \displaystyle\int_{1}^{e} xf'(x)\,\text{d}x. }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{\text e} f(x)\,\text{d}x. }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{\text e}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{\text e}- \displaystyle\int\limits_1^{\text e}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\\begin{cases}u(x)=f(x)\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=f'(x) \\v'(x)=1\phantom{W}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=x\end{cases}$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{\text e} f(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{x\,f(x)}\right]_{1}^{\text e}-\displaystyle\int_{1}^{\text e}x\times f'(x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\Big(\text e\,f(\text e)-1\,f(1)\Big)-\displaystyle\int_{1}^{\text e}x f'(x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\Big(0-1\Big)-\displaystyle\int_{1}^{\text e}x f'(x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=-1-\displaystyle\int_{1}^{\text e}x f'(x)\,\text{d}x}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{1}^{\text e} f(x)\,\text{d}x = -1 - \displaystyle\int_{1}^{e} xf'(x)\,\text{d}x}$

6. b) Montrons que : $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_{1}^{\text e} xf'(x)dx = 2(2-\text e). }$

Nous avons montré dans la question 2. a) que pour tout $\overset{ { \white{ } } } { x > 0 ,\quad f'(x) = \dfrac{2(\ln(x)-1)}{x} . }$
D'où, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x > 0 ,\quad x\,f'(x) = 2(\ln(x)-1) . }$

Il s'ensuit que : $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_{1}^{\text e} xf'(x)\,\text dx = \int_{1}^{\text e} 2(\ln(x)-1)\,\text dx . }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{\text e} 2(\ln(x)-1)\,\text dx . }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{\text e}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{\text e}- \displaystyle\int\limits_1^{\text e}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\\begin{cases}u(x)=\ln(x)-1\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\dfrac 1x \\v'(x)=2\phantom{WWW}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=2x\end{cases}$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{\text e} 2(\ln(x)-1)\,\text dx=\left[\overset{}{2x\,(\ln(x)-1)}\right]_{1}^{\text e}-\displaystyle\int_{1}^{\text e}\dfrac 1x\times 2x\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWxWWWW}=\Big(2\text e\,(\ln(\text e)-1)-2\,(\ln(1)-1)\Big)-\displaystyle\int_{1}^{\text e}2\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWxWW}=\Big(0+2\Big)-\Big[2x\Big]_{1}^{\text e} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWxWWWWW}=2-(2\text e-2)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWxWWW}=4-2\text e} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWxW}=2(2-\text e)}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{1}^{\text e} xf'(x)dx = 2(2-\text e)}$

6. c) Nous devons en déduire l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A}, }$ en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma) }$ et les droites d'équations $\overset{ { \white{ -. } } } { y = 1 , x = 0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {x = 1 . }$

L'aire demandée est donnée par : $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A}=\displaystyle\int\limits_0^{1}\Big|h^{-1}(x)-1\Big|\,\text{d}x. }$
Nous savons que les courbes $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma) }$ sont symétriques par rapport à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } {\Delta : y = x.}$
Il en découle que $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A}=\displaystyle\int\limits_1^{\text e}f(x)\,\text{d}x. }$ (voir figure à la question 5. b)

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal{A}=\displaystyle\int\limits_1^{\text e}f(x)\,\text{d}x \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}}=-1 - \displaystyle\int_{1}^{e} xf'(x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}}=-1 - 2(2-\text e)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}}=-5+2\text e} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \mathcal{A}=(2\text e-5)\,\text{u. a.}}$

_{Merci à Hiphigénie et Malou pour l'élaboration de cette fiche}

Publié par malou le 10-02-2025

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