Soit la fonction numérique définie sur l'intervalle par :
et pour tout
1. Montrons que est continue à droite en 1.
Nous savons que
Calculons
Nous en déduisons que
Par conséquent, la fonction est continue à droite en 1.
2. Calculons
Donc la courbe admet une asymptote horizontale
d'équation au voisinage de
3. a) Soit
En posant , vérifions que :
En effet,
Nous en déduisons que pour tout
3. b) Montrons que
Soit la fonction définie sur l'intervalle par
La fonction est continue sur et dérivable sur
Selon le théorème des accroissements finis, nous obtenons :
soit car
Or, pour tout
Par conséquent,
3. c) Nous devons en déduire que
Nous avons montré que pour tout
Puisque nous obtenons :
D'où
En appliquant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous déduisons que :
Par conséquent,
4. a) Montrons que :
Pour tout
4. b) Nous devons en déduire que est dérivable à droite en 1.
Montrons que existe et est un nombre réel.
Par conséquent,
Nous en déduisons que est dérivable à droite en 1 et que la courbe admet au point d'abscisse 1, une tangente de coefficient directeur égal à
5. Pour tout on pose
5. a) Montrons que :
Soit
Pour tout
Par la positivité de l'intégrale, nous obtenons :
Par conséquent,
Soit
Pour tout
Par la positivité de l'intégrale, nous obtenons :
Par conséquent,
En conséquence, nous obtenons :
5. b) Montrons que :
Pour tout
5. c) Montrons que :
La fonction est dérivable sur
D'une part, pour tout
D'autre part, pour tout
En conséquence,
5. d) Nous devons en déduire que :
Montrons que
D'une part, pour tout
D'autre part, par la question 5. a), nous savons que pour tout
Nous en déduisons que pour tout soit
Montrons que
D'une part, pour tout
D'autre part, par la question 5. a), nous savons que pour tout
Nous en déduisons que pour tout soit Par conséquent,
6. a) Puisque pour tout la fonction est décroissante sur
Nous pouvons alors dresser le tableau de variations de la fonction
6. b) Traçons la courbe
7. Montrons que l'équation admet une unique solution dans [1 ; 2].
Soit la fonction définie sur par
La fonction est continue et dérivable sur l'intervalle
Pour tout
Il s'ensuit que la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle
De plus,
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que
D'où l'équation admet une unique solution sur l'intervalle
Dès lors, l'équation admet une unique solution sur l'intervalle
8. Soit la suite numérique définie par :
8. a) Montrons que :
Selon la question 7, nous savons que , soit que
Nous obtenons alors :
De plus, nous avons montré dans la question 5. d) que et par suite que
Selon l'inégalité des accroissements finis, nous déduisons que
Dès lors,
8. b) Montrons par récurrence que :
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors nous avons :
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que:
8. c) Nous devons en déduire que la suite est convergente.
Nous avons démontré que
Or car
Nous en déduisons que
Par conséquent, la suite converge vers le réel
2,5 points
exercice 2
Soit la fonction numérique définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : 1. a) Nous devons montrer que est continue et strictement croissante sur [0 ; 1].
Soit la fonction numérique définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : est continue sur [0 ; 1]
Nous observons alors que la fonction est définie sur l'intervalle [0 ; 1] par :
Selon le théorème fondamental de l'analyse, nous déduisons que la fonction est dérivable sur [0 ; 1] et par suite est continue sur [0 ; 1].
De plus, soit
Dès lors, est strictement croissante sur [0 ; 1].
1. b) La fonction est continue et strictement croissante sur [0 : 1].
De plus,
Posons
Donc la fonction est une bijection de [0 ; 1] vers [0 ; ] avec
2. On note la bijection réciproque de
Pour tout on pose
2. a) Montrons que la suite est convergente.
Nous avons montré que la fonction est continue sur l'intervalle [0 ; 1].
Dès lors, la fonction est continue sur [0 ; ].
Selon le théorème des sommes de Riemann, nous déduisons que
Par conséquent,
Nous en déduisons donc que la suite est convergente de limite
2. b) Montrons que
Soit le changement de variable :
Nous avons alors :
De plus,
Nous en déduisons que :
Par conséquent,
2. c) Nous devons en déduire que :
En effet,
3,5 points
exercice 3
On considère dans l'équation d'inconnue
Partie I :
1. a) Montrons que le discriminant de l'équation est
1. b) L'équation admet deux solutions distinctes dans si et seulement si
Par conséquent, l'ensemble des valeurs de pour lesquelles l'équation admet deux solutions distinctes dans est
2. On note et les solutions de l'équation
Nous savons que si l'équation avec admet deux racines et alors :
et
Dès lors,
Partie II :
Soient et les points d'affixes respectives et
1. On suppose que avec
1. a) Déterminons et en fonction de
Calculons le discriminant de l'équation
Calculons les solutions de l'équation
D'où les solutions de l'équation sont et
1. b) Nous devons en déduire que les points et sont alignés.
Les nombres et sont des nombres imaginaires purs car et
Par conséquent, les points et sont alignés car ils appartiennent à l'axe imaginaire.
2. On suppose que les points et ne sont pas alignés.
Nous savons montré dans la question 1. que si avec alors les points et sont alignés.
Dans cette question 2., les points et ne sont pas alignés.
Dès lors, ne peut pas s'écrire sous la forme avec et par suite ne peut pas être le réel nul.
Il s'ensuit que
Nous en déduisons que et
2. a) Montrons que est un imaginaire pur si et seulement si
D'où
2. b) Montrons que :
D'une part, nous obtenons :
D'autre part, nous obtenons :
Par conséquent,
2. c) Nous devons en déduire que est un imaginaire pur si et seulement si
Nous avons montré que , soit que
De plus,
Nous obtenons alors :
Par conséquent, est un imaginaire pur si et seulement si
3. a) Montrons que
3. b) Nous devons déterminer l'ensemble des points pour que le triangle soit rectangle en
Remarquons que si est un triangle, alors les points et ne sont pas alignés.
Nous obtenons alors les conditions suivantes :
Le triangle est rectangle en
Soit le point d'affixe -1.
Dans ce cas,
D'où le point appartient au cercle de centre et de rayon 1.
Rappelons les conditions sur
ce qui signifie que le point n'appartient pas au cercle
ce qui signifie que le point n'est pas le centre du cercle , ce qui est cohérent.
Par conséquent, l'ensemble est le cercle de centre et de rayon 1, privé du point
3,5 points
exercice 4
On considère dans la loi de composition interne définie par :
1. a) Nous devons vérifier que puis calculer
1. b) Montrons que la loi n'est pas commutative.
D'où la loi n'est pas commutative.
2. Montrons que la loi est associative dans
Pour tout
D'où
Par conséquent, la loi est associative dans
3. Nous devons vérifier que (0 ; 1) est l'élément neutre pour dans
Par conséquent, (0 ; 1) est l'élément neutre pour dans
4. a) Nous devons vérifier que
Par conséquent, tout élément de admet un symétrique à droite pour la loi .
Montrons que tout élément de admet un symétrique à gauche pour la loi .
Par conséquent, tout élément de admet un symétrique à gauche pour la loi .
Nous en déduisons que tout élément de admet un symétrique pour la loi .
4. b) Montrons que est un groupe non commutatif.
La loi est interne et partout définie dans La loi est associative dans La loi admet (0 ; 1) comme élément neutre dans La loi est inversible dans , le symétrique de étant La loi n'est pas commutative dans
D'où est un groupe non commutatif.
5. a) Nous devons montrer que est stable pour la loi de composition interne
Nous savons que est une partie non vide de
De plus,
Par conséquent, est stable pour la loi de composition interne
5. b) Nous devons montrer que est un sous-groupe du groupe
est une partie non vide de
Nous savons par la question 4.b) que le symétrique de est
Montrons que
Pour tout
Par conséquent, est un sous-groupe du groupe
3 points
exercice 5
Soient et deux nombres premiers distincts et un entier naturel premier avec et avec
1. a) Nous devons montrer que divise et que divise
Par hypothèse, nous savons que est un nombre premier et que est un entier naturel premier avec
Selon le petit théorème de Fermat, nous avons :
Nous en déduisons que divise
De même, nous savons que est un nombre premier et que est un entier naturel premier avec
Selon le petit théorème de Fermat, nous avons :
Nous en déduisons que divise
1. b) Selon la question précédente, nous obtenons :
Dès lors, divise
De même, nous obtenons :
Dès lors, divise
1. c) et divisent et et sont deux nombres premiers distincts et par suite, sont premiers entre eux.
Dans ce cas, nous en déduisons que divise
2. Nous devons résoudre dans l'équation (On donne :
Nous observons que :
et sont deux nombres premiers distincts est premier avec et
En utilisant le résultat de la question précédente, nous déduisons que divise
Autrement dit, 221 divise
ou encore 221 divise , soit
Dès lors,
Par conséquent, l'ensemble des solutions entières de l'équation est
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Publié par malou
le
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