Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Epreuve de Mathématiques

Mauritanie 2024

Séries Sciences Naturelles et TSGE

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Coefficient : 6 & 4

Durée : 4 heures



3 points

exercice 1

Une étude statistique a montré que, parmi les personnes consultées dans un centre médical, 8% sont atteintes de la grippe, 10% présentent les symptômes de la grippe et que parmi les personnes atteintes de la grippe 80 % en présentent les symptômes.

On choisit, au hasard, une personne consultée et on considère les événements : G : « La personne est atteinte de la grippe » ; S : « La personne présente les symptômes de la grippe».

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des réponses proposées est correcte.

Bac Mauritanie 2024 Séries ScNat &TSGE : image 1

Recopier sur la feuille de réponse et compléter le tableau ci-après en choisissant la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

Bac Mauritanie 2024 Séries ScNat &TSGE : image 2


2 points

exercice 2

A l'instant  t = 0  , on injecte à un patient, par voie intraveineuse, une dose d'un médicament. La concentration du médicament dans le sang  Q(t)  est mesurée en mg / l et le temps  t  est en heures. On suppose que  Q(t)  vérifie l'équation différentielle  (E)\;:\;y'(t)+0,4y(t)=0  avec  Q(0)=2.  Le médicament devient inefficace si  Q(t)\leqslant 0,1. 

1. Montrer que la solution générale de l'équation  (E)  est de la forme  y(t)=A\text e^{-0,4t}\;,\;A\in \textbf R 

2. En déduire que l'expression de la concentration du médicament est  Q(t)=2\text e^{-0,4t}. 

3. Déterminer la concentration du médicament, en mg / l , au bout de 5 heures.

4. Déterminer le temps nécessaire  t  pour que le médicament devienne inefficace.

5 points

exercice 3

Soit  f  la fonction définie sur  \textbf R  par :  f(x)=x-3+\dfrac 12\text e ^x. 

On note  \Gamma  sa courbe représentative dans un repère orthonormé  \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right). 

1. a. Justifier que  \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty  et  \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty . 

 \white w  b. Calculer  \lim\limits_{x\to +\infty} {\dfrac{f(x)}{x}}  et interpréter graphiquement.

 \white w  c. Calculer  \lim\limits_{x\to -\infty} (f(x)-(x-3))  et en déduire que la droite  D  d'équation  y=x-3  est une asymptote oblique à  \Gamma.  Déterminer la position relative de  D  et  \Gamma . 

2. Calculer  f'(x) , pour tout  x  de  \textbf R  et dresser le tableau de variations de  f. 

3. a. Montrer que l'équation  f(x)=0  admet une unique solution  \alpha  dans  \textbf R  et que  1,2 < \alpha < 1,3. 

 \white w  b. Construire  D  et  \Gamma  dans le repère précédent.

5 points

exercice 4

1. On considère le polynôme  P  défini pour tout nombre complexe  z  par :

 P(z)=z^ 3-(5+4\text i)z^ 2+(1+16\text i)z+3-12\text i 


 \white w  a. Calculer  P(1)  et déterminer les nombres  a  et  b  tels que :  \forall z\in \textbf C\,,\,P(z)=(z-1)(z^2+az+b). 

 \white w  b. Ecrire le nombre  (4-2\text i)^2  sous forme algébrique.

 \white w  c. Résoudre dans  \textbf C  l'équation  P(z)=0. 

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé  \left(O\;;\;\overrightarrow u\,,\,\overrightarrow v\right). 

 \white w  a. Placer les points  A\,,\,B\text{ et } C  d'affixes respectives  z_A=3\text i\;,\; z_B=1 \text{ et } z_C=4+\text i. 

 \white w  b. Soit   I  le milieu du segment  [AC] . Placer  I  et donner son affixe  z_I  sous forme algébrique et trigonométrique.

 \white w  c. Déterminer le plus petit entier naturel  n  tel que  |z_I^n|\geqslant 2024. 

3. Pour tout nombre complexe  z\neq 4+\text i , on pose :  f(z)=\dfrac{z-3\text i}{z-4-\text i}. 

 \white w  a. Vérifier que  f(z_B)=\text i  et en déduire la nature du triangle  ABC .

 \white w  b. Déterminer et construire l'ensemble  \Gamma  des points  M , d'affixe  z , tels que  |f(z)|=1. 

5 points

exercice 5

I. Soit  u  la fonction définie sur  ]0\;,\;+\infty[  par  u(x)=2x-1-\ln x. 

1. Etudier les variations de  u. 

2. En déduire que  u(x)  est positive sur  ]0\;,\;+\infty[ .


II. On considère la fonction  g  définie sur  [0\;,\;+\infty[  par :  g(x)=\left\lbrace\begin{matrix} x^ 2-2-x\ln x& ,& \text{ si } x>0 \\ g(0)=-2 \end{matrix}\right. 

et soit  (C)  sa courbe représentative dans un repère orthonormé  \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right). 

1. a. Calculer  \lim\limits_{x\to 0^ +}g(x).  En déduire que  g  est continue à droite de  x_0=0. 

 \white w  b. Montrer que  \lim\limits_{x\to 0^+}{\dfrac{g(x)-g(0)}{x}=+\infty  et interpréter graphiquement.

 \white w  c. Montrer que  \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty  et  \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{g(x)}{x}=+\infty  et interpréter graphiquement.

2. a. Montrer que  g'(x)=u(x)  pour tout  x  de  ]0\;,\;+\infty[  où  u  est la fonction définie dans la partie I.

Dresser le tableau de variation de  g .

 \white w  b. Déterminer une équation de la tangente  (T)  à  (C)  au point d'abscisse  x_0=1. 

 \white w  c. Montrer que la courbe  (C)  coupe l'axe  (Ox)  en un seul point  A  dont l'abscisse  \alpha  est telle que  1,7<\alpha < 1,8. 

 \white w  d. Vérifier que la courbe  (C)  admet un point d'inflexion  B  et déterminer ses coordonnées.

3. Construire la courbe  (C)  et la tangente  (T)  dans le repère  \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right). 




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3 points

exercice 1

Une étude statistique a montré que, parmi les personnes consultées dans un centre médical, 8% sont atteintes de la grippe, 10% présentent les symptômes de la grippe et que parmi les personnes atteintes de la grippe 80 % en présentent les symptômes.
On choisit, au hasard, une personne consultée et on considère les événements :
{ \white{ xxi } }G : « La personne est atteinte de la grippe » ;
{ \white{ xxi } }S : « La personne présente les symptômes de la grippe ».

Dressons un arbre pondéré utilisant les données incomplètes de l'énoncé.

Bac Mauritanie 2024 Séries ScNat &TSGE : image 10

1.  Nous devons calculer \overset{ { \white{ . } } } { P(G) }
{ \white{ xi} } La réponse A est correcte.

Parmi les personnes consultées dans un centre médical, 8% sont atteintes de la grippe.

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } { P(G)=\dfrac{8}{100}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P(G)=0,08} }


2.  Nous devons calculer \overset{ { \white{ . } } } { P_G(S) }
{ \white{ xi} }La réponse B est correcte.

Parmi les personnes atteintes de la grippe 80 % en présentent les symptômes.

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } P_G(S)=\dfrac{80}{100}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_G(S)=0,8}



3.  Nous devons calculer \overset{ { \white{ . } } } { P(G\cap S) }
{ \white{ xi} } La réponse C est correcte.

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } {P(G\cap S)=P(G)\times P_G(S)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(G\cap S) } =0,08\times 0,8 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(G\cap S) } =0,064} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P(G\cap S) =0,064}


4.  Nous devons calculer \overset{ { \white{ . } } } { P(G\cap \overline S) }
{ \white{ xi} }La réponse B est correcte.

Nous savons par les questions précédentes que \overset{ { \white{ . } } } { P(G)=0,08} et que \overset{ { \white{ . } } } {P(G \cap S)=0,064. }

Nous en déduisons que :

{ \white{ xxi } }  P(G)=P(G\cap S)+P(G\cap \overline S)\quad\Longleftrightarrow\quad 0,08=0,064+P(G\cap \overline S)  \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(G)=P(G\cap S)+P(G\cap \overline S)}\quad\Longleftrightarrow\quad P(G\cap \overline S)= 0,08 -0,064 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(G)=P(G\cap S)+P(G\cap \overline S)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(G\cap \overline S)= 0,016 }}


5.  Nous devons calculer \overset{ { \white{ . } } } { P(G\cup S) }
{ \white{ xi} } La réponse B est correcte.

Nous savons par les questions précédentes que \overset{ { \white{ . } } } { P(G)=0,08} et que \overset{ { \white{ . } } } {P(G \cap S)=0,064. }

De plus, parmi les personnes consultées, 10% présentent les symptômes de la grippe, soit \overset{ { \white{ . } } } { P(S)=0,10. }

Nous obtenons ainsi :

{ \white{ xxi } } \overset{ { \white{ . } } } {  }  P(G\cup S)=P(G)+P(S)-P(G\cap S)\quad\Longleftrightarrow\quad P(G\cup S)=0,08+0,1-0,064 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(G\cup S)=P(G)+P(S)-P(G\cap S)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(G\cup  S)= 0,116 }}


6.  Nous devons calculer \overset{ { \white{ . } } } { P_ G(\overline S) }
{ \white{ xi} }La réponse A est correcte.

Nous savons par la question 2. que \overset{ { \white{ . } } } { P_G(S)=0,8.}
Dès lors,

{ \white{ xxi } }  P_ G( S)+P_ G(\overline S)=1\quad\Longleftrightarrow\quad 0,8+P_ G(\overline S)=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_ G( S)+P_ G(\overline S)=1}  \quad\Longleftrightarrow\quad P_ G(\overline S)=1-0,8} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P_ G( S)+P_ G(\overline S)=1}  \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P_ G(\overline S)=0,2}}


En résumé, nous obtenons :


{ \white{ WWWWW } } \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&&\text{Question n}°&\phantom{x}1\phantom{x}&\phantom{x}2\phantom{x}&\phantom{x}3\phantom{x}&\phantom{x}4\phantom{x}&\phantom{x}5\phantom{x}&\phantom{x}6\phantom{x}&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\text{Réponse}&A&B&C&B&B&A\\&&&&&&\\\hline \end{array}


2 points

exercice 2

A l'instant  \overset{ { \white{ . } } } { t=0, }  on injecte à un patient, par voie intraveineuse, une dose d'un médicament.
La concentration du médicament dans le sang  \overset{ { \white{ . } } } { Q(t) }  est mesurée en mg / l et le temps  \overset{ { \white{ _. } } } { t }  est en heures.
On suppose que  \overset{ { \white{ . } } } { Q(t) }  vérifie l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { (E)\;:\;y'(t)+0,4y(t)=0 }  avec  \overset{ { \white{ . } } } { Q(0)=2. }
Le médicament devient inefficace si  \overset{ { \white{ . } } } { Q(t)\leqslant 0,1.  }

1.  Nous devons montrer que la solution générale de l'équation   \overset{ { \white{ . } } } { (E) }  est de la forme  \overset{ { \white{ . } } } { y(t)=A\text e^{-0,4t}\;,\;A\in \R . }

En effet,

{ \white{ xxi } }y'(t)+0,4y(t)=0\quad\Longleftrightarrow\quad y'(t)=-0,4y(t) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{y'(t)}{y(t)}=-0,4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \Big(\ln y(t)\Big)'=(-0,4t)' } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln y(t)=-0,4t+C\quad \text{avec } C\in\R} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad y(t)=\text e^{-0,4t+C}\quad \text{avec } C\in\R}

{ \white{ WWWWWWWWWW } }\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad y(t)=\text e^{-0,4t}\times \text e^{C}\quad \text{avec } C\in\R} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad y(t)=\text e^{C}\,\text e^{-0,4t}\quad \text{avec } C\in\R} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{y(t)=\text A\,\text e^{-0,4t}\quad \text{où } A=\text e^C\in\R}}

Par conséquent, la solution générale de l'équation   \overset{ { \white{ . } } } { (E) }  est de la forme  \overset{ { \white{ . } } } { y(t)=A\text e^{-0,4t}\;,\;A\in \R . }


2.  Nous devons en déduire que l'expression de la concentration du médicament est  \overset{ { \white{ . } } } { Q(t)=2\text e^{-0,4t}.  } 

Nous savons que  \overset{ { \white{ . } } } { Q(t) }  vérifie l'équation différentielle  \overset{ { \white{ . } } } { (E)\;:\;y'(t)+0,4y(t)=0 }  avec  \overset{ { \white{ . } } } { Q(0)=2, } soit  \overset{ { \white{ . } } } { y(0)=2. }

{ \white{ xxi } }y(0)=2\quad\Longleftrightarrow\quad \text A\,\text e^{0}=2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y(0)=2} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\text A=2 }}

Nous en déduisons que l'expression de la concentration du médicament est  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{Q(t)=2\text e^{-0,4t}}\,.  } 


3.  Nous devons déterminer la concentration du médicament, en mg / l , au bout de 5 heures.

{ \white{ xxi } }Q(t)=2\text e^{-0,4t}\quad\Longrightarrow\quad Q(5)=2\text e^{-0,4\times5} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Q(t)=2\text e^{-0,4t}} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{Q(5)=2\text e^{-2}}}

D'où la concentration du médicament au bout de 5 heures est de  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ 2\text e^{-2}\,\text{mg/l}}\,. } 

4.  Nous devons déterminer le temps nécessaire  \overset{ { \white{ _. } } } { t }  pour que le médicament devienne inefficace.

Nous savons que le médicament devient inefficace si  \overset{ { \white{ . } } } { Q(t)\leqslant 0,1.  }

{ \white{ xxi } }Q(t)\le 0,1\quad\Longleftrightarrow \quad 2\text e^{-0,4t}\le0,1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Q(t)\le 0,1} \quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{-0,4t}\le 0,05} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Q(t)\le 0,1} \quad\Longleftrightarrow\quad -0,4t\le \ln0,05} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ Q(t)\le 0,1} \quad\Longleftrightarrow\quad t  \ge -\dfrac{\ln0,05}{0,4}} \\\\\text{Or }\quad -\dfrac{\ln0,05}{0,4}\approx7,49

Nous en déduisons que le médicament devient inefficace sept heures et demie après son injection au patient.


5 points

exercice 3

Soit  \overset{ { \white{ . } } } { f }  la fonction définie sur  \overset{ { \white{ _. } } } { \R }  par :  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x-3+\dfrac 12\text e ^x.  } 
On note  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { \Gamma }  sa courbe représentative dans un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right).  } 

1. a)  Nous devons justifier que  \overset{ { \white{ E. } } } { \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty }  et  \overset{ { \white{ O. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty .   } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ E. } } } { \lim\limits_{x\to -\infty} f(x).} 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty} (x-3)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty} \text e^x=0\phantom{WWW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty} (x-3)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac 12 \text e^x=0\phantom{WW}\end{matrix}\right. \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty} (x-3)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty} \text e^x=0\phantom{WWW}\end{matrix}\right. }\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty} (x-3+\dfrac 12\text e^x)=-\infty} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty} (x-3)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty} \text e^x=0\phantom{WWW}\end{matrix}\right. }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=-\infty}}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ E. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} f(x).} 

{ \white{ xxi } }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty} (x-3)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \text e^x=+\infty\phantom{wW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty} (x-3)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac 12 \text e^x=+\infty\phantom{WW}\end{matrix}\right. \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty} (x-3)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \text e^x=+\infty\phantom{wW}\end{matrix}\right. }\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty} (x-3+\dfrac 12\text e^x)=+\infty} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty} (x-3)=-\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} \text e^x=+\infty\phantom{wW}\end{matrix}\right. }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}}


1. b)  Calculons  \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}. 

Pour tout  \overset{ { \white{  } } } { x\neq 0,\quad \dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac 3x+\dfrac{\text e^x}{2x}  } 

 \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\; \dfrac 3x=0\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{\text e^x}{2x}=+\infty}\\\text{(croissances comparées)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac 3x+\dfrac{\text e^x}{2x}\right)=+\infty

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty} } 

Interprétation graphique :

La courbe  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { \Gamma}  admet une branche parabolique de direction  \overset{ { \white{ . } } } {(Oy) }  au voisinage de  \overset{ { \white{ . } } } { +\infty.} 


1. c)  Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -\infty} \Big(f(x)-(x-3)\Big). } 

\lim\limits_{x\to -\infty} \Big(f(x)-(x-3)\Big)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac12\,\text e^x=0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to -\infty} \Big(f(x)-(x-3)\Big)=0}

Donc la droite  \overset{ { \white{_{_.} } } } { D }  d'équation  \overset{ { \white{ . } } } {y=x-3  }  est une asymptote oblique à  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { \Gamma  }  au voisinage de  \overset{ { \white{ . } } } {-\infty . } 

Déterminons la position relative de  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { D }  et  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { \Gamma  } .

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x\in\R,\quad f(x)-(x-3)=\dfrac 12\,\text e^x\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(x)-(x-3)>0} } 

Nous en déduisons que la courbe  \overset{ { \white{_{_.} } } } { \Gamma }  est au-dessus de la droite  \overset{ { \white{_{_.} } } } { D .} 


2.  Calculons  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }  pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  de  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R . } 

\forall x\in\R,\quad f'(x)=\left(x-3+\dfrac 12\,\text e^x\right)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\forall x\in\R,\quad f'(x) } =1+\dfrac 12\,\text e^x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall x\in\R,\quad f'(x)=1+\dfrac 12\,\text e^x}

Il s'ensuit que  \overset{ { \white{ . } } } { f'(x) >0}  pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  de  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R . } 

Dès lors, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { f }  est strictement croissance sur  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R. } 

Dressons le tableau de variation de  \overset{ { \white{ . } } } { f.} 

{ \white{ XXXXX } }\begin{array}{|c|cccc|}\hline &&&&&x&-\infty&&&+\infty &&&&& \\\hline &&&&\\f'(x)&&+&+&\\&&&&\\\hline &&&&+\infty\\f&&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&\\\hline \end{array}


3. a)  Nous devons montrer que l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }  admet une unique solution  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha }  dans  \overset{ { \white{_{_.} } } } { \R }  et que  \overset{ { \white{ . } } } { 1,2 < \alpha < 1,3.  } 

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } {f  }  est continue et strictement croissante sur  \overset{ { \white{_{_.} } } } { \R .}  

De plus,  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;\left]\,\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\;;\;\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\,\right]} }  

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel  \overset{ { \white{ _. } } } { \alpha\in\,\R } tel que  \overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=0. } 
Par conséquent, l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }  admet une unique solution   \overset{ { \white{ . } } } { \alpha }   sur  \overset{ { \white{_{_.} } } } { \R .} 

Plus précisément,   \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}f(1,2)\approx-0,14<0\\f(1,3)\approx0,13>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1,2<\alpha<1,3} } 


3. b)  Construisons  \overset{ { \white{ . } } } { D }  et  \overset{ { \white{ . } } } { \Gamma }  dans le repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right).  } 

Bac Mauritanie 2024 Séries ScNat &TSGE : image 9



5 points

exercice 4

1.  On considère le polynôme  \overset{ { \white{ _. } } } { P }  défini pour tout nombre complexe  \overset{ { \white{ . } } } { z }  par :

 \overset{ { \white{ . } } } { P(z)=z^ 3-(5+4\text i)z^ 2+(1+16\text i)z+3-12\text i  } 

1. a)  Calculer  \overset{ { \white{ . } } } { P(1) }  et déterminer les nombres  \overset{ { \white{ . } } } { a }  et  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { b }  tels que :  \overset{ { \white{ . } } } { \forall z\in \textbf C\,,\,P(z)=(z-1)(z^2+az+b).   } 

{ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} P(1)=1^ 3-(5+4\text i)\times 1^ 2+(1+16\text i)\times 1+3-12\text i \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ xx P(1)}  =1-(5+4\text i)+(1+16\text i)+3-12\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ xxP(1)}  =1-5-4\text i+1+16\text i+3-12\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ xxP(1)}  =0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(1)=0}

Le polynôme  \overset{ { \white{ _. } } } { P(z) }  est donc divisible par  \overset{ { \white{ . } } } { (z-1). } 

Calculons le quotient de  \overset{ { \white{ . } } } { P(z) }  par  \overset{ { \white{ . } } } {(z-1)  }  selon la méthode de Horner.

{ \white{ XXXXX } }\begin{array}{c|ccc|c} &1&-5-4\text i&1+16\text i&3-12\text i \\&&&& \\\hline&&&&& 1&&1&-4-4\text i&-3+12\text i\\&&&&\\\hline &&&&\\&1&-4-4\text i&-3+12\text i&0\\\end{array}

Dès lors,  \overset{ { \white{ . } } } { a=-4-4\text i }  et  \overset{ { \white{ . } } } { b=-3+12\text i. } 

Le quotient est le polynôme  \overset{ { \white{ . } } } { z^2+(-4-4\text i)z-3+12\text i.}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall z\in \textbf C\,,\,P(z)=(z-1)\Big(z^2-(4+4\text i)z-3+12\text i\Big)}\,.   } 

1. b)  Nous devons écrire le nombre  \overset{ { \white{ . } } } {(4-2\text i)^2  }  sous forme algébrique.

{ \white{ xxi } }(4-2\text i)^2 =4^2-2\times 4 \times(2\text i)+(2\text i)^2 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (4-2\text i)^2}  =16-16\text i-4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ (4-2\text i)^2}  =12-16\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ (4-2\text i)^2  =12-16\text i}


1. c)  Nous devons résoudre dans  \overset{ { \white{ . } } } { \C}  l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0. } 

{ \white{ xxi } }P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (z-1)\Big(z^2-(4+4\text i)z-3+12\text i\Big)=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{P(z)=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad z-1=0\quad\text{ou}\quad z^2-(4+4\text i)z-3+12\text i=0 } \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=1} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}z^2-(4+4\text i)z-3+12\text i=0  \\\\\quad \Delta=[-(4+4\text i)]^2-4\times1\times(-3+12\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\qquad=16+32\text i-16+12-48\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \qquad=12-16\text i}

{ \white{ xxi } }\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \qquad=(4-2\text i)^2} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z_1=\dfrac{4+4\text i+(4-2\text i)}{2}=\dfrac{8+2\text i}{2}=4+\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=4+\text i} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\white{x}}z_1=\dfrac{4+4\text i-(4-2\text i)}{2}=\dfrac{4+4\text i-4+2\text i}{2}=\dfrac{6\text i}{2}=3\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=3\text i}

L'ensemble des solutions dans  \overset{ { \white{ _. } } } { \C}  de l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { P(z)=0 }  est  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S=\lbrace 1\;,\;4+\text i\;,\;3\text i\rbrace} } 


2.  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow u\,,\,\overrightarrow v\right).  } 

2. a)  Plaçons les points  \overset{ { \white{ . } } } { A\,,\,B\text{ et } C }  d'affixes respectives  \overset{ { \white{ . } } } { z_A=3\text i\;,\; z_B=1 \text{ et } z_C=4+\text i. } 

Voir question 3. b.

2. b)  Soit  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { I }  le milieu du segment  \overset{ { \white{ . } } } { [AC]. } 
{ \white{ xWx } }Plaçons  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { I }  (voir question 3. b.)

Nous devons donner l'affixe  \overset{ { \white{ . } } } { z_I }  du point  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { I }  sous forme algébrique et trigonométrique.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Forme algébrique de  \overset{ { \white{ . } } } {z_I.  } 

Le point  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { I }  est le milieu de  \overset{ { \white{ . } } } { [AC]. } 
Dès lors, nous obtenons :

{ \white{ xxi } } z_I=\dfrac{z_A+z_C}{2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_I }=\dfrac{3\text i+4+\text i}{2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_I }=\dfrac{4+4\text i}{2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_I }=2+2\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_I=2+2\text i}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Forme trigonométrique de  \overset{ { \white{ . } } } {z_I.  } 

{ \white{ xxi } } z_I=2+2\text i\quad\Longrightarrow\quad |z_I|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt 8 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{z_I   =2+2\text i}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{|z_I|=2\sqrt 2}}

Il s'ensuit que :

{ \white{ xxi } }  z_I=2+2\text i \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_I}=2\sqrt 2\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 2}\,\text i\right)  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_I}=2\sqrt 2\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}+\dfrac{\sqrt 2}{2}\,\text i\right)  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_I}=2\sqrt 2\Big(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\Big)  } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_I=2\sqrt 2\Big(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\Big)  }


2. c)  Nous devons déterminer le plus petit entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } { |z_I^n|\geqslant 2024.   } 

{ \white{ xxi } }  |z_I^n|\geqslant 2024\quad\Longleftrightarrow\quad|z_I|^n\geqslant 2024 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{|z_I^n|\geqslant 2024 }\quad\Longleftrightarrow\quad(2\sqrt 2)^n\geqslant 2024 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{|z_I^n|\geqslant 2024 }\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(2\sqrt 2)^n\geqslant \ln2024 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{|z_I^n|\geqslant 2024 }\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln(2\sqrt 2)\geqslant \ln2024 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{|z_I^n|\geqslant 2024 }\quad\Longleftrightarrow\quad n\geqslant \dfrac{\ln2024 }{\ln(2\sqrt 2)}}
Or   \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\ln2024 }{\ln(2\sqrt 2)}\approx7,32. } 

D'où le plus petit entier naturel  \overset{ { \white{ . } } } { n }  tel que  \overset{ { \white{ . } } } { |z_I^n|\geqslant 2024   }  est  \overset{ { \white{ . } } } { \boxed{n=8}\,. } 


3.  Pour tout nombre complexe  \overset{ { \white{ . } } } { z\neq 4+\text i , }  on pose :  \overset{ { \white{ _. } } } {f(z)=\dfrac{z-3\text i}{z-4-\text i}.  } 

3. a)  Nous devons vérifier que  \overset{ { \white{ . } } } { f(z_B)=\text i }  et en déduire la nature du triangle  \overset{ { \white{ _. } } } { ABC . } 

{ \white{ xxi } }  f(z_B)=\dfrac{z_B-3\text i}{z_B-4-\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(z_B) } =\dfrac{1-3\text i}{1-4-\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(z_B) } =\dfrac{1-3\text i}{-3-\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(z_B) } =\dfrac{\text i(-\text i-3)}{-3-\text i} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(z_B) } =\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(z_B)=\text i}

Déterminons la nature du triangle  \overset{ { \white{ _. } } } { ABC . } 

{ \white{ xxi } }  f(z_B)=\text i\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_B-3\text i}{z_B-4-\text i}=\text i \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(z_B)=\text i } \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}=\text i } \\\\\text{D'où }\quad \arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}\right)=\arg(\text i)\,[2\pi]\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{(\overrightarrow{CB}\;,\;\overrightarrow{AB})=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]}

Nous en déduisons que le triangle  \overset{ { \white{ _. } } } { ABC  }  est rectangle en  \overset{ { \white{ . } } } { B. } 

De plus,

{ \white{ xxi } }   \dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}=\text i \quad\Longleftrightarrow\quad \left|\dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}\right|=|\text i| \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}=\text i  }  \quad\Longleftrightarrow\quad \left|\dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}\right|=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}=\text i  }  \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\left|z_B-z_A\right|}{|z_B-z_C|}=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}=\text i  }  \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{AB}{CB}=1} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_B-z_C}=\text i  }  \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{AB=CB}}

Nous en déduisons que le triangle  \overset{ { \white{ _. } } } { ABC  }  est isocèle en  \overset{ { \white{ . } } } { B. } 

Par conséquent, le triangle  \overset{ { \white{ _. } } } { ABC  }  est rectangle isocèle en  \overset{ { \white{ . } } } { B. } 

3. b)  Nous devons déterminer et construire l'ensemble  \overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }  des points  \overset{ { \white{ . } } } {  M,}  d'affixe  \overset{ { \white{ . } } } { z, }  tels que  \overset{ { \white{ . } } } { |f(z)|=1.  } 

{ \white{ xxi } }  |f(z)|=1\quad\Longleftrightarrow\quad \left|\dfrac{z-3\text i}{z-4-\text i} \right|=1 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{|f(z)|=1 }\quad\Longleftrightarrow\quad \left|\dfrac{z-z_A}{z-z_C} \right|=1  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{|f(z)|=1 }\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{|z-z_A|}{|z-z_C|} =1  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{|f(z)|=1 }\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{AM}{CM} =1  } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{|f(z)|=1 }\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{AM=CM}  }

D'où, les points  \overset{ { \white{ _. } } } {  M}  sont à égale distance des points  \overset{ { \white{ _. } } } {  A}  et  \overset{ { \white{ _. } } } {  C.} 

Par conséquent, l'ensemble  \overset{ { \white{ _. } } } { \Gamma }  est la médiatrice du segment l'ensemble  \overset{ { \white{ . } } } { [AC]. } 

Bac Mauritanie 2024 Séries ScNat &TSGE : image 12



5 points

exercice 5

I.  Soit  \overset{ { \white{ . } } } { u }  la fonction définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[ }  par  \overset{ { \white{ . } } } { u(x)=2x-1-\ln x.  } 

1.  Nous devons étudier les variations de  \overset{ { \white{ . } } } {u.  } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ E. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}u(x). } 

{ \white{ xxi } }  \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}2x=0\qquad\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}2x=0\qquad\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}-\ln x=+\infty}\end{matrix}\right. \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}2x=0\qquad\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.} \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}(2x-1-\ln x)=+\infty

D'où  \overset{ { \white{ E. } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to 0^+}u(x)=+\infty} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ E. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}u(x). } 
Nous observons que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad \boxed{u(x)=x\left(2-\dfrac 1x-\dfrac{\ln x}{x}\right)}  } 

{ \white{ xxi } }  \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac 1x=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\;\left(2-\dfrac 1x-\dfrac{\ln x}{x}\right)=2 \\\\ \left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to +\infty}\;x=+\infty\phantom{WWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {  \lim\limits_{x\to +\infty}\;\left(2-\dfrac 1x-\dfrac{\ln x}{x}\right)=2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\;x\left(2-\dfrac 1x-\dfrac{\ln x}{x}\right)=+\infty

D'où  \overset{ { \white{ E. } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to +\infty}u(x)=+\infty} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { u }  est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[. } 

Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x\in\;]0\;,\;+\infty[\,, } 

{ \white{ xxi } }  u'(x)=(2x-1-\ln x)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  u'(x) }=2-\dfrac 1x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  u'(x) }=\dfrac{2x-1}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u'(x) =\dfrac{2x-1}{x}}

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Étudions les variations de  \overset{ { \white{ . } } } { u }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[.  } 

\begin{matrix}2x-1<0\Longleftrightarrow 2x<1\\\overset{ { \white{.} } } {\phantom{1-x<0}\Longleftrightarrow x<\dfrac 12}\\\\2x-1=0\Longleftrightarrow x=\dfrac 12\\\\2x-1>0\Longleftrightarrow x>\dfrac 12\\\\u\left(\dfrac 12\right)=2\times\dfrac 12-1-\ln\left(\dfrac 12\right)\\=1-1+\ln 2\\=\ln 2\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac 12&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&\\2x-1&||&-&-&0&+&+&\\x&||&+&+&+&+&+&\\&||&&&&&&\\\hline &||&&&&&&\\u'(x) &||&-&-&0&+&+& \\&||&&&&&&\\\hline &\qquad||+\infty&&&&&&+\infty\\u(x) &||&\searrow&\searrow&&\nearrow&\nearrow& \\&||&&&\ln 2&&&\\\hline \end{array}

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } { u }  est décroissante sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { \left]0\;;\;\dfrac 12\right[ }  et croissante sur  \overset{ { \white{ . } } } { \left]\dfrac 12\;;\;+\infty\right[.} 


2.  En déduire que  \overset{ { \white{ . } } } { u(x) }  est positive sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[ .  } 

Le tableau de variation de  \overset{ { \white{ . } } } { u }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[  }  montre que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { u }  admet un minimum égal à  \overset{ { \white{ . } } } { \ln 2\approx0,69 }  qui est positif.

Par conséquent, pour tout  \overset{ { \white{ . } } } {x\in\;]0\;,\;+\infty[\,,\quad \boxed{u(x) >0}\,.  } 


II.  On considère la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  définie sur  \overset{ { \white{ . } } } { [0\;,\;+\infty[ }  par :  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=\left\lbrace\begin{matrix} x^ 2-2-x\ln x& ,& \text{ si } x>0 \\ g(0)=-2 \end{matrix}\right.  } 

et soit  \overset{ { \white{ . } } } { (C) }  sa courbe représentative dans un repère orthonormé  \overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right).  } 

1. a)  Calculons  \overset{ { \white{ E. } } } { \lim\limits_{x\to 0^ +}g(x). } 

{ \white{ xxi } }  \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\;x^2=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}\;\left(x^2-2-x\ln x\right)=-2

D'où  \overset{ { \white{ E. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=-2. } 

De plus,  \overset{ { \white{ . } } } { g(0)=-2 } 

Dès lors,  \overset{ { \white{ E. } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=g(0)} } 

Par conséquent, la fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g }  est continue à droite de  \overset{ { \white{ . } } } { x_0=0. } 

1. b)  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x}=+\infty }  et interpréter graphiquement.

{ \white{ xxi } }  \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x^2-2-x\ln x-(-2)}{x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x} }=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x^2-x\ln x}{x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x} }=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x(x-\ln x)}{x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x} }=\lim\limits_{x\to 0^+}(x-\ln x) }

{ \white{ xxi } }  \text{Or }\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}x=0\qquad\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}(x-\ln x)=+\infty

Par conséquent,  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x}=+\infty }} 

Nous en déduisons que la fonction  \overset{ { \white{ . } } } {g  }  n'est pas dérivable en 0.

D'un point de vue graphique, la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C)  }  admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut au point  \overset{ { \white{ . } } } {(0\;;\;-2).  } 

1. c)  Nous devons montrer que  \overset{ { \white{ o} } } { \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty }  et  \underset{ { \white{  } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{g(x)}{x}=+\infty }  et interpréter graphiquement.

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{ E. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}g(x). } 
Nous observons que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad \boxed{g(x)=x^2\left(1-\dfrac {2}{x^2}-\dfrac{\ln x}{x}\right)}  } 

{ \white{ xxi } }  \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac {2}{x^2}=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\;\left(1-\dfrac {2}{x^2}-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1 \\\\ \left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to +\infty}\;x^2=+\infty\phantom{WWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {  \lim\limits_{x\to +\infty}\;\left(1-\dfrac {2}{x^2}-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\;x^2\left(1-\dfrac {2}{x^2}-\dfrac{\ln x}{x}\right)=+\infty

D'où  \overset{ { \white{ E. } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty} } 

\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}Calculons  \overset{ { \white{  } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{g(x)}{x}. } 
Nous observons que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x>0,\quad \dfrac{g(x)}{x}=x-\dfrac {2}{x}-\ln x\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac{g(x)}{x}=x\left(1-\dfrac {2}{x^2}-\dfrac{\ln x}{x}\right)}} 

{ \white{ xxi } } \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac {2}{x^2}=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\;\left(1-\dfrac {2}{x^2}-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1 \\\\ \left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to +\infty}\;x=+\infty\phantom{WWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } {  \lim\limits_{x\to +\infty}\;\left(1-\dfrac {2}{x^2}-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\;x\left(1-\dfrac {2}{x^2}-\dfrac{\ln x}{x}\right)=+\infty

D'où  \overset{ { \white{  } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{g(x)}{x}=+\infty} } 

D'un point de vue graphique, la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C)  }  admet une branche parabolique de direction  \overset{ { \white{ . } } } {(Oy) }  en  \overset{ { \white{ . } } } {+\infty. } 


2. a)  Montrons que  \overset{ { \white{ . } } } { g'(x)=u(x) }  pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  de  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[ }  où  \overset{ { \white{ . } } } { u }  est la fonction définie dans la partie  I.

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } { g  } est dérivable sur  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[. } 
Pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  de  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;,\;+\infty[, } 

{ \white{ xxi } }  g'(x)=(x^2-2-x\ln x)' \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  g'(x)}=2x-(x\ln x)' } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  g'(x)}=2x-\Big(x'\times\ln x+x\times (\ln x)'\Big) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  g'(x)}=2x-\Big(1\times\ln x+x\times \dfrac 1x\Big) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  g'(x)}=2x-\Big(\ln x+1\Big) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  g'(x)}=2x-\ln x-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  g'(x)}=u(x)} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\quad g'(x)=u(x)}

Nous avons montré dans la partie  I., question 2., que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } {x\in\;]0\;,\;+\infty[\,,\quad \boxed{u(x) >0}\,.  }  Dès lors, pour tout  \overset{ { \white{ . } } } {x\in\;]0\;,\;+\infty[\,,\quad \boxed{g'(x) >0}\,.  } 

Dressons le tableau de variation de  \overset{ { \white{ . } } } { g. } 

{ \white{ XXXXX } }\begin{array}{|c|cccc|}\hline &&&&&x&0&&&+\infty &&&&& \\\hline &||&&&\\g'(x)=u(x)&||&+&+&\\&||&&&\\\hline &&&&+\infty\\g(x)&&\nearrow&\nearrow&\\&-2&&&\\\hline \end{array}


2. b)  Déterminons une équation de la tangente  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  à  \overset{ { \white{ . } } } { (C) }  au point d'abscisse  \overset{ { \white{ . } } } { x_0=1.} 

L'équation de cette tangente est de la forme  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=g'(1)(x-1)+g(1)} }  

Or  \left\lbrace\begin{matrix}g(x)=x^2-2-x\ln x\\\overset{ { \white{ . } } } { g'(x)=2x-1-\ln x}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}g(1)=1^2-2-1\times\ln1\\\overset{ { \white{ . } } } { g'(1)=2\times1-1-\ln 1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}g(1)=-1\\\overset{ { \white{ . } } } { g'(1)=1}\end{matrix}\right.

D'où une équation de la tangente  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  à  \overset{ { \white{ . } } } {(C) }  au point d'abscisse  \overset{ { \white{ . } } } { x_0=1}  est  \overset{ { \white{ . } } } {y=1(x-1)-1} ,  soit  \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=x-2}}  


2. c)  Montrons que la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C) }  coupe l'axe  \overset{ { \white{ . } } } { (Ox) }  en un seul point  \overset{ { \white{ . } } } {A  }  dont l'abscisse  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha }  est telle que  \overset{ { \white{ . } } } { 1,7<\alpha < 1,8.   } 

Nous devons montrer que l'équation  \overset{ { \white{ . } } } {g(x)=0}  admet une solution unique dans l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[} .

La fonction  \overset{ { \white{ . } } } {g  }  est continue et strictement croissante sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[.} 

De plus,  \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}g(0)=-2<0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;]\,-2\;;+\infty\,[} }  

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha\in\,]0\;;\;+\infty[ } tel que  \overset{ { \white{ . } } } { g(\alpha)=0. } 
Par conséquent, l'équation  \overset{ { \white{ . } } } { g(x)=0 }  admet une unique solution  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha }  sur l'intervalle  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[.} 

De plus,   \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}g(1,7)\approx-0,012<0\\g(1,8)\approx0,182>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1,7<\alpha<1,8} } 


D'où, la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C) }  coupe l'axe  \overset{ { \white{ . } } } { (Ox) }  en un seul point  \overset{ { \white{ _. } } } {A  }  dont l'abscisse  \overset{ { \white{ . } } } { \alpha }  est telle que  \overset{ { \white{ . } } } { 1,7<\alpha < 1,8.   } 


2. d)  Vérifions que la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C) }  admet un point d'inflexion  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { B }  et déterminons ses coordonnées.

Dans les questions précédentes, nous avons montré que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  de  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[,\quad g'(x)=u(x).  } 

Nous obtenons alors que pour tout  \overset{ { \white{ . } } } { x }  de  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[,\quad g''(x)=u'(x)=\dfrac{2x-1}{x}.  } 

Le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { g''(x) }  est donc le signe de  \overset{ { \white{ . } } } { u'(x) }  étudié à la question 1 de la partie I.

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de  \overset{ { \white{ . } } } { g''(x) }  sur  \overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[. } 

{ \white{ WWWWW } }   \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&\dfrac 12&&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &||&&&&&&\\g''(x)=u'(x) &||&-&-&0&+&+& \\&||&&&&&&\\\hline \end{array}

La dérivée seconde s'annule une seule fois en changeant de signe en  \overset{ { \white{ . } } } { x=\dfrac{1}{2}. } 
Par conséquent, la courbe  \overset{{\white{.}}}{(C)}  admet exactement un point d'inflexion  \overset{ { \white{ _{_.} } } } { B }  sur   \overset{ { \white{ . } } } { ]0 ;\;\; +\infty[. } 
L'abscisse de  \overset{ { \white{_{_.} } } } { B }  est égale à  \overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{1}{2}. } 
Déterminons l'ordonnée de  \overset{ { \white{ _. } } } { B. } 

{ \white{ xxi } }   g\left(\dfrac 12\right)=\left(\dfrac 12\right)^ 2-2-\dfrac 12\times\ln \dfrac 12 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  g\left(\dfrac 12\right)} =\dfrac 14-2-\dfrac 12\times(-\ln 2) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{  g\left(\dfrac 12\right)} =-\dfrac 74+\dfrac 12\ln 2 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ g\left(\dfrac 12\right)=-\dfrac 74+\dfrac 12\ln 2 }

D'où, les coordonnées de  \overset{ { \white{_{_.} } } } { B }  sont  \overset{ { \white{ . } } } { \Big(\,\dfrac 12\;;\;-\dfrac 74+\dfrac 12\ln 2\,\Big)  } 


3.  Construisons la courbe  \overset{ { \white{ . } } } { (C)}  et la tangente  \overset{ { \white{ . } } } { (T) }  dans le repère  \overset{ { \white{ . } } } { \left(O\;;\;\overrightarrow i\,,\,\overrightarrow j\right).   } 

Bac Mauritanie 2024 Séries ScNat &TSGE : image 11




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