Une étude statistique a montré que, parmi les personnes consultées dans un centre médical, 8%
sont atteintes de la grippe, 10% présentent les symptômes de la grippe et que parmi les
personnes atteintes de la grippe 80 % en présentent les symptômes.
On choisit, au hasard, une personne consultée et on considère les événements :
G : « La personne est atteinte de la grippe » ; S : « La personne présente les symptômes de la
grippe».
Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des réponses proposées est correcte.
Recopier sur la feuille de réponse et compléter le tableau ci-après
en choisissant la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
2 points
exercice 2
A l'instant , on injecte à un patient, par voie intraveineuse, une dose d'un médicament.
La concentration du médicament dans le sang est mesurée en mg / l et le temps est en
heures. On suppose que vérifie l'équation différentielle avec
Le médicament devient inefficace si
1. Montrer que la solution générale de l'équation est de la forme
2. En déduire que l'expression de la concentration du médicament est
3. Déterminer la concentration du médicament, en mg / l , au bout de 5 heures.
4. Déterminer le temps nécessaire pour que le médicament devienne inefficace.
5 points
exercice 3
Soit la fonction définie sur par :
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1. a. Justifier que et
b. Calculer et interpréter graphiquement.
c. Calculer et en déduire que la droite
d'équation est une asymptote oblique à Déterminer la position relative de et
2. Calculer , pour tout de et dresser le tableau de variations de
3. a. Montrer que l'équation admet une unique solution dans et que
b. Construire et dans le repère précédent.
5 points
exercice 4
1. On considère le polynôme défini pour tout nombre complexe par :
a. Calculer et déterminer les nombres et tels que :
b. Ecrire le nombre sous forme algébrique.
c. Résoudre dans l'équation
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
a. Placer les points d'affixes respectives
b. Soit le milieu du segment . Placer et donner son affixe sous forme
algébrique et trigonométrique.
c. Déterminer le plus petit entier naturel tel que
3. Pour tout nombre complexe , on pose :
a. Vérifier que et en déduire la nature du triangle .
b. Déterminer et construire l'ensemble des points , d'affixe , tels
que
5 points
exercice 5
I. Soit la fonction définie sur par
1. Etudier les variations de
2. En déduire que est positive sur .
II. On considère la fonction définie sur par :
et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1. a. Calculer En déduire que est continue à droite de
b. Montrer que et interpréter graphiquement.
c. Montrer que et
et interpréter graphiquement.
2. a. Montrer que pour tout de où est la fonction définie
dans la partie I.
Dresser le tableau de variation de .
b. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse
c. Montrer que la courbe coupe l'axe en un seul point dont l'abscisse
est telle que
d. Vérifier que la courbe admet un point d'inflexion et déterminer ses coordonnées.
3. Construire la courbe et la tangente dans le repère
Une étude statistique a montré que, parmi les personnes consultées dans un centre médical, 8% sont atteintes de la grippe, 10% présentent les symptômes de la grippe et que parmi les personnes atteintes de la grippe 80 % en présentent les symptômes.
On choisit, au hasard, une personne consultée et on considère les événements : G : « La personne est atteinte de la grippe » ; S : « La personne présente les symptômes de la grippe ».
Dressons un arbre pondéré utilisant les données incomplètes de l'énoncé.
1. Nous devons calculer La réponse A est correcte.
Parmi les personnes consultées dans un centre médical, 8% sont atteintes de la grippe.
2. Nous devons calculer La réponse B est correcte.
Parmi les personnes atteintes de la grippe 80 % en présentent les symptômes.
3. Nous devons calculer La réponse C est correcte.
4. Nous devons calculer La réponse B est correcte.
Nous savons par les questions précédentes que et que
Nous en déduisons que :
5. Nous devons calculer La réponse B est correcte.
Nous savons par les questions précédentes que et que
De plus, parmi les personnes consultées, 10% présentent les symptômes de la grippe, soit
Nous obtenons ainsi :
6. Nous devons calculer La réponse A est correcte.
Nous savons par la question 2. que
Dès lors,
En résumé, nous obtenons :
2 points
exercice 2
A l'instant on injecte à un patient, par voie intraveineuse, une dose d'un médicament.
La concentration du médicament dans le sang est mesurée en mg / l et le temps est en heures.
On suppose que vérifie l'équation différentielle avec
Le médicament devient inefficace si
1. Nous devons montrer que la solution générale de l'équation est de la forme
En effet,
Par conséquent, la solution générale de l'équation est de la forme
2. Nous devons en déduire que l'expression de la concentration du médicament est
Nous savons que vérifie l'équation différentielle avec soit
Nous en déduisons que l'expression de la concentration du médicament est
3. Nous devons déterminer la concentration du médicament, en mg / l , au bout de 5 heures.
D'où la concentration du médicament au bout de 5 heures est de
4. Nous devons déterminer le temps nécessaire pour que le médicament devienne inefficace.
Nous savons que le médicament devient inefficace si
Nous en déduisons que le médicament devient inefficace sept heures et demie après son injection au patient.
5 points
exercice 3
Soit la fonction définie sur par :
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1. a) Nous devons justifier que et
Calculons
Calculons
1. b) Calculons
Pour tout
Par conséquent,
Interprétation graphique :
La courbe admet une branche parabolique de direction au voisinage de
1. c) Calculons
Donc la droite d'équation est une asymptote oblique à au voisinage de
Déterminons la position relative de et .
Pour tout
Nous en déduisons que la courbe est au-dessus de la droite
2. Calculons pour tout de
Il s'ensuit que pour tout de
Dès lors, la fonction est strictement croissance sur
Dressons le tableau de variation de
3. a) Nous devons montrer que l'équation admet une unique solution dans et que
La fonction est continue et strictement croissante sur
De plus,
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que
Par conséquent, l'équation admet une unique solution sur
Plus précisément,
3. b) Construisons et dans le repère orthonormé
5 points
exercice 4
1. On considère le polynôme défini pour tout nombre complexe par :
1. a) Calculer et déterminer les nombres et tels que :
Le polynôme est donc divisible par
Calculons le quotient de par selon la méthode de Horner.
Dès lors, et
Le quotient est le polynôme
Par conséquent,
1. b) Nous devons écrire le nombre sous forme algébrique.
1. c) Nous devons résoudre dans l'équation
L'ensemble des solutions dans de l'équation est
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
2. a) Plaçons les points d'affixes respectives
Voir question 3. b.
2. b) Soit le milieu du segment Plaçons (voir question 3. b.)
Nous devons donner l'affixe du point sous forme algébrique et trigonométrique.
Forme algébrique de
Le point est le milieu de
Dès lors, nous obtenons :
Forme trigonométrique de
Il s'ensuit que :
2. c) Nous devons déterminer le plus petit entier naturel tel que
Or
D'où le plus petit entier naturel tel que est
3. Pour tout nombre complexe on pose :
3. a) Nous devons vérifier que et en déduire la nature du triangle
Déterminons la nature du triangle
Nous en déduisons que le triangle est rectangle en
De plus,
Nous en déduisons que le triangle est isocèle en
Par conséquent, le triangle est rectangle isocèle en
3. b) Nous devons déterminer et construire l'ensemble des points d'affixe tels que
D'où, les points sont à égale distance des points et
Par conséquent, l'ensemble est la médiatrice du segment l'ensemble
5 points
exercice 5
I. Soit la fonction définie sur par
1. Nous devons étudier les variations de
Calculons
D'où
Calculons
Nous observons que pour tout
D'où
La fonction est dérivable sur
Pour tout
Étudions les variations de sur l'intervalle
Par conséquent, est décroissante sur l'intervalle et croissante sur
2. En déduire que est positive sur
Le tableau de variation de sur l'intervalle montre que la fonction admet un minimum égal à qui est positif.
Par conséquent, pour tout
II. On considère la fonction définie sur par :
et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1. a) Calculons
D'où
De plus,
Dès lors,
Par conséquent, la fonction est continue à droite de
1. b) Nous devons montrer que et interpréter graphiquement.
Par conséquent,
Nous en déduisons que la fonction n'est pas dérivable en 0.
D'un point de vue graphique, la courbe admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut au point
1. c) Nous devons montrer que et et interpréter graphiquement.
Calculons
Nous observons que pour tout
D'où
Calculons
Nous observons que pour tout
D'où
D'un point de vue graphique, la courbe admet une branche parabolique de direction en
2. a) Montrons que pour tout de où est la fonction définie dans la partie I.
La fonction est dérivable sur
Pour tout de
Nous avons montré dans la partie I., question 2., que pour tout
Dès lors, pour tout
Dressons le tableau de variation de
2. b) Déterminons une équation de la tangente à au point d'abscisse
L'équation de cette tangente est de la forme
Or
D'où une équation de la tangente à au point d'abscisse est soit
2. c) Montrons que la courbe coupe l'axe en un seul point dont l'abscisse est telle que
Nous devons montrer que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle
La fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle
De plus,
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que
Par conséquent, l'équation admet une unique solution sur l'intervalle
De plus,
D'où, la courbe coupe l'axe en un seul point dont l'abscisse est telle que
2. d) Vérifions que la courbe admet un point d'inflexion et déterminons ses coordonnées.
Dans les questions précédentes, nous avons montré que pour tout de
Nous obtenons alors que pour tout de
Le signe de est donc le signe de étudié à la question 1 de la partie I.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de sur
La dérivée seconde s'annule une seule fois en changeant de signe en
Par conséquent, la courbe admet exactement un point d'inflexion sur
L'abscisse de est égale à
Déterminons l'ordonnée de
D'où, les coordonnées de sont
3. Construisons la courbe et la tangente dans le repère
Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir vontribué à l'élaboration de cette contribution
Publié par malou
le
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