Fiche de mathématiques

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Bac spécialité mathématiques

Amérique du Nord 2025

Jour 1

6 points

exercice 1

Pour accéder au réseau privé d'une entreprise depuis l'extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés $A$ , $B$ et $C$ . Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :

- $25\%$ des connexions transitent via le serveur $A$ ;

- $15\%$ des connexions transitent via le serveur $B$ ;

- le reste des connexions s'effectue via le serveur $C$ .

Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

On dira qu'une connexion est stable si l'utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L'équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d'un fonctionnement habituel des serveurs :

- $90\%$ des connexions via le serveur $A$ sont stables ;

- $80\%$ des connexions via le serveur $B$ sont stables ;

- $85\%$ des connexions via le serveur $C$ sont stables.

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées séparément.

Partie A

On s'intéresse au hasard à l'état d'une connexion effectuée par un employé de l'entreprise.

On considère les événements suivants :

- $A : \text{« La connexion s'est effectuée via le serveur A » ;}$

- $B : \text{« La connexion s'est effectuée via le serveur B » ;}$

- $C : \text{« La connexion s'est effectuée via le serveur C » ;}$

- $S$ : "La connexion est stable ".

On note $\overline{S}$ l'événement contraire de l'événement $S$ .

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l'énoncé.

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 1 : image 1

2. Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur $B$ est égale à $0,12$ .

3. Calculer la probabilité $P(C \cap \overline{S})$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Démontrer que la probabilité de l'événement $S$ est $P(S) = 0,855$ .

5. On suppose désormais que la connexion est stable. Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur $B$ . On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une connexion soit instable est égale à $0,145$ .

1. Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveurs, on étudie un échantillon de $50$ connexions au réseau, ces connexions étant choisies au hasard. On suppose que le nombre de connexions est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables au réseau de l'entreprise, dans cet échantillon de $50$ connexions.

a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

b. Donner la probabilité qu'au plus huit connexions soient instables. On donnera la valeur arrondie au millième.

2. Dans cette question, on constitue désormais un échantillon de $n$ connexions, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On note $X_n$ la variable aléatoire égale aux nombres de connexions instables et on admet que $X_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $0,145$ .

a. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ , qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.

b. Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que la probabilité $p_n$ est supérieure ou égale à $0,99$ .

3. On s'intéresse à la variable aléatoire $F_n$ égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de $n$ connexions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$ , où $X_n$ est la variable aléatoire définie à la question 2.

a. Calculer l'espérance $E(F_n)$ .

On admet que $V(F_n) = \dfrac{0,123975}{n}$ .

b. Vérifier que : $P(|F_n - 0,145| \geq 0,1) \leq \dfrac{12,5}{n}$

c. Un responsable de l'entreprise étudie un échantillon de $1,000$ connexions et constate que pour cet échantillon $F_{1000} = 0,3$ . Il soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?

5 points

exercice 2

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ , par : $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}$

On admet que la suite $(u_n)$ est bien définie.

1. Calculer le terme $u_1$ .

2. On définit la suite $(a_n)$ pour tout entier naturel $n$ , par : $a_n = \dfrac{u_n}{u_n - 1}$

On admet que la suite $(a_n)$ est bien définie.

a. Calculer $a_0$ et $a_1$ .

b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+1} = 3a_n -1$ .

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $a_n \geq 3n - 1$ .

d. En déduire la limite de la suite $(a_n)$ .

3. On souhaite étudier la limite de la suite $(u_n)$ .

a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1}$ .

b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$ .

4. On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante.

On considère le programme suivant écrit en langage Python :

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 1 : image 2

a. Interpréter les valeurs n et u renvoyées par l'appel de la fonction algo (p) dans le contexte de l'exercice.

b. Donner, sans justifier, la valeur de n pour p = 0,001.

4 points

exercice 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(0; \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k)$ .

On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :

$\left\lbrace\begin{matrix} x &= & 3-2t\\ y& = &-1 \\ z& =& 2-6t \end{matrix}\right.\quad t\in \mathbb R$

On considère également les points suivants :

$\quad\checkmark\quad A (3; -3; -2)$ ;

$\quad\checkmark\quad B (5; -4; -1)$ ;

$\quad\checkmark\quad C$ le point de la droite $(d)$ d'abscisse 2 ;

$\quad\checkmark\quad H$ le projeté orthogonal du point $B$ sur le plan $P$ d'équation $x + 3z - 7 = 0$

Affirmation 1

La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.

Affirmation 2

Le plan passant par $A$ et orthogonal à la droite $(d)$ a pour équation cartésienne : $x + 3z + 3 = 0$

Affirmation 3

Une mesure, exprimée en radian, de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est $\dfrac{\pi}{6}$ .

Affirmation 4

La distance $BH$ est égale à $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ .

5 points

exercice 4

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ , représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ . L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$ .

On précise également que :

$\quad\checkmark\quad$ La courbe $\mathcal C_1$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 1)$ .

$\quad\checkmark\quad$ La courbe $\mathcal C_2$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2; 0)$ et $(1; 0)$ .

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 1 : image 3

1. En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique.

2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y = 2x + 1$ .

Partie B

On considère $(E)$ l'équation différentielle $y + y' = (2x + 3)e^{-x}$ , où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ .

1. Montrer que la fonction $f_0$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_0(x) = (x^2 + 3x)e^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ .

2. Résoudre l'équation différentielle $(E_0) \;:\; y + y' = 0$ .

3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ .

4. On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$ . Déterminer alors l'expression de la fonction $g$ .

5. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :

$f(x) = (x^2 + 3x + 2)e^{-x}$

1. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0.
On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$ .

2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
a. Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $f'(x) = (-x^2 - x + 1)e^{-x}$ .
b. Déterminer le signe de la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

3. Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0; +\infty]$ .

4. On notera $\mathcal (C_f)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(0; \overrightarrow i, \overrightarrow j)$ .
On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x) = (-x^2 - 5x - 7)e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ .
Soit $\alpha$ un nombre réel positif.
Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ , exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal (C_f)$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \alpha$ .

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Bac Spécialité Mathématiques

Amérique du Nord

Jour 1

Durée: 4 heures

Calculatrice en mode examen

6 points

exercice 1

Partie A
1. Arbre pondéré complété

On est en situation d'équiprobabilité (car la connexion se fait au hasard), on obtient donc à la lecture de l'énoncé l'arbre pondéré suivant :

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 1 : image 6

2. La probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur $B$ est $P(B \cap S)$ .

$P(B \cap S) = P(B) \times P_S(B) = 0.15 \times 0,8 = 0,12$

3. D'après l'arbre pondéré : $P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0,25 - 0,15 = 0,6$

$P(C \cap \overline S) = P(C) \times P_C(\overline S) = 0,6 \times 0,15 = 0,09$

Interprétation : La probabilité que la connexion soit instable et passe par le serveur $C$ est de $0.09.$

4. Les événements $A\;,\;B\;,\;C$ forment une partition de l'univers, donc :

$P(S) = P(A \cap S) + P(B \cap S) + P(C \cap S)$

$P(S) = (0,25 \times 0,9) + (0,15 \times 0,8) + (0,6 \times 0,85)$

$P(S) = 0,225 + 0,12 + 0,51 = 0,855$

5. On sait que le serveur est stable, on s'intéresse au fait que la connexion ait eu lieu par le serveur $B$ .

La probabilité cherchée est donc : $P_S(B)$

$P_S(B) = \dfrac{P(B \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0,12}{0,855} \approx 0,140$ au millième près.

Partie B

1. Soit la loi binomiale $X$ égale au nombre de connexions instables.

a. Les paramètres sont : $n = 50$ et $p = 0,145$ .

b. La probabilité qu'au plus huit connexions soient instables est égale à $P(X \leq 8)$ .

$P(X \leq 8) \approx 0,704$ (calculée à la calculatrice, et arrondie au millième).

2. Soit $p_n$ la probabilité qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.

a. $p_n = 1 - (1 - 0,145)^n = 1 - 0,855^n$

b. Valeur minimale de $n$ pour que $p_n\geq 0,99.$

On résoud l'inéquation : $1 - 0,855^n \geq 0,99$

$0,855^n \leq 0,01$

$n\ln (0,855) \leq \ln (0,01)$ mais $\ln(0,855) < 0$ , on obtient : $n \geq \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,855)} \approx 29,4$

La valeur minimale entière correspondante est donc : $n = 30$

3. On considère la variable $F_n$ égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de $n$ connexions.

a. Calculons d'abord l'espérance de $X_n$ . Puisque $X_n$ est une loi binomiale de paramètres $n$ et $p.$ .

Or, $F_n=\dfrac 1 n X_n$ donc en utilisant la linéarité de l'espérance :

$E(F_n) = E\left(\dfrac{X_n}{n}\right) = \dfrac{E(X_n)}{n} = \dfrac{n \times 0.145}{n} = 0.145$

On admet que $V(F_n)=\dfrac{0,123~975}{n}$ .

b. Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

$P\left(|F_n-E(F_n)|)\geq t\right)\leq \dfrac{V(F_n)}{t^2}$ .

Remplaçons :

$P(|F_n - 0,145| \geq 0,1) \leq \dfrac{V(F_n)}{0,1^2}$

$P(|F_n - 0,145| \geq 0,1) \leq \dfrac{\frac{0,123975}{n}}{0,01}$

$P(|F_n - 0,145| \geq 0,1) \leq \dfrac{12,5}{n}$ car $12,3975 < 12,5$

c. Soupçon de dysfonctionnement :

Pour $n = 1000$ , $F_{1000} = 0,3$ .

Or, $|0,3 - 0,145| = 0,155 > 0,1$ , et on a vu à la question précédente que la probabilité d'un tel événement est inférieure à $\dfrac{12,5}{1000}$ soit inférieure à $0,0125$ ; donc le responsable a raison de soupçonner un dysfonctionnement.

5 points

exercice 2

1. On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ , par : $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}$

$u_1 = \dfrac{2u_0 + 1}{u_0 + 2} = \dfrac{2 \times 2 + 1}{2 + 2} = \dfrac{5}{4} = 1,25$

2. On définit maintenant la suite $(a_n)$ pour tout entier naturel $n$ , par : $a_n = \dfrac{u_n}{u_n - 1}$

a. Calcul de $a_0$ et $a_1$ :

$a_0 = \dfrac{u_0}{u_0 - 1} = \dfrac{2}{2 - 1} = 2$

$a_1 = \dfrac{u_1}{u_1 - 1} = \dfrac{1,25}{1,25 - 1} = \dfrac{1,25}{0,25} = 5$

b. Montrons que $a_{n+1} = 3a_n - 1$ :

Soit $n\in \mathbb N$ , $a_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1} - 1} = \dfrac{\frac{2u_n + 1}{u_n + 2}}{\frac{2u_n + 1}{u_n + 2} - 1} = \dfrac{2u_n + 1}{2u_n + 1 - u_n - 2} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n - 1}$

Or $a_n = \dfrac{u_n}{u_n - 1}$ , donc :

$a_{n+1} = 2 \times \dfrac{u_n}{u_n - 1} + \dfrac{1}{u_n - 1} = 2a_n + (a_n - \dfrac{u_n}{u_n - 1}) = 3a_n - 1$

c. Démonstration par récurrence :

Soit un entier $n$ supérieur ou égal à $1$ , et soit $\mathcal P_n$ la proposition : " $a_n\geq 3n-1$ ".

Initialisation :

Pour n=1, on sait que $a_1 = 5$ . Or $3 \times 1 - 1 = 2$ et $5 \geq 2$

On en déduit que $\mathcal P_1$ est vraie.

Hérédité : Supposons $a_k \geq 3k - 1$ pour un $k\geq 1$ , alors :

$a_{k+1} = 3a_k - 1 \geq 3(3k - 1) - 1 = 9k - 4 \geq 3(k+1) - 1$ (car $9k-4 \geq 3k+2$ pour $k\geq 1$ )

La propriété est héréditaire.

Conclusion : $\mathcal P_1$ est vraie, de plus la propriété est héréditaire, donc de proche en proche, elle est toujours vraie.

d. Pout tout $n\geq 1$ , $a_n\geq 3n-1$ . Or $\lim\limits_{n\to +\infty} (3n-1)=+\infty$

D'après le théorème de comparaison, on peut en déduire que $\lim\limits _{n\to + \infty} a_n=+\infty$ .

3. On cherche à étudier la limite de la suite $(u_n)$ :

a. Exprimons $u_n$ en fonction de $a_n$ :

De $a_n = \dfrac{u_n}{u_n - 1}$ , on tire :

$a_n u_n - a_n = u_n \Rightarrow u_n(a_n - 1) = a_n \Rightarrow u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1}$ (car on sait que $a_n\neq 1$ )

b. Limite :

$u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1} = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{a_n}}$ . On sait que $\lim\limits _{n\to + \infty} a_n=+\infty$ , donc : $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1.$

La suite $(u_n)$ converge vers $1$ .

4. Programme Python :

a. Interprétation :

$n$ correspond au premier rang pour lequel $u_n - 1 < p$ et $u$ à la valeur de $u_n$ à ce rang

b. Pour p=0.001 :

La valeur de $n$ renvoyée serait 6 (car $u_5=\dfrac{365}{364}\approx 1,0027$ et $u_6=\dfrac{1094}{1093}\approx 1,0009$

(On a bien $1,0009-1\leq 0,001$ ).

4 points

exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(0; \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k)$ .

On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :

$\left\lbrace\begin{matrix} x &= & 3-2t\\ y& = &-1 \\ z& =& 2-6t \end{matrix}\right.\quad t\in \mathbb R$

Affirmation 1 : Vraie

La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.

Justification :

L'axe des ordonnées passe par le point de coordonnées $(0,0,0)$ et admet pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow j$ . L'axe des ordonnées a pour représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{matrix} x & =&0 \\ y & = & t\\ z&= & 0 \end{matrix}\right.\quad t\in \mathbb R$

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(-2;0;-6)$

Un vecteur directeur de l'axe des ordonnées est $\overrightarrow j (0;1;0)$

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles.

On cherche si les deux droites admettent un point d'intersection : résolvons le système

$\left\lbrace\begin{matrix}3-2t&=&0\\-1&=&t\\2-6t&=&0\end{matrix}\right.\quad{\white{ww}}$ .

ce système n'a pas de solution car incompatible.

Donc les droites ne sont ni parallèles ni sécantes, elles sont donc non coplanaires.

Affirmation 2 : Vraie

Le plan $(\mathcal Q)$ passant par $A(3; -3; -2)$ et orthogonal à $(d)$ a pour équation $x + 3z + 3 = 0$ .

Justification :

Un vecteur normal au plan est le vecteur directeur de $(d)$ soit $\vec{u}(-2;0;-6)$ ou encore $\vec{u'}(1;0;3)$

Une équation du plan peut s'écrire : $1x + 0y + 3z +C = 0$ avec $C\in \mathbb R$ .

Écrivons que ce plan passe par le point $A(3; -3; -2)$ .

$A(3; -3; -2)\in (\mathcal Q) \iff 3+0-6+C=0 \iff C=3$ .

Une équation du plan est donc : $x + 3z + 3 = 0$

Affirmation 3 : Fausse

Une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est $\dfrac{\pi}{6}$ .

On sait que : $A (3; -3; -2)$ , $B (5; -4; -1)$ et $C$ est le point de la droite $(d)$ d'abscisse 2.

Justification :

Déterminons les coordonnées de C : on résout $3-2t=2$ donc $t=0.5$ , d'où $C(2;-1;-1)$

Déterminons les vecteurs $\overrightarrow{AB}(2;-1;1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1;2;1)$

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ est égal à : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -2-2+1 = -3$

Déterminons les normes des vecteurs : $||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{6}$ , $||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{6}$

Déterminons le cosinus de l'angle $\widehat{BAC}$ : $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{-3}{6}=-0,5$ donc une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est $\dfrac{2\pi}{3}$ .

Affirmation 4 : Vraie

$H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur le plan $P$ d'équation $x + 3z - 7 = 0$ , avec $B(5;-4;-1)$ .

La distance $BH$ est égale à $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ .

Justification :

Calculons cette distance du point $B(5;-4;-1)$ au plan $P$ d'équation $x+3z-7=0$ en utilisant la formule du cours :

$d=\dfrac{|5+3\times(-1)-7|}{\sqrt{1^2+0^2+3^2}}=\dfrac{|5-3-7|}{\sqrt{10}}=\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

5 points

exercice 4

Partie A

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 1 : image 5

1. Association des courbes :

$\mathcal C_2$ est la dérivée de $\mathcal C_1$ car :

$\mathcal C_2$ s'annule en $-2$ et $1$ , ce qui correspond aux extremums de $\mathcal C_1$

$\mathcal C_1$ est croissante quand $\mathcal C_2$ est positive et vice versa

Donc :

La fonction $g$ est représentée par $\mathcal C_1$

La fonction $g'$ est représentée par $\mathcal C_2$

2. Équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $0$ :

On a $g(0) = 1$ et $g'(0) = 2$ donc :

L'équation réduite de la tangente à $\mathcal C_2$ au point d'abscisse $0$ est : $y = 2x + 1$

Partie B

On considère $(E)$ l'équation différentielle $y + y' = (2x + 3)e^{-x}$ , où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ .

1. Montrons que la fonction $f_0$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_0(x) = (x^2 + 3x)e^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ .

Calcul de $f'_0(x)$ : $f_0'(x) = (2x + 3)e^{-x} - (x^2 + 3x)e^{-x}$

Vérification : $f_0 + f_0' = (x^2 + 3x + 2x + 3 - x^2 - 3x)e^{-x} = (2x + 3)e^{-x}$

La fonction $f_0$ est donc une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ .

2. Résolvons l'équation différentielle $(E_0) \;:\; y + y' = 0$ .

$y+y'=0$ peut s'écrire $y'=-y$ dont la solution générale est de la forme $y(x) = Ce^{-x}$ où $C \in \mathbb{R}$

3. Déterminons les solutions de l'équation différentielle $(E)$ .

L'équation $(E)$ est de la forme $y'=ay+f$ , qui d'après le cours admet comme solutions les fonctions du type $x\to Ce^{-x}+f_0(x)$ soit $y(x) = (x^2 + 3x + C)e^{-x}\quad C\in \mathbb R$

4. On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$ . Déterminons alors l'expression de la fonction $g$ .

On sait que $g(0) = 1$ soit $1 = (0 + 0 + C)e^{0} \Rightarrow C = 1$

Donc : $g(x) = (x^2 + 3x + 1)e^{-x}$

5. Déterminons les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion. Pour cela la dérivée seconde de la fonction solution $y$ doit s'annuler en changeant de signes.

$y(x) = (x^2 + 3x + C)e^{-x}\quad C\in \mathbb R$

$y'(x)=(2x+3)e^{-x}+(x^2+3x+C)(-e^{-x})=(-x^2-x+3-C)e^{-x}$

$y''(x)=(-2x-1)e^{-x}+(-x^2-x+3-C)(-e^{-x})=(x^2-x-4+C)e^{-x}$

Étudions le signe de la dérivée seconde :

$\checkmark\quad$ L'exponentielle est toujours strictement positive, la dérivée seconde $y''$ a donc le signe de $x^2-x-4+C$ .

$\checkmark\quad$ Étudions le signe de $x^2-x-4+C$ qui doit s'annuler en changeant de signes.

Le discriminant de ce polynôme du second degré est égal à $17-4C$ qui sera strictement positif pour $C < \dfrac{17}{4}$ .

Conclusion : Pour $C\in \left ]-\infty\,;\,\dfrac{17}{4}\right[$ , les solutions de l'équation différentielle admettront exactement deux points d'inflexion.

Partie C

1. On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :

$f(x) = (x^2 + 3x + 2)e^{-x}$

D'après le théorème des croissances comparées, $\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} x^2e^{-x} = 0$ , $\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} 3xe^{-x} = 0$ ; mais on sait également que $\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} 2e^{-x} = 0$

Donc par somme , $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0$

2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ .

a. Calculons la dérivée : $f'(x) = (2x + 3)e^{-x} - (x^2 + 3x + 2)e^{-x} = (-x^2 - x + 1)e^{-x}$

b. Signe et variations :

Les racines de $-x^2 - x + 1$ sont $x = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ et $x = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ ; le polynôme du second degré sera négatif à l'extérieur des solutions et du signe contraire entre les solutions.

Tableau de variations :

$\begin{array} {|c|cccccccc|}\hline x & -\infty & & \frac{-1-\sqrt{5}}{2} & & \frac{-1+\sqrt{5}}{2} & & +\infty & \\\hline \text{signe} & & - & 0 & + & 0 & -& & \\\hline \text{variations} & ^{+\infty} & \searrow & & \nearrow & & \searrow & _{0}& \\\hline \end{array}$

3. Positivité sur $[0; +\infty[$ :

Pour $x \geq 0$ , $x^2 + 3x + 2 > 0$ ; de plus pour tout $x$ , $e^{-x} > 0$ .

Par produit, la fonction $f$ ne prend que des valeurs strictement positives sur $[0; +\infty[$ .

4. Calcul de l'aire :

On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x) = (-x^2 - 5x - 7)e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ .

Sur $[0; +\infty[$ , la fonction $f$ ne prend que des valeurs strictement positives , par hypothèse $0< \alpha$ , donc l'aire $\mathcal A(\alpha)$ exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal (C_f)$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \alpha$ est égale à :

$\mathcal{A}(\alpha) = \displaystyle \int_0^\alpha f(x)\text dx = F(\alpha) - F(0)$

$\mathcal{A}(\alpha) =\left[F(x)\right_0^{\alpha}$ $F(0) = -7$

Donc : $\mathcal{A}(\alpha) = (-\alpha^2 - 5\alpha - 7)e^{-\alpha} + 7$ unités d'aire.

_{Merci à malou pour avoir élaboré cette contribution.}

Publié par malou le 25-05-2025

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