Fiche de mathématiques

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Bac spécialité Mathématiques 2025

Amérique du Nord

Jour 2

5 points

exercice 1

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$ .

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1. On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$ .

5. On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

a. Exprimer $T$ en fonction de $N$ .

b. En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$ . Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.

c. Calculer $P(12 \leq T \leq 18)$ .

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$ .

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.

On note $X_1, X_2, ..., X_n$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des 1^er, 2^e, ..., n-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, ..., X_n$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$ .

On pose $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ .

1. Dans cette question, on prend $n = 50$ .

a. Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?

b. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$ .

c. Démontrer que $P(|M_{50} - 22| \geq 3) \leq \dfrac{13}{90}$ .

d. En déduire que la probabilité de l'évènement « $19 < M_{50} < 25$ » est strictement supérieure à $0,85$ .

2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

" Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P(|M_n - 22| \geq 3) < 0,01$ "

5 points

exercice 2

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$ , en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI^e siècle.

On désigne par $(u_n)$ la suite définie par :

$u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$

Partie A

1. a. Donner la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$ .

b. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $1 \leq u_{n+1} \leq u_n$ .

b. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

c. Résoudre dans l'intervalle $[0; +\infty[$ l'équation $\sqrt{x} = x$ .

d. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_n)$ .

Partie B

On désigne par $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln(u_n)$ .

1. a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ .

b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ , pour tout entier naturel $n$ .

c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $\ln(2) = 2^n \ln(u_n)$ .

2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.

Une équation de la droite T est $y = x - 1$ .

Les points $A_0, A_1, A_2$ ont pour abscisses respectives $u_0, u_1$ et $u_2$ et pour ordonnée 0.

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On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99\,; \,1,01[$ .

a. Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_k$ appartienne à l'intervalle $]0,99 ; 1,01[$ et donner une valeur approchée de $u_k$ à $10^{-5}$ près.

b. En déduire une approximation de $\ln(u_k)$ .

c. Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de $\ln(2)$ .

3. On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel $\text{Briggs (a)}$ renvoie une approximation de $\ln(a)$ .

On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à $\sqrt{a}$ .

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5 points

exercice 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

PARTIE A

ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 2 : image 1

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

Affirmation 1 : " $\overrightarrow{JH} = 2\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{CB}$ "

Affirmation 2 : " Le triplet de vecteurs $\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AH}, \overrightarrow{AG}\right)$ est une base de l'espace. "

Affirmation 3 : " $\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{LM} = -\frac{1}{4}$ "

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

- le plan $\mathcal P$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$
- les points $A~(2 ; 0 ; -1)$ et $B~(5 ; -3 ; 7)$

Affirmation 4 : " Le plan $\mathcal P$ et la droite (AB) sont parallèles. "

Affirmation 5 : " Le plan $\mathcal P'$ parallèle à $\mathcal P$ passant par B a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$ "

Affirmation 6 : " La distance du point A au plan $\mathcal P$ est égale à $\frac{\sqrt{14}}{2}$ . "

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique :
$\begin{cases}x = -12 + 2k \\y = 6 \\z = 3 - 5k\end{cases}$ , où $k \in \mathbb{R}$

Affirmation 7 : " Les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires. "

5 points

exercice 4

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; \pi]$ par : $f(x) = e^x \sin(x)$ .

On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE A

1. a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; \pi]$ : $f'(x) = e^x (\sin(x) + \cos(x))$

b. Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0; \frac{\pi}{2}]$ .

2. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

b. Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[0; \frac{\pi}{2}]$ .

c. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; \frac{\pi}{2}]$ : $e^x \sin(x) \geq x$

3. Justifier que le point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

PARTIE B

On note : $I = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin(x) \text dx$ et $J =\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos(x) \text dx$

1. En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes : $I = 1 + J$ et $I = e^{\frac{\pi}{2}} - J$

2. En déduire que : $I = \dfrac{1+\text e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$

3. On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x$ .
Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0; \pi]$ .
Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre : les courbes $C_f$ et $C_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$ .

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Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 2

5 points

exercice 1

Partie A

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

L'entraîneur constate qu'à l'entraînement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de 0,32 .
Lors d'un entraînement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

1. On admet que la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ suit une loi binomiale. Précisons ses paramètres.

Victor réussit un panier à trois points avec une probabilité de 0,32.
Il effectue une série de 15 lancers à trois points indépendants.

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ suit une loi binomiale de paramètres $\overset{ { \white{ _. } } } { n=15 }$ et $\overset{ { \white{o. } } } { p=0,32 }$ , soit la loi $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{B}(15;0,32). }$

Cette loi est donnée par : $\overset{ { \white{ o. } } } { P(N=k)=\begin{pmatrix}15\\k\end{pmatrix}\times0,32^k\times(1-0,32)^{ 15-k }}$

soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{P(N=k)=\begin{pmatrix}15\\k\end{pmatrix}\times0,32^k\times0,68^{ 15-k }} }$

2. Nous devons calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(N=4). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(N=4)=\begin{pmatrix}15\\4\end{pmatrix}\times0,32^4\times0,68^{ 15-4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(N=4) }=\dfrac{15!}{4!\times11!}\times0,32^4\times0,68^{ 11} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(N=4) }\approx0,206 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(N=4)\approx0,206}$

Par conséquent, la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série est égale à 0,206 (valeur arrondie au millième).

3. Nous devons déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(N \le 6). }$

La calculatrice nous donne immédiatement le résultat.
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{ P(N \le 6)\approx 0,828}\,. }$

Remarque : Nous pouvons également obtenir ce résultat par un calcul plus long :

${ \white{ WWWWw } }$ $P(N\le6)=P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)+\cdots+P(N=6).$

4. Nous devons déterminer l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { N. }$

${ \white{ xxi } }$ $E(N)=n\times p \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(N) }=15\times 0,32 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(N) }=4,8 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(N)=4,8}$

5. On note $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

5. a) Nous devons exprimer $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ en fonction de $\overset{ { \white{ _. } } } { N. }$

La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ donne le nombre de paniers marqués.
Victor effectue une série de lancers à trois points.

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{T=3N}\,. }$

5. b) Nous devons en déduire l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { T . }$

${ \white{ xxi } }$ $E(T)=E(3N) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(T) }=3\times E(N) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(T) }=3\times 4,8 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(T) }=14,4 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{E(T)=14,4}$

Interprétons ce résultat.

${ \white{ xxi } }$ Lors d'une série de 15 lancers à trois points, Victor marque en moyenne un total de 14,4 points.

5. c) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(12 \leq T \leq 18) . }$

${ \white{ xxi } }$ $P(12 \leq T \leq 18)= P(12 \leq 3N \leq 18) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(12 \leq T \leq 18) }= P(4 \leq N \leq 6) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(12 \leq T \leq 18) }= P(N=4)+ P(N=5)+ P(N=6) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(12 \leq T \leq 18) }\approx0,206+0,213+0,167 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(12 \leq T \leq 18) }\approx0,586 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P(12 \leq T \leq 18)\approx0,586}$

Partie B

1. Dans cette question, on prend $\overset{ { \white{ _. } } } { n = 50 . }$

1. a) $\overset{ { \white{ _. } } } { M_{50} }$ est la moyenne des points marqués par Victor sur l'ensemble des 50 matchs.

1. b) Déterminons l'espérance et la variance de $\overset{ { \white{ _. } } } { M_{50} . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons l'espérance $\overset{ { \white{ _. } } } { E(M_{50}) . }$

${ \white{ xxi } }$ $E(M_{50})=E\left( \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots+ X_{50}}{50} \right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=\dfrac{E(X_1) + E(X_2) +\cdots + E(X_{50})}{50} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=\dfrac{E(X) + E(X) +\cdots + E(X)}{50} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=\dfrac{50\times E(X)}{50} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=E(X) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=22 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(M_{50})=22}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons la variance $\overset{ { \white{ _. } } } { V(M_{50}) . }$

${ \white{ xxi } }$ $V(M_{50})=V\left( \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots+ X_{50}}{50} \right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_{50})}=\dfrac{V(X_1) + V(X_2) +\cdots + V(X_{50})}{50^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_{50})}=\dfrac{V(X) + V(X) +\cdots + V(X)}{50^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=\dfrac{50\times V(X)}{50^2} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=\dfrac{V(X)}{50} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=\dfrac{65}{50} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{50})}=1,3 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(M_{50})=1,3}$

1. c) Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(|M_{50} - 22| \geq 3) \leq \dfrac{13}{90} . }$

Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\,|\,M_{50}-E(M_{50})\,|\geq a)\leq \dfrac{V(M_{50})}{a^2}\quad\text{où}\quad a>0. }$

En posant $\overset{ { \white{ _. } } } { a=3, }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|\,M_{50}-22\,|\geq 3)\leq \dfrac{\frac{13}{10}}{3^2}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,M_{50}-22\,|\geq 3)\leq \dfrac{13}{10\times9} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_{50}-22\,|\geq 3)\leq \dfrac{\frac{13}{10}}{3^2} }\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(\,|\,M_{50}-22\,|\geq 3)\leq \dfrac{13}{90}} }$

1. d) Nous devons en déduire que la probabilité de l'événement « $\overset{ { \white{ _. } } } { 19 < M_{50} < 25 }$ » est strictement supérieure à 0,85, soit que $\overset{ { \white{ _. } } } {P(19<M_{50}<25) > 0,85. }$

Utilisons la question 1, c).

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|\,M_{50}-22\,|\geq 3)\leq \dfrac{13}{90}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-P(\,|\,M_{50}-22\,|< 3)\leq \dfrac{13}{90} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_{50}-22\,|\geq 3)\leq \dfrac{13}{90}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,M_{50}-22\,|< 3)\geq 1-\dfrac{13}{90} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_{50}-22\,|\geq 3)\leq \dfrac{13}{90}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(-3<M_{50}-22< 3)\geq \dfrac{90-13}{90} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_{50}-22\,|\geq 3)\leq \dfrac{13}{90}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(22-3<M_{50}<22+ 3)\geq \dfrac{77}{90} }$
${ \white{ xxi } }$ $. {\phantom{ P(\,|\,M_{50}-22)\,|\geq 3)\leq \dfrac{13}{90}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(19<M_{50}<25)\geq \dfrac{77}{90} }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{77}{90} \approx0,856 }$

D'où nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{P(19<M_{50}<25)>0,85} }$

2. Montrons que l'affirmation suivante est fausse :

" Il n'existe aucun entier naturel $\overset{ { \white{. } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(|M_n - 22| \geq 3) < 0,01 }$ ".
En effet,

L'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { M_n }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { E(M_n)=22 }$ et la variance est $\overset{ { \white{ _. } } } { V(M_n)=\dfrac{65}{n}. }$

Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\,|\,M_{n}-E(M_{n})\,|\geq a)\leq \dfrac{V(M_{n})}{a^2}\quad\text{où}\quad a>0. }$

En posant $\overset{ { \white{ _. } } } { a=3, }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|\,M_{n}-22)\,|\geq 3)\leq \dfrac{\frac{65}{n}}{3^2}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,M_{n}-22)\,|\geq 3)\leq \dfrac{65}{9n}$

Nous cherchons les valeurs de $\overset{ { \white{ _. } } } { n }$ vérifiant l'inégalité $\overset{ { \white{ _. } } } {\dfrac{65}{9n}<0,01 . }$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{65}{9n}<0,01\quad \Longleftrightarrow\quad \dfrac{65}{9\times0,01}<n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{65}{9n}<0,01}\quad \Longleftrightarrow\quad \dfrac{65}{0,09}<n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{65}{9n}<0,01}\quad \Longleftrightarrow\quad n>722,22...}$

Le plus petit entier $\overset{ { \white{ _. } } } { n }$ vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=723. }$
D'où pour tout entier naturel $\overset{ { \white{. } } } { n\geq 723, }$ nous obtenons l'inégalité : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(|M_n - 22| \geq 3) < 0,01 }$

Par conséquent, l'affirmation proposée dans l'énoncé est fausse.

5 points

exercice 2

On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ la suite définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { u_0 = 2 }$ et, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n , u_{n+1} = \sqrt{u_n} . }$

Partie A

1. a) Nous devons donner la valeur exacte de $\overset{ { \white{ o. } } } { u_1 }$ et de $\overset{ { \white{ o. } } } { u_2 . }$

${ \white{ xxi } }$ ${\bullet}{\white{x}}\boxed{u_0=2} \\\\ \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}u_1=\sqrt{u_0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_1=\sqrt 2} \\\\ \overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}u_2=\sqrt{u_1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_2=\sqrt {\sqrt 2}}$

1. b) Nous devons émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

À la calculatrice, nous observons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ semble être décroissante et semble converger vers 1.

2. a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n ,\quad 1 \leq u_{n+1} \leq u_n . }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{{\white{.}}}{n = 0 ,}$ soit que $\overset{{\white{.}}}{1 \leq u_{1} \leq u_0.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases} u_1=\sqrt 2 \approx 1,414\\u_0=2 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1 \leq u_{1} \leq u_0}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{{\white{.}}}{ n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{{\white{o.}}}{ n, }$ alors elle est encore vraie au rang $\overset{{\white{.}}}{(n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{1 \leq u_{n+1} \leq u_n}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{1 \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} .}$
En effet, la fonction ''racine carrée'' est croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R_+. }$
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $1 \leq u_{n+1} \leq u_n \quad\Longrightarrow\quad \sqrt 1 \leq \sqrt{u_{n+1}} \leq \sqrt{u_n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1 \leq u_{n+1} \leq u_n } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{1 \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} }}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n ,\quad 1 \leq u_{n+1} \leq u_n . }$

2. b) Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est convergente.

Nous avons montré dans la question précédente que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par 1.
Donc, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est convergente.

2. c) Nous devons résoudre dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0; +\infty[ }$ l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \sqrt{x} = x . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\geq 0, }$

${ \white{ xxi } }$ $\sqrt{x} = x\quad\Longleftrightarrow\quad x = x^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \sqrt{x} = x}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - x = 0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \sqrt{x} = x}\quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 1)= 0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \sqrt{x} = x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x - 1= 0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \sqrt{x} = x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=0\quad\text{ou}\quad x = 1} }$

Par conséquent, l'ensemble des solutions dans $\overset{ { \white{ _. } } } { [0; +\infty[ }$ de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \sqrt{x} = x }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{S=\lbrace 0 , 1\rbrace}\;. }$

2. d) Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n). }$

La fonction ''racine carrée'' est continue sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=\sqrt{u_n}. }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{_.}}}{\ell=\sqrt{\ell}.}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt x = x. }$
Selon la question 2. c), nous savons que sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[, }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt x = x }$ admet pour solutions ${ x=0 }$ ou ${ x=1. }$

Or nous savons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\quad u_n \geq 1. }$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell \geq 1, }$ et par suite, $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell = 1. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}}$

Partie B

On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ la suite définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { v_n = \ln(u_n) . }$

1. a) Démontrons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{1}{2} . }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}=\ln(u_{n+1}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=\ln(\sqrt {u_n}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=\dfrac 12\ln({u_n}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=\dfrac 12\,v_n } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad v_{n+1}=\dfrac 12\, v_n}$

Notons que $\overset{ { \white{ _. } } } { v_0=\ln(u_0)=\ln(2). }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q= \dfrac{1}{2} }$ de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { v_0=\ln(2). }$

1. b) Exprimons $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { n. }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{v_n=\ln(2)\times \left(\dfrac 12\right)^n}}$

1. c) Nous devons en déduire que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n ,\quad \ln(2) = 2^n \ln(u_n) . }$

${ \white{ xxi } }$ $v_n=\ln(2)\times \left(\dfrac 12\right)^n\quad\Longleftrightarrow\quad v_n=\ln(2)\times \dfrac {1}{2^n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n=\ln(2)\times \left(\dfrac 12\right)^n} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln(u_n)=\ln(2)\times \dfrac {1}{2^n}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n=\ln(2)\times \left(\dfrac 12\right)^n} \quad\Longleftrightarrow\quad 2^n\ln(u_n)=\ln(2)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad \ln(2)=2^n\ln(u_n)}$

2. a) Nous devons déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ tel que $\overset{ { \white{ o. } } } { u_k }$ appartienne à l'intervalle ]0,99 ; 1,01[ et donner une valeur approchée de $\overset{ { \white{ o. } } } { u_k }$ à $\overset{ { \white{ } } } { 10^{-5} }$ près.

En donnant des valeurs successives à $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ , nous obtenons $\overset{ { \white{. } } } { u_6\approx1,010889 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { u_7\approx1,0054299 . }$
Donc le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ tel que $\overset{ { \white{ o. } } } { u_k }$ appartienne à l'intervalle ]0,99 ; 1,01[ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{k=7}\,. }$

Une valeur approchée de $\overset{ { \white{ o. } } } { u_7 }$ à $\overset{ { \white{ } } } { 10^{-5} }$ près est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{u_7\approx 1,00543}\,. }$

2. b) Nous devons en déduire une approximation de $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln(u_k) . }$

Dans la question précédente, nous avions montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { k=7. }$

L'énoncé précise que l'on décide de prendre $\overset{ { \white{ _. } } } { x - 1 }$ comme approximation de $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln(x) }$ lorsque $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ appartient à l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0,99\,; \,1,01[ . }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\ln(u_7)\approx u_7-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \ln(u_7)}\approx 1,00543-1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \ln(u_7)}\approx 0,00543 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\ln(u_7)\approx0,00543}$

2. c) Nous devons en déduire une approximation de $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln(2). }$

Nous avons montré dans la question 1. c) que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N,\quad \ln(2)=2^n\ln(u_n), }$
soit en prenant $\overset{ { \white{ _. } } } { n=7,\quad \ln(2)=2^7\ln(u_7). }$

$\text{D'où }\quad\begin{cases}\ln(2)=2^7\ln(u_7)\\\ln(u_7)\approx0,00543 \end{cases}\quad \Longrightarrow\quad \ln(2)\approx 2^7\times0,00543 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad\begin{cases}\ln(2)=2^7\ln(u_7)\\\ln(u_7)\approx0,00543 \end{cases}}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\ln(2)\approx 0,69504} }$

3. On généralise la méthode précédente à tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ strictement supérieur à 1.

Ci-dessous un algorithme tel que l'appel $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Briggs (a)} }$ renvoie une approximation de $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln(a) . }$

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 2 : image 10

5 points

exercice 3

Partie A

$\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { EFGH }$ est un cube d'arête de longueur 1.

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 2 : image 8

Les points $\overset{ { \white{ . } } } { I, J, K, L }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ sont les milieux respectifs des arêtes $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB], [BF], [AE], [CD] }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { [DH]. }$

Affirmation 1 : " $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{JH} = 2\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{CB} }$ "
L'affirmation est VRAIE.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{JH}=\overrightarrow{JF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EH} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{JH}}= \dfrac 12\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{JH}}= \dfrac 12\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{JH}}=\overrightarrow{DM}+2\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{CB} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{JH}=2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{CB} }$

Affirmation 2 : " Le triplet de vecteurs $\overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AH}, \overrightarrow{AG}\right) }$ est une base de l'espace. "
L'affirmation est FAUSSE.

En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}} }$

Nous en déduisons que les vecteurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AH} }$ sont liés.
Par conséquent, le triplet de vecteurs $\overset{ { \white{ . } } } { \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AH}, \overrightarrow{AG}\right) }$ n'est pas une base de l'espace.

Affirmation 3 : " $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{LM} = -\frac{1}{4} }$ "
L'affirmation est VRAIE.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{IB}\cdot(\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DM}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} }=\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{DM} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} }=\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LD}+0 \quad\text{car}\quad \overrightarrow{IB}\perp\overrightarrow{DM} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} }=\overrightarrow{IB}\cdot(-\overrightarrow{IB}) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} }=-\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{IB} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} }=-IB\times IB} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} }=-\dfrac 12\times \dfrac 12} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} }=-\dfrac 14} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM} =-\dfrac 14}$

Partie B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet { \white{ xx }$ le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ d'équation cartésienne $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x - y + 3z + 6 = 0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\bullet { \white{ xx }$ les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A~(2 ; 0 ; -1) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B~(5 ; -3 ; 7) }$

Affirmation 4 : " Le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ et la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ sont parallèles. "
L'affirmation est FAUSSE.

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P : 2x - y + 3z + 6 = 0 }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\overrightarrow n\;(2\;;\;-1\;;\;3)}\,. }$
Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB}. }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}A(2\;;\;0\;;\;-1)\\B(5\;;\;-3\;;\;7)\end{cases}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\,(5-2\;;\; -3-0\;;\;7+1)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\,(3\;;\; -3\;;\;8)} }$

Déterminons si les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{n} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ sont orthogonaux.

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=2\times 3-1\times(-3)+3\times 8 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}}=6+3+24 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}}=33} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}\;{\red{\neq 0}} }$

D'où, les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{n} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ ne sont pas orthogonaux.
Par conséquent, le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ et la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ ne sont pas parallèles.

Affirmation 5 : "Le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P' }$ parallèle à $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ passant par $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ a pour équation cartésienne $\overset{ { \white{ _. } } } { -2x + y - 3z + 34 = 0. }$ "
L'affirmation est VRAIE.

Puisque les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P' }$ sont parallèles, le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow n\;(2\;;\;-1\;;\;3) }$ est normal aux deux plans.

Dès lors, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P' }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x-y+3z+d=0 }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { d\in\R. }$
Or le point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P ' }$
Ses coordonnées vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P' }$
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\times5+3+3\times7+d=0\quad\Longrightarrow\quad d=-34. }$

Nous en déduisons que la plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P' }$ admet pour équation cartésienne $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x-y+3z-34=0 }$
ou également, en multipliant les deux membres de l'équation par (-1), l'équation est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{-2x+y-3z+34=0} }$

Affirmation 6 : " La distance $\overset{ { \white{ _. } } } { d(A,\mathcal P) }$ du point $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { A }$ au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\sqrt{14}}{2} . }$ "
L'affirmation est VRAIE.

Nous avons le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A~(2 ; 0 ; -1) }$ et le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal P }$ d'équation cartésienne $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x - y + 3z + 6 = 0 }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $d(A,\mathcal P)=\dfrac{|2\times2-0+3\times(-1)+6}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d(A,\mathcal P)}=\dfrac{|4+0-3+6|}{\sqrt{4+1+9}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d(A,\mathcal P)}=\dfrac{7}{\sqrt{14}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d(A,\mathcal P)}=\dfrac{7\sqrt{14}}{14} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ d(A,\mathcal P)}=\dfrac{\sqrt{14}}{2 }} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(A,\mathcal P)=\dfrac{\sqrt{14}}{2 }}$

On note $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ la droite de représentation paramétrique : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}x = -12 + 2k \\y = 6 \\z = 3 - 5k\end{cases} }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } { k \in \mathbb{R} . }$

Affirmation 7 : " Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ ne sont pas coplanaires. "
L'affirmation est FAUSSE.

Déterminons si les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ sont sécantes.

Déterminons d'abord une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB). }$
Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {AB}\,(3\;;\; -3\;;\;8) . }$

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ passe par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A~(2 ; 0 ; -1) . }$
Donc une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}x =2+3r \\y = -3r \\z = -1+8r\end{cases} }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } { r \in \mathbb{R} . }$

Résolvons ensuite le système composé par les représentations paramétriques des droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}x =2+3r \\y = -3r \\z = -1+8r\\x = -12 + 2k \\y = 6 \\z = 3 - 5k\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x =2+3r \\y = -3r \\z = -1+8r\\2+3r = -12 + 2k \\-3r = 6 \\-1+8r = 3 - 5k\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x =2+3r \\y = -3r \\z = -1+8r\\2+3r = -12 + 2k \\ {\red{r=-2}} \\-1+8r = 3 - 5k\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x =2+3r \\y = -3r \\z = -1+8r\\x = -12 + 2k \\y = 6 \\z = 3 - 5k\end{cases} }\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x =2+3\times(-2) \\y = -3\times(-2) \\z = -1+8\times(-2)\\2+3\times(-2) = -12 + 2k \\ {\red{r=-2}} \\-1+8\times(-2) = 3 - 5k\end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x =-4 \\y = 6 \\z = -17\\-4= -12 + 2k \\r=-2 \\-17 = 3 - 5k\end{cases} }$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x =2+3r \\y = -3r \\z = -1+8r\\x = -12 + 2k \\y = 6 \\z = 3 - 5k\end{cases} }\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x =-4 \\y = 6 \\z = -17\\2k=8 \\r=-2 \\5k=20\end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x =-4 \\y = 6 \\z = -17\\k=4 \\r=-2 \\k=4\end{cases} }$

Dès lors, il existe un réel $\overset{ { \white{ o. } } } { r }$ et un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ pour lesquels les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ ont un point commun.
D'où les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ sont sécantes au point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (-4\;;\;6\;;\;-17). }$

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ sont coplanaires.

5 points

exercice 4

On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ la fonction définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0; \pi] }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = e^x \sin(x) . }$

Partie A

1. a) Démontrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0; \pi]\quad :\quad f'(x) = e^x (\sin(x) + \cos(x)) }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0; \pi]\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x) = \Big(e^x \sin(x)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=(e^x)'\times \sin(x) +e^x\times\Big( \sin(x)\Big)' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=e^x\times \sin(x) +e^x\times \cos(x) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=e^x\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0 ; \pi],\quad f'(x)=e^x\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big) }$

1. b) Nous devons justifier que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] . }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0; \dfrac{\pi}{2}]\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \text e^x > 0\\\sin(x)\geq 0\\\cos(x)\geq 0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad e^x\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big)\geq 0$

De plus, dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]}$ , il n'existe aucune valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { \sin(x) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \cos(x) }$ s'annulent simultanément.
Nous en déduisons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0; \dfrac{\pi}{2}]\,,\quad e^x\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big)\neq 0 . }$

Donc pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0; \dfrac{\pi}{2}]\,,\quad e^x\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big)>0 }$
Autrement dit, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0; \dfrac{\pi}{2}]\,,\quad f'(x)>0 }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] . }$

2. a) Nous devons déterminer une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ au point d'abscisse 0.

Une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ au point d'abscisse 0 est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { y=f'(0)(x-0)+f(0) , }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{y=f'(0)x + f(0)} }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad\begin{cases} f(0)=\text e^0\sin(0)\\f'(0)=\text e^0\Big( \sin(0) + \cos(0)\Big)\end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} f(0)=1\times0\\f'(0)=1\times(0+1)\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\begin{cases} f(0)=\text e^0\sin(0)\\f'(0)=\text e^0\Big( \sin(0) + \cos(0)\Big)\end{cases} }\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} f(0)=0\\f'(0)=1\end{cases} }$

Donc une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ au point d'abscisse 0 est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{y=x}\,. }$

2. b) Nous devons démontrer que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] . }$

Étudions le signe de la dérivée seconde sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] . }$

La fonction dérivée $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] . }$

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right],\quad f''(x)=\Big[ e^x\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big)\Big]' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right],\quad f''(x) } =(e^x)'\times\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big)+e^x\times\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big)'} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right],\quad f''(x) } =e^x\times\Big( \sin(x) + \cos(x)\Big)+e^x\times\Big( \cos(x) - \sin(x)\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right],\quad f''(x) } =e^x\times\Big( \sin(x) + \cos(x)+\cos(x)-\sin(x)\Big)}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in[0 ; \pi],\quad f''(x) } =2e^x\cos(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right],\quad f''(x) =2e^x\cos(x)}$

$\text{Or pour tout}\; x\in[0\;;\;\dfrac{\pi}{2}],\quad \begin{cases} \text e^x>0\\\cos(x)\geq 0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f''(x)\geq 0}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] . }$

2. c) Nous devons en déduire que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0; \frac{\pi}{2}] : e^x \sin(x) \geq x . }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] . }$
Donc la courbe représentative $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]}$ et en particulier au-dessus de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T. }$

Nous en déduisons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0; \frac{\pi}{2}] : e^x \sin(x) \geq x . }$

3. Nous devons justifier que le point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\pi}{2} }$ de la courbe représentative de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est un point d'inflexion.

La fonction dérivée $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[0; \pi\right] . }$

De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\forall\,x\in[0 ; \pi],\quad f''(x) =2e^x\cos(x)} }$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0;\;\pi]. }$
Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \cos(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } {\cos(x)>0\Longleftrightarrow 0\leq x <\dfrac{\pi}{2}}\\\ \overset{ { \white{.} } } {\cos(x)=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\phantom{XXi}}\\\overset{ { \phantom{.} } } {\cos(x)<0\Longleftrightarrow\dfrac{\pi}{2}< x \leq \pi} \end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&\dfrac{\pi}{2}&&\pi\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\\cos(x)&+&+&0&-&-\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f''(x)&+&+&0&-&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ change de signe en s'annulant en $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\pi}{2} . }$
D'où le point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\pi}{2} }$ de la courbe représentative de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est un point d'inflexion.

Partie B

On note : $\overset{ { \white{ _. } } } { I = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin(x)\, \text dx }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { J =\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos(x)\, \text dx . }$

1. En intégrant par parties l'intégrale $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes : $\overset{ { \white{ _. } } } { I = 1 + J }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { I = e^{\frac{\pi}{2}} - J }$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { I = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin(x)\; \text dx }$ d'une première manière.
$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{\frac{\pi}{2}}- \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \begin{cases} u(x)=\text e^x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\text e^x \\\\v'(x)=\sin(x)\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\cos(x)\end{cases}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } {I = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin(x)\; \text dx =\left[\overset{}{-\text e^{x}\cos(x)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\text{e}^{x}\,(-\cos(x))\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-\text e^{x}\cos(x)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\text{e}^{x}\cos(x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=(-\text e^{\frac{\pi}{2}}\cos(\dfrac{\pi}{2}))-(-\text e^{0}\cos(0))+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\text{e}^{x}\cos(x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=0-(-1)+J} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWWWW}=1+J}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { I = 1 + J }}$

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { I = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin(x)\; \text dx }$ d'une deuxième manière.
$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{\frac{\pi}{2}}- \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \begin{cases} u(x)=\sin(x)\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\cos(x) \\\\v'(x)=\text e^x\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\text e^x\end{cases}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } {I = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin(x)\; \text dx =\left[\overset{}{\text e^{x}\sin(x)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\text{e}^{x}\,\cos(x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=\text e^{\frac{\pi}{2}}\sin(\dfrac{\pi}{2})-\text e^{0}\sin(0)-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\text{e}^{x}\cos(x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWW}=\text e^{\frac{\pi}{2}}-0-J} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWWWW}=\text e^{\frac{\pi}{2}}-J}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\overset{ { \white{ _. } } } { I = \text e^{\frac{\pi}{2}}-J }}$

2. Nous devons en déduire que : $\underset{ { \white{ } } } { I = \dfrac{1+\text e^{\frac{\pi}{2}}}{2} }$

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} I = 1 + J \\I = \text e^{\frac{\pi}{2}}-J \end{cases}. }$

En additionnant membre à membre les deux équations, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2I=1+ \text e^{\frac{\pi}{2}} , }$
soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ I = \dfrac{1+\text e^{\frac{\pi}{2}}}{2} } }$

3. On note $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x) = x . }$
Les courbes représentatives des fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ et $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0; \pi] . }$

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 2 : image 9

Nous devons calculer la valeur exacte de l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr A }$ du domaine hachuré situé entre : les courbes $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {C_g}$ et les droites d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x = 0 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { x = \dfrac{\pi}{2} . }$

Nous avons montré dans la Partie A - question 2. c) que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0; \frac{\pi}{2}] : f(x) \geq x , }$ soit que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0; \frac{\pi}{2}] : f(x) \geq g(x) . }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr A=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big(f(x)-g(x)\Big)\text{ d}x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big(\text e^x\sin(x)-x\Big)\text{ d}x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\text e^x\sin(x)\text{ d}x-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\text{ d}x }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =I-\Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\dfrac{1+\text e^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\Bigg(\dfrac{(\frac{\pi}{2})^2}{2}-0\Bigg)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A } =\dfrac{1+\text e^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\dfrac{\pi^2}{8}}$

Par conséquent, la valeur exacte de l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr A }$ du domaine hachuré est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \Bigg(\dfrac{1+\text e^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\dfrac{\pi^2}{8}\Bigg) }$ unités d'aire.

_{Merci à Hiphigenie et malou pour avoir élaboré cette fiche.}

Publié par malou le 09-06-2025

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