Fiche de mathématiques

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Bac spécialité Mathématiques

Amérique du Nord

Jour 2 (2)

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = xe^{-x} + 2x - 1$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ .
On appelle $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ , c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$ .

Partie A

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .

2. Pour tout réel $x$ , calculer $f'(x)$ .

3. Montrer que pour tout réel $x$ : $f''(x) = (x - 2)e^{-x}.$

4. Étudier la convexité de la fonction $f$ .

5. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$ , puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum. Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

6. En déduire le signe de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$ , puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

7. Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ . Donner un encadrement de $\alpha$ , au centième près.

8. On considère la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 1$ . Étudier la position relative de la courbe $C_f$ par rapport à la droite $\Delta$ .

Partie B : Calcul d'aire

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_n$ délimité par la courbe $C_f$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$ . On note :

$I_n = \displaystyle \int_1^n x e^{-x} \, \text dx.$

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_n$ en fonction de $n$ .

2.
a. Justifier que l'aire du domaine $D_n$ est $I_n$ .

b. Calculer la limite de l'aire du domaine $D_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

5 points

exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte. $(O, \overrightarrow {i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ est un repère de l'espace. On considère la droite $D$ qui a pour représentation paramétrique : $\begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$
et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne : $2x - 3y + z - 6 = 0$ .

1. Affirmation : La droite $D'$ , qui a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 4 - 6t \\ z = 9 - 8t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R},\quad {\white w}$ est parallèle à la droite $D$ .

2. On admet que les points $A(-2;3;1)$ , $B(1;3;-4)$ et $C(6;3;9)$ ne sont pas alignés.

Affirmation : La droite $D$ est orthogonale au plan défini par les trois points $A$ , $B$ et $C$ .

3. Affirmation : La droite $D$ est sécante avec la droite $\Delta$ qui a pour représentation paramétrique : $\begin{cases} x = -4 + 2t' \\ y = 1 - 3t' \\ z = 2 + t' \end{cases}, \quad t' \in \mathbb{R}.$

4. Affirmation : Le point $F(-3;-3;3)$ est le projeté orthogonal du point $E(-5;0;2)$ sur le plan $P$ .

5. Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P'$ d'équation $-3x + y - a^2z + 3 = 0$ soit parallèle à la droite $D$ .

5 points

exercice 3

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de 2% de la population d'un pays. Dans ce pays, 90% de la population a été vaccinée contre ce virus. On constate que 62% des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge au hasard une personne, et on note les événements suivants :

$C$ : « la personne a été contaminée »

$V$ : « la personne a été vaccinée »

Les événements contraires des événements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$ .

1. À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$ , $P(V)$ et de la probabilité conditionnelle $P_C(V)$ .

2.
a. Calculer $P(C \cap V)$

b. En déduire $P(\overline{C} \cap V)$

3. Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 2 (2) : image 1

4. Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.

a. « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »

b. « Plus de 98% de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

6. On s'intéresse à un échantillon de 20 personnes choisies au hasard dans la population. La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.

On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est $p=0,02$ .

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ' Justifier et donner ses paramètres.

b. Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.

5 points

exercice 4

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_1 = \frac{1}{2} \\ u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4} u_n \end{cases}$

Partie A : Conjecture

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

$\begin{array} {|c|cccccccccccc|}\hline n & 0& |& 1 & |& 2 & | & 3 & | & 4 & | & 5 & \\ \hline u_n &0 & | & \dfrac 12& |& \dfrac 12 & | && | & & | & & \\ \hline \end{array}$

2. Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$ .

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_{n+1} - \frac{1}{2}u_n$

1. Calculer $w_0$ .

2. Démontrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .

3. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $w_n$ en fonction de $n$ .

4. Montrer que pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n+1} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} + \frac{1}{2}u_n$

5. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = n \left( \frac{1}{2} \right)^n$

Partie C : Étude de la suite $(u_n)$

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$ .

2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.

3. On admet que la limite de la suite $(u_n)$ est solution de l'équation : $\ell = \ell - \frac{1}{4}\ell$
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

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Jour 2 (2)

5 points

exercice 1

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathbb{R} }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = xe^{-x} + 2x - 1 . }$
On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est deux fois dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathbb{R} . }$

Partie A

1. Nous devons déterminer les limites de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ et en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{W. } } } {\lim\limits_{x\to-\infty} f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty} \text e^{-x}=\lim\limits_{X\to+\infty} \text e^{X}=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty} x\,\text e^{-x}=-\infty$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text e^{-x}=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}(2x-1)=-\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}(x\,\text e^{-x}+2x-1)=-\infty }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=-\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{W. } } } {\lim\limits_{x\to+\infty} f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text e^{-x}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-1)=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(x\,\text e^{-x}+2x-1)=+\infty$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty} }$

2. Pour tout réel $\overset{ { \white{ b. } } } { x , }$ nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) . }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ b. } } } { x , }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(x\,\text e^{-x} + 2x - 1)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= x'\times\text e^{-x}+x\times(\text e^{-x})'+2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= 1\times\text e^{-x}+x\times(-\text e^{-x})+2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }= (1-x)\times\text e^{-x}+2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)=(1-x)\,\text e^{-x}+2}$

3. Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x : f''(x) = (x - 2)e^{-x}. }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ b. } } } { x , }$

${ \white{ xxi } }$ $f''(x)=\Big((1-x)\,\text e^{-x}+2\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x) }= (1-x)'\times\text e^{-x}+(1-x)\times(\text e^{-x})'} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x) }= (-1)\times\text e^{-x}+(1-x)\times(-\text e^{-x})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x) }= (-1)\times\text e^{-x}-(1-x)\times\text e^{-x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f''(x) }= (-2+x)\times\text e^{-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f''(x)=(x-2)\,\text e^{-x}}$

4. Étudier la convexité de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f . }$

La convexité de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dépend du signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x). }$

Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-2). }$

${ \white{ xxi } } \begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } {x-2>0\Longleftrightarrow x>2}\\\ \overset{ { \white{.} } } {x-2=0\Longleftrightarrow x=2}\\\overset{ { \phantom{.} } } {x-2<0\Longleftrightarrow x< 2} \end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&2&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\x-2&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f''(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est concave sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {]-\infty\;;\;2] }$ et est convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;+\infty [. }$

5. Nous devons étudier les variations de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R , }$ puis dresser son tableau de variations.
(Les limites de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues).

Nous avons montré dans la question précédente que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\; ]-\infty\;;\;2],\quad f''(x)\leq 0 }$ et que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in [2\;;\;+\infty[,\quad f''(x)\geq 0. }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ est décroissante que $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;2] }$ et est croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;+\infty[. }$
Elle possède donc un minimum en 2.

Nous pouvons alors dresser le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R . }$

${ \white{ xxi } } \begin{matrix}f'(2)=(1-2)\,\text e^{-2}+2\\\overset{ { \white{ _. } } } { =-\,\text e^{-2}+2}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&2&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\f''(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'&&\searrow&&\nearrow&\\&&&2-\text e^{-2}&&\\\hline \end{array}$

6. Nous devons en déduire le signe de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R , }$ puis justifier que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R . }$

Nous observons dans le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ que cette fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ admet un minimum égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { 2-\text e^{-2}\approx1,86. }$
Puisque ce minimum est strictement positif, nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R . }$

Dès lors, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R . }$

7. Nous devons justifier qu'il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha) = 0 }$ et donner un encadrement de $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ au centième près.

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R . }$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;]\,-\infty\;;\;+\infty\,[} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=0. }$

De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} f (0,37)\approx-0,00443 <0\\f(0,38)\approx 0,01987>0\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\alpha\in[0,37\;;\;0,38]} }$

8. On considère la droite $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \Delta }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y = 2x - 1 . }$
Nous devons étudier la position relative de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ par rapport à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta . }$

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)-(2x-1) }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } {\R. }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } {x,\quad f(x)-(2x-1)=x\,\text e^{-x}.}$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)-(2x-1) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { x. }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)-(2x-1) < 0 }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;0[ }$ et
${ \white{ xxxii } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)-(2x-1) > 0 }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

Par conséquent,   $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$    $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ est en dessous de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;0[ }$
${ \white{ WWWWWWv } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$    $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ est au-dessus de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ et
${ \white{ WWWWWWv } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$     $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ croise $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ au point d'abscisse 0.

Partie B : Calcul d'aire

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ un entier naturel non nul.
On considère l'aire du domaine $\overset{ { \white{ _. } } } { D_n }$ délimité par la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f , }$ la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et les droites d'équations respectives $\overset{ { \white{ _. } } } {x = 1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { x = n . }$
On note : $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n = \displaystyle \int_1^n x e^{-x} \, \text dx. }$

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimons $\overset{ { \white{ _. } } } {I_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ _. } } } { n . }$

Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n = \displaystyle \int_1^n x e^{-x} \, \text dx . }$
$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{n}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{n}- \displaystyle\int_1^{n}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \begin{cases} u(x)=x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=1 \\\\v'(x)=\text e^{-x}\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\text e^{-x}\end{cases}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } {I_n = \displaystyle \int_1^n x e^{-x} \, \text dx =\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_1^{n}-\displaystyle\int_1^{n}1\times(-\text{e}^{-x})\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_1^{n}+\displaystyle\int_1^{n}\text{e}^{-x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{-x\,\text e^{-x}}\right]_1^{n}+\left[\overset{}{-\,\text e^{-x}}\right]_1^{n}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=(-n\,\text e^{-n}-(- \text e^{-1}))+(-\text e^{-n}-(-\text e^{-1}))} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=-n\,\text e^{-n}-\text e^{-n}+2\,\text e^{-1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_n=-n\,\text e^{-n}-\text e^{-n}+2\,\text e^{-1}}$

2. a) Nous devons justifier que l'aire du domaine $\overset{ { \white{ _. } } } { D_n }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n . }$

Nous avons montré dans la question 8 - Partie A que $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ est au-dessus de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\text{Aire de }D_n=\displaystyle\int_1^n \Big(f(x)-(2x-1)\Big)\,\text d x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Aire de }D_n}=\displaystyle\int_1^n x\,\text e^{-x}\,\text d x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Aire de }D_n}=I_n}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\text{Aire de }D_n=I_n} }$

2. b) Nous devons calculer la limite de l'aire du domaine $\overset{ { \white{ _. } } } { D_n }$ quand $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ tend vers $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty , }$ soit calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty} I_n . }$

$\lim\limits_{n\to+\infty} I_n=\lim\limits_{n\to+\infty} (-n\,\text e^{-n}-\text e^{-n}+2\,\text e^{-1})$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\lim\limits_{n\to+\infty} -n\,\text e^{-n}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\lim\limits_{n\to+\infty}\text e^{-n}=0 \end{cases} \\\\\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty} (-n\,\text e^{-n}-\text e^{-n}+2\,\text e^{-1})=2\,\text e^{-1} }$

D'où, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} I_n=2\,\text e^{-1}} }$

Par conséquent, la limite de l'aire du domaine $\overset{ { \white{ _. } } } { D_n }$ quand $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ tend vers $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\,\text e^{-1}\;\text{u.a.} , }$ soit environ 0,74 u.a.

5 points

exercice 2

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (O, \overrightarrow {i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) }$ un repère de l'espace.
On considère la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ qui a pour représentation paramétrique : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} }$ et le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ qui a pour équation cartésienne : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x - 3y + z - 6 = 0 . }$

1. Affirmation : La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D' , }$ qui a pour représentation paramétrique $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 4 - 6t \\ z = 9 - 8t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R},\quad {\white w} }$ est parallèle à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$
L'affirmation est VRAIE.

Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est $\overset{ { \white{o. } } } { \overrightarrow u\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix} . }$
Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D' }$ est $\overset{ { \white{ o. } } } { \overrightarrow {u}'\begin{pmatrix}2\\-6\\-8\end{pmatrix} . }$

Nous observons que $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {u}'=-2\,\overrightarrow {u}. }$
Les vecteurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {u}}$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {u}'}$ sont donc colinéaires.
Nous en déduisons que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D' }$ sont parallèles.
L'affirmation est donc vraie.

2. On admet que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A(-2;3;1) , B(1;3;-4) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C(6;3;9) }$ ne sont pas alignés.

Affirmation : La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est orthogonale au plan défini par les trois points $\overset{ { \white{ _. } } } { A , B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C . }$
L'affirmation est FAUSSE.

Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est $\overset{ { \white{ o. } } } { \overrightarrow u\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix} . }$
La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est orthogonale au plan défini par les trois points $\overset{ { \white{ _. } } } { A , B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ si le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \overrightarrow {AB} }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \overrightarrow {AC} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} A(-2;3;1)\\ B(1;3;-4) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1+2\\3-3\\-4-1\end{pmatrix} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} A(-2;3;1)\\ B(1;3;-4) \end{cases} } \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}} }$

Déterminons si le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {AB}. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}=(-1)\times3+3\times0+4\times(-5)=-23 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}\neq 0}$

Nous en déduisons que le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u }$ n'est pas orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {AB}. }$
Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ n'est pas orthogonale au plan défini par les trois points $\overset{ { \white{ _. } } } { A , B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C . }$
L'affirmation est donc fausse.

3. Affirmation : La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est sécante avec la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ qui a pour représentation paramétrique : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x = -4 + 2t' \\ y = 1 - 3t' \\ z = 2 + t' \end{cases}, \quad t' \in \mathbb{R}. }$
L'affirmation est FAUSSE.

Déterminons si le système d'équation composé par les représentations paramétriques de $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ et de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ admet une solution.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ x = -4 + 2t' \\ y = 1 - 3t' \\ z = 2 + t' \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ 3 - t = -4 + 2t' \\ -2 + 3t = 1 - 3t' \\ 1 + 4t = 2 + t' \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ t=7-2t' \\ 3t = 3 - 3t' \\ 4t = 1 + t' \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ x = -4 + 2t' \\ y = 1 - 3t' \\ z = 2 + t' \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ t=7-2t' \\ t = 1 - t' \\ 4t = 1 + t' \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ t=7-2t' \\ t = 1 - t' \\ 4(1-t') = 1 + t' \end{cases}$

$.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ t=7-2t' \\ t = 1 - t' \\ 4(1-t') = 1 + t' \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ t=7-2t' \\ t = 1 - t' \\ 4-4t'= 1 + t' \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ t=7-2t' \\ t = 1 - t' \\ 5t' = 3 \end{cases} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ t=7-2t' \\ t = 1 - t' \\ 4(1+t') = 1 + t' \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ t=7-2t' \\ t = 1 - t' \\ t'=\dfrac 35 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + 4t\\ {\red{t=\dfrac{29}{5}}} \\\overset{ { \white{ _. } } } { {\red{t=\dfrac 25}}} \\ \overset{ { \phantom{ _. } } } { t'=\dfrac 35 } \end{cases}$

Nous observons que ce système n'admet pas de solution puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ prend deux valeurs distinctes.

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ n'est pas sécante avec la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta . }$
L'affirmation est donc fausse.

4. Affirmation : Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F(-3;-3;3) }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E(-5;0;2) }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P . }$
L'affirmation est VRAIE.

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix} . }$
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} E(-5;0;2)\\F(-3;-3;3)\end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix} }$

D'où, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\overrightarrow{n}=\overrightarrow{EF}} }$

En outre, les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ vérifient l'équation du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { -6+9+3-6=0. }$
Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P . }$
L'affirmation est donc vraie.

5. Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel $\overset{ { \white{ -. } } } { a }$ telle que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P' }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { -3x + y - a^2z + 3 = 0 }$ soit parallèle à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D . }$
L'affirmation est FAUSSE.

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P' }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix}-3\\1\\-a^2\end{pmatrix} . }$
Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow u\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix} . }$
Le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P' }$ est parallèle à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ si $\underset{ { \white{ '' } } } { \overrightarrow{n'}\cdot \overrightarrow{u}=0. }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad\overrightarrow{n'}\cdot \overrightarrow{u}=0\quad\Longleftrightarrow\quad (-3)\times(-1)+1\times3-a^2\times4=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\overrightarrow{n'}\cdot \overrightarrow{u}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 3+3-4a^2=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\overrightarrow{n'}\cdot \overrightarrow{u}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 4a^2=6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\overrightarrow{n'}\cdot \overrightarrow{u}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad a^2=\dfrac 64 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\overrightarrow{n'}\cdot \overrightarrow{u}=0}\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{\sqrt 6}{2}\quad\text{ou}\quad a=-\dfrac{\sqrt 6}{2} }$

Il existe donc DEUX valeurs du paramètre réel $\overset{ { \white{ -. } } } { a }$ telles que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P' }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { -3x + y - a^2z + 3 = 0 }$ soit parallèle à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D . }$
L'affirmation est donc fausse.

5 points

exercice 3

1. À partir de l'énoncé, nous devons donner, sans calcul, les probabilités $\overset{ { \white{ _. } } } { P(C) , P(V) }$ et la probabilité conditionnelle $\overset{ { \white{ _. } } } { P_C(V) . }$

La circulation d'un virus a entraîné la contamination de 2% de la population d'un pays.
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P(C)=0,02. }$

Dans ce pays, 90% de la population a été vaccinée contre ce virus.
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P(V)=0,90. }$

On constate que 62% des personnes contaminées avaient été vaccinées.
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P_C(V)=0,62. }$

2. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(C \cap V) . }$

${ \white{ xxi } }$ $P(C \cap V) =P(C)\times P_C(V) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(C \cap V) } =0,02\times 0,62 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(C \cap V) } =0,0124} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(C \cap V) =0,0124}$

2. b) Nous devons en déduire $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\overline{C} \cap V) }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{C}$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(V)=P(C\cap V)+P(\overline{C}\cap V)\quad\Longleftrightarrow\quad 0,90=0,0124+P(\overline{C}\cap V) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V)=P(C\cap V)+P(\overline{C}\cap V)}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\overline{C}\cap V) =0,90-0,0124} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(V)=P(C\cap V)+P(\overline{C}\cap V)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(\overline{C}\cap V) =0,8876}}$

3. Arbre des probabilités complété.

Calculs préalables :

${ \white{ xxi } }$ $P_{\overline{C}}(V)=\dfrac{P({\overline{C}}\cap V)}{P({\overline{C}})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{\overline{C}}(V)}=\dfrac{0,8876}{0,98} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{\overline{C}}(V)}\approx0,9057} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_{\overline{C}}(V)\approx0,9057}$

${ \white{ xxi } }$ $P_{\overline{C}}(\overline{V})=1-P_{\overline{C}}(V) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{\overline{C}}(\overline{V})}\approx1-0,9057 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{\overline{C}}(\overline{V})}\approx0,0943 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_{\overline{C}}(\overline{V})\approx0,0943 }$

Arbre des probabilités

Bac spécialité maths 2025 Amérique du Nord Jour 2 (2) : image 2

4. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P_V(C) }$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

${ \white{ xxi } }$ $P_V(C)=\dfrac{P(C\cap V)}{P(V)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_V(C)}=\dfrac{0,0124}{0,90} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_V(C)}\approx0,0138} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_V(C)\approx0,0138}$

Interprétation
${ \white{ xxi } }$ La probabilité qu'une personne soit contaminée sachant qu'elle est vaccinée est égale à environ 0,0138.
${ \white{ xxi } }$ Autrement dit, environ 1,38 % des personnes vaccinées ont été contaminées.

5. a) Affirmation : « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »
L'affirmation est FAUSSE.

Par la question 3, nous savons que :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} P_{\overline C}(V)\approx0,9057\\\overset{ { \white{ _. } } } {P_{\overline C}(\overline V)\approx0,0943}\end{cases}$

Le rapport de ces deux probabilité est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{0,9057}{0,0943}\approx 9,6. }$

Dès lors, parmi les personnes non contaminées, il y a 9,6 fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées.
L'affirmation est donc fausse.

5. b) Affirmation : « Plus de 98% de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »
L'affirmation est VRAIE.

Nous devons donc déterminer $\overset{ { \white{ _. } } } { P_V(\overline C). }$

${ \white{ xxi } }$ $P_V(\overline C)=1-P_V(C) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_V(\overline C)}\approx1-0,0138} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_V(\overline C)}\approx0,9862} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_V(\overline C)\approx0,9862}$

Par conséquent, environ 98,96 % de la population vaccinée n'a pas été contaminée.
L'affirmation est donc vraie.

6. a) Nous devons préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $\overset{ { \white{ _. } } } { X\,. }$

Lors de cette expérience, on répète 20 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « la personne choisie est contaminée » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,02. }$
Echec : « la personne choisie n'est pas contaminée » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,98. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ compte le nombre de personnes contaminées, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(20\,;\,0,02\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}20\\k\end{pmatrix}\times\left(0,02\right)^k\times\left(0,98\right)^{ 20-k } }$

6. b) Nous devons calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes, soit $\overset{ { \white{ _. } } } {P(X=4). }$

En utilisant la formule rappelée dans la question précédente, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(X=4)=\begin{pmatrix}20\\4\end{pmatrix}\times\left(0,02\right)^4\times\left(0,98\right)^{ 16 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=4)\approx 0,0006}$

5 points

exercice 4

Soit la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} u_0 = 0 \\\overset{ { \white{ _. } } } { u_1 = \dfrac{1}{2}} \\ \overset{ { \white{ _. } } } { u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4} u_n }\end{cases} }$

Partie A : Conjecture

1. Tableau complété

${ \white{ WWWW } }$ $\begin{array} {|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline n && 0&&& 1 &&& 2 & && 3 && & 4 &&& 5 & \\ \hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&u_n&& 0&&& \dfrac 12 &&& \dfrac 12 & && \dfrac 38 && & \dfrac 14 &&& \dfrac {5}{32} &\\&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\ \hline \end{array}$

2. Nous devons conjecturer la limite de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) . }$

Nous observons dans le tableau précédent qu'à partir de $\overset{ { \white{ O. } } } { u_2 }$ , les termes de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ décroissent et paraissent se rapprocher de 0.
Nous pouvons conjecturer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } {(u_n) }$ converge vers 0, soit que $\overset{ { \white{ W } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0. }$

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ la suite définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n . }$

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { w_0 . }$

${ \white{ xxi } }$ $w_0=u_1-\dfrac 12 u_0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_0 }=\dfrac 12-\dfrac 12 \times 0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_0 }=\dfrac 12} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{w_0=\dfrac 12}$

2. Démontrons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } {\dfrac{1}{2} . }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $w_{n+1}=u_{n+2}-\dfrac 12 u_{n+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{4} u_n\right)-\dfrac 12 u_{n+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac 12 u_{n+1} - \dfrac{1}{4} u_n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac 12 \left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2} u_n\right) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac 12 w_n } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\N, \quad w_{n+1}=\dfrac 12 w_n }$
Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } {q=\dfrac{1}{2} . }$

3. Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n , }$ exprimons $\overset{ { \white{ . } } } { w_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ o. } } } { n . }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{w_n=w_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad w_n=\dfrac 12\times \left(\dfrac 12\right)^n}$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{w_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}} }$

4. Montrons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n , }$ on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{n+1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} + \dfrac{1}{2}u_n . }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n \quad\Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}= u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2}u_n } }$

5. Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \mathbb{N}\; : \; u_n = n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{{\white{.}}}{n = 0 ,}$ soit que $\overset{{\white{}}}{u_0 = 0 \left( \dfrac{1}{2} \right)^0.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases} u_0=0\\0 \left( \dfrac{1}{2} \right)^0=0\times1=0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_0=0 \left( \dfrac{1}{2} \right)^0}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{{\white{.}}}{ n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{{\white{o.}}}{ n, }$ alors elle est encore vraie au rang $\overset{{\white{.}}}{(n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n = n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1} = (n+1) \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} .}$
En effet,

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2}u_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2}\times n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} + n \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=(1+ n) \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in \N,\quad u_{n+1}=(n+1) \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} }$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n \in \mathbb{N}\; : \; u_n = n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n }$

Partie C : Étude de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$

1. Nous devons montrer que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante à partir du rang $\overset{ { \white{ . } } } { n=1. }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n\geq 1, }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}-u_n= (n+1) \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} -n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}-u_n}= (n+1) \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \left( \dfrac{1}{2} \right) -n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}-u_n}=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \left( \dfrac{n+1}{2} -n\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}-u_n}=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \left( \dfrac{n+1-2n}{2}\right) }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}-u_n}=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \left( \dfrac{1-n}{2}\right) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_{n+1}-u_n=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \left( \dfrac{1-n}{2}\right) }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} >0\\n\geq 1 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} >0\\\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{1-n}{2}\le 0} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \left( \dfrac{1-n}{2}\right)\leq 0} }$

Nous en déduisons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\geq 1,\quad u_{n+1}-u_n\leq 0. }$
Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante à partir du rang $\overset{ { \white{ . } } } { n=1. }$

2. Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente.

Nous savons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\quad u_n=n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \geq 0. }$
De plus, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante à partir du rang $\overset{ { \white{ . } } } { n=1. }$
Dès lors, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est décroissante à partir du rang $\overset{ { \white{ . } } } { n=1 }$ et est minorée par 0.
Selon le théorème de convergence des suites monotones, nous déduisons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell . }$

3. On admet que la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est solution de l'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { \ell = \ell - \frac{1}{4}\ell . }$
Déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

${ \white{ xxi } }$ $\ell = \ell - \frac{1}{4}\ell\quad\Longleftrightarrow\quad \ell - \ell + \frac{1}{4}\ell=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \ell = \ell - \frac{1}{4}\ell}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{4}\ell=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \ell = \ell - \frac{1}{4}\ell}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\ell=0 }}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ WWW. } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0} }$

_{Merci à Hiphigénie et malou pour l'élaboration de cette fiche.}

Publié par malou le 17-06-2025

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