L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

On considère la fonction    définie sur    par :   
On admet que la fonction    est deux fois dérivable sur   .
On appelle    sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On note    la fonction dérivée de la fonction    et    la fonction dérivée seconde de   , c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction   .

Partie A

1.  Déterminer les limites de la fonction    en    et en   .

2.  Pour tout réel   , calculer   .

3.  Montrer que pour tout réel    :   

4.  Étudier la convexité de la fonction   .

5.  Étudier les variations de la fonction    sur   , puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum. Les limites de la fonction    aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

6.  En déduire le signe de la fonction    sur   , puis justifier que la fonction    est strictement croissante sur   .

7.  Justifier qu'il existe un unique réel    tel que   . Donner un encadrement de   , au centième près.

8.  On considère la droite    d'équation   . Étudier la position relative de la courbe    par rapport à la droite   .

Partie B : Calcul d'aire

Soit    un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine    délimité par la courbe   , la droite    et les droites d'équations respectives    et   . On note :

  

1.  À l'aide d'une intégration par parties, exprimer    en fonction de   . 2. 
a.   Justifier que l'aire du domaine    est   .

b.   Calculer la limite de l'aire du domaine    quand    tend vers   .

5 points

exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.    est un repère de l'espace. On considère la droite    qui a pour représentation paramétrique :   
et le plan    qui a pour équation cartésienne :   .

1.  Affirmation : La droite   , qui a pour représentation paramétrique    est parallèle à la droite   .

2.  On admet que les points   ,    et    ne sont pas alignés.

Affirmation : La droite    est orthogonale au plan défini par les trois points   ,    et   .

3.  Affirmation : La droite    est sécante avec la droite    qui a pour représentation paramétrique :   

4.  Affirmation : Le point    est le projeté orthogonal du point    sur le plan   .

5.  Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel    telle que le plan    d'équation    soit parallèle à la droite   .

5 points

exercice 3

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à    près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de 2% de la population d'un pays. Dans ce pays, 90% de la population a été vaccinée contre ce virus. On constate que 62% des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge au hasard une personne, et on note les événements suivants :

   : « la personne a été contaminée »

   : « la personne a été vaccinée »

Les événements contraires des événements    et    sont notés respectivement    et   .

1.  À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités   ,    et de la probabilité conditionnelle   .

2. 
a.   Calculer   

b.   En déduire   

3.  Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.

4.   Calculer    et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5.  Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.

a.   « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »

b.   « Plus de 98% de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

6.  On s'intéresse à un échantillon de 20 personnes choisies au hasard dans la population. La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

On note    la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.

On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est   .

a.   Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire    ' Justifier et donner ses paramètres. b.   Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.

5 points

exercice 4

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite    définie pour tout entier naturel    par :   

Partie A : Conjecture

1.  Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

  

2.  Conjecturer la limite de la suite   .

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Soit    la suite définie pour tout entier naturel    par :   

1.  Calculer   .

2.  Démontrer que la suite tex[/tex]  est géométrique de raison   .

3.  Pour tout entier naturel   , exprimer    en fonction de   .

4.  Montrer que pour tout entier naturel   , on a :   

5.  Démontrer par récurrence que, pour tout    :   

Partie C : Étude de la suite   

1.  Montrer que la suite    est décroissante à partir du rang   .

2.  En déduire que la suite    est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.

3.  On admet que la limite de la suite    est solution de l'équation :   
Déterminer la limite de la suite   .