Fiche de mathématiques

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Bac spécialité Mathématiques 2025

Asie Jour 1

L'usage de la calculatrice en mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

5 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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5 points

exercice 4

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Bac spécialité maths 2025

Asie Jour 1

5 points

exercice 1

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O\;;\;\vec i\;,\;\vec j\;,\;k) . }$

On considère :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ un réel quelconque ;
${ \white{ xii } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(1\;;\;1\;;\;0) , \;B\,(2\;;\;1\;;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C\,(\alpha\;;\;3\;;\;\alpha) }$ ;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x=1+t\\y=2t\qquad ,\;t\in\R\\z=-t\end{cases} }$

Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ , les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $\overset{ { \white{o. } } } { \overrightarrow j \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} . }$
L'affirmation est FAUSSE.

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ Pour déterminer si les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ définissent un plan, nous allons étudier la colinéarité des vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AC} . }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} A(1;1;0)\\ B(2;1;0) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-1\\1-1\\0-0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} A(1;1;0)\\ C(\alpha;3;\alpha) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}\alpha-1\\3-1\\\alpha-0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}\alpha-1\\2\\\alpha\end{pmatrix}}$

Les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AC} }$ sont colinéaires si $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AC} }$ est un multiple de $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ , ce qui est impossible car en analysant les ordonnées de ces vecteurs, il n'est pas possible que 2 soit un multiple de 0.

Nous en déduisons que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires, et par suite, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$   ne sont pas alignés.
Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ définissent un plan.

$\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ Pour déterminer si le vecteur $\overset{ { \white{o. } } } { \overrightarrow j \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} }$ est normal à ce plan, nous allons étudier l'orthogonalité de $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow j }$ et de $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {AB} }$ , puis l'orthogonalité de $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow j }$ et de $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {AC} . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{AB}=0\times1+1\times0+0\times0\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{AB}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{AB}=0\times1+1\times0+0\times0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{j}\perp\overrightarrow{AB}} } \\\\\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{AC}=0\times(\alpha -1)+1\times2+0\times\alpha\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{AC}=2\neq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{AC}=0\times(\alpha - 1)+1\times0+0\times0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{j}\not\perp\overrightarrow{AC}} }$

Puisque le vecteur $\overset{ { \white{o. } } } { \overrightarrow j \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} }$ n'est pas orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {AC} , }$ il est impossible que le vecteur $\overset{ { \white{o. } } } { \overrightarrow j }$ soit normal au plan déterminé par les points $\overset{ { \white{ . } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C. }$
L'affirmation est donc fausse.

Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ telle que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ sont parallèles.
L'affirmation est FAUSSE.

Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$ est $\overset{ { \white{o. } } } { \overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}\alpha-1\\2\\\alpha\end{pmatrix} . }$
Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ est $\overset{ { \white{ o. } } } { \overrightarrow {u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} . }$

Les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (AC) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ sont parallèles si les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {AC} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {u} }$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ tel que $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {AC} =k \overrightarrow {u}. }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow {AC} =k \overrightarrow {u}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \alpha - 1 = k\times1\\2=k\times 2\\\alpha=k\times (-1) \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {AC} =k \overrightarrow {u}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \alpha - 1 = k\\2=2k\\\alpha=-k \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {AC} =k \overrightarrow {u}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \alpha - 1 = k\\ {\red{k=1}}\\\alpha=-k \end{cases} }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {AC} =k \overrightarrow {u}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \alpha - 1 =1\\k=1\\\alpha=-1 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {AC} =k \overrightarrow {u}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} {\red{\alpha =2}}\\k=1\\ {\red{\alpha=-1}} \end{cases} }$

ce qui est impossible car $\overset{ { \white{. } } } { \alpha }$ prend simultanément deux valeurs distinctes.

Il n'existe donc pas de valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ telle que les droites $\overset{ { \white{ . } } } { (AC) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ sont parallèles.
Dès lors, l'affirmation est fausse.

Affirmation 3 : Une mesure de l'angle $\overset{ { \white{ } } } { \widehat{OAB} }$ est 135°.
L'affirmation est VRAIE.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=AO\times AB\times\cos\left( \widehat{OAB} \right) }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} A\,(1\;;\;1\;;\;0)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow {AO}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix} }\\\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad\text{(voir affirmation 1.)} \end{cases} }$

De plus $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=(-1)\times1-1\times0+0\times 0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB} } =-1 } \\\\AO=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+0^2}\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ AO } =\sqrt{1+1} }\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ AO } =\sqrt{2} } \\\\AB=\sqrt{1^2+0^2+0^2}\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ AO } =\sqrt{1} }\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ AO } =1 }\end{cases} }$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=AO\times AB\times\cos\left( \widehat{OAB} \right)\quad\Longleftrightarrow\quad -1=\sqrt 2\times1\times\cos\left( \widehat{OAB} \right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=AO\times AB\times\cos\left( \widehat{OAB} \right)}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos\left( \widehat{OAB} \right)=-\dfrac{1}{\sqrt 2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=AO\times AB\times\cos\left( \widehat{OAB} \right)}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos\left( \widehat{OAB} \right)=-\dfrac{\sqrt 2}{2} }$

Par conséquent, une mesure de l'angle $\overset{ { \white{ } } } { \widehat{OAB} }$ est 135°.
L'affirmation est donc vraie.

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _.} } } { A }$ sur la droite $\overset{ { \white{ _.} } } { (d) }$ est le point $\overset{ { \white{ _.} } } { H }$ de coordonnées : $\overset{ { \white{ _.} } } { H\,(1\;;\;2\;;\;2). }$
L'affirmation est FAUSSE.
Vérifions si le point $\overset{ { \white{ _.} } } { H\,(1\;;\;2\;;\;2)}$ appartient à la droite    $\overset{ { \white{ _. } } } {(d) : \begin{cases} x=1+t\\y=2t\qquad ,\;t\in\R\\z=-t\end{cases} }$

Déterminons s'il existe un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} 1=1+t\\2=2t\\2=-t\end{cases} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} 1=1+t\\2=2t\\2=-t\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} t=0\\t=1\\t=-2\end{cases}$

ce qui est impossible car $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ prend simultanément trois valeurs distinctes.

Par conséquent, le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _.} } } { A }$ sur la droite $\overset{ { \white{ _.} } } { (d) }$ n'est pas le point $\overset{ { \white{ _.} } } { H . }$
L'affirmation est donc fausse.

Affirmation 5 : La sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et de rayon 1 rencontre la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega . }$
L'affirmation est VRAIE.

Exprimons qu'un point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ est à une distance 1 du centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O. }$
Les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } { (1+t\;;\;2t\;;\;-t). }$

${ \white{ xxi } }$ $OM=1\quad\Longleftrightarrow\quad\sqrt{(1+t)^2+(2t)^2+(-t)^2}=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ OM=1 } \quad\Longleftrightarrow\quad (1+t)^2+(2t)^2+(-t)^2=1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ OM=1 } \quad\Longleftrightarrow\quad 1+2t+t^2+4t^2+t^2=1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ OM=1 } \quad\Longleftrightarrow\quad 6t^2+2t=0 }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ OM=1 } \quad\Longleftrightarrow\quad 2t(3t+1)=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ OM=1 } \quad\Longleftrightarrow\quad 2t=0\quad\text{ou}\quad 3t+1=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ OM=1 } \quad\Longleftrightarrow\quad t=0\quad\text{ou}\quad 3t=-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ OM=1 } \quad\Longleftrightarrow\quad t=0\quad\text{ou}\quad t=-\dfrac 13 }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ _. } } } { t=0, }$ alors nous obtenons $\overset{ { \white{ _. } } } { M\,(1\;;\;0\;;\;0). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si $\overset{ { \white{ _. } } } { t=-\dfrac 13, }$ alors nous obtenons $\overset{ { \white{ _. } } } { M\,(\dfrac 23\;;\;-\dfrac 23\;;\;\dfrac 13). }$

Dès lors, la sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et de rayon 1 rencontre la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ en deux points distincts.
L'affirmation est donc vraie.

5 points

exercice 2

Partie A

1. À partir des données de l'énoncé, nous devons donner les probabilités $\overset{ { \white{ _. } } } { P(F) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_F(S). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 95% des jouets réussissent le test de fabrication.
$\overset{ { \white{ . } } }{\white{w}}$ Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P(F)=0,95. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98% réussissent le test de sécurité.
$\overset{ { \white{ . } } }{\white{w}}$ Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P_F(S)=0,98. }$

2. a) Nous devons construire un arbre pondéré illustrant la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 1 : image 9

2. b) Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { P_{\overline{F}}(\overline S )=0,2. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { P_{\overline{F}}(\overline S )=\dfrac{P(\overline{F}\cap \overline S )}{P( \overline F )} . }$

Or l'énoncé indique que 1% des jouets ne réunissent aucun des deux tests, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\overline{F}\cap \overline S )=0,01. }$
De plus, en nous aidant de l'arbre pondéré, nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { P( \overline F )=1-0,95=0,05. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { P_{\overline{F}}(\overline S )=\dfrac{0,01}{0,05}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_{\overline{F}}(\overline S )=0,2} }$

Nous pouvons alors compléter l'arbre pondéré :

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 1 : image 8

3. Nous devons calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P(F\cap S). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(F\cap S)=P(F)\times P_F(S) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(F\cap S) } =0,95\times 0,98 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(F\cap S) } =0,931 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(F\cap S)=0,931}$

4. Montrons que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 (arrondi au centième).
Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(S). }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{F}$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(S)=P(F\cap S)+P(\overline{F}\cap S)\quad\Longleftrightarrow\quad P(S)=0,931+P(\overline F)\times P_{\overline F}(S) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S)=P(F\cap S)+P(\overline{F}\cap S)}\quad\Longleftrightarrow\quad P(S)=0,931+0,05\times 0,8 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S)=P(F\cap S)+P(\overline{F}\cap S)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(S)=0,971}}$

Par conséquent, la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 (arrondi au centième)

5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, nous devons calculer la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P_S(F). }$

${ \white{ xxi } }$ $P_S(F)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_S(F) }=\dfrac{0,931}{0,971} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_S(F) }\approx0,9588 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_S(F)\approx0,96}\quad\text{(arrondi au centième)}$

D'où, lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication est égale à 0,96 (arrondi au centième).

Partie B

1. Nous devons exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ _. } } } { n. }$
L'énoncé indique que la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n }$ suit la loi binomiale de paramètres $\overset{ { \white{ _. } } } { n }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { p=0,95. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calcul de l'espérance $\overset{ { \white{ _. } } } { E(S_n) }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { E(S_n)=np=n\times 0,95\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E(S_n)=0,95n}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calcul de la variance $\overset{ { \white{ _. } } } { V(S_n) }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { V(S_n)=np(1-p)=n\times 0,95\times0,05\quad\Longrightarrow\quad\boxed{V(S_n)=0,0475n}\,. }$

2. Dans cette question, on pose $\overset{ { \white{ _. } } } { n=150. }$

2. a) Déterminons une valeur approchée à 10^-3 près de $\overset{ { \white{ _. } } } { P(S_{150}=145) . }$

La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { S_{150} }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(150\,;\,0,95\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(S_{150}=k)=\begin{pmatrix}150\\k\end{pmatrix}\times\left(0,95\right)^k\times\left(0,05\right)^{ 150-k } }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(S_{150}=145)=\begin{pmatrix}150\\145\end{pmatrix}\times\left(0,95\right)^{145}\times\left(0,05\right)^{ 150-145 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S_{150}=145) } =\begin{pmatrix}150\\145\end{pmatrix}\times\left(0,95\right)^{145}\times\left(0,05\right)^{ 5 } } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S_{150}=145) } \approx0,109 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(S_{150}=145) \approx0,109 }$

Interprétation : Parmi les 150 jouets, 145 d'entre eux ont réussi le test de fabrication avec une probabilité d'environ 10,9%.

2. b) Déterminons la probabilité qu'au moins 94% des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication.

Remarquons que ''94% des jouets'' se traduit par ''0,94 multiplie

150 jouets'', soit ''141 jouets''.
Nous devons alors calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(S_{150}) \geq 141. }$

${ \white{ xxi } }$ $P(S_{150} \geq 141)=1- P(S_{150} < 141) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S_{150}) \geq 141}= 1- P(S_{150} \leq 140) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S_{150}) \geq 141}\approx 1- 0,219 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(S_{150}) \geq 141}\approx 0,781 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P(S_{150} \geq 141)\approx 0,781 }$

Par conséquent, la probabilité qu'au moins 94% des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication est environ égale à 0,781.

3. Dans cette question, l'entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ n'est plus fixé.
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { F_n }$ la variable aléatoire définie par : $\overset{ { \white{ _. } } } { F_n=\dfrac{S_n}{n}.}$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { F_n }$ représente la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $\overset{ { \white{ _. } } } { n }$ jouets prélevés.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { E(F_n) }$ l'espérance et $\overset{ { \white{ _. } } } { V(F_n) }$ de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { F_n. }$

3. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { E(F_n)=0,95 }$ et que $\overset{ { \white{ _. } } } { V(F_n)=\dfrac{0,0475}{n} . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calcul de l'espérance $\overset{ { \white{ _. } } } { E(F_n) }$

Par la linéarité de l'espérance, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $E(F_n)=E\left(\dfrac{S_n}{n}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(F_n)}=\dfrac{E(S_n)}{n} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(F_n)}=\dfrac{0,95n}{n} \quad(\text{voir question 1 - Partie B})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(F_n)}=0,95} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{E(F_n)=0,95}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calcul de la variance $\overset{ { \white{ _. } } } { V(F_n) }$

${ \white{ xxi } }$ $V(F_n)=V\left(\dfrac{S_n}{n}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(F_n)}=\dfrac{V(S_n)}{n^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(F_n)}=\dfrac{0,0475n}{n^2} \quad(\text{voir question 1 - Partie B})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(F_n)}=\dfrac{0,0475}{n}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{V(F_n)=\dfrac{0,0475}{n}}$

3. b) On s'intéresse à l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ suivant : ''la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ jouets est strictement comprise entre 93% et 97%''.
En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, nous devons déterminer une valeur $\overset{ { \white{. } } } { n }$ de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ est supérieure ou égale à 0,96.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\,|\,F_n-E(F_n)\,|\geq a)\leq \dfrac{V(F_n)}{a^2}\quad\text{où}\quad a>0. }$

En posant $\overset{ { \white{ _. } } } { a=0,02 }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|F_n-0,95\,|\geq 0,02)\leq \dfrac{\frac{0,0475}{n}}{0,02^2}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,F_n-0,95\,|\geq 0,02)\leq \dfrac{0,0475}{0,0004n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,F_n-0,95\,|\geq 3)\leq \dfrac{\frac{0,0475}{10}}{3^2} }\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(\,|\,F_n-0,95\,|\geq 0,02)\leq \dfrac{118,75}{n}} }$

Nous devons déterminer une valeur $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ à partir de laquelle la probabilité de l'événement « $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,93 < F_n < 0,97 }$ » est supérieure ou égale à 0,96, soit que $\overset{ { \white{ _. } } } {P(0,93<F_n<0,97) \geq 0,96. }$

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|\,F_n-0,95\,|\geq 0,02)\leq \dfrac{118,75}{n}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-P(\,|\,F_n-0,95\,|<0,02)\leq \dfrac{118,75}{n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,F_n-0,95\,|\geq 0,02)\leq \dfrac{118,75}{n}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,F_n-0,95\,|<0,02)\geq 1-\dfrac{118,75}{n} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,F_n-0,95\,|\geq 0,02)\leq \dfrac{118,75}{n}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(-0,02<F_n-0,95< 0,02)\geq 1-\dfrac{118,75}{n} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,F_n-0,95\,|\geq 0,02)\leq \dfrac{118,75}{n}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(0,93<F_n<0,97)\geq1-\dfrac{118,75}{n} }$
Il faut déterminer une valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { n }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-\dfrac{118,75}{n} \geq 0,96. }$

${ \white{ xxi } }$ $1-\dfrac{118,75}{n} \geq 0,96\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{118,75}{n} \leq 1-0,96 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{118,75}{n} \geq 0,96}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{118,75}{n} \leq 0,04 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{118,75}{n} \geq 0,96}\quad\Longleftrightarrow\quad n\geq\dfrac{118,75}{0,04}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{118,75}{n} \geq 0,96}\quad\Longleftrightarrow\quad n\geq2968,75}$

La plus petite valeur entière vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=2969. }$

Par conséquent, dans un lot au moins 2969 jouets, la probabilité que la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication soit strictement comprise entre 93% et 97% est supérieure ou égale à 0,96.

5 points

exercice 3

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de 2 mL d'un médicament.
On introduit la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ telle que le terme $\overset{ { \white{ . } } } { u_n }$ représente la quantité de médicament, exprimée en mL , présente dans l'organisme immédiatement après $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ prises de médicament.
On a $\overset{ { \white{ _. } } } { u_1=2 }$ et pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ strictement positif : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{n+1} = 2 + 0,8u_n . }$

Partie A

1. Nous devons calculer la valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { u_2. }$

${ \white{ xxi } }$ $u_2=2+0,8\times u_1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_2}=2+0,8\times 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_2}=3,6 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=3,6}$

2. Nous devons montrer par récurrence sur $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_n=10-8\times 0,8^{n-1} }$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ strictement positif.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{{\white{.}}}{n = 1 ,}$ soit que $\overset{{\white{.}}}{u_1=10-8\times 0,8^{1-1}.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases} u_1=2\\10-8\times 0,8^{1-1}=10-8\times 0,8^{0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 10-8\times 0,8^{1-1} } =10-8\times1 }\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 10-8\times 0,8^{1-1} } =2} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_1=10-8\times 0,8^{1-1}}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel non nul $\overset{{\white{.}}}{ n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{{\white{o.}}}{ n, }$ alors elle est encore vraie au rang $\overset{{\white{.}}}{(n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ u_n=10-8\times 0,8^{n-1} }$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ u_{n+1}=10-8\times 0,8^{n} .}$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}=2+0,8 u_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=2+0,8(10-8\times 0,8^{n-1}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=2+8-6,4\times 0,8^{n-1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=10-6,4\times 0,8^{n}\times0,8^{-1} }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=10-\dfrac{6,4}{0,8}\times 0,8^{n} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=10-8\times 0,8^{n} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_{n+1}=10-8\times 0,8^{n} }$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel strictement positif $\overset{ { \white{ . } } } { n ,\quad u_n=10-8\times 0,8^{n-1} . }$

3. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to +\infty}u_n. }$

${ \white{ xxi } }$ $0<0,8<1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty}0,8^{n-1}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0<0,8<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty}-8\times0,8^{n-1}=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0<0,8<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty}(10-8\times0,8^{n-1})=10 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0<0,8<1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=10} }$

Interprétation : la quantité de médicament présente dans l'organisme est proche de 10 mL après un nombre très élevé de prises de médicament.

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ un entier naturel strictement positif.
Déterminons si l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { u_N\geq 10 }$ admet des solutions.

${ \white{ xxi } }$ $u_N\geq 10\quad\Longleftrightarrow\quad 10-8\times 0,8^{N-1}\geq 10 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_N\geq 10}\quad\Longleftrightarrow\quad -8\times 0,8^{N-1}\geq 0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_N\geq 10}\quad\Longleftrightarrow\quad -8\geq 0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_N\geq 10\quad\Longleftrightarrow}\quad\text{(en divisant les deux membres de l'inéquation par } 0,8^{N-1}>0)}$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { -8\geq 0 }$ est impossible.
Donc l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { u_N\geq 10 }$ n'admet pas de solution.

Interprétation : il est impossible que la quantité de médicament présente dans l'organisme soit supérieure ou égale à 10 mL.
La quantité de médicament présente dans l'organisme est donc strictement inférieure à 10 mL.

5. Nous devons déterminer à partir de combien de prises la quantité de médicament présente dans l'organisme est strictement supérieure à 9 mL.

Nous devons donc déterminer le plus petit nombre entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_n>9. }$

${ \white{ xxi } }$ $u_n>9\quad\Longleftrightarrow\quad 10-8\times 0,8^{n-1}>9 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n>9}\quad\Longleftrightarrow\quad 8\times 0,8^{n-1}<1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n>9}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,8^{n-1}<\dfrac 18 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n>9}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln\Big(0,8^{n-1}\Big)<\ln\Big(\dfrac 18\Big) }$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n>9}\quad\Longleftrightarrow\quad (n-1)\ln\,(0,8)<-\ln(8) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n>9}\quad\Longleftrightarrow\quad n-1>-\dfrac{\ln(8)}{\ln\,(0,8)} } \\ {\white{WWWWWWW}}\text{(changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,8)<0) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_n>9}\quad\Longleftrightarrow\quad n>1-\dfrac{\ln(8)}{\ln\,(0,8)} } \\\\\text{Or }\quad 1-\dfrac{\ln(8)}{\ln\,(0,8)}\approx 10,32$

Le plus petit nombre entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=11. }$

Par conséquent, à partir de la 11^ème prise, la quantité de médicament présente dans l'organisme est strictement supérieure à 9 mL.

Partie B

On définit la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ strictement positif par :

$\overset{ { \white{ _. } } } { S_n=\dfrac{u_1+u_2+\cdots +u_n}{n} }$
On admet que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ est croissante.

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } {S_2. }$

${ \white{ xxi } }$ $S_2=\dfrac{u_1+u_2}{2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_2}=\dfrac{2+3,6}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_2}=2,8 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_2=2,8}$

2. Nous devons montrer que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ strictement positif : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_1+u_2+\cdots+u_n=10n-40+40\times0,8^n. }$

${ \white{ xxi } }$ $u_1+u_2+\cdots+u_n=(10-8\times 0,8^0)+(10-8\times 0,8^1)+\cdots+(10-8\times 0,8^{n-1}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1+u_2+\cdots+u_n}=(10+10+\cdots+10)-8\times (0,8^0+ 0,8^1+\cdots+ 0,8^{n-1}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1+u_2+\cdots+u_n}=10n-8\times (1+ 0,8^1+\cdots+ 0,8^{n-1}) }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } {S=1+ 0,8^1+\cdots+ 0,8^{n-1} }$ est la somme des $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ premiers termes d'une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 1.

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S }=1\times\dfrac{1-0,8^{n}}{1-0,8} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S }=\dfrac{1-0,8^{n}}{0,2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S=\dfrac{1-0,8^{n}}{0,2} }$

Par conséquent,

${ \white{ xxi } }$ $u_1+u_2+\cdots+u_n=10n-8\times\dfrac{1-0,8^{n}}{0,2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1+u_2+\cdots+u_n}=10n-40\times(1-0,8^{n})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1+u_2+\cdots+u_n}=10n-40+40\times0,8^{n}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N^*,\quad u_1+u_2+\cdots+u_n=10n-40+40\times0,8^{n}}$

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to +\infty} S_n. }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{n\to +\infty} S_n=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{n\to +\infty} S_n}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{10n-40+40\times0,8^{n}}{n} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{n\to +\infty} S_n}=\lim\limits_{n\to +\infty} \Big(10-\dfrac{40}{n} +\dfrac{40}{n}\times0,8^{n}\Big)}$

$\text{Or }\quad\bullet\phantom{x}\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{40}{n}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }}\quad\bullet\phantom{x}\lim\limits_{n\to +\infty}0,8^n=0 \quad\text{(car } 0<0,8<1)}$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{n\to +\infty} \Big(10-\dfrac{40}{n} +\dfrac{40}{n}\times0,8^{n}\Big)=10 }$ ,
soit que $\overset{ { \white{ W. } } } { \boxed{ \lim\limits_{n\to +\infty} S_n=10} }$

4. On donne la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { \text{mystere} }$ suivante, écrite en langage Python.

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 1 : image 7

La saisie $\overset{ { \white{ . } } } { \text{mystere(9)} }$ renvoie la plus petite valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ telle que : $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n\geq 9. }$

5. Nous devons justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10.
Montrons d'abord que la valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { n=10 }$ ne peut pas convenir comme valeur renvoyée par la saisie $\overset{ { \white{ . } } } { \text{mystere(9)} }$ .

Montrons donc que $\overset{ { \white{ _. } } } { S_{10} }$ n'est pas supérieur ou égal à 9.

En effet, en utilisant le résultat de la question 2. - Partie B, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $S_{10}=\dfrac{ 10\times 10-40+40\times0,8^{10}}{10} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_{10}}= \dfrac{60+40\times0,8^{10} }{10}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_{10}}\approx6,43}$

Nous observons donc que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ S_{10}\approx6,43\,{\red{<9}}} }$

Nous en déduisons que la valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { n=10 }$ ne peut pas convenir comme valeur renvoyée par la saisie $\overset{ { \white{ . } } } { \text{mystere(9)} }$ .
Or l'énoncé nous informe que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ est croissante.
Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ _. } } } { S_{n} }$ n'est pas supérieur ou égal à 9 pour toutes les valeurs entières naturelles de $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ inférieures à 10.

Par conséquent, la valeur renvoyée par la saisie $\overset{ { \white{ . } } } { \text{mystere(9)} }$ est strictement supérieure à 10.

5 points

exercice 4

On considère $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ la fonction définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{2\sqrt x} }$ et on appelle $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. On définit la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)= \text e^{\sqrt x}. }$

1. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { g'(x)=f(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[\, , }$

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)=\Big(\text e^{\sqrt x}\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=\Big(\sqrt x\Big)' \text e^{\sqrt x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=\dfrac{1}{2\sqrt x}\, \text e^{\sqrt x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\quad g'(x)=f(x)}$

1. b) Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ réel de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[\, , }$ nous dévons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x). }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ réel de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[\, , }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{2\sqrt x} \right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{\Big(\text e^{\sqrt x}\Big)'\times 2\sqrt x-\text e^{\sqrt x}\times\Big(2\sqrt x\Big)'}{(2\sqrt x)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}\times 2\sqrt x-\text e^{\sqrt x}\times2\,\dfrac{1}{2\sqrt x}}{4x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{\text e^{\sqrt x}-\text e^{\sqrt x}\times\dfrac{1}{\sqrt x}}{4x} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{\text e^{\sqrt x}\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt x}\Big)}{4x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{\text e^{\sqrt x}\Big(\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x}\Big)}{4x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\dfrac{\text e^{\sqrt x}\Big(\sqrt x-1\Big)}{4x\sqrt x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=\dfrac{\text e^{\sqrt x}\Big(\sqrt x-1\Big)}{4x\sqrt x} }$

2. a) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ WW. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}f(x). }$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}\times \text e^{\sqrt x}} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{2\sqrt x}=+\infty\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}\text e^{\sqrt x}=\text e^{0}=1} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{1}{2\sqrt x}\times \text e^{\sqrt x}\right)=+\infty \\ {\white{WWWWWWWWW}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}$

2. b) Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ admet une asymptote verticale d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0. }$

3. a) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ WW. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt x=+\infty\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\text e^{X}}{X}=+\infty} \end{cases}\quad\underset{X=\sqrt x}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{\sqrt x}=+\infty \\\\ {\white{WWWWWWWWW}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}=+\infty \\\\ {\white{WWWWWWWWW}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$

3. b) Nous devons étudier le sens de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ et dresser le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

Le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } {(\sqrt x -1) }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\text e^{\sqrt x}}{4x\sqrt x}>0 }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;+\infty[. }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\bullet\quad \sqrt x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt x=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\bullet\quad \sqrt x-1=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=1 } \\\\\phantom{\text{Or }}\bullet\quad \sqrt x-1<0\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt x<1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\bullet\quad \sqrt x-1=0}\quad\Longleftrightarrow\quad 0< x<1 } \\\\\phantom{\text{Or }}\bullet\quad \sqrt x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt x>1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\bullet\quad \sqrt x-1=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x>1 }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad f'(x)=0\quad\Longleftrightarrow \quad x=1 \\\\\bullet\quad f'(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad 0< x<1 \\\\\bullet\quad f'(x)>0\quad\Longleftrightarrow \quad x>1$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {]0\;;\;1] }$ et est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[.}$

Dressons le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

${ \white{ xxi } } \begin{matrix}f(1)=\dfrac{\text e^{\sqrt 1}}{2\sqrt 1}\phantom{WWWW}\\\overset{ { \white{ _. } } } { =\dfrac{\text e}{2}\approx1,36}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&1&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline&\phantom{WW}||+\infty&&&&+\infty\\f&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&\dfrac{\text e}{2}&&\\\hline \end{array}$

3. c) Nous devons démontrer que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=2 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[. }$

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix} f(1)=\dfrac{\text e}{2}\approx 1,36\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2\in\;]\,f(1)\;;\;+\infty\,[} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=2. }$
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=2 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[. }$

De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} f (4,6)\approx1,99<2\\f(4,7)\approx 2,02>2\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\alpha\in[4,6\;;\;4,7]} }$

Nous en déduisons qu'une valeur approchée à 0,1 près de la solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=2 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha\approx 4,6. }$

4. On pose $\overset{ { \white{ _. } } } { I=\displaystyle\int_1^2 f(x)\,\text dx . }$

Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { I. }$

Nous savons par la question 1. a) que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $I=\displaystyle\int_1^2 f(x)\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I }=\Big[g(x)\Big]_1^2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I }=g(2)-g(1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I }=\text e^{\sqrt 2}-\text e^{\sqrt 1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I }=\text e^{\sqrt 2}-\text e} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I=\text e^{\sqrt 2}-\text e}$

4. b) La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est continue et positive sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;2]. }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=2. }$

5. On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ et que :

$f''(x)=\dfrac{\text e^{\sqrt x}(x-3\sqrt x + 3)}{8x^2\sqrt x}$

5. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { x-3\sqrt x + 3>0 }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x}$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[.}$

Posons $\overset{ { \white{ _. } } } { X=\sqrt x. }$

Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ _. } } } { x-3\sqrt x + 3=X^2-3X+3. }$

Le discriminant de $\overset{ { \white{ _. } } } { X^2-3X+3 }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta=(-3)^2-4\times1\times3=9-12 =-3 <0. }$
Puisque ce discriminant est strictement négatif, le trinôme $\overset{ { \white{ _. } } } { X^2-3X+3 }$ est du signe de coefficient principal pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { X . }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { X^2-3X+3 >0 }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { X. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { x-3\sqrt x + 3>0 }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x}$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[.}$

5. b) Nous devons étudier la convexité de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

La convexité de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dépend du signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f ''(x) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$
Or pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \text e^{\sqrt x}>0\\x-3\sqrt x + 3>0 \\8x^2\sqrt x>0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\text e^{\sqrt x}(x-3\sqrt x + 3)}{8x^2\sqrt x}>0.$

D'où pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad f''(x)>0. }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette fiche}

Publié par malou le 29-06-2025

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