Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2025

Bac spécialité Mathématiques 2025

Asie Jour 2

L'usage de la calculatrice en mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

5 points

exercice 1

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 9

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 1

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 4

5 points

exercice 2

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 3

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 2

5 points

exercice 3

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 8

5 points

exercice 4

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 5

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 7

Voir la correction

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2

6 points

exercice 1

Un test a été mis au point pour le dépistage du virus.
Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la probabilité qu'un individu atteint par le virus ait un test positif est de 0,999 ;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la probabilité qu'un individu non atteint par le virus ait un test positif est de 0,005.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population cible.

Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}M :$ l'événement : '' l'individu choisi est atteint du chikungunya ''.
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}T :$ l'événement : '' le test de l'individu choisi est positif ''.

Partie A : Étude d'un exemple

1. Nous devons donner les probabilités $\overset{ { \white{ _. } } } { P_M(T) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {P_{\overline M}(T). }$

${ \white{ xx } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La probabilité qu'un individu atteint par le virus ait un test positif est de 0,999 ;
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{W } }$ Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P_M(T)=0,999. }$

${ \white{ xx } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La probabilité qu'un individu non atteint par le virus ait un test positif est de 0,005.
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{W } }$ Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P_{\overline M}(T)=0,005. }$

2. Nous devons donner la valeur exacte de $\overset{ { \white{ _. } } } { P(M). }$

Nous savons qu'au total, 270 000 personnes ont été infectées pour une population totale de 750 000 individus.
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $P(M)=\dfrac{270\,000}{750\,000} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(M)=0,36}$

3. Arbre pondéré modélisant la situation.

${ \white{ WWWW} }$

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 10

4. Nous devons calculer la probabilité qu'un individu soit atteint par le virus et ait un test positif.
${ \white{ xx } }$ Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(M\cap T). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(M\cap T)}=0,36\times 0,999} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(M\cap T)}=0,359\,64} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(M\cap T)=0,359\,64}$

Par conséquent, la probabilité qu'un individu soit atteint par le virus et ait un test positif est environ égale à 0,360 (valeur arrondie à 10^-3)

5. Nous devons calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.
${ \white{ xx } }$ Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(T). }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{M}$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,359\,64+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,359\,64+0,64\times 0,005} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,362\,84} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,362\,84}$

Par conséquent, la probabilité qu'un individu ait un test positif est environ égale à 0,363 (valeur arrondie à 10^-3)

6. Nous devons calculer la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus.
${ \white{ xx } }$ Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P_T(M). }$

${ \white{ xxi } }$ $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_T(M)}=\dfrac{0,359\,64}{0,362\,84} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_T(M)}\approx 0,991} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_T(M)\approx 0,991}$

Par conséquent, la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est environ égale à 0,991 (valeur arrondie à 10^-3)

7. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à 0,95.

Nous avons montré dans la question précédente que la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est environ égale à 0,991. Nous observons que 0,991 est supérieur à 0,95.

Donc le test est fiable.

Partie B : Dépistage sur une population cible

Dans cette partie, on note $\overset{ { \white{ o. } } } { p }$ la proportion de personnes atteintes par le virus du chikungunya dans une population cible.

1. Arbre pondéré modélisant la situation.

${ \white{ WWWW} }$

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 12

2. Nous devons exprimer la probabilité $\overset{ { \white{ _. } } } {P(T) }$ en fonction de $\overset{ { \white{ o. } } } { p. }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{M}$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=P({M})\times P_{{M}}(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}=p\times 0,999+(1-p)\times 0,005} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(D)}= 0,999p+0,005-0,005p} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{P(D)}=0,994p+0,005} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,994p+0,005}$

3. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P_T(M)=\dfrac{999p}{994p+5}. }$

${ \white{ xxi } }$ $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_T(M)}=\dfrac{0,999p}{0,994p+0,005} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_T(M)}=\dfrac{0,999p\times1000}{(0,994p+0,005)\times 1000} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_T(M)}=\dfrac{999p}{994p+5} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_T(M)=\dfrac{999p}{994p+5} }$

4. Déterminons pour quelles valeurs de $\overset{ { \white{ o. } } } { p }$ nous pouvons considérer que ce test est fiable.

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à 0,95, soit lorsque $\overset{ { \white{ _. } } } { P_T(M)>0,95. }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or}\quad P_T(M)>0,95\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{999p}{994p+5} >0,95 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or}\quad P_T(M)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad 999p>0,95(994p+5)\quad\text{car }(0<p<1)\Longrightarrow (994p+5>0 ) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or}\quad P_T(M)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad 999p>944,3p+4,75 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or}\quad P_T(M)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad 999p-944,3p>4,75 }$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or}\quad P_T(M)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad 54,7p>4,75 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or}\quad P_T(M)>0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad p>\dfrac{4,75}{54,7} \qquad\text{avec }\quad\dfrac{4,75}{54,7}\approx0,087 }$

Nous en déduisons que ce test est fiable pour les valeurs de $\overset{ { \white{ o. } } } { p }$ supérieures à 0,087.

Partie C : Étude sur un échantillon

Pendant l'épidémie, on admet que la probabilité d'être atteint du chikungunya sur l'île de La Réunion est de 0,36.

On considère un échantillon de $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire dénombrant le nombre d'individus infectés dans cet échantillon parmi les $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ tirés au sort.
On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale de paramètres $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { p=0,36. }$

Dès lors, si $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ est un entier naturel tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { 0\leq k\leq n, }$ alors : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}\times0,36^k\times(1-0,36)^{n-k}} }$

Nous devons déterminer à partir de combien d'individus $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ la probabilité de l'événement ''au moins un des $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ habitants de cet échantillon est atteint par le virus'' est supérieure à 0,99.

Nous devons donc déterminer le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ vérifiant l'inégalité : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X \geq 1)\geq 0,99 }$

${ \white{ xxi } }$ $P(X \geq 1)\geq 0,99\quad\Longleftrightarrow\quad 1-P(X=0)\geq0,99 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 1)\geq 0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad P(X=0)\leq0,01} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 1)\geq 0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}n\\0 \end{pmatrix}\times0,36^0\times(1-0,36)^{n-0}\leq0,01} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 1)\geq 0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad 1\times1\times0,64^n\leq0,01}$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X \geq1 )\geq 0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,64^n\leq0,01} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 1)\geq 0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(0,64^n)\leq\ln(0,01)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 1)\geq 0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln(0,64)\leq\ln(0,01)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 1)\geq 0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad n\geq\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,64)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 1)\geq 0,99\quad\Longleftrightarrow\quad} (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,64)<0)}$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,64)}\approx 10,32. }$
Donc le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{n=11}\,. }$

Par conséquent, il faut au moins 11 individus pour que la probabilité de l'événement ''au moins un des habitants de cet échantillon est atteint par le virus'' soit supérieure à 0,99.

5 points

exercice 2

Partie A

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ la suite définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=30 }$ et, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\quad u_{n+1} = \dfrac 12 u_n + 10. }$
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } {(v_n) }$ la suite définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { v_n = u_n-20. }$

1. Nous devons calculer les valeurs exactes de $\overset{ { \white{ . } } } { u_1 }$ et $\overset{ { \white{. } } } { u_2. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}\boxed{u_0=30} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}u_1=\dfrac12 u_0+10 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ WW } =\dfrac12\times30+10 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ WW } =15+10 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=25}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}u_2=\dfrac12 u_1+10 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ WW } =\dfrac12\times25+10 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ WW } =12,5+10 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=22,5}$

2. Nous devons démontrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q= \dfrac 12 . }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ O. } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}=u_{n+1}-20 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=\dfrac 12u_n+10-20 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=\dfrac 12u_n-10 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=\dfrac 12(u_n-20) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=\dfrac 12v_n } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad v_{n+1}=\dfrac 12 v_n}$

D'où la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q= \dfrac 12 . }$

3. Nous devons exprimer $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ entier naturel.

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { v_0=u_0-20=30-20\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_0=10} }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{v_n=10\times \left(\dfrac 12\right)^n}}$

4. Nous devons en déduire que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad u_n = 20 + 10 \left(\dfrac 12\right)^n . }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ 0. } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} v_n = u_n-20\\ v_n=10\times \left(\dfrac 12\right)^n \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad u_n-20=10\times \left(\dfrac 12\right)^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} v_n = u_n-20\\ v_n=10\times \left(\dfrac 12\right)^n \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_n=20+10\times \left(\dfrac 12\right)^n } }$

5. Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

${ \white{ xxi } }$ $0< \dfrac 12<1\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac 12\right)^n =0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0< \dfrac 12<1}\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}10\left(\dfrac 12\right)^n =0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0< \dfrac 12<1}\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\Bigg(20+10\left(\dfrac 12\right)^n\Bigg) =20 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0< \dfrac 12<1}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=20} }$

Partie B

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (w_n) }$ la suite définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ par :

$\begin{cases} w_0=45\\w_{n+1}=\dfrac 12 w_n+\dfrac 12 u_n+7 \end{cases}$

1. Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { w_1 = 44,5. }$

${ \white{ xxi } }$ $w_{1}=\dfrac 12 w_0+\dfrac 12 u_0+7 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{1}}=\dfrac 12 \times 45+\dfrac 12\times 30+7 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{1}}=22,5+15+7 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{1}}=44,5 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{w_1=44,5}$

2. On souhaite écrire une fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{suite} }$ , en langage Python, qui renvoie la valeur du terme $\overset{ { \white{ . } } } { w_n }$ pour une valeur de $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ donnée.
On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{suite.} }$

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 13

L'exécution de $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{suite(1)} }$ ne renvoie pas le terme $\overset{ { \white{ . } } } { w_1. }$
Afin que l'exécution de $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{suite(n)} }$ renvoie la valeur du terme $\overset{ { \white{ . } } } { w_n }$ , il suffit de permuter les lignes 5 et 6 de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{suite}. }$

Nous obtenons ainsi la fonction suivante :

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 14

3. a) Nous devons montrer, par récurrence sur $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ on a :

$w_n = 10 n\left(\dfrac12\right)^n+ 11\left(\dfrac 12\right)^n+ 34$
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{{\white{.}}}{n = 0 ,}$ soit que

$\overset{{\white{.}}}{w_0 = 10 \times 0\times\left(\dfrac12\right)^0+ 11\left(\dfrac 12\right)^0+ 34.}$
C'est une évidence car

$\begin{cases} w_0=45\\10 \times 0\times\left(\dfrac12\right)^0+ 11\left(\dfrac 12\right)^0+ 34 = 0+11+34=45\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_0=10 \times 0\left(\dfrac12\right)^0+ 11\left(\dfrac 12\right)^0+ 34}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{{\white{.}}}{ n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{{\white{o.}}}{ n, }$ alors elle est encore vraie au rang $\overset{{\white{.}}}{(n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ w_n = 10 n\left(\dfrac12\right)^n+ 11\left(\dfrac 12\right)^n+ 34 }$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ w_{n+1} = 10 (n+1)\left(\dfrac12\right)^{n+1}+ 11\left(\dfrac 12\right)^{n+1}+ 34 .}$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $w_{n+1}=\dfrac 12 w_n+\dfrac 12 u_n+7 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac 12 \left[10 n\left(\dfrac12\right)^n+ 11\left(\dfrac 12\right)^n+ 34\right]+\dfrac 12 \left[20+10 \left(\dfrac 12\right)^n\right]+7 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\left[10 n\left(\dfrac12\right)^{n+1}+ 11\left(\dfrac 12\right)^{n+1}+ 17\right]+ \left[10+10\left(\dfrac 12\right)^{n+1}\right]+7 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=10 n\left(\dfrac12\right)^{n+1}+10\left(\dfrac 12\right)^{n+1}+ 11\left(\dfrac 12\right)^{n+1}+ 17+ 10+7 }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=10 (n+1)\left(\dfrac12\right)^{n+1}+ 11\left(\dfrac 12\right)^{n+1}+ 34 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{w_{n+1}=10 (n+1)\left(\dfrac12\right)^{n+1}+ 11\left(\dfrac 12\right)^{n+1}+ 34 }$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n ,\quad w_n = 10 n\left(\dfrac12\right)^n+ 11\left(\dfrac 12\right)^n+ 34 . }$

3. b) On admet que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\geq 4, }$ on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { 0 \leq 10 n\left(\dfrac 12\right)^n\leq \dfrac{10}{n} . }$
Que pouvons-nous en déduire quant à la convergence de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ ?

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'une part, par le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :

$\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} 0 \leq 10 n\left(\dfrac 12\right)^n\leq \dfrac{10}{n} \\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{10}{n}=0 } \end{cases}\quad\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}10 n\left(\dfrac 12\right)^n=0 }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'autre part, $\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac 12\right)^n=0\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}11\left(\dfrac 12\right)^n=0 }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{n\to +\infty}\left[10 n\left(\dfrac12\right)^n+ 11\left(\dfrac 12\right)^n+ 34\right]=34 }$ ,

${ \white{ xxi } }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ \lim\limits_{n\to +\infty} w_n=34} }$

5 points

exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O\;;\;\vec i\;,\;\vec j\;,\;k) . }$

On considère :

${ \white{ xii } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ les points $\overset{ { \white{ _. } } } { C\,(3\;;\;0\;;\;0) , \;D\,(0\;;\;2\;;\;0) , \;H\,(-6\;;\;2\;;\;2) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { J\,\left(\dfrac{-54}{13}\;;\;\dfrac{62}{13}\;;\;0\right) }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ d'équation cartésienne $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x+3y+6z-6=0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P ' }$ d'équation cartésienne $\overset{ { \white{ _. } } } { x-2y+3z-3=0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet{\white{w}}}$ la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ dont une représentation paramétrique est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x=-8+\dfrac 13t\\\overset{ { \white{ _. } } } { y=-1+\dfrac 12t\qquad ,\;t\in\R}\\z=-4+t\end{cases} }$

Affirmation 1 : La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et coupe ce plan en $\overset{ { \white{ _. } } } {H. }$
L'affirmation est VRAIE.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {u}\begin{pmatrix}\dfrac 13\\\overset{ { \white{o . } } } { \dfrac 12}\\\overset{ { \white{ o. } } } { 1}\end{pmatrix} }$
Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n}\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} }$
Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } {\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}\dfrac 13\\\overset{ { \white{o . } } } { \dfrac 12}\\\overset{ { \white{ o. } } } { 1}\end{pmatrix} }$ , soit que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n}=6\overrightarrow {u} }$

Dès lors, les vecteurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {u} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n} }$ sont colinéaires.
Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H\,(-6\;;\;2\;;\;2) }$ appartient-il à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ ?

Déterminons s'il existe une valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} -6=-8+\dfrac 13t\\\overset{ { \white{ _. } } } { 2=-1+\dfrac 12t}\\2=-4+t\end{cases} }$ ${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} -6=-8+\dfrac 13t\\\overset{ { \white{ _. } } } { 2=-1+\dfrac 12t}\\2=-4+t\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 2=\dfrac 13t\\\overset{ { \white{ _. } } } { 3=\dfrac 12t}\\6=t\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases}t=6\\\overset{ { \white{ _. } } } { t=6}\\t=6\end{cases}}$

La valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { t=6 }$ vérifie bien le système des trois équations.
D'où le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H\,(-6\;;\;2\;;\;2) }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H\,(-6\;;\;2\;;\;2) }$ appartient-il au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ ?

Déterminons si les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ vérifient l'équation du plan.

${ \white{ xxi } }$ $2x_H+3y_H+6z_H-6=2\times(-6)+3\times 2+6\times 2-6 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2x_H+3y_H+6z_H-6}=-12+6+12-6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2x_H+3y_H+6z_H-6}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{2x_H+3y_H+6z_H-6=0}$

Les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ vérifient l'équation du plan.
D'où le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H\,(-6\;;\;2\;;\;2) }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En conclusion, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (d) }$ est orthogonale au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et coupe ce plan en $\overset{ { \white{ _. } } } {H. }$
${ \white{ xi } }$ L'affirmation 1 est donc vraie.

Affirmation 2 : La mesure en degré de l'angle ${ \widehat{DCH} }$ , arrondie à 10 ^-1, est 17,3°.
L'affirmation est FAUSSE.

Calculons d'abord le produit scalaire ${ \overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}C\,(3\;;\;0\;;\;0)\\D\,(0\;;\;2\;;\;0)\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}0-3\\2-0\\0-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}} \\\\ \begin{cases}C\,(3\;;\;0\;;\;0)\\H\,(-6\;;\;2\;;\;2)\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow {CH}\begin{pmatrix}-6-3\\2-0\\2-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow {CH}\begin{pmatrix}-9\\2\\2\end{pmatrix}}$

$\text{D'où}\quad\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=(-3)\times(-9)+2\times2+0\times2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où}\quad\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}}=27+4+0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où}\quad\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}}=31} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=31}$

Exprimons le produit scalaire $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH} }$ sous une deuxième forme.

Nous avons : $\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=CD\times CH\times \cos\widehat{DCH}.$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad CD=\sqrt{(-3)^2+2^2+0^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad CD}=\sqrt{9+4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad CD}=\sqrt{13} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{CD=\sqrt{13}}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{et }\quad CH=\sqrt{(-9)^2+2^2+2^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{et }\quad CH}=\sqrt{81+4+4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{et }\quad CH}=\sqrt{89} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{CH=\sqrt{89}}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{D'où }\quad\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=CD\times CH\times \cos\widehat{DCH} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}}=\sqrt{13}\times \sqrt{89}\times \cos\widehat{DCH}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}}=\sqrt{1157}\times \cos\widehat{DCH}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=\sqrt{1157}\times \cos\widehat{DCH}}$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=\sqrt{1157}\times \cos\widehat{DCH} \\\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=31\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1157}\times \cos\widehat{DCH} =31 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=\sqrt{1157}\times \cos\widehat{DCH} \\\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=31\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \cos\widehat{DCH} =\dfrac{31}{\sqrt{1157}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=\sqrt{1157}\times \cos\widehat{DCH} \\\overrightarrow {CD}\cdot\overrightarrow {CH}=31\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\widehat{DCH} \approx24,3^\circ } }$
L'affirmation 2 est donc fausse.

Affirmation 3 : Les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P' }$ sont sécants et leur intersection est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ dont une représentation paramétrique est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x=3-3t\\ { y=0\qquad ,\;t\in\R}\\z=t\end{cases} }$
L'affirmation est VRAIE.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n}\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}. }$
Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P' }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow {n}'\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}. }$
Manifestement, ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P' }$ sont sécants selon une droite.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que cette droite est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ en montrant que $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est incluse dans chaque plan.

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\bullet}{\white{xx}}2(3-3t)+3\times 0 + 6\times t - 6=6-6t+0+6t-6 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ qqii2(3-3t)+3\times 0 + 6\times t - 6}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{2(3-3t)+3\times 0 + 6\times t - 6=0}$
${ \white{ xxi } }$ Donc la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est incluse dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\bullet}{\white{xx}}3-3t-2\times 0 + 3\times t - 3=3-3t-0+3t-3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ ssii 3-3t-2\times 0 + 3\times t - 3}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{3-3t-2\times 0 + 3\times t - 3=0}$
${ \white{ xxi } }$ Donc la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est incluse dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P'. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet\bullet}{\white{xx}}$ Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est incluse dans les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P'. }$

Par conséquent, les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P' }$ sont sécants et leur intersection est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ dont une représentation paramétrique est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x=3-3t\\ { y=0\qquad ,\;t\in\R}\\z=t\end{cases} }$
L'affirmation 3 est donc vraie.

Affirmation 4 : Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { J}$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ sur la droite $\overset{ { \white{ _. } } } {(CD). }$
L'affirmation est VRAIE.

Montrons que $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{HJ} }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{CD} }$ et que le point $\overset{ { \white{ _. } } } {J }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } {(CD). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}H\,(-6\;;\;2\;;\;2)\\J\,\left(\dfrac{-54}{13}\;;\;\dfrac{62} {13}\;;\;0\right)\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow {HJ}\begin{pmatrix}\dfrac{-54}{13}+6\\\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{62}{13}-2}\\\overset{ { \white{ _. } } } { 0-2}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow {HJ}\begin{pmatrix}\dfrac{24}{13}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{36}{13}}\\-2\end{pmatrix}} \\\\ \boxed{\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}}\quad\text{(voir affirmation 2)}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow {HJ}\cdot\overrightarrow {CD}=\dfrac{24}{13}\times(-3)+\dfrac{36}{13}\times2-2\times 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {HJ}\cdot\overrightarrow {CD}}=-\dfrac{72}{13}+\dfrac{72}{13}-0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {HJ}\cdot\overrightarrow {CD}}=0 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {HJ}\cdot\overrightarrow {CD}=0}$

Nous en déduisons que le vecteur $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{HJ} }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{CD} . }$

Nous allons justifier que le point $\overset{ { \white{ _. } } } {J }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } {(CD) }$ en montrant que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{CJ} }$ et $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{CD} }$ sont colinéaires.
${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}C\,(3\;;\;0\;;\;0)\\J\,\left(-\dfrac{54}{13}\;;\;\dfrac{62} {13}\;;\;0\right)\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow {CJ}\begin{pmatrix}-\dfrac{54}{13}-3\\\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{62}{13}-0}\\\overset{ { \white{ _. } } } { 0-0}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow {CJ}\begin{pmatrix}-\dfrac{93}{13}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{62}{13}}\\0\end{pmatrix}} \\\\ \boxed{\overrightarrow {CD}\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}}$
Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{pmatrix}-\dfrac{93}{13}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{62}{13}}\\0\end{pmatrix}=\dfrac{31}{13}\,\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {CJ}=\dfrac{31}{13}\,\overrightarrow {CD}} }$

Dès lors, les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{CJ} }$ et $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{CD} }$ sont colinéaires.

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } {J }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } {(CD) .}$
L'affirmation 4 est donc vraie.

5 points

exercice 4

Partie A

Dans un repère orthogonal du plan, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction température en fonction du temps sur l'intervalle [0 ; 10].

Bac spécialité maths 2025 Asie Jour 2 : image 11

1. Nous devons déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l'instant $\overset{ { \white{ _. } } } { t=0. }$

Par lecture graphique, nous observons que la température à l'instant $\overset{ { \white{ _. } } } { t=0 }$ est de 40°C.

Nous pouvons estimer graphiquement qu'elle redescend à la valeur 40°C au bout d'environ 3,8 minutes, soit environ 3 min 48 s.

2. On appelle $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ la fonction température représentée par la courbe ci-dessus.
On précise que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 10].
On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ peut s'écrire sous la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=(at+b)\,\text e^{-0,5t} }$ où $\overset{ { \white{. } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ sont deux constantes réelles.

On admet que la valeur exacte de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0) }$ est 40.
Nous devons en déduire la valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { b. }$

Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $f(0)=40\quad\Longleftrightarrow\quad (a\times 0+b)\,\text e^{-0,5\times 0} =40 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=40}\quad\Longleftrightarrow\quad (0+b)\,\text e^{0} =40} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=40}\quad\Longleftrightarrow\quad b\times 1=40} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=40}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{b=40}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(t)=(at+40)\,\text e^{-0,5t} } }$

3. On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ vérifie l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) : y' + 0,5y = 60\text e^{-0,5t}. }$
${ \white{ xx } }$ Nous devons déterminer la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { a. }$

L'énoncé précise que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 10].

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ dans l'intervalle [0 ; 10],

${ \white{ xxi } }$ $f'(t)=\Big[(at+40)\,\text e^{-0,5t}\Big]' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(t) }=(at+40)'\times\text e^{-0,5t}+(at+40)\times\Big(\text e^{-0,5t}\Big)' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(t) }=a\times\text e^{-0,5t}+(at+40)\times(-0,5t)'\,\text e^{-0,5t} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(t) }=a\,\text e^{-0,5t}+(at+40)\times(-0,5)\,\text e^{-0,5t} }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(t) }=a\,\text e^{-0,5t}-0,5(at+40)\,\text e^{-0,5t} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(t) }=(a-0,5at-20)\,\text e^{-0,5t} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{f'(t)=(a-0,5\,at-20)\,\text e^{-0,5t} }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ vérifie l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) : y' + 0,5y = 60\text e^{-0,5t}. }$
Donc pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ dans l'intervalle [0 ; 10],

${ \white{ xxi } }$ $f'(t) + 0,5f(t) = 60\text e^{-0,5t}\\\\\quad\Longleftrightarrow\quad (a-0,5at-20)\,\text e^{-0,5t} +0,5(at+40)\,\text e^{-0,5t}= 60\text e^{-0,5t} \\\overset{ { \white{ _. } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \Big(a-0,5at-20 +0,5(at+40)\Big)\,\text e^{-0,5t}= 60\text e^{-0,5t} } \\\overset{ { \white{ _. } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad a-0,5at-20 +0,5at+20= 60} \\\overset{ { \white{ _. } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a= 60}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(t)=(60t+40)\,\text e^{-0,5t} } }$

Partie B : Étude de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$

On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est définie pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ de l'intervalle [0 ; 10] par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=(60t+40)\,\text e^{-0,5t} }$

1. Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ de l'intervalle [0 ; 10], on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(t) = (40 - 30t) \text e^{-0,5t}. }$

En effet, nous avons montré dans la partie A, question 3. que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ de l'intervalle [0 ; 10], $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(t)=(a-0,5at-20)\,\text e^{-0,5t} . }$

De plus, nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { a=60. }$

Dès lors, pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ de l'intervalle [0 ; 10],

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} f'(t)=(a-0,5\,at-20)\,\text e^{-0,5t}\\a=60 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad f'(t)=(60-30t-20)\,\text e^{-0,5t} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} f'(t)=(a-0,5\,at-20)\,\text e^{-0,5t}\\a=60 \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(t)=(40-30t)\,\text e^{-0,5t} } }$

2. a) Nous devons étudier le sens de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle [0 ; 10].

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(t) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { (40-30t) }$ sur l'intervalle [0 ; 10].

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(t) }$ sur l'intervalle [0 ; 10].

${ \white{ WW } }$ $\begin{matrix}40-30t<0\quad\Longleftrightarrow\quad 30t>40\\\phantom{40-30t<0}\quad\Longleftrightarrow\quad t>\dfrac{40}{30}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{40-30t<0}\quad\Longleftrightarrow\quad t>\dfrac{4}{3}}\\\\40-30t=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{4}{3}\\\\40-30t>0\quad\Longleftrightarrow\quad t<\dfrac{4}{3}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\t&0&&\dfrac 43&&10\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\40-30t&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\f'(t)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous pouvons dresser le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle [0 ; 10].

$\begin{matrix}f(0)=40\quad(\text{voir Partie A, 2.})\\\\f\left(\dfrac43\right)=(60\times \dfrac43+40)\,\text e^{-0,5\times \frac 43}\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\left(\dfrac43\right) }=120\,\text e^{-\frac23} }{\white{WWWWWw}}\\\\f(10)=(60\times 10+40)\,\text e^{-0,5\times 10}\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(10) }=640\,\text e^{-5} }{\phantom{WWWWWw}}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\t&0&&\dfrac 43&&10\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\f'(t)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&120\,\text e^{-\frac23} &&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&40&&&&640\,\text e^{-5}\\\hline \end{array}$

2. b) Nous devons montrer que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=40 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ strictement positive sur l'intervalle ]0 ; 10].

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left]0\;;\;\dfrac 43\right], }$ la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante et nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0)=40 . }$
Dès lors, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in\;\left]0\;;\;\dfrac{4}{3}\right] ,\quad f(t)>40. }$
D'où l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=40 }$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left]0\;;\;\dfrac{4}{3}\right] }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[\dfrac 43\;;\;10\right], }$ la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement décroissante et continue car elle y est dérivable.

$\text{Or }\quad\begin{cases}f\left(\dfrac 43\right)=120\,\text e^{-\frac 23} \approx61,61>40\\f(10)=640\,\text e^{-5}\approx 4,31<40 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 40\in \left[f(10)\;;\;f\left(\dfrac 43\right) \right]$

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=40 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[\dfrac 43\;;\;10\right]. }$
$\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha\in\left[\dfrac 43\;;\;10\right]\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\alpha > 0} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=40 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ strictement positive sur l'intervalle ]0 ; 10].

2. c) Nous devons donner une valeur approchée de $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}f(3,8)\approx 40,08>40\\f(3,9)\approx 38,98<40 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 3,8<\alpha < 3,9$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha\approx 3,8 }$ à 10^-1 près.

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que la température redescend à la valeur 40°C au bout d'environ 3,8 minutes, soit environ 3 min 48 s.

3. On définit la température moyenne, exprimée en degré Celsius, de cette réaction chimique entre deux temps $\overset{ { \white{ _. } } } { t_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { t_2, }$ exprimés en minute, par :

$\dfrac{1}{t_2-t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\text{ d}t.$

3. a) Montrons que : $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\text{ d}t=320-\dfrac{800}{\text e^2}. }$

Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\text{ d}t}$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_{0}^{4}(60t+40)\,\text e^{-0,5t}\text{ d}t}$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{4}u(t)v'(t)\,\text{d}t=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_0^{4}- \displaystyle\int\limits_0^{4}u'(t)v(t)\,\text{d}t}}. \\ \\ \begin{cases}u(t)=60t+40\quad\Longrightarrow\quad u'(t)=60 \\\\v'(t)=\text e^{-0,5t}\phantom{}\quad\Longrightarrow\quad v(t)=\dfrac{\text e^{-0,5t}}{-0,5}\end{cases}$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \phantom{ _. } } } { \displaystyle\int_{0}^{4}(60t+40)\,\text e^{-0,5t}\text{ d}t}=\left[(60t+40)\times \dfrac{\text e^{-0,5t}}{-0,5}\right]_0^{4}-\displaystyle\int_0^{4}60\times\dfrac{\text e^{-0,5t}}{-0,5}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{(-120t-80)\times\text e^{-0,5t}}\right]_0^{4}+120\displaystyle\int_0^{4}\text{e}^{-0,5t}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{(-120t-80)\times\text e^{-0,5t}}\right]_0^{4}+120\left[ \dfrac{\text e^{-0,5t}}{-0,5}\right]_0^4}$
$.\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{(-120t-80)\times\text e^{-0,5t}}\right]_0^{4}-240\left[ \text e^{-0,5t}\right]_0^4} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\overset{}{(-480-80)\times\text e^{-2}}-(-80)\times1-240( \text e^{-2}-1)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\overset{}{-560\text e^{-2}}+80-240 \text e^{-2}+240} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\overset{}{320-800\text e^{-2}}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ \displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\text{ d}t=\displaystyle\int_{0}^{4}(60t+40)\,\text e^{-0,5t}\text{ d}t=320-\dfrac{800}{\text e^2}}. }$

3. b) Nous devons en déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.

Nous devons calculer $\dfrac{1}{4-0}\displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\text{ d}t$ , soit $\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\text{ d}t$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\text{ d}t=\dfrac 14\left(320-\dfrac{800}{\text e^2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\text{ d}t}=80-\dfrac{200}{\text e^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\text{ d}t\approx 53}$

D'où la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes est d'environ 53°C (valeur arrondie au degré Celsius près).

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou le 27-09-2025

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à / pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Voir la correction
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 447 topics de mathématiques en terminale sur le forum.