Fiche de mathématiques

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Bac spécialité maths 2025

Centres étrangers Jour 2

L'usage de la calculatrice en mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

6 points

exercice 1

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6 points

exercice 2

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4 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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6 points

exercice 1

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.
Au 1^er janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.
On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=6 }$ et de raison $\overset{ { \white{ . } } } {q=0,93. }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n,\; u_n }$ représente la population au 1^er janvier de l'année $\overset{ { \white{ . } } } { 2025+n, }$ exprimée en millier d'individus.

1. Nous devons donner, selon ce modèle, la population au 1^er janvier 2026.

Nous cherchons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { u_1. }$

${ \white{ xxi } }$ $u_1=u_0\times q \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1}=6\times 0,93 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1}=5,58 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=5,58}$

Nous en déduisons que selon ce modèle, la population au 1^er janvier 2026 est estimée à 5 580 individus.

2. Nous devons exprimer $\overset{ { \white{ . } } } { u_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ entier naturel.

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{u_n=6\times 0,93^n}}$

3. Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

${ \white{ xxi } }$ $0< 0,93<1\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}0,93^n =0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0< 0,93<1}\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}6\times 0,93^n =0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0< 0,93<1}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0} }$

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'à très long terme, selon ce modèle, la population animale tendra à disparaître dans le milieu A.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.
On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=6 }$ et pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\; v_{n+1} = -0, 05v_n^2 + 1,1v_n. }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n,\; v_n }$ représente la population au 1^er janvier de l'année $\overset{ { \white{ . } } } { 2025+n, }$ exprimée en millier d'individus.

1. Nous devons donner, selon ce modèle, la population au 1^er janvier 2026.

Nous cherchons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { v_1. }$

${ \white{ xxi } }$ $v_1 = -0, 05v_0^2 + 1,1v_0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_1}=-0, 05\times 6^2 + 1,1\times6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_1}=4,8 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{v_1=4,8}$

Nous en déduisons que selon ce modèle, la population au 1^er janvier 2026 est estimée à 4 800 individus.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ la fonction définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f (x) = -0,05x^2 + 1,1x.}$

2. Nous devons démontrer que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 11].

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 11].

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle [0 ; 11],

${ \white{ xxi } }$ $f' (x) = (-0,05x^2 + 1,1x)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=-0,05\times 2x+1,1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=-0,1x+1,1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=-0,1x+1,1}$

${ \white{ xxii } }$ $\text{Or }\quad x\in[0\;;\;11]\quad\Longrightarrow\quad 0\leq x\leq 11 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad x\in[0\;;\;11]}\quad\Longrightarrow\quad {\red{-0,1\times\,}}0\geq {\red{-0,1\times\,}}x\geq {\red{-0,1\times\,}} 11 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad x\in[0\;;\;11]}\quad\Longrightarrow\quad 0\geq -0,1x\geq -1,1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad x\in[0\;;\;11]}\quad\Longrightarrow\quad 0{\;\red{+1,1}}\geq -0,1x{\;\red{+1,1}}\geq -1,1{\;\red{+1,1}} }$
${ \white{ xxii } }$ $\overset{ { \white{ o. } } } { \phantom{ \text{Or }\quad x\in[0\;;\;11]}\quad\Longrightarrow\quad 1,1\geq f'(x)\geq 0 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0\;;\;11],\quad f'(x)\geq0}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur l'intervalle [0 ; 11].

3. Nous devons démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ on a : $\overset{ { \white{ . } } } { 2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ . } } } { n=0, }$ soit que $\overset{{\white{.}}}{2 \leq v_{1} \leq v_0 \leq 6.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases}v_1=4,8\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { v_0=6}\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2 \leq v_{1} \leq v_0 \leq 6}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 2 \leq v_{n+2} \leq v_{n+1} \leq 6 .}$

En effet, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { v_{n+1}=f(v_n). }$
Puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur [0 ; 11],

${ \white{ xxi } }$ $2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6\quad\Longrightarrow\quad f(2) \leq f(v_{n+1}) \leq f(v_n) \leq f(6)$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}f(2)=-0,05\times2^2+1,1\times2 \\f(v_{n+1})=v_{n+2}\\f(v_{n})=v_{n+1}\\ f(6)=-0,05\times6^2+1,1\times6\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}f(2)=2\\f(v_{n+1})=v_{n+2}\\f(v_{n})=v_{n+1}\\ f(6)=4,8 \end{cases} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6\quad\Longrightarrow\quad f(2) \leq f(v_{n+1}) \leq f(v_n) \leq f(6) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6}\quad\Longrightarrow\quad 2 \leq v_{n+2} \leq v_{n+1} \leq 4,8 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2 \leq v_{n+2} \leq v_{n+1} \leq 6} }$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { 2 \leq v_{n+1} \leq v_n \leq 6. }$

4 Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est convergente vers une limite $\overset{ { \white{ . } } } { \ell . }$

Nous avons montré dans la question 3. que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est décroissante et minorée par 2.
Selon le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est convergente.
Nous noterons $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ sa limite.

5. a) Nous devons justifier que la limite $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ vérifie $\overset{ { \white{ . } } } { f(\ell)=\ell }$ puis en déduire la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { \ell . }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{{\white{.}}}{[0\;;\;11]} .$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { v_{n+1}=f(v_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{f(\ell)=\ell.}$

${ \white{ xxi } }$ $\ell=f(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=-0,05\ell^2+1,1\ell \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,05\ell^2-0,1\ell=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,05\ell(\ell-2)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,05\ell=0\quad\text{ou}\quad\,\ell-2=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=0\quad\text{ou}\quad\,\ell=2}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { v_n\geq 2\quad\Longrightarrow\quad \ell\geq 2.}$
Dès lors, la valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell =0 }$ est à rejeter.

D'où $\overset{ { \white{ W. } } } {\boxed{\ell =\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=2}}$

5. b) Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'à très long terme, selon ce modèle, la population animale se rapprochera de 2 000 individus dans le milieu B.

Partie C

1. En résolvant une inéquation, nous devons déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus.

Nous devons déterminer le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifiant l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } { u_n<3. }$

${ \white{ xxi } }$ $u_n<3\quad\Longleftrightarrow\quad 6\times 0,93^n<3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n<3}\quad\Longleftrightarrow\quad 2\times0,93^n<1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n<3}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,93^n<\dfrac 12 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n<3}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(0,93^n)<\ln\left(\dfrac 12\right) }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n<3}\quad\Longleftrightarrow\quad n\, \ln(0,93)<-\ln(2) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_n<3}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\dfrac{-\ln(2)}{\ln(0,93)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 1)\geq 0,99\quad\Longleftrightarrow\quad} (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,93)<0)}$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{-\ln(2)}{\ln(0,93)}\approx 9,55. }$

Donc le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{n=10}\,. }$

Par conséquent, la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus à partir de l'année 2035 (=2025+10).

2. À l'aide de la calculatrice, nous devons déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus.

À l'aide du tableur de la calculatrice, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { v_5\approx3,14 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { v_6\approx2,96. }$
Par conséquent, la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus à partir de l'année 2031 (=2025+6).

3. Nous devons justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=6 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { v_0=6. }$

Nous savons également que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ décroît vers 0 alors que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ décroît vers 2.

Inévitablement, il existera une valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { n } }$ telle que $\overset{ { \white{ . } } } { u_n\leq v_n. }$

Cela signifie qu'partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

4. a) Programme Python complété afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.

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4. b) Après exécution du programme, l'année affichée est : 2038.

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6 points

exercice 2

Partie A

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=\dfrac{1}{a+\text e^{-bx}} }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { b }$ sont deux constantes réelles strictement positives.

On admet que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;\infty[. }$
La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ admet pour représentation graphique la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f }$ ci-dessous :

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On considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A(0\;;\;0,5) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { B(10\;;\;1). }$
On admet que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ est tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { A. }$

1. Par lecture graphique, nous conjecturons que $\overset{ { \white{ . } } } { f(10)\approx 0,9. }$

2. On admet que $\overset{{\white{W.}} } { \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=1. }$

Interprétation graphique : la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f }$ admet une asymptote horizontale d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=1. }$

3. Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { a = 1. }$

Le point $\overset{ { \white{ . } } } { A(0\;;\;0,5) }$ appartient à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f . }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } { f(0)=0,5. }$

${ \white{ xxi } }$ $f(0)=0,5\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{a+\text e^{-b\times 0}}=\dfrac 12 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=0,5}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{a+\text e^{0}} =\dfrac 12 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=0,5}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{a+1} =\dfrac 12 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=0,5}\quad\Longleftrightarrow\quad a+1 =2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(0)=0,5}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a=1} }$

4. Nous devons déterminer le coefficient directeur $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB). }$

${ \white{ xxi } }$ $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ m }=\dfrac{1-0,5}{10-0} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ m }=\dfrac{0,5}{10} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ m }=0,05 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{m=0,05}$

5. a) Nous devons déterminer l'expression de $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x) }$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et de la constante $\overset{ { \white{ . } } } { b. }$

Rappelons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;\infty[ }$ (voir énoncé).
Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(\dfrac{1}{a+\text e^{-bx}}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } =\dfrac{-(a+\text e^{-bx})'}{(a+\text e^{-bx})^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } =\dfrac{-(-b)\,\text e^{-bx}}{(a+\text e^{-bx})^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) } =\dfrac{b\,\text e^{-bx}}{(a+\text e^{-bx})^2} }$

Or nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { a=1. }$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ f'(x)=\dfrac{b\,\text e^{-bx}}{(1+\text e^{-bx})^2 } } }$

5. b) Nous devons en déduire la valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { b. }$

Nous savons par l'énoncé que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ est tangente à la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{C}_f }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { A(0\;;\;0,5). }$
Dès lors, le coefficient directeur $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(0). }$
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $f'(0)=0,05\quad\Longleftrightarrow \dfrac{b\,\text e^{0}}{(1+\text e^{0})^2} =0,05 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(0)=0,05 } \quad\Longleftrightarrow \dfrac{b}{(1+1)^2} =0,05} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(0)=0,05 } \quad\Longleftrightarrow \dfrac{b}{4} =0,05} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(0)=0,05 } \quad\Longleftrightarrow \boxed{b=0,2}}$

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x ) = \dfrac{1}{1 + \text e^{-0,2x}}}.$

1. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty} f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}-0,2x=-\infty\\ \lim\limits_{X\to-\infty}\text e^X=0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-0,2x}=0\quad(\text{où }X=-0,2x) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-0,2x}=0WWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(1+\text e^{-2x})=1 \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-0,2x}=0WWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+\text e^{-2x}}=1 \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-0,2x}=0WWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1}$

2. Nous devons étudier les variations de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;\infty[. }$

Nous avons montré dans la question 5. a) que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[, f'(x)=\dfrac{b\,\text e^{-bx}}{(1+\text e^{-bx})^2 } }$
Or $\overset{ { \white{ . } } } { b=0,2. }$
D'où pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[, f'(x)=\dfrac{0,2\,\text e^{-0,2x}}{(1+\text e^{-bx})^2 } }$
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , nous en déduisons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[, f'(x)>0. }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

3. Nous devons montrer qu'il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ positif tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=0,97. }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante et continue sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ car elle y est dérivable.

$\text{Or }\quad\begin{cases}f(0)=0,5<0,97\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1>0,97 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 0,97\in \left[f(0)\;;\;\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) \right]$

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0,97 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

$\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha\in\left[0\;;\;+\infty\right[\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\alpha \geq 0} }$

Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0,97 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ positive sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

4. À l'aide de la calculatrice, nous devons donner un encadrement du réel $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ par deux nombres entiers consécutifs.

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}f(17)\approx 0,9677<0,97\\f(18)\approx 0,9734>0,97 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{17<\alpha < 18 }$

Partie C

1. Nous devons montrer que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ } } } { [0\;;\;+\infty[\,,\; f(x)=\dfrac{\text e^{0,2x}}{1+\text e^{0,2x}} . }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x ) = \dfrac{1}{1 + \text e^{-0,2x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x) } = \dfrac{1\times \text e^{0,2x}}{(1 + \text e^{-0,2x})\times \text e^{0,2x}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x) } = \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ \text e^{0,2x} + \text e^{-0,2x}\, \text e^{0,2x}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x) } = \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ \text e^{0,2x} + \text e^{-0,2x+0,2x}} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x) } = \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ \text e^{0,2x} + \text e^{0}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x) } = \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ \text e^{0,2x} +1} } \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{\forall\,x\in[0\;;\;+\infty[,\quad f(x)=\dfrac{ \text e^{0,2x}}{ 1+\text e^{0,2x} } }$

2. Nous devons en déduire une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$

L'expression $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ 1+\text e^{0,2x} } }$ nous fait penser à $\overset{ { \white{ } } } { \Big(\ln(1+\text e^{0,2x})\Big)'=\dfrac{ 0,2\,\text e^{0,2x}}{ 1+\text e^{0,2x} } . }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{ \text e^{0,2x}}{ 1+\text e^{0,2x} }=\dfrac{1}{0,2}\Big(\ln(1+\text e^{0,2x})\Big)'\quad \Longleftrightarrow\quad \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ 1+\text e^{0,2x} }=\Big(\dfrac{1}{0,2}\ln(1+\text e^{0,2x})\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ 1+\text e^{0,2x} }=\dfrac{1}{0,2}\Big(\ln(1+\text e^{0,2x})\Big)'}\quad \Longleftrightarrow\quad \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ 1+\text e^{0,2x} }=\Big(5\ln(1+\text e^{0,2x})\Big)'} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{ \text e^{0,2x}}{ 1+\text e^{0,2x} }=\dfrac{1}{0,2}\Big(\ln(1+\text e^{0,2x})\Big)'}\quad \Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)=\Big(5\ln(1+\text e^{0,2x})\Big)'}}$

Nous en déduisons qu'une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ est la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{F(x)=5\ln(1+\text e^{0,2x})} }$

3. Nous devons calculer la valeur moyenne de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;40] , }$ c'est-à-dire :
$I=\dfrac{1}{40}\displaystyle\int_{0}^{40}\dfrac{1}{1+\text e^{-0,2x}}\text{ d}x$
Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $I=\dfrac{1}{40}\displaystyle\int_{0}^{40}\dfrac{1}{1+\text e^{-0,2x}}\text{ d}x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I } =\dfrac{1}{40}\displaystyle\int_{0}^{40}f(x)\text{ d}x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I } =\dfrac{1}{40}\Big[F(x)\Big]_0^{40} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I } =\dfrac{1}{40}\Big[5\ln(1+\text e^{0,2x})\Big]_0^{40} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I } =\dfrac{1}{8}\Big[\ln(1+\text e^{0,2x})\Big]_0^{40} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I } =\dfrac{1}{8}\Big[\ln(1+\text e^{0,2\times40})-\ln(1+\text e^{0,2\times0})\Big] } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I } =\dfrac{1}{8}\Big[\ln(1+\text e^{8})-\ln(1+1)\Big] } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I } =\dfrac{1}{8}\Big[\ln(1+\text e^{8})-\ln(2)\Big]\approx0,913 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I\approx0,913}$

Par conséquent, la valeur moyenne de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;40] }$ est environ égale à 0,913 (valeur arrondie au millième près).

4 points

exercice 3

Le codage '' base64 '', utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Partie A

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.
Par exemple, ''gP3g'' est une telle séquence.
Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences ''m5C2'' et ''5C2m'' ne sont pas identiques.

1. Nous devons déterminer le nombre de séquences possibles.

Il s'agit ici de déterminer le nombre d'arrangements avec répétition de 4 éléments pris parmi 64 éléments.

Pour le premier caractère, nous avons 64 possibilités.
À chacune de ces possibilités, nous avons 64 possibilités pour le deuxième caractère.
À chacune de ces nouvelles possibilités, nous avons 64 possibilités pour le troisième caractère.
Enfin, à chacune de ces dernières possibilités, nous avons 64 possibilités pour le quatrième caractère.

Nous obtenons ainsi $\overset{ { \white{ _. } } } { 64\times64\times64\times64 }$ possibilités.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 64\times64\times64\times64=64^4=16\,777\,216. }$
Par conséquent, il y a $\overset{ { \white{ _. } } } { 16\,777\,216 }$ séquences possibles.

2. Nous devons déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.

Il s'agit ici de déterminer le nombre d'arrangements simples de 4 éléments pris parmi 64 éléments.

Pour le premier caractère, nous avons 64 possibilités.
À chacune de ces possibilités, il y a 63 possibilités pour le deuxième caractère.
À chacune de ces nouvelles possibilités, il y a 62 possibilités pour le troisième caractère.
Enfin, à chacune de ces dernières possibilités, il reste 61 possibilités pour le quatrième caractère.

Nous obtenons ainsi $\overset{ { \white{ _. } } } { 64\times63\times62\times61 }$ possibilités.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 64\times63\times62\times61=15\,249\,024. }$
Par conséquent, il y a $\overset{ { \white{ _. } } } { 15\,249\,024 }$ séquences que les 4 caractères sont différents deux à deux.

3. a) Nous devons déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.

Pour le premier caractère, nous avons 63 possibilités.
À chacune de ces possibilités, nous avons 63 possibilités pour le deuxième caractère.
À chacune de ces nouvelles possibilités, nous avons 63 possibilités pour le troisième caractère.
Enfin, à chacune de ces dernières possibilités, nous avons 63 possibilités pour le quatrième caractère.

Nous obtenons ainsi $\overset{ { \white{ _. } } } { 63\times63\times63\times63 }$ possibilités.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 63\times63\times63\times63=63^4=15\,752\,961. }$
Par conséquent, il y a $\overset{ { \white{ _. } } } { 15\,752\,961 }$ séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.

3. b) Nous devons en déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.

De toutes les séquences possibles, nous retirons les séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.
Nous obtenons ainsi $\overset{ { \white{ _. } } } { 16\,777\,216-15\,752\,961 }$ possibilités.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 16\,777\,216-15\,752\,961=1\,024\,255. }$
Par conséquent, il y a $\overset{ { \white{ _. } } } { 1\,024\,255 }$ séquences comportant au moins une lettre A majuscule.

3. c) Nous devons déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.

La lettre A majuscule peut occuper 4 positions dans la séquence.
À chacune de ces positions, il y a $\overset{ { \white{ . } } } { 63\times63\times63 }$ possibilités pour les trois autres caractères.

Nous obtenons ainsi $\overset{ { \white{ _. } } } {4\times63\times63\times63 }$ possibilités.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 4\times63\times63\times63=4\times 63^3=1\,000\,188. }$
Par conséquent, il y a $\overset{ { \white{ _. } } } { 1\,000\,188 }$ séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.

3. d) Nous devons déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Il y a $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=6 }$ manières de choisir 2 emplacements pour la lettre A majuscule parmi les 4 emplacements.
Pour chacun de ces choix, il y a $\overset{ { \white{ . } } } { 63\times63 }$ manières d'occuper les 2 autres positions avec les 63 caractères restants.

Nous obtenons ainsi $\overset{ { \white{ _. } } } {6\times63\times63 }$ possibilités.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 6\times63\times63=6\times 63^2=23\,814. }$
Par conséquent, il y a $\overset{ { \white{ _. } } } { 23\,814 }$ séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre.
On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.
On note $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

1. On admet que la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ suit la loi binomiale.
Nous devons donner ses paramètres.

Lors de cette expérience, on répète 250 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' le caractère est mal transmis '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,01. }$
Echec : '' le caractère est bien transmis '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,99. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ compte le nombre de caractères mal transmis, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(250\,;\,0,01\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}250\\k\end{pmatrix}\times0,01^k\times0,99^{ 250-k } }$

2. Nous devons déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis, soit $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=0). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(X=0)=\begin{pmatrix}250\\0\end{pmatrix}\times0,01^0\times0,99^{ 250-0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=0)}=1\times1\times0,99^{ 250 }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=0)}=0,99^{ 250 }} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=0)=0,99^{250}\approx0,081}$
Par conséquent, la probabilité que tous les caractères soient bien transmis est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { 0,99^{250} }$ , soit à environ 0,081.

3. Nous devons émettre un avis sur la phrase suivante :
${ \white{ xxi } }$ '' La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable ''.

Nous obtenons, par la calculatrice : $\overset{ { \white{ . } } } { P(X>16)=P(X\geq17)\approx\boxed{1,04\times10^{-9}} }$
Donc, l'affirmation est parfaitement sensée.

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.
On note $\overset{ { \white{ . } } } { X_1, X_2, X_3 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { X_4 }$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.
On admet que les variables aléatoires $\overset{ { \white{ . } } } { X_1, X_2, X_3 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { X_4 }$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ définie en partie B.
On note $\overset{ { \white{ . } } } { S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4. }$

Nous devons déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { S. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { S. }$

${ \white{ xxi } }$ $E(S)=E(X_1+X_2+X_3+X_4) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(S)}=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)\quad\text{(par linéarité de l'espérance)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(S)}=E(X)+E(X)+E(X)+E(X) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(S)}=4\times E(X) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(S)}=4\times n\times p } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(S)}=4\times 250\times 0,01 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(S)}=10 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(S)=10}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons la variance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { S. }$

${ \white{ xxi } }$ $V(S)=V(X_1+X_2+X_3+X_4) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(S)}=V(X_1)+V(X_2)+V(X_3)+V(X_4)\quad\text{(car les variables sont indépendantes )} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(S)}=V(X)+V(X)+V(X)+V(X) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(S)}=4\times V(X) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(S)}=4\times n\times p \times (1-p) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(S)}=4\times 250\times 0,01 \times (1-0,01)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(S)}=4\times 250\times 0,01 \times 0,99} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ V(S)}=9,9 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(S)=9,9}$

4 points

exercice 4

On se place dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } { (O;\,\vec i,\,\vec j,\,\vec k) }$ de l'espace.
On considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A(1 ; 0 ; 3), B(-2 ; 1 ; 2) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { C(0 ; 3 ; 2). }$

1. a) Montrer que les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

Montrons que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{} } } { \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} A(1;0;3)\\ B(-2;1;2) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2-1\\1-0\\2-3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3\\1\\-1\end{pmatrix}} \\\\ \begin{cases} A(1;0;3)\\ C(0;3;2) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-1\\3-0\\2-3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{} } } { \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires (leurs troisièmes composantes sont égales alors que les premières composantes ne le sont pas).
Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

1. b) Soit $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {n} }$ le vecteur de coordonnées $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix} }$ .
Nous devons vérifier que le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {n} }$ est orthogonal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Montrons que $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {n} }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{} } } { \overrightarrow{AC} }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} =(-1)\times(-3)+1\times1+4\times(-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}} =3+1-4 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}} =0} \\\\\qquad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} =0}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} =(-1)\times(-1)+1\times3+4\times(-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}} =1+3-4 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}} =0} \\\\\qquad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} =0}$

Dès lors, le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {n} }$ est orthogonal au deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{AB} }$ et ${ \overrightarrow{AC} }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Par conséquent, le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {n} }$ est orthogonal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

1. c) Nous devons en déduire que le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ admet pour équation cartésienne $\overset{ { \white{ . } } } { -x+y+4z-11=0. }$
Nous avons montré que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {n}\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {-x+y+4z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(1\;;\;0\;;\;3) }$ appartient à ce plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC). }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {-1+0+4\times3+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=-11. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(ABC) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{-x+y+4z-11=0}\,. }$

On considère le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ d'équation cartésienne $\overset{ { \white{ . } } } { 3x-3y+2z-9=0 }$ et le plan $\overset{ { \white{ _. } } } {\mathscr{P'} }$ d'équation cartésienne $\overset{ { \white{ . } } } { x-y -z + 2 = 0. }$

2. a) Nous devons démontrer que les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ sont sécants.

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {n_1}\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix} }$ et un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {n_1}'\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix} }$

Montrons que ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

Le rapport entre les composantes correspondantes de ces vecteurs n'est pas constant.
En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{3}{1}=\dfrac{-3}{-1}\,{\red{\neq}}\dfrac{2}{-1} }$

Puisque les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow {n_1} }$ et $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow {n_1}' }$ ne sont pas colinéaires, les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ ne sont ni parallèles, ni confondus.
Par conséquent, les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ sont sécants suivant une droite notée $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ .

2. b) Nous devons déterminer si les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ sont perpendiculaires.

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow {n_1}\cdot\overrightarrow {n_1}'=3\times1-3\times(-1)+2\times(-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {n_1}\cdot\overrightarrow {n_1}'}=3+3-2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {n_1}\cdot\overrightarrow {n_1}'}=4} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {n_1}\cdot\overrightarrow {n_1}'=4\;{\red{\neq 0}}}$

Les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow {n_1} }$ et $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow {n_1}' }$ ne sont donc pas orthogonaux.
Par conséquent, les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ ne sont pas perpendiculaires.

3. Nous devons montrer que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}. }$

Montrons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u} }$ est contenu dans les deux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow {u}\cdot\overrightarrow {n_1}=1\times3 +1\times(-3) +0\times2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {u}\cdot\overrightarrow {n_1}}=3 -3+0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {u}\cdot\overrightarrow {n_1}}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {u}\cdot\overrightarrow {n_1}=0}$

D'où le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u} }$ est contenu dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow {u}\cdot\overrightarrow {n_1}'=1\times1+1\times(-1) +0\times(-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {u}\cdot\overrightarrow {n_1}'}=1-1-0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {u}\cdot\overrightarrow {n_1}'}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {u}\cdot\overrightarrow {n_1}'=0}$

D'où le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u} }$ est contenu dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} . }$

En raison du théorème du toit, nous en déduisons que le vecteur $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow {u} }$ dirige la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) . }$

4. Nous devons montrer que le point $\overset{ { \white{ . } } } { M(2;1;3) }$ appartient aux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $3x_M-3y_M+2z_M-9=3\times 2-3\times1+2\times3-9 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3x_M-3y_M+2z_M-9}=6-3+6-9} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3x_M-3y_M+2z_M-9}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{M\in\mathscr P}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{P}' }$ .

${ \white{ xxi } }$ $x_M-y_M-z_M+2=2-1-3+2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x_M-y_M-z_M+2}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{M\in\mathscr P'}$

Donc le point $\overset{ { \white{ . } } } { M(2;1;3) }$ appartient aux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' . }$

Dès lors, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ appartient à l'intersection de ces deux plans, soit à $\overset{ { \white{ . } } } { (d) . }$
En résumé, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ comprend le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M\,(2;1;3) }$ et est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}. }$
Nous en déduisons qu'une représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} x= 2+1\times t \\y=1+1\times t \quad\text{où }t\in \R \\z=3+0\times t \end{cases} }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(d) : \begin{cases} x= 2+ t \\y=1+t \quad\text{où }t\in \R \\z=3 \end{cases}} }$

5. Nous devons montrer que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ est aussi incluse dans le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ en montrant que les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { M }$ vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

${ \white{ xxi } }$ $-x_M+y_M+4z_M-11=-2+1+4\times3-11 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -x_M+y_M+4z_M-11}=-2+1+12-11 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -x_M+y_M+4z_M-11}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{M\in(ABC)}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le vecteur directeur $\overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} } }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ est inclus au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ en montrant qu'il est orthogonal au vecteur normal $\overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {n}\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix} } }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {n}=1\times(-1)+1\times1+0\times4 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {n}}=-1+1+0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {n}}=0 } \\\\\Longrightarrow\quad{\overrightarrow {u}\perp \overrightarrow {n}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {u} \subset (ABC)}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Puisque le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ et que le vecteur directeur ${ {\overrightarrow {u} } }$ de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ est inclus au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ , nous en déduisons que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ est aussi incluse dans le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Que pouvons-nous dire des trois plans $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC),\,\mathscr{P} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ ?

Nous savons que les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et   $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ sont sécants suivant la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ (voir question 2.a).
Nous savons également que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d) }$ est aussi incluse dans le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ (voir question 5)

Il reste à montrer que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ n'est pas confondu avec les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}'. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C(0;3;2) }$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $3x_C-3y_C+2z_C-9=3\times0-3\times3+2\times2-9 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3x_C-3y_C+2z_C-9}=0-9+4-9 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3x_C-3y_C+2z_C-9}=-14\;{\red{\neq 0}} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C(0;3;2) }$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} ' }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $x_C-y_C-z_C+2=0-3-2+2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x_C-y_C-z_C+2}=-3\;{\red{\neq 0}} }$

Par conséquent, les trois plans $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC),\,\mathscr{P} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}' }$ sont sécants suivant la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (d). }$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette fiche}

Publié par malou le 06-10-2025

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