Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Mathématiques Maroc 2025

Série PC-SVT

$\overset{ { \white{ _. } } } \checkmark}$ L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée ;

$\overset{ { \white{ _. } } } \checkmark}$ Le candidat peut traiter les exercices et le problème suivant l'ordre qui lui convient ;

$\overset{ { \white{ _. } } } \checkmark}$ L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.

$\overset{ { \white{ _. } } } \checkmark}$ On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } \overline z}$ le conjugué du nombre complexe $\overset{ { \white{ _. } } } z}$ et par $\overset{ { \white{ _. } } } |z|}$ son module.

$\overset{ { \white{ _. } } } \checkmark}$ $\overset{ { \white{ _. } } } \ln}$ désigne la fonction logarithme népérien.

$\overset{ { \white{ _. } } } \checkmark}$ $\text e$ est le nombre réel tel que $\overset{ { \white{ _. } } } \ln ( \text e ) = 1}$ .

3 points

exercice 1

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3,5 points

exercice 2

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2,5 points

exercice 3

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11 point

probleme

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Bac Maroc 2025 Mathématiques

série PC-SVT

3 points

exercice 1

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ _. } } } { (O,\vec i,\vec j,\vec k) }$ , on considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(0,0,2), B\,(2,0,0) }$ et la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R=2 }$ .

1. a) Nous devons déterminer une équation cartésienne de la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ .

Une équation cartésienne de la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O\,(0,0,0) }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R=2 }$ est de la forme : $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=2^2 }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { x^2+y^2+z^2=4 }$

ou encore $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(S):x^2+y^2+z^2-4=0} }$

1. b) Nous devons vérifier que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartiennent à la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S). }$

Montrons que les coordonnées des points $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}x_A^2+y_A^2+z_A^2-4=0^2+0^2+2^2-4 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x_A^2+y_A^2+z_A^2-4 44 }=4-4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x_A^2+y_A^2+z_A^2-444 }=0} \\\\\Longrightarrow\quad x_A^2+y_A^2+z_A^2-4=0 \\\\\text{D'où }\quad \boxed{A\in(S)}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}x_B^2+y_B^2+z_B^2-4=2^2+0^2+0^2-4 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x_A^2+y_A^2+z_A^2-4 44 }=4-4} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x_B^2+y_B^2+z_B^2-444 }=0} \\\\\Longrightarrow\quad x_B^2+y_B^2+z_B^2-4=0 \\\\\text{D'où }\quad \boxed{B\in(S)}$

2) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ le milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .

2. a) Nous devons déterminer l'intersection du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (OAB) }$ avec la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons d'abord une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (OAB) }$ .

Les points $\overset{ { \white{ _. } } } { O, A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ appartiennent au le plan déterminé par les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{i} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{k} }$ .
Dès lors, le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (OAB) }$ est le plan déterminé par les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{i} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{k} }$ .
Donc une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (OAB) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{y=0} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'intersection du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (OAB) }$ avec la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ en résolvant le système : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} y=0\\x^2+y^2+z^2+4=0 \end{cases} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} y=0\\x^2+y^2+z^2-4=0 \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} y=0\\x^2+z^2=4 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} y=0\\x^2+y^2+z^2-4=0 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases} y=0\\ (x-0)^2+(z-0)^2=2^2 \end{cases}} }$

Par conséquent, l'intersection du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (OAB) }$ avec la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ est le cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O\,(0,0,0) }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { r=2 }$ inclus dans le plan déterminé par les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{i} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{k} }$ .

2. b) Nous devons vérifier que $\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ , puis montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { d(O,(AB))=\sqrt 2 }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB} }$ .

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ est le milieu de $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .
D'où nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $I\,\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)=\left(\dfrac{0+2}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2}\;;\;\dfrac{2+0}{2}\right) \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ xxx } \Longrightarrow \boxed{I\,(1\;;\;0\;;\;1)}}$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $I\,(1\;;\;0\;;\;1)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{OI}\,\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}} \\\\\begin{cases}A(0\;;\;0\;;\;2)\\B(2\;;\;0\;;\;0) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}2-0\\0-0\\0-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}}$

$\text{D'où }\quad\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}=1\times2+0\times0+1\times(-2) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}}=2+0-2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{D'où }\quad\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}=0}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { d(O,(AB))=\sqrt 2 }$ .

Puisque $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{AB}=0 }$ , nous en déduisons que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{OI} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ sont orthogonaux.
Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $d(O,(AB))=OI \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d(O,(AB))}=\sqrt{1^2+0^2+1^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d(O,(AB))}=\sqrt{2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(O,(AB))=\sqrt 2}$

3. On considère un point $\overset{ { \white{ _. } } } { M\,(0\;;\;m\;;\;0)}$ de l'espace, où $\overset{ { \white{ _. } } } { m\in\R } }$ .

3. a) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}=2m\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2m\overrightarrow{k} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}A(0\;;\;0\;;\;2)\\B(2\;;\;0\;;\;0) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}2-0\\0-0\\0-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}} \\\\\begin{cases}A(0\;;\;0\;;\;2)\\M(0\;;\;m\;;\;0) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AM}\,\begin{pmatrix}0-0\\m-0\\0-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{AM}\,\begin{pmatrix}0\\m\\-2\end{pmatrix}}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}=\begin{vmatrix}0&m\\-2&-2\end{vmatrix}\vec i-\begin{vmatrix}2&0\\-2&-2\end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix}2&0\\0&m\end{vmatrix}\vec k \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}}=(0+2m)\vec i-(-4+0)\vec j+(2m-0)\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}}=2m\vec i+4\vec j+2m\vec k} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM}=2m\vec i+4\vec j+2m\vec k}$

3. b) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } { mx+2y+mz-2m=0 }$ est une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABM) }$ .

Nous savons que le vecteur ${ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM} }$ est orthogonal aux deux vecteurs $\overset{ { \white{ } } } {\overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AM} }$ .
Donc $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AM} }$ est un vecteur orthogonal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABM) }$ .

Il s'ensuit qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABM) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { 2mx+4y+2mz+d=0 }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { d\in \R }$ .
Or le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A(0\;;\;0\;;\;2)}$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABM) }$ et par suite, $\overset{ { \white{ _. } } } { 0+0+2m\times2+d=0 }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { d=-4m }$ .
Dès lors, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABM) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 2mx+4y+2mz-4m=0 }$ .

En divisant les deux membres de cette équation par 2, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(ABM):mx+2y+mz-2m=0 } }$

3. c) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { d\Big(O,(ABM)\Big)=\dfrac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}} }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $d\Big(O,(ABM)\Big)=\dfrac{|m\times 0+2\times 0+m\times 0-2m|}{\sqrt{m^2+2^2+m^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d\Big(O,(ABM)\Big)}=\dfrac{|-2m|}{\sqrt{4+2m^2}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d\Big(O,(ABM)\Big)}=\dfrac{|-2|\times|m|}{\sqrt{4+2m^2}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d\Big(O,(ABM)\Big)}=\dfrac{2\times|m|}{\sqrt{4+2m^2}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d\Big(O,(ABM)\Big)=\dfrac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}}}$

4. Le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABM) }$ coupe la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ suivant un cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { (\Gamma _m) }$ de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { r }$ .
${ \white{ xxi} }$ Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { r=\sqrt{2+\dfrac{4}{2+m^2}} }$ et en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } { \sqrt 2 < r \leq 2 }$ , pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {m\in\R}$ .

Si le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABM) }$ coupe la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R=2 }$ à une distance $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ de son centre, alors l'intersection est un cercle de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { r }$ vérifiant la relation $\overset{ { \white{ _. } } } { r^2+d^2=R^2 }$ .

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $r^2+d^2=R^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2=R^2-d^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=2^2-\left(\dfrac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}}\right)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=4-\dfrac{4m^2}{4+2m^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=\dfrac{16+8m^2-4m^2}{4+2m^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=\dfrac{16+4m^2}{4+2m^2}}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=\dfrac{2(8+2m^2)}{2(2+m^2)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=\dfrac{8+2m^2}{2+m^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=\dfrac{4+2m^2+4}{2+m^2}}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=\dfrac{2(2+m^2)+4}{2+m^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=\dfrac{2(2+m^2)}{2+m^2}+\dfrac{4}{2+m^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad r^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ r^2+d^2=R^2 }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{r=\sqrt{2+\dfrac{4}{2+m^2}}}}$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} r^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}\quad\Longleftrightarrow\quad r^2-2=\dfrac{4}{2+m^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad r^2-2>0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad r^2>2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{r>\sqrt 2}\quad\text{(car }r>0)}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} r^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2-r^2=-\dfrac{4}{2+m^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad 4-r^2=2-\dfrac{4}{2+m^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad 4-r^2=\dfrac{4+2m^2-4}{2+m^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad 4-r^2=\dfrac{2m^2}{2+m^2}\geq0\quad\text{(car }m\in\R)}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{4}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad 4-r^2\geq0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad r^2\leq 4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ vvr^2=2+\dfrac{}{2+m^2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{r\leq 2}\quad\text{(car }r>0)}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ \sqrt 2 < r \leq 2 } }$

3,5 points

exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ _. } } } { (O,\vec u,\vec v) }$ , on considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B, C, D }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ _. } } } { a=1+2\text i, b=\overline a, c=\dfrac{3(3+\text i)}{2}, d= \dfrac{3(1+\text i)}{2} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \omega=\dfrac 52 }$ .

1. a) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { a+b=2 }$ et déduire que l'affixe du point $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ , milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { p=1 }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $a+b=a+\overline a \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a+b}=(1+2\text i)+(1-2\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a+b}=1+2\text i+1-2\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a+b}=2} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{a+b=2}$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est le milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .

Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { p=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac 22=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p=1} }$ .

1. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ -. } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ sont les solutions de l'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } { z^2-2z+5=0 }$ dans l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ .

Montrons que $\overset{ { \white{ -. } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ vérifient l'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } { z^2-2z+5=0 }$ dans l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ .
En effet :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{w}}a^2-2a+5=(1+2\text i)^2-2(1+2\text i)+5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet{\phantom{w}} a^2-2a+5}=1+4\text i-4-2-4\text i+5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet{\phantom{w}} a^2-2a+5}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{a^2-2a+5=0}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{w}}b^2-2b+5=(1-2\text i)^2-2(1-2\text i)+5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet{\phantom{w}} a^2-2a+5}=1-4\text i-4-2+4\text i+5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet{\phantom{w}} a^2-2a+5}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{b^2-2b+5=0}$

Par conséquent $\overset{ { \white{ -. } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ sont les solutions de l'équation : $\overset{ { \white{ _. } } } { z^2-2z+5=0 }$ dans l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { \C }$ .

2. a) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { |\omega-a|=|\omega - b|=|\omega - c| }$ .

$|\omega-a|=\left|\dfrac 52-(1-2\text i)\right| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\left|\dfrac 52-1+2\text i\right|} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\left|\dfrac 32+2\text i\right|} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\sqrt{\dfrac 94+4}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\sqrt{\dfrac {25}{4}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\dfrac {5}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{|\omega-a|=\dfrac 52}$

$|\omega-b|=\left|\dfrac 52-(1+2\text i)\right| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-b|}=\left|\dfrac 52-1-2\text i\right|} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\left|\dfrac 32-2\text i\right|} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\sqrt{\dfrac 94+4}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\sqrt{\dfrac {25}{4}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\dfrac {5}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{|\omega-b|=\dfrac 52}$

$|\omega-c|=\left|\dfrac 52-\dfrac{3(3+\text i)}{2}\right| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-b|}=\left|\dfrac 52-\dfrac 92-\dfrac 32\text i\right|} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\left|-2-\dfrac 32\text i\right|} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\sqrt{4+\dfrac 94}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\sqrt{\dfrac {25}{4}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ |\omega-a|}=\dfrac {5}{2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{|\omega-c|=\dfrac 52}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ |\omega-a|=|\omega - b|=|\omega - c|=\dfrac 52 } }$ .

2. b) Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { A\Omega=B\Omega=C\Omega=\dfrac 52 }$ et par suite, les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ appartiennent au cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 52 }$ .
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ est le centre du cercle de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 52 }$ circonscrit au triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ .

3. a) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac 34\,\text i }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac{\dfrac{3(1+\text i)}{2}-\dfrac{3(3+\text i)}{2}}{(1+2\text i)-(1-2\text i)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{\dfrac{3+3\text i-9-3\text i}{2}}{1+2\text i-1+2\text i} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{\dfrac{-6}{2}}{4\text i} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{-3}{4\text i} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{-3\text i}{-4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{3\text i}{4} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac{3}{4} \,\text i}$

3. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { d-b=(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2} }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{xx}d-b=\dfrac{3(1+\text i)}{2}-(1-2\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}d-b}=\dfrac32+\dfrac 32\,\text i-1+2\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}d-b}=\dfrac12+\dfrac 72\,\text i} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{d-b=\dfrac12+\dfrac 72\,\text i}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{xx}(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}=\left(\dfrac{3(3+\text i)}{2}-(1+2\text i)\right)\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}}=\left(\dfrac{9} {2}+\dfrac 32\text i-1-2\text i\right)\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}}=\left(\dfrac{7} {2}-\dfrac 12\text i\right)\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{xx}(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}}=\dfrac{7} {2}\,\text i+\dfrac 12} \\\\\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}=\dfrac 12+\dfrac 72\,\text i}$

D'où : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{d-b=(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2} } }$

Montrons que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (DB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$ sont perpendiculaires.

${ \white{ xxi } }$ $d-b=(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{d-b}{c-a}=\text e^{\text i\frac \pi 2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d-b=(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}}\quad\Longrightarrow\quad \arg\left(\dfrac{d-b}{c-a}\right)=\arg\Big(\text e^{\text i\frac \pi 2} \Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ d-b=(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]}}$

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (DB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC) }$ sont perpendiculaires.

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ l'homothétie de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ et de rapport $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 23 }$ et qui transforme chaque point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ du plan d'affixe $\overset{ { \white{ _. } } } { z }$ en un point $\overset{ { \white{ _. } } } { M' }$ d'affixe $\overset{ { \white{ _. } } } { z' }$ .
On pose $\overset{ { \white{ _. } } } { h(P)=G }$ .

4. a) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { z'=\dfrac 23z+\dfrac 32+\dfrac 12\text i }$

Par définition de $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{CM'}=\dfrac 23\overrightarrow{CM}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-c=\dfrac 23(z-c) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{CM'}=\dfrac 23\overrightarrow{CM}}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-c=\dfrac 23z-\dfrac 23c} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{CM'}=\dfrac 23\overrightarrow{CM}}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\dfrac 23z-\dfrac 23c+c} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{CM'}=\dfrac 23\overrightarrow{CM}}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\dfrac 23z+\dfrac 13c}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{CM'}=\dfrac 23\overrightarrow{CM}}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\dfrac 23z+\dfrac 13\times\dfrac{3(3+\text i)}{2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{CM'}=\dfrac 23\overrightarrow{CM}}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\dfrac 23z+\dfrac{3+\text i}{2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{CM'}=\dfrac 23\overrightarrow{CM}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z'=\dfrac 23z+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\text i}}$

4. b) Nous devons montrer que l'affixe du point $\overset{ { \white{ _. } } } { G }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { g=\dfrac{13}{6}+\dfrac 12\text i }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $G=h(P)\quad\Longleftrightarrow\quad g=\dfrac 23 p+\dfrac 32 + \dfrac 12\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ G=h(P)}\quad\Longleftrightarrow\quad g=\dfrac 23\times1+\dfrac 32 + \dfrac 12\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ G=h(P)}\quad\Longleftrightarrow\quad g=\dfrac 23+\dfrac 32 + \dfrac 12\text i } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ G=h(P)}\quad\Longleftrightarrow\quad g=\dfrac 46+\dfrac 96 + \dfrac12\text i } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ G=h(P)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{g=\dfrac {13}{6}+ \dfrac12\text i }}$

5. Nous devons montrer que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega, G }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont alignés.

${ \white{ xxi } }$ $\left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{d-\omega}{g-\omega}\right)\;[2\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)}\equiv\arg\left(\dfrac{\dfrac{3(1+\text i)}{2}-\dfrac 52}{\dfrac{13}{6}+\dfrac 12\text i-\dfrac 52}\right)\;[2\pi]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)}\equiv\arg\left(\dfrac{-1+\dfrac 32\text i}{-\dfrac{2}{6}+\dfrac 12\text i}\right)\;[2\pi]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)}\equiv\arg\left(\dfrac{\dfrac {-6+9\text i}{6}}{\dfrac{-2+3\text i}{6}}\right)\;[2\pi]}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)}\equiv\arg\left(\dfrac{ {-6+9\text i}}{{-2+3\text i}}\right)\;[2\pi]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)}\equiv\arg\left(\dfrac{ {3(-2+3\text i)}}{{-2+3\text i}}\right)\;[2\pi]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)}\equiv\arg\left(3\right)\;[2\pi]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)}\equiv0\;[2\pi]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\left(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D}\right)\equiv0\;[2\pi]}$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega, G }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont alignés.

2,5 points

exercice 3

Une urne contient six boules indiscernables au toucher : quatre boules blanches numérotées : 0 ; 1 ; 1 ; 1 et deux boules noires numérotées : 0 ; 1.
On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne.
On considère les événements suivants :
${ \white{ xxi } }A:$ ''Les deux boules tirées portent le numéro 1''
${ \white{ xxi } }B:$ ''Les deux boules tirées sont de même couleur''

1. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A)=\dfrac 25 }$ .

Nous sommes dans une situation d'équiprobabilité.

Le nombre d'issues possibles est égal au nombre de tirages de deux boules simultanément parmi les six boules.
Il s'agit donc du nombre de combinaisons de 2 éléments choisis parmi 6, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=\dfrac{6\times5}{2}=15. }$

Le cardinal de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est égal au nombre de tirages de deux boules portant le numéro 1 parmi les quatre boules portant le numéro 1.
Il s'agit donc du nombre de combinaisons de 2 éléments choisis parmi 4, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\dfrac{4\times3}{2}=6. }$

Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A)=\dfrac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=\dfrac{6}{15}\qaud\Longrightarrow\quad\boxed{p(A)=\dfrac 25} }$

1. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { p(B)=\dfrac {7}{15} }$ .

L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est synonyme de : ''les deux boulés sont blanches ou les deux boules sont noires''.

La probabilité que les deux boules tirées soient blanches est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=\dfrac{6}{15} }$ .

La probablité que les deux boules tirées soient noires est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } {\dfrac{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=\dfrac{1}{15} }$ .

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { p(B)=\dfrac{6}{15}+\dfrac{1}{15}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(B)=\dfrac {7}{15}} }$ .

1. c) Montrons que les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ ne sont pas indépendants.

Les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ sont indépendants si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A\cap B)=p(A)\times p(B) }$ .

L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A\cap B }$ peut se traduire par : ''les deux boules tirées portent le numéro 1 et sont de la même couleur''
Ces deux boules ne peuvent être noires puisqu'une seule boule noire porte le numéro 1.
Dès lors, l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A\cap B }$ peut se traduire par : ''les deux boules tirées portent le numéro 1 et sont blanches''

Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A\cap B)=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=\dfrac{3}{15}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(A\cap B)=\dfrac 15} }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}p(A)=\dfrac 25\\\overset{ { \white{ _. } } } {p(B)=\dfrac{7}{15} } \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad p(A)\times p(B)=\dfrac 25\times\dfrac{7}{15}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(A)\times p(B)=\dfrac{14}{75}} }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { p(A\cap B)\neq p(A)\times p(B) }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 15 \neq \dfrac{14}{75} }$ .

Par conséquent, les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ ne sont pas indépendants.

2. On répète l'expérience trois fois successives. On considère la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ indiquant le nombre de fois que l'on réalise l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .

2. a) Dressons le tableau représentant la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ .

Lors de cette expérience, on répète 3 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ est réalisé '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=\dfrac 25 }$ ;
Echec : '' l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ n'est pas réalisé '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=\dfrac 35 }$ .
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ compte le nombre de fois que l'on réalise l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ , soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(3\,;\,\dfrac 25\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ p(X=k)=\begin{pmatrix}3\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 25\right)^k\times\left(\dfrac 35\right)^{ 3-k } }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{ww} p(X=0)=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 25\right)^0\times\left(\dfrac 35\right)^{ 3-0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{ww} p(X=0)}=1\times1\times\left(\dfrac 35\right)^{ 3 }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{ww} p(X=0)}=\left(\dfrac 35\right)^{ 3 }} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=0)=\dfrac{27}{125}}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{ww} p(X=1)=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 25\right)^1\times\left(\dfrac 35\right)^{ 3-1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{ww} p(X=1)}=3\times\dfrac 25\times\left(\dfrac 35\right)^{ 2 }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{ww} p(X=1)}=\dfrac 65\times\dfrac {9}{25}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=1)=\dfrac{54}{125}}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{ww} p(X=2)=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 25\right)^2\times\left(\dfrac 35\right)^{ 3-2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{ww} p(X=2)}=3\times\dfrac {4}{25}\times\dfrac 35} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{ww} p(X=2)}=\dfrac {36}{125}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=2)=\dfrac{36}{125}}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{ww} p(X=3)=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\times\left(\dfrac 25\right)^3\times\left(\dfrac 35\right)^{ 3-3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\phantom{ww} p(X=3)}=1\times\dfrac {8}{125}\times1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\phantom{ww} p(X=3)}=\dfrac {8}{125}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=3)=\dfrac{8}{125}}$

D'où le tableau résumant la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ .

${ \white{ WWWWWWW} }\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&X=x_i&&0&&&1&&&2&&&3 &&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&\\p(X=x_i)&&\dfrac {27}{125}&&&\dfrac {54}{125}&&&\dfrac {36}{125}&&&\dfrac {8}{125}&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

2. b) Nous devons calculer l'espérance $\overset{ { \white{ _. } } } { E(X) }$ de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ .

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=np=3\times\dfrac 25\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=\dfrac 65}$

11 points

probleme

Partie I :

Le graphique ci-dessous représente les courbes $\overset{ { \white{ _. } } } { C_g }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C_h }$ des fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { g:x\mapsto x^2 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { h:x\mapsto 2\ln x+(\ln x)^2 }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ dans un même repère orthonormé.

Bac Maroc 2025 Mathématiques série PC-SVT : image 7

1. a) Nous devons justifier graphiquement que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ \;,\; g(x)-h(x)>0 }$ .

Nous observons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_g }$ est entièrement située au-dessus de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_h }$ .
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,x\in\, ]0\;;\;+\infty[ \;,\; g(x)>h(x) }$ .

Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,x\in\, ]0\;;\;+\infty[ \;,\; g(x)-h(x)>0 }$ .

1. b) Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ \;,\; \dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}<1 }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\, ]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $g(x)-h(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-\Big(2\ln x+(\ln x)^2\Big)>0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g(x)-h(x)>0}\quad\Longleftrightarrow\quad 2\ln x+(\ln x)^2<x^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g(x)-h(x)>0}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2\ln x+(\ln x)^2}{x^2}<1\quad(\text{car }x>0\quad\Longrightarrow\quad x^2>0)}$

D'où pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ \;,\; \boxed{\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}<1 } }$ .

2. a) Nous devons vérifier que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { H:x\mapsto x\ln x-x }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto \ln x }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ , puis déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_1^{\text e^2} \ln x\,\text dx=1+\text e^2 }$ .

$\bullet{\white{w}}$ Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { H:x\mapsto x\ln x-x }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto \ln x }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { H:x\mapsto x\ln x-x }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\, ]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $H'(x)=(x\ln x-x )' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ H'(x)}=x'\times\ln x+x\times(\ln x)'-1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ H'(x)}=1\times\ln x+x\times\dfrac 1x-1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ H'(x)}=\ln x+1-1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ H'(x)}=\ln x }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { H:x\mapsto x\ln x-x }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto \ln x }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .

$\bullet{\white{w}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_1^{\text e^2} \ln x\,\text dx=1+\text e^2 } }$

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_1^{\text e^2} \ln x\,\text dx=\Big[x\ln x-x\Big ]_1^{\text e^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_1^{\text e^2} \ln x\,\text dx}=(\text e^2\ln \text e^2-\text e^2)-(0-1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ ei\ln x\,\text dx}=(2\text e^2-\text e^2)+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ ei \ln x\,\text dx}=\text e^2+1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_1^{\text e^2} \ln x\,\text dx=1+\text e^2}$

2. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_1^{\text e^2} (\ln x)^2\,\text dx=2\text e^2-2 }$ .

Calculons $\overset{ { \white{ } } } { \displaystyle\int_1^{\text e^2} (\ln x)^2\,\text dx }$ , soit $\overset{ { \white{ } } } { \displaystyle\int_1^{\text e^2} \ln x\times \ln x\,\text dx }$ par parties.

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{\text e^2}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]_1^{\text e^2}- \displaystyle\int_1^{\text e^2}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \begin{cases}u(x)=\ln x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\dfrac 1x \\v'(x)=\ln x\quad\Longrightarrow\quad v(x)=x\ln x -x\end{cases}$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_1^{\text e^2} (\ln x)^2\,\text dx=\Big[\ln x(x\ln x-x)\Big]_1^{\text e^2}-\displaystyle\int_1^{\text e^2}\dfrac 1x(x\ln x-x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWvW}=\Big[\ln x(x\ln x-x)\Big]_1^{\text e^2}-\displaystyle\int_1^{\text e^2}\dfrac 1x\times x\,(\ln x-1)\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWvW}=\Big[\ln x(x\ln x-x)\Big]_1^{\text e^2}-\displaystyle\int_1^{\text e^2}(\ln x-1)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWvW}=\Big[\ln x(x\ln x-x)\Big]_1^{\text e^2}-\Big[(x\ln x-x)-x\Big]_1^{\text e^2}}$
$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWvW}=\Big[\ln x(x\ln x-x)\Big]_1^{\text e^2}-\Big[x\ln x-2x\Big]_1^{\text e^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWvW}=\Big[\ln \text e^2(\text e^2\ln \text e^2-\text e^2)-0\Big]-\Big[(\text e^2\ln \text e^2-2\text e^2)-(0-2)\Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWvW}=\Big[2(2\text e^2-\text e^2)\Big]-\Big[(2\text e^2-2\text e^2)+2\Big]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWvW}=2\text e^2-2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_1^{\text e^2} (\ln x)^2\,\text dx=2\text e^2-2}$

2. c) Nous devons résoudre sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ , l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { h(x)=0 }$

${ \white{ xxi } }$ $h(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2\ln x-(\ln x)^2=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x(2-\ln x)=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=0\quad\text{ou}\quad 2-\ln x=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=0\quad\text{ou}\quad \ln x=2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=1\quad\text{ou}\quad x=\text e^2 }$

Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { 1>0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \text e^2>0 }$ , l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr S }$ des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { h(x)=0 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\mathscr S=\lbrace1\;,\;\text e^2\rbrace} }$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_h }$ coupe l'axe des abscisses aux points $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(1\;;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B\,(\text e^2\;;\;0) }$

2. d) L'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A }$ en unité d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_h) }$ , l'axe des abscisses, et les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=\text e^2 }$ est donnée par $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_1^{\text e^2}|h(x)|\,\text dx }$ .

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { h(x)>0 }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;\text e^2] }$ .

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal A=\displaystyle\int_1^{\text e^2}h(x)\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal A}=\displaystyle\int_1^{\text e^2}\Big(2\ln x-(\ln x)^2\Big)\,\text dx} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal A}=2\displaystyle\int_1^{\text e^2}\ln x\,\text dx-\displaystyle\int_1^{\text e^2}(\ln x)^2\,\text dx}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal A}=2(1+\text e^2)-(2\text e^2-2)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal A}=2+2\text e^2-2\text e^2+2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal A}=4} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal A=4\;(\text{u.a.})}$

Partie II :

On considère la fonction numérique $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^2}{x} }$ .
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { \Big(O,\vec i,\vec j\Big) }$ .

1. a) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty }$ et en donner une interprétation géométrique.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+} \left(x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+} \left(x-\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^2\right) }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac 1x=+\infty\\\lim\limits_{x\to 0^+}(\ln x)^2=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+} \left(\dfrac 1x\times (\ln x)^2\right)=+\infty }$

et $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to 0^+} x=0\\\lim\limits_{x\to 0^+} \left(\dfrac 1x\times (\ln x)^2\right)=+\infty\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+} \left(x-\dfrac 1x\times (\ln x)^2\right)=-\infty }$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ W. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty} }$

Ce résultat signifie graphiquement que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ admet une asymptote verticale d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }$ .

1. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}=0 }$

Posons : $\overset{ { \white{ . } } } { t=\sqrt x }$ , ce qui donne $\overset{ { \white{ } } } { x=t^2 }$ .

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x) ^2}{x}=\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{(\ln t^2)^ 2}{t^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x) ^2}{x}}=\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{(2\ln t)^ 2}{t^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x) ^2}{x}}=\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{4(\ln t)^ 2}{t^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x) ^2}{x}}=4\times\lim\limits_{t\to+\infty} \left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x) ^2}{x}}=4\times0\quad\text{(croissances comparées)}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x) ^2}{x}=0}$

Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty\\\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to +\infty} \left(x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ { \begin{cases}\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty\\\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0\end{cases}}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty} }$

1. c) Nous devons déduire que la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x }$ est une asymptote oblique de $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ .

En effet, nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}-x\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)}=-\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0}$

Par conséquent, la droite d'équation $\overset{ { \white{ -. } } } { y=x }$ est une asymptote oblique de $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ .

2. a) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ o. } } } { x }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2} }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ o. } } } { x }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\left(x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=1-\dfrac{\Big((\ln x)^2\Big)'\times x-(\ln x)^2\times x'}{x^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=1-\dfrac{\Big(2\times\dfrac 1x\times\ln x\Big)\times x-(\ln x)^2\times 1}{x^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[, \quad f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2} }$

2. b) Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .

Nous avons montré dans la question Partie I-1-b) que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ \;,\; \dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}<1 }$ .
Cela revient à dire que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ \;,\; 1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}>0 }$ .
Dès lors, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ \;,\; \boxed{f'(x)>0} }$ .

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .

3. a) Nous devons montrer que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[}$ .

De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;\left]-\infty\;;\;+\infty\,\right[} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha \in\; ]0\;;\;+\infty[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=0 }$ .

Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .

3. b) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ } } } { \text e^{-1}<\alpha <1 }$ et montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } {\ln\alpha=-\alpha }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [\text e^{-1}\;;\;1]}$ .

De plus, nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}f(\text e^{-1})=\text e^{-1}-\dfrac{\Big(\ln (\text e^{-1})\Big)^2}{\text e^{-1}}\\ {f(1)=1-\dfrac{(\ln 1)^2}{1}}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}f(\text e^{-1})=\text e^{-1}-\dfrac{1}{\text e^{-1}}\\ {f(1)=1}\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(\text e^{-1})=\text e^{-1}-\dfrac{\Big(\ln (\text e^{-1})\Big)^2}{\text e^{-1}}\\ \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}f(\text e^{-1})=\dfrac{1}{\text e}-\text e<0\\ {f(1)=1>0}\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}f(\text e^{-1})=\text e^{-1}-\dfrac{\Big(\ln (\text e^{-1})\Big)^2}{\text e^{-1}}\\ {f(1)=1-\dfrac{(\ln 1)^2}{1}}\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(\alpha)=0\in\;]f(\text e^{-1})\;;\;f(1)[} }$

Par le théorème des valeurs intermédiaires, $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{\text e^{-1}<\alpha <1 } }$ .

Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } {\ln\alpha=-\alpha }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha-\dfrac{(\ln \alpha)^2}{\alpha}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha=\dfrac{(\ln \alpha)^2}{\alpha} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad (\ln \alpha)^2=\alpha^2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln \alpha=\alpha\quad\text{ou}\quad \ln \alpha = -\alpha}$

$\text{Or }\quad\text e^{-1}<\alpha<1\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \alpha>0\\\alpha<1 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad \text e^{-1}<\alpha<1}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \alpha>0\\\ln \alpha<0 \end{cases} }$

Puisque $\overset{ { \white{. } } } { \alpha }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln \alpha }$ sont de signes contraires, nous déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\ln \alpha=-\alpha} }$

3. c) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)\leq x }$ , pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;+\infty[ }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f(x)-x=\left(x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)-x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)-x}=-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\,{\red{\leq 0}} } \\\\\Longrightarrow\quad \forall\,x\in\;]0\;;\;+\infty[,\quad f(x)-x\leq 0$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)\leq x }$ , pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;+\infty[ }$ .

3. d) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ +. } } } { y=x }$ est l'équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { (T) }$ à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ au point d'abscisse 1.

Une équation de cette tangente est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=f'(1)(x-1)+f(1)} }$

Or $\begin{cases}f(x)=x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=1-\dfrac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2} }\end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}f(1)=1-0\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(1)=1-0}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}f(1)=1\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(1)=1}\end{cases}$

D'où une équation de la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f) }$ au point d'abscisse 1 est $\overset{ { \white{ . } } } {y=(x-1)+1 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=x} }$

4. Le graphique ci-dessous représente la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ dans le repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } {(O,\vec i;\vec j) }$ .
${ \white{ xx } }$ Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ la restriction de $\overset{ { \white{ _. } } } {f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;1] }$ .

Bac Maroc 2025 Mathématiques série PC-SVT : image 9

4. a) Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ admet une fonction réciproque $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi ^{-1} }$ définie sur un intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ à déterminer.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .
Dès lors, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;1] }$ .

De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\lim\limits_{x\to 0^+}\varphi(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)\\\overset{ { \white{9 . } } } {\varphi(1)=f(1) }\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ \begin{cases}\lim\limits_{x\to 0^+}\varphi(x)=-\infty\\\overset{ { \white{ 9. } } } {\varphi(1)=1 }\end{cases}} }$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;1] }$ dans $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;1] }$ .

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ admet une fonction réciproque $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi ^{-1} }$ définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { J=]-\infty\;;\; 1] }$ .

4. b) Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi ^{-1} }$ est dérivable en 0 et que $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(\varphi^{-1}\right)'(0)=\dfrac{\alpha}{2+2\alpha} }$

Nous savons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;1].}$

De plus, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;1],\quad \varphi '(x)=f'(x)\neq 0 }$ car pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;1],\quad f'(x)> 0 }$ .

Donc la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi^{-1} }$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { J=]-\infty\;;\; 1] }$ et en particulier en 0.

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\left(\varphi^{-1}\right)'(0)=\dfrac{1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(0))} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{1}{\varphi '(\alpha)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{1}{f'(\alpha)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2\ln \alpha-(\ln \alpha)^2}{\alpha^2}} }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{1}{\dfrac{\alpha^2-2\ln \alpha+(\ln \alpha)^2}{\alpha^2}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{\alpha^2}{\alpha^2-2\ln \alpha+(\ln \alpha)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{\alpha^2}{\alpha^2+2\alpha+ \alpha^2}\quad\text{(car }\ln\alpha=-\alpha) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{\alpha^2}{2\alpha+ 2\alpha^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{\alpha^2}{\alpha(2+ 2\alpha)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)}=\dfrac{\alpha}{2+ 2\alpha}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \left(\varphi^{-1}\right)'(0)=\dfrac{\alpha}{2+ 2\alpha}}$

4. c) Recopions la courbe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ et construisons la courbe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi ^{-1} }$ dans le repère $\overset{ { \white{ _. } } } { (O, \vec i, \vec j) }$ .

La courbe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi }$ et la courbe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi ^{-1} }$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice $\overset{{\white{.}}}{y=x}$ .
D'où la construction de la courbe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \varphi ^{-1} }$ .

Bac Maroc 2025 Mathématiques série PC-SVT : image 8

Partie III :

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ la suite numérique définie par $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=\text e }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{n+1}=f(u_n) }$ , pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N }$ .

1) Montrons par récurrence que $\overset{ { \white{ _. } } } { 1<u_n }$ , pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N }$ .

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{1<u_0}$ .
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{u_0=\text e\approx 2,718\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1<u_0}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 1<u_n}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 1< u_{n+1} }$ .

En effet, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $1< u_n\quad\Longrightarrow\quad f(1)< f(u_n) \\\\\phantom{1< u_n}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1< u_{n+1}}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } {1< u_n }$ .

2. a) Nous devons montrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est décroissante.

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } {\forall\,n\in\N,\; u_n>0 }$ car selon la question précédente, $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n\in\N,\;u_n>1 }$ .

Dès lors, en utilisant la question Partie II-3-c), nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n\in\N,\quad f(u_n)\leq u_n\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}\leq u_n} }$

D'où la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est décroissante.

2. b) Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est convergente.

Nous avons montré que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par 1.
Selon le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est convergente.
Nous noterons $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ sa limite.

2. b) Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{ { \white{ . } } } { [1\;;\;+\infty[. }$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{f(\ell)=\ell.}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \ell }$ est solution de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x. }$
Résolvons dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [1\;;\;+\infty[, }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad x-\dfrac{(\ln x)^2}{x}=x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad (\ln x)^2=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=x=1}$

Donc sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [1\;;\;+\infty[, }$ l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=x }$ admet pour unique solution ${ \ell=1. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}}$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution}

Publié par malou le 21-11-2025

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