Fiche de mathématiques

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Bac 2025 Spécialité Mathématiques

Métropole

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5 points

exercice 1

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6 points

exercice 2

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4 points

exercice 3

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5 points

exercice 4

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5 points

exercice 1

1. Arbre pondéré modélisant la situation à ce stade de la résolution.

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2. Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(B\cap R)=0,084. }$

${ \white{ xxi } }$ $P(B\cap R)=P(B)\times P_B(R) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(B\cap R)} =0,1\times 0,84 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(B\cap R)} =0,084 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(B\cap R) =0,084 }$

Donc la probabilité que la personne choisie soit de groupe sanguin B et ait un facteur rhésus positif est égale à 0,084.
On peut également dire que 8,4% de la population française est de groupe sanguin B et a un facteur rhésus positif.

3. On précise que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(R)=0,8397. }$
Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P_O(R)=0,83. }$

Les événements   $\overset{{\white{.}}}{A,\, B,\, AB}$ et   $\overset{{\white{_.}}}{O}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(R)=P(A\cap R)+P(B\cap R)+P(AB\cap R)+P(O\cap R) \\\overset{ { \white{ _. } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad0,8397=P(A)\times P_A(R)+0,084+P(AB)\times P_{AB}(R)+P(O)\times P_O(R)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad 0,8397=0,45\times 0,85+0,084+0,03\times 0,82+0,42\times P_O(R)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad 0,8397=0,4911+0,42\times P_O(R)}$

${ \white{ xxi } }$ $.\\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad 0,42\times P_O(R)=0,3486} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad P_O(R)=\dfrac{0,3486}{0,42}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P_O(R)=0,83}}$

Par conséquent, 83% des personnes étant du groupe O ont un facteur rhésus positif.

4. Un individu est ''donneur universel'' s'il est de groupe sanguin O de facteur rhésus négatif.
Nous devons montrer que la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population française soit donneur universel est de 0,0714.

Nous devons donc montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(O\cap \overline{R})=0,0 714. }$

${ \white{ xxi } }$ $P(O\cap \overline{R})=P(O)\times P_O(\overline R) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(O\cap \overline{R})}=0,42\times (1-P_O( R)) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(O\cap \overline{R})}=0,42\times (1-0,83) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(O\cap \overline{R})}=0,0714 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P(O\cap \overline{R})=0,0714 }$
Donc la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population française soit donneur universel est de 0,0714.

5. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire qui à chaque échantillons de 100 personnes associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.

5. a) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale dont les paramètres seront à déterminer.

Lors de cette collecte de sang, on répète 100 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « l'individu est un donneur universel » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,0714. }$
Echec : « l'individu n'est pas un donneur universel » dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,9286. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    compte le nombre de donneurs universels dans cet échantillon de 100 personnes, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(100\,;\,0,0714\right) }$ .

5. b) Nous devons déterminer à 10^-3 près la probabilité qu'il y ait au plus 7 donneurs universels dans cet échantillon.

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X\leq 7)\approx 0,577 }$
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait au plus 7 donneurs universels dans cet échantillon est égale à 0,577 (valeur arrondie à 10^-3 près)

5. c) Nous devons montrer que l'espérance $\overset{ { \white{ _. } } } { E(X) }$ de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ est égale à 7,14 et que sa variance $\overset{ { \white{ . } } } { V(x) }$ est égale à 6,63 à 10^-2 près.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons l'espérance $\overset{ { \white{ _. } } } { E(X). }$

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=np \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)}=100\times0,0714 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)}=7,14 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=7,14}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons la variance $\overset{ { \white{ _. } } } { V(X). }$

${ \white{ xxi } }$ $V(X)=np(1-p) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(X)}=100\times0,0714\times 0,9286 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(X)}=6,630204 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(X)=6,63}\quad (\text{à }10^{-2}\text{ près})$

6. a) Dans le contexte de l'exercice, la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } {M_N =\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_N}{N} }$ représente la moyenne du nombre de donneurs universels dans les $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ échantillons de 100 personnes.

6. b) Nous devons calculer l'espérance $\overset{ { \white{ _. } } } { E(M_N) }$

${ \white{ xxi } }$ $E(M_N)=E\left(\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_N}{N}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_N)}=\dfrac 1N \Big(E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_N)\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_N)}=\dfrac 1N \Big(7,14+7,14+\cdots+7,14\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_N)}=\dfrac 1N \times N\times 7,14} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ E(M_N)}=7,14} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(M_N)=7,14}$

6. c) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { V(M_n) =\dfrac{6,63}{N} . }$

${ \white{ xxi } }$ $V(M_N)=V\left(\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_N}{N}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_N)}=\dfrac {1}{N^2} \Big(V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_N)\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_N)}=\dfrac {1}{N^2} \Big(6,63+6,63+\cdots+6,63\Big)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_N)}=\dfrac {1}{N^2}\times N\times 6,63} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ V(M_N)}=\dfrac{6,63}{N}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(M_N)=\dfrac{6,63}{N}}$

6. d) Nous devons déterminer la plus petite valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$   telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(7 < M_N < 7,28) \geq 0,95. }$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\,|\,M_N-E(M_N)\,|\geq a)\leq \dfrac{V(M_N)}{a^2}\quad\text{où}\quad a>0. }$

En posant $\overset{ { \white{ . } } } { a=0,14 }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|M_N-7,14\,|\geq 0,14)\leq \dfrac{\frac{6,63}{N}}{0,14^2}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,M_N-7,14\,|\geq 0,14)\leq \dfrac{6,63}{0,0196N}$

Déterminons la plus petite valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$   telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(7 < M_N < 7,28) \geq 0,95. }$

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|\,M_N-7,14\,|\geq 0,14)\leq \dfrac{6,63}{0,0196N}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-P(\,|\,M_N-7,14\,|<0,14)\leq\dfrac{6,63}{0,0196N} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_N-7,14\,|\geq 0,14)\leq \dfrac{118,75}{n}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,M_N-7,14\,|<0,14)\geq 1-\dfrac{6,63}{0,0196N}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_N-7,14\,|\geq 0,14)\leq \dfrac{118,75}{n}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(-0,14<M_N-7,14< 0,14)\geq 1-\dfrac{6,63}{0,0196N} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,M_N-7,14\,|\geq 0,14)\leq \dfrac{118,75}{n}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(7<M_N<7,28)\geq1-\dfrac{6,63}{0,0196N} }$

Il faut déterminer la plus petite valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-\dfrac{6,63}{0,0196N} \geq 0,95. }$

${ \white{ xxi } }$ $1-\dfrac{6,63}{0,0196N} \geq 0,95\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{6,63}{0,0196N} \leq 1-0,95 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{6,63}{0,0196N} \geq 0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{6,63}{0,0196N}\leq 0,05 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{6,63}{0,0196N} \geq 0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad N\geq\dfrac{6,63}{0,05\times0,0196}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\dfrac{6,63}{0,0196N} \geq 0,95}\quad\Longleftrightarrow\quad N\geq6765,306122...}$

Par conséquent, la plus petite valeur entière vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { N=6766 }$ et par suite, la plus petite valeur entière vérifiant l'inégalité est $\overset{ { \white{ _. } } } { N=6766. }$

6 points

exercice 2

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[. }$

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous :

${ \white{ WWW } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la courbe représentative $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;3]; }$
${ \white{ WWW } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { T_A, }$ tangente à $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } } { A(1\;;\;2); }$
${ \white{ WWW } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { T_B, }$ tangente à $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } } { B(\text e\;;\;\text e). }$

On précise par ailleurs que la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_A }$ passe par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { C(3\;;\;0). }$

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Partie A : Lectures graphiques

Les réponses aux questions suivantes sont basées uniquement sur le graphique.

1. Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(1). }$

$\overset{ { \white{ _. } } } { f'(1) }$ est le coefficient directeur de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_A }$ passant par les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A(1\;;\;2) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C(3\;;\;0). }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $f'(1)=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(1) }=\dfrac{0-2}{3-1} =\dfrac{-2}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(1) }=-1 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(1)=-1}$

2. Le nombre de solutions de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=0 }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;3] }$ est donné par le nombre de tangentes à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ parallèles à l'axe des abscisses dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;3] . }$

Nous observons qu'il y a deux tangentes à $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$   vérifiant cette propriété :
${ \white{ WWW } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ l'une au point de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ dont l'abscisse est environ 0,3 ;
${ \white{ WWW } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ l'autre au point de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ dont l'abscisse est environ 1,6.

Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=0 }$ admet deux solutions dans l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;3] }$

3. Nous devons déterminer le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(0,2). }$

La fonction paraît concave sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0,1\;;\;0,25] }$
Donc pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in [0,1\;;\;0,25]\,,\quad f''(x)<0. }$
Or $\overset{ { \white{ . } } } { 0,2\in [0,1\;;\;0,25]. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f''(0,2)<0} \,. }$

Partie B : Étude de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$

On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par

$\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x\Big(2(\ln x)^2-3 \ln x+2\Big) }$

1. Nous devons résoudre dans $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R }$ l'équation $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { 2X^2-3X+2=0 }$ et en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

${ \white{ xxx } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Résolvons dans $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R }$ l'équation $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { 2X^2-3X+2=0 }$

Discriminant : $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta=(-3)^2-4\times 2\times 2=9-16=-7 }$

Puisque le discriminant est strictement négatif, l'équation $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { 2X^2-3X+2=0 }$ n'admet pas de solution dans $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R }$ .

${ \white{ xxx } } \overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que    $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ ne coupe pas l'axe des abscisses en montrant que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ n'admet pas de solution réelle.

$f(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\Big(2(\ln x)^2-3 \ln x+2\Big) =0 \\\overset{ { \phantom{ _. } } } { {\phantom{WWWx}}{\phantom{xx}}\Longleftrightarrow\quad 2(\ln x)^2-3 \ln x+2 =0 } \\\overset{ { \phantom{ _. } } } { {\phantom{WWWWWWW}}{\phantom{xx}}\quad (\text{en divisant les deux membres par }x\neq 0) } \\\overset{ { \phantom{ _. } } } { {\phantom{WWWx}}{\phantom{xi}}\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}X=\ln x\\2X^2-3X+2=0 \end{cases} }$

Or nous savons que l'équation $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { 2X^2-3X+2=0 }$ n'admet pas de solution dans $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \R }$ .
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

2. Nous devons déterminer la limite de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty. }$
${ \white{ xi } }$ On admet que la limite de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { 0 }$ est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { 0. }$

Nous observons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x>1, \quad f(x)=x(\ln x)^2\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^2}\right) }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{\ln x}=0\\\overset{ { \white{ _. } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{(\ln x)^2}=0 } \end{cases} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} \ln x=+\infty}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty} \left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^2}\right) =2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} \ln x=+\infty}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty} (\ln x)^2\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^2}\right) =+\infty }$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty} \ln x=+\infty}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}x\, (\ln x)^2\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^2}\right) =+\infty }$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}$

3. On admet que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[\,,\quad f'(x)=2(\ln x)^2+\ln x-1. }$

3. a) Nous devons montrer que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[\,,\quad f''(x)=\dfrac 1x\Big(4\ln x+1\Big). }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[\,, }$

${ \white{ xxi } }$ $f''(x)=\Big(2(\ln x)^2+\ln x-1\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x) }=2\times2\,(\ln x)'\ln x+\dfrac 1x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x) }=4\times\dfrac 1x\times \ln x+\dfrac 1x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f''(x) }=\dfrac 1x\Big(4 \ln x+1\Big) } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[\,,\quad f''(x)=\dfrac 1x\Big(4 \ln x+1\Big) }$

3. b) Nous devons étudier la convexité de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[\,,\quad \dfrac 1x>0. }$

D'où le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { 4\ln x+1 }$

Nous pouvons dresser le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$

${ \white{ xxi } } \begin{matrix}4\ln x +1>0\quad\Longleftrightarrow\quad 4\ln x>-1\\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{4\ln x +1>0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x>-\dfrac 14}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{4\ln x +1>0}\quad\Longleftrightarrow\quad x>\text e^{-\frac 14}}\\\\4\ln x +1=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\text e^{-\frac 14}\\\\4\ln x +1<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\text e^{-\frac 14}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&\text e^{-\frac 14}&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\4\ln x+1&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&\\f''(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est concave sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\,0\;;\;\text e^{-\frac 14}[ }$ et est convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\text e^{-\frac 14}\;;\;+\infty[. }$
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $\underset{ { \white{ {'} } } } { \text e^{-\frac 14} . }$

3. c) Nous devons montrer que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ est au-dessus de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_B }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[. }$

${ \white{ xxi } }$ $-\dfrac 14<0<1\quad \Longrightarrow\quad \text e^{-\frac 14}<\text e^0<\text e^1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -\dfrac 14<0<1}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\text e^{-\frac 14}<1<\text e }}$

Or nous savons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\text e^{-\frac 14}\;;\;+\infty[ .}$

Donc la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\text e^{-\frac 14}\;;\;+\infty[ }$ et en particulier sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[ }$ qui est inclus dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\text e^{-\frac 14}\;;\;+\infty[. }$

Or $\underset{ { \white{ ' } } } { \text e^{-\frac 14}<1<\text e . }$
Par conséquent, la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ est au-dessus de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_B }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[. }$

Partie C

1. Nous devons justifier que la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_B }$ a pour équation réduite $\overset{ { \white{ _. } } } { y=2x-\text e. }$
Nous devons donc déterminer l'équation réduite de la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f) }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } {\text e .}$

L'équation de cette tangente est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {y=f'(\text e)(x-\text e)+f(\text e). }$

Or $\begin{cases} f(x)=x\Big(2(\ln x)^2-3 \ln x+2\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=2(\ln x)^2+\ln x-1}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}f(\text e)=\text e(2-3+1)\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(\text e)=2+1-1}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}f(\text e)=\text e\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(\text e)=2}\end{cases}$

D'où une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_B }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ . } } } {\text e }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {y=2(x-\text e)+\text e }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=2x-\text e} }$

2. Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_1^{\text e} x\ln x\,\text dx=\dfrac{\text e^2+1}{4}\,. }$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_1^{\text e} x\ln x\,\text dx. }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{\text e}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]_1^{\text e}- \displaystyle\int_1^{\text e}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \begin{cases}u(x)=\ln x\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\dfrac 1x \\\overset{ { \white{ _. } } } { v'(x)=x\phantom{x}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{x^2}{2}}\end{cases}$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{1}^{\text e} x\ln x\,\text{d}x=\Bigg[\dfrac{x^2}{2}\ln x\Bigg]_{1}^{\text e}-\displaystyle\int_{1}^{\text e}\dfrac 1x\times\dfrac{x^2}{2}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\Bigg[\dfrac{x^2}{2}\ln x\Bigg]_{1}^{\text e}-\displaystyle\int_{1}^{\text e}\dfrac 12x\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\Bigg[\dfrac{x^2}{2}\ln x\Bigg]_{1}^{\text e}-\dfrac 12\Bigg[\dfrac{x^2}{2}\Bigg]_{1}^{\text e}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\Big(\dfrac{\text e^2}{2}-0\Big)-\dfrac 14 \Big(\text e^2-1\Big)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{\text e^2}{2}-\dfrac {\text e^2}{4}+\dfrac 14} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=\dfrac 14(\text e^2+1)}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_1^{\text e} x\ln x\,\text dx=\dfrac{\text e^2+1}{4}}$

3. On note $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{A} }$ l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f , }$ la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_B , }$ et les droites d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=\text e.} }$
On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_1^{\text e} x\,(\ln x)^2\,\text dx=\dfrac{\text e^2-1}{4}\,. }$
Nous devons en déduire la valeur exacte de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{A} }$ en unité d'aire.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est continue.
Nous savons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ est au-dessus de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T_B }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;+\infty[. }$

Nous obtenons alors,

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A}=\displaystyle\int_1^{\text e} \Big(f(x)-(2x-\text e)\Big)\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\displaystyle\int_1^{\text e} \Bigg(x\Big(2(\ln x)^2-3 \ln x+2\Big)-(2x-\text e)\Bigg)\,\text dx } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\displaystyle\int_1^{\text e}\Big(2x(\ln x)^2-3x \ln x+2x-2x+\text e\Big)\,\text dx } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A}=\displaystyle\int_1^{\text e}\Big(2x(\ln x)^2-3x \ln x+\text e\Big)\,\text dx }$

${ \white{ xxi } }$ $. \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=2\displaystyle\int_1^{\text e}x(\ln x)^2\,\text dx -3\displaystyle\int_1^{\text e}x \ln x\,\text dx +\displaystyle\int_1^{\text e}\text e\,\text dx } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x A}=2\times\dfrac{\text e^2-1}{4}-3\times\dfrac{\text e^2+1}{4} +\text e\times\Big[x\Big]_1^{\text e} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x A}=\dfrac{2\text e^2-2-3\,\text e^2-3}{4} +\text e\times(\text e -1) }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ Ax}=\dfrac{-\text e^2-5+4\,\text e^2-4\,\text e}{4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ Ax}=\dfrac{3\,\text e^2-4\,\text e-5}{4} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr{A}=\dfrac{3\,\text e^2-4\,\text e-5}{4} \quad \text{u.a.}}$

4 points

exercice 3

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\vec i,\vec j,\vec k) . }$

1. On considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A(-1;0;5)} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { B(3;2;-1).} }$

Affirmation 1 : Une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB)} }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\begin{cases} x=3-2t\\y=2-t\\z=-1+3t\end{cases}\quad\text{avec }t\in\R.}$
L'affirmation est vraie.

Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB). }$

Un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}3+1\\ 2-0\\-1-5\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}4\\2\\ -6\end{pmatrix} }$
Nous pouvons également choisir comme vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { (AB) ,}$ le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { -\dfrac 12 \overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}{\red{-2}}\\ {\red{-1}}\\ {\red{3}}\end{pmatrix} \,. }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { B\,({\blue{3}}\;;\;{\blue{2}}\;;\;{\blue{-1}}) }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB). }$
D'où, une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AB)}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\begin{cases}x={\blue{3}}+{\red{(-2)}}\times t\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y={\blue{2}}+{\red{(-1)}}\times t}\\z={\blue{-1}}+{\red{3}}\times t\end{cases}\quad \quad(t\in\R) }$
soit $\overset{ { \phantom{ . } } } { \boxed{(AB):\begin{cases} x=3-2t\\y=2-t\\z=-1+3t\end{cases}\quad\text{avec }t\in\R.}}$

L'affirmation 1 est donc vraie.

Affirmation 2 : Le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix} }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (OAB) }$
L'affirmation est fausse.

Vérifions si le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n} }$ est orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{OA}\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix} }$ et au vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix} . }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{OA}=5\times(-1)+(-2)\times 0+ 1\times 5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{OA}}=-5+0+5} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{OA}}=0} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{OA}}$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{OB}=5\times3+(-2)\times 2+ 1\times (-1) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{OA}}=15-4-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{OA}}=10\;{\red{\neq 0}}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{n}\not\perp\overrightarrow{OB}}$

Le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n} }$ n'est pas orthogonal au vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{OB} . }$
Par conséquent, le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix} }$ n'est pas normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (OAB) . }$
L'affirmation 2 est donc fausse.

2. On considère :

${ \white{ WWW } }$ $\overset{ { \white{ _. } } }{\bullet}{\white{x}}$ la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ de représentation paramétrique $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x=15+k\\y=8-k\\z=-6+2k\end{cases}\quad\text{avec }k\in\R. }$ ;

${ \white{ WWW } }$ $\overset{ { \white{ _. } } }{\bullet}{\white{x}}$ la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ de représentation paramétrique $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x=1+4s\\y=2+4s\\z=1-6s\end{cases}\quad\text{avec }s\in\R. }$ .

Affirmation 3 : les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { d} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' } }$ ne sont pas coplanaires.
L'affirmation est fausse.

Les droites $\overset{ { \white{ . } } } {(d)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d\,')}$ ont pour vecteurs directeurs respectifs $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_d}\,\begin{pmatrix}1\\ -1\\2\end{pmatrix} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{u_{d'}}\,\begin{pmatrix}4\\ 4\\-6\end{pmatrix} }$

Manifestement, ces vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
Dès lors, les droites $\overset{ { \white{ . } } } {(d)}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {(d\,')}$ ne sont ni parallèles distinctes, ni confondues.

Elles sont donc soit sécantes, soit non coplanaires.

Pour le déterminer, résolvons le système $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}15+k=1+4s\\\overset{ { \white{ . } } } {8-k=2+4s}\\\overset{ { \white{ . } } } {-6+2k=1-6s}\end{cases} }$

$\begin{cases}15+k=1+4s\\\overset{ { \white{ . } } } {8-k=2+4s}\\\overset{ { \white{ . } } } {-6+2k=1-6s}\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}k=-14+4s\\\overset{ { \phantom{ . } } } {8-k=2+4s}\\\overset{ { \white{ . } } } {-6+2k=1-6s}\end{cases} \\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}k=-14+4s\\\overset{ { \phantom{ . } } } {8+14-4s=2+4s}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {-6-28+8s=1-6s}\end{cases} \\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}k=-14+4s\\\overset{ { \phantom{ . } } } {8s=20}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {14s=35}\end{cases}$

$.\phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}k=-14+4s\\\overset{ { \phantom{ . } } } {s=2,5}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {s=2,5}\end{cases} \\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}k=-14+10\\\overset{ { \phantom{ . } } } {s=2,5}\end{cases}} \\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{WWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}k=-4\\\overset{ { \phantom{ . } } } {s=2,5}\end{cases}}$

Le système admet une solution.
En remplaçant $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ par leurs valeurs respectives dans les représentations paramétriques de $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ , nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}x=11\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y=12}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {z=-14}\end{cases} }$

Nous en déduisons que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' }$ se coupent au point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (11\;;\;12\;;\;-14). }$

Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { d} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d\,' } }$ sont coplanaires.
L'affirmation 3 est donc fausse.

4. On considère le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x-y+z+1=0. }$

Affirmation 4 : La distance du point $\overset{ { \white{ _. } } } { C\,(2\;;\;-1\;;\;2) }$ au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\sqrt 3. }$
L'affirmation est vraie.

Nous savons que la distance $\overset{ { \white{ _. } } } { \delta }$ d'un point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (x_0\;;\;y_0\;;\;z_0) }$ au plan d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { ax+by+cz+d=0 }$ est donnée par la formule : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}} }$

Dès lors la distance du point $\overset{ { \white{ _. } } } { C\,(2\;;\;-1\;;\;2) }$ au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P} }$ est :

${ \white{ xxi } }$ $\delta=\dfrac{|2-(-1)+2+1 |}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \delta}=\dfrac{|2+1+2+1 |}{\sqrt{1+1+1}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \delta}=\dfrac{|6 |}{\sqrt{3}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \delta}=\dfrac{6\sqrt{3} }{3} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \delta}=2\sqrt{3} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\delta=2\sqrt 3}$
L'affirmation 4 est donc vraie.

5 points

exercice 4

Une équipe de biologistes étudie l'évolution de la superficie recouverte par une algue marine appelée posidonie.
La zone étudiée est d'une superficie totale de 20 hectares (ha), et au premier juillet 2024, la posidonie recouvrait 1 ha de cette zone.

Partie A : étude d'un modèle discret

Pour tout entier $\overset{ { \white{ o. } } } { n , }$ on note $\overset{ { \white{ o. } } } { u_n }$ la superficie de la zone, en hectare, recouverte par la posidonie au premier juillet de l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { 2024+n. }$
Ainsi $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=1. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{n+1}=-0,02u_n^2+1,3u_n. }$

1. Nous devons calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet 2025.

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ o. } } } { u_1. }$

${ \white{ xxi } }$ $u_{1}=-0,02u_0^2+1,3u_0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{1}}=-0,02\times1^2+1,3\times1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{1}}=-0,02+1,3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{1}}=1,28} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{u_{1}=1,28}$

D'où selon ce modèle, au premier juillet 2025, la posidonie recouvre une zone de 1,28 hectare.

2. On note $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;20] }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { h(x)=-0,02x^2+1,3x. }$
On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;20]. }$ .

2. a Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\quad 1\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 20. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{1\leq u_0 \leq u_{1} \leq 20.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases}u_0=1\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { u_1=1,28}\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1\leq u_0 \leq u_{1} \leq 20}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 1\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 20}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 1\leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 20 .}$

En effet, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=h(u_n). }$
Puisque la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ est croissante sur [0 ; 20],

${ \white{ xxi } }$ $1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 20\quad\Longrightarrow\quad h(1)\leq h(u_n)\leq h(u_{n+1})\leq h(20) \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad 1,28\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 18 \\\\\phantom{WWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 20}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } {1\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 20. }$

2. b Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ converge.

Nous avons montré dans la question 2. a) que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est croissante et majorée par 20.
Cette suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est donc convergente.
Nous noterons $\overset{ { \white{ _. } } } { L }$ sa limite.

2. c Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { L=15. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { h }$ est continue sur $\overset{{\white{.}}}{[0\;;\;20]} .$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=h(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{L}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{L}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{L=h(L).}$

${ \white{ xxi } }$ $L=h(L)\quad\Longleftrightarrow\quad L=-0,02L^2+1,3L \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{L=h(L)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,02L^2-0,3L=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{L=h(L)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,02L(L-15)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{L=h(L)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,02L=0\quad\text{ou}\quad\,L-15=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{L=h(L)}\quad\Longleftrightarrow\quad L=0\quad\text{ou}\quad\,\L=15}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { u_0=1 }$ et la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est croissante.
Dès lors, la valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { L=0 }$ est à rejeter.

D'où $\overset{ { \white{ W. } } } {\boxed{L=\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=15}}$

3. a) Sans faire de calcul, nous devons justifier que, d'après ce modèle, la surface recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares.

$\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=15 }$ signifie que $\overset{ { \white{ . } } } { u_n }$ est aussi proche que l'on veut de 15 pourvu que $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ soit suffisamment grand.

Or la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est croissante et $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=1. }$
Dès lors, les valeurs de $\overset{ { \white{ o. } } } { u_n }$ seront supérieures à 14 pour des valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ suffisamment grandes.

Nous en déduisons que la surface recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares.

3. b) L'algorithme suivant est complété pour qu'en fin d'exécution, il affiche au bout de combien de temps la surface recouverte par la posidonie dépassera les 14 hectares.

Bac spécialité maths 2025 Métropole Jour 1 : image 36

Partie B : étude d'un modèle continu

Dans le modèle continu, pour une durée $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ , en année, écoulée à partir du premier juillet 2024, la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie est donnée par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t) }$ , où $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est une fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ vérifiant :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0)=1\;; }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ ne s'annule pas sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[\;; }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[\;; }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est solution sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1):y'=0,02y(15-y) }$

On admet qu'une telle fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ existe.

1. Soit $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ la fonction définie que $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { g(t)=\dfrac {1}{f(t)}. }$
Montrons que $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_2):y'=-0,3y+0,02. }$

La fonction $\overset{ { \white{O. } } } { g }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable et ne s'annule pas sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ . }$
Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $g'(t)=\left(\dfrac{1}{f(t)}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t) }=\dfrac{-f'(t)}{\Big(f(t)\Big)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t) }=\dfrac{-0,02f(t)\Big(15-f(t))\Big)}{\Big(f(t)\Big)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t) }=\dfrac{-0,02\Big(15-f(t))\Big)}{f(t)} }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t) }=\dfrac{-0,3+0,02f(t)}{f(t)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t) }=-0,3\times \dfrac{1}{f(t)}+0,02 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t) }=-0,3\times g(t)+0,02 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g'(t)=-0,3\, g(t)+0,02 }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_2):y'=-0,3y+0,02. }$

2. Nous devons donner les solutions de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_2). }$

La solution générale d'une équation différentielle de la forme    $\overset{ { \white{ _. } } } { y'=ay +b }$ est $y=C\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (a\in\R^*,\; b\in\R,\; C\in\R).$
Dans ce cas,    $\overset{ { \white{ _. } } } { a=-0,3 }$ et    $\overset{ { \white{ _. } } } { b=0,02. }$

D'où la solution générale de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_2) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } {t\mapsto y(t)=C\,\text{e}^{-0,3t}-\left(\dfrac{0,02}{-0,3}\right) }$    ,
soit $\boxed{t\mapsto y(t)=C\,\text{e}^{-0,3t}+\dfrac {1}{15}\ \ \ \ \ (C\in\R)}$

3. Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in[0\;;\;+\infty[\,,\quad f(t)=\dfrac{15}{14\,\text e^{-0,3t}+1} }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { g(t)=\dfrac{1}{f(t)} }$ et que la fonction $\overset{ { \white{ O. } } } { g }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_2):y'=-0,3y+0,02. }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $g(t)=\dfrac{1}{f(t)}\quad\Longleftrightarrow\quad f(t)=\dfrac{1}{g(t)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g(t)=\dfrac{1}{f(t)}}\quad\Longleftrightarrow\quad f(t)=\dfrac{1}{C\,\text{e}^{-0,3t}+\dfrac {1}{15}} }$
De plus, nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0) = 1. }$

${ \white{ xxi } }$ $f(0)=1\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{C\,\text{e}^{0}+\dfrac {1}{15}} =1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{C+\dfrac {1}{15}} =1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad C+\dfrac {1}{15}=1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{C=\dfrac {14}{15}} }$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $f(t)=\dfrac{1}{\dfrac{14}{15}\,\text{e}^{-0,3t}+\dfrac {1}{15}} \quad\Longleftrightarrow\quad f(t)=\dfrac{{\red{15\times}}1}{{\red{15\times}}\left(\dfrac{14}{15}\,\text{e}^{-0,3t}+\dfrac {1}{15}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)=\dfrac{1}{\dfrac{14}{15}\,\text{e}^{-0,3t}+\dfrac {1}{15}} }\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{ f(t)=\dfrac{15}{14\,\text{e}^{-0,3t}+1} }}$

4. Nous devons déterminer la limite de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{t\to+\infty}-0,3t=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty} \text e^T=0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{t\to+\infty}\text e^{-0,3t}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{t\to+\infty}-0,3t=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty} \text e^T=0 \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{t\to+\infty}\Big(14\text e^{-0,3t}+1\Big)=1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{t\to+\infty}-0,3t=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty} \text e^T=0 \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{15}{14\,\text{e}^{-0,3t}+1}=\dfrac{15}{1}=15 }$

Par conséquent,    $\overset{ { \white{W. } } } { \boxed{ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=15} }$

5. Nous devons résoudre dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)>14. }$

${ \white{ xxi } }$ $f(t)>14\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{15}{14\,\text{e}^{-0,3t}+1}>14 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)>14}\quad\Longleftrightarrow\quad 15>14\,( 14\,\text{e}^{-0,3t}+1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)>14}\quad\Longleftrightarrow\quad 15>196\,\text{e}^{-0,3t}+14} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)>14}\quad\Longleftrightarrow\quad 196\,\text{e}^{-0,3t}<1}$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)>14}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{-0,3t}<\dfrac{1}{196}} .\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)>14}\quad\Longleftrightarrow\quad {-0,3t}<\ln\Big(\dfrac{1}{196}\Big)} .\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)>14}\quad\Longleftrightarrow\quad {-0,3t}<-\ln196}$

${ \white{ xxi } }$ $.\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)>14}\quad\Longleftrightarrow\quad t>\dfrac{-\ln196}{-0,3}} .\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(t)>14}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t>\dfrac{\ln196}{0,3}}}$
Par conséquent, l'ensemble des solutions dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ de l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)>14 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{S=\left]\dfrac{\ln196}{0,3}\;;\;+\infty\right[} }$

Interprétons le résultat dans le contexte de l'exercice.

Une valeur approchée au centième près de $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\ln196}{0,3} }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 17,59. }$
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 2024+17=2014 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { 2024+18=2042. }$

Donc, la surface recouverte par la posidonie commencera à dépasser les 14 hectares entre les années 2041 et 2042.

_{Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir élaboré cette contribution.}

Publié par malou le 19-07-2025

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