Fiche de mathématiques

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Bac Spécialité Mathématiques 2025

Métropole (remplacement) Jour 1

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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$\white {www}$

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4 points

exercice 4

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Bac spécialité maths 2025

Métropole (remplacement) Jour 1

5 points

exercice 1

Partie A

On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E):y'+0,4y=\text e^{-0,4t} }$ où $\overset{ { \white{ -. } } } { y }$ est une fonction de la variable réelle $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ .

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ qui sont solutions de cette équation.

1. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { u(t)=t\,\text e^{-0,4t} }$ .
${ \white{ xx } }$ Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { u'(t) }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ .

${ \white{ xxi } }$ $u'(t)=(t\,\text e^{-0,4t})' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u'(t)}=t'\times\text e^{-0,4t}+t\times (\text e^{-0,4t})' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u'(t)}=1\times\text e^{-0,4t}+t\times (-0,4\,\text e^{-0,4t}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u'(t)}=\text e^{-0,4t}-0,4t\,\text e^{-0,4t} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u'(t)}=(1-0,4t)\,\text e^{-0,4t} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u'(t)=(1-0,4t)\,\text e^{-0,4t}}$

Vérifions que $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $u'(t)+0,4u(t)=(1-0,4t)\,\text e^{-0,4t}+0,4t\,\text e^{-0,4t} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u'(t)+0,4u(t)}=\text e^{-0,4t}-0,4t\,\text e^{-0,4t}+0,4t\,\text e^{-0,4t} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u'(t)+0,4u(t)}=\text e^{-0,4t}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{u'(t)+0,4u(t)=\text e^{-0,4t}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { u }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

2. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ une fonction définie et dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .
${ \white{ xxi } }$ On note $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { g(t)=f(t)-u(t) }$ .
${ \white{ xxi } }$ Soit $\overset{ { \white{ _. } } }{ (H) }$ l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { y'+0,4y=0 }$ .

2. a) Nous devons démontrer que si la fonction $\overset{ { \white{-. } } } { g }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (H) }$ , alors la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

Supposons que la fonction $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (H) }$ .
Supposons donc que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in\R,\quad g'(t)+0,4g(t)=0 }$ .
Dans ce cas, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $g'(t)+0,4g(t)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \Big(f(t)-u(t)\Big)'+0,4\Big(f(t)-u(t)\Big)=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t)+0,4g(t)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad f'(t)-u'(t)+0,4f(t)-0,4u(t)=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t)+0,4g(t)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad f'(t)+0,4f(t)=u'(t)+0,4u(t)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t)+0,4g(t)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad f'(t)+0,4f(t)=\text e^{-0,4t}\quad (\text{voir question 1.})}$

D'où la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .

[ On admettra que la réciproque est vraie.

2. b) Nous devons résoudre l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (H) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $y'(t)+0,4y(t)=0\quad\Longleftrightarrow\quad y'(t)=-0,4y(t) \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{y'(t)}{y(t)}=-0,4 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \Big(\ln y(t)\Big)'=(-0,4t)' } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln y(t)=-0,4t+k\quad \text{avec } k\in\R} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad y(t)=\text e^{-0,4t+k}\quad \text{avec } k\in\R}$

${ \white{ WWWWWWWWWW } }$ $\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad y(t)=\text e^{-0,4t}\times \text e^{k}\quad \text{avec } k\in\R} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad y(t)=\text e^{k}\,\text e^{-0,4t}\quad \text{avec } k\in\R} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(t)+0,4y(t)=0} \quad\Longleftrightarrow\quad y(t)=\text C\,\text e^{-0,4t}\quad \text{où } C=\text e^k\in\R}$

Par conséquent, la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { (H) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y(t)=C\text e^{-0,4t}\;,\;C\in \R} . }$

2. c) Nous devons en déduire les solutions de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E). }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est une solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ est solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (H) }$ .
Autrement dit, $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est une solution de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ si et seulement si pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in\R, \quad f(t)=g(t)+u(t) }$ .

Par conséquent, les solutions de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ sont les fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définies par $\overset{ { \white{ _. } } } { t\mapsto f(t)=t\,\text e^{-0,4t}+C\,\text e^{-0,4t} }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { C\in\R. }$

2. d) Nous devons déterminer la solution $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0)=1 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(0)=1\quad\Longleftrightarrow\quad 0\times\,\text e^{0}+C\,\text e^{0}=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad 0+C\times1=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{C=1}}$

D'où la solution $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0)=1 }$ est définie par $\overset{ { \white{ _. } } } {f(t)=t\,\text e^{-0,4t}+\text e^{-0,4t}}$ , soit par $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{f(t)=(t+1)\text e^{-0,4t}}}$

Partie B

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.
La glycémie en g.L^-1, en fonction du temps $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ , exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\; 6] }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=(t+1)\,\text e^{-0,4t} }$ .

1. a) Nous devons montrer que, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t \in [0\; ; \;6],\quad f'(t) = (-0,4t +0,6)\, \text e^{-0,4t} }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in[0\;;\;6], }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(t)=\Big((t+1)\,\text e^{-0,4t}\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(t)}=(t+1)'\times\text e^{-0,4t}+(t+1)\times(\text e^{-0,4t} )'} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(t)}=1\times\text e^{-0,4t}+(t+1)\times(-0,4\,\text e^{-0,4t} )} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(t)}=\text e^{-0,4t}-0,4t\,\text e^{-0,4t}-0,4\,\text e^{-0,4t} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(t)}=-0,4t\,\text e^{-0,4t}+0,6\,\text e^{-0,4t} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(t)}=(-0,4t+0,6)\,\text e^{-0,4t} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,t\in[0\;;\;6],\quad f'(t)=(-0,4t+0,6)\,\text e^{-0,4t} }$

1. b) Nous devons étudier les variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;6] }$ puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;6] }$ , le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(t) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } {-0,4t+0,6 }$ .

D'où le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(t) }$ et de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;6]. }$

${ \white{ WWWW } } \begin{matrix}-0,4t+0,6<0\quad\Longleftrightarrow\quad -4t+6<0\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -0,4t+0,6< } \quad\Longleftrightarrow\quad -4t<-6 }\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -0,4t+0, } \quad\Longleftrightarrow\quad t>\dfrac 64 }\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ -0,4t+0, } \quad\Longleftrightarrow\quad t>1,5 }\\\\-0,4t+6=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=1,5\\\\-0,4t+6>0\quad\Longleftrightarrow\quad t<1,5\\\\f(0)=(0+1)\,\text e^0=1\\\\f(1,5)=(1,5+1)\,\text e^{-0,6}=2,5\,\text e^{-0,6}\\\\f(6)=(6+1)\,\text e^{-2,4}=7\,\text e^{-2,4}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\t&0&&1,5&&6\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\-0,4t+0,6&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\f'(t)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&2,5\,\text e^{-0,6}&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&1&&&&7\,\text e^{-2,4}\\\hline \end{array}$

2. Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à 0,7 g.L^-1.

2. a) Nous devons démontrer que sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;6] }$ l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=0,7 }$ admet une unique solution que l'on notera $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=0,7 }$ n'admet pas solution dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;1,5] }$ .

Nous observons par le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ que $\overset{ { \white{ . } } } {f(x)\geq 1 }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;1,5] }$ .
Dès lors, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=0,7 }$ ne peut pas admettre de solution dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;1,5] }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=0,7 }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1,5\;;\;6] }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [1,5\;;\;6] }$ .
De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}f(1,5)=2,5\,\text e^{-0,6}\approx1,372>0,7\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {f(6)=7\,\text e^{-2,4}\approx0,635<0,7}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0,7\in\;\left[f(6)\;;\;f(1,5)\,\right]} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha \in\; [1,5\;;\;6] }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=0,7 }$ .
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { ft)=0,7 }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1,5\;;\;6] }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En conclusion, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t)=0,7 }$ admet une unique solution sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;6]}$ .

2. b) Déterminons au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est en hypoglycémie.

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha\approx5,615 }$ , ce qui représente 5,615 heures.
Or 0,615 heure équivaut à $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,615\times 60=36,9 }$ minutes.

Par conséquent, cette personne est en hypoglycémie au bout de 5 heures 37 minutes après avoir pris son repas.

3. On souhaite déterminer la glycémie moyenne en g.L^-1 chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.

3. a) À l'aide d'une intégration par parties, nous devons montrer que :

$\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_0^6 f(t)\,\text dt=-23,75\,\gtext e^{-2,4}+8,75 }$

Calculons $\overset{ { \white{ } } } { \displaystyle\int_0^6 f(t)\,\text dt }$ , soit $\overset{ { \white{ } } } { \displaystyle\int_0^6 (t+1)\,\text e^{-0,4t}\,\text dt }$ par parties.

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^6u(t)v'(t)\,\text{d}t=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]_0^6- \displaystyle\int_0^6u'(t)v(t)\,\text{d}t}}. \\ \\ \begin{cases}u(t)= t+1\quad\Longrightarrow\quad u'(t)=1 \\v'(t)=\text e^{-0,4t}\quad\Longrightarrow\quad v(t)=\dfrac {1}{-0,4}\text e^{-0,4t}=-2,5\text e^{-0,4t}\end{cases}$

$\text{Dès lors }\; \displaystyle\int_0^6(t+1)\,\text e^{-0,4t}\,\text dt=\Big[-2,5(t+1)\,\text e^{-0,4t}\Big]_0^6-\displaystyle\int_0^6-2,5\,\text e^{-0,4t}\,\text dt \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvW}=\Big[-2,5(t+1)\,\text e^{-0,4t}\Big]_0^6+2,5\displaystyle\int_0^6\text e^{-0,4t}\,\text dt} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvW}=\Big[-2,5(t+1)\,\text e^{-0,4t}\Big]_0^6+2,5\Big[-2,5\text e^{-0,4t}\Big]_0^6} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvW}=\Big[-2,5(t+1)\,\text e^{-0,4t}\Big]_0^6-6,25\Big[\text e^{-0,4t}\Big]_0^6}$
$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvW}=\Big(-2,5 \times7\,\text e^{-2,4}+2,5 \,\text e^{0}\Big)-6,25(\text e^{-2,4}-\text e^{0})} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvW}=-17,5\,\text e^{-2,4}+2,5-6,25\,\text e^{-2,4}+6,25} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvW}=-23,75\,\text e^{-2,4}+8,75} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \displaystyle\int_0^6 f(t)\,\text dt=-23,75\,\text e^{-2,4}+8,75}$

3. b) Nous devons calculer la glycémie moyenne en g.L^-1 chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.

Déterminons la valeur moyenne $\overset{ { \white{ . } } } { \mu }$ de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;6] }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\mu=\dfrac{1}{6-0} \displaystyle\int_0^6f(t)\,\text dt \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mu}=\dfrac{1}{6}(-23,75\,\text e^{-2,4}+8,75 )} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mu}=-\dfrac{95}{24}\,\text e^{-2,4}+\dfrac{95}{24}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mu=\dfrac{95}{24}-\dfrac{95}{24}\,\text e^{-2,4}\approx1,099}$ .

Par conséquent, la glycémie moyenne en g.L^-1 chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas est environ égale à 1,10 g.L^-1.

3. c) En remarquant que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ , expliquons comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ .
Donc pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in[0\;;\;6]}$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $f'(t)+0,4f(t)=\text e^{-0,4t}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,4f(t)=\text e^{-0,4t}-f'(t) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(t)+0,4f(t)=\text e^{-0,4t}}\quad\Longleftrightarrow\quad f(t)=\dfrac{1}{0,4}\,\text e^{-0,4t}-\dfrac{1}{0,4}f'(t) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(t)+0,4f(t)=\text e^{-0,4t}}\quad\Longleftrightarrow\quad f(t)=2,5\,\text e^{-0,4t}-2,5f'(t) }$

Nous pouvons alors calculer la glycémie moyenne en g.L^-1 chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas en déterminant la valeur moyenne $\overset{ { \white{ +. } } } { \mu }$ de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;6] }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\mu=\dfrac{1}{6-0} \displaystyle\int_0^6f(t)\,\text dt \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\mu}=\dfrac{1}{6} \displaystyle\int_0^6\Big(2,5\,\text e^{-0,4t}-2,5f'(t) \Big)\,\text dt} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\mu}=\dfrac{1}{6} \Big[\dfrac{2,5}{-0,4}\,\text e^{-0,4t}-2,5f(t) \Big]_0^6} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\mu}=\dfrac{1}{6} \Big[-6,25\,\text e^{-0,4t}-2,5(t+1)\,\text e^{-0,4t} \Big]_0^6}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\mu}=\dfrac{1}{6} \Big[-6,25\,\text e^{-0,4t}-2,5t\,\text e^{-0,4t}-2,5\text e^{-0,4t} \Big]_0^6} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\mu}=\dfrac{1}{6} \Big[-8,75\,\text e^{-0,4t}-2,5t\,\text e^{-0,4t} \Big]_0^6} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\mu}=\dfrac{1}{6} \Big[(-8,75\,\text e^{-2,4}-2,5\times6\times\,\text e^{-2,4})-(-8,75\,\text e^{0}-0) \Big]}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\mu}=\dfrac{1}{6} \Big[-23,75\,\text e^{-2,4}+8,75 \Big]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mu}=-\dfrac{95}{24}\,\text e^{-2,4}+\dfrac{95}{24}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mu=\dfrac{95}{24}-\dfrac{95}{24}\,\text e^{-2,4}\approx1,099}$

Par conséquent, la glycémie moyenne en g.L^-1 chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas est environ égale à 1,10 g.L^-1.

5 points

exercice 2

On considère le cube $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { GH }$ .
On place le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB} }$ .

Bac spécialité maths 2025 Métropole (remplacement) Jour 1 : image 26

Partie A

1. Nous devons montrer que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (FG) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (FM }$ sont perpendiculaires.

Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { ABC }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { GH }$ est un cube, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (FG) }$ est perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ _. } } } {(ABF) }$ .
Donc la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (FG) }$ est orthogonale à toutes les droites du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABF) }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB} \quad\Longrightarrow\quad M\in\text{plan }(ABF) }$ .
Dès lors, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (FM) }$ est incluse dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABF) }$

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (FG) }$ est perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (FM) }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { F. }$

2. Nous devons montrer que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, M, G }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ sont coplanaires.

Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (HG) }$ sont perpendiculaires au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (BGF) }$ .
Ces droites sont donc parallèles.
De plus elles sont disjointes car les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { H, G }$ appartiennent à des arêtes distinctes du cube.
Nous en déduisons que les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (HG) }$ déterminent le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AHG) }$ .

Les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, G, H }$ appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AHG) }$ .
En outre le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ est dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AHG) }$ car il appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AHG) }$ .

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, M, G }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ sont coplanaires car ils appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AHG) }$ .

Partie B

On se place dans le repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}). }$

1. Nous devons déterminer les coordonnées des vecteurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{GM} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AH} }$ et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}G(1\;;\;1\;;\;1)\\ \overset{ { \white{ . } } } { M(2\;;\;0\;;\;0)}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ GM }\begin{pmatrix}2-1\\0-1\\0-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overset{ { \phantom{ . } } } { \overrightarrow{ GM }\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}}} } \\\\ \begin{cases}A(0\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { H(0\;;\;1\;;\;1)}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{ AH }\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}} }$

Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles.

En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} \dfrac{x_{\overrightarrow{AH}}}{x_{\overrightarrow{GM}}} =\dfrac{0}{1}=0\\\\ \dfrac{y_{\overrightarrow{AH}}}{y_{\overrightarrow{GM}}} =\dfrac{1}{-1}=-1 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \dfrac{x_{\overrightarrow{AH}}}{x_{\overrightarrow{GM}}} \neq \dfrac{y_{\overrightarrow{AH}}}{y_{\overrightarrow{GM}}}} }$

Donc les vecteurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{GM} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AH} }$ ne sont pas colinéaires.

2. a) Nous devons justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (GM) }$ est :

$\begin{cases}x=1+t\\y=1-t\quad\text {avec }t\in\R.\\z=1-t\end{cases}$

Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (GM). }$
Un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ . } } } { (GM) }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{GM}\,\begin{pmatrix}{\red{1}}\\ {\red{-1}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix} }$
Le point $\overset{ { \white{ . } } } { G\,({\blue{1}}\;;\;{\blue{1}}\;;\;{\blue{1}}) }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (GM). }$

D'où une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (GM)}$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\begin{cases}x={\blue{1}}+{\red{1}}\times t\\ {y={\blue{1}}+{\red{(-1)}}\times t}\\z={\blue{1}}+{\red{(-1)}}\times t\end{cases}\right.\quad (t\in\R) }$
soit $\begin{cases}x=1+t\\y=1-t\quad\text {avec }t\in\R.\\z=1-t\end{cases}$

2. b) On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (AH) }$ est :

$\overset{ { \white{ _. } } } {\begin{cases}x=0\\y=k\quad\text {avec }k\in\R.\\z=k\end{cases} }$
Nous devons montrer que le point d'intersection de $\overset{ { \white{ _. } } } { (GM) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (AH) }$ , que l'on nommera $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ , a pour coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (0\;;\;2\;;\;2) }$ .

Nous allons démontrer qu'il existe $\overset{ { \white{ _. } } } { (k\;;\;t)\in\R^2 :\quad \begin{cases}0=1+t\\k=1-t\\\overset{ { \white{ _. } } } {k=1-t} \end{cases} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}0=1+t\\k=1-t\\\overset{ { \white{ _. } } } {k=1-t} \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}0=1+t\\k=1-t\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} k=\dfrac 12 + \dfrac 12 t\\\dfrac k2=t\end{cases} }\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}t=-1\\k=1+1\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} k=\dfrac 12 + \dfrac 12 t\\\dfrac k2=t\end{cases} }\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases} t=-1\\k=2\end{cases}} }$
Par conséquent, le point d'intersection $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ des droites $\overset{ { \white{ _. } } } { (GM) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (AH) }$ est de paramètre $\overset{ { \white{ _. } } } { k= 2 }$ dans la représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { (AH) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { t=-1 }$ dans la représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { (GM) }$ .

Les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ sont alors $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{ N\left(0\;;\;2\;;\;2\right)} . }$

3. a) Nous devons montrer que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AMN }$ est un triangle rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}A(0\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \white{ . } } } { M(2\;;\;0\;;\;0)}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{ AM }\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} \\\\ \begin{cases}A(0\;;\;0\;;\;0)\\ \overset{ { \white{ . } } } { N(0\;;\;2\;;\;2)}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{ AN }\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\quad \overrightarrow{ AM }\cdot \overrightarrow{ AN }=2\times0+0\times2+0\times2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow\quad \overrightarrow{ AB }\cdot \overrightarrow{ BG }}=0+0+0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \Longrightarrow\quad \overrightarrow{ AB }\cdot \overrightarrow{ BG }}=0}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{ AM }\cdot \overrightarrow{ AN }=0}$

Dès lors, les vecteurs $\overrightarrow{ AM }$ et $\overrightarrow{ AN }$ sont orthogonaux.

Par conséquent, le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AMN }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .

3. b) Nous devons calculer l'aire de ce triangle.

Nous savons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AMN }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .

Choisissons $\overset{ { \white{ _. } } } { [AM] }$ comme base du triangle.
Dans ce cas, la hauteur relative à cette base est $\overset{ { \white{ _. } } } { [AN] }$ .

L'aire du triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { AMN }$ est donnée par $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{S}_{AMN}=\dfrac{AM\times AN}{2} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}AM=\sqrt{2^2+0^2+0^2}=\sqrt{4} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{AM=2} \\\\\bullet{\white{x}}AN=\sqrt{0^2+2^2+2^2}=\sqrt{8} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{AN=2\sqrt 2}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal{S}_{AMN}=\dfrac{AM\times AN}{2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{S}_{AMN}}=\dfrac{2\times 2\sqrt 2}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{S}_{AMN}}=2\sqrt 2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \mathcal{S}_{AMN}=2\sqrt 2\text{ (u.a.)}}$

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ le centre de la face $\overset{ { \white{ _. } } } { BCGF }$ .

4. a) Nous devons déterminer les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ .

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ est le milieu de la diagonale $\overset{ { \white{ _. } } } { [BG] }$ du carré $\overset{ { \white{ _. } } } { BCGF }$ .
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}B\,(1\;;\;0\;;\;0)\\G\,(1\;;\;1\;;\;1) \end{cases}\quad \Longrightarrow\quad J\,\left(\dfrac{1+1}{2}\;;\;\dfrac{0+1}{2}\;;\;\dfrac{0+1}{2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases}B\,(1\;;\;0\;;\;0)\\G\,(1\;;\;1\;;\;1) \end{cases}}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{J\,\left(1\;;\;\dfrac{1}{2}\;;\;\dfrac{1}{2}\right) }}$

4. b) Nous devons montrer que le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{FJ} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$ .

Montrons que $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {FJ} }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overset{ { \white{. } } } { \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} }$ et $\overset{ { \white{.} } } { \overrightarrow{AN} \begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix} }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (AMN). }$

$\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Or }\quad\begin{cases}F\,(1\;;\;0\;;\;1)\\J\,\left(1\;;\;\dfrac{1}{2}\;;\;\dfrac{1}{2}\right) \end{cases}\quad \Longrightarrow\quad \overrightarrow{FJ}\,\left(1-1\;;\;\dfrac{1}{2}-0\;;\;\dfrac{1}{2}-1\right)} \\ \phantom{\text{Or }\quad\begin{cases}F\,(1\;;\;0\;;\;1)\\J\,\left(1\;;\;\dfrac{1}{2}\;;\;\dfrac{1}{2}\right) \end{cases}}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{FJ}\,\left(0\;;\;\dfrac{1}{2}\;;\;-\dfrac{1}{2}\right) }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad \overrightarrow{FJ} \cdot \overrightarrow{AM} =0\times2+\dfrac 12\times0-\dfrac 12\times0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}} =0+0-0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}} =0} \\\\\qquad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{FJ} \cdot \overrightarrow{AM} =0}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad \overrightarrow{FJ} \cdot \overrightarrow{AN} =0\times0+\dfrac 12\times2-\dfrac 12\times2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}} =0+1-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}} =0} \\\\\qquad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{FJ} \cdot \overrightarrow{AN} =0}$

Dès lors, le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {FJ} }$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires ${ \overrightarrow{AM} }$ et ${ \overrightarrow{AN} }$ du plan $\overset{ { \white{ . } } } { (AMN). }$
Par conséquent, le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {FJ} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (AMN). }$

4. c) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$ et en déduire qu'il est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$ .

Déterminons une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$ .
Nous savons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {FJ}\begin{pmatrix}0\\\dfrac 12\\\overset{ { \white{ _. } } } {-\dfrac 12}\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } {(AMN). }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(AMN) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 12 y -\dfrac 12 z + d = 0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {A(0\;;\;0\;;\;0) }$ appartient à ce plan $\overset{ { \white{ . } } } {(AMN). }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {0-0+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=0. }$
D'où une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {(AMN) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \dfrac12 y -\dfrac 12 z = 0}\,. }$
Montrons que les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ vérifient l'équation du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$ .

En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac12 \times \dfrac12 -\dfrac 12 \times \dfrac12 =\dfrac14 -\dfrac14 =0 }$ .

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$

De plus, puisque le point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$ et à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (FJ) }$ , nous en déduisons que ce point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ est le point de percée de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (FJ) }$ dans le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$ .
Or nous avons montré que le vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow {FJ} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (AMN). }$

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { J }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ sur le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (AMN) }$ .

5. On rappelle que le volume $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal V }$ d'un tétraèdre ou d'une pyramide est donné par la formule : $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal V=\dfrac 13\times \mathcal B \times h }$ , $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal B }$ étant l'aire d'une base et $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ la hauteur relative à cette base.

Nous devons montrer que le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ } } } { AMNF }$ est le double du volume de la pyramide $\overset{ { \white{ _. } } } { BCGFM }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ } } } { AMNF }$ .

$\mathcal V_{AMNF}=\dfrac 13\times \mathcal{S}_{AMN}\times FJ \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal V_{AMNF}}=\dfrac 13\times2\sqrt 2\times FJ }$

${ \white{ xxi } }$ Or ${\white{x}} FJ=\sqrt{0^2+\left(\dfrac 12\right)^2+\left(\dfrac 12\right)^2} =\sqrt{\dfrac 14+\dfrac 14} =\sqrt{\dfrac 24} =\dfrac {\sqrt 2}{2}$

${ \white{ xxi } }$ $\Longrightarrow\quad\boxed{FJ=\dfrac {\sqrt 2}{2} }$

$\text{Donc}\quad \mathcal {V_{AMNF}}=\dfrac 13\times2\sqrt 2\times FJ \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Donc}\quad \mathcal {V_{AMNF}}}=\dfrac 13\times2\sqrt 2\times \dfrac {\sqrt 2}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Donc}\quad \mathcal {V_{AMNF}}}=\dfrac 23} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \mathcal {V_{AMNF}}=\dfrac 23}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le volume de la pyramide $\overset{ { \white{ _. } } } { BCGFM }$ .

$\mathcal V_{BCGFM}=\dfrac 13\times \mathcal{S}_{BCGF}\times MB \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal V_{BCGFM}}=\dfrac 13\times(1\times1)\times1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal V_{BCGFM}}=\dfrac 13 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal V_{BCGFM}=\dfrac 13}$

Donc le volume du tétraèdre $\overset{ { \white{ } } } { AMNF }$ est le double du volume de la pyramide $\overset{ { \white{ _. } } } { BCGFM }$ .

6 points

exercice 3

Partie A

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } {[2\;;\;+\infty[ }$ par : $f(x)=\sqrt{3x-2}.$

1. Nous devons justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :

${\white{WWWWW}}$

Bac spécialité maths 2025 Métropole (remplacement) Jour 1 : image 24

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La fonction est parfaitement définie et est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {[2\;;\;+\infty[. }$
${ \white{ xx } }$ En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad x\geq2\quad\Longrightarrow\quad 3x\geq6 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad x\geq2}\quad\Longrightarrow\quad 3x-2\geq4 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad x\geq2}\quad\Longrightarrow\quad 3x-2>0 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad 3x-2>0 }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}f(2)=\sqrt{3\times2-2}=\sqrt{4}=2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(2)=2}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}3x-2=+\infty\\\lim\limits_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{3x-2}=+\infty\qquad (X=3x-2) \\ { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}3x-2=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions la croissance de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;+\infty[. }$

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad f'(x)=\Big(\sqrt{3x-2}\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{(3x-2)'}{2\sqrt{3x-2}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad f'(x)>0}$

${ \white{ xx } }$ Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;+\infty[. }$

On admet que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ vérifiant $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=6 }$ et, pour tout $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ entier naturel, $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{n+1}=f(u_n) }$ est bien définie.

2. a) Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ entier naturel : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 6 }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{2\leq u_1 \leq u_{0} \leq 6.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases}u_0=6\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { u_1=f(u_0)=f(6)=\sqrt{3\times6-2}=4}\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2\leq u_1 \leq u_{0} \leq 6}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ 2\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 6}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ 2\leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 6 .}$

En effet, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Puisque nous avons observé dans la question 1) que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;+\infty[ }$ et donc sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;6] }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $2\leq u_{n+1}\leq u_{n}\leq 6\quad\Longrightarrow\quad {\red{f(2)\leq f(u_{n+1})\leq f(u_{n})\leq f(6)}}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} f(2)=\sqrt{3\times2-2}=\sqrt 4=2\\f(6)=\sqrt{3\times6-2}=\sqrt {16}=4 \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\begin{cases} f(2)=2\\f(6) =4\end{cases}} }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { 2\leq{\red{f(2)\leq f(u_{n+1})\leq f(u_{n})\leq f(6)}}\leq6, }$

soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{2\leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 6} }$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } {2\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 6. }$

2. b) Nous devons en déduire que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ converge.

Nous avons montré dans la question 2. a) que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est décroissante et minorée par 2.
Cette suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est donc convergente.
Nous noterons $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ sa limite et observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell\geq 2 }$ .

3. On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ est la solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x }$ .
${ \white{ xx } }$ Nous devons déterminer la valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=x\quad \Longleftrightarrow\quad\sqrt{3x-2}=x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad \Longleftrightarrow\quad3x-2=x^2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad \Longleftrightarrow\quad x^2-3x+2=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad \Longleftrightarrow\quad (x-1)(x-2)=0 }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad \Longleftrightarrow\quad x-1=0\quad\text{ou}\quad x-2=0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=x}\quad \Longleftrightarrow\quad x=1\quad\text{ou}\quad x=2 }$

La valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ est à rejeter car $\overset{ { \white{ _. } } } {\ell\geq 2 }$ .

Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\ell = 2} }$ .

4. On considère la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { \textbf{rang} }$ écrite ci-dessous en langage Python.

Bac spécialité maths 2025 Métropole (remplacement) Jour 1 : image 22

4. a) Nous devons justifier pourquoi on peut affirmer que $\overset{ { \white{ . } } } { \textbf{rang(2.000001)} }$ renvoie une valeur.

La suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est décroissante et converge vers 2.
Dès lors, il existe un rang $\overset{ { \white{ +. } } } { n_0 }$ tel que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n\geq n_0,\quad 2\leq u_n\leq 2,000001. }$

L'instruction $\overset{ { \white{ . } } } { \textbf{rang(2.000001)} }$ renvoie ici la valeur de $\overset{ { \white{ +. } } } { n_0. }$
Dans le cas de $\overset{ { \white{ . } } } { \textbf{rang(2.000001)} }$ , la valeur renvoyée est 49.

4. b) L'instruction $\overset{ { \white{ . } } } { \textbf{rang(a)} }$ renvoie un résultat pour $\overset{ { \white{ . } } } { a>2 }$ .

Partie B

On admet que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ vérifiant $\overset{ { \white{ _. } } } { v_0=6 }$ et, pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ , entier naturel, $\overset{ { \white{ _. } } } { v_{n+1} = 3-\dfrac{2}{v_n} }$ est bien définie.

1. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { v_1 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $v_{1} = 3-\dfrac{2}{v_0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{1} }= 3-\dfrac{2}{6} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{1} }= 3-\dfrac{1}{3} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{1} }= \dfrac{8}{3} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{v_1=\dfrac 83}$

2. Pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ entier naturel, on admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { v_n\neq 2 }$ et on pose : $\overset{ { \white{ _. } } } { w_n=\dfrac{v_n-1}{v_n-2} }$ .

2. a) Nous devons démontrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.

Soit $\overset{ { \white{ +. } } } { n }$ un entier naturel quelconque.

${ \white{ xxi } }$ $w_{n+1}=\dfrac{v_{n+1}-1}{v_{n+1}-2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac{3-\dfrac{2}{v_n}-1}{3-\dfrac{2}{v_n}-2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac{2-\dfrac{2}{v_n}}{1-\dfrac{2}{v_n}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{2v_n-2}{v_n}}{\dfrac{v_n-2}{v_n}} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac{2v_n-2}{v_n-2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=\dfrac{2(v_n-1)}{v_n-2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=2\times\dfrac{v_n-1}{v_n-2} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ w_{n+1}}=2\times w_n } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{w_{n+1}=2w_n }$

D'où la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=2 }$ et son premier terme est $\overset{ { \white{ _. } } } { w_0=\dfrac{6-1}{6-2}=\dfrac 54=1,25 \,. }$

2. b) On admet que pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ entier naturel, $\overset{ { \white{ _. } } } {w_n-1=\dfrac{1}{v_n-2} }$ .
Nous devons en déduire que, pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ entier naturel, $\overset{ { \white{ _. } } } {v_n=2+\dfrac{1}{1,25\times 2^n-1} }$ .

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (w_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{w_n=w_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad\boxed{w_n=1,25\times2^n}}$

Nous obtenons ainsi :

$\forall\ n\in\N,\quad \begin{cases}w_n-1=\dfrac{1}{v_n-2} \\w_n=1,25\times2^n\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}v_n-2=\dfrac{1}{w_n-1} \\w_n=1,25\times2^n\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\ n\in\N,\quad \begin{cases}w_n-1=\dfrac{1}{v_n-2} \\w_n=1,25\times2^n\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad v_n-2=\dfrac{1}{1,25\times2^n-1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\ n\in\N,\quad \begin{cases}w_n-1=\dfrac{1}{v_n-2} \\w_n=1,25\times2^n\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_n=2+\dfrac{1}{1,25\times2^n-1} }}$

2. c) Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $2>1\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2>1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}1,25\times2^n=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2>1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\Big(1,25\times2^n-1\Big)=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2>1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{1,25\times2^n-1}=0 }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2>1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2+\dfrac{1}{1,25\times2^n-1}\right)=2 }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ W. } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=2} }$ .

3. Nous devons déterminer le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ pour lequel $\overset{ { \white{ _. } } } { v_n<2,01 }$ .

Résolvons l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { v_n<2,01 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $v_n<2,01 \quad\Longleftrightarrow\quad 2+\dfrac{1}{1,25\times2^n-1}<2,01 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<2,01} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{1,25\times2^n-1}<0,01} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<2,01} \quad\Longleftrightarrow\quad 1,25\times2^n-1>100\quad(\text{car }1,25\times2^n-1>0)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<2,01} \quad\Longleftrightarrow\quad 1,25\times2^n>101}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<2,01} \quad\Longleftrightarrow\quad2^n>\dfrac{101}{1,25}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<2,01} \quad\Longleftrightarrow\quad2^n>80,8} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<2,01} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln(2^n)>\ln(80,8)}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<2,01} \quad\Longleftrightarrow\quad n\times \ln(2)>\ln(80,8)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_n<2,01} \quad\Longleftrightarrow\quad n>\dfrac{\ln(80,8)}{ \ln(2)}\quad(\text{car }\ln(2)>0)} \\\\\text{Or }\dfrac{\ln(80,8)}{ \ln(2)}\approx 6,34$

D'où le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ pour lequel $\overset{ { \white{ _. } } } { v_n<2,01 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{n=7} }$ .

Partie C

À l'aide des parties précédentes, nous devons déterminer le plus petit entier $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ tel que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n > N }$ , les termes $\overset{ { \white{. } } } { v_n }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_n }$ appartiennent à l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]1,99\;;\; 2,01[ }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ À propos de $\overset{ { \white{. } } } { u_n }$ :

Nous pouvons déterminer $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ par la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { \textbf{rang} }$ .

L'instruction $\overset{ { \white{ _. } } } { \textbf{rang(2.01)} }$ renvoie la valeur 17.
Cela signifie que $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{ n\geq \textbf{17} } }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{u_n<2,01} }$ .
De plus, nous savons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n ,\quad u_n\geq 2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_n>1,99}} }$ .

Par conséquent, le plus petit entier $\overset{ { \white{ _. } } } { N_1 }$ tel que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n > N_1 }$ , les termes $\overset{ { \white{ . } } } { u_n }$ appartiennent à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]1,99\;;\; 2,01[ }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{N_1=17} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ À propos de $\overset{ { \white{. } } } { v_n }$ :

Nous avons montré dans la Partie B question 3. que le plus petit entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ pour lequel $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ v_n<2,01} }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{n=7} }$ .

De plus, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $2^n\geq 1\quad\Longrightarrow\quad 1,25\times 2^n\geq 1,25 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2^n\geq 1}\quad\Longrightarrow\quad 1,25\times 2^n-1\geq 0,25 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2^n\geq 1}\quad\Longrightarrow\quad 1,25\times 2^n-1>0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2^n\geq 1}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{1,25\times 2^n-1}>0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2^n\geq 1}\quad\Longrightarrow\quad 2+\dfrac{1}{1,25\times 2^n-1}>2 >1,99 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2^n\geq 1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_n>1,99} }$

D'où, le plus petit entier $\overset{ { \white{ _. } } } { N_2 }$ tel que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n > N_2 }$ , les termes $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ appartiennent à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]1,99\;;\; 2,01[ }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{N_2=7} }$ .

Pour que les termes $\overset{ { \white{. } } } { u_n }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ appartiennent simultanément à l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]1,99\;;\; 2,01[ }$ , il faut que $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ vérifie simultanément les conditions $\overset{ { \white{ _. } } } { n>17 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { n>7 }$ .
Ces deux conditions ne seront réalisées que si $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ est strictement supérieur à 17.

Par conséquent, le plus petit entier $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ tel que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n > N }$ , les termes $\overset{ { \white{. } } } { v_n }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { u_n }$ appartiennent à l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]1,99\;;\; 2,01[ }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{N=17} }$ .

4 points

exercice 4

Un musée propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent être achetés en ligne ou directement au guichet.

1. Lorsqu'une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu'elle confirme son achat.
${ \white{ xx } }$ Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.

${ \white{ xx } }$ Affirmation 1 : Le nombre de codes différents pouvant être générés est 5040.
${ \white{ xx } }$ Affirmation fausse.

Le premier chiffre est différent de 0.
Il y a donc 9 possibilités pour le premier chiffre (de 1 à 9).

Le deuxième chiffre peut être 0 mais ne peut pas être égal au premier chiffre.
Il y a donc 9 possibilités pour le deuxième chiffre (de 0 à 9 sauf le premier chiffre).

Le troisième chiffre sera choisi parmi les 8 chiffres restants.
Il y a donc 8 possibilités pour le troisième chiffre .

Le quatrième chiffre sera choisi parmi les 7 chiffres restants.
Il y a donc 7 possibilités pour le quatrième chiffre .

Par conséquent, le nombre de codes que l'on peut ainsi générer est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { 9\times9\times8\times 7=\boxed{4536} }$
L'affirmation 1 est donc fausse.

2. Une étude a permis de considérer que :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la probabilité qu'une personne choisisse l'audioguide sachant qu'elle a acheté son billet en ligne est égale à 0,8;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la probabilité qu'une personne achète son billet en ligne est égale à 0,7;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la probabilité qu'une personne opte pour une visite sans audioguide est égale à 0,32.

${ \white{ xx } }$ Affirmation 2 : La probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a acheté son billet au guichet est supérieure à deux tiers.
${ \white{ xx } }$ Affirmation fausse.

Définissons les événements suivants :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ : ''La personne a choisi l'autoguide''
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ : ''La personne a acheté son billet en ligne''.

Calculons la probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a acheté son billet au guichet, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P_{\overline{L}}(\overline{A}) }$

Dressons un arbre de probabilité modélisant la situation tout en sachant que $\overset{ { \white{ _. } } } {P(\overline{A})=0,32. }$

Bac spécialité maths 2025 Métropole (remplacement) Jour 1 : image 25

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ _. } } } { P_{\overline{L}}(\overline{A}) }$

${ \white{ xxi } }$ $P_{\overline{L}}(\overline{A})=\dfrac{P(\overline{L}\cap \overline{A})}{P(\overline{L})}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ P_{\overline{L}}(\overline{A})=\dfrac{P(\overline{L}\cap \overline{A})}{0,3} }$

Les événements   $\overset{{\white{_.}}}{L}$ et   $\overset{{\white{}}}{\overline L}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(\overline{A})=P(L\cap \overline{A})+P(\overline L\cap \overline{A}) \quad\Longleftrightarrow\quad0,32=P(L)\times P_L( \overline{A})+P( \overline{L})\times P_{ \overline{L}}( \overline{A}) \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(\overline{A})=P(L\cap \overline{A})+P(\overline L\cap \overline{A})}\quad\Longleftrightarrow\quad0,32=0,7\times 0,2+0,3\times P_{ \overline{L}}( \overline{A})} \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(\overline{A})=P(L\cap \overline{A})+P(\overline L\cap \overline{A})}\quad\Longleftrightarrow\quad0,32=0,14+0,3\times P_{ \overline{L}}( \overline{A})} \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(\overline{A})=P(L\cap \overline{A})+P(\overline L\cap \overline{A})}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,3\times P_{ \overline{L}}( \overline{A})=0,18}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(\overline{A})=P(L\cap \overline{A})+P(\overline L\cap \overline{A})}\quad\Longleftrightarrow\quad P_{ \overline{L}}( \overline{A})=\dfrac{0,18}{0,3}} \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(\overline{A})=P(L\cap \overline{A})+P(\overline L\cap \overline{A})}\quad\Longleftrightarrow\quad P_{ \overline{L}}( \overline{A})=0,6} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_{ \overline{L}}( \overline{A})=0,6}$

Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,6<\dfrac 23 }$ , la probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a acheté son billet au guichet est strictement inférieure à deux tiers.
L'affirmation 2 est donc fausse.

3. On choisit au hasard 12 visiteurs de ce musée.
${ \white{ xx } }$ On suppose que le choix de l'option ''audioguide'' est indépendant d'un visiteur à l'autre.
${ \white{ xx } }$ Affirmation 3 : La probabilité qu'exactement la moitié de ces visiteurs opte pour l'audioguide est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { 924\times 0,2176^6 }$ .
${ \white{ xx } }$ Affirmation vraie.

Lors de cette expérience, on répète 12 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' le visiteur a opté pour l'autoguide '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=1-0,32=0,68}$ ;
Echec : '' le visiteur n'a pas opté pour l'autoguide '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {0,32 }$ .
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    compte le nombre de visiteurs ayant opté pour l'autoguide, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(12\,;\,0,68\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}12\\k\end{pmatrix}\times0,68^k\times0,32^{ 12-k } }$

Nous devons déterminer la probabilité qu'exactement la moitié de ces visiteurs opte pour l'audioguide, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X=6). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(X=6)=\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}\times0,68^k\times0,32^{ 12-6 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(X=6)}=\dfrac{12!}{6!\times 6!}\times0,68^k\times0,32^{ 6 }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(X=6)}=924\times\left(0,68\times0,32\right)^{ 6 }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{P(X=6)}=924\times0,2176^{ 6 }} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=6)=924\times0,2176^{ 6 }}$

L'affirmation 3 est donc vraie.

4. Lorsqu'une personne dispose d'un audioguide, elle peut choisir parmi trois parcours :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ un premier d'une durée de cinquante minutes,
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ un deuxième d'une durée d'une heure et vingt minutes,
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ un troisième d'une durée d'une heure et quarante minutes.

Le temps de parcours peut être modélisé par une variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

${ \white{ WWWW } }$ $\begin{array}{|c|cccc|cccc|cccc|}\hline &&&&&&&&&&&&\\x_i&&&\text{50 min}&&&&\text{1 h 20 min}&&&&\text{1 h 40 min}&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&\\P(X=x_i)&&&0,1&&&&0,6&&&&0,3&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

${ \white{ xx } }$ Affirmation 4 : L'espérance de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ est 77 minutes.
${ \white{ xx } }$ Affirmation fausse.

Supposons que le temps de parcours est exprimé en minutes.
Nous savons que 1 h 20 min représente 80 minutes et 1 h 40 min représente 100 minutes.

Dans ce cas, l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ est donnée par :

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=50\times 0,1+80\times 0,6+100\times 0,3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)}=5+48+30} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)}=83} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=83}$

Donc l'espérance de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ est 83 minutes.
L'affirmation 4 est donc fausse.

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution}

Publié par malou le 05-12-2025

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