Fiche de mathématiques

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Bac Spécialité Mathématiques 2025

Métropole (contrôle) Jour 2

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

6 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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4 points

exercice 3

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5 points

exercice 4

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Voir la correction

Bac spécialité maths 2025

Métropole (remplacement) Jour 2

6 points

exercice 1

Partie A - Premier modèle

À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à 0,4;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre.

On note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.

1. Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' El Niño est dominant '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,4}$ ;
Echec : '' El Niño n'est pas dominant '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,6 }$ .
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ compte le nombre d'années où El Niño est dominant, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(10\,;\,0,4\right) }$ .

Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times0,4^k\times0,6^{ 10-k } }$

2. a) Nous devons calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.

${ \white{ xxi } }$ Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X=2). }$

${ \white{ xxi } }$ $P(X=2)=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\times0,4^2\times0,6^{ 10-2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=2)}=\dfrac{10\times 9}{2}\times0,4^2\times0,6^{ 8 }} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X=2)}\approx 0,1209 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=2)\approx0,1209}$

D'où la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années est environ égale à 0,1209.

2. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X\leq 2) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X\leq2)}\approx\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\times0,4^0\times0,6^{ 10-0 }+\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\times0,4^1\times0,6^{ 10-1 }+0,1209 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X\leq2)}\approx1\times1\times0,6^{ 10 }+10\times0,4\times0,6^{ 9 }+0,1209 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X\leq2)}\approx0,1673 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X\leq2)\approx 0,1673}$

Donc la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant au plus 2 années est environ égale à 0,1673.

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { E(X) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=n\times p \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)}=10\times 0,4 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(X)}=4} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=4}$

Nous pouvons donc estimer qu'en moyenne, sur une période de 10 ans, El Niño est dominant pendant 4 ans.

Partie B - Second modèle

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est 0,5
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est 0,3.

On considère que l'année de référence est 2023.
On note pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { E_n }$ l'événement '' le phénomène El Niño est dominant l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { 2023+n }$ '';
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { p_n }$ la probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { E_n }$ .
En 2023, El Niño n'était pas dominant. On a ainsi $\overset{ { \white{ _. } } } { p_0=0 }$ .

1. Arbre pondéré complété.

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2. Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { p_1=0,3 }$ .

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { p_0=0 }$ , soit que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(E_0)=0 }$ .
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\overline{E_0})=1 }$ .

Nous obtenons ainsi l'arbre de probabilité suivant :

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Les événements $\overset{{\white{_.}}}{E_0}$ et $\overset{{\white{}}}{\overline{E_0}}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(E_1)=P(E_0\cap E_1)+P(\overline {E_0}\cap E_1) \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(E_1)}=P(E_0)\times P_{E_0}(E_1)+P(\overline{E_0})\times P_{\overline{E_0}}(E_1) } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(E_1)}=0\times 0,5+1\times 0,3 } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(E_1)}=0,3 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(E_1)=0,3}$

Par conséquent, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{p_1=0,3} }$

3. Nous devons montrer que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ , on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { p_{n+1}=0,2p_n+0,3 }$ .

Aidons-nous de l'arbre pondéré de la Partie B - question 1.

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{E_n}$ et $\overset{{\white{}}}{\overline{E_n}}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(E_{n+1})=P(E_n\cap E_{n+1})+P(\overline {E_n}\cap E_{n+1}) \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(E_{n+1})}=P(E_n)\times P_{E_n}(E_{n+1})+P(\overline{E_n})\times P_{\overline{E_n}}(E_{n+1}) } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(E_{n+1})}=p_n\times 0,5+(1-p_n)\times 0,3 }$

D'où, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $p_{n+1}=p_n\times 0,5+(1-p_n)\times 0,3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}}=0,5\,p_n+0,3-0,3\,p_n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}}=0,2\,p_n+0,3 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\, n\in\N,\quad p_{n+1}=0,2\,p_n+0,3 }$

4. a) Nous devons conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ .

Calculons les premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}\boxed{p_0=0} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_1=0,2\,p_0+0,3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_1}=0,2\times 0+0,3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_1}=0,3 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_1=0,3}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_2=0,2\,p_1+0,3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_2}=0,2\times 0,3+0,3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_2}=0,36 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_2=0,36}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_3=0,2\,p_2+0,3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_3}=0,2\times 0,36+0,3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_3}=0,372 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_3=0,372}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_4=0,2\,p_3+0,3 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_4}=0,2\times 0,372+0,3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\phantom{x}}p_4}=0,3744 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_3=0,3744}$

Et d'autres valeurs au hasard...

${ \white{ xxi } }$ $p_5=0,37488\\p_{10}=0,3749999616\\p_{17}=0.37499999999951$

La suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ semble être croissante et sa limite serait égale à 0,375.

4. b) Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ , on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { p_n\leq \dfrac 38 }$ .

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{p_0\leq \dfrac 38}$ .
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{p_0=0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p_0\leq \dfrac 38}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{{\white{.}}}{ p_n\leq \dfrac 38}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{ p_{n+1}\leq \dfrac 38}$ .

En effet, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $p_n\leq\dfrac38\quad\Longrightarrow\quad 0,2\,p_n\leq 0,2\times\dfrac38 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_n\leq\dfrac38}\quad\Longrightarrow\quad 0,2\,p_n\leq 0,075} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_n\leq\dfrac38}\quad\Longrightarrow\quad 0,2\,p_n+0,3\leq 0,075+0,3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_n\leq\dfrac38}\quad\Longrightarrow\quad 0,2\,p_n+0,3\leq 0,375} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ p_n\leq\dfrac38}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p_{n+1}\leq \dfrac 38}\quad\text{car }\begin{cases}p_{n+1} =0,2\,p_n+0,3\\0,375=\dfrac 38 \end{cases}}$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { p_n\leq \dfrac 38 }$ .

4. c) Nous devons déterminer le sens de variation de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ .

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N }$ .

${ \white{ xxi } }$ $p_{n+1}-p_n=0,2\,p_n+0,3-p_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}-p_n}=0,3-0,8\,p_n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}-p_n}=0,1(3-8\,p_n)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_{n+1}-p_n}=0,1\times8\,\left(\dfrac 38-\,p_n\right)} {\red{\;\geq 0}}\qquad\left(\text{car }p_n\leq\dfrac 38\quad\Longrightarrow\quad \dfrac38-p_n\geq0\right) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad p_{n+1}-p_n\geq 0}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ est croissante.

4. d) Nous devons en déduire la convergence de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ .

Nous avons montré que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ est croissante et majorée par $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 38 }$ .
Selon le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ est convergente.

5. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ la suite définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { u_n=p_n-\dfrac 38 }$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ .

5. a) Nous devons montrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=0,2 }$ et préciser son premier terme.

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac 38 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=0,2\,p_n+0,3-\dfrac 38 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=0,2\,p_n-0,075} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=0,2\,p_n-0,2\times0,375}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=0,2\,(p_n-0,375)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=0,2\,\left(p_n-\dfrac 38\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{n+1}}=0,2\,u_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad u_{n+1}=0,2\,u_n}$

Nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=0,2 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=p_0-\dfrac 38=0-\dfrac 38=-\dfrac 38 }$ .

5. b) Nous devons montrer que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ , on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { p_n=\dfrac 38(1-0,2^n) }$ .

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad\boxed{u_n=-\dfrac 38\times0,2^{n}}}$

De plus,

$\forall\ n\in\N,\quad \begin{cases}u_n=p_n-\dfrac 38\\u_n=-\dfrac 38\times0,2^{n}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad p_n-\dfrac 38=-\dfrac 38\times 0,2^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\ n\in\N,\quad \begin{cases}u_n=p_n-\dfrac 38\\\end{cases}dWW} \Longrightarrow\quad p_n=\dfrac 38-\dfrac 38\times 0,2^n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\ n\in\N,\quad \begin{cases}u_n=p_n-\dfrac 38\\u_n=-\dfrac 38\times0,2^{n}\end{cases}d} \Longrightarrow\quad\boxed{p_n=\dfrac 38(1-0,2^n)}}$

5. c) Nous devons calculer la limite de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (p_n) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $-1<-0,2<1\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}(-0,2)^{n}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -1<-0,4<1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\Big(1-0,2^n\Big)=1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -1<-0,4<1}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac 38\Big(1-0,2^n\Big)=\dfrac 38 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -1<-0,4<1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac 38} }$

5. d) Nous devons interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Plus le nombre d'années augmente, plus la probabilité d'un phénomène El Niño dominant se rapprochera de $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 38 }$ , soit de $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,375 }$ .

5 points

exercice 2

1. Dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation 1 : Il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

Le nombre de groupes de 2 filles choisies parmi 14 filles est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{pmatrix}14\\ 2\end{pmatrix}=\dfrac{14\times 13}{2}=91 }$ .
Le nombre de groupes de 2 garçons choisis parmi 10 garçons est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{pmatrix}10\\ 2\end{pmatrix}=\dfrac{10\times 9}{2}=45 }$ .
Donc le nombre total de groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { 91\times45=4095 }$ .
Puisque 4095 est supérieur à 272, il est donc possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.
L'affirmation 1 est vraie.

2. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=3\sin(2x+\pi) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ sa courbe représentative dans un repère donné.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation 2 : Une équation de la tangente à $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\pi}{2} }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { y=6x-3\pi }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

Une équation de la tangente à $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\pi}{2} }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { y=f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) }$

$\text{Or }\quad\begin{cases} f(x)=3\sin(2x+\pi)\\f'(x)=3\times 2\cos(2x+\pi) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} f(x)=3\sin(2x+\pi)\\f'(x)=6\cos(2x+\pi) \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad \begin{cases} f(x)=3\sin(2x+\pi)\\f'(x)=3\times 2\cos(2x+\pi) \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases} f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\sin(\pi+\pi)\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=6\cos(\pi+\pi) } \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad \begin{cases} f(x)=3\sin(2x+\pi)\\f'(x)=3\times 2\cos(2x+\pi) \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\begin{cases} f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=6 } \end{cases}} }$

Dès lors, une équation de la tangente à $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\pi}{2} }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { y=6\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+0 }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{y=6x-3\pi} }$ .
L'affirmation 2 est vraie.

3. On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { F(x)=(2x+1)\ln(x) }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation 3 : La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\dfrac 2x }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ .
Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=\Big((2x+1)\ln(x)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=(2x+1)'\times\ln(x)+(2x+1)\times \Big(\ln(x)\Big)' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=2\times\ln(x)+(2x+1)\times \dfrac 1x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=2\ln(x)+2+\dfrac 1x } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{F'(x)=2\ln(x)+2+\dfrac 1x }$

Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { F'\neq f }$ .
Donnons une valeur à $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ dans les expressions de $\overset{ { \white{ _. } } } { F'(x) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) }$ .

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1. }$
Dans ce cas,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}F'(1)=2\ln(1)+2+\dfrac 11=0+2+1\\f(1)=\dfrac 21 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}F'(1)=3\\f(1)=2 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}F'(1)=2\ln(1)+2+\dfrac 11=0+2+1\\f(1)=\dfrac 21 \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{F'(1)\neq f(1)}}$

Par conséquent, la dérivée de $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ n'est pas égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .
D'où la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ n'est pas une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .
L'affirmation 3 est fausse.

4. On considère la fonction $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { g(t)=45\,\text e^{0,06t}+20 }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation 4 : La fonction $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ est l'unique solution de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1): y'+0,06y=1,2 }$ vérifiant $\overset{ { \white{ _. } } } { g(0)=65 }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

La fonction $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .
Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {t\in\R }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $g'(t)=\Big(45\,\text e^{0,06t}+20\Big )' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t)}=45\times 0,06\,\text e^{0,06t}+0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t)}=2,7\,\text e^{0,06t}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g'(t)=2,7\,\text e^{0,06t}}$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $g'(t)+0,06g(t)=2,7\,\text e^{0,06t}+0,06(45\,\text e^{0,06t}+20) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t)+0,06g(t)}=2,7\,\text e^{0,06t}+2,7\,\text e^{0,06t}+1,2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(t)+0,06g(t)}=5,4\,\text e^{0,06t}+1,2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,t\in\R,\quad g'(t)+0,06g(t)\neq 1,2}$

D'où la fonction $\overset{ { \white{ -. } } } { g }$ n'est pas solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1) }$ .
L'affirmation 4 est fausse.

5. On considère l'équation différentielle : $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_2) :y'-y=3\,\text e^{0,4x} }$ où $\overset{ { \white{+. } } } { y }$ est une fonction positive de la variable réelle $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ , définie et dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { y' }$ la fonction dérivée de la fonction $\overset{ { \white{ +. } } } { y }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation 5 : Les solutions de l' équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_2) }$ sont des fonctions convexes sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

La concavité d'une fonction dépend du signe de sa dérivée seconde.
Nous savons que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x,\quad y'(x)=y(x) + 3\,\text e^{0,4x} }$ .

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $y'(x)=y(x) + 3\,\text e^{0,4x}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=y'(x) + 3(\text e^{0,4x})' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ y'(x)=y(x) + 3\,\text e^{0,4x}}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=y'(x)+ 3\times0,4\text e^{0,4x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ y'(x)=y(x) + 3\,\text e^{0,4x}}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=y'(x)+1,2\,\text e^{0,4x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ y'(x)=y(x) + 3\,\text e^{0,4x}}\quad\Longrightarrow\quad y''(x)=\Big(y(x) + 3\,\text e^{0,4x}\Big)+1,2\,\text e^{0,4x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ y'(x)=y(x) + 3\,\text e^{0,4x}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y''(x)=y(x) +4,2\,\text e^{0,4x} }}$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} y(x)\ge0\quad(\text{voir énoncé})\\\,\text e^{0,4x}>0\quad(\text{fonction exponentielle}) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{y''(x)> 0} }$ .
Puisque pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x,\; y''(x)> 0 }$ , nous en déduisons que $\overset{ { \white{-. } } } { y }$ est convexe.
L'affirmation 5 est vraie.

4 points

exercice 3

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur ]0 ; 8] par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)= \dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x} }$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ la représentation graphique de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\vec i,\vec j) }$ .

Partie A

1. Nous devons résoudre dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ l'inéquation $\overset{ { \white{ } } } { -x^2 +7x+8\geq 0 }$ .

Etudions le signe du polynôme du second degré $\overset{ { \white{ } } } {-x^2+7x+8 }$ .
Le discriminant de ce polynôme est $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta=7^2-4\times(-1)\times8=49+32=81>0 }$

Les racines du polynôme sont :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}x_1=\dfrac{-7+\sqrt{81}}{-2}=\dfrac{-7+9}{-2}=-1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x_1=-1} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\white{x}}x_2=\dfrac{-7-\sqrt{81}}{-2}=\dfrac{-7-9}{-2}=8\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x_2=8}$

Le coefficient principal du polynôme est égal à -1 < 0.
Nous obtenons ainsi le tableau de signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { -x^2+7x+8 }$ .

${ \white{ WWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-\infty&&-1&&8&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&-x^2+7x+8&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { -x^2+7x+8\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in[-1\;;\;8] }$
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { -x^2 +7x+8\geq 0 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{ \mathscr{S}=[-1\;;\;8] }}$

2. Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\;]0\;;\;8] }$ , on a $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) \geq 0 }$ .

En utilisant la question 1., nous déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\;]0\;;\;8] }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $-x^2+7x+8\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad -x^2+7x+9\geq1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -x^2+7x+8\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(-x^2+7x+9)\geq\ln(1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -x^2+7x+8\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(-x^2+7x+9)\geq 0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -x^2+7x+8\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad 10\ln(-x^2+7x+9)\geq 0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -x^2+7x+8\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x}\geq 0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -x^2+7x+8\geq0}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\geq 0 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;8],\quad f(x)\geq 0}$

3. Graphiquement ce résultat signifie que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\overset{ { \white{ -. } } } { ]0\;;\;8]. }$

Partie B

La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ est représentée ci-dessous.
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ le point de $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ d' abscisse $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\;]0\;;\;8] }$ .
On appelle $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ les projetés orthogonaux du point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ respectivement sur l' axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.
Dans cette partie, on s' intéresse à l' aire $\overset{ { \white{ . } } } { \mathcal A(x) }$ du rectangle $\overset{ { \white{ . } } } { ONMP }$ .

Bac spécialité maths 2025 Métropole (remplacement) Jour 2 : image 16

1. Nous devons donner les coordonnées des points $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ en fonction de $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ .

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ est un point de $\overset{ { \white{ . } } } { C_f }$ d' abscisse $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ .
Ses coordonnées sont donc $\overset{ { \white{ _. } } } { M\left(x\;;\;\dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x}\right) }$ .
Nous obtenons donc les coordonnées demandées : $\overset{ { \white{ _. } } } { N\,(x\;;\;0) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P\left(0\;;\;\dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x}\right) }$ .

2. Nous devons montrer que pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ appartenant à l'intervalle ]0 ; 8], $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A}(x)=10\ln(-x^2+7x+9) }$

Pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ appartenant à l'intervalle ]0 ; 8],

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal{A}(x)=ON\times OP \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}(x)}=x\times \dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}(x)}=10\ln(-x^2+7x+9) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;8],\quad \mathcal{A}(x)=10\ln(-x^2+7x+9) }$

3. Nous devons déterminer s'il existe une position du point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ pour laquelle l'aire du rectangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ONMP }$ est maximale.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } {]0\;;\;8] }$ .
Pour tout $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ appartenant à l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {]0\;;\;8],\quad \mathc A'(x)=10\times \dfrac{-2x+7}{-x^2+7x+9} }$ ,
Nous avons montré dans la Partie A que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\;]0\;;\;8]}$ ,

$\overset{ { \white{ . } } } {-x^2+7x+8\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad -x^2+7x+9\geq1. }$
Le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A'(x) }$ est donc le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { -2x+7 }$ .

D'où le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A'(x) }$ et de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;8]. }$

${ \white{ WW } } \begin{matrix}-2x+7<0\quad\Longleftrightarrow\quad -2x<-7 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -t+0, } \quad\Longleftrightarrow\quad x>\dfrac 72 }\\\\-2x+7=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac 72\\\\-2x+7>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\dfrac 72\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&\dfrac 72&&8\\ &&&&& \\\hline &||&&&&\\-2x+7&||&+&0&-&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&\\\mathcal A'(x)&||&+&0&-&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&\\&||&&\mathcal A\left(\frac 72\right)&&\\\mathcal A&||&\nearrow&&\searrow&\\&||&&&&\\\hline \end{array}$

Nous observons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A\ }$ admet un maximum en $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 72 }$ .
Par conséquent, l'aire du rectangle $\overset{ { \white{ _. } } } { ONMP }$ est maximale si l'abscisse du point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } {\dfrac 72 }$ .

Partie C

On considère un réel strictement positif $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ .
On souhaite déterminer la plus petite valeur de $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ , approchée au dixième, appartenant à [3,5 ; 8] pour laquelle l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A }$ devient inférieure ou égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ .

1. Algorithme complété.

Bac spécialité maths 2025 Métropole (remplacement) Jour 2 : image 17

2. Nous devons déterminer quel nombre renvoie l'instruction $\overset{ { \white{ . } } } { \texttt{pluspetitevaleur(30)} }$ .

En exécutant l'algorithme, l'instruction $\overset{ { \white{ . } } } { \texttt{pluspetitevaleur(30)} }$ renvoie la valeur 4,6.

3. Que se passe-t-il lorsque $\overset{ { \white{ _. } } } { k=35 }$ ?

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { x=3.5 }$ .
Alors $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal A(x)=\mathcal A(3,5)\approx30,564\quad\Longrightarrow\quad \mathcal A(x)< 35 }$
Dans ce cas, l'instruction $\overset{ { \white{ } } } { \overset{ { \white{ _. } } } { \texttt{while A(x) > 35} } }$ n'est pas réalisée.

De ce fait, l'algorithme s'arrête et la valeur renvoyée par $\overset{ { \white{ . } } } { \texttt{pluspetitevaleur(35)} }$ est la valeur initiale de $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{x=3.5} }$ .

5 points

exercice 4

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } {(O;\vec i,\vec j,\vec k) }$ .
On considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A(4 ; -1 ; 3), B(-1 ; 1 ; -2), C(0 ; 4 ; 5) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D(-3 ; -4 ; 6) }$ .

1. a) Nous devons vérifier que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B, C }$ ne sont pas alignés.

Montrons que les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{} } } { \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} A(4 ; -1 ; 3)\\ B(-1;1;-2) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1-4\\1+1\\-2-3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5\\2\\-5\end{pmatrix}} \\\\ \begin{cases} A(4;-1;3)\\ C(0;4;5) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-4\\4+1\\5-3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-4\\5\\2\end{pmatrix}}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{x_{\overrightarrow{AB}}}{x_{\overrightarrow{AC}}}\neq\dfrac{y_{\overrightarrow{AB}}}{y_{\overrightarrow{AC}}} }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{-5}{-4}\neq \dfrac 25 }$ .

Les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{} } } { \overrightarrow{AC} }$ ne sont donc pas colinéaires.
Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.

On admet qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { (ABC) }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { 29x + 30y - 17z = 35 }$ .

1. b) Déterminons si les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B,\,C,\,D }$ sont coplanaires.

Cherchons si les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ vérifient l'équation du plan $\overset{ { \white{ _. } } } {(ABC) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $29x_D + 30y_D - 17z_D = 29\times(-3)+30\times(-4)-17\times6 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 29x_D + 30y_D - 17z_D }=-309\neq 35} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{29x_D + 30y_D - 17z_D \neq 35}$

Puisque les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ ne vérifient pas l'équation du plan $\overset{ { \white{ _. } } } {(ABC) }$ , les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B,\,C,\,D }$ ne sont pas coplanaires.

L'objectif de cet exercice est de déterminer le point $\overset{ { \white{ _. } } } {H }$ se situant à égale distance des quatre points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B, C, D }$ .

2. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ le plan médiateur du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .

2. a) Nous devons déterminer les coordonnées du milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ le milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .

Déterminons les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ .

${ \white{ xxi } }$ $(x_I\;;\;y_I\;;\;z_I)=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x_I\;;\;y_I\;;\;z_I)}=\left(\dfrac{4-1}{2}\;;\;\dfrac{-1+1}{2}\;;\;\dfrac{3-2}{2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x_I\;;\;y_I\;;\;z_I)}=\left(\dfrac{3}{2}\;;\;0\;;\;\dfrac{1}{2}\right)}$

D'où les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } {\left(\dfrac{3}{2}\;;\;0\;;\;\dfrac{1}{2}\right) }$ .

2. b) Nous devons en déduire qu'une équation cartésienne de $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { 5x - 2y + 5z = 10 }$ .

Rappelons que le plan médiateur d'un segment est le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment.

Selon cette définition, un vecteur normal à $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ -. } } } { \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5\\2\\-5\end{pmatrix} }$ .
Dès lors, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { -5x+2y-5z+d=0 }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { d\in\R }$ .

Or le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ appartient à $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ .
Donc les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ .

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { -5\times\dfrac 32+2\times0-5\times\dfrac 12+d=0\quad\Longrightarrow\quad d=10 }$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {-5x+2y-5z+10=0 }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{5x-2y+5z=10 } }$ .

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ le plan médiateur du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [CD] }$ .

3. a) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ un point du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (x\;;\;y\;;\;z) }$ .
Nous devons exprimer $\overset{ { \white{ } } } { MC^2 }$ et $\overset{ { \white{ } } } { MD^2 }$ en fonction des coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et en déduire qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } {-3x - 8y + z = 10 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\phantom{x}}MC^2=(0-x)^2+(4-y)^2+(5-z)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}MC^2}}=x^2+16-8y+y^2+25-10z+z^2 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{MC^2=x^2+y^2+z^2-8y-10z+41}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\phantom{x}}MD^2=(-3-x)^2+(-4-y)^2+(6-z)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}MC^2}}=9+6x+x^2+16+8y+y^2+36-12z+z^2 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{MD^2=x^2+y^2+z^2+6x+8y-12z+61}$

Nous devons en déduire qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } {-3x - 8y + z = 10 }$ .

Rappelons que le plan médiateur d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } {MC }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { MD }$ ont des valeurs positives, nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { MC^2=MD^2\quad\Longleftrightarrow\quad MC=MD }$ .

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $M\in P_2\quad\Longleftrightarrow\quad MC^2=MD^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M\in P_2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2+z^2-8y-10z+41=x^2+y^2+z^2+6x+8y-12z+61} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M\in P_2}\quad\Longleftrightarrow\quad -8y-10z+41=6x+8y-12z+61} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M\in P_2}\quad\Longleftrightarrow\quad -6x-16y+2z-20=0}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M\in P_2}\quad\Longleftrightarrow\quad -3x-8y+z-10=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{M\in P_2\Longleftrightarrow\quad -3x-8y+z=10}$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{-3x - 8y + z = 10} }$ .

3. b) Justifions que les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ sont sécants.

Nous avons montré dans la question 2. b) qu'un vecteur normal à $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5\\2\\-5\end{pmatrix} }$ .
Nous savons également qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } {-3x - 8y + z = 10 }$ et par suite qu'un vecteur normal à $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ est le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{n}_{P_2}\begin{pmatrix}-3\\-8\\1\end{pmatrix} }$ .
Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{x_{\overrightarrow{AB}}}{x_{\overrightarrow{n}_{P_2}}}\neq\dfrac{y_{\overrightarrow{AB}}}{y_{\overrightarrow{n}_{P_2}}} }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{-5}{-3}\neq \dfrac {2}{-8} }$ .

Les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{.} } } { \overrightarrow{n}_{P_2} }$ ne sont donc pas colinéaires.
Cela signifie que les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ ne sont pas parallèles.
Nous en déduisons alors que les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ sont sécants.

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ la droite dont une représentation paramétrique est :

$\begin{cases} x=-2-1,9t\\y=t\\z=4+2,3t \end{cases}\quad\text{où }t\in\R$
Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est la droite d'intersection de $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Démontrons que tous les points de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ .

Pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } {t }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $5(-2-1,9t)-2t+5(4+2,3t)=-10-9,5t-2t+20+11,5t \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 5(-2-1,9t)-2t+5(4+2,3t)}=10 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{5(-2-1,9t)-2t+5(4+2,3t)=10 }$

L'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } {P_1 }$ est vérifiée par les coordonnées de tout point de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .
Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Démontrons que tous les points de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ appartiennent au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ .

Pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } {t }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $-3(-2-1,9t)-8t+(4+2,3t)=6+5,7t-8t+4+2,3t \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -3(-2-1,9t)-8t+(4+2,3t)}=10 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{-3(-2-1,9t)-8t+(4+2,3t)=10 }$

L'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } {P_2 }$ est vérifiée par les coordonnées de tout point de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ .
Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est incluse au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Les plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ sont sécants (voir question 3. b).

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est la droite d'intersection de $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ .

On note $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ le plan médiateur du segment $\overset{ { \white{ _. } } } {[AC] }$ .
On admet qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } {8x-10y-4z=-15 }$ .

5. Nous devons démontrer que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ sont sécants.

Un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ est la vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}_{P_3}\begin{pmatrix}8\\ -10\\-4\end{pmatrix} }$
La représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ nous indique qu'un vecteur directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{n}_{\Delta}\begin{pmatrix}-1,9\\ 1\\2,3\end{pmatrix} }$
Nous observons que :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{n}_{P_3}\cdot \overrightarrow{n}_{\Delta}=8\times(-1,9)-10\times 1-4\times2,3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{n}_{P_3}\cdot \overrightarrow{n}_{\Delta}}=-34,4} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n}_{P_3}\cdot \overrightarrow{n}_{\Delta}=-34,4\neq 0}$

Nous en déduisons que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ n'est ni parallèle au plan $\overset{ { \white{ _. } } } {P_3 }$ , ni incluse dans ce plan.

Par conséquent, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ sont sécants.

6. Nous devons justifier que le point d'intersection entre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le point d'intersection entre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ appartient ainsi à $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ qui est la droite d'intersection de $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1}$ et de $\overset{ { \white{ _. } } } { P_2 }$ .

Donc ce point d'intersection entre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ appartient aux plans $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1,\;P_2}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_3 }$ , respectivement plans médiateurs des segments $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB],\;[CD] }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { [AC] }$ .

Nous en déduisons que ce point est équidistants des points $\overset{ { \white{ _. } } } { A,\,B,\,C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ .

Par conséquent, ce point est le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ dont question dans l'objectif de l'exercice.
_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou le 14-12-2025

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