Fiche de mathématiques

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Bac spécialité maths 2025

Polynésie Jour 1

Durée de l'épreuve : 4 heures

5 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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exercice 4

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Bac spécialité maths 2025

Polynésie Jour 1

5 points

exercice 1

Partie A

1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.

On sait qu'en 2020, 17% de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83% en zone urbaine.
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P(R)=0,17 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\overline R)=0,83. }$

L'étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a 6,2% qui sont atteints d'allergie alimentaire.
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { P_R(A)=0,062 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_R(\overline A)=1-0,062=0,938. }$

Nous pouvons alors dresser un arbre de probabilité modélisant ces données.

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 1 : image 16

2. a) Nous devons calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P(R\cap A) }$ .

Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(R\cap A)=P(R)\times P_R(A) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(R\cap A)}=0,17\times 0,062 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(R\cap A)}=0,01054 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(R\cap A)=0,01054 }$

Par conséquent, la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire est égale à 0,01054.

2. b) Nous devons en déduire la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\overline R \cap A). }$

Dans la partie B, nous pouvons lire que l'étude révèle aussi que 9% des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P(A)=0,09 }$ .

Les événements   $\overset{{\white{_.}}}{R}$ et   $\overline{R}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(A)=P(R\cap A)+P(\overline{R}\cap A)\quad\Longleftrightarrow\quad 0,09=0,01054+P(\overline{R}\cap A) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(A)=P(R\cap A)+P(\overline{R}\cap A)}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\overline{R}\cap A)=0,09-0,01054} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P(A)=P(R\cap A)+P(\overline{R}\cap A)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(\overline{R}\cap A)=0,07946}}$

Par conséquent, la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire est égale à 0,07946.

2. c) L'enfant interrogé habite en zone urbaine.
${ \white{ xxxi } }$ Nous devons déterminer la probabilité qu'il soit atteint d'allergie alimentaire, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P_{\overline R}(A). }$

${ \white{ xxi } }$ $P_{\overline R}(A)=\dfrac{P(\overline R \cap A)}{P(\overline R)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{\overline R}(A)}=\dfrac{0,07946}{0,83} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_{\overline R}(A)}\approx0,0957} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P_{\overline R}(A)\approx0,0957}$

Par conséquent, la probabilité que l'enfant interrogé soit atteint d'allergie alimentaire sachant qu'il habite en zone urbaine est environ égale à 0,0957 (valeur arrondie à 10^-4).

Partie B

L'étude révèle aussi que 9% des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire.
On réalise une étude en interrogeant au hasard 100 enfants des États-Unis.
On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire donnant le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré.

1. Nous devons justifier que la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Lors de cette expérience, on répète 100 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' l'enfant est atteint d'allergie alimentaire '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,09. }$
Echec : '' l'enfant n'est pas atteint d'allergie alimentaire '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,91. }$
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    compte le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(100\,;\,0,09\right) }$ .
Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}100\\k\end{pmatrix}\times0,09^k\times0,91^{ 100-k } }$

2. Nous devons déterminer la probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d'allergie alimentaire, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X\geq 10). }$

Par la calculatrice, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(X \geq 10) = 1 - P(X<10) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X \geq 10) } = 1 - P(X \leq 9) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X\geq 10) }\approx1-0,5875 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X\geq 10) }\approx0,4125 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X\geq 10)\approx 0,4125}$

Donc la probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d'allergie alimentaire est environ égale à 0,4125 (valeur arrondie à 10^-4).

Partie C

On s'intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au hasard.
L'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires $\overset{ { \white{ _. } } } { A_1, A_2, \cdots , A_{20} }$ .
On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d'espérance 4 et de variance 2,25.

On considère la variable aléatoire : $\overset{ { \white{ _. } } } { M_{20}=\dfrac{A_1 + A_2 + \cdots + A_{20}}{20} }$

1.  Dans le contexte de l'exercice, la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { M_{20} }$ représente l'âge moyen d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants.

2.  Nous devons déterminer l'espérance et la variance de $\overset{ { \white{ _. } } } { M_{20} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'espérance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { M_{20}. }$

${ \white{ xxi } }$ $E(M_{20})=E\left(\dfrac{A_1 + A_2 + \cdots + A_{20}}{20}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{20})}=\dfrac{1}{20}E(A_1 + A_2 + \cdots + A_{20})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{20})}=\dfrac{1}{20}\Big(E(A_1) + E(A_2) + \cdots + E(A_{20})\Big)\quad\text{(par linéarité de l'espérance)} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ E(M_{20})}=\dfrac{1}{20}\Big(20\times4\Big) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ E(M_{20})}=4} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ E(M_{20})=4}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons la variance de la variable aléatoire $\overset{ { \white{ . } } } { M_{20}. }$

${ \white{ xxi } }$ $V(M_{20})=V\left(\dfrac{A_1 + A_2 + \cdots + A_{20}}{20}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_{20})}=\Big(\dfrac{1}{20}\Big)^2V(A_1 + A_2 + \cdots + A_{20})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_{20})}=\dfrac{1}{400}\Big(V(A_1) + V(A_2) + \cdots + V(A_{20})\Big)\quad\text{(car les variables sont indépendantes )} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ V(M_{20})}=\dfrac{1}{400}\Big(20\times2,25\Big) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V(M_{20})}=\dfrac{2,25}{20}=0,1125} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ V(M_{20})=0,1125}$

3.  Nous devons justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(2 < M_{20} < 6) > 0,97 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $P(2 < M_{20} < 6)= P(-2 < M_{20}-4 < 2) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(2 < M_{20} < 6)}= P(\,|\,M_{20}-4\,|<2) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(2 < M_{20} < 6)}= 1-P(\,|\,M_{20}-4\,|\geq 2) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ P(2 < M_{20} < 6)= 1-P(\,|\,M_{20}-4\,|\geq 2) }$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\,|\,M_{20}-E(M_{20})\,|\geq a)\leq \dfrac{V(M_{20})}{a^2}\quad\text{où}\quad a>0. }$

Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en posant $\overset{ { \white{ . } } } { a=2 }$

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|\,M_{20} -4)\,|\geq 2)\leq \dfrac{0,1125}{2^2}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,M_{20} -4)\,|\geq 2)\leq \dfrac{0,1125}{4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,S-10)\,|\geq 4)\leq \dfrac{8,2665}{4^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad -P(\,|\,M_{20} -4)\,|\geq 2)\geq -\dfrac{0,1125}{4}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,S-10)\,|\geq 4)\leq \dfrac{8,2665}{4^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad 1 -P(\,|\,M_{20} -4)\,|\geq 2)\geq 1-\dfrac{0,1125}{4}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,S-10)\,|\geq 4)\leq \dfrac{8,2665}{4^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(2 < M_{20} < 6)\geq 1-\dfrac{0,1125}{4} }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-\dfrac{0,1125}{4}=0,971875\;{\red{>0,97}} }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ P(2 < M_{20} < 6) > 0,97.} }$

Par conséquent, la probabilité que l'âge moyen d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants soit strictement compris entre 2 et 6 ans est strictement supérieure à 0,97.

5 points

exercice 2

Deux avions sont en approche d'un aéroport.
On munit l'espace d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O\,;\;\vec i\,,\vec j\,,\vec k) }$ dont l'origine $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_0 }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { z=0. }$
L'unité des axes correspond à 1 km.

On modélise les avions par des points.

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 1 : image 22

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(-7\;;\;1\;;\;7) }$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ o. } } }{ \overrightarrow {u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}. }$
L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d_B }$ passant par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ dont une représentation paramétrique est :

$\begin{cases}x= -11 + 5t\\y = -5 + t\qquad\text{où }t\in \R\\z = 11 - 4t\end{cases}$

1. Si l'avion Bêta ne dévie pas de sa trajectoire, nous devons déterminer les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ en lequel il touchera le sol.

Résolvons le système : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}x= -11 + 5t\\y = -5 + t\\z = 11 - 4t\\z=0\end{cases} }$

$\begin{cases}x= -11 + 5t\\y = -5 + t\\z = 11 - 4t\\z=0\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x= -11 + 5t\\y = -5 + t\\0 = 11 - 4t\\z=0\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x= -11 + 5t\\y = -5 + t\\4t = 11\\z=0\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x= -11 + 5t\\y = -5 + t\\t = \dfrac{11}{4}\\z=0\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}x= -11 + 5t\\y = -5 + t\\z = 11 - 4t\\z=0\end{cases} } \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x= -11 + \dfrac{55}{4}\\y = -5 + \dfrac{11}{4}\\t = \dfrac{11}{4}\\z=0\end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}x= \dfrac{11}{4}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { y = \dfrac{-9}{4}}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { t = \dfrac{11}{4}}\\z=0\end{cases} }$

D'où si l'avion Bêta ne dévie pas de sa trajectoire, les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ en lequel il touchera le sol sont $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\left(\dfrac{11}{4}\;;\;-\dfrac 94\;;\;0\right)} }$

2. a) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d_A }$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d_A }$ passe par le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(-7\;;\;1\;;\;7) }$ et est dirigée par le vecteur $\overset{ { \white{ o. } } }{ \overrightarrow {u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}. }$
D'où une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d_A }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\begin{cases}x= -7 +2s\\y = 1 -s\qquad\text{où }s\in \R\\z = 7 - 3s\end{cases}} }$

2. b) Déterminer si les avions peuvent entrer en collision revient à déterminer si les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { d_A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d_B }$ sont sécantes.

Précisons s'il existe une valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ et une valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ vérifiant le système : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} -7 +2s=-11 + 5t\\ 1 -s= -5 + t\\ 7 - 3s= 11 - 4t\end{cases} }$

$\begin{cases} -7 +2s=-11 + 5t\\ 1 -s= -5 + t\\ 7 - 3s= 11 - 4t\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -7 +2s=-11 + 5t\\ s= 6 -t\\ 7 - 3s= 11 - 4t\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -7 +2(6-t)=-11 + 5t\\ s= 6 -t\\ 7 - 3(6-t)= 11 - 4t\end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} -7 +2s=-11 + 5t\\ 1 -s= -5 + t\\ 7 - 3s= 11 - 4t\end{cases}} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -7 +12-2t=-11 + 5t\\ s= 6 -t\\ 7 - 18+3t= 11 - 4t\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 7t=16\\ s= 6 -t\\ 7t= 22\end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} -7 +2s=-11 + 5t\\ 1 -s= -5 + t\\ 7 - 3s= 11 - 4t\end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} {\red{t=\dfrac{16}{7}}}\\ s= 6 -t\\ {\red{ t= \dfrac{22}{7}}}\end{cases} }$

Puisque la valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ n'est pas unique, le système n'admet pas de solution.
D'où les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { d_A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d_B }$ ne sont pas sécantes.

Par conséquent, les avions ne peuvent pas entrer en collision.

3. a) Nous devons démontrer que l'avion Alpha passe par la position $\overset{ { \white{ _. } } } { E\,(-3\;;\;-1\;;\;1). }$

Considérerons la représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d_A }$ .

Déterminons s'il existe une valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { s }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} -7 +2s=-3\\ 1 -s=-1\\ 7 - 3s= 1\end{cases} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} -7 +2s=-3\\ 1 -s=-1\\ 7 - 3s= 1\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 2s=4\\ -s=-2\\ - 3s= -6\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases} s=2\\ s=2\\ s=2\end{cases}}$

Donc si $\overset{ { \white{ _. } } } { s=2 }$ , le système est vérifié.

Par conséquent, l'avion Alpha passe par la position $\overset{ { \white{ _. } } } { E\,(-3\;;\;-1\;;\;1). }$

3. b) Nous devons justifier qu'une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_E }$ passant par $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ et perpendiculaire à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d_A }$ est :

$\overset{ { \white{ _. } } } {2x - y - 3z + 8 = 0. }$

Nous savons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix} }$ est un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {d_A }$ perpendiculaire au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_E. }$
Dès lors, le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_E. }$

D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ . } } } {P_E }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {2x - y -3z + d = 0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {E\,(-3\;;\;-1\;;\;1) }$ appartient à ce plan $\overset{ { \white{ . } } } {P_E. }$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {2\times(-3)-(-1)-3\times1 + d = 0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=8. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ . } } } {P_E }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{2x - y - 3z + 8 = 0}\,. }$

3. c) Nous devons vérifier que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F\,(-1\;;\;-3\;;\;3) }$ est le point d'intersection du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_E }$ et de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d_B. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { P_E }$ .

${ \white{ xxi } }$ $2x_F-y_F-3z_F+8=2\times(-1)-(-3)-3\times3+8 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2x_F-y_F-3z_F+8}=-2+3-9+8} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2x_F-y_F-3z_F+8}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{F\in P_E}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { d_B }$ .

Nous allons montrer qu'il existe une valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { t }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} -11 + 5t=-1\\ -5+t=-3\\ 11-4t= 3\end{cases} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} -11 + 5t=-1\\ -5+t=-3\\ 11-4t= 3\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 5t=10\\ t=2\\ - 4t= -8\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases} t=2\\ t=2\\t=2\end{cases}}$

Donc si $\overset{ { \white{ _. } } } { t=2 }$ , le système est vérifié.

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ . } } } { d_B }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { F\,(-1\;;\;-3\;;\;3) }$ est le point d'intersection du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P_E }$ et de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d_B. }$

3. d) Nous devons calculer la valeur exacte de la distance $\overset{ { \white{ _. } } } { EF }$ , puis vérifier que cela correspond à une distance de 3464 m, à 1 m près.

Nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} E(-3;-1;1)\\ F(-1;-3;3) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}-1+3\\-3+1\\3-1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}} }$
Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $EF=\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ EF }=\sqrt{4+4+4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ EF }=\sqrt{12} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ EF }=2\sqrt{3} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{EF=\sqrt{12}\approx3,464}$

4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut 1 852 m).
Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ au même instant, vérifions si leur distance de sécurité est respectée.

Remarquons que 3 miles nautiques correspondent à $\overset{ { \white{ _. } } } { 3\times 1852 }$ m, soit à 5556 m.

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { EF\approx 3,464\text{ km}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{EF\approx 3464\text{ m}} }$

Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { EF<5556, }$ nous en déduisons que leur distance de sécurité n'est pas respectée.

5 points

exercice 3

On munit le plan d'un repère orthonormé.
Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ , on considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par :

$\overset{ { \white{ _. } } } {f_0(x)=\text e^{-x} }$ et, pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n\geq 1,\quad f_n(x)=x^n\text e^{-x}. }$
Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ , on note $\overset{ { \white{ _. } } } { C_n }$ la courbe représentative de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n. }$

Partie A : Étude des fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n\geq 1 }$

On considère un entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n\geq 1 . }$

1. a) On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ .
Nous devons montrer que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\geq 0,\quad f'_n(x)=(n-x)\,x^{n-1}\,\text e^{-x}. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N^* , }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\geq 0, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'_n(x)=(x^n)'\times \text e^{-x}+x^n\times (\text e^{-x})' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'_n(x) } =n\,x^{n-1}\times \text e^{-x}+x^n\times (-x)'\text e^{-x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'_n(x) } =n\,x^{n-1} \text e^{-x}+x^n\times (-\text e^{-x} )} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'_n(x) } =n\,x^{n-1} \text e^{-x}-x\,x^{n-1}\text e^{-x} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'_n(x) } =(n-x)\,x^{n-1}\text e^{-x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N^*,\forall\,x\geq 0,\quad f'_n(x)=(n-x)\,x^{n-1}\text e^{-x} }$

1. b) Nous devons justifier tous les éléments du tableau ci-dessous :

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 1 : image 19

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Étudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'_n(x) }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\geq 0, \quad\begin{cases}x^{n-1}\geq 0\\\text e^{-x}>0\end{cases} }$
Dès lors, le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'_n(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { (n-x). }$

Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'_n(x) }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ .

${ \white{ WWWW } }$ $\begin{matrix}n-x<0\quad\Longleftrightarrow -x < -n\\\phantom{n-x<0}\quad\Longleftrightarrow\quad x>n\\\\n-x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=n\\\\n-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<n\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&n&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\n-x&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\f'_n(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous pouvons ainsi en déduire la croissance de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;n] }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ est décroissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [n\;;\;+\infty[ }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Quelques valeurs particulières.

${ \white{ xxi } }$ ${\bullet\bullet}{\phantom{x}}f_n(0)=0^n\times \text e^{-0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ {\bullet\bullet}{\phantom{x}}f_n(0)}=0\times1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ {\bullet\bullet}{\phantom{x}}f_n(0)}=0 } \\\\\quad\Longrightarrow\quuad\boxed{f_n(0)=0}$

${ \white{ xxi } }$ ${\bullet\bullet}{\phantom{x}}f_n(n)=n^n\times \text e^{-n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ {\bullet\bullet}{\phantom{x}}f_n(n)}=\dfrac{n^n}{\text e^n} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ {\bullet\bullet}{\phantom{x}}f_n(n)}=\left(\dfrac{n}{\text e}\right)^n } \\\\\quad\Longrightarrow\quuad\boxed{f_n(n)=\left(\dfrac{n}{\text e}\right)^n }$

${ \white{ xxi } }$ ${\bullet\bullet}{\phantom{x}}\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0 \\\\\quad\Longrightarrow\quuad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f_n(x)=0 }$

2. Nous devons justifier par le calcul que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(1\;;\;\text e^{-1} ) }$ appartient à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_n. }$

${ \white{ xxi } }$ $f_n(1)=1^n\times \text e^{-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f_n(1)}=1\times \text e^{-1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f_n(1)}= \text e^{-1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f_n(1)=\text e^{-1} }$

Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(1\;;\;\text e^{-1} ) }$ appartient à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_n. }$

Partie B : Étude des intégrales $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_0^1f_n(x)\,\text dx }$ pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n\geq 0 }$

Dans cette partie, on étudie les fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ sur [0 ; 1] et on considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ par :

$I_n=\displaystyle\int_0^1f_n(x)\,\text dx=\displaystyle\int_0^1x^n\text e^{-x}\,\text dx.$

1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $\overset{ { \white{ _. } } } {C_0,\, C_1,\, C_2,\,C_{10} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C_{100}. }$

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 1 : image 20

1. a) Nous devons donner une interprétation graphique de $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n. }$

Le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ représenté dans la question Partie A - 1. b) nous montre que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ est positive sur [0 ; 1].
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { f_n }$ est continue sur [0 ; 1] (car dérivable sur [0 ; 1]).

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n }$ représente l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_n }$ de, l'axe des abscisses et les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ .

1. b) Par lecture de ce graphique, quelle conjecture pouvons-nous émettre sur la limite de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (I_n) }$ ?

Nous pouvons conjecturer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (I_n) }$ est décroissante et semble converger vers 0.
Par conséquent, nous pourrions ainsi conjecturer que : $\overset{ { \white{W. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty} I_n=0. }$

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { I_0. }$

${ \white{ xxi } }$ $I_0=\displaystyle\int_0^1x^0\text e^{-x}\,\text dx=\displaystyle\int_0^11\times\text e^{-x}\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_0}=\displaystyle\int_0^1\text e^{-x}\,\text dx } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_0}=\Big[-\text e^{-x}\Big]_0^1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ I_0}=-\text e^{-1}-(-\text e^{0})} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ I_0}=-\text e^{-1}+1} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_0=1-\text e^{-1}}$

3. a) Soit $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ un entier naturel.
${ \white{ xxxi } }$ Nous devons démontrer que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\,[0\;;\;1],\quad 0\leq x^{n+1}\leq x^n. }$

Observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n\in\N,\;\forall\,x\in[0\;;\;1],\quad x\geq 0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ x^n\geq 0} }$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\forall\,n\in\N,\;\forall\,x\in[0\;;\;1],\quad 0\leq x\leq 1\quad\Longrightarrow\quad 0{\red{\,\times x^n}}\leq x{\red{\,\times x^n}}\leq 1{\red{\,\times x^n}}\quad(\text{car }x^n\geq 0) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \forall\,n\in\N,\;\forall\,x\in[0\;;\;1],\quad 0\leq x\leq 1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\leq x^{n+1}\leq x^n} }$

3. b) Nous devons en déduire que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n , }$ on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { 0\leq I_{n+1}\leq I_n. }$

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,n\in\N,\;\forall\,x\in[0\;;\;1],\qquad 0\leq x^{n+1}\leq x^n. }$

Nous en déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in N }$ , pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in[0\;;\;1], }$

${ \white{ xxi } }$ $0\leq x^{n+1}\leq x^n\quad\Longrightarrow\quad 0\leq x^{n+1}\text e^{-x}\leq x^n\text e^{-x}\quad\text{(car }e^{-x}>0) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0\leq x^{n+1}\leq x^n}\quad\Longrightarrow\quad 0\leq \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\text e^{-x}\text dx\leq \displaystyle\int_0^1 x^n\text e^{-x}\text dx } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0\leq x^{n+1}\leq x^n}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\leq I_{n+1}\leq I_n }}$

4. Nous devons démontrer que la suite $\overset{ { \white{. } } } { (I_n) }$ est convergente , vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$

Nous avons montré dans la question précédente que le suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (I_n) }$ est décroissante et minorée par 0.
Donc la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (I_n) }$ est convergente vers une limite supérieure ou égale à 0, notée $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell. }$

5. En utilisant une intégration par parties, nous devons démontrer que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ on a :

$I_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac{1}{\text e}$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n }$ , $\overset{ { \white{ _. } } } { I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\text e^{-x}\text dx }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_0^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]_0^{1}- \displaystyle\int_0^{1}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \begin{cases}u(x)=x^{n+1}\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=(n+1)x^n \\\\v'(x)=\text e^{-x}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\text e^{-x}\end{cases}.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } {I_{n+1}= \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\text e^{-x}\text dx=\left[\overset{}{-x^{n+1}\,\text e^{-x}}\right]_0^{1}-\displaystyle\int_0^{1}(n+1)x^n\times(-\text{e}^{-x})\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\Big[-x^{n+1}\,\text e^{-x}\Big]_0^{1}+(n+1)\displaystyle\int_0^{1}x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=(-1^{n+1}\,\text e^{-1})-0+(n+1)I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=-\,\text e^{-1}+(n+1)I_n} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWWWW}=-\dfrac{1}{\text e}+(n+1)I_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{I_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac{1}{\text e}}$

6. a) Nous devons démontrer que si $\overset{ { \white{ _. } } } {\ell >0 }$ , l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

Nous avons montré dans la question 4. que $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty} I_n=\ell\geq 0 }$ .

Supposons que $\overset{ { \white{ W. } } } {\lim\limits_{n\to+\infty} I_n= \ell > 0 }$ .

Utilisons l'égalité de la question 5.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{n\to+\infty} I_n=\ell>0\\ \lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty} (n+1)I_n=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{n\to+\infty} I_n=\ell>0\\ \lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty} \left[(n+1)I_n-\dfrac{1}{\text e}\right]=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{n\to+\infty} I_n=\ell>0\\ \lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty} I_{n+1}=+\infty }$

Par unicité de la limite, nous obtenons : $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to+\infty} I_{n}=\lim\limits_{n\to+\infty} I_{n+1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} I_{n}=+\infty}. }$

En résumé, si nous supposons que $\overset{ { \white{ W. } } } {\lim\limits_{n\to+\infty} I_n= \ell > 0 }$ , alors nous déduisons que $\overset{ { \white{ W. } } } {\lim\limits_{n\to+\infty} I_n= +\infty }$ .
Il est évidemment contradictoire d'obtenir : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} \lim\limits_{n\to+\infty} I_n=\ell>0\\ \lim\limits_{n\to+\infty}I_n=+\infty\end{cases} }$

Par conséquent, si $\overset{ { \white{ _. } } } {\ell >0 }$ , nous aboutissons à une contradiction.

6. b) Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell=0 }$ .

Nous savons par la question 4. que $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell \geq 0 }$ .
Or dans la question 6. a), nous avons montré que supposer $\overset{ { \white{ _. } } } {\ell >0 }$ menait à une contradiction.

Nous en déduisons donc que $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{\ell =0}\,. }$

On donne ci-dessous le script de la fonction $\overset{ { \white{ -. } } } {\text{mystere} }$ , écrite en langage Python.
On a importé la constante $\overset{ { \white{ -. } } } { \text{e}. }$

Bac spécialité maths 2025 Polynésie Jour 1 : image 18

7. Que renvoie $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{mystere(100)} }$ dans le contexte de l'exercice ?

Ce script comporte une boucle comportant $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ pas.
Cette boucle effectue les calculs successifs des valeurs de $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ depuis $\overset{ { \white{ _. } } } { I_0 }$ jusque $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n, }$ la valeur initiale étant $\overset{ { \white{ _. } } } { I_0=1-\dfrac{1}{\text e}. }$
Elle crée également une liste formée par ces différentes valeurs.
À l'issue de cette boucle, la fonction fournit la liste de ces valeurs allant de $\overset{ { \white{ _. } } } { I_0 }$ à $\overset{ { \white{ _. } } } { I_n }$ .
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { \text{mystere(100)} }$ renvoie la liste des valeurs allant de $\overset{ { \white{ _. } } } { I_0 }$ à $\overset{ { \white{ _. } } } { I_{100} }$ .

5 points

exercice 4

1. On considère l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E): y'=\dfrac 12 y + 4. }$

${ \white{ xx } }$ Affirmation 1 : Les solutions de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ sont les fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définies sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par :

$\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=k\text e^{\frac 12 x}-8\quad\text{avec }k\in \R. }$ ${ \white{ xx } }$ Affirmation VRAIE.

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $y'=ay+b$ est $y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
Dans ce cas, $\overset{ { \white{ _. } } } { a=\dfrac 12 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b=4. }$
D'où la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ est de la forme $\overset{ { \white{o. } } } {y(x)=k\,\text{e}^{\frac 12x}-\dfrac{4}{\frac 12}\quad(k\in\R)}$ ,
Donc les solutions de $\overset{ { \white{ _. } } } { (E) }$ sont les fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définies sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=k\text e^{\frac 12 x}-8\quad\text{avec }k\in \R. }$
L'affirmation 1 est vraie.

2. Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons.
${ \white{ xx } }$ On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons.

${ \white{ xx } }$ Affirmation 2 : Il y a 297 024 possibilités pour former une telle équipe.
${ \white{ xx } }$ Affirmation VRAIE.

Il y a $\overset{ { \white{ -. } } } { \begin{pmatrix}18\\3\end{pmatrix}=816 }$ façons de choisir 3 filles parmi 18 filles.
Pour chacun de ces choix, il y a $\overset{ { \white{ -. } } } { \begin{pmatrix}14\\3\end{pmatrix}=364 }$ façons de choisir 3 garons parmi 14 filles.
Il y a donc $\overset{ { \white{ _. } } } { 816\times354=297\,024 }$ possibilités pour former une équipe de 3 filles et 3 garçons.
L'affirmation 2 est vraie.

3. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ la suite définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { v_n= \dfrac{n}{2+\cos(n)}. }$
${ \white{ xx } }$ Affirmation 3 : La suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ diverge vers $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty . }$
${ \white{ xx } }$ Affirmation VRAIE.

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $-1\leq \cos(n)\leq 1\quad\Longrightarrow\quad 2-1\leq 2+\cos(n)\leq 2+1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -1\leq \cos(n)\leq 1}\quad\Longrightarrow\quad 1\leq 2+\cos(n)\leq 3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -1\leq \cos(n)\leq 1}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac11\geq \dfrac{1}{2+\cos(n)}\geq \dfrac13 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ -1\leq \cos(n)\leq 1}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac n1\geq \dfrac{n}{2+\cos(n)}\geq \dfrac n3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ -1\leq \cos(n)\leq 1}\quad\Longrightarrow\quad n\geq v_n\geq \dfrac n3 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\, n\in \N, \quad \dfrac n3\leq v_n}$

Par le théorème de comparaison, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \dfrac n3\leq v_n \\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac n3=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty }$

L'affirmation 3 est vraie.

4. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\,\vec i,\,\vec j,\,\vec k) }$ , on considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A (1;\, 1;\, 2), B (5;\, -1;\, 8) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C (2;\, 1;\, 3) . }$
${ \white{ xx } }$ Affirmation 4 : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= 10$ et une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est 30°.
${ \white{ xx } }$ Affirmation FAUSSE.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'une part,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} A(1;1;2)\\ B(5;-1;8) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5-1\\-1-1\\8-2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}} \\\\ \begin{cases} A(1;1;2)\\ C(2;1;3) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2-1\\1-1\\3-2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times1+(-2)\times0+6\times1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=10} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'autre part, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$

où $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}AB=\sqrt{4^2+(-2)^2+6^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{16+4+36}\\\phantom{AB}=\sqrt{56} \\\phantom{AB}=2\sqrt{14} \\AC=\sqrt{1^2+0^2+1^2} \\\phantom{AC}=\sqrt{1+0+1}\\\phantom{AC}=\sqrt{2} \end{cases} }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}=2\sqrt{14}\times\sqrt 2\times\cos(\widehat{BAC}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}=2\sqrt{28}\times\cos(\widehat{BAC}) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}=4\sqrt{7}\times\cos(\widehat{BAC}) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{7}\times\cos(\widehat{BAC}) }$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{7}\times\cos(\widehat{BAC})\\\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=10\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 4\sqrt{7}\times\cos(\widehat{BAC})=10 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{7}\times\cos(\widehat{BAC})\\\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=10\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \cos(\widehat{BAC})=\dfrac{10}{4\sqrt{7}}=\dfrac{5}{2\sqrt{7}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{7}\times\cos(\widehat{BAC})\\\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=10\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{5\sqrt 7}{14} }}$

Or ${ \cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt 3}{2}\;{\red{\neq \dfrac{5\sqrt 7}{14} }}. }$

Par conséquent, $\boxed{\text{mes}(\widehat{BAC}) \neq 30^\circ}$
L'affirmation 4 est fausse.

5. On considère une fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ dont la dérivée seconde est définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } {h''(x)=x\ln x-3x }$ .
${ \white{ xx } }$ Affirmation 5 : La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est convexe sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [\text e^3\;;\;+\infty[ }$
${ \white{ xx } }$ Affirmation VRAIE.

En effet, une fonction est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

Or, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $h''(x)\geq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ln x -3x \geq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h''(x)\geq0 }\quad\Longleftrightarrow\quad x(\ln x -3) \geq 0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h''(x)\geq0 }\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x -3 \geq 0 \quad\text{(car }x>0) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ h''(x)\geq0 }\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x \geq 3 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ h''(x)\geq0 }\quad\Longleftrightarrow\quad x \geq \text e^3 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{h''(x)\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad x \geq \text e^3 }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { h }$ est convexe sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [\text e^3\;;\;+\infty[ }$ .

_{Merci à Hiphigenie et malou pour avoir élaboré cette contribution.}

Publié par malou le 15-10-2025

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