Fiche de mathématiques

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Bac Spécialité Mathématiques 2025

Polynésie (contrôle) Jour 1

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu?il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

5 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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5 points

exercice 4

Voir la correction

Bac spécialité maths 2025

Polynésie (remplacement) Jour 1

5 points

exercice 1

En France il y a deux formules pour obtenir le permis de conduire :
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Suivre à partir de 15 ans une formation de conduite accompagnée pendant 2 ans ;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Suivre la formation classique (sans conduite accompagnée) à partir de 17 ans.

En France actuellement, parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de conduire, 16 % choisissent la formation de conduite accompagnée, et parmi eux, 74,7 % réussissent l'examen de conduite dès leur première tentative.
En suivant la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est seulement de 56,8 %.

On choisit au hasard un jeune français qui a déjà passé l'examen de conduite et on considère les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ suivants :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}A$ : '' le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée '' ;
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}R$ : '' le jeune a eu le permis dès sa première tentative ''.

Partie A

1. Dressons un arbre de probabilités modélisant cette situation.

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2. a) Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ _. } } } { P(R)=0,59664 }$ .

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{A}$ et $\overset{{\white{}}}{\overline{A}}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(R)=P(A\cap R)+P(\overline {A}\cap R) \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(R)}=P(A)\times P_{A}(R)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(R) } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(R)}=0,16\times 0,747+0,84\times 0,568 } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(R)}=0,59664 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(R)=0,59664}$

Dans la suite, on gardera la valeur 0,597 arrondie à 10^-3 près.

2. b) Nous devons donner ce résultat en pourcentage et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

${ \white{ xxi } }$ $P(R)=0,597\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{P(R)=59,7\,\%}$
Donc environ 59,7 % des jeunes français réussissent leur permis de conduire dès sa première tentative.

3. On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative.
${ \white{ xx } }$ Nous devons déterminer la probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P_R(A) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $P_R(A)=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_R(A)}=\dfrac{P(A)\times P_A(R)}{P(R)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_R(A)}=\dfrac{0,16\times 0,747}{0,597} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P_R(A)}\approx 0,200 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_R(A)\approx 0,200 }$

Donc sachant qu'un jeune a eu son permis dès sa première tentative, la probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée est environ égale à 0,200.

4. Nous devons déterminer quelle devrait être la proportion de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée si on voulait que le taux de réussite global (quelle que soit la formation choisie) dès la première tentative à l'examen de conduite dépasse 70 %.

Notons $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ cette proportion.

Dressons l'arbre de probabilités adapté.

Bac spécialité maths 2025 Polynésie (remplacement) Jour 1 : image 19

Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ pour que la relation suivante soit réalisés: $\overset{ { \white{ _. } } } { P(R)>0,7 }$ .

Exprimons d'abord $\overset{ { \white{ _. } } } { P(R) }$ en fonction de $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ .
Les événements   $\overset{{\white{_.}}}{A}$ et   $\overset{{\white{}}}{\overline{A}}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(R)=P(A\cap R)+P(\overline {A}\cap R) \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(R)}=P(A)\times P_{A}(R)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}( R) } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(R)}=x\times 0,747+(1-x)\times 0,568 } \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{P(R)}=0,747x+0,568-0,568x } \\\overset{ { \phantom{ _. } } } {\phantom{P(R)}=0,179x+0,568 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{P(R)=0,179x+0,568 }$

Nous obtenons alors,

${ \white{ xxi } }$ $P(R)>0,7\quad\Longleftrightarrow\quad 0,179x+0,568 >0,7 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(R)>0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,179x >0,132} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(R)>0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad 179x >132} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(R)>0,7}\quad\Longleftrightarrow\quad x >\dfrac{132}{179}}\quad \\\\\text{Or }\dfrac{132}{179}\approx0,737$

Par conséquent, si on voulait que le taux de réussite global dès la première tentative à l'examen de conduite dépasse 70 %, il faudrait qu'au moins 73,7 % des jeunes suivent la formation de conduite accompagnée.

Partie B

Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée.
On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

1. Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ suit une loi binomiale de paramètres $\overset{ { \white{ _. } } } { n = 10 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { p=0,747 }$ .

Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : '' le candidat obtient son permis de conduire dès la première tentative '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } { p=0,747}$ ;
Echec : '' le candidat n'obtient pas son permis de conduire dès la première tentative '' dont la probabilité est $\overset{ { \white{ . } } } {1-p=0,253 }$ .
La variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    compte le nombre de candidats qui auront leur permis dès la première tentative, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$    suit une loi binomiale $\overset{ { \white{ . } } }{ \mathscr{ B }\left(10\,;\,0,747\right) }$ .

Cette loi est donnée par : $\boxed{ P(X=k)=\begin{pmatrix}10\\k\end{pmatrix}\times0,747^k\times0,253^{ 10-k } }$

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { P(X\geq 6) }$ et interpréter le résultat.

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $P(X\geq 6)=1-P(X\leq 5) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X\geq 6)}\approx1-0,08168 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(X\geq 6)}\approx0,91832 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X\geq 6)\approx0,918 }$

Nous pouvons donc observer que la probabilité qu'au moins 6 candidats sur 10 candidats ayant suivi la formation de conduite accompagnée obtiennent leur permis dès leur première tentative, est environ égale à 0,918.

3. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { E(X) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { V(X) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}E(X)=n\times p \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}E(X)}=10\times 0,747 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}E(X)}=7,47 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=7,47}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet{\white{x}}V(X)=n\times p\times (1-p) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}V(X)}=10\times 0,747\times0,253 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet{\phantom{x}}V(X)}=1,88991 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{V(X)\approx1,890}$

4. Il y a aussi 40 candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite.
De la même manière, on note $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative.
On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ est indépendante de la variable $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ et qu'en fait $\overset{ { \white{ _. } } } { E (Y ) = 22, 53 }$   et $\overset{ { \white{ _. } } } { V (Y ) = 9, 81 }$ .
On note alors $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative dans cette auto-école.

4. a) Nous devons exprimer $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ en fonction de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ et en déduire $\overset{ { \white{ _. } } } { E (Z ) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { V (Z ) }$ .

Par définition de $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ , nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{Z=X+Y} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons l'espérance de $\overset{ { \white{ . } } } { Z. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { Z=X+Y\quad\Longrightarrow\quad E(Z)=E(X)+E(Y)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{Z=X+Y}\quad\Longrightarrow\quad E(Z)=7,47+22,53}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ E(Z)=30}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons la variance de $\overset{ { \white{ _. } } } { Z. }$

Les deux variables aléatoires $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { Y }$ sont indépendantes.
Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { Z=X+Y\quad\Longrightarrow\quad V(Z)=V(X)+V(Y)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{Z=X+Y}\quad\Longrightarrow\quad V(Z)\approx 1,890+9,81}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ V(Z)=11,7}\,. }$

4. b) En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, nous devons montrer que la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.

${ \white{ xxi } }$ $P((Z\leq20)\text{ ou }(Z\geq40)) =P((Z-30\leq-10)\text{ ou }(Z-30\geq10)) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P\Big((Z\leq20)\text{ ou }(Z\geq40)\Big) }=P(|Z-30|\geq10)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P((Z\leq20)\text{ ou }(Z\geq40))=P(|Z-30|\geq10)}$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(\,|\,Z-E(Z)\,|\geq a)\leq \dfrac{V(Z)}{a^2}\quad\text{où}\quad a>0. }$

Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en posant $\overset{ { \white{ . } } } { a=10 }$

${ \white{ xxi } }$ $P(\,|\,Z-30)\,|\geq 10)\leq \dfrac{11,7}{10^2}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,Z-30)\,|\geq 10)\leq \dfrac{11,7}{100} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,Z-30)\,|\geq 10)\leq \dfrac{11,7}{10^2}}\quad\Longleftrightarrow\quad P(\,|\,Z-30)\,|\geq 10)\leq 0,117} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ P(\,|\,Z-30)\,|\geq 10)\leq \dfrac{11,7}{10^2}}\quad\Longrightarrow\quad P(\,|\,Z-30)\,|\geq 10)<0,12}$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ P\Big((Z0\leq20)\text{ ou }(Z\geq40)\Big) <0,12 } }$

Par conséquent, la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.

5 points

exercice 2

On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle.
Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant :

${\white{WWWWW}}\begin{array}{|l|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&&&&& \text{Année}&&2000&&&2005&&&2010&&&2015&\\&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&&\text{Nombre d'individus}&&50&&&64&&&80&&&100&\\&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps.
Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ , dont la variable $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ représente le temps écoulé, en année, à partir de l'année 2000.
Dans son modèle, l'image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000.

Partie A. Modèle 1

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante :

$\overset{ { \white{ _. } } } { y'=0,05y-0,5\quad (E_1) }$
1. Nous devons résoudre l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1) }$ avec la condition initiale $\overset{ { \white{ _. } } } { y(0)=50 }$ .

La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { y'=ay+b }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\quad(k\in\R) }$ .

Dans le cas de $\overset{ { \white{ . } } } { (E_1) }$ , $\overset{ { \white{ _. } } } { a=0,05 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b=-0,5 }$ .
D'où la solution générale de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1) }$ est de la forme    $\overset{ { \white{ _. } } } { y(x)=k\,\text{e}^{0,05x}-\left(\dfrac{-0,5}{0,05}\right) }$   ,

soit    $\overset{ { \white{ _. } } } { y(x)=k\,\text{e}^{0,05x}+10 }$

De plus, nous avons :

${ \white{ xxi } }$ $y(0)=50\quad\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}+10=50 \\\phantom{y(0)=50}\quad\Longleftrightarrow k=40 \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{y(x)=40\,\text{e}^{0,05x}+10}$

Par conséquent, la solution $\overset{ { \white{ . } } } { y }$    définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ de l'équation différentielle $\overset{ { \white{ _. } } } { (E_1) }$ vérifiant la condition initiale $\overset{ { \white{ _. } } } { y(0)=50 }$ est définie par $\overset{.}{\boxed{y(x)=40\,\text{e}^{0,05x}+10}}.$

2. Nous devons comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.

Avec les deux modèles, nous obtenons le tableau suivant :

${\white{WWWWW}}\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&&&&\\\text{Année}&&2000&&&2005&&&2010&&&2015&\\&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&\\\text{Nombre d'individus}&&{\red{50}}&&&{\red{64}}&&&{\red{80}}&&&{\red{100}}&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&\\x&&0&&&5&&&10&&&15&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&\\y(x)&&{\red{50}}&&&{\red{61}}&&&{\red{76}}&&&{\red{95}}&\\&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Partie B. Modèle 2

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante :

$y'=0,05y(1-0,00125y)\quad (E_2)$
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ la fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05x}} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Nous devons démontrer que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ vérifie $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0)=50 }$ et que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R : }$

$\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big) }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Démontrons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ vérifie $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0)=50 }$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=\dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05x}}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\dfrac{800}{1+15\text e^{0}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=\dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05x}}}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\dfrac{800}{1+15} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=\dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05x}}}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\dfrac{800}{16} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x)=\dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05x}}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=50 }}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Démontrons que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R : }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big) }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R : }$

${ \white{ xxi } }$ $0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big)=0,05\times\dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05x}}\left(1-0,00125\times \dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05x}}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big)}=\dfrac{40}{1+15\text e^{-0,05x}}\left(1- \dfrac{1}{1+15\text e^{-0,05x}}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big)}=\dfrac{40}{1+15\text e^{-0,05x}}\left( \dfrac{1+15\text e^{-0,05x}-1}{1+15\text e^{-0,05x}}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big)}=\dfrac{40}{1+15\text e^{-0,05x}}\left( \dfrac{15\text e^{-0,05x}}{1+15\text e^{-0,05x}}\right) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big)}= \dfrac{600\text e^{-0,05x}}{(1+15\text e^{-0,05x})^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big)}=f'(x)\quad(\text{voir le tableau donnant quelques résultats}) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R:\quad f'(x)=0,05f(x)\Big(1-0,00125 f(x)\Big)}$

2. Avec ce nouveau modèle $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ , nous devons estimer l'effectif de cette population en 2050.

L'année 2050 correspond à $\overset{ { \white{ _. } } } { x=50 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $f(50)=\dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05\times 50}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(50)}=\dfrac{800}{1+15\text e^{-2,5}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(50)}\approx 358 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(50)\approx 358}$

Donc, en 2050, nous pouvons estimer que l'effectif de cette population est environ égal à 358 individus.

3. Nous devons calculer la limite de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to +\infty}-0,005x=-\infty\\\overset{ { \white{ _. } } } {\lim\limits_{X\to -\infty} \text e^X=0 } \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\text e^{-0,005x}=0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\begin{cases}\lim\limits_{x\to +\infty}-0,005x=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}15\text e^{-0,005x}=0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\begin{cases}\lim\limits_{x\to +\infty}-0,005x=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}(1+15\text e^{-0,005x})=1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\begin{cases}\lim\limits_{x\to +\infty}-0,005x=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{800}{1+15\text e^{-0,05x}}=800 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=800}$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ admet une asymptote horizontale en $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=800 }$ .

Dans le cadre de ce problème concret, nous pouvons dire qu'à très long terme, le nombre d'individus de l'espèce sera proche de 800.

4. Nous devons justifier que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in[0\;;\;+\infty[, }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\text e^{-0,005x}>0\\\overset{ { \white{ _. } } } {(1+15\text e^{-0,05x})^2>0 } \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{600\text e^{-0,05x}}{(1+15\text e^{-0,05x})^2}>0 \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\begin{cases}\lim\limits_{x\to +\infty}-005x=-\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)>0}}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ .

5. Nous devons résoudre dans $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { 15\text e^{-0,05x}-1\geq 0 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $15\text e^{-0,05x}-1\geq 0\quad\Longleftrightarrow\quad 15\text e^{-0,05x}\geq 1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 15\text e^{-0,05x}-1\geq 0}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{-0,05x}\geq \dfrac{1}{15}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 15\text e^{-0,05x}-1\geq 0}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{\text e^{0,05x}}\geq \dfrac{1}{15}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 15\text e^{-0,05x}-1\geq 0}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{0,05x}\leq 15} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 15\text e^{-0,05x}-1\geq 0}\quad\Longleftrightarrow\quad {0,05x}\leq \ln(15)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 15\text e^{-0,05x}-1\geq 0}\quad\Longleftrightarrow\quad x\leq 20\ln(15)}$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{15\text e^{-0,05x}-1\geq 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\leq 20\ln(15)} }$

6. On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ .

6. a) Nous devons étudier la convexité de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ .

La convexité de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ dépend du signe de la dérivée seconde sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {[0\;;\;+\infty[ }$ .

Le tableau obtenu grâce au logiciel de calcul formel nous indique que :

$\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x)=\dfrac{30\text e^{-0,05x}}{(1+15\text e^{-0,05x})^3}(15\text e^{-0,05x}-1). }$
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{30\text e^{-0,05x}}{(1+15\text e^{-0,05x})^3}>0\quad\text{car }\quad \begin{cases}\text e^{-0,05x}>0\\1+15\text e^{-0,05x}>0 \end{cases} }$

Dès lors, le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { 15\text e^{-0,05x}-1 }$ .

En utilisant le résultat de la question 5., nous pouvons dresser le tableau de signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[ }$ .

$\begin{matrix}15\text e^{-0,05x}-1> 0\quad\Longleftrightarrow\quad x<20\ln(15)\\\\15\text e^{-0,05x}-1= 0\quad\Longleftrightarrow\quad x= 20\ln(15)\\\\15\text e^{-0,05x}-1<0\quad\Longleftrightarrow\quad x> 20\ln(15)\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&20\ln(15)&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\15\text e^{-0,05x}-1&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\f''(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&&\\f&&\text{convexe}&&\text{concave}&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est concave sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;20\ln(15)[ }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est convexe sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]20\ln(15)\;;\;+\infty[ }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ admet un point d'inflexion en $\overset{ { \white{ _. } } } { x=20\ln(15) }$

Déterminons les coordonnées du point d'inflexion.

${ \white{ xxi } }$ $f\Big(20\ln(15)\Big)=\dfrac{800}{1+15\text e^{-\ln(15)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\Big(20\ln(15)\Big)}=\dfrac{800}{1+\dfrac{15}{\text e^{\ln(15)}}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\Big(20\ln(15)\Big)}=\dfrac{800}{1+\dfrac{15}{15}}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f\Big(20\ln(15)\Big)}=\dfrac{800}{2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f\Big(20\ln(15)\Big)}=400} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ f\Big(20\ln(15)\Big)=400}$

Les coordonnées de l'unique point d'inflexion sont donc : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ \Big(20\ln(15)\;;\;400\Big)} }$

6. b) La direction de la réserve affirme :
'' Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer ''.
Déterminons si la direction a raison.

L'énoncé admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ .

Nous allons étudier la croissance de la fonction dérivée   $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ en utilisant le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f''(x) }$ établi dans la question 6. a).

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&20\ln(15)&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\f''(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&&&&&f'(20\ln(15))&&\\f'&&\nearrow&&\searrow&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous observons que :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;20\ln(15)[ }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]20\ln(15)\;;\;+\infty[ }$

De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { 20\ln(15)\approx 54 }$ .

Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer.
La direction a donc raison.

5 points

exercice 3

On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=5 }$ et, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n }$ :

$\overset{ { \white{ _. } } } { u_{n+1}=2+\ln( u_n^2-3) }$
On admet que cette suite est bien définie.

Partie A : Exploitation de programmes Python

1. Le script Python ci-dessous est complété pour que $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \texttt{suite(k)} }$ qui prend en paramètre un entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ , renvoie la liste des $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ premières valeurs de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ .

Bac spécialité maths 2025 Polynésie (remplacement) Jour 1 : image 20

2. On a exécuté suite(9) ci-dessous. Nous devons émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ et l'autre sur son éventuelle convergence.

Bac spécialité maths 2025 Polynésie (remplacement) Jour 1 : image 21

Nous pouvons conjecturer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est croissante et converge éventuellement vers un réel proche de 5,164.

3. On a ensuite créé la fonction $\overset{ { \white{ {.} } } } { \texttt{mystere(n)} }$ donnée ci-dessous et exécuté $\overset{ { \white{ {.} } } } { \texttt{mystere(10000)} }$ , ce qui a renvoyé 1.

Bac spécialité maths 2025 Polynésie (remplacement) Jour 1 : image 18

Cet affichage ne contredit pas la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { (u_n)} }$ .

En effet, la valeur initiale de $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ est 1.
S'il existe une valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { i }$ telle que    $\overset{ { \white{ _. } } } { L[ i] > L[i+1] }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { c }$ prend la valeur 0.
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { L[ i] > L[i+1] }$ signifie que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_i>u_{i+1} }$ .

Puisque la valeur renvoyée par $\overset{ { \white{ {.} } } } { \texttt{mystere(10000)} }$ est 1, nous en déduisons qu'il n'existe pas d'indice $\overset{ { \white{ . } } } { i }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_i>u_{i+1} }$ .

Cela confirme donc la croissance de la suite $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { (u_n)} }$ conjecturée dans la question 2.

Partie B : Étude de la convergence de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$

On considère la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } {[2\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=2+\ln(x^2-3) }$ .
On admet que $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { [2\;;\;+\infty[ }$ .

1. Nous devons démontrer que la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [2\;;\;+\infty[ }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in[2\;;\;+\infy[, }$

${ \white{ xxi } }$ $g'(x)=\Big(2+\ln(x^2-3)\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=0+\dfrac{(x^2-3)'}{x^2-3} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ g'(x)}=\dfrac{2x}{x^2-3} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[2\;;\;+\infty[,\quad g'(x)=\dfrac{2x}{x^2-3} }$

Or pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in[2\;;\;+\infy[, }$

${ \white{ xxi } }$ $x\geq 2\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}2x>4\\x^2\geq4 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\geq 2}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}2x>0\\x^2-3\geq1 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\geq 2}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}2x>0\\x^2-3>0 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ x\geq 2}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{2x}{x^2-3}>0 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ x\geq 2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)>0} }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ o. } } } { g }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [2\;;\;+\infty[ }$ .

2. a) Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n : 4\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 6. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ _. } } } { n=0 }$ , soit que : $\overset{{\white{.}}}{4\leq u_0\leq u_{1}\leq 6}$ .
C'est une évidence puisque $\overset{{\white{.}}}{\begin{cases}u_0=5\\u_1=2+\ln(u_0^2-3)\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_1}=2+\ln(25-3)}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_1}=2+\ln(22)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ u_1}\approx5,09} \end{cases}} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{4\leq u_0\leq u_{1}\leq 6}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$   , alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { n+1 }$ .
Montrons donc que si pour un nombre entier naturel $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$    fixé, $\overset{{\white{.}}}{4\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 6}$ , alors nous avons :   $\overset{{\white{.}}}{4\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 6}$ .

En effet, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=g(u_n). }$
Puisque nous avons observé dans la question 1) que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [2\;;\;+\infty[ }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $4\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 6\quad\Longrightarrow\quad {\red{g(4)\leq g(u_{n})\leq g(u_{n+1})\leq g(6)}}$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} g(4)=2+\ln(13)\\g(6)=2+\ln(33)\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\begin{cases} g(4)\approx4,56\\g(6) \approx5,50\end{cases}} }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { 4\leq{\red{g(4)\leq g(u_{n})\leq g(u_{n+1})\leq g(6)}}\leq6, }$

soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{4\leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6} }$

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n : 4\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 6. }$

2. b) Nous devons en déduire que le suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ converge.

Nous avons montré dans la question 2. a) que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est croissante et majorée par 6.
Cette suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est donc convergente.

Partie C : Étude de la valeur de la limite

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie que $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;+\infty[ }$ par :

$\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=2+\ln(x^2-3)-x }$

On admet que $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;+\infty[. }$
On donne le tableau de variations de f suivant.

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&2&&3&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\&&&\ln(6)-1&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

1. a) Nous devons montrer que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet exactement deux solutions sur $\overset{ { \white{ . } } } { [2\;;\;+\infty[ }$ que l'on notera $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \beta }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha < \beta }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet une seule solution dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;3] }$ .

D'une part, le tableau nous indique que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(2)=0 }$ .
Donc 2 est une solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ .

D'autre part, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]2\;;\;3] }$ .
Donc pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\; ]2\;;\;3],\quad f(x)>0 }$ .
Il s'ensuit que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]2\;;\;3] }$ .
Dès lors, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet une seule solution $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [2\;;\;3] }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [3\;;\;+\infty[ }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [3\;;\;+\infty[ }$ .
De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}f(3)=\ln(6)-1\approx0,79>0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;\left]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\;;\;f(3)\,\right]} }$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \beta \in\; [3\;;\;+\infty[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\beta)=0 }$ .
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet une solution unique $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [3\;;\;+\infty[ }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En conclusion, l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet exactement deux solutions sur $\overset{ { \white{ . } } } { [2\;;\;+\infty[ }$ notées $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \beta }$ avec $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha < \beta }$ .

1. b) Nous devons donner la valeur exacte de $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha }$ et une valeur approchée à 10^-3 près de $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta }$ .

Nous avons montré dans la question précédente que $\overset{ { \white{ _. } } } {\boxed{\alpha = 2} }$ .

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases}f(5,164)\approx0,000077>0\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {f(5,165)\approx-0,00049<0}\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \beta\in[5,164\;;\;5,165] }$
Dès lors, une valeur approchée à 10^-3 près de $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\beta\approx 5,164} }$

2. On note $\overset{ { \white{ _{_.}} } } { \ell }$ la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ .

Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\ell)=0 }$ et déterminer $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { \ell }$ .

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[2\;;\;+\infty[,\quad\begin{cases} f(x)=2+\ln(x^2-3)-x\\g(x)=2+\ln(x^2-3) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad f(x)=g(x)-x }$

Nous savons que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\quad g(u_{n})=u_{n+1} }$ et par suite, $\overset{ { \white{ _. } } } { g(\ell)=\ell }$ .

Or pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in[2\;;\;+\infty[,\quad\begin{cases} f(x)=g(x)-x\\g(x)=x \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad f(x)=0 }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { g(\ell)=\ell\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(\ell)=0} }$

De plus, nous savons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ admet deux solutions : $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha=2 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta\approx 5,164 }$

En outre, nous avons montré dans la question 2. a) que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n:\quad 4\leq u_n\leq 6. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { 4\leq \ell\leq 6 }$ .

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\ell=\beta} }$

5 points

exercice 4

1. On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x\ln(x) }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation 1 : $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_1^{\text e}f(x)\,\text dx=\dfrac{\text e^2+1}{4} }$
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_1^{\text e} x \ln(x) \, \text dx }$ .

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_1^{\text e}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{\text e}- \displaystyle\int_1^{\text e}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \begin{cases}u(x)=\ln(x)\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\dfrac 1x \\\\v'(x)=x\phantom{W}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{x^2}{2}\end{cases}$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_1^{\text e} x \ln(x) \, \text dx =\left[\overset{}{\dfrac{x^2}{2}\ln(x)}\right]_1^{\text e}-\displaystyle\int_1^{\text e}\dfrac 1x\times\dfrac{x^2}{2}\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Dès lors }\;\displaystyle\int_1^{\text e} x \ln(x) \, \text dx }=\left[\overset{}{\dfrac{x^2}{2}\ln(x)}\right]_1^{\text e}-\dfrac 12\displaystyle\int_1^{\text e}x\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Dès lors }\;\displaystyle\int_1^{\text e} x \ln(x) \, \text dx }=\left[\overset{}{\dfrac{x^2}{2}\ln(x)}\right]_1^{\text e}-\dfrac 12\times\left[\overset{}{\dfrac{x^2}{2}}\right]_1^{\text e}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\text{Dès lors }\;\displaystyle\int_1^{\text e} x \ln(x) \, \text dx }=(\dfrac{{\text e}^2}{2}\ln({\text e})-0)-\dfrac 12(\dfrac{{\text e}^2}{2}-\dfrac 12)}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Dès lors }\;\displaystyle\int_1^{\text e} x \ln(x) \, \text dx}=\dfrac{{\text e}^2}{2}-\dfrac{{\text e}^2}{4}+\dfrac 14} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{\text{Dès lors }\;\displaystyle\int_1^{\text e} x \ln(x) \, \text dx}=\dfrac{{\text e}^2}{4}+\dfrac 14} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_1^{\text e}f(x)\,\text dx=\dfrac{\text e^2+1}{4}}$
L'affirmation 1 est vraie.

2. Soient $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ deux entiers naturels non nuls tels que $\overset{ { \white{ _. } } } { k\leq n }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation 2 : $\overset{ { \white{ . } } } { n\times \begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}=k\times\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} }$
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

Rappel : si $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { k }$ sont deux entiers naturels non nuls tels que $\overset{ { \white{ _. } } } { k\leq n }$ , alors $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!\times(n-k)!}} }$ .

${ \white{ xxi } }$ $k\times\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=k\times\dfrac{n!}{k!\times(n-k)!} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k\times\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=k\times\dfrac{n!}{k\times (k-1)!\times(n-k)!} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k\times\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=\dfrac{n!}{(k-1)!\times(n-k)!} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k\times\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=n\times\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\times(n-k)!} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k\times\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=n\times\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\times\Big((n-1)-(k-1)\Big)!} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ k\times\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=n\times\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ n\times \begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}=k\times\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} }$
L'affirmation 2 est vraie.

3. Pour les trois affirmations suivantes, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } {(O;\vec i,\vec j,\vec k) }$ .
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ la droite de représentation paramétrique : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x = t + 1 \\y = 2t + 1 \\z = -t \end{cases}\quad (t\in \R) }$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { d' }$ la droite de représentation paramétrique : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} x = 2t' - 1 \\y =-t' + 2 \\z = t' + 1 \end{cases}\quad (t\in \R) }$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ le plan d'équation cartésienne : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x + y - 2z + 18 = 0 }$ .
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ le point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (-1\;;\;-3\;;\;2) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ le point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (-5\;;\;-5\;;\;6) }$ .
On appelle plan médiateur du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ le plan passant par le milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ et orthogonal à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ .

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 3 : Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

Vérifions s'il existe une valeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { t }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} -1 = t + 1\\-3 = 2t + 1\\2 = -t \end{cases} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} -1 = t + 1\\-3 = 2t + 1\\2 = -t \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -2= t \\-4 = 2t\\-2 = t \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} t=-2 \\t=-2\\t=-2 \end{cases}$

Les trois égalités sont vérifiées par $\overset{ { \white{ _. } } } { t=-2 }$ .

Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ .
L'affirmation 3 est vraie.

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 4 : Les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d ' }$ sont sécantes.
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

Déterminons s'il existe $\overset{ { \white{ _. } } } { (t\;;\;t')\in\R^2 : \begin{cases} t + 1 = 2t' - 1 \\2t+1 =-t' + 2 \\-t = t' + 1 \end{cases} }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} t + 1 = 2t' - 1\\2t+1 =-t' + 2\\-t = t' + 1 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} t + 1 = 2t' - 1\\2t+1 =-t' + 2\\t = -t' - 1 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} (-t'-1)+ 1 = 2t' - 1\\2(-t'-1)+1 =-t' + 2\\t = -t' - 1 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} t + 1 = 2t' - 1\\2t+1 =-t' + 2\\-t = t' + 1 \end{cases} }\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} -t' = 2t' - 1\\-2t'-1 =-t' + 2\\t = -t' - 1 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} -3t'= - 1\\-t' =3\\t = -t' - 1 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} t + 1 = 2t' - 1\\2t+1 =-t' + 2\\-t = t' + 1 \end{cases} }\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} {\red{t' = \dfrac 13}}\\ {\red{t'=-3}}\\t = -t' - 1 \end{cases}}$

Les deux premières équations sont incompatibles.
Par conséquent, les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { d ' }$ ne sont pas sécantes.
L'affirmation 4 est fausse.

${ \white{ xxi } }$ Affirmation 5 : Le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est le plan médiateur du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

Soit le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .
Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { I\,\left(\dfrac{-1-5}{2}\;;\;\dfrac{-3-5}{2}\;;\;\dfrac{2+6}{2}\right) }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } { I\,\left(-3\;;\;-4\;;\;4\right) }$ .

Déterminons si ce point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ .

${ \white{ xxi } }$ $2\times(-3) + (-4) - 2\times4 + 18 =-6-4-8+18\;{\red{=0}}$

Les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ vérifient l'équation du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ .
Donc le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ .

Montrons que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est orthogonal à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ .

Une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x+y-2z+18=0 }$ .
Donc un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \vec n \begin{pmatrix}2\\ 1\\-2\end{pmatrix} }$

$\overset{ { \white{ . } } } { \begin{cases} A\,(-1\;;\;-3\;;\;2) \\B\,(-5\;;\;-5\;;\;6) \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}-5+1\\ -5+3\\6-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}-4\\ -2\\4\end{pmatrix} }$ .

Nous observons que $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{n} }$ .

D'où les vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{n} }$ sont colinéaires.

Il s'ensuit que le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est orthogonal à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ .

En résumé, le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ passe par le milieu $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ et est orthogonal à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AB) }$ .

Par conséquent, le plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est le plan médiateur du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [AB] }$ .
L'affirmation 5 est vraie.

_{Merci à Hiphigenie et malou pour avoir élaboré cette contribution.}

Publié par malou le 21-12-2025

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