Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques Sénégal 2025

Séries L1a-L1b-L'1-L2-LA

Durée : 3 heures

Coefficient : 2

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.

5 points

exercice 1

Bac 2025 Sénégal séries L1a-L1b-L'1-L2-LA : image 4

5 points

exercice 2

Bac 2025 Sénégal séries L1a-L1b-L'1-L2-LA : image 1

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10 points

probleme

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Bac 2025 Sénégal

Séries L1a-L1b-L'1-L2-LA

5 points

exercice 1

Item 1. - Réponse a.
Si $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est la fonction numérique définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\text e^x - x }$ , alors on a : $\overset{ { \white{ W. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = +\infty} }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty}\text e^x= 0 \\ \lim\limits_{x\to -\infty}x= -\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty}(\text e^x-x)= +\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty}\text e^x= 0 \\ \lim\limits_{x\to -\infty}x= -\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)= +\infty} }$

Item 2. - Réponse b.

Si $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est la fonction numérique définie dans $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x^2\ln x }$ , alors la fonction dérivée de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est définie dans $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f'(x)=x(\ln^2x+1)} }$ .

En effet, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\,]0\;;\;+\infty[ }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(x^2\ln x \Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(x^2)'\times \ln x +x^2\times (\ln x)'} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=2x\times \ln x +x^2\times \dfrac 1x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=2x\ln x +x}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=x\times(2\ln x) +x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=x\times\ln x^2 +x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=x(\ln x^2 +1)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\quad f'(x)=x(\ln x^2 +1)}$

Item 3. - Réponse a.

Si $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est la suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=\dfrac 12 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=4 }$ , alors on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{u_{10}=\dfrac{1}{256}} }$ .

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { u_n=u_0\times q^n }$ .
Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_n=4\times\left(\dfrac 12\right)^n }$
Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $u_{10}=4\times\left(\dfrac 12\right)^{10} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{10}}=2^2\times\dfrac {1}{2^{10} } } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{10}}=\dfrac {1}{2^{8} } } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{10}}=\dfrac {1}{256 } } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_{10}=\dfrac {1}{256 } }$

Item 4. - Réponse c.

Si $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { g }$ sont les fonctions numériques définies respectivement par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=2x^2+1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=\dfrac{x-2}{x+1} }$ , alors, pour tout réel $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ , on a :

${ \white{ xxi } }$ $(g\circ f)(x)=g\Big(f(x)\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (g\circ f)(x)}=g\Big(2x^2+1\Big) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (g\circ f)(x)}=\dfrac{(2x^2+1)-2}{(2x^2+1)+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (g\circ f)(x)}=\dfrac{2x^2-1}{2x^2+2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(g\circ f)(x)=\dfrac{2x^2-1}{2(x^2+1)} }$

Item 5. - Réponse b.

Si $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est la fonction numérique définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x^3+3x^2+2x+1 }$ , alors la primitive $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { F(0)=2 }$ est définie par : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{F(x)=\dfrac 14 x^4+x^3+x^2+x+2} }$ .

Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { F'=f }$ .

Montrons que la réponse a) n'est pas correcte.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=(3x^2+6x+2)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=3\times 2x+6\times 1+0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=6x+6\neq f(x) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{F'(x)\neq f(x)}$

Donc la réponse a) n'est pas correcte.

Montrons que la réponse b) est correcte.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=\left(\dfrac 14 x^4+x^3+x^2+x+2\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=\dfrac 14\times 4x^3+3x^2+2x+1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=x^3+3x^2+2x+1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad F'(x)= f(x)}$

Donc la réponse b) est correcte.

5 points

exercice 2

Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaire de la petite unité de fabrication de savons en fonction du nombre de points de vente, après cinq années d'activité.

$\begin{array}{|c|cc|cc|cc|cc|cc|}\hline&&&&&&&&&&& \text{Année}&&2013&&2014&&2015&&2016&&2017&&&&&&&&&&& \\\hline \text{Nombre }x \text{ de}&&&&&&&&&&&\text{points de}&&10&&20&&40&&70&&100\\\text{vente}&&&&&&&&&& \\\hline \text{Chiffre}&&&&&&&&&&\\\text{d'afffaire }y\text{ en}&&37,5&&61,5&&97,5&&180&&270,4\\\text{milliers}&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Nous devons estimer quel serait leur chiffre d'affaire en 2018 s'il est mis en place 120 points de vente.

Déterminons une équation de la droite de régression $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ de $\overset{ { \white{ +. } } } { y }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par la méthode des moindres carrés.
Complétons le tableau précédent.

$\begin{array}{|c|cc|cc|cc|cc|cc|}\hline&&&&&&&&&&& x&&10&&20&&40&&70&&100\\&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&\\y&&37,5&&61,5&&97,5&&180&&270,4\\&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&\\x^2&&100&&400&&1600&&4900&&10\,000\\&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&\\xy&&375&&1230&&3900&&12\,600&&27\,040\\&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Calculs complémentaires.

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix} S_{xx}=\sum x^2-\dfrac{\left(\sum x\right)^2}{5}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {S_{xy}=\sum xy-\dfrac{\sum x\sum y}{5}}\end{matrix}\right.$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum x^2=100+400+1600+4900+10\,000 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum x^2=17\,000} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum xy=375+1230+3900+12\,600+27\,040 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum xy=45\,145}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum x=10+20+40+70+100 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum x=240} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum y=37,5+61,5+97,5+180+270,4 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum y=646,9}$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $S_{xx}=\sum x^2-\dfrac{\left(\sum x\right)^2}{6} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=17\,000-\dfrac{240^2}{5}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=5480} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{xx}=5\,480}$

${ \white{ xxi } }$ $S_{xy}=\sum xy-\dfrac{\sum x\sum y}{5} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=45\,145-\dfrac{240\times646,9}{5}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=14\,093,8} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{xy}=14\,093,8}$

L'équation de la droite de régression linéaire est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { y=ax+b }$

$\text{avec }\quad a=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{14\,093,8}{5\,480}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a\approx2,57} \\\\\phantom{\text{avec }\quad }b=\overline{y}-a\overline{x}=\dfrac{646,9}{5}-\dfrac{14\,093,8}{5\,480}\times\dfrac{240}{5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b\approx5,93}$

Par conséquent, une équation cartésienne de la droite de régression de $\overset{ { \white{ +. } } } {y}$ en $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=2,57x+5,93}\,. }$

Selon ce modèle, estimons quel serait leur chiffre d'affaire en 2018 s'il est mis en place 120 points de vente.

Dans l'équation de $\overset{ { \white{ . } } } { (D), }$ remplaçons $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ par 120 et calculons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { y. }$
$\overset{ { \white{ . } } } { y=2,57\times120+5,93=314,33 }$

Nous en déduisons que s'il y a 120 postes de vente en 2018, le chiffre d'affaire de l'entreprise est estimé à environ 314 330 (F?) - l'unité monétaire n'est pas précisée dans l'énoncé.

10 point

probleme

Soit la fonction numérique $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ qui à tout réel $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ associe $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x\text e^x - 1 }$ .
On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\vec i,\vec j) }$ , unité 2 cm.

1. a) Nous devons donner l'ensemble de définition $\overset{ { \white{ _. } } } { D_f }$ de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

Aucune condition n'est imposée sur $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ .
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{D_f=\R} }$ .

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) }$ et interpréter graphiquement le résultat.

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text e^x=0\quad\text{(croissances comparées)}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty}(x\,\text e^x-1)=-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text e^x=0\quad\text{(croissances comparées)}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1} }$

Graphiquement, nous déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=-1 }$ .

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) }$ , puis $\overset{ { \white{ } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} }$ et interpréter graphiquement les résultats.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text e^x=+\infty \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}xv=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}(x\,\text e^x-1)=+\infty } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty} }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x\text e^x-1}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x\text e^x}{x}-\dfrac{1}{x}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\text e^x-\dfrac{1}{x}\right)}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad \begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac 1x=0 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\text e^x-\dfrac{1}{x}\right)=+\infty \\\\ \text{D'où }\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Graphiquement, nous déduisons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

3. a) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { f' }$ la fonction dérivée de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .
${ \white{ xxx } }$ Nous devons calculer la dérivée $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ , puis étudier son signe.

Pour tout réel $\overset{ { \white{ -. } } } { x }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(x\text e^x-1)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(x\text e^x)'-0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=x'\times \text e^x+x\times (\text e^x)' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=1\times \text e^x+x\times \text e^x }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=\text e^x+x\,\text e^x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x)}=(1+x)\,\text e^x } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)=(1+x)\,\text e^x}$

L'exponentielle étant strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ , le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { 1+x }$ .

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ .

$\begin{matrix}1+x> 0\quad\Longleftrightarrow\quad x>-1\\\\1+x= 0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-1\\\\1+x<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<-1\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&-1&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\1+x&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent,

${ \white{ xxi } }$ $\bullet$ ${ \white{ x } }$ si $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\,]-\infty\;;\;-1[ }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)< 0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\bullet$ ${ \white{ x } }$ si $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\,]-1\;;\;+\infty[ }$ , alors $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)> 0 }$
${ \white{ xxi } }$ $\bullet$ ${ \white{ x } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(-1)=0 }$ .

3. b) Nous devons dresser le tableau des variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}f(-1)=-\text e^{-1}-1\\\phantom{f(-1}=-1-\dfrac {1}{\text e}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&-1&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &-1&&&&+\infty\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&\underset{}{-1-\dfrac{1}{\text e}}&&\\\hline \end{array}$

3. c) Nous devons donner une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { (T) }$ à $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }$ .

L'équation de cette tangente est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {y=f'(0)(x-0)+f(0), }$ soit de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=f'(0)x+f(0)} }$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}f(x)=x\,\text e^x-1\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=(1+x)\,\text e^x}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\times\text e^0-1\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(0)=(1+0)\,\text e^0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=-1\\\overset{ { \white{ . } } } { f'(0)=1}\end{matrix}\right.$

D'où une équation de la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f) }$ au point d'abscisse 0 est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{y=x-1} }$

4. Nous devons construire la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { (T) }$ et la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ dans le repère $\overset{ { \white{ _. } } } { (O; \vec i, \vec j) }$ .

Bac 2025 Sénégal séries L1a-L1b-L'1-L2-LA : image 7

5. Soit la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { F(x)=x\,\text e^x -\text e^x - x }$ .

5. a) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans $\overset{ { \white{ _. } } } { D_f }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R }$ .
Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in \R }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $F'(x)=\Big(x\,\text e^x -\text e^x - x\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=(x\,\text e^x)' -\text e^x -1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=x'\times\text e^x+x\times(\text e^x)' -\text e^x -1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=1\times\text e^x+x\times\text e^x -\text e^x -1}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=\text e^x+x\,\text e^x -\text e^x -1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=x\,\text e^x -1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad F'(x)=f(x) }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans $\overset{ { \white{ _. } } } { D_f=\R }$ .

5. b) Nous devons calculer en cm² l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=\ln 4 }$ .

Bac 2025 Sénégal séries L1a-L1b-L'1-L2-LA : image 6

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;\ln 4] }$ (voir question 3. b)
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { f(1)=\text e-1 >0. }$

Nous en déduisons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est positive sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [1\;;\;\ln 4] }$

Donc l'aire demandée se calcule en unité d'aire par $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx=\Big[F(x)\Big]_1^{\ln4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx}=\Big[x\,\text e^x -\text e^x - x\Big]_1^{\ln4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx}=\Big({\ln4}\,\text e^{\ln4} -\text e^{\ln4} - {\ln4}\Big) - \Big( 1\,\text e^1 -\text e^1 - 1\Big) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx}=\Big(4\ln4 -4 - {\ln4}\Big) - \Big( \text e -\text e - 1\Big) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx}=(3\ln4 -4) - ( - 1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ xi _1^{\ln4}f(x)\,\text dx}=3\ln4 -4+1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ xi _1^{\ln4}f(x)\,\text dx}=3\ln4 -3 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_1^{\ln4}f(x)\,\text dx=3(\ln4 -1)\text{ u.a.}}$

Or l'unité de longueur est 2 cm et par suite, l'unité d'aire est 4 cm².

Par conséquent, l'aire demandée est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { 4\times3(\ln4 -1)\text{ cm}^2 }$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{12(\ln4 -1)\text{ cm}^2} }$ .
_{Merci à Hiphigenie et maloi pour l'élaboration de cette contribution.}

Publié par malou le 26-01-2026

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