Fiche de mathématiques

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Bac Tunisie 2025 Session de contrôle

Série Economie-Gestion

Durée : 2 heures

Coefficient : 2

5 points

exercice 1

Le service commercial d'une société régionale de télécommunication dispose de 12 guichets.

Le tableau suivant donne la durée moyenne d'attente d'un client pour se rendre service en fonction du nombre de guichets ouverts.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i : \text{ le nombre de guichets ouverts} & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 & 10 \\ \hline y_i : \text{ la durée moyenne d'attente en minutes} & 19 & 18 & 14 & 13 & 9 & 5 \\ \hline \end{array}$

1. a) Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de la série $(x_i, y_i)$ .

1. b) Dans le graphique de l'annexe ci-jointe, représenter le nuage de points de cette série.

1. c) Justifier que le nuage permet d'envisager un ajustement affine entre $x$ et $y$ .

2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ (le résultat de calcul sera arrondi au centième). Interpréter le résultat obtenu.

Dans la suite les résultats du calcul seront arrondis au dixième.

3. a) Déterminer une équation de la droite de régression $(D)$ de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.

3. b) Tracer $(D)$ .

3. c) Donner une estimation de la durée moyenne d'attente d'un client lorsque tous les guichets sont ouverts.

5 points

exercice 2

Soient $A$ et $B$ les matrices suivantes :

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix} 0.5 & -1 & 0.5 \\ -2.5 & 4 & -1.5 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

1. Montrer que $B$ est la matrice inverse de $A$ .

2. Soit le système $(S)$ : $\left\lbrace \begin{matrix} a + b + c = 10 \\ 4a + 2b + c = 29 \\ 9a + 3b + c = 58 \end{matrix} \right.$

2. a) Donner l'écriture matricielle du système $(S)$ .

2. b) Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S)$ .

3. L'office national de l'huile s'est chargé du conditionnement et de la mise en bouteilles d'huile d'olive de contenance 1 litre, vend sa production dans le marché national.

Le coût total de production est modélisé par une fonction $C$ définie sur $[0;5]$ par :

$C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 100$ où $a, b, c$ sont des réels.

On donne le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Nombre de bouteilles produites } x \text{ (en 10 millions)} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Coût total de production } C(x) \text{ (en million de dinars tunisien)} & 110 & 158 & 274 \\ \hline \end{array}$

3. a) Montrer que le triplet $(a,\,b,\,c)$ est une solution du système $(S)$ .

3. b) Justifier que $C(x) = 5x^3 + 4x^2 + x + 100$ .

4. En 2024, la production était de 40 millions de bouteilles d'huile.

4. a) En utilisant cette modélisation, quel était le coût total de production ?

4. b) Quel était alors le prix de vente d'une bouteille d'huile d'olive si le bénéfice total était de 12 millions de dinars ?

5 points

exercice 3

Dans un pays, le ministère de l'éducation permet aux élèves le choix d'inscription dans l'une des écoles, étatiques ou privées, avec la possibilité de changement uniquement avant chaque rentrée scolaire qui correspond au premier septembre.

Une étude statistique faite sur la répartition des élèves entre les écoles privées et les écoles étatiques à partir du mois de septembre de l'année 2010 a montré que :

${\white{ww}} \checkmark 10\%\quad$ des élèves sont inscrits dans des écoles privées au mois de septembre de l'année 2010.

${\white{ww}} \checkmark \quad$ D'une année scolaire à l'autre :

${\white{wwwwww}}\circ 10\%$ des élèves inscrits dans les écoles étatiques changent leurs inscriptions vers les écoles privées.

${\white{wwwwww}}\circ 40\%$ des élèves inscrits dans les écoles privées changent leurs inscriptions vers les écoles étatiques.

On suppose que le nombre total des élèves inscrits reste inchangé d'une année scolaire à l'autre.

Au cours d'une année scolaire, on choisit au hasard un élève et on considère les évènements suivants :

$A$ : « l'élève est inscrit dans une école étatique ».

$B$ : « l'élève est inscrit dans une école privée ».

1. a) Recopier et compléter le graphe probabiliste $(G)$ traduisant la situation.

Bac Tunisie 2025 série Eco-gestion (contrôle) : image 1

1. b) Déterminer la matrice de transition $M$ associée à $(G)$ .

2. Soit $n$ un entier naturel, on désigne par :

${\white{ww}} \checkmark a_n\quad$ : la probabilité que l'élève choisi est inscrit dans une école étatique en septembre de l'année $(2010+n)$ .

${\white{ww}} \checkmark b_n\quad$ : la probabilité que l'élève choisi est inscrit dans une école privée en septembre de l'année $(2010+n)$ .

${\white{ww}} \checkmark p_n = (a_n \quad b_n)$ l'état probabiliste en septembre de l'année $(2010+n)$ .

a) Déterminer l'état initial $p_0 = (a_0 \quad b_0)$ .

b) On donne la matrice $M^n = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n & \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\ \dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n & \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} \quad ; \; n \in \mathbb{N}.$

Déterminer l'état probabiliste en septembre de l'année 2013.

c) Montrer que la matrice $p = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}$ traduit l'état stable de la situation.

5 points

exercice 4

Dans la figure ci-après, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

La courbe $(C)$ est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant :

${\white{ww}}\checkmark\quad (C)$ admet des tangentes horizontales aux points $A \left(1, \dfrac{4}{\text e}-1\right)$ et $B(-1,-1)$ .

${\white{ww}} \checkmark\quad (C)$ admet une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de $-\infty$ .

${\white{ww}}\checkmark\quad \white l$ La droite $\Delta$ d'équation $y = -1$ est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ .

${\white{ww}}\checkmark\quad \white l$ Le point $E(\alpha, 0)$ est un point de $(C)$ .

Bac Tunisie 2025 série Eco-gestion (contrôle) : image 2

1. En utilisant les données et le graphique :

1. a) Donner $f(-1)$ , $f(1)$ , $f(\alpha)$ et $f'(-1)$ .

1. b) Donner $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$ .

2. Dans la suite on prendra $f(x) = (x+1)^2 \text e^{-x} - 1$ pour tout réel $x$ .

2. a) Vérifier que : $\text e^{-\alpha} = \dfrac{1}{\alpha^2 + 2\alpha + 1}$ .

2. b) Montrer que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = (-x^2 - 4x - 5)\text e^{-x} - x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. c) Soit $\mathscr{A}$ l'aire de la région du plan limitée par la courbe $(C)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\alpha$ .

Montrer que $\mathscr{A} = \dfrac{5\alpha + 2\alpha^2 - \alpha^3}{\alpha^2 + 2\alpha + 1}$ (u.a.).

ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE

Voir la correction

Bac Tunisie 2025 série Eco-gestion (contrôle)

5 points

exercice 1

Le service commercial d'une société régionale de télécommunication dispose de 12 guichets.

Le tableau suivant donne la durée moyenne d'attente d'un client pour se rendre service en fonction du nombre de guichets ouverts.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline&&&&&&& x_i : \text{ le nombre de guichets ouverts} & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 & 10\\&&&&&& \\ \hline &&&&&&&y_i : \text{ la durée moyenne d'attente en minutes} & \phantom{x}19\phantom{x} &\phantom{x} 18\phantom{x} &\phantom{x} 14\phantom{x} & \phantom{x}13\phantom{x} & \phantom{x}9\phantom{x} &\phantom{x} 5\phantom{x} \\&&&&&&\\ \hline \end{array}$
1. a) Nous devons déterminer les coordonnées du point moyen $\overset{ { \white{ _. } } } { G }$ de la série $\overset{ { \white{ _. } } } { (x_i, y_i) }$ .

Calculons les moyennes $\overset{ { \white{ _. } } }{\overline x}$ et $\overset{ { \white{ _. } } }{\overline y}$ respectivement des variables $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {y}.$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\overline{x}=\dfrac{3+4+5+6+8+10}{6}=6\\\\\overline{y}=\dfrac{19+18+14+13+9+5}{6}=13\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\begin{cases}\overline x=6\\\overline{y}=13\end{cases}}$

Par conséquent, les coordonnées du point moyen $\overset{ { \white{ _. } } } { G }$ de la série $\overset{ { \white{ _. } } } { (x_i, y_i) }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ (6\;;\;13) } }$

1. b) Représentons le nuage de points de cette série.

Bac Tunisie 2025 série Eco-gestion (contrôle) : image 8

1. c) Nous devons justifier que le nuage permet d'envisager un ajustement affine entre $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ +. } } } { y }$ .

La silhouette du nuage de points est étirée dans une direction, ce qui permet d'envisager un ajustement affine entre $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ +. } } } { y }$ .

2. Nous devons calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ +. } } } { y }$ (le résultat de calcul sera arrondi au centième).
${ \white{ xxi } }$ Nous devons ensuite interpréter le résultat obtenu.

La calculatrice nous donne le résultat suivant : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{r\approx -0,993}\,. }$

Effectuons le calcul ''à la main''.

$r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\times S_{yy}}}\quad \text{où }\quad\left\lbrace\begin{matrix}S_{xy}=\sum xy-\dfrac{\sum x\sum y}{6}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { S_{xx}=\sum x^2-\dfrac{\left(\sum x\right)^2}{6}}\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { S_{yy}=\sum y^2-\dfrac{\left(\sum y\right)^2}{6}}\end{matrix}\right.$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum xy=3\times19+4\times18+\cdots+10\times5 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum xy=399} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum x^2=3^2+4^2+\cdots+10^2 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum x^2=250} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum y^2=19^2+18^2+\cdots+5^2 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum y^2=1156}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum x=3+4+\cdots+10 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum x=36} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\sum y=19+18+\cdots+5 \\\\\phantom{WWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\sum y=78}$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $S_{xy}=\sum xy-\dfrac{\sum x\sum y}{6} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=399-\dfrac{36\times78}{6}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=-69} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{xy}=-69}$

${ \white{ xxi } }$ $S_{xx}=\sum x^2-\dfrac{\left(\sum x\right)^2}{6} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=250-\dfrac{36^2}{6}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=34} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{xx}=34}$

${ \white{ xxi } }$ $S_{yy}=\sum y^2-\dfrac{\left(\sum y\right)^2}{6} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=1156-\dfrac{78^2}{6}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{S_{xy}}=142} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{yy}=142}$

Nous en déduisons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { r.}$

${ \white{ xxi } }$ $r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\times S_{yy}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{r}=\dfrac{-69}{\sqrt{34\times 142}}} \\\overset{ { \phantom{o . } } } { \phantom{r}\approx0,993} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{r\approx -0,99}$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { |r| \approx 1 }$ , la corrélation linéaire entre les deux variables $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ et $\overset{ { \white{ +. } } } { y }$ est très forte.

Dans la suite les résultats du calcul seront arrondis au dixième.

3. a) Nous devons déterminer une équation de la droite de régression $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ de $\overset{ { \white{ +. } } } { y }$ en $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par la méthode des moindres carrés.

La calculatrice nous donne le résultat suivant : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=-2,0\,x+25,2}\,. }$

Effectuons le calcul ''à la main''.

L'équation de cette droite est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { y=ax+b .}$

$\text{Or }\quad a=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{-69}{34}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a\approx-2,0294\approx -2,0} \\\\\phantom{\text{Or }\quad }b=\overline{y}-a\overline{x}=13-(-2,0294)\times6\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b\approx25,1765\approx 25,2}$

Par conséquent, une équation cartésienne de la droite de régression de $\overset{ { \white{ +. } } } {y}$ en $\overset{ { \white{ . } } } {x}$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=-2,0\,x+25,2}\,. }$

3. b) Nous devons tracer $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ .

Bac Tunisie 2025 série Eco-gestion (contrôle) : image 6

3. c) Nous devons donner une estimation de la durée moyenne d'attente d'un client lorsque tous les guichets sont ouverts.

Lorsque tous les guichets sont ouverts, ils sont au nombre de 12.
Dans l'équation de la droite de régression, remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par 12 et calculons la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { y. }$

${ \white{ xxi } }$ $-2,0\times12+25,2=1,2.$

Par conséquent, si tous les guichets sont ouverts, la durée moyenne d'attente d'un client est d'environ 1 minute.

5 points

exercice 2

Soient $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ les matrices suivantes : $\overset{ { \white{ . } } } { A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix} 0.5 & -1 & 0.5 \\ -2.5 & 4 & -1.5 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} }$

1. Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est la matrice inverse de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } {A\times B }$ .

${ \white{ xxi } }$ $A\times B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0.5 & -1 & 0.5 \\ -2.5 & 4 & -1.5 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A\times B} = \begin{pmatrix} 0,5-2,5+3&& -1+4-3&&0,5-1,5+1 \\ 2-5+3 &&-4+8-3& & 2-3+1 \\ 4,5-7,5+3 &&-9+12-3 && 4,5-4,5+1\end{pmatrix}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A\times B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\Longrightarrow\quad\boxed{A\times B=I_3}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } {B\times A }$ .

${ \white{ xxi } }$ $B\times A= \begin{pmatrix} 0.5 & -1 & 0.5 \\ -2.5 & 4 & -1.5 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A\times B} = \begin{pmatrix} 0,5-4+4,5&& 0,5-2+1,5&&0,5-1+0,5 \\ -2,5+16-13,5&&-2,5+8-4,5& & -2,5+4-1,5 \\ 3-12+9 &&3-6+3 &&3-3+1\end{pmatrix}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A\times B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$

${ \white{ xxi } }$ $\Longrightarrow\quad\boxed{B\times A=I_3}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'où $\overset{ { \white{ _. } } } {B\times A = A\times B = I_3 }$ .

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est la matrice inverse de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$

2. Soit le système $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) : \left\lbrace \begin{matrix} a + b + c = 10 \\ 4a + 2b + c = 29 \\ 9a + 3b + c = 58 \end{matrix} \right. }$

2. a) Donner l'écriture matricielle du système $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ .

Soient $\overset{ { \white{ _. } } } { A, X }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ les matrices suivantes :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix}\,,\quad X=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad C=\begin{pmatrix} 10 \\ 29 \\ 58 \end{pmatrix} }$

Alors nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { A\times X=\begin{pmatrix} a+b+c \\ 4a+2b+c \\ 9a+3b+c \end{pmatrix} }$

Ainsi le système peut s'écrire sous forme matricielle : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{A\times X=C} }$

2. b) Nous devons résoudre dans $\overset{ { \white{ } } } { \R^3 }$ le système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ .

Nous avons montré dans la question 1. que $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est la matrice inverse de $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ .

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $AX=C\quad\Longleftrightarrow\quad B(AX)=BC \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ AX=C}\quad\Longleftrightarrow\quad (BA)X=BC } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ AX=C}\quad\Longleftrightarrow\quad I_3X=BC }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ AX=C}\quad\Longleftrightarrow\quad X=BC } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ AX=C}\quad\Longleftrightarrow\quad X=\begin{pmatrix} 0.5 & -1 & 0.5 \\ -2.5 & 4 & -1.5 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 \\ 29 \\ 58 \end{pmatrix} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ AX=C}\quad\Longleftrightarrow\quad X= \begin{pmatrix} 5-29+29 \\ -25+116-87 \\ 30-87+58 \end{pmatrix} } \\.\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ AX=C}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{X= \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix} } }$

Par conséquent, la solution du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ est le triplet $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(a,\,b,\,c)= (5,\,4,\,1)} }$

3. Le coût total de production d'huile d'olive est modélisé par une fonction $\overset{ { \white{ . } } } { C }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;5] }$ par :

$\overset{ { \white{ . } } } { C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 100 }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { a, b, c }$ sont des réels.
On donne le tableau suivant :

$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline&&&& \text{Nombre de bouteilles produites } x \text{ (en 10 millions)} & 1 & 2 & 3\\&&& \\ \hline &&&&\text{Coût total de production } C(x) \text{ (en million de dinars tunisiens)} & 110 & 158 & 274\\&&& \\ \hline \end{array}$
3. a) Nous devons montrer que le triplet $\overset{ { \white{ . } } } { (a,\,b,\,c) }$ est une solution du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ .

En utilisant le tableau, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} C(1)=110\\C(2) =158\\C(3)=274 \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} a\times 1^3+b\times 1^2+c\times1+100=110\\a\times 2^3+b\times 2^2+c\times2+100=158\\a\times 3^3+b\times 3^2+c\times3+100=274 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} C(1)=110\\C(2) =158\\C(3)=274 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} a+b+c+100=110\\8a+4b+2c+100=158\\27a+9b+3c+100=274 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} C(1)=110\\C(2) =158\\C(3)=274 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} a+b+c=10\\8a+4b+2c=58\\27a+9b+3c=174 \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} C(1)=110\\C(2) =158\\C(3)=274 \end{cases}}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases} a+b+c=10\\4a+2b+c=29\\9a+3b+c=58 \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad(S) }$

Par conséquent, le triplet $\overset{ { \white{ . } } } { (a,\,b,\,c) }$ est une solution du système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$

3. b) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ . } } } { C(x) = 5x^3 + 4x^2 + x + 100 }$ .

Nous avons montré dans la question 2. b) que le système $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ admet comme solution unique le triplet $\overset{ { \white{ . } } } { (a,\,b,\,c)=(5,\,4,\,1) }$ .

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 100 }$ s'écrit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{ C(x) = 5x^3 + 4x^2 + x + 100 } }$ .

4. En 2024, la production était de 40 millions de bouteilles d'huile.

4. a) En utilisant cette modélisation, nous devons déterminer quel était le coût total de production.

Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { C(4) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $C(4)=5\times 4^3+4\times 4^2+4+100 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ C(4)}=5\times 64+4\times 16+4+100 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ C(4)}=488} \\\\\Longleftrightarrow\quad\boxed{C(4)=488}$

Par conséquent, selon cette modélisation, le coût total de production en 2024 pour 40 millions de bouteilles était de 488 millions de dinars.

4. b) Déterminons quel était alors le prix de vente d'une bouteille d'huile d'olive si le bénéfice total était de 12 millions de dinars.

Nous savons que le bénéfice total se calcule par la différence entre la recette totale et le coût total de production.

Dès lors, si les résultats sont donnés en millions de dinars, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $12=\text{recette totale }-488\quad\Longleftrightarrow\quad \text{recette totale }=12+488 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 12=\text{recette totale }-488}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{recette totale }=500}$

D'où la recette totale de la vente de 40 millions de bouteilles d'huile s'élève à 500 millions de dinars.

Nous en déduisons que le prix de vente d'une bouteille d'huile s'élevait alors à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{500}{40}=12,5\text{ dinars.} }$

5 points

exercice 3

1. a) Ci-dessous le graphe probabiliste $\overset{ { \white{ . } } } { (G) }$ traduisant la situation.

Nous savons d'une part que d'une année scolaire à l'autre, 10% des élèves inscrits dans les écoles étatiques changent leurs inscriptions vers les écoles privées.
Donc 90% des élèves inscrits dans les écoles étatiques restent dans les écoles étatiques.

D'autre part, 40% des élèves inscrits dans les écoles privées changent leurs inscriptions vers les écoles étatiques.
Donc 60% des élèves inscrits dans les écoles privées restent dans les écoles privées.

D'où le graphe probabiliste $\overset{ { \white{ . } } } { (G) }$ .

Bac Tunisie 2025 série Eco-gestion (contrôle) : image 5

1. b) Nous devons déterminer la matrice de transition $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ associée à $\overset{ { \white{ . } } } { (G) }$ .

La matrice de transition associée à $\overset{ { \white{ . } } } { (G) }$ est la matrice $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1 \\ 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} } }$ .

2. Soit $\overset{ { \white{ -. } } } { n }$ un entier naturel, on désigne par :

$\overset{ { \white{ _. } } } { {\white{ww}} \checkmark{\white{w}} a_n : }$ la probabilité que l'élève choisi est inscrit dans une école étatique en septembre de l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { (2010+n) }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { {\white{ww}} \checkmark {\white{w}}b_n : }$ la probabilité que l'élève choisi est inscrit dans une école privée en septembre de l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { (2010+n) }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { {\white{ww}} \checkmark {\white{w}} p_n = (a_n \quad b_n) }$ l'état probabiliste en septembre de l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { (2010+n) }$ .

2. a) Nous devons déterminer l'état initial $\overset{ { \white{ _. } } } { p_0 = (a_0 \quad b_0) }$ .

En utilisant la question 1., nous déduisons que l'état initial est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ p_0 = (a_0 \quad b_0)= (0,9 \quad 0,1) }}$ .

2. b) On donne la matrice $\overset{ { \white{ . } } } { M^n = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n & \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\ \dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n & \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} \quad \text{où } \; n \in \mathbb{N}. }$

Nous devons déterminer l'état probabiliste en septembre de l'année 2013.

En 2013, nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { n=3. }$
Nous devons donc déterminer $\overset{ { \white{ _. } } } { p_3 }$ .

Or pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n,\quad p_{n+1}=p_n\times M }$ .
Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $p_3=p_2\times M \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_3 }=(p_1\times M)\times M } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_3 }=((p_0\times M)\times M)\times M } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_3 }=p_0\times M^3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_3=p_0\times M^3}$

Nous devons donc calculer $\overset{ { \white{ } } } { M^3. }$

${ \white{ xxi } }$ $M^3 = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 & \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \\ \dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 & \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{8}\\ \\ \dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{8}& \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{8}\end{pmatrix}$

${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M^3 }=\begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{40}&&& \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{40}\\ \\ \dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{40}& &&\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{40}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{32}{40} + \dfrac{1}{40}&&& \dfrac{8}{40} - \dfrac{1}{40}\\ \\ \dfrac{32}{40} - \dfrac{4}{40}&& &\dfrac{8}{40} + \dfrac{4}{40}\end{pmatrix} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M^3 }=\begin{pmatrix} \dfrac{33}{40}&&& \dfrac{7}{40}\\ \\ \dfrac{28}{40}& && \dfrac{12}{40}\end{pmatrix} }$

${ \white{ xxi } }$ $\Longrightarrow\quad\boxed{M^3=\begin{pmatrix} \dfrac{33}{40}&&& \dfrac{7}{40}\\ \\ \dfrac{28}{40}& && \dfrac{12}{40}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,825&&& 0,175\\ \\ 0,7& && 0,3\end{pmatrix} }$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $p_3=p_0\times M^3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_3 }=(0,9 \quad 0,1)\times \begin{pmatrix} 0,825&&& 0,175\\ \\ 0,7& && 0,3\end{pmatrix} } \\\overset{ { \white{ W. } } } { \phantom{ p_3 }=(0,7425+0,07 \quad 0,1575+0,03) } \\\overset{ { \white{ W. } } } { \phantom{ p_3 }=(0,8125 \quad 0,1875) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_3=(a_3 \quad b_3) =(0,8125 \quad 0,1875) }$

Concrètement, ce résultat signifie que l'élève choisi est inscrit dans une école étatique en septembre de l'année 2013 avec une probabilité de 81,25% et qu'en septembre 2013, il est inscrit dans une école privée avec une probabilité de 18,75%.

2. c) Nous devons montrer que la matrice $\overset{ { \white{ _. } } } { p = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} }$ traduit l'état stable de la situation.

Rappelons que l'état stable $\overset{ { \white{ . } } } { p }$ vérifie la relation $\overset{ { \white{ . } } } { p\times M=p. }$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { p = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} }$

Alors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $p\times M = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,9&0,1 \\ 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p\times M }= \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5}\times0,9+\dfrac 15\times 0,4 && \dfrac{4} {5}\times0,1+\dfrac 15\times0,6 \end{pmatrix} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p\times M }= \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5}\times\dfrac{9}{10}+\dfrac 15\times \dfrac{4}{10} && \dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{10}+\dfrac 15\times\dfrac{6}{10} \end{pmatrix} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p\times M }= \begin{pmatrix} \dfrac{40}{50} && \dfrac{10}{50} \end{pmatrix} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p\times M }= \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} && \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p\times M }= p } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p\times M =p}$

Par conséquent, la matrice $\overset{ { \white{ _. } } } { p = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} }$ traduit l'état stable de la situation.

5 points

exercice 4

Dans la figure ci-après, le plan est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) }$ .

La courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ est celle d'une fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie et dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathbb{R} }$ vérifiant :

$\overset{ { \white{ _. } } } { } {\white{ww}}\checkmark\quad (C)$ admet des tangentes horizontales aux points $\overset{ { \white{ _. } } } { A \left(1, \dfrac{4}{\text e}-1\right) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B(-1,-1) }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { } {\white{ww}} \checkmark\quad (C)$ admet une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { } {\white{ww}}\checkmark\quad \white l$ La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y = -1 }$ est une asymptote à $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ .
$\overset{ { \white{ _. } } } { } {\white{ww}}\checkmark\quad \white l$ Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E(\alpha, 0) }$ est un point de $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ .

Bac Tunisie 2025 série Eco-gestion (contrôle) : image 9

1. En utilisant les données et le graphique :

1. a) Nous devons donner $\overset{ { \white{ _. } } } { f(-1) , f(1) , f(\alpha) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(-1) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Graphiquement, nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(-1)=-1} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ L'énoncé nous apprend que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { A \left(1, \dfrac{4}{\text e}-1\right) }$ appartient à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ .
${ \white{ xx } }$ Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(1)=\dfrac{4}{\text e}-1} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous savons par l'énoncé que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { E(\alpha, 0) }$ est un point de $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$
${ \white{ xx } }$ Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(\alpha)=0} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ L'énoncé nous apprend que $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ admet une tangente horizontale au point $\overset{ { \white{ _. } } } { A \left(1, \dfrac{4}{\text e}-1\right) }$ .
${ \white{ xx } }$ Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f'(1)=0} }$ .

1. b) Nous devons donner $\overset{ { \white{ -. } } } { \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) }$ et $\overset{ { \white{-. } } } { \lim\limits_{x\to -\infty} f(x) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous savons par l'énoncé que la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y = -1 }$ est une asymptote à $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty }$ .
${ \white{ xx } }$ Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ -. } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-1} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous savons par le graphique et l'énoncé que $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ admet une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty }$ .
${ \white{ xx } }$ Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ -. } } } { \boxed{ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty} }$ .

2. Dans la suite on prendra $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = (x+1)^2\, \text e^{-x} - 1 }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ .

2. a) Nous devons vérifier que : $\overset{ { \white{ _. } } } { \text e^{-\alpha} = \dfrac{1}{\alpha^2 + 2\alpha + 1} }$ .

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $f(\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (\alpha+1)^2\, \text e^{-\alpha} - 1 = 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad (\alpha+1)^2\, \text e^{-\alpha} = 1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{-\alpha} = \dfrac{1}{(\alpha+1)^2} \quad \text{car }\alpha\neq -1\quad(\text{voir graphique})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\text e^{-\alpha} = \dfrac{1}{\alpha^2+2\alpha+1}} }$

2. b) Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { F(x) = (-x^2 - 4x - 5)\text e^{-x} - x }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

Nous obtenons alors pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x\in\R, }$

${ \white{ xxi } }$ $F'(x) = \Big[(-x^2 - 4x - 5)\text e^{-x} - x\Big]' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= (-x^2 - 4x - 5)'\times \text e^{-x}+(-x^2 - 4x - 5)\times(\text e^{-x})' -x' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= (-2x-4)\times \text e^{-x}+(-x^2 - 4x - 5)\times(-\text e^{-x}) -1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= (-2x-4+x^2 + 4x + 5)\times\text e^{-x} -1 }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= (x^2 + 2x + 1)\times\text e^{-x} -1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }= (x+1)^2\,\text e^{-x} -1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F'(x) }=f(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\, x\in\R,\quad F'(x)=f(x)}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { F(x) = (-x^2 - 4x - 5)\text e^{-x} - x }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

2. c) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A} }$ l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=\alpha }$ .

Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal{A} = \dfrac{5\alpha + 2\alpha^2 - \alpha^3}{\alpha^2 + 2\alpha + 1} }$ (u.a.).

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)\geq 0 }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;\alpha] }$ car la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C) }$ se situe au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0\;;\;\alpha] }$ .

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^{\alpha}f(x)\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\Big[F(x)\Big]_0^{\alpha}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\Big[(-x^2 - 4x - 5)\text e^{-x} - x \Big]_0^{\alpha}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\Big[(-\alpha^2 - 4\alpha - 5)\text e^{-\alpha} -\alpha\Big]-\Big[(0-0 - 5)\text e^{0} -0\Big]}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A}=(-\alpha^2 - 4\alpha - 5)\text e^{-\alpha} -\alpha-(- 5)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ A}=(-\alpha^2 - 4\alpha - 5)\text e^{-\alpha} -\alpha+5} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal{A}=(-\alpha^2 - 4\alpha - 5)\text e^{-\alpha} -\alpha+5}$

Utilisons la relation $\overset{ { \white{ . } } } { \text e^{-\alpha} = \dfrac{1}{\alpha^2+2\alpha+1} }$ démontrée dans la question 2. a).

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\mathcal{A}=(-\alpha^2 - 4\alpha - 5)\,\text e^{-\alpha} -\alpha+5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}}=(-\alpha^2 - 4\alpha - 5)\times\dfrac{1}{\alpha^2+2\alpha+1}-\alpha+5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}}=\dfrac{-\alpha^2 - 4\alpha - 5}{\alpha^2+2\alpha+1}-\alpha+5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}}=\dfrac{-\alpha^2 - 4\alpha - 5-\alpha(\alpha^2+2\alpha+1)+5(\alpha^2+2\alpha+1)}{\alpha^2+2\alpha+1} }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}}=\dfrac{-\alpha^2 - 4\alpha - 5-\alpha^3-2\alpha^2-\alpha+5\alpha^2+10\alpha+5} {\alpha^2+2\alpha+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \mathcal{A}}=\dfrac{-\alpha^3+2\alpha^2 +5\alpha }{\alpha^2+2\alpha+1} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal{A}=\dfrac{5\alpha+2\alpha^2 -\alpha^3 }{\alpha^2+2\alpha+1}\quad(\text{u.a.}) }$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette fiche}

Publié par malou le 30-10-2025

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